高数复习题

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高数试题及答案

高数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3在区间[0,5]上的最大值是：A. 3B. 4C. 5D. 62. 曲线y=x^3-3x^2+2x在x=1处的切线斜率是：A. -1B. 0C. 1D. 23. 已知∫(0,1) x^2 dx = 1/3，求∫(0,1) x^3 dx的值：A. 1/4B. 1/3C. 1/2D. 2/34. 函数y=sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 4πD. 8π5. 无穷小量o(x)与x的关系是：A. o(x) = x^2B. o(x) = xC. o(x) = x^(1/2)D. o(x) = x^(1/3)6. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. πD. ∞7. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+7的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知函数f(x)=x^2+3x+2，求f(-1)的值：A. 0B. 1C. 2D. 39. 函数f(x)=e^x的导数是：A. e^xB. x*e^xC. 1D. x10. 已知序列{an}=2n-1，求a5的值：A. 9B. 7C. 5D. 3二、填空题（每题2分，共10分）11. 函数f(x)=2x-3的反函数是________。

12. 曲线y=x^2在x=-1处的切线方程为________。

13. 极限lim(x→∞) (1/x)等于________。

14. 函数y=ln(x)的定义域是________。

15. 函数f(x)=cos(x)的最小正周期是________。

三、解答题（每题15分，共30分）16. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。

17. 求曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线方程，并说明切点坐标。

四、证明题（每题15分，共15分）18. 证明：对于任意正整数n，有sin(n)≠n。

高数复习题

第一章函数与极限一.选择题1. )(x f =112+-x x 的定义域是【C 】（A ）[-1，1] （B ）[-1，1）（C ）（-1，1] (D)（-1，1） 2. 函数x1sin y =是【C 】（A ）单调函数（B ）偶函数（C ）有界函数（D ）周期函数3.下列)(x f 和)(x ϕ表示同一个函数的是【B 】 (A)222)1()(,1)(x x x x f -=-=ϕ (B)x x x x f 22cos sin )(,1)(+==ϕ (C))sin(arcsin )(,)(x x x x f ==ϕ (D) )arccos(cos )(,)(x x x x f ==ϕ4.函数()13cos 2+=x y 的复合过程是【D 】（A ）x y 2cos = 13+=x u (B)2u y = ()13cos +=x u （C ）u y cos = 2v u = 13+=x v (D)2u y = v u cos = 13+=x v5.设221)1(xx xx f +=+，则【B 】 (A) 1)(+=x x f (B)2)(2-=x x f (C)x x x f 1)(+= (D)xx f 11)(+=6. 若)x (f 在0x x =连续，)x (g 在0x x =不连续，则)x (g )x (f +在0x x =必不连续【C 】（A ）连续 (B) 不连续（C ）不确定其连续性7. 设数列{}n x ，若lim n n x A B →∞=>，则有【D 】（A ）n ∀，n x B > （B ）N ∃，,n n N x B ∍>>有（C ）n ∀，n x B ≤ (D) 0N ∃>，,n n N x B ∍>>有8.设()cos 2x f x x e =+-则当x →0时，正确的是【A 】（A ）)(x f 与x 是等价无穷小（B ）)(x f 与x 同阶但非等价无穷小（C ）)(x f 是比x 高阶的无穷小 (D) )(x f 是比x 低阶的无穷小9.)0(0+x f 与)0(0-x f 的极限都存在是函数)(x f 在0x x =处有极限的【A 】（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要10.sin ,0()0,01cos ,0xx x x f x x x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩则0=x 是)(x f 的【C 】（A ）连续点（B ）可去间断点（C ）跳跃间断点（D ）振荡间断点11.设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 是),(+∞-∞上的连续函数，则=a 【B 】（A ） 0 （B ） 1 （C ）－1 （D ） 2二.填空题 1. 函数1131arcsin +--=x x y 的定义域为（-1,4 ] .2.函数22()(1)x f x x -=-，当→x 1 时是无穷大量.3．设函数)(x f =1,30,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1||1||>≤x x ，则)]([x f f = 1/3 .4. =→xxx 3sin 5sin lim3/5 . 5． 10lim ()(1)3x x x f x →=-= e -1/3. 6. 若,32lim22=-+-→x ax x x 则a = 2 . 7.若)(x f y =在点0x 连续，则00[()()]lim x x f x f x →-= 0 .8.设3()33xx f x x kx <⎧=⎨-≥⎩ ,当k = 6 时,)(x f 在3=x 连续. 9．若0x x →时，)x (g ~)x (f ，0)x (f ≠，则=-→)x (f )x (g )x (f limxx 0 . 10. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+-<+-=0210)1(cos 1)(22x x x x x x x x x f 则x = -1 是)(x f 的第一类间断点，x = -2 是)(x f 的第二类间断点.三.计算题1. 222ln(1)lim 4x x x x →+--. 解 22222ln(1)22ln(21)limlim 4424x x x x x →→+-+-==--- 2. 213lim21-++--→x x xx x .解1111x x x x →→→→====3. 33lim3--→x x x . 解333x x x →→→== 4. xx x sec 22)cos 1(lim +→π. 解 12sec 22cos 22lim(1cos )lim[(1cos )]xx x x x x e ππ→→+=+=5. 11656)2(lim ++++-∞→n n nn n .解 111111(2)6[(2)6]/600056[56]/601lim lim n n n n n n n n n n n n ++++++-+-++===+++→∞→∞6. 32tan(3)sin(3)limx x x →--.解 332tan(3)2(3)2sin(3)(3)limlim x x x x x x →→--==---7. )sin()11)(1ln(lima x a x a x ax --+-+-→.解()1ln(1)020()1lim x a x ax a x a x a →→-+-===- 8. limx →∞)111)(110()110(......)13()12()1(2222--++++++++x x x x x x .解 limx →∞2222(1)(21)(31)......(101)123101(101)(111)1102x x x x x x ++++++++++++==--9.xx x ee x-+∞→+cos lim.解2cos cos limlim 01x x x xx x x e xe e e ---→+∞→+∞==++ 10.xx xx x sin tan lim 0--→ .解 00tan (sin cos )limlimsin (sin )cos x x x x x x x x x x x x→→--=-- 四：证明题1.设()f x 在]1,0[上连续，[0,1]x ∀∈，0()1f x ≤≤，求证：]1,0[∈ξ∃,()f ξξ=. 证设()()F x f x x =-, 0()1f x ≤≤, 而(0)(0)00F f =-≥,()(1)10F x f =-≤又 ()f x 在]1,0[上连续,由零点存在定理知: 存在()0,1ξ∈, 使得()f ξξ=.4.试证方程3223230x x x -+-=在区间[1,2]至少有一根. 证设()f x =322323x x x -+-因为()f x 在区间[1,2]上连续,且(1)2f =-,(2)5f =, 由零点存在定理知: 存在()1,2ξ∈, 使得()0f ξ=,即3223230ξξξ-+-=. 第二章导数与微分一. 选择题:1.如果函数()f x 在点x 处可导，则()f x '等于【】（A ）0()()lim x f x x f x x ∆→-∆-∆ （B ）0()()lim 2x f x x f x x x∆→-∆-+∆∆ （C ）0()()lim x f x x f x x ∆→-∆--∆ （Ｄ）0()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆ 2.若函数()f x 在点0x 不连续，则()f x 在0x 【】（A ）必不可导；（B ）必定可导；（C ）不一定可导；（D ）必无定义. 3.函数()sin g x x x =在0x =处【】（A ）不连续（B ）可导（C ）不可导（Ｄ）二阶导数存在4.设32()ln f x x x =+，则()(1)f '= 【】)A (21)B (21- )C (0 )D ( 1 5.已知2()sin()f x ax =，则()f a '等于【】（A ）2cos ax （B ）232cos a a （C ）22cos x ax （D ）23cos a a 6.设函数()f x 在点0x 处可导，且0()0f x '>，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与x 轴【】（A ）平行（B ）与x 轴的夹角为钝角（C ）垂直（D ）与x 轴的夹角为锐角7.曲线上任意一点的切线在两坐标轴的截距之和为【】(A)2a (B)12a (C) 1a(D) a 8.设函数23,x y =则(4)(0)y = 【】（A ） 42 （B ） 43 （C ） 4(2ln3) （D ） 4(3ln2) 9.若函数()f x 为可微函数，则dy 【】 (A ）与x ∆无关（B ）为x ∆的线性函数 (C ）当0x ∆→时为x ∆的高阶无穷小（D ）与x ∆为等价无穷小 10.设函数()y f x =在点0x 处可导，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时，记y ∆为()f x的增量，dy 为()f x 的微分，0lim x y dyx∆→∆-∆等于【】 (A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）∞二.填空题 1.若极限()()limx af x f a x a→--存在，则lim ()_______________x a f x →= 2.设0()1f x '=,则000(2)()limh f x h f x h→--= 3.设x x g x f x ln )(,e )(==，求[])(''x g f =___________________4.椭圆2212516x y +=在点(5,2)N 处的切线方程为5.曲线35y x x =-+在点(0,5)M 处的法线方程为6.若)(u f 可导，则)(sin x f y =的导数为7.如果2,0()(1),0ax e x f x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩处处可导，那末______,________a b == 8.设()y x 是由方程e e y x xy -=所确定的隐函数，则(0)______y '=. 9.设arctan x y e =,则dy = 10.设2(sin3)x dy e x dx =+,则__________y = 三.计算题: 1.设y =求dy dx .2.设1arctan1x y x +=-,求dy dx. 3.=求dydx.4. 设()y y x =由参数方程2sin -arctan x t y t t⎧=⎨=⎩确定,求y '.5.设ln(y x =，求y ''.6.设ln y x x =,求()n y .7. arcsin3xy x =+dy 求. 8.设()y y x =是由20xy e y x +-=所确定的函数,求dy . 9. 设0'()3f x =-，求000()(2)limh f x h f x h h→+--.10.常数a 为何值时，两曲线3y ax =和ln y x =相切？并写出它们的公切线方程。

