证券投资组合的优化模型
基于混合遗传算法的投资组合优化改进模型研究
基 于混合 遗传 算 法 的投 资组 合 优 化 改进 模 型 研 究
李 云 飞 ，李 鹏雁
（ ． 尔滨工业大学 管理学院，黑龙江 哈 尔滨 １ ００ ； ． 尔滨工业大学 人文学院，黑龙江 哈 尔滨 １０ ０ ） １哈 ５０ １２ 哈 ５０１
摘 要 ： 证券 投 资 组 合优 化 问题 的 实质 就 是 有 限 的 资产 在 具 有不 同风 险 收 益特 性 的证 券 之 间 的优 化 配 置 问题 。
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第３ ２卷 第 ｌ期
燕 山大 学 学报
Ｊ ｕ ｎａ ｆＹａ ｈａ ｎｖｅ ｓｔ ｏ ｒ ｌｏ ｎｓ ｎＵ ｉ ｒｉｙ
ＶＯ１ ３ ｏ． １ ． ２Ｎ Ｊ ｎ． ２０ ａ ０８
２０ 年 １ ０８ 月
文 章 编 号 ： １ ０ —９ Ｘ （０ ８ １０ ６ —５ ０ ７７ １ ２ ０ ）０ —０ ５０
立 了证 券投 资组 合决策 系统 的期 望值 模型及 机会 约束规划模 型 ， 最后设计 了基 于随机模 拟的遗传算
法， 该方法有 效地解决 了证券投 资组 合模型的优化
问题 。 上述研 究的缺 陷在于仅 在风 险度量方法上 作 了改进 ，如采用方差 、绝对 离差、半离差 、Ｖ Ｒ Ａ 等度量风 险， 然而 未能提 出一个恰 当的风 险与收益 相 匹配 的 目标优 化 函数 ，而且 在模 型 的求 解算 法
晓虹和 曹军梅 （ ９ ９年 ）设计 出 了一个 比较理想 １９
的有效证券组合选取策 略， 并把遗传算法 （ ｎ ｔ Ｇｅｅｉ ｃ Ａ ｇ ｒｈ ｌｏｉ ｍ） 引入证券 组合理论 ，有效解决 了 Ｍａ ｔ — ｒｏ ｔ 模型 中协方差 矩阵不可逆时 的求解 问题 ０。 ｋ ｗｉ ｚ 庄新路 、庄新 田和黄 小原 （０ ３年 ）在二 目标有 ２０ 价证券选择基础 上，引入风险指标 Ｖ Ｒ，以收益 Ａ 率与风 险损 失为 目标 ，提 出新 的投 资组 合优化 模
证券投资组合优化问题的强健性的锥优化方法
Ｂ ｉ ａ ｑｎ ａ ｎ ｉ Ｙ
Ｓ ｕＸｕ ｎ ｕ ｈ ａｙ
Ｚ ａ ｇＨ ｎ ｊ ｈ ｎ ｏ ｇｉ ｅ
Ａ ｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｄ ａ ｓ ｗｉｈ ｔ ｅ ｒ ｂ ｓ ｏ ｔ ｏ ｉ ｐ ｉ ｉａ ｉ ｎ ｐ ｏ ｅ ｔ ｓ ｒ ｃ ｉ ａ ｅ ｅ ｌ ｔ ｈ ｏ ｕ ｔ ｐ ｒ ｆ ｌ ｏ ｔｍ ｚ ｔｏ ｒ ｂｌｍｓ Ｗｉｈ ｏ ｌ ｅ ｒ ｔ ａ ｓ ｃ ｉ ｎ ｃ ｓ ｓ Ｔｈ ｏ ｅ ｓ ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ｒ ｔ ｃ ｅ Ｃｏ ｄ ｔｏ ａ ｌ ｅ ａ ． ｉ ａ ｒ ｎ ａ ｔｏ ｏ ｔ ． ｎ ｅ ｍ ｄ ｌ ｉ ａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｗｏ ｓ ． ａ ｎ ｉｉ ｎ ｔ Ｖａ ｕ － ｔ ｓ
Ｒｉ ｆ ｓ ＣＶａ ｒｓ ａ ｕ ｅ ａ ｄ ｕｎ ｅｔ ｉｔ ｏ ｈ ｒｆｌ ｅｕ ｎ ｄ ｓｒｂｕ ｉｎ Ｗ ｌ ｋ Ｒ１ ｉｋ ｍｅ ｒ ｎ ｃ ｒａｎ ｙ ｆｒ ｔ ｅ ｐｏ ｔｏ ｉ ｒ ｔ ｒ ｉｔｉ ｔｏ ． ｓ ｏ ｅ
ｓ ｗ ｈ ｔｔ ｅ ｒ ｂ ｓ ｒ ｆ ｌ ｐｔｍ ｉａ ｉ ｎ ｐ ｏ ｅ ｓｗｉｈ ｂｏ ｎ ｅ ｔ ｉ ｔ ｎ ｌ ｐ ｏ ｄ ｌ ｈｏ ｔ ａ ｈ ｏ ｕ ｔｐｏ ｔｏ ｉ ｏ ｉ ｚ ｔｏ ｒ ｂｌｍ ｔ ｘ ｕ ｃ ｒ ａ ｎ ｙ ａ ｄ ｅｌ ｓ ｉ ａ ｏ ｉ ｕ ｃ ｒ ａ ｎ ｙ ｓ ｒ ｃ ｕ ｅ ａ ｅｏ ｍ ｕ ａ ｅ ｓ ｌ ｅ ｒ ｐ ｏ ｒ ｍ ｍｉ ｇ ａ ｄ ｓ ｃ ｎ ｏ ｄ ｒｃ ｎ ｎ ｅ ｔ ｉ ｔ ｔ ｕ ｔ ｒ ｓ ｃ ｎ ｂｅ ｒ ｆ ｒ ｌ ｔ ｄ ａ ｎ ａ ｒ ｇ ａ ｉ ｎ ｎ ｅ ｏ ｄ． ｒ ｅ ｏ ｅ
Ｋｅ ｙｗ ｏ ｄｓ Ｏｐ ｒ ｔｏ ｓ ｒ ｓ ａ ｃ ｒ ｅ ａ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｈ，ｗｏ ｓ － ａ ｅ ＣＶａ ｒｔｃ ｓ Ｒ，ｒ ｂ ｓ ｏ ｔｏ ｉ ｐ ｉ ｉａ ｉ ｎ， ｏ ｕ ｔ ｐ ｒ ｆ ｌ ｏ ｔｍ ｚ ｔ ｏ ｏ
证券投资组合计算模型研究
ｆｎｐ ｘＥ ｍ ＝ Ｘ ｉ２
。
ｘ为第 ｆ 证券 的投 资 比例 （ ｉ 种 即权重 ） 。 则按 照证券 投资 组合原 理 ，组合证 券投 资 舄 ●● ●● ， ● ●● ● ● ＼， 的总期望 收益和总， ●● ● ，●为 ： 风险分别 ●
、 、
上述 问题是 一个 二次规 划问题 。运 用非 线 性最优 化方法 （ ａ ｒｎ ｅ乘 数法 ）可求得其最 Ｌ ｇａｇ 优解 为 ：
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重 庆 石油 高等 专科 学 校学 报 第 ４ 第 ３ 卷 期
（０ ２ ９月 出版 ） ２０ 年
２１
●－ 一
证 券 投 资 组 合 计 算 模 型 研 究
黎 彬
重 庆 ４ ０ ４ ００２
重庆 石油 高 等专 科 学校 基 础部
摘
要 ： 以证券 组合 的收 益 率及 其 方 差作 为证 券组 合 投资 收益 和风 险 的两 个 度量 指标 ，建 立 了证 券投 资 以只源自一 手股 的证券 。 且
Ｆ ＝（， Ａ ） １， １ １
ＲＰ
Ｒ＝（ ， ， 蜀 Ａ ）
＝
∑
Ｒ
Ａ Ａ ＝
１ Ａ
Ｂ
２ 证 券组合基 本模 型 ． ２
假定 投资者 已选定 ， １ 种有价证 券进行投 资 ， 设 ｆ １ ： ，… ，，为第 ｉ ＝ １ ） 种有 价证券 在持有期 内 的收益率 ，它是一个 随机变量 。令 Ｒ － （ｉ （ ， ￣ － ｒ 期望 收益率 ） Ｅ ） ＝Ｖ ｒｒ 方差） ａ（）（ ｉ 则 模型 １ 可用矩 阵形式表示 为 ：
证券 投 资 中最重 要 的两个 因素就 是投 资收
益 和投资 风险这两个 度量 指标 。投 资收益 可 以 用投 资收益 率来 描述 ，它反 映某一种 证券 的资 产变化 情况 。
均值—方差证券资产组合理论
均值—方差证券资产组合理论1. 简介均值—方差证券资产组合理论，也被称为马科维茨模型，是现代投资组合理论的基础。
该理论由美国经济学家哈里·马科维茨于1952年提出，并在1959年获得了诺贝尔经济学奖。
这一理论通过权衡资产组合的预期收益率和风险来寻找最佳的投资组合。
2. 理论原理均值—方差证券资产组合理论的核心原理在于风险与收益之间的平衡。
根据该理论，投资者可以通过有效的资产配置，实现在给定风险水平下最大化投资组合的预期收益率。
具体来说，均值—方差模型在计算资产组合时，考虑了以下两个重要指标：2.1 均值均值指的是资产组合的预期收益率。
通过对各个资产的历史数据进行分析和估计，可以计算出每个资产的预期收益率，并据此求得资产组合的整体预期收益率。
2.2 方差方差表示资产组合的风险程度。
在均值—方差模型中，方差用于衡量资产之间的波动性和相关性。
如果两个资产的收益变动具有较高的相关度，那么它们之间的方差较小；反之，如果两个资产的收益变动独立或者相关度较低，那么它们之间的方差较大。
3. 资产组合优化基于均值—方差证券资产组合理论，投资者可以通过优化资产组合来实现风险与收益之间的最佳平衡。
具体的资产组合优化包括以下几个步骤：3.1 数据准备在优化资产组合之前，首先需要收集并整理相关的数据。
这些数据包括各个资产的历史收益率、期望收益率以及方差。
通常，投资者可以通过金融数据提供商或者证券公司获取这些数据。
3.2 风险-收益曲线通过对各个资产的历史数据进行分析和计算，可以得到不同投资组合的风险和收益指标。
在优化资产组合之前，投资者可以绘制出风险-收益曲线，以便直观地了解不同投资组合之间的收益和风险的关系。
3.3 最优组合根据风险-收益曲线，可以找到在给定风险水平下具有最高预期收益率的投资组合。
这个投资组合被称为最优组合，也是均值—方差模型的核心输出。
3.4 边际效益在确定最优组合后，投资者可以通过计算边际效益来衡量每个资产对投资组合的贡献。
