二次根式训练经典题目汇总情况

举一反三【变式 1】下列根式中，能够与 合并的是( ) A. B. C.
D. 思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方 数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.
解：
合并，故
选 B. 总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.
即被开方数中的一些因式 移到根号外 ④被开方数中每个因数指数都要小雨 2
（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简 知识点三、
二次根式的除法法则：
，即两个二次根式相除，根指数不变，把被
开方数相除.
要点诠释：
（3）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数 a、b 的取值范围应特别注意，
(2)
=
(3)
=
；
(4)
=
举一反三
【变式 1】已知
. ，且 x 为偶数，求(1+x)
的值．
思路点拨：式子 = ，只有 a≥0，b＞0 时才能成立． 因此得到 9-x≥0 且 x-6＞0，即 6＜x≤9，又因为 x 为偶数，所以 x=8．
解：由题意得
，即
∴6＜x≤9，∵x 为偶数，∴x=8
实用标准文案
二次根式的混合运算 二次根式的运算知识点及经典试题
知识点一：二次根式的乘法法则：
，即两个二次根式相乘，根
指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中 a、b 都必须是非负数； (在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数) (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
；
(3)
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(4)
【变式 2】已知 ≈2.236，求( - )-( +
)的值．(结果精确到 0.01)
解：原式=4 - - -
类型五、二次根式的混合运算 10、计算:
= ≈ ×2.236≈0.45.
(1)( + )×
(2)(4 -3 )÷2 .
【变式 2】若最简根式
与根式
是同类二次根式，求 a、b 的
值． 思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；
事实上，根式
不是最简二次根式，因此把
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化简成 |b|· b+6=4a+3b． 解：首先把根式
(3)若二次根式相乘的结果能写成 的形式，则应化简，如
.
知识点二、积的算术平方根的性质
，即积的算术平方根等于积
中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
21．在这个性质中，a、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满
足
才能用此式进行计 算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，
其中
，因为 b 在分母上，故 b 不能为 0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，
最后结果中分母不能带根号.
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知识点四、商的算术平方根的性质
，即商的算术平方根等于被
除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号 问题.
把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果
必须化为最简二次根式或有理式.
要点诠释：
(1)最简二次根式中被开方数不含分母；
(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数 2，即每个因数或
因式从次数只能
为 1 次.
2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：
(1)把根号下的代分数或绝对值大于 1 的数化成假分数，把绝对值小于 1 的小数化成分
数；
(2)被开方数是多项式的要进行因式分解； (3)使被开方数不含分母；
(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；
(5)化去分母中的根号；
(6)约分.
3.把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只 是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式.
（2）步骤①利用商的算术平方根的性质
② 分别对 a， b 利用积的算术平方根的性质化简 ③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化 （3） 被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简
知识点五：最简二次根式
1.定义：当二次根式满足以下两条：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
() A.a=2，b=1 B.a=1，b=2 C.a=1，b=-1 D.a=1，b=1 思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.
解：根据题意，得
解之，得
，故选 D.
总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是 2；(2)被开方数相同；由此 可以得到关于 a、b 的二元一次方程组，此类问题都可如此.
知识点六、同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根 式就叫做同类二次根式. 要点诠释： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再 看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因 式无关. 2.合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法
(2) - =4 -8 =(4-8)
=-4
总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并. 举一反三 【变式 1】计算
(1)3 -9 +3 ； (2)( + )+( - )；
(3)
； (4)
.
解：(1)3 -9 +3 =12 -3 +6 =(12-3+6) =15 ； (2)( + )+( - )= + + - =4 +2 +2 - =6 +
思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
).（3）
解：(1)( +6)(3- )=3 -( )2+18-6 =13-3 ；
(2)( + )( （3）略
- )=(
3、化简
(1)
；
(2)
；
(3)
(5) .
；
(4)
；
思路点拨：利用
直接化简即可．
解：(1)
= × =3×4=12； (2)
= × =4×9=36；(3)
= × =9×10=90；
(4)
=×
= × =3 .
= × × =3xy
(5) =
举一反三 【变式 1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加 减，有括号要先算括号里面的；
(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个 非同类最简二次 式之和或差，或是有理 式. 规律方法指导 二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减. (1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：
(1) ；(2)
；(3) ；(4)
；(5)
；(6)
；(7) .
思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的 两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足 其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.
解：
和 都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：
等式也就不能成立了；
(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有 形式的 a 移到根号外面.
（3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简 （4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式
②利用积的算术平方根的性质
③利用
（一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)
；
(5)
思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及 进行化简.
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解：(1)
；(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
.
类型三、同类二次根式
8、如果两个最简二次根式
和
是同类二次根式，那么 a、b 的值是
思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．
解：(1)( + )× = × + × = + =3 +2 ；
(2)(4 -3 )÷2 =4 ÷2 -3 ÷2 =2 - .
11、计算(1)( +6)(3- )；
(2)( + )( -
2000
2001
3 2 g 3 2 ______________
(1)
； (2)
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× =4× × =4 解：(1)不正确． 改正：
× =4 =8 .
=
＝ × =2×3=6；
(2)不正确改正： 4、化简：
×= ×=
(1) ；
(2)
；
(3)
== ；
＝4 . (4)
.
思路点拨：直接利用
就可以达到化简之目的．