高数复习题与答案

复习题（一）一、选择题1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001cos)(x x xx x f 在0=x 处( )A 、连续；B 、不连续；C 、为第一类间断点；D 、为第二类间断点.2、已知2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n ( )A 、1)]([+n x f ；B 、n x f n )]([；C 、1][+n f(x)n!；D 、n x f n )]([! 3、设xe y sin =，则dy=（）A 、x d e 22sin ；B 、x d e x sin sin ；C 、x d e x sin 2sin ；D 、xdx e x sin 2sin . 4.函数)(x f 在0x 可导是函数)(x f 在该点连续的（）A 、充分条件；B 、必要条件；C 、充要条件；D 、非充分非必要条件.5、1lim(1)n n n→∞-=( )A.2eB.1C. 1 -eD. e6. 0tan 1lim(sin )x x x x x→-=( )A. 1B. 2C. 0D. 不存在 7、数列收敛是数列有界的（）A 、充分非必要条件；B 、必要非充分条件；C 、充分必要条件；D 、既不充分又不必要条件. 8、0x →时，下列无穷小中，（）是等价无穷小A 、arcsin x x 与 x ；B 、1cos x -与 22x ；C 、1xe -与 2x ；D 、22x x -与 24x x -.9、设1112()1xxe f x e+=+，则0x =是()f x 的（）A 、可去间断点；B 、跳跃间断点；C 、无穷间断点；D 、振荡间断点. 10、函数()f x 在0x 不可导，则()f x 在0x 处（）A 、一定不连续；B 、一定无界；C 、不一定连续；D 、一定无定义.11、设曲线L 的参数方程是2(sin )2(1cos )x t t y t =-⎧⎨=-⎩，则曲线在2t π=处的切线方程是（）A 、x y π-=；B 、4x y π+=-；C 、x y π+=；D 、4x y π-=-.12、设tan ln 2y x =+，则y '=（）A 、1sec 2x +；B 、2sec 2x +； C 、2sec x ；D 、cot x .二、填空题1. 当)(),(),(0x x x x x γβα时，→都是无穷小，且))(o()(x x βα=,)(x β～)(x γ，则)()()(limx x x x x γβα+→=2. 21lim()xx x x→∞+= 3.设a )(=x x f 在连续，且6)1(2tan lima 0=-→xe f x x x x ，则=)a (f ； 4、过曲线xxy -+=66上点（2，2）处的切线方程为； 5、设)0(,)sin(ln >=x x y ，则=dy x d ln 。

高数复习题

一、选择题1.平面是（）A．与ox 轴垂直的平面； B.与yoz平面平行的平面；C.通过ox轴的平面；D.不是前面三种平面；2.设向量满足则必有（）A． ; B. ; C. ; D.3．函数在点处（）A．连续、偏导数都存在； B. 连续但偏导数都不存在；C. 连续且可微；D. 不连续、偏导数也不存在. 4．交换二次积分的次序为（）A．； B. ；C. ；D. 。

5．下列级数中条件收敛的是（）。

（A）（B）（C）（D）6. 设函数，则( )A.0B. 1C.D.7. 若，则在处（）A．连续 B．存在两个偏导数 C．可微 D.有极值8.已知区域：，则（）A.2B.4C.8D.169. 函数为的幂级数展开式是（）A. B.C. D.10. 函数在处( )A．有极大值 B．有极小值 C．无极值 D. 有最大值11．函数在点处（）A）连续、偏导数不存在；B）不连续，偏导数存在；C）连续且可微；D）不连续，偏导数不存在。

12．设函数，则（）A）1 B）3 C）2 D）413. 二元函数的极小值点是（A） B） C） D）14．二重积分存在的必要条件是在D上（）A）连续 B）有界 C）非负 D）都不是15、设有直线 L:及平面则直线L（）A、平行于平面B、在平面上C、垂直于平面D、于平面斜交16、若二元函数在处可微，则在点下列结论中不一定成立的是（）A、连续B、偏导数存在C、偏导数连续D、切平面存在17、设函数连续，则二次积分（）A、 B、C、 D、18、设为在第一卦限中的部分，则有（）A、 B、C、 D、.二、填空题：1．过点（1，2，-1）与向量，平行的平面方程为_____________. 2．过点且与直线垂直的平面方程为____ ______.3．设，则=______ _______.4．设，则=_______. 5. .6 .设，而,则 = .7. , 则.8．设，则=__________ ______.9、级数的和是_____ 10．幂级数的收敛半径R=（）11. 设，则.12. 交换累次积分的次序= . .13. 过点且与直线垂直的平面方程是.14. 函数在点(1,0)处的梯度向量为.15. 由方程所确定的函数全微分.16. 设为球面的外侧，则= .17. 设，，则.18. 设为椭圆，其周长为，则.19. 二重积分化为极坐标下的二重积分为.20. 设，，则.21．非零向量与垂直的充要条件是 .22．函数的定义域D为 .23．设，则 = ,= .24．设，则du=25．曲线在时的切线方程为。

高数复习题库答案

高数复习题库答案一、选择题1. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间(1,2)内是增函数还是减函数？A. 增函数B. 减函数C. 不确定D. 既不是增函数也不是减函数答案：A2. 已知函数f(x)=2x-1，求f(-1)的值。

A. -3B. -2C. 0D. 1答案：A3. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是多少？A. 1B. 2C. 0D. 不存在答案：B二、填空题1. 函数f(x)=x^2+3x+2的极小值点是______。

答案：-12. 若f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)。

答案：3x^2-12x+113. 曲线y=x^3-6x^2+11x-6在x=2处的切线方程是______。

答案：y=-3x+14三、简答题1. 简述函数的连续性与可导性之间的关系。

答案：函数的连续性是可导性的必要条件，但不是充分条件。

即连续的函数不一定可导，但可导的函数一定连续。

2. 什么是泰勒公式？它在数学分析中有何应用？答案：泰勒公式是将一个在某点可导的无穷次函数表示为该点处的多项式和余项的和。

它在数学分析中广泛应用于函数的近似计算、误差分析等。

四、计算题1. 求函数f(x)=sin(x)+cos(x)的导数。

答案：f'(x)=cos(x)-sin(x)2. 已知函数f(x)=ln(x)，求在区间[1,e]上的定积分。

答案：∫[1,e]ln(x)dx = (xln(x)-x)|[1,e] = e-13. 求由曲线y=x^2与直线y=4x-3围成的平面图形的面积。

答案：首先求交点，解方程组得到交点坐标。

然后分别对两曲线在交点区间进行积分，最后相减得到所求面积。

五、证明题1. 证明函数f(x)=x^3在R上是严格递增的。

答案：首先求导f'(x)=3x^2，由于对于所有实数x，f'(x)≥0，且仅当x=0时f'(x)=0，所以函数f(x)在R上是严格递增的。

高数期末总复习题库

高数期末总复习题库一、选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在区间[-5, 2]上的最大值是：A. 0B. 9C. 13D. 42. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f'(x)：A. cos(x) - sin(x)B. sin(x) + cos(x)C. sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)3. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在点(1, 0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 2二、填空题4. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1的二阶导数f''(x)是________。