几类投资组合优化模型及其算法
几类投资组合优化模型及其算法投资组合优化是金融领域研究的热点之一，它旨在通过合理的资产配置，最大化投资回报并控制风险。
在过去的几十年里，学者们提出了许多不同的模型和算法来解决这个问题。
本文将介绍几类常见的投资组合优化模型及其算法，并讨论它们在实际应用中的优缺点。
一、均值-方差模型及其算法均值-方差模型是最早也是最常见的投资组合优化模型之一。
它假设市场上所有证券的收益率服从正态分布，并通过计算每个证券预期收益率和方差来构建一个有效前沿。
然后，通过调整不同证券之间的权重来选择最佳投资组合。
常用于求解均值-方差模型问题的算法包括马尔科夫蒙特卡洛方法、梯度下降法和遗传算法等。
马尔科夫蒙特卡洛方法通过随机生成大量投资组合并计算它们对应收益和风险来找到有效前沿上最佳点。
梯度下降法则通过迭代调整权重，使得投资组合的风险最小化，同时收益最大化。
遗传算法则通过模拟生物进化的过程，不断迭代生成新的投资组合，直到找到最优解。
然而，均值-方差模型存在一些缺点。
首先，它假设收益率服从正态分布，在实际市场中往往不成立。
其次，它忽略了投资者的风险偏好和预期收益率的不确定性。
因此，在实际应用中需要对模型进行改进。
二、风险价值模型及其算法风险价值模型是一种基于风险度量和损失分布函数的投资组合优化模型。
它通过将损失分布函数与预期收益率进行权衡来选择最佳投资组合。
常用于求解风险价值模型问题的算法包括蒙特卡洛模拟、条件值-at- risk方法和极大似然估计等。
蒙特卡洛方法通过随机生成大量损失分布并计算对应的条件值-at- risk来找到最佳点。
条件值-at-risk方法则是直接计算给定置信水平下对应的损失阈值，并选择使得风险最小化的投资组合。
极大似然估计则是通过对损失分布的参数进行估计，找到最符合实际数据的投资组合。
风险价值模型相比均值-方差模型具有更好的鲁棒性，能够更好地应对极端事件。
然而，它也存在一些问题。
首先，它需要对损失分布进行假设，而实际中往往很难准确估计。
投资组合优化模型及其实证研究
投资组合优化模型及其实证研究投资组合是指从多种投资品种中选择一定的比例进行投资的过程。
投资组合优化模型是指通过某种方式计算出最佳的投资组合，以达到最大化收益或最小化风险的目的。
本文将就投资组合优化模型及其实证研究展开阐述。
一、投资组合优化模型1.1 基本概念投资组合优化模型是利用数学方法，以最大化收益或最小化风险为目标，通过计算股票、债券、黄金等不同资产的相关性、预期收益率、风险、流动性等指标，制定最佳投资组合方案。
其目的是在各种不确定性因素中，在最小风险的前提下获得最大收益。
1.2 常见方法目前常用的投资组合优化方法有均值方差分析法、Markowitz模型、Black-Litterman模型、最大化效用函数模型等。
其中，Markowitz模型最具代表性和广泛使用。
1.3 Markowitz模型Markowitz模型，也称为均值方差分析模型，是现代投资组合理论的基础。
该模型主要考虑投资组合的预期收益和风险，通过计算不同证券之间的相关性确定最理想的投资权重。
具体计算方法如下：首先计算各个证券的预期收益率和方差，然后计算该证券与其他证券之间的协方差，进而计算出不同组合的预期收益率和方差。
最后通过对不同组合的收益方差关系进行优化，确定最优投资组合。
二、实证研究2.1 数据来源本文采用的数据来自国内外的股票、债券、黄金等资产市场数据，以及相应的基金、指数等投资产品数据。
2.2 研究方法本文采用Markowitz模型，通过计算各种投资产品的预期收益率、方差、协方差等风险指标，确定最优投资组合。
2.3 结果分析实证研究结果显示，在所有标的物中，黄金是一个比较安全的资产，但收益率不高且波动性较大。
债券的收益率相对稳定，但波动性低于股票。
股票收益率高，但波动性也相对较大。
在多元组合分析中，投资者可以通过调整不同资产的比重来降低整个投资组合的风险，提高收益率。
例如，当股票市场不稳定时，可以增加债券和黄金的比例，以稳定投资组合。
带交易费用的证券组合投资的模糊多目标优化模型
期望 益和 分 收 风险 别为Ｅｒ ＝Ｌ Ｅ ， ＝２２ （） Ｏ＋ （ 』 Ｊ ） ； ＋∑ ２ ， ＝∑ Ｏ． ＝∑ 卢 为 其中 ｔ ｉ， ０ ） 证
券组合的 系数． 在现实的证券市场中 ， 由于诸多因素影响 ， 某证券 的预期收益与风险损失率难以精确得 到， 故采用模糊 数 来刻 画某证券 的 预期 收益 与风 险损 失率 ， 显得更 为合理 与实 际． 则 文献 ［ ］ 论 了系 数 为 常系 数 的带 交 易 １讨 费用的多目标规划问题． 献 ［ ］ ： 史 ２ 提出了一种 目 函数系数为模糊数 的多 目标模糊规划 ， 给出了求其模糊 标 并 最优解的方法． 文献 ［ ］ ３ 讨论了 目标函数中的 系数和约束 系数为模糊数的多 目标模糊规划 问题 ， 并给出了
ｗｉ ｒ ｎ ｔ ｎ Ｃ ｓｓ ｔ ｆａ ｓ ｃｉ ｏ ｔ ｈ ａ ｏ
ＨｅＳ ｕ ｏ ｇ Ｌ ｉｏ ｉ Ｍａ ｕ ｎａ ｇ ｈ ｈ ｎ ｅ Ｘ ａ ｍｅ ｏＪ ａ ｆｎ
（ ｃ ｏｌ ｆ ｔｅ ｔ ｓａ ｄＳａ ｓｃ ， ｕ ｎ ｎＵ ｉ ｒｉ ， ｕ ｍｉｇ６ ０ ９ ， ｈｎ ） Ｓ ｈ ｏ ｏ ｈｍａ ｃ ｎ ｔ ｉ ｉ Ｙ ｎ ａ ｎｖ ｓｙ Ｋ ｎ ｎ ５ ０ Ｃ ｉａ Ｍａ ｉ ｔｔｓ ｅ ｔ １
风险的模糊多 目标规划模型 ． 在此模型 中， 考虑到证 券投 资的预期 收益和风 险的模糊性 ， 目标 函数 和约束 系数均 作 为模 糊 把 数处理 ， 并给出了模型的求解方法和 问题 的一 个算例 ． 关键词 证券组合投资 ； 交易 费用 ； 糊数 ； 模 模糊 多 目标规划
【 中图分类号】 ８０ Ｆ３
ｒ ＝ ｃ ＋ ｒ ＋ 占 Ｙ
式中 为证券 ｉ 的 系数； ｍ ｒ 为市场证券组合 的收益率 ； 占 为随机变量 ， 它表示随机 因素对单个证券收益 的影响 ， 。 Ｅ（ｍ． ０ 且不 同的证 券随机 误差 不相关 ， ＣＶ占， ０ ≠ ） 在 此情 形 下 ， 券 组合 的 如 ＝ ｒｅ）＝ ， 即 Ｏ（ 占）＝ （ ． 证
基于遗传算法的证券投资组合模型的优化及最优解的测定
能小 的风 险， 而随着收益的增加 ， 证券 的风 险也随之增加 。如何在一定 的风 险水平下 ， 使 证券投 资者获取尽可能高的收益 ， 或者在一定 的收益 水平下 ， 使证 券投 资的风险尽可能小 ， 最明智 的方法 就是把 资金分散投 资在若干 种证券上 ， 构成 投资组合 。如何 确定一种 最适合 的投资组 合， 这便是现代投资组合理论研究的内容。 近年 来， 我国投 资企 业各项 工作取得 了显著 成绩 。但是 ， 由于我 国 投 资业起 步较晚 ， 投资发展较慢 ， 投资技术的落后 制约了我国投 资业 的 发展 ， 严重影响了我 国投资公司的竞争力。在 目前的市场经 济条件下 ， 在投 资业 １ ３益对外开放的环境中 ， 如何 进一步发展我国投资业 务， 提高 投 资效益 ， 是一个迫切需要研究 的课题。
科技信启
基于遗传算法的证券投姿组合旗型硇优化及最优髓晌测定
东华 欠学电工 电子 中心 赵 曙光 东华 大 学信 息 学院 刘 音
［ 摘 要］ 本文基 于遗传算 法， 建 立多 目 标算法的基金投资组合模型 ， 首先要对投 资的 资产进行分析 ， 分析资产产生风险的因素 ， 通过 因素分析 来提取指标 ， 利 用聚类分析的方法对指标进行 筛选 ， 建立股票资产风险指标体 系， 建立指 标的权 重集， 客观地分析各指标对 资产产 生风险的影响程度 ， 建立隶属度 矩阵， 通过隶属度的值 来判断 资产的类别。在 遗传 算法求解投资组合模型的过程 中， 首 先是 建立目 标 函数模 型， 将目 标 函数模 型作 为遗传操作的评估准 则． ． 和现有的 目 标函数模型相比有很 多改进 ， 现 有的投 资模型 中采用了 统计 学中的二次规划模型 ， 只将风 险最小， 或者收益最大作 为评价的 目标 函数 ， 基 于遗 传算法的投资组合模型用风系 数 的 最 优 解Ｉ
VaR约束下的投资组合优化模型
因 为 线 性 方 程 组 （Ｏ 的秩 是 ｎ ２ 所 以 它 的 基 础 解 系 的 个 数 是 １ 用 ｘ １） 一， ， 。
分别表示 Ｘ， ， ｘ 代ｆ （１ ， ２ ３ Ａ， Ｘ ｌ １） 就求 出 ｘ 就可得 到相应 ｘ ， ｘ 的 ￣ 式 。 ２ Ａ， ｎ
