《高二数学极坐标系》PPT课件
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极坐标系的概念ppt课件

6
(规定:ρ>0,0≤θ<2π)则
(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是__3_,_1 _16_
(2)点A关于极点对称的点的极坐标是__ 3_,_7_6
(3)点A关于过极点且与极轴垂直的直线对称
的点的极坐标是_____
3
,
5 6
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9
小结
数学的学习方法是严格 、严肃、严密——苏步
不唯一性
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7
口答
数学的学习方法是严格 、严肃、严密——苏步
青
3.下列关于极坐标的说法,正确的是( D )
①.当 0,02时,极坐标与极坐标内的
点一一对应
②.当 0,02时,极坐标与极坐标内
③的点.极一坐一标对分应别为4,0,4,6,4,3,4,2的点在 以极点为圆心,以4为半径的圆上
数学的学习方法是严格 、严肃、严密——苏步
青
2.在图中描出下列各点
H(3,0)
J(3, )
2
I(6, 2 )
K(5, 4 )
3
5 6
2
4
C
E
D
BA
O
X
4 F 3
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G 5
3
6
数学的学习方法是严格 、严肃、严密——苏步
青
点1,,1,3有什么位置关系?
( ,) 与 ( , 2 k ( ) k Z ) 表 示 同 一 个 点 .
11
3
极坐标系中点的表示
:极径 :极角
M(,)
一 般 地 ,0, R . O
数学的学习方法是严格 、严肃、严密——苏步
青
M
x
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极坐标系 课件

将点的直角坐标化为极坐标
分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定 ρ≥0,0≤θ<2π).
(1)(-2,2 3);(2)( 6,- 2);(3)(32π,32π). 【思路探究】 利用公式 ρ2=x2+y2,tan θ=yx(x≠0),但 求角 θ 时,要注意点所在的象限.
【自主解答】 (1)∵ρ= x2+y2= -22+2 32=4, tan θ=yx=- 3,θ∈[0,2π), 由于点(-2,2 3)在第二象限, ∴θ=23π. ∴点的直角坐标(-2,2 3)化为极坐标为(4,23π).
(2)∵ρ= x2+y2= 62+- 22=2 2, tan θ=yx=- 33,θ∈[0,2π), 由于点( 6,- 2)在第四象限, ∴θ=116π. ∴点的直角坐标( 6,- 2)化为极坐标为(2 2,116π).
(3)∵ρ= x2+y2= 32π2+32π2=3 22π,tan θ=xy=1, θ∈[0,2π).
直线,分别求点 A 关于极轴,直线 l,极点的对称点的极坐标 (限定 ρ>0,-π<θ≤π).
【思路探究】 欲写出点的极坐标,首先应确定 ρ 和 θ 的值.
【自主解答】如图所示,关于极轴的对称点为 B(2,-π3).
关于直线 l 的对称点为 C(2,23π). 关于极点 O 的对称点为 D(2,-23π). 四个点 A,B,C,D 都在以极点为圆心,2 为半径的圆 上.
将点的极坐标化为直角坐标 写出下列各点的直角坐标,并判断所表示的点
在第几象限. (1)(2,43π);(2)(2,23π);(3)(2,-π3);(4)(2,-2). 【思路探究】 点的极坐标(ρ,θ)―→xy= =ρρcsionsθθ ―→点
的直角坐标(x,y)―→判定点所在象限.
选修4-4-极坐标系》课件(共22张PPT)

6
(((123)))点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对=称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
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something
从这向北 2000米。
请问:去菜 市场怎么走?
请分析上面这句话,他告诉了问路人 什么?
从这向北走2000米!
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想,就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立:
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件: 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解:∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广:在极坐标下,任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下:
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
感 谢 阅
(((123)))点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对=称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
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something
从这向北 2000米。
请问:去菜 市场怎么走?
请分析上面这句话,他告诉了问路人 什么?
从这向北走2000米!