5. 若f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2) = ________。

6. 已知∫(0, 1) x^2 dx = 1/3，求∫(0, 1) x^3 dx = ________。

三、计算题7. 求函数f(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 - 5x + 6在区间[-1, 2]上的定积分。

8. 求函数y = ln(x)的原函数F(x)。

9. 计算极限lim (x→0) [(sin(x) - x)/x^3]。

四、证明题10. 证明：对于任意正整数n，有e^n > n!。

11. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)f(b) < 0，则至少存在一点c∈(a, b)使得f(c) = 0。

五、应用题12. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 2x^2 + 300x + 5000，其中x为生产数量。

求该产品的平均成本函数，并求出当生产数量为多少时，平均成本最低。

13. 一个物体从静止开始下落，受到的空气阻力与速度成正比，即f(v) = kv，其中k为常数。

求物体下落的速度随时间的变化规律。

六、综合题14. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其所有极值点，并讨论其单调性。

高数复习题

复习题一一、单项选择题：1．当0→x 时，x x arcsin -是3x 的（） A. 高阶无穷小； B. 同阶无穷小，但非等价无穷小； C. 低阶无穷小； D. 等价无穷小． 2．设)1ln(tan )(x xx x f ++=，则0=x 是)(x f 的（）A. 连续点；B. 跳跃间断点；C. 可去间断点；D. 第二类间断点．3．设)(x f 在0x 处连续，在0x 的某去心邻域内可导，且0x x ≠时，0)()(0>'-x f x x ，则 )(0x f 是（） A. 极小值； B. 极大值；C. 0x 为)(x f 的驻点；D. 0x 不是)(x f 的极值点．4．设x e y 2sin =，则=dy （） A. x d e x 2sin ； B. x d e x 2sin sin 2；C. x xd exsin 2sin 2sin ； D. x d exsin 2sin ．5．设周期为4的函数)(x f 在实数域内可导，12)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在))5(,5(f 处切线斜率为（）A. 0.5；B. 0C. -1 ；D. -2．二、填空题：1．已知2325lim2=+++∞→n bn an n ，则=a ，=b ． 2．若)(x f 为可导的奇函数，且5)(0='x f ，则=-')(0x f ．3．函数bx x a x x f ++=223)(在1-=x 处取得极值2-,则_________,==b a ． 4．广义积分2x xe dx +∞-⎰= ．5．dx xa x x a a)1sin (222⎰--+= （其中0a >）．三、计算下列各题：1．2220sin cos 1lim x x x x -→．2．求由方程3ln sin 21=+-y y x 所确定函数的二阶导数．3．设)1ln(211222++++=x x x x y ，求y ''． 4．dx e x ⎰-2． 5．⎰-π75sin sin dx x x ．6. 求由参数方程sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩确定的函数的导数．四、证明题：1. 设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且a b f b a f ==)(,)(，)0(>a ，证明存在一点),(b a ∈ξ使ξξξ)()(f f -='．2. 设)(x f 在],[b a 上连续,且0)(>x f ,又⎰⎰-=x ab xdt t f dt t f x F )(1)()( 证明方程0)(=x F 在),(b a 内有唯一实根．五、求抛物线2y x =与直线210x y --=及x 轴所围成图形的面积，以及此平面图形绕x 轴一周形成立体的体积．六、求函数78624++-=x x x y 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．复习题二一、填空题1. 已知321lim2=+++∞→n bn an n ,则常数),(b a = ； 2. 设x e x f 2)(=，则=)(x df x de ； 3. 设()y y x =由1y y xe =+确定，=x dx dy= ； 4. 级数∑∞=+-1)12)(12(1n n n 的和是；5. 函数)1ln()(x x x f +=的麦克劳林展开式中n x 的系数为 .二、单项选择题6. 设函数=)(x f 1lim 2++∞→x t t e x ，则0=x 是)(x f 的（）A. 连续点；B. 跳跃间断点；C. 可去间断点；D. 无穷间断点．7. 设)(x f 在0x 处连续，在0x 的某去心邻域内可导，且0x x ≠时，0)()(0<'-x f x x ，则 )(0x f 是)(x f 的（） A. 极小值； B. 极大值；C. 0x 为)(x f 的驻点；D. 0x 不是)(x f 的极值点．8. 级数)0()1(11>-∑∞=+p n n pn 的敛散性为 ( ) A ．1p >时绝对收敛，1p ≤时条件收敛； B ．1p <时绝对收敛，1p ≥时条件收敛； C ．1p ≤时发散，1p >时收敛； D ．对任何0p >，均绝对收敛．9. 设x xe x f 2)(=, 则=)0()10(f ( )A. 102；B. 10210⨯；C. 1025⨯；D. 10215⨯.10. 设21)(xx f =，则积分dx x f ⎰-11)( ( )A ．等于0；B ．等于2-；C ．等于2；D ．不存在．11. 计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→1e 1)1ln(1lim 0x x x ； 12. 求由参数方程sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩确定的函数的二阶导数；13.dx x xx ⎰+-cos 1sin ；14. 求函数2)2(1--=x x y 的单调性与极值，及其图形的凹凸区间与拐点； 15. 将21)(2-+=x x x f 展开成x 的幂级数． 16.⎰-π53sin sin dx x x .17. 曲线2x y =与x 轴及直线2=x 围成一平面图形，计算该图形的面积以及该图形绕y 轴旋转一周形成的旋转体的体积．18 . 证明当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+； 19 . 求幂级数nn x n n ∑∞=-11的收敛半径、收敛域及和函数；复习题三一、单项选择题：1．函数23()(2)f x x x x x =+--的不可导点的个数为 ( )A ．3；B ．2；C ．1；D ．0．2．级数)0()1(11>-∑∞=+p n n pn 的敛散性为 ( ) A ．1p >时绝对收敛，1p ≤时条件收敛； B ．1p <时绝对收敛，1p ≥时条件收敛； C ．1p ≤时发散，1p >时收敛； D ．对任何0p >，均绝对收敛．3．设)()1)(1()(2x g x x x x f +-=，其中)(x g 在[-1，1]上有连续二阶导数，则在)1,1(-内 ( )A ．至少有两个点i ξ，使0)(=''i f ξ；B ．至少有三个点i ξ，使0)(='i f ξ；C ．最多有一个点i ξ，使0)(=''i f ξ；D ．最多有两个点i ξ，使0)(='i f ξ．4．已知)()(x g x f ='，则=)(2x df ( ).A ．2()g x dx ；B ．22()xg x dx ；C ．2()xg x dx ；D ．22()x g x dx ．5．若)(x f 为可导函数,且(0)0,(0)2,f f '==则204()limx x f t dt x →⎰的值是( ).A ．0；B ．1；C ．2；D ．不存在．二、填空题：1．已知01lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+∞→b ax x x x ,其中b a ,为常数,则_______=a ,_______=b . 2．曲线x y xe -=的水平渐近线方程为____________..3．)2ln(1)(x x x f -+=的定义域为 .4．已知2)3(='f ，则0(3)(3)lim___________2h f h f h→--=．5．设)(x f 连续，且满足10()2()f x x f x dx =+⎰，则)(x f = . 三、计算下列各题：1．011lim ln(1)e 1x x x →⎛⎫- ⎪+-⎝⎭．2．求级数∑∞=-1)1(n n x n 的收敛域及和函数．3．⎰．4．2cos sin x x x dx π-⎰．5．求2(ln )xy x =的导数y '．6. 设()y y x =由1yy xe =+确定，计算22x d ydx=．四、证明题：1. 当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+． 2. 设)(x f 在[0，1]上可导，且120(1)2()0f xf x dx -=⎰，证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使()()0f f ξξξ'+=．五、应用题1.过曲线2x y =)0(≥x 上某点A 作一切线，使之与曲线2x y =以及x 轴所围成图形的面积为121．求（1）过切点的切线方程；（2）上述图形绕x 轴旋转一周形成的旋转体的体积．2. 设函数324()x f x x +=，求函数的单调区间、极值、凹凸区间及拐点.参考答案一、1.B ； 2.A ； 3.A ； 4.B ； 5.B ．二、1. 1，1- ； 2 .0=y ； 3. )2,1()1,1[⋃-； 4.1-； 5. 1x -．三、1．解：当0x →时,2e 1~,ln(1)~,(e 1)ln(1)~x x x x x x x -+-+原式=200e 1ln(1)1ln(1)lim lim (e 1)ln(1)x x x x x x e x x x →→⎛⎫--+--+= ⎪-+⎝⎭20011(1)1limlim 122x x x x e e x x x →→+-++===．2．解：令1x t -=，对于级数∑∞=1n nnt ，111n n a n a n++=→ )(∞→n ∴ 11R t ==，处，级数∑∞=1n n 发散，1t =-处，级数1(1)n n n ∞=-∑发散∴ 收敛域为（-1，1），故原级数收敛域（0，2）1111()nn nn n n nt t ntt t ∞∞∞-==='==∑∑∑，而11()()()1nn n n tt t t ∞∞=='''==-∑∑ ， 11t -<<∴ 21()1(1)nn t t nt t t t ∞='==--∑ ∴21(1)(1)(2)nn x n x x ∞=--=-∑ 02x <<. 3．解：=⎰⎰12(1(1)21arcsin 21arcsin(1)2x tt t t Cx C+==-=---=+=++⎰4．解：2cos sin x x x dx π-⎰424(cos sin )(sin cos )x x x dx x x x dx πππ=-+-⎰⎰,其中 2244(sin cos )()(cos sin )2x t x x x dx t t t dt πππππ=--=---⎰⎰440(cos sin )(cos sin )2t t dt t t t dt πππ=---⎰⎰原式40(cos sin )1)22t t dt πππ=-=⎰.5.解：)()(][)1(])[(ln 2123)ln(ln 2'-'+'='-+'='-x x e x x x y x x xln(ln )1[ln(ln )]ln x x ex x =++2123x +2321-x=1(ln )[ln(ln )]ln x x x x ++ 6. 解：1y y xe =+两边对x 求导数 y y y e xe y ''=+整理得 11y y ye y xe e x-'==-- 两边再对x 求导数223112()()()()y y yy y ye y e x y e x e x e x e x ------'---'''=--=-=--- 当0x =时，1y =故220x d ydx ==220,1x y d y dx ==230,122()y yx y e xe e x --==-==-．四、证明题1．证明：只要证当0x >时，(1)ln(1)arctan x x x ++>. 设()(1)ln(1)arctan f x x x x =++-则2221()ln(1)1ln(1)11x f x x x x x '=++-=++++ 当0x >时，()0f x '>，所以 [0,)+∞上，()f x 单调增加. 当0x >时，()(0)0f x f >=，即 (1)l n(1)a r c t a n x x x ++->.2．证明：由定积分中值定理得至少存在一点1[0,]2η∈使得1201(1)2()2()()2f xf x dx f f ηηηη==⋅=⎰令)()(x xf x F =，由已知)(x F 在]1,[η可导又)()()1()1(ηηηF f f F === 由罗尔定理得至少存在一点)1,0()1,(⊂∈ηξ使得0)(='ξF ，即()()0f f ξξξ'+=．五、1．解：设200(,)M x x ，过M 的切线方程是 20002()y x x x x -=-，该切线与x 轴的交点)0,2(0x N 依题意 0003220000021[2()]1212x x x x x dx x x x x dx =-+-=⎰⎰，所以 10=x ，于是 (1,1)M ．（1）切线方程 )1(21-=-x y ，即012=+-x y ．（2）⎰⎰=--=112122230)12()(πππdx x dx x V x ．2．解：定义域),0()0,(+∞-∞ ，381x y -='，令0='y ，得驻点2=x ．所以，区间)0,(-∞，(2,)+∞为单调增区间；)2,0(为单调减区间；2=x 为极小值点，极小值3=y .又因为0244>=''xy ，所以，区间),0(),0,(+∞-∞为凹区间，无拐点.复习题四一、填空题：1．设()内可导，，＋－在∞∞⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+=0010)(2x c bx x x a x x f 则.________________,_______,===c b a3．设()x f y x f sin )(//=存在，，则__________22=dxyd 。