值。 因为 Ｘ 有两个根 ， 因此有 两组 解 ， 它们分别是点 Ａ和点 Ｂ处的权重 。 这
段 Ｏ Ａ。
策 大都是在 马柯维茨证券 组合理论 的框架或 基本思想下展 开的 ，不同的 只是收益和风险 的描 述不同。由于当前 Ｖ Ｒ在风 险测量 、 ａ 风险限额设定和
绩 效评估 中的广泛应用 ，因此在 马柯 维茨证券 组合理论 的框架下 ，基 于 Ｖａ Ｒ的投资决策 具有重要 的实用价值 。 由于约 束条件 的复杂性 ，传 统的
三 、 型 的几 何 求 解 方 法 模
Ｌ ｇｎｒ 乘子法无 法求解该模 型。为此 ， ａａｅ ｅ ｇ 我们给 出了一 种几何求解 方法 ，
研 究了在引入 Ｖ Ｒ的约束 条件下的最优投资组合 的确定问题 。 ａ
由图 １ 可知 ， Ｒ约束 的最优投资组合确 定时 ， Ｖａ 只需 求 出点 Ａ和 Ｏ处 的权重 即可 。在 这里我们用几何方 法来解决此 问题 。
可分别求 出 ０点的投资权重及投 资回报率 。 于是可 以得 到 Ｖ Ｒ约束 下投资组合 的选择 范围 ： ａ
≤ Ｒ Ｒ＾ ≤ ６ ≤ ６ Ａｏ ≤ ，６ ２
其 中， ・是标准正态分 布的分布函数 。 中（ ）
。
联 立（Ｏ式和（） ， １） ７式 就可在 临界线上求得投资组合最 优权 重 ， 该权重下
在正态分布 下 ，４ 式可化 为 ： （）
投资组合优化模型的一个序列凸近似算法
投资组合优化模型的一个序列凸近似算法李卫国;张宏伟;梁锡军【摘要】以CVaR为代表的凸优化投资组合模型近年来引起了广泛研究.为克服传统投资组合模型中凸近似的不足,提出了一个投资组合的DC规划模型.该模型用一个DC函数替代了CVaR模型中的凸近似函数,同时要求所有约束条件在概率意义下成立.进一步地,提出了一个序列凸近似(SCA)算法用于求解DC规划问题,并运用Monte-Carlo方法来实现SCA算法.初步的实验结果表明,因子收益服从"尖峰厚尾"分布时,模型的目标函数值优于采用CVaR近似的目标函数值.%CVaR has drawn extensive attentions as a representative convex optimization portfolio model in recent years.To overcome the limits of convex approximations in traditional portfolio models,a DC programming model for portfolio is proposed.In the proposed programming model,a DC function is used as a surrogate for the convex approximation function in the CVaR model.All the constraints are satisfied in the probabilistic sense in the DC programming problem.Moreover,a sequential convex approximation (SCA)algorithm is designed to solve the DC programming problem. The SCA algorithm is implemented by employing Monte-Carlo method.Preliminary experimental results have shown that the obj ective function values of the DC programming are better than those with CVaR approximation when the income factors sati sfy″high peak and fat tail″distributions.【期刊名称】《大连理工大学学报》【年(卷),期】2017(057)003【总页数】6页(P321-326)【关键词】投资组合;序列凸近似;凸优化;Monte-Carlo方法【作者】李卫国;张宏伟;梁锡军【作者单位】大连理工大学数学科学学院,辽宁大连 116024;辽宁地质工程职业学院,辽宁丹东 118303;大连理工大学数学科学学院,辽宁大连 116024;中国石油大学(华东)理学院,山东青岛 266580【正文语种】中文【中图分类】O224投资组合是指投资者根据其风险喜好在众多的有价证券中对风险投入进行最优投资分配．投资组合选择问题最早由Markowitz[1]作为一个最优化问题提出．他用随机收益率的均值来衡量预期收益的好坏，用随机收益率的方差衡量风险的大小．Markowitz的均值-方差模型在现代投资理论中堪称经典，并且始终在改进．例如文献[2]对这些模型作了一个系统的总结．只有当证券收益率服从正态分布或者投资者是风险厌恶型时，均值-方差模型才是有效的．但由于计算的复杂性，在投资数额较大的优化问题中模型的使用率并不高．本文试图改进这一模型，研究不同的预期收益或风险衡量标准，使得模型更符合实际，更好地为投资者决策提供参考．投资者经常会遇到投资项目的组合决策问题，要考虑的因素有收益率、风险、增长潜力等条件，希望该资产投资波动越小越好，并进行权衡考虑获得一个最佳的投资方案．在投资组合的优化研究过程中，本文试图在传统的保守近似优化模型的基础上，克服指示函数I(0，+∞)(z)在近似估计中的不足．通过引入风险度量的DC(difference of two convex functions)近似，给出一个投资组合的DC规划模型，并提出一个序列凸近似(sequential convex approximation，SCA)算法来进行求解，用一个严格凸二次函数来近似目标函数中的光滑函数，用线性函数近似所有DC函数的第二个凸函数，得到搜索方向的一系列的凸优化问题．考虑如下问题：对n个资产投资以获取最大收益．记x=(x1 x2 … xn)T为n个资产的投资比例令x∈X∶=Rn．各资产的收益r=(r1 r2 … rn)T为随机向量，假定其满足如下关系：式中：μ为资产收益的均值，；V为因子荷载矩阵，VT=(V1 V2 … Vn)；ξ为因子收益，ξ=(ξ1 ξ2 … ξn)T服从F分布(尖峰厚尾)；ε～N(0，D)，D为对称半正定矩阵，ε为白噪声．极大化所研究资产的平均收益：其约束条件被称为决策风险[3]，用来描述，其中1=(1 1 … 1)T∈Rn，β∈(0，1)是一个较小的数，a>0是保守收益的一个估计．同时希望该资产的投资波动越小越好．采用var(rTx)=xTDx，作为投资波动的度量．考虑如下模型：max E[rTx]=μTx+xTVTEF(ξ)-γxTDxs. t. Prob{-(μTx+xTVTξ)≤-a}≥1-β1Tx=1，x≥0其中γ>0是参数．考虑模型(1)中的概率约束，令p(x)=1-Prob{-(μTx+xTVTξ)+a≤0}= Prob{-(μTx+xTVTξ)+a≥0}则约束条件其中这里IA(·)表示集合A上的指示函数：在Rockafellar等[4]提出的CVaR近似中，用近似I(0，+∞)(z)，其中z>0，[z]+=max{z，0}．Nemirovski等[5]曾经指出在所有的凸的保守近似中，CVaR被公认为是最出色的．但是，ψ(z，t) 对于指示函数I(0，+∞)(z)不是一个好的近似，因为在z>0且z较大时，两个函数差异较大．为寻求一个更好的近似，令由于ψ(z，t)和φ(z，t)都是z的凸函数，π(z，t)是一个关于z的DC函数．函数π(z，t)仅在区间(-t，0)与指示函数有差异，在其余的区间与指示函数完全吻合．可见，DC函数π(z，t)是指示函数的一个更好的近似，如图1所示．令g1(x，t)=E[μTx+xTVTξ-a+t]+ g2(x)=g1(x，0) p＾(x，t)=当t>0时，p＾(x，t)是p(x)的一个保守DC近似．令，则p＾(x，t)≤β ⟹因此，是p＾(x，t)所有近似中最好的保守近似．maxμTx+xTVTEF(ξ)-γxTDxs.t.1Tx=1，x≥0称模型(2)为模型(1)的DC近似[6]．约束条件可近似为≤β，即用下面的模型(3)近似模型(2)．