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概率论与数理统计C的习题集-计算题

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概率与数理统计_习题集(含问题详解)

概率与数理统计_习题集(含问题详解)

《概率与数理统计》课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院所有习题【说明】：本课程《概率与数理统计》〔编号为01008〕共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。

一、计算题11.设A，B，C表示三个随机事件，试将如下事件用A，B，C表示出来。

(1) A出现，B、C不出现；(2) A、B都出现，而C不出现；(3) 所有三个事件都出现；(4) 三个事件中至少一个出现；(5) 三个事件中至少两个出现。

2.在分别标有1,2,3,4,5,6,7,8的八卡片中任抽一。

设事件A为“抽得一标号不大于4的卡片〞，事件B为“抽得一标号为偶数的卡片〞，事件C为“抽得一标号为奇数的卡片〞。

试用样本点表示如下事件：〔1〕AB；〔2〕A+B；〔3〕B；〔4〕A-B；〔5〕BC3.写出如下随机试验的样本空间：〔1〕一枚硬币掷二次，观察能出现的各种可能结果；〔2〕对一目标射击，直到击中4次就停止射击的次数；〔3〕二只可识别的球，随机地投入二个盒中，观察各盒装球情况。

4.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示如下事件。

〔1〕A发生，B与C不发生；〔2〕A，B，C都发生；〔3〕A，B，C中不多于一个发生。

5.甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标。

试用A、B、C的运算关系表示如下事件：〔1〕至少有一人命中目标〔2〕恰有一人命中目标〔3〕恰有二人命中目标〔4〕最多有一人命中目标〔5〕三人均命中目标6. 袋有5个白球与3个黑球。

从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。

7. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是。

加工出来的零件放在一起，并且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。

8. 某地区的由7个数字组成〔首位不能为0〕，每个数字可从0，1，2，…，9中任取，假定该地区的用户已经饱和，求从码薄中任选一个的前两位数字为24的概率。

概率论与数理统计练习题集及答案

概率论与数理统计练习题集及答案

概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题：1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A365 B 364 C 363 D 362 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则A )(1)(B P A P -= B )()()(B P A P AB P =C 1)(=+B A PD 1)(=AB P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EXA 21B1 C2 D 415．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=001)(2x x x x x FC +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3D +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为A )2(2y f X -B )2(y f X -C )2(21y f X -- D )2(21y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 83 C 41 D 318．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY EA3 B6 C10 D129．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是A X 与Y 相互独立B X 与Y 不相关C 0),cov(=Y XD DY DX Y X D +=+)(答案：1. B2. A 6. D 7. D 8. C 9. A1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++C 321321321A A A A A A A A A ++D 321A A A2．将两封信随机地投入4个邮筒中,则未向前两个邮筒中投信的概率为 AA 2242B 2412C C C 24!2AD !4!23．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 D A )()|(A P B A P = B )()()(B P A P AB P = C )()()|(B P A P B A P = D 0)|(=B A P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ,则=EX AA 32B1 C 38 D316 5．随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-0)1()(x x e x A x F x,则=A B A0 B1 C2 D36．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 3-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为 DA )3(3y f X -B )3(y f X -C )3(31y f X --D )3(31y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=e B A 81 B 41 C 83 D 318．设随机变量Y X ,相互独立,且)5.0,16(~b X ,Y 服从参数为9的泊松分布,则=+-)12(Y X D CA-14 B13 C40 D419．设),(Y X 为二维随机向量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D A X 与Y 相互独立 B EY EX Y X E +=+)( C DY DX DXY ⋅= D EY EX EXY ⋅= 一、填空题1.设A ,B 是两个随机事件,5.0)(=A P ,8.0)(=+B A P ,)1(若A 与B 互不相容,则)(B P = ；)2(若A 与B 相互独立,则)(B P = .2.一袋中装有10个球,其中4个黑球,6个白球,先后两次从袋中各取一球不放回.已知第一次取出的是黑球,则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==, ,2,1=k ,则常数=a .4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F则常数=a ,}31{<<X P = . 5.设随机变量X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布,且3)(=X E ,34)(=X D ,则a = ,b = .7.设随机变量X ,Y 相互独立,且都服从参数为6.0的10-分布,则}{Y X P == .8.设X ,Y 是两个随机变量,2)(=X E ,20)(2=X E ,3)(=Y E ,34)(2=Y E ,5.0=XY ρ,则)(Y X D - = .答案：1. 3.0,6.02. 313. 414.41,435.5.46. 1,57. 0.52 8. 211.设A ,B 是两个随机事件,3.0)(=A P ,)()(B A P AB P =,则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码,破译成功的概率依次为,,,则密码能译出的概率为 .3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ,则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布,则X1的数学期望为 .6.设随机变量21,X X 相互独立,其概率分布分别为则}{21X X P == .7.设X ,Y 是两个随机变量,)3,0(~2N X ,)4,1(~2N Y ,X 与Y 相互独立,则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0,=)(X E 0)(=Y E ,=)(2X E 2)(2=Y E ,则2)(Y X E + = . 答案：1. 0.72.3.314. 0.55. 3ln 216. 957. )5,1(2N8. 659. 6二、有三个箱子,第一个箱子中有3个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子,再从这个箱子中任取1个球.1求取到的是白球的概率；2若已知取出的球是白球,求它属于第二个箱子的概率.解：设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ,事件B 表示取到白球.2411853163314131)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P114)()|()()()()|(241163312222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P三、某厂现有三部机器在独立地工作,假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中,若三部机器均无故障,则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障,则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障,则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润万元,则X 可能取5.0,1,2-,且512.08.0}2{3===X P ,384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ,104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E 万元四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解： 1 5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ；2,,010,24),()(,,010,24),()(1010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ,求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一：Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤-=-=-=其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22y y y y y f y f X Y解法二：因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=≤-=⨯-==其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22y y y h y y dy y dh y h f y f X Y注：21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数;二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件,他们生产的零件数之比为5:3:2. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为%2%,4%,3. 现从三人生产的零件中任取一个. )1(求该零件是次品的概率；)2(若已知该零件为次品,求它是由甲生产的概率.解：设事件321,,A A A 分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产,事件B 表示取到的零件是次品.1 028.0%2105%4103%3102)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P ；2 143028.0%32.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P .三、设一袋中有6个球,分别编号1,2,3,4,5,6. 现从中任取2个球,用X 表示取到的两个球的最大编号. )1(求随机变量X 的概率分布；)2(求EX .解：X 可能取6,5,4,3,2,且6,5,4,3,2,1511}{26=-=-==k k C k k X P所以X 的概率分布表为3/115/45/115/215/165432P X且31415162=-⨯=∑=k k k EX .四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,),(y x x y x f .)1(求}1{≤+Y X P ；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解：1 31),(}1{1020101====≤+⎰⎰⎰⎰⎰≤+dx x xdy dx dxdy y x f Y X P x y x ； 2,,020,21),()(,,010,2),()(1020⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y xdx dx y x f y f x x xdy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 服从区间]3,0[上的均匀分布,求随机变量13-=X Y 的密度函数.解法一：由题意知⎩⎨⎧≤≤=其它,030,3/1)(x x f X . Y 的分布函数为)31(}31{}13{}{)(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+≤=+=其它即,0813310,91)31(31)(y y y f y f X Y 解法二：因为13-=x y 是30≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+=≤=⨯==其它即,081,331)(0,913131|)(|))(()(y y y h dy y dh y h f y f X Y 注：31)(+==y y h x 为13-=x y 的反函数; 三、已知一批产品中有90%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为,一个次品被误判为合格品的概率是．求：1任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率； 2一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率． 解：设=1A “确实为合格品”,=2A “确实为次品”, =B “判为合格品”1)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += 859.004.01.095.09.0=⨯+⨯=29953.0)()|()()|(111==B P A B P A P B A P四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他0),(yx e y x f y,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}1{<+Y X P ． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞-∞+∞-⎰⎰000000),()(x x ex x dy e dy y x f x f x x y X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰00000),()(0y y yey y dx e dx y x f y f y y y Y 2)()(),(y f x f y x f Y X ≠ ∴ X 与Y 不独立 315.0210121}1{----+-==<+⎰⎰e e dxdy e Y X P xxy四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<>=-其他10,02),(y x ye y x f x,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}{Y X P <． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰0000002),()(10x x ex x dy ye dy y x f x f x x X⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰+∞-∞+∞-其他其他01020102),()(0y y y dx ye dx y x f y f x Y2)()(),(y f x f y x f Y X = ∴ X 与Y 独立 3142}{1101-==<--⎰⎰e dxdy ye Y X P x x一、单项选择题1. 对任何二事件A 和B,有=-)(B A P C .A. )()(B P A P -B. )()()(AB P B P A P +-C. )()(AB P A P -D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件,若当B 发生时A 必发生,则一定有 B . A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =⋃ C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为0.5,0.8,则目标被击中的概率为 C 甲乙至少有一个击中A. 0.7B. 0.8C. 0.9D.0.854. 设随机变量X 的概率分布为则a,b 可以是 D 归一性. A. 4161==,b a B. 125121==,b a C. 152121==,b a D.3141==,b a 5. 设函数0.5,()0,a x bf x ≤≤⎧=⎨⎩其它 是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间],[b a 可以是 B 归一性.A. ]1,0[B. ]2,0[C. ]2,0[D. ]2,1[6. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}0{XY P D .A. 0.1B. 0.3C.D.7. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则有 D 期望和方差的性质.A. 12(-X E np 2)=B. 14)12(-=-np X EC. 1)1(4)12(--=-p np X DD. )1(4)12(p np X D -=- 8．已知随机变量(,)X B n p ,且 4.8, 1.92EX DX ==,则,n p 的值为 AA.8,0.6n p == B.6,0.8n p == C.16,0.3n p ==D.12,0.4n p == 9．设随机变量(1,4)XN ,则下式中不成立的是 BA. 1EX =B. 2DX =C. {1}0P X ==D.{1}0.5P X ≤=10. 设X 为随机变量,1,2=-=DX EX ,则)(2X E 的值为 A 方差的计算公式.A ．5 B. 1- C. 1 D. 311. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f ,且EX=0,则A 归一性和数学期望的定义.A. 6,4a b =-=B. 1,1a b =-=C. 6,1a b ==D.1,5a b ==12. 设随机变量X 服从参数为的指数分布,则下列各项中正确的是 A A. ()0.2,()0.04E X D X == B. ()5,()25E X D X == C. ()0.2,()4E X D X == D. ()2,()0.25E X D X == 13. 设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D .A. X 与Y 相互独立B.()()()E X Y E X E Y +=+C. ()()()E XY E X E Y =D. 221212(,)(,,,0)X Y N μμσσ 二、填空题1. 已知PA=,PA-B=,且A 与B 独立,则PB= .2. 设B A ,是两个事件,8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ,当A, B 互不相容时,PB=；当A, B 相互独立时,PB=53 .3. 设在试验中事件A 发生的概率为p,现进行n 次重复独立试验,那么事件A 至少发生一次的概率为1(1)n p --.4. 一批产品共有8个正品和2个次品,不放回地抽取2次,则第2次才抽得次品的概率P =845. 5. 随机变量X 的分布函数Fx 是事件 PX )x ≤ 的概率.6. 若随机变量X ~ )0)(,(2>σσμN ,则X 的密度函数为 .7.设随机变量X 服从参数2=θ的指数分布,则X 的密度函数()f x = ； 分布函数Fx= .8. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,三个值,其相应的概率依次为125236,,c c c,则c = 2 归一性 . 9. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x λ⎧<<=⎨⎩其它,则λ＝ 3归一性 .10. 设随机变量X ～2(2,)N σ,且{23}0.3P X <<=,则{1}P X <=.22232{23}{}11()(0)0.3,(0)0.5()=0.821211{1}{}=()=1()=0.2X P X P X P X P σσσσσσσσσ---<<=<<=Φ-Φ=Φ=∴Φ--<=<Φ--Φ又，，11. 设随机变量X ～N1,4,φ=,φ=,则P{|X |﹥2}= .{||>2}1{||2}1{22}2112111{}1{1.50.5}22221((0.5)( 1.5)0.9332),( 1.5)0.06680.69150.06680.31(1.5)=1-{||>2}=1((0.5)( 1.5))=751)3(P X P X P X X X P P P X ==-≤=--≤≤-----=-≤≤=--≤≤=-Φ-Φ-Φ-=-Φ∴-Φ-Φ--=-又 12. 设随机变量X ~ ),(211σμN ,Y ~ ),(222σμN ,且X 与Y 相互独立,则X+Y ~221212(,)N μμσσ++ 分布.13. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差0DX >都存在,令DXEX X Y -=,则____0__=EY ；___1___=DY .14. 若X 服从区间0,2上的均匀分布,则2()E X ＝4/3 . 15. 若X ～(4,0.5)B ,则(23)D X -= 9 . 17. 设随机变量X 的概率密度23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它,()_____E X =,()_____D X =.18. 设随机变量X 与Y 相互独立,1,3DX DY ==,则(321)D X Y -+=(3)(2)9()4()D X D Y D X D Y +=+=21 .三、计算题1. 设随机变量X 与Y 独立,X ～(1,1)N ,Y ～)2,2(2N ,且0.2XY ρ=,求随机变量函数23Z X Y =-的数学期望与方差. 四、证明题1. 设随机变量X 服从标准正态分布,即X ～)1,0(N ,2X Y =,证明：Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2y y e yy f y Y π .五、综合题1.设二维随机变量X,Y 的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10,6),(2y x xy y x f ,求：1关于X,Y 的边缘密度函数；2判断X,Y 是否独立；3求{}P X Y >.。