高数复习题目和答案

高数复习题目和答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间[-1, 2]上的最大值是：A. 1B. 3C. 5D. 72. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率是：A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题3. 若函数f(x)=2x-3在区间[0, 5]上连续，求f(0)+f(5)的值为______。

4. 已知函数g(x)=sin(x)+cos(x)，求g'(x)的导数表达式为______。

三、简答题5. 求函数y=x^3-6x^2+9x+2在x=2处的导数，并解释其几何意义。

6. 证明：若函数f(x)在区间(a, b)内连续，并且满足f(a)f(b)<0，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c)=0。

四、计算题7. 计算定积分∫(1, 3) (2x-1)dx。

8. 求解微分方程：dy/dx + 2y = x^2，y(0) = 1。

五、证明题9. 证明：对于任意正整数n，有\( \sum_{k=1}^{n} k^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。

10. 证明：函数f(x)=e^x是严格单调增函数。

六、应用题11. 某工厂生产某种商品，其成本函数为C(x)=100+5x，其中x是生产数量。

求生产100件商品时的平均成本。

12. 某公司股票价格随时间变化的函数为S(t)=100e^(0.05t)，其中t 是时间（以年为单位）。

如果公司决定在两年后卖出股票，求其卖出时的预期价格。

答案：一、选择题1. 正确答案：C. 5解析：f(x)=(x+3/2)^2-1/4，当x=2时，函数取得最大值5。

2. 正确答案：C. 1解析：求导得y'=3x^2-4x+1，代入x=1得到y'(1)=0。

二、填空题3. 答案：7解析：f(0)=-3，f(5)=40，所以f(0)+f(5)=-3+40=37。

4. 答案：g'(x)=cos(x)-sin(x)解析：根据导数的和与三角函数导数公式，得到g'(x)。

高数复习题答案

高数复习题答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数是：A. 2x+3B. 2x+6C. 2x+1D. 2x-3答案：A2. 曲线y=x^3-2x^2+1在点(1,0)处的切线斜率是：A. 1B. -1C. 0D. 3答案：B3. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A二、填空题1. 若f(x)=sin(x)，则f''(x)=________。

答案：-sin(x)2. 函数f(x)=ln(x)在区间[1,e]上的最大值是________。

答案：13. 极限lim(x→0) (1-cos(x))/x的值是________。

答案：0三、解答题1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+2在区间[1,3]上的最大值和最小值。