max μTx+xTVTEF(ξ)-γxTDxs.t. g1(x，t)-g2(x)≤βt 1Tx=1，x≥0记Ω(t)为模型(3)的可行域：Ω(t)∶={x∈X：g1(x，t)-g2(x)≤βt， 1Tx=1，x≥0}算法1是求解模型(3)的序列凸近似算法．算法1 序列凸近似(sequential convex approximation，SCA)算法SCA算法具体步骤如下：Step 1 选取x0∈Ω(t)，k=0．Step 2 若xk是最优解，算法终止．Step 3 用Monte-Carlo方法[6]求解下列凸规划问题：max μTx+xTVTEF(ξ)-γxTDxs.t. g1(x，t)-[g2(xk)+〈g2(xk)，x-xk〉]≤βt 1Tx=1，x≥0得最优解xk+1．Step 4 k∶=k+1，转Step 2．2.1 凸规划问题(4)的求解依照前面的记号c(x，ξ)=μTx+xTVTξ-a g1(x，t)=E[c(x，ξ)+t]+= E[I[0，+∞)(c(x，ξ)+t)]g2(x，t)=g1(x，0)另外，记h(x)为问题(4)的目标函数：则有令则记ξ1，ξ2，…，ξn为随机变量ξ的独立同分布的样本点．对g(x)的一个自然的估计是对E(ξ)的估计是．建议求解s.t. 1Tx=1，x≥02.2 g(x)的近似为了在n较大时有效地求解问题(4)，给出下面的方法：由式(5)、(6)及文献[7]引理2知，则g(x)可以近似为当n较大时，用g(x)作为g(x)的近似，并直接用基于梯度[8]的方法求解问题(4)．该方法可以视为用近似的g(x)、g(x)及E(ξ)直接求解问题(4)．当采用基于梯度的方法求解问题(4)时，样本点仅用于计算(x)和g(x)的值．所需的计算量是O(n)．这是求解问题(4)的一种较快的方法．2.3 初始点的选取为执行SCA算法，需要选取初始点x0∈Ω(t)，给出两种选取办法．第一种，记注意到，g2(x)=E[μTx+xTVTξ-a]+≥0，∀x∈X．故Ω0(t)⊆Ω(t)．另外，由于g1(x，t)是关于x的凸函数，故Ω0(t)是凸集合．于是，是凸规划．令xε=arg min{h(x)：x∈Ω0(t)}，则xε∈Ω(t)．第二种，令ΩCVaR={x∈X：CVaR1-βc(x，ξ)≤0}．依据前面的讨论，令xCVaR∈arg min{h(x)：x∈ΩCVaR，1Tx=1，x≥0}，即Rockafellar和Uryasev 给出的CVaR近似的最优解．令t*=q1-β(c(xCVaR，ξ))，即c(xCVaR，ξ)的1-β分位数．由文献[9]，t*>0且于是，xCVaR∈{x∈X：g1(x，t*)≤t*β}．由于g2(x)≥0，故xCVaR∈{x∈X：g1(x，t*)-g2(x)≤t*β}=Ω(t*)．对于任意t∈(0，t*]，Ω(t*)⊆Ω(t)．因此，xCVaR∈Ω(t)，0<t≤t*．可以首先求解CVaR近似问题得到xCVaR，然后选取t∈(0，t*]，则xCVaR可以用作SCA算法的初始点．若使用x0=xCVaR，则SCA 算法产生的迭代点列{xk}将改进或至少等价于CVaR近似解．(1)CVaR近似解的计算xCVaR=arg min{h(x)：CVaR1-βc(x，ξ)≤0，1Tx=1，x≥0}(2)CVaR分位数的计算记L是一随机损失，FL(y)=Prob{L≤y}是L的累积分布函数．对于任意α∈(0，1)，则损失L的α-VaR定义为定义为由文献[10]知道令L1，L2，…，Ln是损失L的n个独立同分布的观测，则L的α-VaR可以估计为其中是排序后的n个观测中的第i个观测．L的α-CVaR可以估计为(3)CVaR分位数的梯度估计假设随机损失L是参数θ的函数，记为L(θ)．L(θ)关于θ可微．对任意的θ，设vα(θ)、cα(θ) 是L(θ)的α-VaR和α-CVaR，0<α<1，它们都是θ的函数．依据文献[10]定理3.1，在适当的条件下，对于任意的θ，记(L1，D1)，(L2，D2)，…，(Ln，Dn)为(L(θ)，L′(θ))的n个独立同分布的观测．提出c′α(θ)的估计：采用下面的数据进行测试：各资产的平均收益μ=(1.0 1.2 1.4 1.6 1.8)T，期望收益a=1.5，因子荷载矩阵方差-协方差矩阵实验测试ξ=(ξ1 ξ2 … ξp)T服从如下两种分布的情形．(1)ξ服从F分布：ξi～F(i+2，i+4)，i=1，2,…，p；(2)ξ服从正态分布：ξi～N(πi，ρi2)，i=1，2,…，p，为了比对两种情形，取均值πi、方差ρi2与情形(1)中相应的F分布的均值和方差相同．序列凸近似算法的参数设为γ=1.0，β=0.05，t=0.01．算法在Matlab 2012a平台下编程实现，在Intel Core i7-4770 CPU 3.40 GHz，8 GB RAM计算机上执行．实验分别测试了-近似解和CVaR近似得到的解作为SCA算法的初始点．随机变量ξ的抽样次数为1.0×105．图2中给出了目标函数值f随迭代次数k的变化，ξ分别服从F分布和正态分布．可以看出，无论ξ服从F分布还是正态分布，CVaR初始点处的目标函数值大于-近似解处的目标函数值，并且在两种不同的初始点下，目标函数值随迭代次数的增加而增加，最终近乎收敛于共同的函数值．ξ服从F分布时(图2(a))，算法改进了-近似的目标函数值(1.605 6)和CVaR近似的目标函数值(1.608 0)：算法收敛时的目标函数值为1.621 2．两种初始点计算出的最优解皆为x*=(0 0 0.171 2 0 0.828 8)T．可见模型选择了第3个和第5个资产进行资产配置．ξ服从正态分布时(图2(b))，算法改进了-近似的目标函数值(1.618 2)和CVaR近似的目标函数值(1.618 3)：算法收敛时的目标函数值为1.618 7．两种初始点计算出的最优解皆为x*=(0 0 0.203 8 0 0.796 2)T．可见模型仍选择了第3个和第5个资产进行资产配置，但资产配置比例与ξ服从F分布时的情形有差别．为测试抽样规模的影响，实验比较了不同抽样规模下的目标函数值以及计算时间(单位：s)，如图3所示(ξ服从F分布)．在每个抽样规模下，进行了100次重复实验，目标函数值和计算时间取其平均值，图中画出了其标准差(每个柱线段的长度是相应标准差的2倍)．由图3(a)可以看出，目标函数值的标准差在抽样规模N大于0.5×105时趋于稳定(标准差小于1.0×10-3)；图3(b)显示，计算时间随抽样规模的增长而增加．ξ服从正态分布时有类似的规律，见图4．本文考虑因子收益ξ服从“尖峰厚尾”分布的情形，例如F分布，用DC函数来近似概率约束中的指示函数，将资产投资组合问题建模为一个DC规划，并提出了求解该DC规划的序列凸近似(SCA)算法．该算法通过迭代求解一系列凸二次规划问题，来计算原问题最优解．通过所提出的梯度近似计算方法，减少了算法的计算量．初步的数值实验结果表明，所提出的模型及SCA算法是有效的．因子收益ξ服从F分布时，目标函数值优于采用CVaR近似的目标函数值．【相关文献】[1] MARKOWITZ H M. Portfolio selection [J]. Journal of Finance, 1952, 7(1):77-91.[2] MITRA G, KYRIAKIS T, LUCAS C, et al. A review of portfolio planning:models and systems [J]. Advances in Portfolio Construction and Implementation, 2003, 26(1):1-39. [3] GOLDFARB D, IYENGAR G. Robust portfolio selection problems [J]. Mathematics of Operations Research, 2003, 28(1):1-38.[4] ROCKAFELLAR R T, URYASEV S. Optimization of conditional value-at-risk [J]. Journalof Risk, 2000, 2(3):21-40.[5] NEMIROVSKI A, SHAPIRO A. Convex approximations of chance constrained programms [J]. SIAM Journal on Optimization, 2006, 17(4):969-996.