概率论与数理统计试题库及答案考试必做

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概率论与数理统计<概率论>试题一、填空题1．设 A 、B 、C 是三个随机事件;试用 A 、B 、C 分别表示事件1A 、B 、C 至少有一个发生2A 、B 、C 中恰有一个发生3A 、B 、C 不多于一个发生2．设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8;则P(B )A ＝3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(A B)=0.7,则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为和,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)kP X k A k ===⋅⋅⋅则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8081,则该射手的命中率为_________10.若随机变量ξ在1,6上服从均匀分布,则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=,4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用,X Y 的联合分布函数Fx,y 表示P{a b,c}X Y ≤≤<=13.用,X Y 的联合分布函数Fx,y 表示P{X a,b}Y <<=14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成,二维随机变量x,y 在区域D 上服从均匀分布,则x,y 关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 ;15.已知)4.0,2(~2-N X ,则2(3)E X +＝16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ,且X 与Y 相互独立,则(3)D X Y -=17.设X的概率密度为2()x f x -=,则()D X ＝ 18.设随机变量X 1,X 2,X 3相互独立,其中X 1在0,6上服从均匀分布,X 2服从正态分布N0,22,X 3服从参数为λ=3的泊松分布,记Y=X 1－2X 2+3X 3,则DY=19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===,则()D X Y +=20.设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或X ～ ;特别是,当同为正态分布时,对于任意的n ,都精确有X ～ 或X ～ .21.设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=,2i DX σ=(1,2,)i =⋅⋅⋅ 那么211n i i X n =∑依概率收敛于 . 22.设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本,令221234()(),Y X X X X =++- 则当C = 时CY ～2(2)χ;23.设容量n = 10 的样本的观察值为8,7,6,9,8,7,5,9,6,则样本均值= ,样本方差=24.设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2(,)N μσX的一个简单随机样本,则样本均值11ni i n =X =X ∑服从二、选择题1. 设A,B 为两随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是 AP A+B = P A; B ()P(A);P AB =C (|A)P(B);P B =D (A)P B -=()P(A)P B -2. 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 A “甲种产品滞销,乙种产品畅销”； B “甲、乙两种产品均畅销”C “甲种产品滞销”；D “甲种产品滞销或乙种产品畅销”;3. 袋中有50个乒乓球,其中20个黄的,30个白的,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球;则第二人取到黄球的概率是A1/5 B2/5 C3/5 D4/54. 对于事件A,B,下列命题正确的是A 若A,B 互不相容,则A 与B 也互不相容;B 若A,B 相容,那么A 与B 也相容;C 若A,B 互不相容,且概率都大于零,则A,B 也相互独立;D 若A,B 相互独立,那么A 与B 也相互独立;5. 若()1P B A =,那么下列命题中正确的是A AB ⊂ B B A ⊂C A B -=∅D ()0P A B -=6． 设X ～2(,)N μσ,那么当σ增大时,{}P X μσ-<= A 增大 B 减少 C 不变 D 增减不定;7．设X 的密度函数为)(x f ,分布函数为)(x F ,且)()(x f x f -=;那么对任意给定的a 都有A 0()1()a f a f x dx -=-⎰B 01()()2a F a f x dx -=-⎰ C )()(a F a F -= D 1)(2)(-=-a F a F8．下列函数中,可作为某一随机变量的分布函数是A 21()1F x x =+B x x F arctan 121)(π+= C =)(x F 1(1),020,0x e x x -⎧->⎪⎨⎪≤⎩D ()()x F x f t dt -∞=⎰,其中()1f t dt +∞-∞=⎰ 9． 假设随机变量X 的分布函数为Fx,密度函数为fx.若X 与-X 有相同的分布函数,则下列各式中正确的是AFx = F-x; B Fx = - F-x;C f x = f -x;D f x = - f -x.10．已知随机变量X 的密度函数fx=x x Ae ,x 0,λλ-≥⎧⎨<⎩λ>0,A 为常数,则概率P{X<+a λλ<}a>0的值A 与a 无关,随λ的增大而增大B 与a 无关,随λ的增大而减小C 与λ无关,随a 的增大而增大D 与λ无关,随a 的增大而减小 11．1X ,2X 独立,且分布率为 (1,2)i =,那么下列结论正确的是A 21X X = Ｂ1}{21==X X P C 21}{21==X X P Ｄ以上都不正确12．设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为 且Y X ,相互独立,则A 9/1,9/2==βαB 9/2,9/1==βαC 6/1,6/1==βαD 18/1,15/8==βα13．若X ～211(,)μσ,Y ～222(,)μσ那么),(Y X 的联合分布为 A 二维正态,且0=ρ B 二维正态,且ρ不定C 未必是二维正态D 以上都不对14．设X,Y 是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数分别为F X x,F Y y,则Z = max{X,Y} 的分布函数是AF Z z= max { F X x,F Y y}; B F Z z= max { |F X x|,|F Y y|}C F Z z= F X x ·F Y yD 都不是(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ15．下列二无函数中, 可以作为连续型随机变量的联合概率密度;Afx,y=cos x,0,⎧⎨⎩x ,0y 122ππ-≤≤≤≤其他B gx,y=cos x,0,⎧⎨⎩1x ,0y 222ππ-≤≤≤≤其他C ϕx,y=cos x,0,⎧⎨⎩0x ,0y 1π≤≤≤≤其他 D hx,y=cos x,0,⎧⎨⎩10x ,0y 2π≤≤≤≤其他16．掷一颗均匀的骰子600次,那么出现“一点”次数的均值为A 50B 100 C120 D 15017． 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布,令1231()3Y X X X =++,则2()E Y =A1. B9. C10. D6.18．对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则A ()()()D XY D X D Y =⋅B ()()()D X Y D X D Y +=+C X 和Y 独立D X 和Y 不独立19．设()(P Poission λX 分布),且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦,则λ= A1, B2, C3, D020． 设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0,则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的A 不相关的充分条件,但不是必要条件；B 独立的必要条件,但不是充分条件；C 不相关的充分必要条件；D 独立的充分必要条件21．设X ～2(,)N μσ其中μ已知,2σ未知,123,,X X X 样本,则下列选项中不是统计量的是A 123X X X ++B 123max{,,}X X XC 2321i i X σ=∑D 1X μ-22．设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本,那么下列选项中不正确的是A 当n 充分大时,近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫ ⎪⎝⎭B {}(1),k k n k n P X kC p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ C {}(1),k k n k n k P X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ D {}(1),1k k n k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 23．若X ～()t n 那么2χ～A (1,)F nB (,1)F nC 2()n χD ()t n24．设n X X X ,,21为来自正态总体),(2σμN 简单随机样本,X 是样本均值,记2121)(11X X n S n i i --=∑=,2122)(1X X n S n i i -=∑=,2123)(11μ--=∑=n i i X n S , 22411()ni i S X n μ==-∑,则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是 A 1/1--=n S X t μ B 1/2--=n S X t μ C n S X t /3μ-= D n S X t /4μ-=25．设X 1,X 2,…X n ,X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本,则统计量2121n i i n m i i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是A (,)F m nB (1,1)F n m --C (,)F n mD (1,1)F m n --三、解答题1．10把钥匙中有3把能打开门,今任意取两把,求能打开门的概率;2.任意将10本书放在书架上;其中有两套书,一套3本,另一套4本;求下列事件的概率;1 3本一套放在一起;2两套各自放在一起;3两套中至少有一套放在一起;3.调查某单位得知;购买空调的占15％,购买电脑占12％,购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%,购买空调与DVD 占10%,购买电脑和DVD 占5％,三种电器都购买占2％;求下列事件的概率;1至少购买一种电器的；2至多购买一种电器的；3三种电器都没购买的；4．仓库中有十箱同样规格的产品,已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的,且甲厂,乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品,求取得正品的概率;5．一箱产品,A,B 两厂生产分别个占60％,40％,其次品率分别为1％,2％;现在从中任取一件为次品,问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大6．有标号1∼n 的n 个盒子,每个盒子中都有m 个白球k 个黑球;从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子,再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子,依次继续,求从最后一个盒子取到的球是白球的概率;7．从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品,各种产品被抽到的可能性相同,求在二种情况下,直到取出合格品为止,所求抽取次数的分布率;1放回 2不放回8．设随机变量X 的密度函数为()x f x Ae -= ()x -∞<<+∞,求 1系数A,2 {01}P x ≤≤3 分布函数)(x F ;9．对球的直径作测量,设其值均匀地分布在b a ,内;求体积的密度函数;10．设在独立重复实验中,每次实验成功概率为,问需要进行多少次实验,才能使至少成功一次的概率不小于;11．公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在以下来设计的,设男子的身高2(168,7)X N ,问车门的高度应如何确定12． 设随机变量X 的分布函数为：Fx=A+Barctanx,-x ∞<<+∞.求：1系数A 与B ；2X 落在-1,1内的概率；3X 的分布密度;13．把一枚均匀的硬币连抛三次,以X 表示出现正面的次数,Y 表示正、反两面次数差的绝对值 ,求),(Y X 的联合分布律与边缘分布;14．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合分布函数为 )3arctan )(2arctan (),(y C x B A y x F ++= 求1A B C 、、的值, 2),(Y X 的联合密度, 3 判断X Y 、的独立性;15．设连续型随机变量X,Y 的密度函数为fx,y=(34)0,0,0,x y x y Ae -+>>⎧⎨⎩其他, 求 1系数A ；2落在区域D ：{01,02}x y <≤<≤的概率;16． 设),(Y X 的联合密度为x y x x Ay y x f ≤≤≤≤-=0,10),1(),(,1求系数A,2求),(Y X 的联合分布函数;17．上题条件下：1求关于X 及Y 的边缘密度; 2X 与Y 是否相互独立18．在第16题条件下,求)(x y f 和)(y x f ;19．盒中有7个球,其中4个白球,3个黑球,从中任抽3个球,求抽到白球数X 的数学期望()E X 和方差()D X ;20． 有一物品的重量为1克,2克,﹒﹒﹒,10克是等概率的,为用天平称此物品的重量准备了三组砝码 ,甲组有五个砝码分别为1,2,2,5,10克,乙组为1,1,2,5,10克,丙组为1,2,3,4,10克,只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量,问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少21． 公共汽车起点站于每小时的10分,30分,55分发车,该顾客不知发车时间,在每小时内的任一时刻随机到达车站,求乘客候车时间的数学期望准确到秒;22．设排球队A 与B 比赛,若有一队胜4场,则比赛宣告结束,假设A,B 在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负23．一袋中有n 张卡片,分别记为1,2,﹒﹒﹒,n ,从中有放回地抽取出k 张来,以X 表示所得号码之和,求(),()E X D X ;24．设二维连续型随机变量X ,Y 的联合概率密度为：f x ,y=,0x 1,0y x 0,k <<<<⎧⎨⎩其他 求：① 常数k, ② ()E XY 及()D XY .25．设供电网有10000盏电灯,夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7,并且彼此开闭与否相互独立,试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率;26．一系统是由n 个相互独立起作用的部件组成,每个部件正常工作的概率为0.9,且必须至少由 80%的部件正常工作,系统才能正常工作,问n 至少为多大时,才能使系统正常工作的概率不低于 0.9527．甲乙两电影院在竞争1000名观众,假设每位观众在选择时随机的,且彼此相互独立,问甲至少应设多少个座位,才能使观众因无座位而离去的概率小于1%;28．设总体X 服从正态分布,又设X 与2S 分别为样本均值和样本方差,又设21(,)n X N μσ+,且1n X +与12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立,求统计量的分布;29．在天平上重复称量一重为α的物品,假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2(,0.2)N α,若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值,为使()0.10.95n P X a -<≥成立,求n 的最小值应不小于的自然数30．证明题 设A,B 是两个事件,满足)()(A B P A B P =,证明事件A,B 相互独立; 31．证明题 设随即变量X 的参数为2的指数分布,证明21X Y e -=-在区间0,1上服从均匀分布;<数理统计>试题一、填空题1．设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本,2σ已知,令∑==161161i i X X ,则统计量σ-164X 服从分布为 必须写出分布的参数;2．设),(~2σμN X ,而,,,,是从总体X 中抽取的样本,则μ的矩估计值为 ;3．设]1,[~a U X ,n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本,求a 的矩估计为 ;4．已知2)20,8(1.0=F ,则=)8,20(9.0F ;5．θˆ和βˆ都是参数a 的无偏估计,如果有 成立 ,则称θˆ是比βˆ有效的估计;6．设样本的频数分布为则样本方差2s =_____________________;7．设总体X~N μ,σ²,X1,X2,…,Xn 为来自总体X 的样本,X 为样本均值,则D X ＝________________________;8．设总体X 服从正态分布N μ,σ²,其中μ未知,X1,X2,…,Xn 为其样本;若假设检验问题为1H 1H 2120≠↔σσ：＝：,则采用的检验统计量应________________;9．设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H0成立时,样本值x1,x2, (x)落入W 的概率为,则犯第一类错误的概率为_____________________; 10．设样本X1,X2,…,Xn 来自正态总体N μ,1,假设检验问题为：，：＝：0H 0H 10≠↔μμ 则在H0成立的条件下,对显著水平α,拒绝域W 应为______________________;11．设总体服从正态分布(,1)N μ,且μ未知,设1,,n X X 为来自该总体的一个样本,记11nii X X n ==∑,则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 ；若已知10.95α-=,则要使上面这个置信区间长度小于等于,则样本容量n 至少要取__ __;12．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2(,)N μσ的一个简单随机样本,其中参数μ和2σ均未知,记11n i i X X n ==∑,221()ni i Q X X ==-∑,则假设0H ：0μ=的t 检验使用的统计量是 ;用X 和Q 表示13．设总体2~(,)X N μσ,且μ已知、2σ未知,设123,,X X X 是来自该总体的一个样本,则21231()3X X X σ+++,12323X X X μσ++,222123X X X μ++-,(1)2X μ+中是统计量的有 ;14．设总体X 的分布函数()F x ,设n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本,则n X X X ,,,21 的联合分布函数 ;15．设总体X 服从参数为p 的两点分布,p 01p <<未知;设1,,n X X 是来自该总体的一个样本,则21111,(),6,{},max n niin i n i ni i X XX X X X pX ≤≤==--+∑∑中是统计量的有 ;16．设总体服从正态分布(,1)N μ,且μ未知,设1,,n X X 为来自该总体的一个样本,记11nii X X n ==∑,则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 ;17．设2~(,)X X X N μσ,2~(,)Y Y Y N μσ,且X 与Y 相互独立,设1,,m X X 为来自总体X 的一个样本；设1,,n Y Y 为来自总体Y 的一个样本；2X S 和2Y S 分别是其无偏样本方差,则2222//X X Y Y S S σσ服从的分布是 ;18．设()2,0.3X N μ~,容量9n =,均值5X =,则未知参数μ的置信度为的置信区间是 查表0.025 1.96Z =19．设总体X ～2(,)N μσ,X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本,X 为样本均值,则D X ＝________________________;20．设总体X 服从正态分布N μ,σ²,其中μ未知,X 1,X 2,…,X n 为其样本;若假设检验问题为1H 1H 2120≠↔σσ：＝：,则采用的检验统计量应________________;21．设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本,μ和2σ均未知,记11n i i X X n ==∑,221()ni i X X θ==-∑,则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量T＝ ;22．设11m i i X X m ==∑和11ni i Y Y n ==∑分别来自两个正态总体211(,)N μσ和222(,)N μσ的样本均值,参数1μ,2μ未知,两正态总体相互独立,欲检验22012:H σσ= ,应用检验法,其检验统计量是 ;23．设总体X ～2(,)N μσ,2,μσ为未知参数,从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为X ,修正样本标准差为*n S ,在显著性水平α下,检验假设0:80H μ=,1:80H μ≠的拒绝域为 ,在显著性水平α下,检验假设2200:H σσ=0σ已知,2110:H σσ≠的拒绝域为 ;24．设总体X ～12(,),01,,,,n b n p p X X X <<⋅⋅⋅为其子样,n 及p 的矩估计分别是 ;25．设总体X ～[]120,,(,,,)n U X X X θ⋅⋅⋅是来自X 的样本,则θ的最大似然估计量是 ;26．设总体X ～2(,0.9)N μ,129,,,X X X ⋅⋅⋅是容量为9的简单随机样本,均值5x =,则未知参数μ的置信水平为0.95的置信区间是 ;27．测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差微米如下： +2,+1,-2,+3,+2,+4,-2,+5,+3,+4则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是28．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本,令221234()(),Y X X X X =++- 则当C = 时CY ～2(2)χ;29．设容量n = 10 的样本的观察值为8,7,6,9,8,7,5,9,6,则样本均值= ,样本方差= 30．设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2(,)N μσX的一个简单随机样本,则样本均值11ni i n =X =X ∑服从二、选择题1.1621,,,X X X 是来自总体），10(N ~X 的一部分样本,设：216292821X X Y X X Z ++=++= ,则YZ~ )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F2.已知n X X X ,,,21 是来自总体的样本,则下列是统计量的是X X A +)( +A ∑=-n i iX n B 1211)( a X C +)( +10 131)(X a X D ++5 3.设81,,X X 和101,,Y Y 分别来自两个相互独立的正态总体)2,1(2-N 和)5,2(N 的样本, 21S 和22S 分别是其样本方差,则下列服从)9,7(F 的统计量是)(A 222152S S )(B 222145S S )(C 222154S S )(D 222125S S 4.设总体),(~2σμN X ,n X X ,,1 为抽取样本,则∑=-ni i X X n 12)(1是)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计5、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本,且μ=EX ,则下列是μ的无偏估计的是)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=ni i X n 21 )(D ∑-=-1111n i i X n 6．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本,若进行假设检验,当__ __时,一般采用统计量X t =A 220μσσ未知，检验＝B 220μσσ已知，检验＝ C 20σμμ未知，检验＝ D 20σμμ已知，检验＝7．在单因子方差分析中,设因子A 有r 个水平,每个水平测得一个容量为im 的样本,则下列说法正确的是___ __A 方差分析的目的是检验方差是否相等B 方差分析中的假设检验是双边检验C 方差分析中211.()im r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异D 方差分析中2.1()rA i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异8．在一次假设检验中,下列说法正确的是______ A 既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误B 如果备择假设是正确的,但作出的决策是拒绝备择假设,则犯了第一类错误C 增大样本容量,则犯两类错误的概率都不变D 如果原假设是错误的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第二类错误9．