解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+9。

令f'(x)=0，解得x=1和x=3。

将这两个点以及区间端点1和3代入原函数，得到f(1)=-2，f(3)=2，f(1)=-4。

因此，函数在区间[1,3]上的最大值为2，最小值为-4。

2. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x) dx。

解：首先求不定积分∫sin(x) dx = -cos(x) + C。

然后计算定积分：∫(0到π/2) sin(x) dx = [-cos(x)](0到π/2) = -cos(π/2)+ cos(0) = 0 + 1 = 1。

四、证明题1. 证明：对于任意实数x，有e^x ≥ x + 1。

证明：令函数f(x) = e^x - (x + 1)，求导得到f'(x) = e^x - 1。

当x < 0时，f'(x) < 0，函数f(x)单调递减；当x > 0时，f'(x) > 0，函数f(x)单调递增。

因此，f(x)的最小值出现在x=0处，即f(0)= e^0 - 1 = 0。

高数复习题

高数复习题一、填空题1. 若3()13x f x =-，则(())f f x '=__________.答案：613x -详细解答：2()f x x '=，所以236()(())1133x x f f x '=-=- 说明：函数关系就如同加工的机器，将一个x 的值投入这个“机器”，通过这个“机器”的一系列处理（运算），就会“加工”出相应的“成品”（函数值）.如此，该函数关系可以形象地表示为3()()13f =-，只须将相应的自变量的值扔入“()”，经过一系列的“处理”（运算），即可得到需要的结果.如3(2)5(2)133f =-= 2. 若21cos ,0()cos ,0xk x f x x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪≤⎩ 在0x =处连续，则k =__________.答12-详细解答：因为()f x 在0x =处连续，从而右连续，即200001cos lim ()lim []x x xf x k x →+→+-=+ 222000011cos 12lim lim (0)0cos002x x xx k k k f x x →+→+-=+=+=+=== 从而12k =-说明：函数在一点连续的充分必要条件是在该点既是左连续的又是右连续的，此外用到了重要结果0x →时211cos ~2x x -.3. nx x x m )1(lim -∞→（,m n 是常数）=__________.答案：1mn mn e e-=详细解答：()lim(1)lim(1)lim (1)m nx x mx xnx nx mn m x mx x x m m m e x xx ⋅---⋅⋅--→∞→∞→∞⎧⎫-=+=+=⎨⎬--⎩⎭说明：利用重要极限（凑重要极限），但必须完全符合重要极限的格式规范. 验证：>> syms x m n>> limit((1-m/x)^(n*x),x,inf)ans = exp(-m*n)4. 设)2()1ln()(+-=x x x x f ，则0x =是()f x 的第__________ 类中的__________间断点；2x =-是()f x 的第__________类中的__________间断点. 答案：一，跳跃间断点；二，无穷间断点. 详细解答：000000ln(1)1lim ()limlim (2)(2)2x x x x x f x x x x x →-→-→---===+-+000000ln(1)1lim ()limlim (2)(2)2x x x x x f x x x x x →+→+→+--===-++(0)(0)f f -+≠，从而0x =为()f x 的第一类间断点中的跳跃间断点. 2222ln(1)1lim ()limlim lim (2)(2)2x x x x x x f x x x x x x →-→-→-→---====∞+-++ 从而2x =-是()f x 的第二类间断点中的无穷间断点. 说明：用到了0x →时ln(1)~x x +的推广形式ln(1)~x x --.5. 曲线12+=x y 在点__________处的切线与直线32+=x y 垂直，在该点处的切线方程为____________________，法线方程为____________________.答案：117,416⎛⎫- ⎪⎝⎭，816150x y +-=，3216490x y -+=.详细解答：直线23y x =+的斜率2k =直，要求的切线与该直线垂直，从而推知所求切线的斜率12k =-切，又曲线21y x =+在任一点处切线的斜率为2dyx dx=，令122dy x dx ==-，解得14x =-，从而求得曲线21y x =+上符合要求的切线应该通过21,(1/4)14⎛⎫--+ ⎪⎝⎭即117,416⎛⎫- ⎪⎝⎭点. 所求切线方程为1711()1624y x -=-+，即816150x y +-= 所求法线方程为1712()164y x -=+，即3216490x y -+=6. 曲线2)1(12--=x x y 的水平渐近线方程是____________________铅直渐近线方程是____________________. 答案：0y =，1x =. 详细解答：22221210lim ()lim lim 0(1)111x x x x x x f x x x →∞→∞→∞--====-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0y =为其水平渐近线. 21121lim ()lim(1)x x x f x x →→-==∞-，所以1x =为其铅直渐近线.说明：铅直渐近线的寻找是从其间断点中找，铅直渐近线通过的点是该函数的无穷间断点.7. 若⎰+=c x F dx x f )()(，则=--⎰dx e f e x x )(____________________. 答案：()x F e c --+ 详细解答：()()()()()x xe uu e xx x x x ef e dx f e de f u du F u c F e c --==-----=-====-=-+====-+⎰⎰⎰8. 设0≠k ，且20(2)0kx x dx -=⎰，则k =__________.答案：3详细解答：2232300110(2)33k kx x dx x x k k =-=-=-⎰，又0k ≠，解得3k =.9. 设3,4,3,==⋅=⨯=a b a b a b ____________________.答案：详细解答：sin(,)43sin(,)⨯=⋅⋅=⋅⋅a b a b a b a b 又31cos(,)344⋅===⋅⋅a b a b a b 以及两向量的夹角介于0到π之间条件，推知sin(,)=a b，从而sin(,)43⨯=⋅⋅=⋅=a b a b a b 10. 直线2121x y y z +=⎧⎨-=⎩，与直线2121+==--z y x 的关系为__________.答案：重合.详细解答：2121x y y z +=⎧⎨-=⎩的一个方向向量可取为1120021i j ks =-111213201012(1)(1)(1)210102i j k +++=⋅-+⋅-+⋅--- 22{2,1,2}i j k =-++=- 而直线1122x z y -+==-的一个方向向量2{2,1,2}s =-，显然12s s ∥，从而两直线平行. 又直线1122x z y -+==-上的点(1,0,1)-也满足2121x y y z +=⎧⎨-=⎩，故二者重合（是同一条直线）.说明：对两直线而言，若其方向向量平行，则两直线亦平行；对两平面而言，若其法向量平行，则两平面平行；对于一条直线跟一个平面而言，若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线平行于平面. 11. 4cos x dx =⎰____________________.答案：311sin 2sin 48432x x x C +++ 详细解答：224221cos212cos2cos 2cos (cos )24x x x x dx x dx dx dx +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 212cos 2cos 2444x x dx ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰ 12cos 21cos 4448x x dx +⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰ 112cos 2cos 44848x x dx ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦⎰ 32cos 24cos 48432x x dx ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰ 32cos 24cos 48432x x dx dx dx =++⎰⎰⎰311cos 2(2)cos 4(4)8432dx x d x x d x =++⎰⎰⎰ 311sin 2sin 48432x x x C =+++ 说明：关于正弦、余弦的积分，偶次幂就降幂，奇次幂就提出一个拿到微分号后面去. 验证：int((cos(x))^4) ans =1/4*cos(x)^3*sin(x)+3/8*cos(x)*sin(x)+3/8*xsimplify(1/4*cos(x)^3*sin(x)+3/8*cos(x)*sin(x)+3/8*x-3/8*x-1/4*sin(2*x)-1/32*sin(4*x)) ans = 012. 方程23x y y y xe '''+-=的通解是____________________.答案：22121123xx x C eC e e x x -⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭详细解答：（1）对应的二阶齐次线性微分方程的特征方程为220r r +-=，解得122,1r r =-= （2）对应的二阶齐次线性微分方程的通解为212x x C e C e -+（3）这里()3,1m P x x λ==，1λ=是特征方程的单根，故设特解*()x y x ax b e =⋅+⋅ （4）将*2[]x y e ax bx =⋅+*2[(2)]x y e ax a b x b '=⋅+++*2[(4)(22)]x y e ax a b x a b ''=⋅++++代入方程，比较两端x 的同次幂的系数得63230a ab =⎧⎨+=⎩解得11,23a b ==-即二阶非齐次线性微分方程有特解*21123xy e x x ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭（5）综上，所求二阶非齐次线性微分方程的通解为22121123xx x C e C e e x x -⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭验证：dsolve('D2y+Dy-2*y=3*x*exp(x)','x')ans =exp(x)*C2+exp(-2*x)*C1-1/3*x*exp(x)+1/2*x^2*exp(x)13.11(,)dx f x y dy -⎰⎰交换积分次序后是____________________.答案：10(,)dy f x y dx ⎰说明：首先根据该二次积分的积分限画出该二次积分对应的二重积分的积分区域D ，D的四条边界曲线分别为1,1,0,x x y y =-===所围成的平面区域即为单位圆的上半圆（域）.14. 方程y y '''=的通解是____________________.答案：12x C C e +详细解答：特征方程为2r r =，解得120,1r r ==，从而通解为12xC C e +说明：作为可降阶的不如作为二阶齐次线性微分方程方便. 验证：dsolve('D2y=Dy','x') ans =C1+exp(x)*C215. yz x =，则2zx y∂=∂∂____________________.答案：1[1ln ]y xy x -+详细解答： (1)1y zyx x-∂=∂ (2) 21111()1ln [1ln ]y y y y y z z yx x y x x x y x x y y x ----∂∂∂⎛⎫'===⋅+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭验证：>> simplify(diff(x^y,x)) ans = x^(y-1)*y>> simplify(diff(x^(y-1)*y,y)) ans =x^(y-1)*(y*log(x)+1)二、单项选择题1. 函数ln(ln )y x =的定义域是( ). A. (,0)-∞ B. (0,1) C. (1,)e D. (1,)+∞答案：D详细解答：函数分解为ln ,ln y u u x ==.由外函数ln y u =的定义域0u >推知内函数ln u x =的值域为(0,)+∞，即ln 0x >，从而根据对数函数的性质推知1x >.说明：复合函数的定义域的寻求，是“由外及里，层层剥皮”.2.()f x 在点0x 连续是()f x 在点0x 可导的( ).A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分条件也非必要条件答案：B说明：函数()f x 在一点可导是在该点连续的充分条件，在一点连续是在该点可导的必要条件. 3. ()d f x dx =⎰( ). A. ()f x B. ()f x ' C. ()f x dx D. ()f x dx '答案：C说明：一般的，dy y dx '=，也就是说，微分必须有因式dx . 4. 设ln(sin )y x =，则dydx =( ). A. 1sin x B. 1cos xC. tan xD. cot x答案：D详细解答：11(ln(sin ))(sin )cos cot sin sin y x x x x x x'''==⋅=⋅= 说明：复合函数求导.5. 