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想,就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立:
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件: 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解:∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广:在极坐标下,任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下:
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
感 谢 阅
高二数学极坐标系课件

3 求两点间的距离. B 求两点间的距离 2
π 解:∠AOB =
6 用余弦定理求 AB的长即可 的长即可. 的长即可
A o
x
极坐标系的建立: 一、极坐标系的建立: 在平面内取一个定点O,叫做极点 极点。 在平面内取一个定点 ,叫做极点。 引一条射线OX,叫做极轴。 ,叫做极轴 极轴。 引一条射线 再选定一个长度单位 再选定一个长度单位 和计算角度正方向 和计算角度正方向 (通常取逆时针方 O 向)。
正方向
X
建立极坐标系的四要素:极点,极轴, 建立极坐标系的四要素:极点,极轴, 长度单位, 长度单位,正方向
从这向北 2000米。 米
请问:去屠宰场怎么走? 请问:去屠宰场怎么走?
请分析上面这句话, 请分析上面这句话,他告诉了问路人 什么? 什么? 从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 !
方向
距离
这种用方向和距离表示平面上一点 这种用方向和距离表示平面上一点 方向 的位置的思想,就是极坐标的基本思想。 的位置的思想,就是极坐标的基本思想。
总结: 总结:
关于极点对称 (ρ, p +θ) (ρ,θ) 关于极轴对称 (ρ,-θ) -
关于过极 点且垂直 于极轴的 直线对称
(ρ,
p-θ)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 极坐标与直角坐标的互化关系式
设点M的直角坐标是 极坐标(ρ,θ) 设点 的直角坐标是 (x, y)极坐标 极坐标
y ρ = x + y , tanθ = ( x ≠ 0) x
2 2 cosθ, y=ρsinθ
小结 【1】建立一个极坐标系需要哪些要 】 素 【2】极坐标系内一点的极坐标有多少 】 种表达式? 种表达式? 【3】一点的极坐标有否统一的表达 】 式? 【4】极坐标与直角坐标的互化关系式 】
π 解:∠AOB =
6 用余弦定理求 AB的长即可 的长即可. 的长即可
A o
x
极坐标系的建立: 一、极坐标系的建立: 在平面内取一个定点O,叫做极点 极点。 在平面内取一个定点 ,叫做极点。 引一条射线OX,叫做极轴。 ,叫做极轴 极轴。 引一条射线 再选定一个长度单位 再选定一个长度单位 和计算角度正方向 和计算角度正方向 (通常取逆时针方 O 向)。
正方向
X
建立极坐标系的四要素:极点,极轴, 建立极坐标系的四要素:极点,极轴, 长度单位, 长度单位,正方向
从这向北 2000米。 米
请问:去屠宰场怎么走? 请问:去屠宰场怎么走?
请分析上面这句话, 请分析上面这句话,他告诉了问路人 什么? 什么? 从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 !
方向
距离
这种用方向和距离表示平面上一点 这种用方向和距离表示平面上一点 方向 的位置的思想,就是极坐标的基本思想。 的位置的思想,就是极坐标的基本思想。
总结: 总结:
关于极点对称 (ρ, p +θ) (ρ,θ) 关于极轴对称 (ρ,-θ) -
关于过极 点且垂直 于极轴的 直线对称
(ρ,
p-θ)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 极坐标与直角坐标的互化关系式
设点M的直角坐标是 极坐标(ρ,θ) 设点 的直角坐标是 (x, y)极坐标 极坐标
y ρ = x + y , tanθ = ( x ≠ 0) x
2 2 cosθ, y=ρsinθ
小结 【1】建立一个极坐标系需要哪些要 】 素 【2】极坐标系内一点的极坐标有多少 】 种表达式? 种表达式? 【3】一点的极坐标有否统一的表达 】 式? 【4】极坐标与直角坐标的互化关系式 】
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这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用 表示线段OM的长度,用 表示从 OX到OM 的角度, 叫做点M的 极径, 叫做点M的极角,有序数 对(,)就叫做M的极坐标。
指出:(1)一般地,不作特殊说明时 ,我们认为ρ≥0, 可取任意实数。
(2)当M在极点时,它的极坐标为 (0,θ), 可取任意值。
题组一:说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F 3
G 5 3
在极坐标系中,(4,)(,4,2)(,4,2)
66
6
表示的点有什么关系?
想一想?
①平面上一点的极坐标是否唯一? ②若不唯一,那有多少种表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的? ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式?