[6] HONG L J, YANG Yi, ZHANG Liwei. Sequential convex approximations to joint chance constrained programms: a Monte Carlo approach [J]. Operations Research, 2011,59(3):617-630.[7] GLASSERMAN P. Monte Carlo Methods in Financial Engineering [M]. New York:Springer, 2004.[8] FREUND R M. Subgradient optimization, generalized programming, and nonconvex duality [R]. Cambridge: Massachusetts Institute of Technology, 2004.[9] PFLUG G C. Some remarks on the value-at-risk and the conditional value-at-risk [M] // Probabilistic Constrained Optimization: Methodology and Applications. New York: Springer US, 2000:272-281.[10] HONG L J, LIU Guangwu. Simulating sensitivities of conditional value-at-risk [J]. Management Science, 2009, 55(2):281-293.。
投资组合优化模型及策略研究
投资组合优化模型及策略研究投资组合优化是金融领域的一个重要课题，通过合理配置不同投资资产的比例，能够有效降低投资风险并获得预期收益。
在过去几十年的研究中，学者们提出了许多投资组合优化模型和策略，旨在找到最优的投资组合。
一、投资组合优化模型1.1. Markowitz模型Markowitz模型是投资组合优化领域的开创性工作，由哈里·马科维茨于1952年提出。
该模型认为，投资者的目标是在给定风险水平下最大化预期收益，或在给定预期收益的情况下最小化风险。
马科维茨提出了有效边界的概念，有效边界上的投资组合即为最优投资组合。
1.2. 基于均值方差的优化模型基于均值方差的优化模型是应用广泛的一类投资组合优化模型。
该模型假设投资者的收益率符合正态分布，并以投资组合的平均收益率和方差作为衡量指标，通过调整不同资产的权重来实现最优化。
1.3. 基于风险价值的优化模型基于风险价值的优化模型是近年来发展起来的一类模型。
该模型通过引入风险价值度量，例如条件风险价值或极端风险价值，来对投资风险进行衡量。
通过最小化或最大化风险价值，可以得到最优的投资组合。
二、投资组合优化策略2.1. 马科维茨均衡模型马科维茨提出的马科维茨均衡模型是一种相对比较保守的投资组合优化策略。
该策略根据不同资产的预期收益率和协方差矩阵，构建出投资组合的有效边界，并选择在该边界上风险最低的投资组合。
2.2. 最小方差模型最小方差模型是一种追求较低风险的投资组合优化策略。
该策略认为，通过降低投资组合的方差可以减小投资风险。
因此，最小方差模型的目标是找到方差最小的投资组合。
2.3. Sharpe比率模型Sharpe比率模型是一种综合考虑风险和预期收益的投资组合优化策略。
该策略通过计算投资组合预期收益与风险之间的比率来评估投资组合的绩效。
目标是选择使得Sharpe比率最大化的投资组合。
2.4. 增量风险模型增量风险模型是一种关注投资组合下行风险的策略。
证券行业的投资组合理论
证券行业的投资组合理论在证券投资领域，投资组合理论被广泛应用于资产配置和风险管理。
本文将介绍证券行业的投资组合理论，并探讨其在实践中的应用。
一、投资组合理论的基本概念投资组合理论旨在通过优化资产配置来实现风险与收益间的平衡。
其核心思想是通过不同资产间的组合，能够降低整体投资组合的风险，同时提高预期收益。
以下是一些基本概念：1. 投资组合：指由不同资产构成的投资组合，例如股票、债券、基金等。
投资组合可以是单一资产的组合，也可以是多个不同资产类别的组合。
2. 风险：指投资者可能面临的损失或波动性。
在投资组合理论中，风险通常通过资产的波动性来衡量。
3. 收益：指投资带来的回报。
投资组合理论的目标是通过优化资产配置来最大化预期收益。
4. 盈亏分布：投资组合的盈利和亏损可能会遵循一定的概率分布。
理解和分析盈亏分布有助于评估投资组合的风险特征。
二、马科维茨的均值-方差模型马科维茨的均值-方差模型是投资组合理论的重要基石。
该模型将投资组合的风险和收益联系起来，并通过优化资产配置来实现最优组合。
1. 风险和收益关系：根据均值-方差模型，投资组合的风险可以通过计算资产之间的协方差来衡量。
协方差越高，风险越大。
而收益可以通过计算资产的期望收益率来估算。
2. 最优投资组合：均值-方差模型认为，存在一组权重分配，可以同时最小化投资组合的风险和最大化预期收益。
这个最优权重分配可以通过数学方法进行计算。
三、投资组合的多样化投资组合的多样化是降低风险的重要策略。
通过将不同资产类别或不同行业的资产组合在一起，可以减少特定风险的影响。
1. 资产类别多样化：将股票、债券、商品等不同类型的资产组合在一起，可以降低整体投资组合的风险。
因为不同类型的资产受到不同的市场因素影响，它们可能会呈现出良好的相关性。
2. 行业多样化：将不同行业的股票组合在一起，可以减少特定行业风险对投资组合的影响。
例如，在证券行业投资组合中，可以包含银行、保险、证券公司等不同类型的股票。
证券投资组合的最优化问题研究
证券投资组合的最优化问题研究秦宝飞 11119128010摘要：以Markowitz证券组合投资理论为基础，对于几种不同证券组合投资模型分别考虑了证券组合的收益、风险、交易费等因素条件下对模型进行了优化，并对文中模型做了进一步的扩展。
在数理金融学中，用随机控制理论研究最优投资策略问题是很重要一个方面。
无摩擦金融市场的投资策略研究己有许多文献，得出了一些很好的结论。
随着数理金融学的发展，摩擦金融市场的投资策略的研究成为讨论的热点。
研究股利和税收对金融市场模型的建立、投资策略选择的影响等问题，具有更强的实际意义，为投资者正确选择证券组合投资的最优策略及应用方面提供借鉴。
关键词：证券投资组合HJB方程风险水平最优化一、证券投资组合理论的概述（一）证券投资组合的定义证券投资组合是指投资者对各种证券商品进行一定的选择而形成相对固定的若干个投资品种，以达到在一定的约束下，实现投资收益最大化的基本目标。
这种组合并非是若干个证券商品简单随意的拼凑，它应体现出投资者的意愿和所受的约束，是经过精心选择和科学搭配的，并可随时调整，使其不偏离投资者的预定目标，也就是在投资收益与风险的权衡中作出的最佳组合，也是希望达到投资本金安全、投资收入相对稳定并逐步实现资本增值的一个综合目标。
现代证券组合投资理论一直是世界各国经济学家倾力关注的一个重要理论研究前沿。
经过马柯威茨、夏普等为首的众多经济学家的努力,这一理论在基本概念的创新、理论体系的完善、重要结论的实证和理论应用的拓展上都取得了重大进展。
我国证券市场是社会主义经济的重要组成部分,显然,借鉴西方发达国家的现代证券组合投资理论,对于促进和推动我国证券市场保持长期稳定的发展具有重要的理论和现实意义,但是,在借鉴和应用现代证券组合投资理论的过程中, 必须考虑现代证券组合投资理论在我国的实用性。
首先,由于我国证券市场的体制和政策造成的“政策市”和“消息市”问题,常常引起股票市场的大起大落,因此,在我国进行证券组合投资时,应对系统风险加以较大的关注。
《证券投资学：基本原理与中国实务》第11章——投资组合优化
11
02
认识投资组合Ⅰ：预期收益
单一证券预期收益率的估计
第3步，基于预测的市场收益率估计该证券的未来收益率预测,+1 ：
,+1 = + ,+1
需要说明的是，上述估计方法在强势有效市场中形势较为平稳时准确
度较高，但在弱势有效市场或市场形势剧烈震荡时则需要特别注意其结果
的可靠性。
现代投资组合理论概述
现代投资组合理论的核心思想
• 投资者是风险回避的，其投资愿望是追求高的预期收益，但不
愿承担没有相应预期收益加以补偿的额外风险