若函数22,1()1,1x x x f x x a x ⎧+-≠⎪=-⎨⎪=⎩在1x =处连续，则a =( ).A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C详细解答：因为函数在1x =点处连续，从而211112(1)(2)(1)lim ()lim lim lim(2)311x x x x x x x x a f f x x x x →→→→+--+=====+=--6. 下列函数中，既是奇函数，又是单增函数的是( ). A. sin y x = B. 31x +C. 3x x +D. 3x x -答案：C说明：3x x +，是两个奇函数的和，因而是奇函数. 又其导数为231x +恒大于0，从而是单调递增，综上，3x x +既是奇函数又是单调递增函数.sin x 非单调；31x +是一个奇函数（非0）与一个偶函数（非0）的和，从而是非奇非偶的；3x x -的导数为231x -不能确保大于0.7. 下列极限计算正确的是( ).A. 0sin lim 0x x x →=B. sin lim1x xx→∞= C. 01lim sin 1x x x →= D. 1lim sin 1x x x →∞=答案：D说明：记住两个基本的等式其一，01lim sin 0x x x →=，依据是无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小.其二，0sin lim1x x x →=，依据就是重要极限，这是一个“0”形式的重要极限，是利用夹逼准则推出来的.sin 1lim lim sin 0x x x x xx →∞→∞=⋅=，无穷小与有界变量的乘积. 1sin1lim sin lim1x x x x x x→∞→∞==，重要极限的推广. 强调一下，求极限时，一定要首先关注自变量的变化趋势，这是至关重要的.8. 下列等式成立的有( ).A.= B.211()dx d x x=- C. sin (cos )xdx d x =D. 2ln 2(2)x x dx d =答案：B2=sin (cos )xdx d x =-，12(2)ln 2x x dx d = 9. 微分方程y y '=满足条件02x y ==的特解是( ). A. 1x y e =+B. x y e =C. 22x y e =D. 2x y e =答案：D说明：直接求解可以，作为选择题，代入验证也可以.代入一下即知，A ，C 不是微分方程的解，而B 不满足初始条件（边界条件）. 验证：>> dsolve('Dy=y','y(0)=2','x')ans = 2*exp(x)10. 下列广义积分中收敛的是( ).A.xedx +∞-⎰ B.11dx x+∞⎰C.0sin xdx +∞⎰D.cos xdx +∞⎰答案：A详细解答：00()[lim ]1x x x x x e dx e d x e e e +∞+∞---+∞-→+∞=--=-=--=⎰⎰说明：C 、D 显然可以一眼即知是错误的，因为广义积分本质上就是积分上限函数的极限，而如果不计正负号，与正弦相伴的是余弦，与余弦相伴的的是正弦，显然当x →+∞均无极限可言. 验证：>> syms x >> int(exp(-x),0,inf) ans = 1注意，>> int(exp(-x),0,-inf) ans = -Inf11. 在函数42()246f x x x x =-+的曲线上，凸的区间是( ). A. (,0)-∞B. (2,2)-C. (0,)+∞D. (,)-∞+∞答案：B 详细解答：3()4486f x x x '=-+，22()124812(4)12(2)(2)f x x x x x ''=-=-=-+令()0f x ''=解得122,2x x =-=，当22x -<<时，()0f x ''< 说明：凸区间取做闭区间[2,2]-更合适.12. 若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中收敛的是( ).A. 1100n n u∞=∑B.1(100)nn u∞=+∑C. 1100n nu ∞=∑D.1(100)nn u∞=-∑答案：A说明：B 、D 都属于一个收敛一个不收敛，其和充当一般项的级数必不收敛的情形，C 更是错得离谱，因为1n n u ∞=∑收敛，从而有lim 0n n u →∞=，从而1lim n n u →∞=∞，从而级数1100n nu ∞=∑发散. 13. 积分22sin 1cos xdx x ππ-=+⎰( ).A. 1-B. 0C. 1D. 2答案：B说明：利用了奇函数在对称区间（关于原点）上的积分为0的重要结论.14. 设函数+3sin x z e y -=，则zx ∂=∂( ).A. x e -B. x eC. x e --D. x e -答案：A说明：二元函数对某个变量求偏导时，将另一个变量视为常数，因而第二项3sin y 对x 求偏导为0.这里要注意的是，x e -对x 求偏导（求导），是复合函数的求导问题.15. 微分方程34()0xyy x y y y ''''+-=的阶数是( ).A. 3B. 4C. 5D. 2 答案：D说明：微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶数，跟未知函数自身的幂次亦即y 的幂次无关，也跟自变量x 的幂次无关（通常以y 为未知函数，有的情况也可能以x 、s 等其他变量为未知函数，注意题目的陈述）.三、计算题1. ln(3)x y a x -=-，求y '.答案：1[ln (1)]ln(3)(1)3x x y a a x a x --⎡⎤'=⋅-⋅-+⋅⋅-⎢⎥-⎣⎦1ln ln(3)3x a a x x -⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦说明：首先利用乘积的求导法则，但在每一部分的求导时，均为复合函数的求导，这一点务必引起注意. 验证：>> syms x a >> diff(a^(-x)*log(3-x)) ans =-a^(-x)*log(a)*log(3-x)-a^(-x)/(3-x)2.⎰xdx x cos .答案：cos sin sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰说明：看到被积函数是两类函数的乘积，应该想到用分部积分试试. 此外，哪一个留在前面充当“u ”，哪一个拉到微分号后面去，参照上课时所讲的“对、反、幂、指、三”的经验. 验证：>> syms x C >> int(x*cos(x))+C ans =cos(x)+x*sin(x)+C 3.⎰+2121dx xx. 答案：2222222111111ln5ln 2(1)ln(1)12122x dx d x x x x -=+=+=++⎰⎰ 说明：这是定积分的“凑微分”，只要原来的积分变量“x ”没有给替换掉，积分限就不需要改变. 验证：>> syms x >> int(x/(1+x^2),1,2) ans =-1/2*log(2)+1/2*log(5) 4. 计算110sin x ydx dy y⎰⎰. 答案：1111100000sin sin sin cos |1cos1y x yy dx dy dy dx ydy y y y ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 说明：必须改变积分次序，否则是无法计算下去的. 5. 22(,)z f x y xy =+，且f 可微，求dz .答案：22121122()()22dz f d x y f d xy xf dx yf dy yf dx xf dy ''''''=⋅++⋅=⋅+⋅+⋅+⋅1212(2)(2)xf yf dx yf xf dy ''''=+⋅++⋅说明：利用全微分形式的不变性较为简单.6. 求极限xx x x )1232(lim 0-+→.答案：00023lim()lim(3)121xx x x x →→+=-=- 说明：利用函数的连续性求极限.推测：命题者的本意可能是想考察x →∞时的极限，这里很可能是误输入为0x →. 考试时如果碰到类似题目，一定要看清楚自变量的变化趋势，如果考试时还是0x →，我们就按照上面的做法解答！我们的解答是正确的！如果考试时试卷上将0x →修改为x →∞了，那就要按照下面的方法解答：232144lim()lim()lim 1212121xx x x x x x x x x x →∞→∞→∞+-+⎛⎫==+ ⎪---⎝⎭42121424lim 121x x x x e x ⎧⎫⋅⎨⎬--⎩⎭→∞⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭验证：>> syms x>> limit(((2*x+3)/(2*x-1))^x,0) ans = 1>> syms x>> limit(((2*x+3)/(2*x-1))^x,inf) ans = exp(2)7. 求由方程y x e xy +=所确定的隐函数)(x y y =的二阶导数. 答案：两边取对数，有ln ln x y xy e +=，即ln ln x y x y +=+两边求导111dy dy x y dx dx+⋅=+ 11(1)(1)1dy xy y x y x dx x xy x y y---⋅===-⋅-- 222()()()()()x xxxy y x xy xy y x xy d y xy y dx x xy x xy '''⎛⎫-⋅---⋅--== ⎪--⎝⎭21()()11()dy dy dy y x x xy xy y y x dx dx dx x xy ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅-⋅---⋅-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- [][]3()()()()()()()()()x xy y x xy y xy y x xy xy y x xy x xy y x xy y x xy -⋅+⋅---⋅---⋅---⋅-⋅-=-2223(1)()()(1)()y x xy x x xy xy y x y y x x xy ⎡⎤⎡⎤⋅--+⋅---⋅⋅--+⎣⎦⎣⎦=- 223(222)()xy x x y y x xy ⋅-+-+=- >>simplify( ((x-x*y)*y+x*(x*y-y)-(x*y-y))*(x-x*y)-(x*y-y)*((x-x*y)-(x-x*y)*y-x*(x*y-y)) ) ans =-2*x^2*y+x^3*y+2*x*y-2*x*y^2+x*y^3 说明：亦可两边微分，[]x y ydx xdy e dx dy ++=+ [][]x y x y x e dy e y dx ++-=-x y x ydy e y xy ydx x e x xy ++--==--（利用原方程化简）下同.或222(1)()()(1)(1)(1)()x dy dy y x x xy xy y y d y x y dx dx dx x y x xy ⎡⎤⎡⎤+-⋅⋅---⋅--'⎢⎥⎢⎥⎛⎫-⎣⎦⎣⎦== ⎪--⎝⎭8. 求dx x ⎰2sin . 答案：21cos 2sin 2sin 224x x xxdx dx C -==-+⎰⎰ 9. 求⎰-1dx xe x .答案：1111100000121x x x xx xe dx xde xe e dx e e e-----=-=-+=--=-⎰⎰⎰ 验证：>> syms x >> int(x*exp(-x),0,1) ans =1-2*exp(-1)10. 设y x z arctan =，求dz .答案：111y y z yx x x -∂=∂+，1ln 1y yz x x y x ∂=∂+1[ln ]y z z dz dx dy y dx x x dy x y -∂∂=+=⋅+⋅∂∂四、应用题1. 要建造一体积为350m V =的圆柱形封闭的容器. 问：底的半径和高如何选择时才能使材料最省？答案：设容器的底半径为r ，高为h ，据题意有250r h π=，又该圆柱形容器的表面积222S rh r ππ=+，即求222S rh r ππ=+在条件250r h π=下的条件极值. 构造辅助函数如下：22(,)22(50)L r h rh r r h ππλπ=++- 解方程组22242020500r h L h r rh L r r r h ππλππλππ=++⋅=⎧⎪=+⋅=⎨⎪-=⎩ 即求解222422500h r rhrr r h ππλππλππ+⋅⎧=⎪⋅⎨⎪-=⎩亦即22500h r r h π=⎧⎨-=⎩解得r h ==即该圆柱形容器的高与底面圆的直径相等时，用料最省.2. 做一个容积为V 的无盖圆柱形容器，底的单位面积造价为a 元，侧面的单位面积造价为b 元，试问如何设计底半径和高，能使总造价最少？答案：设容器的底半径为r ，高为h ，据题意有2r h V π=造价函数22P r a rh b ππ=⋅+⋅，即求22P r a rh b ππ=⋅+⋅在条件2r h V π=下的条件极值.构造辅助函数如下：22(,)2()L r h r a rh b r h V ππλπ=⋅+⋅+- 解方程组22222020r h L r a h b rh L r b r r h V ππλππλππ=⋅+⋅+⋅=⎧⎪=⋅+⋅=⎨⎪-=⎩ 2222220r a h b rhr b r r h V ππλππλππ⋅+⋅⋅⎧=⎪⋅⋅⎨⎪-=⎩即2a h r b r h V π⎧=⎪⎨⎪=⎩解得a r h b ==即容器的高与底圆半径的比为ab时造价最省. 3. 求曲线x y =2与直线x y =所围成的平面图形的面积，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 答案：(1) 所围成的平面区域的面积 23112001[][]236y y S y y dy =-=-=⎰(2) 旋转体的体积1122210V V V dx x dx ππ=-=-⎰⎰23111120000236x x xdx x dx πππππ=-=-=⎰⎰ 说明：求旋转体的体积时，注意空心化实心.4. 求曲线2y x =-与2x y =所围成的平面图形的面积，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 答案：(1) 所围成的平面区域的面积3311220021][]333x S x dx x ==-=⎰(2) 旋转体的体积11222210(()V V V dx x dx ππ=-=--⎰⎰2511114000032510x x xdx x dx πππππ=-=-=⎰⎰ 说明：求旋转体的体积时，还是要空心化实心.。