对总体2~(,)X N μσ的均值μ和作区间估计,得到置信度为95%的置信区间,意义是指这个区间A 平均含总体95%的值B 平均含样本95%的值C 有95%的机会含样本的值D 有95%的机会的机会含μ的值 10．在假设检验问题中,犯第一类错误的概率α的意义是 A 在H 0不成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 B 在H 0不成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 C 在H 00成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 D 在H 0成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 11. 设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本,则2σ的最大似然估计为A ()211n i i X X n =-∑B ()2111n i i X X n =--∑C 211n i i X n =∑ D 2X 12.X 服从正态分布,1-=EX ,25EX =,),,(1n X X 是来自总体X 的一个样本,则∑==ni inX X 11服从的分布为___ ;A N 1-,5/nB N 1-,4/nC N 1-/n,5/nD N 1-/n,4/n13．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本,若进行假设检验,当___ __时,一般采用统计量X U =A 220μσσ未知，检验＝B 220μσσ已知，检验＝C 20σμμ未知，检验＝D 20σμμ已知，检验＝14．在单因子方差分析中,设因子A 有r 个水平,每个水平测得一个容量为i m 的样本,则下列说法正确的是____ _ A 方差分析的目的是检验方差是否相等 B 方差分析中的假设检验是双边检验C 方差分析中211.()im r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异D 方差分析中2.1()rA i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异15．在一次假设检验中,下列说法正确的是___ ____ A 第一类错误和第二类错误同时都要犯B 如果备择假设是正确的,但作出的决策是拒绝备择假设,则犯了第一类错误C 增大样本容量,则犯两类错误的概率都要变小D 如果原假设是错误的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第二类错误16．设ˆθ是未知参数θ的一个估计量,若ˆE θθ≠,则ˆθ是θ的___ _____A 极大似然估计B 矩法估计C 相合估计D 有偏估计 17．设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H 0成立时,样本值x 1,x 2, …,x n落入W 的概率为,则犯第一类错误的概率为__________; A B C D18.在对单个正态总体均值的假设检验中,当总体方差已知时,选用A t 检验法B u 检验法C F 检验法D 2χ检验法19.在一个确定的假设检验中,与判断结果相关的因素有 A 样本值与样本容量 B 显著性水平α C 检验统计量 DA,B,C 同时成立 20.对正态总体的数学期望μ进行假设检验,如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=,那么在显著水平下,下列结论中正确的是A 必须接受0HB 可能接受,也可能拒绝0HC 必拒绝0HD 不接受,也不拒绝0H21.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个简单样本,则2()E X 的矩估计是A 22111()1n i i S X X n ==--∑B 22211()n i i S X X n ==-∑C 221S X +D 222S X +22.总体X ～2(,)N μσ,2σ已知,n ≥ 时,才能使总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间长不大于LA 152σ/2LB 15.36642σ/2LC 162σ/2LD 16 23.设12,,,nX X X ⋅⋅⋅为总体X 的一个随机样本,2(),()E X D X μσ==,12211()n i i i C X X θ-+==-∑为 2σ的无偏估计,C ＝A 1/nB 1/1n -C 1/2(1)n -D 1/2n - 24.设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本,则2σ的最大似然估计为A ()211n i i X X n =-∑B ()2111n i i X X n =--∑C 211n i i X n =∑ D 2X 25.设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本,那么下列选项中不正确的是A 当n 充分大时,近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫⎪⎝⎭B {}(1),k kn k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅C {}(1),k k n k n k P X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅D {}(1),1k kn k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 26.若X ～()t n 那么2χ～A (1,)F nB (,1)F nC 2()n χ D ()t n27.设n X X X ,,21为来自正态总体),(2σμN 简单随机样本,X 是样本均值,记2121)(11X X n S n i i --=∑=,2122)(1X X n S n i i -=∑=,2123)(11μ--=∑=n i i X n S , 22411()ni i S X n μ==-∑,则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是A 1/1--=n S X t μ B 1/2--=n S X t μ C nS X t /3μ-=D nS X t /4μ-=28.设X 1,X 2,…X n ,X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本,则统计量2121ni i n mi i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是A (,)F m nB (1,1)F n m --C (,)F n mD (1,1)F m n -- 29．设 ()2~,X N μσ,其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本, 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿Ａ4114i i X X ==∑ Ｂ142X X μ+-Ｃ42211()i i K X X σ==-∑ Ｄ4211()3i i S X X ==-∑30. 设 ()2~,N ξμσ,其中μ已知,2σ未知,123,,X X X 为其样本, 下列各项不是统计量的是A 22212321()X X X σ++ Ｂ13X μ+Ｃ123max(,,)X X X D 1231()3X X X ++三、计算题1.已知某随机变量X 服从参数为λ的指数分布,设n X X X ,,,21 是子样观察值,求λ的极大似然估计和矩估计;10分2.某车间生产滚珠,从某天生产的产品中抽取6个,测得直径为： 已知原来直径服从)06.0,(N μ,求：该天生产的滚珠直径的置信区间;给定05.0=α,645.105.0=Z ,96.1025.0=Z 8分3.某包装机包装物品重量服从正态分布)4,(2μN ;现在随机抽取16个包装袋,算得平均包装袋重为900=x ,样本均方差为22=S ,试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有变化05.0=α488.2715262.6)15(2025.02975.0==）（，χχ8分 4.设某随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧+=0)1()(λλx x f 其他10<<x 求λ的极大似然估计; 6分5.某车间生产滚珠,从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布,且直径的方差为04.02=σ,从某天生产的产品中随机抽取9个,测得直径平均值为15毫米,试对05.0=α求出滚珠的平均直径的区间估计;8分)96.1,645.1(025.005.0==Z Z6.某种动物的体重服从正态分布)9,(μN ,今抽取9个动物考察,测得平均体重为3.51公斤,问：能否认为该动物的体重平均值为52公斤;05.0=α8分96.1645.1025.005.0==Z Z7.设总体X 的密度函数为：⎩⎨⎧+=0)1()(ax a x f 其他10<<x , 设n X X ,,1 是X 的样本,求a 的矩估计量和极大似然估计;10分8.某矿地矿石含少量元素服从正态分布,现在抽样进行调查,共抽取12个子样算得2.0=S ,求σ的置信区间1.0=α,68.19)11(22=αχ,57.4)11(221=-αχ8分9．某大学从来自A,B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生,测其身高单位：cm 后算得x ＝,y ＝；1.9s 3.11s 2221==，;假设两市新生身高分别服从正态分布X-N μ1,σ2,Y-N μ2,σ2其中σ2未知;试求μ1－μ2的置信度为的置信区间;9=,11=10．10分某出租车公司欲了解：从金沙车站到火车北站乘租车的时间; 随机地抽查了9辆出租车,记录其从金沙车站到火车北站的时间,算得20x =分钟,无偏方差的标准差3s =;若假设此样本来自正态总体2(,)N μσ,其中2,μσ均未知,试求σ的置信水平为的置信下限;11．10分设总体服从正态分布2(,)N μσ,且μ与2σ都未知,设1,,n X X 为来自总体的一个样本,其观测值为1,,n x x ,设11n i i X X n ==∑,2211()n n i i S X X n ==-∑;求μ和σ的极大似然估计量;12．8分掷一骰子120次,得到数据如下表若我们使用2χ检验,则x 取哪些整数值时,此骰子是均匀的的假设在显著性水平0.05α=下被接受13.14分机器包装食盐,假设每袋盐的净重服从2~(,)X N μσ正态分布, 规定每袋标准重量为1μ=kg,方差220.02σ≤;某天开工后,为检验其机器工作是否正常,从装好的食盐中随机抽取抽取9袋,测得净重单位：kg 为：,,,,,,,,算得上述样本相关数据为：均值为0.998x =,无偏标准差为0.032s =,21()0.008192nii x x =-=∑;问1在显著性水平0.05α=下,这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异2 在显著性水平0.05α=下,这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准3你觉得该天包装机工作是否正常14．8分设总体X 有概率分布现在观察到一个容量为3的样本,11x =,22x =,31x =;求θ的极大似然估计值15．12分对某种产品进行一项腐蚀加工试验,得到腐蚀时间X 秒和 腐蚀深度Y 毫米的数据见下表：X 5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120 Y 4 6 8 13 16 17 19 25 25 29 46假设Y 与X 之间符合一元线回归模型01Y X ββε=++1试建立线性回归方程;2在显著性水平0.01α=下,检验01:0H β=16. 7分设有三台机器制造同一种产品,今比较三台机器生产能力,记录其五天的日产量17.10分设总体X 在),0(θ)0(>θ上服从均匀分布,n X X ,,1 为其一个样本,设},,max{1)(n n X X X =1)(n X 的概率密度函数()n p x 2求()[]n E X18.7分机器包装食盐,假设每袋盐的净重服从2~(,)X N μσ正态分布,规定每袋标准重量为1μ=kg,方差220.02σ≤;某天开工后,为检验其机器工作是否正常,从装好的食盐中随机抽取抽取9袋,测得净重单位：kg 为：,,,,,,,,算得上述样本相关数据为：均值为0.998x =,无偏标准差为0.032s =,在显著性水平0.05α=下,这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准19.10分设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,1,,n X X 是来自该总体的一个样本,记11(11)kk i i X X k n k ==≤≤-∑,求统计量1k k X X +-的分布;20．某大学从来自A,B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生,测其身高单位：cm 后算得x ＝,y ＝；1.9s 3.11s 2221==，;假设两市新生身高分别服从正态分布X-N μ1,σ2,Y-N μ2,σ2其中σ2未知;试求μ1－μ2的置信度为的置信区间;9=,11=<概率论>试题参考答案一、填空题1． 1 C B A 2 C B A C B A C B A3 B A C A C B 或 C B A C B A C B A C B A2． , 3．3/7 , 4．4/7 = 1/1260 , 5．, 6． 1/5, 7．1=a ,=b 1/2, 8．, 9．2/3, 10．4/5, 11．5/7, 12．Fb,c-Fa,c, 13．F a,b, 14．1/2, 15．, 16．, 17．1/2, 18．46, 19．85 20．22(,),(0,1),(,),(0,1)N N N N nnσσμμ； 21．22μσ+, 22,1/8 ,23．X =7,S 2=2 , 24．2N ,n σμ⎛⎫⎪⎝⎭,二、选择题1．A 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．B 8．B 9．C 10 ．C11．C 12．A 13．C 14．C 1 5．B 16．B 17．C 18．B 19．A 20 ．C21．C 22．B 23．A 24．B 25．C 三、解答题 1. 8/15 ；2. 11/15, 21/210, 32/21;3. 1 , 2, 3 ;4. ;5. 取出产品是B 厂生产的可能性大;6. m/m+k;7.11{}(3/13)(10/13)k P X K -== 28. 1A ＝1/2 , 211(1)2e -- , 31,02()11,02xx e x F x e x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩9. 1/32/3330()161()(),()366f x x x a b b a πππ-⎧⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥-⎣⎦⎩其他, 10. 4≥n11. 提示：99.0}{01.0}{≥<≤≥h x P h x P 或,利用后式求得31.184=h 查表(2.33)0.9901φ= 12. 错误!A=1/2,B=1π； 错误! 1/2； 错误! f x=1/π1+x 2 13. 14. 12,,22A B C ππ===；2 222(,)(4)(9)f x y x y π=++；3 独立 ；15. 1 12; 2 1-e -31-e -816. 124A =24322432340003812(/2)010(,)3861014301111x y y y x x y x y x F x y y y y x y x x x x y x y <<⎧⎪-+-≤<≤<⎪⎪=++≥≤<⎨⎪-≤<≤⎪≥≥⎪⎩或 17. 1212(1),01()0,x x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他 ； 212(1),01()0,y y y y f y ⎧-≤≤=⎨⎩其他2不独立18. 22,0,01()0,Y X yy x x f y x x ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他 ；22(1),1,01(1)()0,X Y x y x y y f x y -⎧≤<<<⎪-=⎨⎪⎩其他19. 1224(),()749E X D X ==20. 丙组 21. 10分25秒 22. 平均需赛6场j PiP1/823. 2(1)(1)(),()212k n k n E X D X +-== ; 24. k = 2, EXY=1/4, DXY=7/144 25. 26. 27. 537 28. (1)t n - 29. 1630. 提示：利用条件概率可证得;31. 提示：参数为2的指数函数的密度函数为220()00xe xf x x -⎧>=⎨≤⎩ ,利用21xY e-=-的反函数⎪⎩⎪⎨⎧--=0)1ln(21y x 即可证得;<数理统计>试题参考答案一、填空题1．)1,0(N , 2．∑=n i i X n 11=, 3．121-∑=ni i x n , 4．, 5．)ˆ()ˆ(β<θD D 6．2 , 7．n 2σ, 8．n-1s 2或∑=n 1i 2i )x -(x , 9． , 10．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>2u |u |σ,其中n x u =11．21X u α-±, 385；12．X t =13． 222123X X X μ++-, (1)2X μ+ ； 14．1(,,)n F x x 为1()ni i F x =∏,15．2111,(),6,{}max n ni in i i ni i X XX X X ≤≤==--∑∑ ；16．21X u α-±,17． (,)F m n , 18．,, 19．n 2σ, 20．n-1s 2或∑=n1i 2i )x -(x ,21．T =, 22．F ,2121(1)()(1)()mi i ni i n X X F m Y Y ==--=--∑∑ , 23．__22221122100222()()(1),(1)(1)n n i i i i n x x x x t n n n αααχχσσ==-⎧⎫⎧⎫--⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪->-⋃<-⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭∑∑, 24．2,1X S n p p X∧∧==- , 25．12max{,,,}n X X X θ=⋅⋅⋅ ,26．[4.412,5.588], 27．2 , 28．1/8 , 29．X =7, S 2=2, 30．2N ,n σμ⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题1．D 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．A 9．D 10．C11．A 12．B 13．D 14．D 15．C 16．D 17．B 18．B 19．D 20．A21．D 22．B 23．C 24．A 25．B 26．A 27．B 28．C 29．C 30．A 三、计算题 1．10分解：设n X X X ,,,21 是子样观察值 极大似然估计： ∑⋅===-=-∏ni iix nni x eeL 11)(λλλλλ∑=-⋅=ni i n n x l n L l 1)(λλλ0)(1=-=∂∂∑=ni i n x n L l λλλ x1=λ 矩估计：λ=⋅λ⋅=⎰+∞λ-1)(0dx e x X E x 样本的一阶原点矩为：∑==ni i X n X 11所以有：XX X EX 1ˆ1=λ⇒=λ⇒= 2．8分解：这是方差已知,均值的区间估计,所以有： 置信区间为：],[22αασ+σ-Z n X Z n X 由题得：95.14)1.152.158.149.141.156.14(61=+++++=X696.105.0025.0===αn Z代入即得：]96.1606.095.14,96.1606.095.14[⨯-⨯-所以为：]146.15,754.14[ 3．8分解：统计量为：)1(~)1(222--n X S n σ0H ：22024==σσ,1H ：202σσ≠16=n ,22=S ,224=σ代入统计量得875.116215=⨯ 262.6)15(875.12975.0=<χ所以0H 不成立,即其方差有变化; 4．6分解：极大似然估计：λλλλλ)()1()1(),,(111∏∏==+=+=ni i nni i n X X X X L ；∏=++=ni i X n L 1ln )1ln(ln λλ0ln 1ln 1=++=∑=ni i X nd L d λλ 得 ∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ5．8分解： 这是方差已知均值的区间估计,所以区间为：],[22αασ+σ-Z n x Z n x 由题意得：905.004.0152==α=σ=n x 代入计算可得]96.192.015,96.192.015[⨯+⨯-化间得：]131.15,869.14[ 6．8分解：52:00==μμH ,01:μμ≠H7.093523.51-=-=-nx σμ96.12=αμ96.17.0|7.0|025.0=μ<=-所以接受0H ,即可以认为该动物的体重平均值为52;7．10分 解： 矩估计为：210121)1()(21++=++=+⋅=+⎰a a x a a dx x a x X E a a 样本的一阶原点矩为：∑==ni i x n X 11所以有：XX a X a a --=⇒=++112ˆ21极大似然估计：∏∏==⋅+=+=ni i a ni ni an x a x a x x x f 1121)1(])1[(),,,(两边取对数：∑=++=ni i n x a a n x x f 11)ln()1ln(),,(ln两边对a 求偏导数：=∂∂afln ∑=++ni i x a n 1)ln(1=0 所以有：∑=--=ni ix na1)ln(1ˆ8．8分 解：由2222221)1(ααχσχ≤-≤-S n 得 2222)1(αχσS n -≥,22122)1(αχσ--≤S n所以σ的置信区间为：)11()1(222αχS n -,)11()1(2212αχ--S n 将12=n ,2.0=S 代入得 15.0,31.09．解：这是两正态总体均值差的区间估计问题;由题设知,2-n n 1)s -(n 1)s -(n s .05.01.9s 3.11s 172y 9.175x 6,n 5,n 21222211w 222121++========α，，，， 2分=, 4分 选取9=,则21μμ－置信度为的置信区间为： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++21w 21221w212n 1n 12)s -n (n t y -x ,n 1n 12)s -n (n t -y -x αα 8分 ＝,. 10分 注：置信区间写为开区间者不扣分; 10． 解：由于μ未知,故采用2222(1)~(1)n S n χχσ-=-作枢轴量 2分要求()1L P σσα≥=- 2分这等价于要求22()1L P σσα≥=-, 也即2222(1)(1)()1Ln S n S P ασσ--≤=- 2分而2212(1)((1))1n S P n αχασ--≤-=- 2分所以2212(1)(1)Ln S n αχσ--=-,故2221(1)(1)Ln S n ασχ--=- 1分 故σ的置信水平为1α-的置信下限为L σ=由于这里9n =,0.05α=,20.95(8)15.507χ=所以由样本算得ˆ 2.155L σ= 1分 即σ的置信水平为的置信下限为; 11． 解：写出似然函数221222()()2222(,)(2)ni i i n x x ni L eμμσσμσπσ=-----=∑== 4分取对数2222211ln (,)ln(2)()2nn ii L x μσπσμσ==---∑ 2分求偏导数,得似然方程221231ln 1()0ln 1()0n i i n i i L x L n x μμσμσσσ==∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+-=⎪∂⎩∑∑ 3分解似然方程得：ˆX μ=,ˆσ= 1分12．解：设第i 点出现的概率为i p ,1,,6i =101266:H p p p ====,1126:,,,H p p p 中至少有一个不等于161分采用统计量 221()ri i i i n np np χ=-=∑1分在本题中,6r =,0.05α=,20.95(5)11.07χ= 1分所以拒绝域为2{11.107}W χ=≥ 1分 算实际的2χ值,由于1612020i np =⨯=,所以22222621()(20)4(2020)(20)(20)2010i i i i n np x x x np χ=--+-+--===∑ 1分所以由题意得2(20)011.10710x -≤<时被原假设被接受即9.4630.54x <<,故x 取[10,30]之间的整数时, 2分 此骰子是均匀的的假设在显著性水平0.05α=下被接受;1分13. 解：“这几天包装是否正常”,即需要对这天包装的每袋食盐净重的期望与方差分别作假设检验1检验均值,总共6分0:1H μ=,1:1H μ≠ 选统计量,并确定其分布~(1)X t t n =-确定否定域21{||}{|| 2.306}W t t t α-=≥=≥统计量的观测值为0.1875x t ==因为21||0.1875 2.306t t α-=<=,所以接受0:1H μ=;2检验方差,总共6分220:0.02H σ≤,220:0.02H σ>选统计量222211()~(1)0.02nii XX n χχ==--∑确定否定域2221{(1)}{15.5}W n αχχχ-=≥-=≥ 统计量的观测值为222221180.032()20.480.020.02n i i x x χ=⨯=-==∑因为22120.4815.5(1)n αχχ-=>=-,所以拒绝220:0.02H σ≤32分结论：综合1与2可以认为,该天包装机工作是不正常的; 14．解：此时的似然函数为123123()(1,2,1)(1)(2)(1)L P X X X P X P X P X θ======== 2分即225()2(1)2(1)L θθθθθθθ=⨯-⨯=- 2分 ln ()ln 25ln ln(1)L θθθ=++- 1分ln ()511d L d θθθθ=-- 1分 令 ln ()0d L d θθ= 1分得θ的极大似然估计值5ˆ6θ=.1分15．解：1解：根据公式可得01ˆˆY X ββ=+其中 011ˆˆˆXYXX l lY X βββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 2分。