一般地,极坐标 (, ) 与
小结
(1)建立一个极坐标系需要哪些要素 极点;极轴;长度单位;角度单位和 它的正方向。 (2)极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式? 无数,极角有无数个。 (3)一点的极坐标有否统一的表达式
(ρ,2kπ+θ)( ρ≥0)
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
A (3, )
B (2, )
6
2
C (1, )
2
D (2, 3), 1)
化成极坐标.
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3) B (5,0)
C (3,3) D (0,2)
题组二:在极坐标系里描出下列各点
A(1, ) 4
C (3, ) 4
B(2, 3 ) 2
D(4, 9) 4
题组三: (1)在极坐标系中,与点
(3,
3
)
关
于极轴所在直线对称点的极坐标是_;
(=2_)_已_知_A。(5,3),B(6,23),则|AB|
(3)在极坐标系中,若等边△ABC的两 个顶点 A(2,),B(2,5,)则顶点C的坐 标是_____4 _。 4
从这向西 走800米。
请问:去…… 怎么走?
从 这 向 西 走 800米!
出发点
方向 距离
在生活中人们经常用方向和距离来
表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想,就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立: 在平面内取一个定点O,叫做极点。 引一条射线OX,叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位及 它的正方向(通常取逆时针方向)。
2x2y2, tan y(x0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件: 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标( 5 , 2 )
化成直角坐标.
3
练习:已知下列点的极坐标,求 它们的直角坐标。
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3 )
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1 , 3 ) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
12(3) 2 2 tan 3 3
1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
(,2k)k ( Z)表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
P
[1]给定(,),就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。
M (ρ,θ)…
O
X
[2]给定平面上一点M,但 却有无数个极坐标与之对 应。
原因在于:极角有无数个。
如果限定ρ>0,0≤θ<2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用 表示线段OM的长度,用 表示从 OX到OM 的角度, 叫做点M的 极径, 叫做点M的极角,有序数 对(,)就叫做M的极坐标。
指出:(1)一般地,不作特殊说明时 ,我们认为ρ≥0, 可取任意实数。
(2)当M在极点时,它的极坐标为 (0,θ), 可取任意值。
题组一:说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F 3
G 5 3
在极坐标系中,(4,)(,4,2)(,4,2)
66
6
表示的点有什么关系?
想一想?
①平面上一点的极坐标是否唯一? ②若不唯一,那有多少种表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的? ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式?
一般地,极坐标 (, ) 与
小结
(1)建立一个极坐标系需要哪些要素 极点;极轴;长度单位;角度单位和 它的正方向。 (2)极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式? 无数,极角有无数个。 (3)一点的极坐标有否统一的表达式
(ρ,2kπ+θ)( ρ≥0)
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
A (3, )
B (2, )
6
2
C (1, )
2
D (2, 3), 1)
化成极坐标.
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3) B (5,0)
C (3,3) D (0,2)
题组二:在极坐标系里描出下列各点
A(1, ) 4
C (3, ) 4
B(2, 3 ) 2
D(4, 9) 4
题组三: (1)在极坐标系中,与点
(3,
3
)
关
于极轴所在直线对称点的极坐标是_;
(=2_)_已_知_A。(5,3),B(6,23),则|AB|
(3)在极坐标系中,若等边△ABC的两 个顶点 A(2,),B(2,5,)则顶点C的坐 标是_____4 _。 4
从这向西 走800米。
请问:去…… 怎么走?
从 这 向 西 走 800米!
出发点
方向 距离
在生活中人们经常用方向和距离来
表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想,就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立: 在平面内取一个定点O,叫做极点。 引一条射线OX,叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位及 它的正方向(通常取逆时针方向)。
2x2y2, tan y(x0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件: 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标( 5 , 2 )
化成直角坐标.
3
练习:已知下列点的极坐标,求 它们的直角坐标。
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3 )
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1 , 3 ) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
12(3) 2 2 tan 3 3
1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
(,2k)k ( Z)表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
P
[1]给定(,),就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。
M (ρ,θ)…
O
X
[2]给定平面上一点M,但 却有无数个极坐标与之对 应。
原因在于:极角有无数个。
如果限定ρ>0,0≤θ<2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.