大学高数复习题

大学高数复习题一、选择题1. 若函数 \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\)，则 \(f(x)\) 的导数\(f'(x)\) 是：A. \(6x - 2\)B. \(6x^2 - 2\)C. \(6x^2 - 2x\)D. \(3x^2 - 2\)2. 曲线 \(y = x^3 - 2x^2 + x\) 在 \(x = 2\) 处的切线斜率是：A. \(-1\)B. \(0\)C. \(1\)D. \(2\)3. 若 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = L\)，则下列哪个选项是正确的：A. \(\lim_{x \to \infty} f(x^2) = L^2\)B. \(\lim_{x \to \infty} f(2x) = 2L\)C. \(\lim_{x \to \infty} f(\frac{x}{2}) = L\)D. \(\lim_{x \to \infty} f(\frac{1}{x}) = L\)二、填空题4. 若 \(\int_0^1 (2x + 1) dx = a\)，那么 \(a\) 的值为 _______。

5. 函数 \(y = \ln(x)\) 的原函数是 _______。

6. 曲线 \(y = x^2\) 与直线 \(y = 4x\) 相切于点 \((2,8)\)，则该曲线在该点处的切线方程为 _______。

三、解答题7. 求函数 \(y = x^3 - 3x^2 + 2x\) 的极值。

8. 证明：若 \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) 且 \(\lim_{x \to a}g(x) = M\)，则 \(\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M\)。

9. 解微分方程 \(\frac{dy}{dx} = x^2 - y^2\)，其中 \(y(1) =1\)。

四、证明题10. 证明：若函数 \(f(x)\) 在 \(x = a\) 处连续，则 \(f(x)\) 在\(x = a\) 处可导。

高数考试题库及答案解析

高数考试题库及答案解析一、选择题1. 函数f(x)=x^2-3x+2在区间[1,4]上的最大值是：A. 0B. 3C. 6D. 7答案：D解析：首先求导f'(x)=2x-3，令f'(x)=0，解得x=3/2。

在区间[1,4]上，f'(x)在x<3/2时为负，x>3/2时为正，说明f(x)在x=3/2处取得极小值。

计算f(3/2)=-1/4，再计算区间端点f(1)=0和f(4)=6，可知最大值为f(4)=6。

2. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f'(x)的表达式为：A. cos(x)-sin(x)B. cos(x)+sin(x)C. sin(x)-cos(x)D. sin(x)+cos(x)答案：A解析：根据导数的运算法则，f'(x)=[sin(x)]'+[cos(x)]'=cos(x)-sin(x)。