《概率论与数理统计》课程练习计算题

《概率论与数理统计》课程练习计算题
（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。
解：设事件 表示：“取到的产品是次品”；事件 表示：“取到的产品是第 家工厂生产的”（ ）。则 ，且 ， 两两互不相容，
（1）由全概率公式得
（2）由贝叶斯公式得
=
12．三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：
（2）取到的是黑球的概率。
解：设 分别表示：“取到的是黑球、红球、白球”（ =1，2，3），则问题（1）化为求 ；问题（2）化为求 。由题意 两两互不相容，所以，
（1） 。因此由条件概率公式得
（2）
9．已知工厂 生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：
4．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：
（1）至少取到一个正品的概率；
（2）第二次取到次品的概率；
（3）恰有一次取到次品的概率。
解：设 表示：“第 次取出的是正品”（ =1，2），则
（1）至少取到一个正品的概率
（2）第二次取到次品的概率为
（3）恰有一次取到次品的概率为
三、解答题
1．设对于事件 、 有 ， ， ，求 、 至少出现一个的概率。
解：由于 从而由性质4知， ，又由概率定义知 ，所以 ，从而由概率的加法公式得
2．设有10件产品，其中有3件次品,从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？
解：设 表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品”。则 。5件产品中恰有2件次品的取法共有 种，即 。于是所求概率为
/
3．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。求：

10-11_1__概率论与数理统计C__A卷__答案__

10-11_1__概率论与数理统计C__A卷__答案__

少学时一、填空题（每小题4分, 共20分）1、0.7. 2、2357(1)C p p -. 3、44 . 4、(8,)B p .5、14 . 二、单项选择题（每小题4分, 共20分）1、B. 2 D. 3、C. 4、B. 5、A.三、解答题 (本题10分) 设B A ,分别表示电池是甲，乙厂生产的；C 表示事件“取出的产品是次品”， 由题意：由题意：(())75.0=A P ， (())25.0=B P , ()02.0=A C P , ()04.0=B C P , （1） 由全概率公式得：由全概率公式得： ()()()()()B P B C P A P A C P C P ´+´=＝025.025.004.075.002.0=´+´ ……………………………………………………55分 （2） 由贝叶斯公式得：由贝叶斯公式得：()()()()()()4.0025.025.004.0=´=´==C P B P B C P C P BCP C B P (10)10分四、解答题(本题10分) 因为5(1)9P X ³=，故4(1)9P X <= 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-, 故得24(1),9p -= 即 1.3p = ……………………………………………………55分 从而从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ³=-==--=» (10)10分五、解答题 (本题10分 )()()()2ln Y F y P Y y P X y =£=-£=2y P X e -æö³ç÷èø21y P X e -æö=-<ç÷èø (6)6分 当0y £时 ()0Y F y =当0y >时 ()y F Y =()201y eX f x dx --ò=201y edx --ò=21y e --\ ()y f Y =()[]'y F Y =2120ye -ìïíïî 00y y >£ …………………………………………1010分 六、解答题 (本题 10分) (1) 由240()d e d 18x cf x x cx x +¥+¥--¥===òò得8c =. ....………………………………………………………………………………33分(2) 24()()d()8e d xE X xf x x x x x +¥+¥--¥==òò2240π8e d .4xx x +¥-==ò …………………………………………………66分 (3) 2222401()()d()8e .4x E X x f x x x x+¥+¥--¥==òò少学时故2221π4π()()[()]4416D XE X E X æö-=-=-=ç÷èø (10)10分 七、解答题 (本题 10分) 联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY的分布律，其分布律如下表：的分布律，其分布律如下表：X -1 0 1 P 38 28 38Y-1 0 1 P38 28 38XY -1 0 1 P284828……………………………………………………33分由期望定义易得E （X ）=E （Y ）=E （XY ）=0.从而E (XY )=E (X )·E (Y ),再由相关系数性质知ρXY =0,即X 与Y 的相关系数为0，从而X 和Y 是不相关的. (7)7分 又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=´¹==-=-从而X 与Y 不是相互独立的. (10)10分八、解答题 (本题 10分)（1）()()dy y x f x fXò+¥¥-=,＝1060xxdy -ìïíïîò 其它10££x ()610x x -ìïíïî＝ 其它10££x (2)2分 ()()dx y x f y f Y ò+¥¥-=,=1060y xdx -ìïíïîò 其它10££y()2310y ì-ïíïî＝ 其它10££y ............................................................44分 显然：()()(),X Y f x y f x f y ¹，\ X 与Y 相互不独立相互不独立 (6)6分 （2）()P Y X £11206yydy xdx -=òò()120312y dy=-ò＝34 .…………………………10分。

概率论与数理统计练习题及答案

概率论与数理统计练习题及答案

概率论与数理统计习题一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2<x<4}=＿＿＿ (A)0.8543 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.2543 2．设)4,1(~N X ，且6179.0)3.0(=Φ，6915.0)5.0(=Φ，则P{0<x<1.6}=＿＿＿＿ (A)0.3094 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.25433．设随机变量的概率密度21()01qxx f x x -⎧>=⎨≤⎩，则q=＿＿＿＿＿ (A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/24．事件A ，B 为对立事件，则＿＿＿＿＿不成立。

(A) ()0P AB = (B) ()P B A φ= (C) ()1P A B = (D) ()1P A B += 5．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现3点的概率为＿＿＿＿(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6 6．设(|)1P B A = ，则下列命题成立的是＿＿＿＿＿A ．B A ⊂ B ． A B ⊂ Ｃ.A B -=Φ Ｄ．0)(=-B A P7．设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为()F x 、()f x ，则下列选项中正确的是＿＿＿＿＿A ． 0()1F x ≤≤B ．0()1f x ≤≤ Ｃ．{}()P X x F x ==Ｄ．{}()P Xx f x ==8．设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本， 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿Ａ．4114i i X X ==∑ Ｂ．142X X μ+- Ｃ．42211()ii K XX σ==-∑Ｄ．4211()3i i S X X ==-∑9．设,A B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是＿＿＿＿＿ A ．()()P A B P A += B ．()()P AB P A =Ｃ. ()()|P B A P B = Ｄ． ()()()P B A P B P A -=- 10. 设()2~,,X N μσ那么当σ增大时，{}-P X μσ<=A ．增大B ．减少C ．不变D ．增减不定11． 设()()()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==⎡⎤⎣⎦分布且则＿＿＿ Ａ．1 B. 2 C ．3 D ．0 12．设 ()2~,X Nμσ，其中μ已知,2σ未知,123X , X ,X ,为其样本， 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿Ａ. 123X X X ++ Ｂ. {}123min X ,X ,X Ｃ.23i 2i 1X σ=∑ Ｄ．1X μ-13.对于事件,A B ，下列命题正确的是＿＿＿＿＿ A ．若,A B 互不相容，则.A 与B 也互不相容B ．若,A B 相容，则.A 与B 也相容Ｃ．若,A B 互不相容，则.A 与B 也相互独立 Ｄ．若A 与B 相互独立, 那么.A 与B 相互独立14.假设随机变量Ｘ的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ．若Ｘ与－Ｘ有相同的分布函数，则下列各式中正确的是＿＿＿＿＿A ．()F x ＝()F x -；B ．()F x ＝()F x --；C ．()f x ＝()f x -；D ．()f x ＝()f x --； 15若()~X t n ，那么2~X ＿＿＿＿A . (1,)F n ； Ｂ.(,1)F n ； Ｃ. 2()n χ； Ｄ. ()t n ．二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中）1．设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1)(x x f 则{}0.4P X >=2．设有7件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 3．设AB φ=，()0.3,()0.4,P A P B ==则=⋃)(B A P4．设2~(,)X N μσ~X5 .设A 、B 、C 、是三个随机事件。