• 投资组合的风险不仅与其成份证券的个别风险有关，而且受各
证券之间的相互关系的影响
• 基于投资组合的有效边界，可以建立不同的投资组合策略，使
得投资组合在给定的风险水平下获得最大的收益，或者在收益
年。
16
一只由银行股票组成的虚
拟基金—银行概念基金1号，
其成份股和持仓比例如表中所
示。银行概念基金1号重仓四
只股票（浦发银行，招商银行，
02
认识投资组合Ⅰ：预期收益
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02
认识投资组合Ⅰ：预期收益
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02
认识投资组合Ⅰ：预期收益
持仓比例对投资组合收益率的影响
成份证券名称
证券代码
中国建设银行
601939
表4：某支股票未来一年内的收益率和概率
可能状态
1
2
3
4
5
收益率（%） -2.50
2.00
3.20
4.50
6.70
概率
0.10
0.15
0.05
0.60
0.10
根据预期收益率的计算公式，该股票的加权平均期望收益率为3.58%，可以计
投资组合优化模型及其应用
投资组合优化模型及其应用随着投资市场的发展，投资者们愈发注重科学化、系统化的投资手段，而投资组合优化模型便成为了一种常用的策略。
一、什么是投资组合优化模型？投资组合优化模型是指利用数学、统计学等方法对投资组合进行优化的一种策略。
通过对投资组合中各资产的风险和预期收益率进行量化，构建成数学模型，并通过模型计算得出最优的投资组合。
二、投资组合优化模型中使用的方法1.均值-方差模型均值-方差模型是应用最广泛的投资组合优化模型。
该模型的核心思想是通过计算各个资产的预期收益率和风险，构建一条风险-收益率的曲线，并在曲线上选取最优点，从而得到最优的投资组合。
其中，预期收益率和风险的计算方式如下：预期收益率：E(Rp) = ∑(yi * Wi)，其中yi为第i个资产的预期收益率，Wi为该资产在总资产中占比。
风险：σ^2p = ∑[Wi^2 * σi^2 + ∑(Wi * Wj * σi * σj * ρij)]，其中σi为第i个资产的标准差，Wi、Wj分别为该资产在总资产中的占比，σi、σj分别为两个资产的标准差，ρij为两个资产的相关系数。
2.最小方差模型最小方差模型是指采用数学方法，寻找一种资产分配方案，使得投资组合的方差达到最小，即投资组合的风险达到最小。
最小方差模型的核心思想是通过计算各个资产的协方差矩阵，并将其带入到优化模型中求解。
其中，协方差矩阵的计算方式为：协方差矩阵：Σ = [σij]，其中σij为第i个资产和第j个资产的协方差。
在实际应用过程中，往往将均值-方差模型和最小方差模型结合起来，构建一种新的投资组合优化模型。
该模型的核心思想是，将均值-方差模型作为目标函数，使用最小方差模型约束投资组合的风险。
三、投资组合优化模型的应用投资组合优化模型具有很广泛的应用领域，如：1.证券投资证券投资是最常见的投资领域之一，投资者可以利用投资组合优化模型，构建合适自己的投资组合，获得更好的收益率。
2.资产配置资产配置是指根据投资者的风险偏好和投资目标，合理分配投资资产的过程。
证券投资组合的平衡配置方法
证券投资组合的平衡配置方法一、概述证券投资组合的平衡配置是投资组合理论中的一个重要部分，其核心思想是通过合理的配置不同资产的权重，达到收益最大化、风险最小化的目标。
本文将从组合优化、资产配置等方面，介绍证券投资组合的平衡配置方法。
二、组合优化在进行组合优化前，需要确定资产池的范围和组合构建的目标。
资产池的范围可以根据投资者的偏好和风险承受能力来确定，例如，某些投资者可能更偏好固定收益类资产，而另一些投资者则偏好股票等风险资产。
组合构建的目标可通过投资者对资产风险等级的预期和收益需求来进行优化。
在确定了资产池和组合构建目标后，就可以进行组合优化。
组合优化的目的是找到投资组合中每个资产的最佳权重，以达到收益最大化和风险最小化的目的。
常用的组合优化方法包括马科维茨均衡模型和风险平价模型。
马科维茨均衡模型是一个基于统计分析的组合优化方法。
该模型认为，通过合理的权重分配，可以在保持组合期望收益率不变的前提下，实现投资风险最小化。
马科维茨均衡模型的优点是可以既考虑资产收益率的均值又考虑其方差，但其局限性在于其对资产的假设比较理想化，运用时需要注意。
风险平价模型是一种以风险平价原则为基础的组合优化方法。
该方法认为，任何一个资产在该组合中所承担的风险应该相同，即资产在组合中所占权重应该与该资产的波动率成反比。
风险平价模型的优点是简单易懂，但其限制在于其只能对风险敞口进行调整，无法以此推论出合适的投资组合。
三、资产配置资产配置是指根据投资者的风险偏好和投资目标，合理配置不同资产的权重。
资产配置的核心思想是通过分散风险来达到收益最大化的目的。
资产配置的具体方法包括确定投资风险承受能力、优化目标风险度、分散化投资和动态调整投资组合等。
其中，动态调整投资组合是资产配置中的关键环节，它需要投资者考虑到经济形势、行业趋势、政策预期等因素，并在此基础上做出相应的调整。
在资产配置中，还需要考虑不同资产类别之间的相关性。
相关性越高，资产间的风险互相传递越严重。
投资组合分析模型
投资组合分析模型投资组合分析模型的基本原理是将投资组合分为不同的资产类别，并计算每个资产类别的预期回报率和风险。
通常，预期回报率可以通过历史数据或基本面分析等方法计算得出，而风险可以通过波动率、 beta 值等指标来衡量。
在投资组合分析模型中，常用的评估指标包括夏普比率、排序比率、信息比率等。
夏普比率是一种评估投资组合回报率与风险之间关系的指标，其计算公式为(Rp-Rf)/σp，其中Rp为投资组合的预期回报率，Rf为无风险利率，σp为投资组合的标准差。
夏普比率越高，表示单位风险下的回报率越高，投资组合效益越好。
排序比率和信息比率则是根据投资组合的超额回报率来衡量其绩效。
优化投资组合的目标是在给定的风险条件下，最大化预期回报率或最小化风险。
常见的优化方法包括马科维茨模型、均值-方差模型等。
马科维茨模型基于投资组合理论，通过计算期望收益和协方差矩阵来构建有效前沿，找到最佳的投资组合。
均值-方差模型则是在最小化风险的前提下，寻找最大的预期回报率。
除了上述基本模型外，还有一些衍生的模型可供选择。
例如，固定收益风险模型将投资组合分为固定收益和风险资产，并根据投资者的风险承受能力进行调整。
增量风险模型用于评估将新资产添加到投资组合中所带来的风险变化和回报变化。
动态调整模型则将投资组合的权重和资产配置进行动态调整，以适应市场环境的变化。
总之，投资组合分析模型是一种帮助投资者评估和优化投资组合的重要工具。
通过使用不同的评估指标和优化方法，投资者可以制定适合自身风险承受能力和收益目标的最佳投资策略。
然而，需要注意的是，投资组合分析模型只是一种辅助工具，最终决策应考虑更多因素，如市场环境、投资者的偏好等。
几类投资组合优化模型及其算法
几类投资组合优化模型及其算法投资组合优化是表示如何将资金投入到不同的资产类别中以达到特定风险和回报目标的方法。
它是金融学和投资领域中一个非常重要的研究课题。
在现代金融市场中，如何选择最佳的投资组合成为了投资者和资产管理者所面临的最重要问题之一。
本文将重点介绍几类投资组合优化模型及其算法。
一、均值方差模型最常用的投资组合优化模型是均值方差模型。
该模型的基本思想是通过最小化组合投资收益方差的方式来决定资产类别的投资比例，以达到特定风险和回报目标。
均值方差模型的形式化表示为：min Var(X)= min w’Σws.t. w’μ≥r, w’1=1, wi≥0, I=1,2,3……n其中，w表示投资比例，Σ为资产类别之间的协方差矩阵，μ为预期收益率矩阵，r为目标回报率。
1是一个n维的向量。
这个优化问题可以通过各种数学方法来解决，比如matlab、Python等软件包可以用于求解上述优化问题。
二、风险控制模型风险控制模型是在均值方差模型的基础上扩展出来的。
它的思想是在投资风险可控的前提下，实现最大的回报率。
这个模型和均值方差模型的区别在于，它增加了一个风险控制因素。
具体的模型表示为：max w’μs.t. w’Σw< δ, w’1=1, wi≥0, I=1,2,3……n其中，w表示投资比例，δ为投资组合的风险阈值，Σ为资产类别之间的协方差矩阵，μ为预期收益率矩阵。