概率论与数理统计C的习题集-填空与选择

概率论与数理统计C的习题集-填空与选择

概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

(完整版)概率论与数理统计习题集及答案

(完整版)概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。

《概率论与数理统计》习题第五章数理统计的基本概念

《概率论与数理统计》习题第五章数理统计的基本概念

第五章 数理统计的基本概念一. 填空题1. 设X 1, X 2, …, X n 为来自总体N(0, 2), 且随机变量)1(~)(221χ∑==ni iX C Y , 则常数C=___.解.∑=ni iX1~ N(0, n 2),)1,0(~1N n Xni iσ∑=所以21,1σσn c n c ==.2. 设X 1, X 2, X 3, X 4来自正态总体N(0, 22)的样本, 且243221)43()2(X X b X X a Y -+-=,则a = ______, b = ______时, Y 服从2分布, 自由度为______. 解. X 1－2X 2～N(0, 20), 3X 3－4X 4～N(0, 100))1,0(~20221N X X -, )1,0(~1004343N X X -201,201==a a ; 1001,1001==b b . Y 为自由度2的2分布.3. 设X 1, X 2, …, X n 来自总体2(n)的分布,则._____)(______,)(==X D X E解. 因为X 1, X 2, …, X n 来自总体2(n), 所以E(X i ) = n, D(X i ) = 2n (i = 1, 2, …, n),)(n X E = 22)()(221=⋅==∑=nnn nX D X D ni i二. 单项选择题1. 设X 1, X 2, …, X n 为来自总体N(0, 2)的样本,则样本二阶原点矩∑==n i i X n A 1221的方差为 (A)2 (B) n 2σ (C) n 42σ (D) n4σ 解. X 1, X 2, …, X n 来自总体N(0, 2), 所以,1)(),1(~)(222=σχσiiX E X 2)(2=σiX Dnn nn X D nX D A D ni ini i4242214212222))(()()(σσσσ=⋅===∑∑==. (C)是答案.2. 设X 1, X 2为来自正态总体N(,2)的样本, 则X 1 + X 2与X 1－X 2必 (A) 线性相关 (B) 不相关 (C) 相关但非线性相关 (D) 不独立 解. 假设 Y 1 = X 1 + X 2, Y 2 = X 1－X 2 所以 E(Y 2) = E(X 1)－E(X 2) = 0.cov(Y 1, Y 2) = E(Y 1Y 2)－E(Y 1)E(Y 2) = E(0)()()22212221=-=-X E X E X X . (B)是答案.3. 设X 服从正态分布N(0, 22), 而X 1, X 2, …, X 15为来自总体X 的简单随机样本, 则随机变量)(221521121021X X X X Y ++=所服从的分布为 (A) 2(15) (B) t(14) (C) F(10, 5) (D) F(1, 1)解.)10(~4221021χX X +, )5(~42215211χX X + 所以 )5,10(~204021521121021F X X X X ++++ , 即 )5,10(~)(221521121021F X X X X Y ++= (C)是答案.三. 计算题1. 设X 1, X 2, …, X 10为总体N(0, 0.32)的一个样本,求∑=>1012)44.1(i iXP .解. 因为X 1, X 2, …, X 10为总体N(0, 0.32)的一个样本, 所以)10(~3.0101222∑=i i X χ ()44.1(1012P X P i i=>∑=1.0)16)10(()09.044.13.0101222=>=>∑=i i P X χ 2. 从一正态总体中抽取容量为10的一个样本, 若有2的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上, 试求总体的标准差. 解. 因为总体X 服从N(,2),所以)1,0(~10/N X σμ-. 由02.0)4|(|=>-μX P 知 02.0)104|10/(|=>-σσμX P即 99.0)104(,01.0)104(=Φ=-Φσσ查表得.43.533.2104,33.2104===σσ3. 设总体X ～N(72, 100), 为使样本均值大于70的概率不小于0.95 , 问样本容量至少应取多大?解. 假设样本容量为n, 则)1,0(~1072),100,72(~N nX nN X -由 95.0)70(≥>X P 得P(n X 1072->95.0)107270≥-n 所以 0625.68,65.15,95.0)5(≥≥≤Φn nn.4. 设总体X 服从N(, 4), 样本(X 1, X 2, …, X n )来自X, X 为样本均值. 问样本容量至少应取多大才能使i. 1.0)|(|2≤-μX E ii. 95.0)1.0|(|2≥≤-μX P解. i. 1.04)(1)()|(|2≤===-nX D n X D X E μ 所以 n ≥ 40. ii. )1,0(~2),4,(~N nX nN X μμ-. 所以 P X P =≤-)1.0|(|μ(95.0)21.0|2|≥≤-nnX μ975.0)201(≥Φn , 查表得 ,96.1201≥n n ≥ 1537 5. 设∑==ni i X n X 11, 证明:i.∑=-ni iX12)(μ=∑=---ni i X n X X 122)()(μ;ii.∑∑==-=-ni ni i iX n X X X12122)()(.解. i.=-∑=ni iX12)(μ∑=-+-ni iX X X12)(μ=2)(12+-∑=ni iX X∑=+--ni i X X X 1))((μ∑=-ni X 12)(μ=2)(12+-∑=ni iX X∑=+--ni i X n X X 1))((μ2)(μ-X n=∑=---ni iX n X X122)()(μii.=-∑=ni i X X 12)(21121222)2(X n X X X X X X X ni i ni ini i i+-=+-∑∑∑====22122X n X n Xni i+-∑==212)(X n X ni i ∑=-。

试题答案概率论与数理统计

试题答案概率论与数理统计

试题答案概率论与数理统计It was last revised on January 2, 2021第三章历年考题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设二维随机变量（X，Y）的分布律为则P{X+Y=0}=（）A.0.2 答案：C2.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为则常数c=（ ）A.41B.21答案：A3．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 设p ij =P{X=i,Y=j}i,j=0,1，则下列各式中错误．．的是（ ） A ．p 00<p 01 B ．p 10<p 11 C ．p 00<p 11D ．p 10<p 01，答案：D4．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则P{X=Y}=（ ） A ． B ． C ． D ．答案：A5.设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=.;0y ,0x ,0,e Ae y 2x 其它>>⎪⎩⎪⎨⎧--则A=（ ）A.21B.1C.23答案：D6.设二维随机变量（X 、Y ）的联合分布为（ ）则P{XY=0}=（ ）A. 41 B.125C.43答案：C7．已知X ，Y 的联合概率分布如题6表所示F （x,y ）为其联合分布函数，则F （0，31）=（ ） A ．0 B ．121C ．61D ．41答案：D8．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧>>+-其它0,0)(y x e y x则P （X ≥Y ）=（ ） A ．41 B ．21C ．32D ．43 答案：B9．设随机变量X 与Y 独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别为41，43，则{}=-=1XY P （ ）A ．161B ．163C ．41D ．83答案：D10．设三维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=∞+),(x F （ ） A ．0 B ．)(x F XC ．)(y F YD ．1答案：B11.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y). 其联合概率分布为（ ）则F （0,1）= A.0.2 答案：B12.设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤+.,0;1y 0,2x 0),y x (k 其它则k=（ ）A.41B.31C.21D.32答案：B13．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则P{XY=2}=（ ）A ．51B ．103C ．21D ．53答案：C14．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为则当0≤y ≤1时，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度为f Y （ y ）= （ ）A ．x 21B ．2xC ．y 21D ．2y答案：D15．设随机变量X ，Y 相互独立，其联合分布为 则有（ ）A ．92,91==βαB ．91,92==βαC ．32,31==βαD ．31,32==βα答案：B 因为91,92==βα31)91(91}1{}2{}1,2{3131********αβα+=======----=+Y P X P Y X P 解方程组即得15. ．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-;,0,0,0,2),()2(其它y x ey x f y x 则P{X<Y}=（ ）A ．41B ．31C ．32D ．43 答案：B15. ．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=⎩⎨⎧>>+-其它0y ,0x e )y x (则P （X ≥Y ）=（ ）A ．41B ．21C ．32 D ．43 答案：B二、填空题（本大题共15小题，每空2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

概率论与数理统计自考题型

概率论与数理统计自考题型

概率论与数理统计自考题型一、选择题（每题3分，共30分）1. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则P(X ≤ μ)等于（）A. 0B. 0.5C. 1D. 取决于μ和σ的值。

答案：B。

解析：正态分布的图像关于x = μ对称，所以P(X ≤ μ) = 0.5。

2. 若事件A与B相互独立，P(A) = 0.4，P(B) = 0.5，则P(A∪B)等于（）A. 0.7B. 0.8C. 0.6D. 0.9。

答案：A。

解析：因为A与B相互独立，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.4 + 0.5 - 0.4×0.5 = 0.7。

3. 设离散型随机变量X的分布律为P(X = k)=ck，k = 1,2,3，则c的值为（）A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/3。

答案：A。

解析：根据离散型随机变量分布律的性质，所有概率之和为1，即c+2c+3c = 1，解得c = 1/6。

4. 对于二维随机变量(X,Y)，如果X与Y相互独立，则（）A. Cov(X,Y) = 0B. D(X + Y)=D(X)+D(Y)C. 以上两者都对D. 以上两者都不对。

答案：C。

解析：当X与Y相互独立时，Cov(X,Y) = 0，且D(X + Y)=D(X)+D(Y)。

5. 设总体X服从参数为λ的泊松分布，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则λ的矩估计量为（）A. XB. 1/XC. X²D. 1/X²。

答案：A。

解析：根据泊松分布的期望为λ，由矩估计法，用样本均值X估计总体的期望λ。

6. 样本方差S²是总体方差σ²的（）A. 无偏估计B. 有偏估计C. 极大似然估计D. 矩估计。

答案：A。

解析：样本方差S²是总体方差σ²的无偏估计。

7. 设总体X~N(μ,σ²)，其中μ未知，σ²已知，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则μ的置信区间为（）A. (X - zα/2(σ/√n),X + zα/2(σ/√n))B. (X - tα/2(s/√n),X + tα/2(s/√n))C. (X - zα/2(s/√n),X + zα/2(s/√n))D. (X - tα/2(σ/√n),X + tα/2(σ/√n))。

概率论与数理统计试题与答案完整版

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概率论与数理统计试题与答案HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分）1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。

2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若95)1(=≥X p ，则=≥)1(Y p 。

3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。

4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。

5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2χ的样本，则统计量∑==n1i i X Y 服从分布。

6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。

（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15分，每题3分）1、 若A 与自身独立，则（ ）(A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<<A P ； (D) 0)(=A P 或1)(=A P2、下列数列中，是概率分布的是（ ）(A) 4,3,2,1,0,15)(==x xx p ； (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==x x p ； (D) 5,4,3,2,1,251)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，则有（ ）(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=-(C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D4、设随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的增大，概率()σμ<-X P （ ）。

(A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，则下列结果错误．．的是（ ）。

概率论与数理统计计算题（含答案）

概率论与数理统计计算题（含答案）

概率论与数理统计计算题（含答案）概率论与数理统计计算题（含答案）计算题1.⼀个盒⼦中装有6只晶体管，其中2只是不合格品。

现作不放回抽样，接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1只是合格品，1只是不合格品；（3）⾄少有1只是合格品。

1-2,9-2.设甲，⼄，丙三个⼯⼚⽣产同⼀种产品，三个⼚的产量分别占总产量的20%，30%，50%，⽽每个⼯⼚的成品中的次品率分别为5%，4%，2%，如果从全部成品中抽取⼀件，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是甲，⼄，丙⼯⼚⽣产的概率。

3.设随机变量X 的分布函数为1(1), 0() 0, 0x x e x F x x -?-+>=?≤?，试求：（1）密度函数()f x ；（2）(1)P X ≥，(2)P X < 。

4.⼆维随机变量(,)X Y 只能取下列数组中的值：1(0,0),(1,1),(1,),(2,0)3--，且取这些组值的概率分别为1115,,,312612。

求这⼆维随机变量分布律，并写出关于X 和关于Y 的边缘分布律。

5. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，试求下列事件的概率：（1）其中恰好有⼀位精通英语；（2）其中恰好有两位精通英语；（3）其中有⼈精通英语。

6.某⼤型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100⼈服⽤了违禁药品。

在使⽤者中，假定有90⼈的药检呈阳性，⽽在未使⽤者中也有5⼈检查为阳性。

如果⼀个运动员的药检是阳性，则这名运动员确实使⽤违禁药品的概率是多少？ 7.设随机变量X 的密度函数为||(),x f x Ae x R -=∈，试求：（1）常数A ；（2）(01)P X << 。

8. 设⼆维随机变量(X ，Y)的分布律为求：(1)(X ，Y)关于X 的边缘分布律；(2)X+Y 的分布律．9．已知A B ?，()0.36P A =，()0.79P B =，求()P A ,()P A B -,()P B A -。

概率论与数理统计课后习题集及答案详解

概率论与数理统计课后习题集及答案详解

概率论与数理统计课后习题集及解答第一章 随机事件和概率一. 填空题1. 设A, B, C 为三个事件, 且=-=⋃⋃=⋃)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解.)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=-=)(C B A P ⋃⋃－)(B A P ⋃= 0.97－0.9 = 0.072. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______.解. }{合格品二件产品中有一件是不=A , }{二件都是不合格品=B511)()()()()|(2102621024=-===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: }{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是 +}{二件都是不合格品 所以B AB B A =⊃,; }{二件都是合格品=A 3. 随机地向半圆a x ax y (202-<<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为______. 解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则121)),((2==∈a kD Y X P π, k 为比例系数. 所以22ak π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4π的区域}πππ121)2141(2)),((22211+=+=⨯=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ⋃B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______.解. =+-+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3－0.6 = 0.13.01.04.0)()()(=-=-=AB P A P B A P .5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是________. 解. 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B. 由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.所以 P(AB) = P(A) + P(B)－P(A + B) = 0.5 + 0.65－0.85 = 0.3.6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________. 解. 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3). 则 P(A 1) = 0.9, P(A 2) = 0.8, P(A 3) = 0.7,)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-==++ =1－0.9×0.8×0.7=0.496.7. 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是________. 解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC.P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)－P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C) = 0.7×0.8 +0.7×0.9－0.7×0.8×0.9 = 0.686. 所以 P(电路断路) = 1－0.686 = 0.314.8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率______. 解. 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)=+⋅⋅⋅21336.04.07.0c +⋅⋅⋅6.04.07.02233c 334.07.0⋅++⋅⋅⋅⋅⋅2132134.06.07.03.0c c +⋅⋅⋅32134.07.03.0c 32134.03.07.0⋅⋅⋅c= 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096 = 0.43624.9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为41,31,51, 则此密码被译出的概率_____.解. 设A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则41)(,31)(,51)(===C P B P A P . P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) + P(ABC)= P(A) + P(B) + P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =53413151413141513151413151=⋅⋅+⋅-⋅-⋅-++.二．单项选择题.1. 以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 解. (D)是答案.2. 设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是(A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 解. ==++C B A A )C B A A(φ, 所以(D)是答案. 3. 设A, B 是任意二个事件, 则(A) P(A ⋃B)P(AB)≥P(A)P(B) (B) P(A ⋃B)P(AB)≤P(A)P(B) (C) P(A －B)P(B －A)≤P(A)P(B)－P(AB) (D)41)()(≥--A B P B A P . 解. P(A + B)P(AB)－P(A)P(B) = (P(A) + P(B)－P(AB))P(AB)－P(A)P(B) =－P(A)(P(B)－P(AB)) + P(AB)(P(B)－P(AB) =－(P(B)－P(AB))(P(A)－P(AB)) =－P(B －A)P(A －B) ≤ 0 所以(B)是答案 .4. 事件A 与B 相互独立的充要条件为(A) A + B = Ω (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = φ (D) P(A + B) = P(A) + P(B) 解. (B)是答案.5. 设A, B 为二个事件, 且P(AB) = 0, 则(A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0. 解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案. 6. 设A, B 为任意二个事件, 且A ⊂B, P(B) > 0, 则下列选项必然成立的是 (A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) ≥ P(A|B) 解. )()()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥==(当B = Ω时等式成立). (B)是答案.7. 已知 0 < P(B) < 1, 且P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B), 则下列选项必然成立的是 (A))B |P(A )B |P(A ]B |)A P[(A 2121+=+ (B) P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B)(C) P(A 1 +A 2) = P(A 1|B) +P(A 2|B)(D) P(B) = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)解. 由P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B)得到)()()()()(])[(2121B P B A P B P B A P B P B A A P +=+, 所以P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B). (B)是答案.三. 计算题1. 某厂生产的产品次品率为0.05, 每100个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 如果发现次品不多于1个, 则这批产品可以认为合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有1个次品)=2794.050100154995*********=+c cc c c2. 书架上按任意次序摆着15本教科书, 其中有5本是数学书, 从中随机地抽取3本, 至少有一本是数学书的概率.解. 假设A={至少有一本数学书}. A ={没有数学书}P(A ) =9124315310=c c , P(A) = 1－P(A ) = 91673. 全年级100名学生中有男生80名, 来自北京的20名中有男生12名. 免修英语的40名学生中有男生32名, 求出下列概率: i. 碰到男生情况不是北京男生的概率;ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率; iii. 碰到北京男生的概率;iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率; v. 碰到免修英语的男生的概率.解. 学生情况: 男生 女生 北京 12 8 免修英语 32 8 总数 80 20i. P(不是北京|男生) =20178068=ii. P(男生|北京学生) =532012=iii. P(北京男生) =10012iv. P(女生|非北京学生) =8012v. P(免修英语男生) =100324． 袋中有12个球, 其中9个是新的, 第一次比赛时从中取3个, 比赛后任放回袋中, 第二次比赛再从袋中任取3个球, 求: i. 第二次取出的球都是新球的概率;ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率.解. i. 设B i 表示第一次比赛抽到i 个新球(i = 0, 1, 2, 3). A 表示第二次比赛都是新球. 于是312339)(c c c B P i i i -=, 31239)|(c c B A P i i -=)()(1)()|()()(3603393713293823193933092312323123933930c c c c c c c c c c c c c c c c c B A P B P A P i i i i i i i +++===∑∑=--=146.0484007056)201843533656398411()220(12==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=ii. 215484007056)220(20184)()()|()|(2333=⨯⨯==A P B P B A P A B P5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有n 个白球, m 个红球, 乙袋中有N 个白球, M 个红球, 今从甲袋中任取一只放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率. 解. 球的情况: 白球 红球 甲袋 n m 乙袋 N M假设 A = {先从甲袋中任取一球为白球} B = {先从甲袋中任取一球为红球} C = {再从乙袋中任取一球为白球} P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)nm mM N N m n n M N N +⋅++++⋅+++=111 ))(1()1(n m M N NmN n +++++=第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎪⎭⎫⎝⎛-==-=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率:P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为ab = 216α, 539=α α249)3()1()3,1()2(==-===-===-=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z Pα723)1()3()1,3()2(==-===-====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +-+=++==⎰⎰∞+∞-πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ 其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时 0)(=x X ϕ 当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X x dy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++=服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.解.213161)1(,18)3(,9)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为3122 0 122 则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______.iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. ),4,2,0(!/)( ===-k k ec k X P kλλ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足(A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0 解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k ec k X P kλλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负.所以(B)是答案.3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y 解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ其它10≤≤x , Y ～⎩⎨⎧=01)(y ϕ其它10≤≤y . 所以(X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{m ax ()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ] 解. }{1}),{m in(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是 (A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D)y arctan 1π解. )2()2(}2{)()(y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B). 21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案.注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度: 当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时⎰⎰≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z xz y x e ze dx dy e e ==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数:))2,(m in(1))2,(m in()()(y X P y X P y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(m in(1)(=-=>-=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= ye y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= 0)()(1=≤=>-=y X P y X P于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.1310)()1(1===A P X P 1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P 1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====A P A A P A A P A A A P X P 1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P X Pii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …)iii.13)()1(1===A P X P 1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c c x c dx xc dx x3162|arcsin 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==-=-∈⎰-ππππx x dx X P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ⎰⎰∞--++-=-==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时 ⎰⎰∞--=-==x dt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ⎰⎰∞-===x x x tdt dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t tdt dt t x F x x ϕ当2 ≤ x 时 1)2()()(2110⎰⎰⎰∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== 0.4931.(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) =88.012.01)4931.0(13=-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c 7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布.解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ 其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 =54145-=⎰ππxdt x当 x > 9π时 1)()(65===⎰⎰∞-dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x 密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为5.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤=当 z ≤ 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时D 1z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219921811811)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=⎰⎰ 当z ≥ 1时⎰⎰=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧--=0)1(24),(y x y y x ϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解. i.⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x第三章 随机变量的数字特征一. 填空题1. 设随机变量X 与Y 相互独立, D(X) = 2, D(Y) = 4, D(2X －Y) = _______. 解. D(2X －Y) = 4D(X) + D(Y) = 122. 已知随机变量X ～N(－3, 1), Y ～N(2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X －2Y + 7, 则Z ～____. 解. 因为Z = X －2Y + 7, 所以Z 服从正态分布. E(Z) = E(X)－2E(Y) + 7 = 0. D(Z) = D(X －2Y + 7) = D(X) + 4D(Y) = 1+4 = 5. 所以Z ～N(0, 5)3. 投掷n 枚骰子, 则出现点数之和的数学期望______. 解. 假设X i 表示第i 颗骰子的点数(i = 1, 2, …, n). 则 E(X i ) = 27616612611=⋅++⋅+⋅(i = 1, 2, …, n) 又设∑==ni i X X 1, 则27)()()(11nX E X E X E ni i ni i ===∑∑== 4. 设离散型随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数, 如果在这些试验中事件发生的概率相同, 并且已知E(X) = 0.9, 则D(X) = ______. 解. ),2(~p B X , 所以E(X) = 0.9 = 2p. p = 0.45, q = 0.55 D(X) = 2pq = 2×0.45×0.55 = 0.495.5. 设随机变量X 在区间[－1, 2]上服从均匀分布, 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧-=101Y 000<=>X X X , 则方差D(Y) = _______.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=031)(x ϕ 其它21≤≤-xY因为 33)0()1(20==>==⎰dx X P Y P 0)0()0(====X P Y P3131)0()1(01==<=-=⎰-dx X P Y P于是 313132)(=-=Y E , 13132)(2=+=Y E , 98)]([)()(22=-=Y E Y E Y D6. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 且服从相同的两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010, 则∑==31i i X X 服从_______分布, E(X) = _______, D(X) = ________.解. X 服从B(3, 0.2). 所以E(X) = 3p = 3×0.2= 0.6, D(X) = 3pq = 3×0.2×0.8 = 0.487. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ～N(0, 1), Y 在[－1, 1]上服从均匀分布, 则),cov(Y X = _______.解. 因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以),cov(Y X = 0.8. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为:⎩⎨⎧=02)(x x ϕ 其它10≤≤x , ⎩⎨⎧=--0)()5(y e y ϕ 其它5>y , 则E(XY) = ________. 解. 322)()(1=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x x X E ϕ 6)()(5)5(=⋅==⎰⎰∞+--∞+∞-dy e y dy y y Y E y ϕ因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以E(XY) = E(X)E(Y) = 49. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1在[0, 6]服从均匀分布, X 2服从正态分布N(0, 22), X 3服从参数λ = 3的泊松分布, 记Y = X 1－2X 2 + 3X 3, 则D(Y) = ______. 解. )(9)(4)()32()(321321X D X D X D X X X D Y D ++=+-==4639441262=⨯+⨯+二. 单项选择题1. 设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X －Y , V = X + Y , 则U 和V 必然 (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 解. 因为X 和Y 同分布, 所以E(U) = E(X)－E(Y) = 0, E(U)E(V) = 0. 0)()()(22=-=Y E X E UV E .所以 cov(X,Y) = E(UV)－E(U)E(V) = 0. (D)是答案. 2. 已知X 和Y 的联合分布如下表所示, 则有(A) X 与Y 不独立 (B) X 与Y 独立 (C) X 与Y 不相关 (D) X 与Y 彼此独立且相关 解. P(X = 0) = 0.4, P(Y = 0) = 0.3.0.1 = P(X = 0, Y= 0) ≠ P(X = 0)×P(Y = 0). (A)是答案.3. 设离散型随机变量X 可能取值为: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, 且E(X) = 2.3, E(X 2) = 5.9, 则x 1, x 2, x 3所对应的概率为(A) p 1 = 0.1, p 2 = 0.2, p 3 = 0.7 (B) p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5 (C) p 1 = 0.3, p 2 = 0.5, p 3 = 0.2 (D) p 1 = 0.2, p 2 = 0.5, p 3 = 0.3解. 3.223)1(32)(212121332211=--=--++=++=p p p p p p p x p x p x X E 7.0221=+p p9.5)1(94)(21213232221212=--++=++=p p p p p x p x p x X E 1.35821=+p p解得 p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5. (B)是答案.4. 现有10张奖券, 其中8张为2元, 2张为5元, 今每人从中随机地无放回地抽取3张, 则此人抽得奖券的金额的数学期望(A) 6 (B) 12 (C) 7.8 (D) 9解. 假设X 表示随机地无放回地抽取3张, 抽得奖券的金额. X 的分布律为157)()6(31038====c c P X P 三张都是二元157),()9(3101228====c c c P X P 一张五元二张二元151),()9(3102218====c c c P X P 二张五元一张二元8.71511215791576)(=⋅+⋅+⋅=X E . (C)是答案. 5. 设随机变量X 和Y 服从正态分布, X ～N(μ, 42), Y ～N(μ, 52), 记P 1 =P{X ≤ μ－4}, P 2 = P{Y≥ μ + 5}, 则(A) 对任何μ, 都有P 1 = P 2 (B) 对任何实数μ, 都有P 1 < P 2 (C) 只有μ的个别值, 才有P 1 = P 2 (D) 对任何实数μ, 都有P 1 > P 2 解. P 1 = {X ≤ μ－4} =)1(1)1(14Φ-=-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-μX PP 2 = {Y ≥ μ + 5} =)1(115115Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-μμY P Y P(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数). 所以(A)是答案.6. 随机变量ξ = X + Y 与η = X －Y 不相关的充分必要条件为(A) E(X) = E(Y) (B) E(X 2)－E 2(X) = E(Y 2)－E 2(Y) (C) E(X 2) = E(Y 2) (D) E(X 2) + E 2(X) = E(Y 2) + E 2(Y) 解. cov(ξ, η) = E(ξη)－E(ξ)E(η)E(ξη) =)()()])([(22Y E X E Y X Y X E -=-+ E(ξ)E(η) = [E(X)+E(Y)][E(X)－E(Y)] = )()(22Y E X E - 所以(B)是答案.三. 计算题1. 设X 的分布律为1)1()(++==k ka a k X P , k = 0, 1, 2, …, a > 0, 试求E(X), D(X).解. ∑∑∑∞=+∞=+∞=⎪⎭⎫⎝⎛+=+===1111011)1()()(k k k k k k a a k a a ka k X kP X E令 22'2'1211201)1(1)(x x x x x x x kx x kxx f k k k k k k -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛===∑∑∑∞=∞=-∞=+ 2222)11()1()1(a aa a a a a f =+-+=+, 所以a a a X E =⋅=21)(.∑∑∑∞=+∞=+∞=+-+=+===11112022)1()11()1()()(k k kk k k k a a k k a a k k X P k X E∑∑∑∞=∞=+∞=+-+++=+-++=11111)1()1(11)1()1()1(k kkk k k k k k a a a k k a a a k a a k k 令 3''2''1111)1(21)1()1()(x x x x x x x kx k x kxk x f k k k k k k-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=∑∑∑∞=+∞=-∞= 23)1(2)11(12)1(a a a a a aa a f +=+-+=+,所以2222)1(211)(a a a a a aX E +=-+⋅+=.222222)]([)()(a a a a a X E X E X D +=-+=-=.2. 设随机变量X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0cos 2)(2xx πϕ 其它2||π≤x , 求E(X), D(X).解. 0cos 2)()(222===⎰⎰-∞+∞-πππϕxdx xdx x x X E⎰-=-=222222cos 2)]([)()(πππxdx x X E X E X D211222cos 122222-=+=⎰πππdx x x 3.求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2)(sin Y X E π. 解. 2)(sinY X +π的分布律为 25.015.0)1(40.0145.002)(sin =⨯-+⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Y X E π 4. 一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示的时间相等, 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求: i. X 的概率分布, ii. ⎪⎭⎫⎝⎛+XE 11 解. 假设X 为该汽车首次遇到红灯已通过的路口数P(X = 0) = P{第一个路口为红灯} =2P(X = 1) = P{第一个路口为绿灯, 第二个路口为红灯} =2212121=⋅ P(X = 0) = P{第一,二路口为绿灯, 第三个路口为红灯} =321P(X = 0) = P{第一, 二, 三路口为绿灯} =3219667214121312121211111332=⋅+⋅+⋅+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+X E 5. 设(X, Y)的分布密度⎩⎨⎧=+-04),()(22y xxye y x ϕ其它0,0>>y x求)(22Y X E +. 解. ⎰⎰⎰⎰>>+-∞+∞-∞+∞-+=+=+00)(222222224),()(y x y xdxdy xye y x dxdy y x y x Y X E ϕ434sin cos 02202πθθθπ=⋅⋅⋅⋅=⎰⎰∞+-rdr e r r d r 6. 在长为l 的线段上任选两点, 求两点间距离的数学期望与方差.解. 假设X, Y 为线段上的两点. 则它们都服从[0, l ]上的均匀分布, 且它们相互独立.X ～⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l x ϕ 其它l x ≤≤0, Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l y ϕ 其它l y ≤≤0(X, Y)的联合分布为⎪⎩⎪⎨⎧=01)(2l x ϕ 其它l y x ≤≤,0.又设Z = |X －Y|, D 1={(x, y): x > y, 0 ≤ x, y ≤ l }, D 2={(x, y): x ≤ y, 0 ≤ x, y ≤ l }⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-=∞+∞-∞+∞-21221)(1)(),(||)(D D dxdy l x y dxdy l y x dxdy y x y x Z E ϕ⎰⎰⎰⎰-+-=l y lxdy dx x y l dx dy y x l2002])([1])([13212122022ldy y l dx x ll l=+=⎰⎰ 6)(1),()()(2002222l dxdy y x ldxdy y x y x Z E ly lx =-=-=⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤≤≤≤ϕ 1896)]([)()(22222l l l Z E Z E Z D =-=-=7. 设随机变量X 的分布密度为)(,21)(||+∞<<-∞=--x e x x μϕ, 求E(X), D(X). 解. ⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞---∞+∞-+-===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||||)(2121)()(μμϕμ=⎰∞+∞--dt te t ||21+μμμ==⎰⎰∞+-∞+∞--0||21dt e dt e tt⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞---∞+∞-+-===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||2||222)(2121)()(μμϕμ=⎰∞+-02dt e t t+20022μμμ+==⎰⎰∞+-∞+-dt e dt e t t所以 22)]([)()(2222=-+=-=μμX E X E X D8. 设(X, Y)的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧=01),(πϕy x 其它122≤+y x , 求E(X), D(Y), ρ(X, Y).解. 01),()(122===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-≤+y x xdxdy dxdy y x x X E πϕ01),()(122===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-≤+y x ydxdy dxdy y x y Y E πϕ41cos 11),()(20132122222====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+πθθππϕdr r d dxdy x dxdy y x x X E y x 41sin 11),()(20132122222====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+πθθππϕdr r d dxdy y dxdy y x y Y E y x 01),()(122===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+y x xydxdy dxdy y x xy XY E πϕ41)]([)()(22=-=X E X E X D , 41)]([)()(22=-=Y E Y E Y D0)()()()()(=-=Y D X D Y E X E XY E XY ρ.9. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障, 可获利润10万元, 发生一次故障仍可获利润5万元; 发生二次故障所获利润0元; 发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少? 解. 假设X 表示一周内发生故障的天数. 则X ～B(5, 0.8)33.0)8.0()0(5===X P , 41.0)8.0(2.05)1(4=⨯⨯==X P20.0)8.0(2.0)2(3225=⨯⨯==c X P , 06.020.041.033.01)3(=---=≥X P又设YE(Y) = 10×0.33 + 5×0.41 + 0×0.20 + (－2)×0.06 = 5.23(万元)10. 两台相互独立的自动记录仪, 每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布; 若先开动其中的一台, 当其发生故障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度)(t f 、数学期望和方差.解. 假设X 、Y 分别表示第一、二台记录仪的无故障工作时间, 则X 、Y 的密度函数如下:⎩⎨⎧<≥=-05)(~,5x x e x f Y X xX 、Y 相互独立, 且 T = X + Y .X 、Y 的联合密度: ⎩⎨⎧≥≥=+-,00,0,25),()(5y x e y x f y x关于T 的分布函数: ⎰⎰≤+=≤+=≤=ty x T dxdy y x f t Y X P t T P t F ),(}{}{)(当 0<t 时⎰⎰⎰⎰≤+≤+===≤+=≤=ty x ty x T dxdy dxdy y x f t Y X P t T P t F 00),(}{}{)(当 0≥t 时⎰⎰⎰⎰≥≥≤++-≤+==≤+=≤=0,0)(525),(}{}{)(y x t y x y x ty x T dxdy edxdy y x f t Y X P t T P t Ft t tx t y x x t y t x te e dx e e dy e dx e 550055050551|)(525----------=-==⎰⎰⎰所以 ⎩⎨⎧<≥--=--0,00,51)(55t t te e t F t t T所以T 的概率密度: ⎩⎨⎧<≥==-0,00,25)]'([)(5t t e t t F t f t T T 所以 ⎰⎰∞+∞-∞+-===5225)()(052dt e t dt t f t T E t T 所以⎰⎰∞+∞-∞+-=-=-=-=25225425)52()()]([)()(0532222dt e t dt t f t T E T E T D tT第四章 大数定律和中心极限定理一. 填空题1. 设Y n 是n 次伯努利试验中事件A 出现的次数, p 为A 在每次试验中出现的概率, 则对任意 ε > 0, 有=⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n __________. 解. =⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n 1－011||lim =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∞→εp n Y P n n2. 设随机变量X 和Y 的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式P(|X －Y| ≥ 6) ≤ _______. 解. E(X －Y) = E(X)－E(Y) = 2－2 = 0 D(X －Y) = D(X) + D(Y)－)()(2Y D X D XY ρ= 1 + 4－2×0.5×1×2 = 3所以 1213636)()6|(|2==-≤≥-Y X D Y X P二. 选择题1. 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立, n n X X X S +++= 21, 则根据列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理, n S 近似服从正态分布, 只要n X X X ,,,21 ( A ) 有相同的数学期望 ( B ) 有相同的方差( C ) 服从同一指数分布 ( D ) 服从同一离散型分布解. 列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理要求n X X X ,,,21 既有相同的数学期望, 又有相同的方差, 因此( A ) 、( B )、 ( D )都不是答案, ( C )为答案.三. 计算题1. 某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.解. 假设X 表示400台机器中发生故障的台数, 所以X ～B(400, 0.02) 由棣莫佛－拉普拉斯定理:。