1是一个n维的向量。
使用matlab通过求解相关约束可得到投资组合最优的权重分配参数。
三、价值-风险模型价值-风险模型是在均值方差模型的基础上增加了不同资产之间的相关性假设。
该模型是用来解决高维投资组合优化的问题。
高维无关风险是指资产之间没有关联性，因此，用均值方差模型来优化投资组合比较合适。
但是，实际情况中，资产之间的相关性是存在的，因此，使用价值-风险模型更加符合实际。
该模型的形式化表达如下：max w’μ−kσps.t. σp≤δ, w’1=1, wi≥0, I=1,2,3……n其中，w表示投资比例，μ为预期收益矩阵，σp为投资组合的价值，k为折现因子。
不确定条件下具有容差项的Markowitz证券组合投资模型的最优化解法
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ，ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ Ｍａ ｒ ｋ ｏ ｗｉ ｔ ｚ ｐ ｏ ｒ ｔ ｆ ｏ ｌ ｉ ｏ ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ， ａ ｐ ｐ ｌ ｙ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ａ ｄ ｍｉ ｓ ｓ ｉ ｂ ｌ ｅ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｏ ｆ ｅ ｘ ｐ ｅ ｃ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｖ ａ ｉ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ， ｗｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｔ ｈ ｅ ｐ ｏ ｒ ｆ ｔ ｏ ｌ ｉ ｏ ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ｕ ｎ ｃ ｅ ｒ ｔ ａ ｉ ｎ ｔ ｙ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ；ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｔ ｗ ｏ ｆ ｒ ｏ ｎ ｔ ｉ ｅ ｒ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｏ ｔ ｒ ｆ ｏ — ｌ ｉ ｏ ａ ｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｕ ｐ ｐ ｅ ｒ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｎ ｄ ｌ ｏ ｗｅ ｒ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｏ ｆ ａ ｄ ｍｉ ｓ ｓ ｉ ｂ ｌ ｅ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ；ｇ ｅ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍａ ｌ ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ａ ｃ ｈ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｐ ｏ ｒ ｆ ｔ ｏ ｌ ｉ ｏ ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ ｔ — ｍｅ ｎ ｔ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｗｉ ｔ ｈ ａ ｄ ｍｉ ｓ ｓ ｉ ｂ ｌ ｅ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍｓ ．Ａ ｔ ｌ ａ ｓ ｔ ，ｗｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ａ ｎ ｕ ｍｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ Ｐ ｏ ｒ ｔ ｆ ｏ ｌ ｉ ｏ Ｋ ａ ｒ ｕ ｓ ｈ— — Ｋｕ ｈ ｎ— — Ｔ ｕ ｃ ｋ ｅ ｒ Ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ Ａｄ ｍｉ ｓ ｓ ｉ ｂ ｌ ｅ ｅ ｒｏ ｒ
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毕业论文（设计）内容介绍目录中文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1英文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1第一章引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21.1 文献综述⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21.2 问题提出⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21.3 研究的主要内容⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3第二章马科维茨组合投资模型基本概念和理论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯42.1 马科维茨的基本理论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯42.2 理性投资者的行为特征和决策方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯42.3 资产的收益和风险特征⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯72.4 马科维茨的均值方差模型⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8第三章股票中的数学模型及优化⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯103.1 模型的假设与符号说明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯103.2 模型的建立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯103.3 模型的求解及优化⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11第四章股票的预测与程序设计⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13第五章模型的结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15第六章对马科维茨理论的评价与启示⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯166.1 对马科维茨理论的评价⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯166.2 马科维茨理论的启示⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18证券投资组合的优化模型张东柱摘要：马科维茨( Markowitz )1952 年提出的组合投资理论开创了金融数理分析的先河，是现代金融经济学的一个重要理论基础。
利用马科维茨模型确定最小方差资产组合首先要计算构成资产组合的单个资产的收益、风险及资产之间的相互关系，然后，计算资产组合的预期收益和风险。