(完整版)《概率论与数理统计》课程练习计算题

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（3）至少取到一件次品的概率
6．一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是0.6，乙机床和丙机床需要照看的概率分别是0.5和0.8。求在一小时中，
（1）没有一台机床需要照看的概率；
（2）至少有一台机床不需要照看的概率。
解：设 表示：“没有一台机床需要照看”； 表示：“至少有一台机床不需要照看“； 表示：“第 台机床需要照看”（ =1，2，3）。则 ； 。
16．甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：( 1 )敌机被击中；（2）甲击中乙击不中；（3）乙击中甲击不中。
解：设事件 表示：“甲击中敌机”；事件 表示：“乙击中敌机”；事件 表示：“敌机被击中”。则
（1）
（2）
（3）
17．已知 ， ， ，求 。
/
3．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。求：
（1）第二次取出的是次品的概率；
（2）两次都取到正品的概率；
（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。
解：设 表示：“第 次取出的是正品”（ =1，2），则
（1）第二次取到次品的概率为
（2）两次都取到正品的概率为
（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为
三、解答题
1．设对于事件 、 有 ， ， ，求 、 至少出现一个的概率。
解：由于 从而由性质4知， ，又由概率定义知 ，所以 ，从而由概率的加法公式得
2．设有10件产品，其中有3件次品,从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？
解：设 表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品”。则 。5件产品中恰有2件次品的取法共有 种，即 。于是所求概率为
5．一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案一、单选题1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．(A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 21,21,21,21- (D) 161,81,41,212. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．(A) 41414121(B)161814121(C)1631614121 (D)81834121-3. 设连续型随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=,,0,10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）．(A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 21)21(=<X P (D) 21)21(=>X P4. 若)(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成立．(A) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤⎰=bax x F b d )()(C) X a P <(≤⎰=bax x f b d )() (D) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x f b d )()5. 设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有X a P <(≤=)b （ ）． (A)⎰bax x F d )( (B)⎰bax x f d )((C) )()(a f b f - (D) )()(b F a F -6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．7. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.04.03.01.03210~X ，则=<)2(X P （ ）． (A) 0.1 (B) 0.4 (C) 0.3 (D) 0.28. 设)1,0(~N X ，Φ)(x 是X 的分布函数，则下列式子不成立的是（ ）．(A) Φ5.0)0(= (B) Φ+-)(x Φ1)(=x (C) Φ=-)(a Φ)(a (D) 2)(=<a x P Φ1)(-a9. 下列数组中，不能作为随机变量分布列的是（ ）．（A ）61,61,31,31 (B) 104,103,102,101 (C) 12141818,,, (D) 131619112,,,10. 若随机变量)1,0(~N X ，则~23-=X Y （ ）．(A) )3,2(-N (B) )3,4(-N (C) )3,4(2-N (D) )3,2(2-N11. 随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则有=)()(X E X D （ ）． (A) n (B) p (C) 1- p (D)p-1112. 如果随机变量X B ~(,.)1003，则E X D X (),()分别为（ ）．(A) E X D X (),().==321(B) 9.0)(,3)(==X D X E(C) E X D X ().,()==033 (D) E X D X ().,().==032113. 设),(~p n B X ，2.1)(,2)(==X D X E ，则p n ,分别是（ ）．(A) 4.0,5 (B) 2.0,10 (C) 5.0,4 (D) 25.0,814. 设),(~p n B X ，且6.3)(,6)(==X D X E ，则=n （ ）．(A) 30 (B) 20(C) 15 (D) 1015. 设)10,50(~2N X ，则随机变量（ ）~)1,0(N .(A)10050-X (B) 1050-X (C) 50100-X (D) 5010-X16. 对于随机事件A B ,，下列运算公式（ ）成立．(A) )()()(B P A P B A P +=+ (B) )()()(B P A P AB P =(C) )()()(A B P B P AB P = (D) )()()()(AB P B P A P B A P -+=+17. 下列事件运算关系正确的是（ ）．(A) A B BA B += (B) A B BA B += (C) A B BA B += (D) B B -=118. 设A ，B 为两个任意事件，那么与事件B A B A B A ++相等的事件是（）．(A) AB (B) B A + (C) A (D) B19. 设A B ,为随机事件，A 与B 不同时发生用事件的运算表示为（ ）．(A) A B + (B) A B + (C) AB AB + (D) A B20. 若随机事件A ,B 满足AB =∅，则结论（ ）成立． (A) A 与B 是对立事件 (B) A 与B 相互独立(C) A 与B 互不相容 (D) A 与B 互不相容21. 甲、乙二人射击，A B ,分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（ ）的事件．(A) 二人都没射中 (B) 至少有一人没射中 (C) 两人都射中 (D) 至少有一人射中22. 若事件A B ,的概率为6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，则A 与B 一定（ ）．(A) 相互对立 (B) 相互独立 (C) 互不相容 (D) 相容23. 设A ，B 为两个任意事件，则P (A +B ) =（ ）．(A) P (A ) + P (B ) (B) P (A ) + P (B ) - P (A )P (B ) (C) P (A ) + P (B ) - P (AB ) (D) P (AB ) – [P (A ) + P (B ) ]24. 对任意两个任意事件A B ,，等式（ ）成立．(A) P AB P A P B ()()()= (B) P A B P A P B ()()()+=+ (C) P A B P A P B ()()(())=≠0 (D) P AB P A P B A P A ()()()(())=≠025. 设A ，B 是两个任意事件，则下列等式中（ ）是不正确的．(A) )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 相互独立 (B) )()()(B A P B P AB P =，其中0)(≠B P (C) )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 (D) )()()(A B P A P AB P =，其中0)(≠A P26. 若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ ）． (A) P AB P A P B ()()()= (B) P B P A ()()=-1(C) P A P A B ()()= (D) P A B P A P B ()()()+=+27. 设A ，B 为两个任意事件，则下列等式成立的是（ ）.(A) B A B A +=+ (B) B A AB ⋅= (C) B A B B A +=+ (D) B A B B A +=+28. 设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（ ）．(A) )()()(B P A P B A P -=- (B) )()()(B P A P B A P +=+ (C) )()()(B P A P B A P +=+ (D) )()()(AB P A P B A P -=-29. 甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，则甲、乙两人同时考上大学的概率为（ ）.(A) 0.56 (B) 0.50 (C) 0.75 (D) 0.9430. 若A B ,满足（ ），则A 与B 是对立事件．(A) 1)(=+B A P (B) A B U AB +==∅, (C) P A B P A P B ()()()+=+ (D) P AB P A P B ()()()=31. 若A 与B 相互独立，则等式（ ）成立．(A) P A B P A P B ()()()+=+ (B) P AB P A ()()=(C) P A B P A ()()= (D) P AB P A P B ()()()=32. 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN （2σ已知）的一个样本，按给定的显著性水平α检验0H ：0μμ=（已知）；1H ：0μμ≠时，判断是否接受0H 与（ ）有关. (A) 样本值，显著水平α (B) 样本值，样本容量(C) 样本容量n ，显著水平α (D) 样本值，样本容量n ，显著水平α33. 假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（ ）． (A) 有可能都增大 (B) 有可能都减小(C) 有可能都不变 (D) 一定一个增大，一个减小34. 从正态总体),(2σμN 中随机抽取容量为n 的样本，检验假设0H ：,0μμ=1H ：0μμ≠．若用t 检验法，选用统计量t ，则在显著性水平α下的拒绝域为（ ）． (A) )1(-<n t t α (B) t ≥)1(1--n t α (C) )1(->n t t α (D) )1(1--<-n t t α35. 在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（ ）．(A) 已知方差，检验均值 (B) 未知方差，检验均值 (C) 已知均值，检验方差 (D) 未知均值，检验方差36. 对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的问题是（ ）．(A) 已知方差，检验均值 (B) 未知方差，检验均值 (C) 已知均值，检验方差 (D) 未知均值，检验方差37. 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN 的一个样本，2σ是已知参数，μ是未知参数，记∑==ni i x n x 11，函数)(x Φ表示标准正态分布)1,0(N 的分布函数，975.0)96.1(=Φ，900.0)28.1(=Φ，则μ的置信水平为0.95的置信区间为（ ）.(A) （x －0.975n σ，x +0.975nσ） (B) （x －1.96n σ，x +1.96n σ）(C) （x －1.28nσ，x +1.28nσ） (D) （x －0.90nσ，x +0.90nσ）38. 设321,,x x x 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则μ的无偏估计是（ ）．(A)3321x x x -+ (B) 321x x x -+(C) 321x x x ++ (D) 321x x x --39. 设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计．(A) 321x x x ++ (B)321525252x x x ++ (C) 321515151x x x ++ (D) 321535151x x x ++40. 设21,x x 是取自正态总体)1,(μN 的容量为2的样本，其中μ为未知参数，以下关于μ的估计中，只有（ ）才是μ的无偏估计.(A) 213432x x + (B) 214241x x + (C) 214143x x - (D)215352x x +41. 设总体X 的均值μ与方差2σ都存在，且均为未知参数，而n x x x ,,,21 是该总体的一个样本，记∑==ni i x n x 11，则总体方差2σ的矩估计为（ ）.(A) x (B) ∑=-ni i x n 12)(1μ(C) ∑=-n i i x x n 12)(1 (D) ∑=n i i x n 12142. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未知）的样本，则（ ）是统计量．(A) 1x (B) μ+x (C)221σx (D)1x μ43. 对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，∑==3131i i X X ，则下列各式中（ ）不是统计量． （A ） X (B)∑=31i iX(C) ∑=-312)(31i i X μ (D) ∑=-312)(31i i X X44. 设X 是连续型随机变量，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=],,1(,0],,1(,ln )(b x b x x x f 则常数b =（ ）.(A) e (B) e + 1 (C) e – 1 (D) e 245. 随机变量)21,3(~B X ，则X P (≤=)2（ ）．(A) 0 (B) 81(C)21 (D) 8746. 设),2(~2σN X ，已知2(P ≤X ≤4.0)4=，则X P (≤=)0（ ）.(A) 0.4 (B) 0.3 (C) 0.2 (D) 0.147. 已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（ ）．(A) 2,2-==b a (B) 1,2-=-=b a (C) 1,21-==b a (D) 2,21==b a48. 设随机变量X 的密度函数为f x ()，则E X ()2=（ ）．(A) xf x x ()-∞+∞⎰d (B)x x f x d )(2⎰∞+∞-(C)x x xf d )(2⎰∞+∞- (D)(())()x E X f x x --∞+∞⎰2d49. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，则等式（ ）成立．(A) )]([)(X E X E X D -= (B) 22)]([)()(X E X E X D += (C) )()(2X E X D = (D) 22)]([)()(X E X E X D -=50. 设随机变量X 服从二项分布B (n , p )，已知E (X )=2.4, D (X )=1.44，则（ ）． (A) n = 8, p =0.3 (B) n = 6, p =0.6 (C) n = 6, p =0.4 (D) n = 24, p =0.1二、证明题1. 试证：已知事件A ,B 的概率分别为P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.6，P (B A +) = 0.1，则P (AB ) =0．2. 试证：已知事件A ,B 相互独立，则)()(1)(B P A P B A P -=+．3. 已知事件A ,B ,C 相互独立，试证)(B A +与C 相互独立.4. 设事件A ，B 的概率分别为21)(=A P ，32)(=B P ，试证：A 与B 是相容的.5. 设随机事件A ,B 相互独立，试证：B A ,也相互独立．6. 设A ,B 为随机事件，试证：)()()(AB P A P B A P -=-．7. 设随机事件A ,B 满足AB =∅，试证：P A B P B ()()+=-1．8. 设A ,B 为随机事件，试证：P A P A B P AB ()()()=-+．9. 设B A ,是随机事件，试证：)()()()(AB P B A P B A P B A P ++=+．10. 已知随机事件A ,B 满足A B ⊃，试证：)()()(B P A P B A P -=-．三、计算题1. 设B A ,是两个随机事件，已知5.0)(=A P ， 4.0)(=A B P ，求)(B A P .2. 某种产品有80%是正品，用某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是3%，次品被误定为正品的概率是2%，设A 表示一产品经检查被定为正品，B 表示一产品确为正品，求P (A ).3. 某单位同时装有两种报警系统A 与B ，每种系统独立使用时，其有效概率9.0)(=A P ，95.0)(=B P ，在A 有效的条件下B 有效的概率为97.0)(=A B P ，求)(B A P +.4. 设A , B 是两个独立的随机事件，已知P (A ) = 0.4，P (B ) = 0.7，求A 与B 只有一个发生的概率.5. 设事件A ，B 相互独立，已知6.0)(=A P ，8.0)(=B P ，求A 与B 只有一个发生的概率.6. 假设B A ,为两事件，已知4.0)(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P ，求)(B A P +．7. 设随机变量)2,3(~2N X ，求概率X P <-3(≤)5 (已知Φ3841.0)1(=，Φ7998.0)3(=φ)．8. 设A , B 是两个随机事件，已知P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，P (A B )=0.2，求)(B A P .9. 从大批发芽率为8.0的种子中，任取4粒，问（1）4粒中恰有一粒发芽的概率是多少？（2）至少有1粒种子发芽的概率是多少？10. 已知21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，求)(B A P +．11. 已知4.0)(=A P ，8.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，求P B A ().12. 已知7.0)(=A P ，3.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，求)(B A P ．13. 已知P (B ) = 0.6，)(B A P =0.2，求)(AB P ．14. 设随机变量X ~ N （3，4）．求 P （1< X < 7）(Φ3841.0)1(=，Φ2977.0)2(=)．15. 设)5.0,3(~2N X ，求2(P ≤X ≤)6.3.已知Φ9884.0)2.1(=，2977.0)2(=Φ.16. 设B A ,是两个随机事件，已知4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，45.0)(=A B P ，求)(B A P +．17.已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为0.03，第二道工序的次品率为0.01，两道工序的次品率彼此无关，求这批零件的合格率.18.已知袋中有3个白球7个黑球，从中有放回地抽取3次，每次取1个，试求⑴恰有2个白球的概率；⑵有白球的概率.19. 268-16.某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运动员投篮3次，⑴求投中篮框不少于2次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率．20.某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.9，该运动员投篮3次，⑴求投中篮框不少于2次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率．21.某气象站天气预报的准确率为70%，在4次预报中，求⑴恰有3次准确的概率；⑵至少1次准确的概率.22.已知某批产品的次品率为0.1，在这批产品中有放回地抽取4次，每次抽取一件，试求⑴有次品的概率；⑵恰有两件次品的概率.23.某射手射击一次命中靶心的概率是08.，该射手连续射击5次，求：⑴命中靶心的概率；⑵至少4次命中靶心的概率．24.设箱中有3个白球2个黑球，从中依次不放回地取出3球，求第3次才取到黑球的概率.25.一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球．今从中有放回地抽取，每次取1个，共取5次．求⑴恰有2次取到黑球的概率；⑵至少有1次取到白球的概率.26.有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.85和0.75，在这两批种子中各随机取一粒，求至少有一粒发芽的概率.27.机械零件的加工由甲、乙两道工序完成，甲工序的次品率是0.01，乙工序的次品率是0.02，两道工序的生产彼此无关，求生产的产品是合格品的概率.28.一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是黑球的概率.29. 两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。

概率论与数理统计练习册参考答案

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概率论与数理统计练习册 参考答案第1章 概率论的基本概念 基础练习 1.11、C2、C3、D4、A B C ++5、13{|02}42x x x ≤<≤<或，{}12/1|<<x x ，Ω6、{3}，{1,2,4,5,6,7,8,9,10}，{1,2,6,7,8,9,10}，{1,2,3,6,7,8,9,10}7、（1) Ω={正，正，正，正，正，次}，A ={次，正}（2）Ω={正正，正反，反正，反反}，A ={正正，反反}，B={正正，正反}（3） 22{(,)|1}x y x y Ω=+≤,22{(,)|10}A x y x y x =+<<且 （4）Ω={白，白，黑，黑，黑，红，红，红，红}，A={白}，B={黑} 8、（1)123A A A (2) 123123123A A A A A A A A A ++ (3)123A A A ++ (4) 123123123123A A A A A A A A A A A A +++ (5) 123123A A A A A A +9、（1）不正确 （2）不正确 （3）不正确 （4）正确 （5） 正确 （6）正确（7）正确 （8）正确10、（1）原式=()()()A B AB A B AB A B A B B -==+= （2）原式=()()A A B B A B A AB BA BB A +++=+++= （3）原式=()AB AB =∅11、证明：左边=()AAB B A A B B AB B A B +=++=+=+=右边 1.21、C2、B3、B4、0.85、0.256、0.37、2226C C 8、0.081 9、2628C C10、3()()()()()()()()4P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+=11、解：设,,A B C 分别表示“100人中数学，物理，化学不及格的人数” 则{10},{9},{8}A B C ===，{5},{4},{4},{2}AB AC BC ABC ====100()84ABC A B C =-++=12、解：设A 表示“抽取3个球中至少有2个白球”21343437()C C C P A C +=13、解：（1）设A 表示“10件全是合格品”，则109510100()C P A C = (2) 设B 表示“10件中恰有2件次品”，则8295510100()C C P B C = 14、解：（1）设A 表示“五人生日都在星期日”，51()7P A =（2）设B 表示“五人生日都不在星期日”， 556()7P B = （3）设C 表示“五人生日不都在星期日”，55516()177P C =-- 15、解：{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤设A 表示“两人能会到面”，则1{(,)|}3A x y x y =-≤， 所以5()9P A =1.31、0.8，0.252、0.63、0.074、23 5、0.56、注：加入条件()0.4P B =解：()()0.1P AB P A ==，()()0.4P A B P B +==()()0.9P A B P AB +==，()(|)0.25()P AB P A B P B ==7、解：设A 表示"13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”则5332131313131352()C C C C P A C =，8、解：设123,,A A A 分别表示“零件由甲，乙，丙厂生产”，B 表示“零件时次品” 则112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.050.40.040.40.030.036=⋅+⋅+⋅=9、解：设123,,A A A 分别表示“甲，乙，丙炮射中敌机”， 123,,B B B 分别表示“飞机中一门，二门，三门炮”，C 表示“飞机坠毁”。

(完整版)概率论与数理统计练习题附答案详解

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第一章《随机事件及概率》练习题一、单项选择题1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则一定有（ ）（A ）()1()P A P B =-； （B ）(|)()P A B P A =；（C ）(|)1P A B =； （D ）(|)1P A B =。

2、设事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（ ）一定成立 （A ）(|)1()P A B P A =-； （B ）(|)0P A B =；（C ）()1()P A P B =-； （D ）(|)()P A B P B =。

3、设事件A 与B 满足P (A )＞0，P (B )＞0，下面条件（ ）成立时，事件A 与B 一定独立（A ）()()()P AB P A P B =； （B ）()()()P A B P A P B =U ；（C ）(|)()P A B P B =； （D ）(|)()P A B P A =。

4、设事件A 和B 有关系B A ⊂，则下列等式中正确的是（ ）（A ）()()P AB P A =； （B ）()()P A B P A =U ；（C ）(|)()P B A P B =； （D ）()()()P B A P B P A -=-。

5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ）A 与B 互不相容； （B ）A 与B 相容；（C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()P A B P A -=。

6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ）()()()P A B P A P B =+U ； （B ）()()()P A B P A P B ≠+U ；（C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()()P AB P A P B =。

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一、概率公式的题目1、已知()()()0.3,0.4,0.5,P A P B P AB === 求().P B A B ⋃解：()()()()()()()()0.70.510.70.60.54P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --⋃====+-⋃+-2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求().P A A B ⋃解：()()()()()()()0.220.70.29P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ⎡⎤⋃⎣⎦⋃====+⋃+-。

3、已知随机变量(1)X P :，即X 有概率分布律{}1(0,1,2)!e P X k k k -===L ，并记事件{}{}2,1A X B X =≥=<。

求：（1）()P A B ⋃； （2） ()P A B -； （3） ()P B A 。

解：（1）()(){}{}111()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -⋃=-⋃=-=-<≥=-==-；（2）(){}{}{}{}1()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==-（3）()()(){}{}{}{}{}111,201.20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<======<=+= 5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统,A B ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A 为0.92，系统B 为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求：（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。

解：设=A “系统A 有效”,=B “系统B 有效”,()()()0.92,0.93,0.85P A P B P B A ===,()()()()()()()()()()1.0.988P A B P A P B P AB P A P AB P A P A P B A ⋃=+-=+=+=()()()()()()()()()()()0.070.080.152.0.8290.07P ABP B P A P B A P B P AB P A B P B P B P B ---⨯===== 6、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为415，刮风（记作事件B ）的概率为715，既刮风又下雨的概率为110，求()()()(1);(2);(3)P A B P B A P A B ⋃。

解：()()()1310(1)71415P AB P A B P B ===；()()()1310(2)4815P AB P B A P A ===()()()()47119(3)15151030P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=。

7.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 8. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯9.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯10.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7二、已知密度（函数）求概率的题目1、某批晶体管的使用寿命X(小时)的密度函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥=1000100100)(2x x x x f ，　，　，任取其中3只，求使用最初150小时内，无一晶体管损坏的概率。

解：任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为设Y 为任取的5只晶体管中使用寿命超过150小时的晶体管数，则)32,3(~B Y .故有 2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城市每天耗电率（即每天耗电量/百万瓦小时）是一个随机变量X ，它的分布密度为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他0101122x x x x f ，若每天供电量为80万千瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？解：每天供电量80万千瓦小时，所以供给耗电率为：80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8，供电量不够需要即实际耗电率大于供给耗电率。

所以{}()()1120.80.80.81210.0272P X f x dx x x dx >==-=⎰⎰。

令Y 表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。

则)32,5(~B Y ，{}24323224311132511)31()32()31(1)1()0(1)2(1)2(54155=-=⨯+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅+-==+=-=<-=≥C Y P Y P Y P Y P三、分布函数、密度函数的题目1、设随机变量X 的分布函数为0()arcsin1x a x F x A B a x aa x a≤-⎧⎪⎪=+-<≤⎨⎪>⎪⎩，(1) 求系数A ，B ； (2) 求22aa P X ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； (3) 求X 的分布密度。

32100100)()150(1501502150=-===>=∞+∞+∞+⎰⎰ xdx x dx x f X P p 278)31()32()3(0333=⋅==C Y P解：（1）由F(x)在,a a -处的右连续性知⎪⎩⎪⎨⎧=+=-1202B A B A ππ 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==π121B A （2）122223a a a a P X F F ⎧⎫⎛⎫⎛⎫-<<=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭（3）因为)()('x F x f =，则()0x af x x a<=≥⎩2设随机变量X 的分布函数为 ()20,0,011,1x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩，求：)1(常数A ； )2({}0.30.7P X <<； )3(X 的密度函数()f x 。

解：（1）由分布函数的右连续性知：()()11lim 1x F A F x +→===，所以1A =； （2）{}()()0.30.70.70.30.4P X F F <<=-=； （3） ()2,01()0,x x f x F x <<⎧'==⎨⎩其它。

3设连续性随机变量X 的分布函数为 2,0()0,0.x A Be x F x x -⎧+>=⎨≤⎩ ，求：(1)常数A ，B ； (2){11}P X -<<； (3) X 的密度函数()f x 。

解：（1）由分布函数的右连续性及性质知：()()()()20000lim lim 1lim xx x x F F x A Be A B F F x A ++-→→→+∞⎧===+=+⎪⎨+∞===⎪⎩，所以0111A B A A B +==⎧⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩； （2）{}()()211111P X F F e --<<=--=-；（3） ()22,()0,0x e x f x F x x -⎧>'==⎨≤⎩。

5随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00)(,x x e x f x ；求2X Y =的概率密度． 、解：分别记X ，Y 的分布函数为F X (x )，F Y (y )由于y =x 2≥0，故当y ≤0时，F Y (y )=0 当y =x 2>0时,有F Y (y )=P (Y ≤y )=P (X 2≤y )=P (-y ≤X ≤y )=yyx yyX e x d e x d x f ----==⎰⎰1)(0将F Y (y )关于y 求导数，即得y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>='--='-=---其它00,21)()1()(y e y y e e y f y yy Y7（12分）设A 、B 为随机事件，且21)(,31)(,41)(===B A P B P A P ；令⎝⎛= ⎝⎛=不发生发生；；不发生发生B 01A 01B Y A X求1、二维随机变量（X ，Y ）的联合概率分布；2、判定X 与Y 是否相互独立 解：1213141)()()(}11{P =⨯=====A B P A P AB P Y X ， 6112141)()()()(}01{P =-=-=-====AB P A P B A P B A P Y X ， 12112161)()()()()()()(}10{P =-=-=-=-====AB P B A P AB P AB P B P A B P A B P Y X ，32)()()(1)(1)()(}00{P =+--=+-=+====AB P B P A P B A P B A P B A P Y X ，因为21}0{P }0{P 32}00{P ===≠===Y X Y X ，，则X 与Y 不相互独立………12分8维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表2 5 8 P {Y=y i }0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯g 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.X Y1 2 1 18b2 a14 312418⑴ 求,a b 应满足的条件； ⑵ 若X 与Y 相互独立 ，求 a,b 的值. 【思路】 先利用联合分布律的性质1ijijp=∑∑确定a,b 应满足的条件，再利用独立性的定义来求出a与b.【解】⑴ 因为1iji jp =∑∑，所以 11111,84248b a +++++= 因此 11.24a b += ⑵ 由于 X 与Y 相互独立，即对所有,i j x y 有 ()()(),,i j i j P X x Y y P X x Y y ===== 于是 ()()()112,121,46a P X Y P X Y a a ⎛⎫⎛⎫=======++⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得 112a =或1.2a =同理 ()()()131,212,88b P X Y P X Y B b ⎛⎫⎛⎫=======++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得 18b =或3.8b = 再由11.24a b +=知 13,128a b == 【解毕】 XYXY【技巧】 由于X 与Y 的独立性，故对所有的,i j x y 应有()()(),,i j i j P X x Y y P X x Y y ===== 因此，我们可在联合分布律表中找到几个比较容易计算的值来分别确定分布律中的参数，例如()13,1,24P X Y ===而()()1131,66P X Y a ⎛⎫===•+ ⎪⎝⎭可求得1;12a =又()13,2,8P X Y ===而18求得3.8b =这种参数的确定方式，需要读者熟练掌握. 10、 变量X 与Y 相互独立 ，下表列出了二维随机变量(),X Y 的联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空间处：【思路】 利用边缘分布律的求法及独立性来进行，例如，从11,86p +=求得11,24p =再利用独立性知1111.6p p =⨯g 从而知11,4p =g 等等.【解】 利用;i ij j ij jip p p p ==∑∑g g 以及 1i j ijp p ==∑∑g g 与独立性 ij i j p p p =g g . 求解空格内的数值，故11111111111,,68246p p p p p =-===⨯g g g 即11,4p =g 又由121,p p +=g g 可得2131.44p =-=g 反复运用上列公式，可求得 1322232313111,,,,.128423p p p p p =====g g将算得的数值填入表中的空格内，即得12、随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度.【解】()(,)dXf x f x y y+∞-∞=⎰x24.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他()(,)dYf y f x y x+∞-∞=⎰12y4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他13维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=⎩⎨⎧<<-.,0,,其他e yxy求边缘概率密度.【解】()(,)dXf x f x y y+∞-∞=⎰e d e,0,=0,.0,y xxy x+∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他()(,)dYf y f x y x+∞-∞=⎰e d e,0,=0,.0,y yxx y y--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他16 知随机变量X和Y联合概率密度为()4, 01,01,,0,xy x yf x y≤<≤<⎧=⎨⎩其他求⑴ 条件密度()||X Y f x y 及()||;Y X f y x 【解】⑴ 由于X 的边缘密度为()()14, 012, 0 1,0, 0, X xydy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧≤<≤<⎧⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他.其他同理，有 ()()2, 01,,0, Y y y f y f x y dx +∞-∞≤<⎧==⎨⎩⎰其他 故当01y <<时，()Y f y >0，且 ()()()|4, 01,,2|0, X Y Y xyx f x y yf x y f y ⎧≤<⎪==⎨⎪⎩其他从而，在{}Y y =条件下，X 的条件密度为 ()|2, 01,01,|0, X Y x x y f x y ≤<<<⎧=⎨⎩其他同样可得，在{}X x =条件下，Y 的条件密度为 ()|2, 01,01,|0, Y X y y x f y x ≤<<<⎧=⎨⎩其他17、（12分）随机变量X 和Y 均服从区间[0，2]上的均匀分布且相互独立．1．写出二维随机变量（Y X ,）的边缘概率密度和联合概率密度．2．求}23{≤+Y X P ． 解：(1)由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,020,21)(x x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,020,21)(y y f Y 又∵ X,Y 相互独立∴ f (x , y )=f X (x )f Y (y )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤其它,02020,41y x(2) y d x d y d x d y x f Y X P y x y x ⎰⎰⎰⎰≤+≤+==≤+232341),(}23{=y d x d x ⎰⎰-23023041=329四、正态分布、中心极限定理、1、调查某地方考生的外语成绩X 近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3% 。

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