在此基础上，依据理性投资者投资决策准则确定最小方差资产组合。
本文以马科维茨的均值方差模型为主要的理论基础，根据投资者对收益率和风险的不同偏好，建立投资组合优化模型，并且通过数学软件Matlab 进行实证研究，希望能为投资者实践提供某种程度的科学依据。
关键词：股市；组合投资；均值；方差；收益；风险中图分类号：O221.7Optimization for Portfolio Investment ModelZhang DongzhuAbstract ：In 1952 Markowitz proposed the Portfolio Theory and created the analysis way in financial mathematics, which was an important theoretical basis in modern Financial Economics. We use Markowitz model to establish Minimum Variance Portfolio. Firstly we calculate proceeds and risk of single assets in Portfolio Theory and the relationship between assets, and then calculate the expected proceeds and risk of portfolio. On this basis, we determine Minimum Variance Portfolio according to the rational criteria of investors' decision to invest. Based on the investment portfolio and does empirical study through mathematical software Matlab, hoping to provide a certain scientific basis in practical investment.Key Word: Stock Market, Portfolio, Mean, Variance, Proceeds, Risk第一章引言1.1 文献综述马科维茨( Markowitz )1952 年提出的组合投资理论开创了金融数理分析的先河，是现代金融经济学的一个重要理论基础。
在马科维茨的组合投资模型中，数学期望代表着预期收益，方差或标准差代表着风险，协方差代表着资产之间的相互关系，进而资产组合的预期收益是资产组合中所有资产收益的简单加权平均，而资产组合的方差则为资产方各自方差与它们之间协方差的加权平均。
利用马科维茨模型确定最小方差资产组合首先要计算构成资产组合的单个资产的收益、风险及资产之间的相互关系，然后，计算资产组合的预期收益和风险。
在此基础上，依据理性投资者投资决策准则确定最小方差资产组合。
现代组合理论的主要贡献在于它阐明了组合风险并不取决于各个个别资产风险的均值，而是各资产的协方差——资产之间的相互关系。
运用马科维茨关于组合投资的基本思想，我们可以看到在资产完全不相关的情况下，资产组合的风险会随着资产数量的增加而消失。
由于在现实生活中，资产完全不相关或完全相关的情况不多，大部分处于不完全正相关状态，所以资产之间的协方差就成了资产组合方差的决定因素，而协方差是不能靠资产组合多元化来降低的。
投资者构建证券投资组合的主要动因在于降低投资风险和实现收益最大化目标。
投资者通过科学的组合投资，可以在投资收益和投资风险之间找到一个平衡点，即在风险既定的条件下实现收益最大，或在收益既定的条件下使风险尽可能降低。
诺贝尔奖得主马科维茨提出的证券组合优化均值方差模型奠定了现代证券组合投资理论的基础。
1.2 问题提出作为一个成熟的投资者，我们应该时刻牢记一句话：“股市有风险，入市须谨慎。
尤其是最近受到世界经济形势的影响，因此投资者对风险的控制是必要的，投资者必须确保在获得一定的预期收益时，使得风险最小或者在一定风险水平下获得最大收益。
为了达到这个目标，并创造出更多的可供选择的投资机会，进行证券投资的组合优化无疑是非常必要的。
在充满风险和机会的证券市场中，无论是个人还是机构投资者在进行证券投资时，总是以投入资金的安全性和流动性为前提，合理的运用投资资金，达到较小风险、较高收益的目的。
投资于高收益的证券，很可能获得较高的投资回报；但是，高收益往往伴随着高风险，低风险常又伴随着低收益。
如果投资者单独投资于某一种有价证券，那么一旦该有价证券的市场价格出现较大波动，投资者将蒙受较大的损失，所以，稳健的投资方法是将资金分散地投资到若干种收益和风险都不同的有价证券上，以“证券组合投资”的方式来降低风险。
1.3 研究的主要内容证券投资是一种复杂而又充满风险的金融活动，它既可以给投资者带来丰厚的收益，也可能使投资者遭受巨大的损失，因而越来越多的投资者利用投资组合以及多元化投资来分散风险，然而风险依赖于效用，不同偏好的投资者可能具有不同的衡量标准，其效用函数不同，拥有不同的风险测度，但是迄今为止，并没有一种令人满意的风险度量标准。
马科维茨的证券投资组合模型中用方差来度量风险，但是据研究，只有在证券收益率服从正态分布条件下，方差才是风险的有效测度，这表明投资者对风险、收益的理解不对称，更谈不上均匀分布在均值左右。
而统计数据也表明收益率并不一定服从正态分布，因而选择何种度量风险的标准，对投资组合的证券及比例的选择尤为重要。
第二章马科维茨组合投资模型基本概念和理论2.1 马科维茨的基本理论马科维茨以理性投资者及其基本行为特征为基本假设，论述了建立有效资产组合边界（即在一定风险水平上收益最高的资产组合的集合）的思想和方法。
马科维茨考虑的问题是单期投资问题，投资者拥有一笔资金，从现在起投资于一特定长的时间（称为持有期），在期初投资者需要作出决定购买哪种证券及其数量，并持有到期末。
分别以一定资金比例购买的一组证券称为一个证券组合，因而投资者的决策就是要从一系列的可能的证券组合中选择一个最优的证券组合，这样的一个决策问题被马科维茨称为证券组合选择问题。
为了解决这个问题，马科维茨对投资者的决策方法和行为特征做了如下假设：（1）、每一种投资都可以由一种预期收益的可能分布来代表；（2）、投资者都利用预期收益的波动来估计风险；（3）、投资者仅以预期收益和风险为依据决策，在同一风险水平上，投资者偏好收益较高的资产或资产组合，在同一收益水平上，投资者偏好风险较小的资产或资产组合；（4）、投资者在一定时期内总是追求收益最大化。
2.2 理性投资者的行为特征和决策方法从理论上说，具有独立经济利益的投资者的理性经济行为有两个规律特征，其一为追求收益最大化，其二为厌恶风险，二者的综合反映为追求效用最大化。
“效用”在微观经济学中指人们从消费商品和服务中得到满足。
在金融市场上，交易主体追求的是利益最大化。
无奈，高收益总是伴随着高风险，对风险的承受力直接制约着人们对收益预期的定位。
通常，人们只能在可接受的风险范围内寻求相对高的收益，或者只有当收益足够高时，才会去冒较大的风险。
所以，投资活动的效用就是投资者权衡选择风险与收益后获得的满足。
（1）、追求收益最大化的规律特征这一特征表现在，当风险水平相当时，理性投资者都偏好预期收益较高的交易。
在可能的范围内，投资者总是选择收益率最高的资产投资；但另一方面，与之相对立的市场资金需求者为了自身利益最大化的要求选择成本最低的融资方式，资金供求上方对立的经济利益、一致的利益冲动制约着市场均衡价格的形成。
（2）、厌恶风险的规律特征这一特征表现在，当预期收益相当时，理性投资者总是偏好风险较小的交易。
人们对风险的厌恶程度是不同的，有的强，有的弱，有的对风险持中立态度，有的甚至偏好风险，这一特征直接决定着价格的结构。
对于厌恶风险的人，要使之接受交易中的风险，就必须在价格上给予足够的补偿，有风险交易的收益从结构上看应该是无风险交易的收益加上一个风险补偿额。
风险越大，风险补偿额也就越高。
（3）、追求效用最大化追求效用最大化就是要选择能带来最大满足的风险与收益的资产组合。
效用由无差异曲线表示，可供选择的最佳风险与收益的组合的集合由有效边界表示，效用曲线与有效边界的切点就是提供最大效用的资产组合。