二、填空题1. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(2,0)处的切线斜率为______。

答案：-12解析：首先求导y'=3x^2-12x+9，将x=2代入y'得到切线斜率为-12。

2. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为______。

答案：1/3解析：根据定积分的计算公式，∫(0,1) x^2 dx = [x^3/3](0,1) = 1/3。

三、解答题1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。

答案：函数f(x)的单调增区间为(1,3)，单调减区间为(-∞,1)和(3,+∞)。

解析：首先求导f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0解得x=1,3。

根据导数符号变化，可得单调区间。

2. 求曲线y=x^2-4x+3与直线y=2x平行的切线方程。

答案：切线方程为：x-y-1=0。

解析：曲线y=x^2-4x+3的导数为y'=2x-4，令y'=2得到x=3，此时切点坐标为(3,2)。

高数复习题

1．设函数f(x ) =
1
，则 f(x )的定义域是（
）。
x −2
A． x ≠ 1
B. x ≠ -1
C. - 1 ≤ x ≤ 1
D. x > 2
2．函数f(x=) x 2 − 4x 的单调减区间为（
）。
A. （ - ∞，+ ∞） B.（-∞，2） C.（-2，2）
D. （2，+ ∞）
3．设函数f(x ) = e2x ，则 f(x )的二阶导函数为（
B．极小值点
C．驻点
D．间断点
10.设函数f(x ) =
1
，则 f(x )的定义域是（
x2 − 4
A． x ≠ 1
B. x ≠ ±1
C. x ≠ ±2
11.函数f(x=) x 2 − 6x 的单调减区间为（
）。
）。
D. x > 1
A.（3，+ ∞） B.（-∞， - 3） C.（ − ∞, 3）
D.（-3，3）
x
D
∫ ∫ ∫ ∫ =
2
x
1 d x 1 xydy
x
=
2 1
x
y2 2

x 1 dx =
x
1 2
2
x(x −
1
1 x2
)dx
=
1 2

x3 3
2
−
lnBiblioteka x 1= 7 − ln 2 62
+
x2 (3x − 4 y) y 2 (3xy − 2 y 2 )
∫∫ 8.计算二重积分 xydσ ，其中 D 是由曲线 xy = 1, y 2 = x 及直线 x = 2 所围成的在第一象 D

高数复习题

高数复习题一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间[-1,2]上的最大值是：A. 0B. 3C. 5D. 72. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. 2D. ∞3. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率是：A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点是________。

5. 已知函数f(x)=2x-1，求f(3)的值是________。

6. 函数y=x^2的导数是________。

三、简答题7. 请简述导数的几何意义。

8. 请解释什么是不定积分，并给出一个简单的例子。

9. 请说明如何使用微分中值定理来解决实际问题。

四、计算题10. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的定积分。

11. 求函数f(x)=x^2+3x+2的不定积分。

12. 利用泰勒公式展开函数f(x)=e^x在x=0处的前三项。

五、证明题13. 证明：对于任意实数x，有e^x > 1+x。

14. 证明：函数f(x)=x^3在R上的导数是f'(x)=3x^2。

15. 证明：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且f(a)f(b)<0，则根据介值定理，函数f(x)在(a,b)内至少有一个零点。

六、应用题16. 某工厂生产的产品数量随时间变化的函数为P(t)=100t^2-t^3，其中t为时间（单位：小时）。

求该工厂在前3小时内生产的总产品数量。

17. 某物体在t=0时刻的速度为v0，加速度为a。

求该物体在t秒后的位置函数。

18. 某投资者在t=0时刻投资了一笔钱，并以连续复利的方式增长。

如果年利率为5%，求该投资在5年后的总价值。

七、论述题19. 论述微积分在现代科技中的应用。

20. 分析并讨论牛顿-莱布尼茨公式的重要性及其在数学分析中的作用。

八、附加题21. 假设你有一个函数f(x)，它在区间[a,b]上连续，并且f(a)=f(b)=0。

高数复习题

高等数学复习题一.选择题1.在下列函数中，偶函数是（）A.x x y cos +=B.2xx e e y -+= C.x x y cos =D.)1ln(2x x y += 2.函数)4ln(2-=x y 的定义域是（）A. )2,(--∞B. (][)+∞-∞-,2,2,C. ),2(),2,(+∞--∞D. ),2(+∞ 3.=∞→xx 1sin lim （） A.1 B.∞ C.0D. 不存在 4.函数x y =在0=x 处（）A. 间断B. 连续C. 极限不存在D. 可导 5.设⎩⎨⎧≠+==00)(sin 2x e x x e x f x ，则=→)(lim 0x f x （） A.1B.0C.eD.1-e 6.设0)0(=f ，且)0('f 存在，则=→xx f x )(lim 0（） A. 0 B. )0('f - C. )0('f D. 17.⎰=xdx 2sin （） A.C x +-2cos B.C x +-2cos 21 C.C x +2cos2 D.C x +2cos 8.若2)2(10=+⎰dx k x ,则=k （） A.0 B.1- C.1 D. 219.若⎰=+1022)3(dx k x ，则=k （） A. 0 B. -1 C. 1 D. 0 10.=-⎰dx x 10215、( )A. πB.2π C. 4π D. 2 11.下列极限结果正确的是（） A.1sin lim2=→xx x πB.1sin lim 0=→x x xC.1sin lim =∞→x x xD.1sin lim 1=→xx x 12.函数x e x f -=)(的不定积分为（）A.x e- B.x e -- C.C e x +- D.C e x+-- 13.设函数x x f 1cos)(=,则)1(πf '=（） A.2π- B.0 C.1D. 2π 二.填空题 1.=+→xx x x 3sin lim 20 ； 2.当x 趋于_______时，函数1+=x x y 为无穷小量； 3.=→xx x 1sin lim 0________. 4.设x y cos ln =,则='y __________.5.设dt t t x F x ⎰=1ln )(，则)(x F '=__________. 6.设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=1,231,1)(22x x x x k x f 在1=x 处连续，则=k ______.7.定积分⎰-=224sin xdx x ____________. 8.xx y 4+=的凹区间为______；9.求曲线3x y =在点（1，1）处的切线方程_____________；10.若)()('x f x F =，则⎰=dx x f x )(ln 1___________.三.求极限 1. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<≤-=2,221,21,1)(x x x x x x x f ，求下列极限：（1）)(lim 3x f x -→；（2）)(lim 1x f x →． 2.设函数64)(22---=x x x x f ，求以下极限)(lim 2x f x -→，)(lim x f x ∞→． 3.（1）224123lim x x x -+∞→；（2）42lim 4--→x x x ；（3）x x x x x x 2324lim 2230++-→；（4）112lim 221-+-→x x x x ; （5）13lim 42-++∞→x x x x x ；（6）321lim 3--+→x x x .4.（1）x x x 2)31(lim -∞→；（2）x x x 321lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→；（3）x x x 32sin lim 0→；（4）x x x 5tan lim 0→；（5）x x x cot lim 0→；（6）n n n x 2sin 2lim ∞→；（7）x x x 10)31(lim +→；（8）x x x x 2)1(lim +∞→；（9）x e e x x x sin lim 0-→-；（10）xx x e e x x x sin 2lim 0----→. 四.求下列函数的导数： 1.53532+-=x x y ；2.232x x x y π--=； 3.)sin (cos x x e y x+=；4.x x x y -=ln ； 5.x arc e y cot -= ；6.xe x y 23=. 五.求解积分问题1.已知曲线在其上任意点处的切线斜率x 21，且曲线过)1,4(-点，求该曲线方程.2.已知曲线过点）（2,1，且曲线上))(,(x f x 处的切线斜率为23x ，求曲线方程)(x f y =.3.求⎰xdx x ln 3；4.求dx x x ⎰+21；5.⎰-dx x 5)23(；6.⎰-dx x 211；7.⎰dx x x 2sin ；8.⎰-dx x x21； 9.⎰-dx x x132；10.dx e x x ⎰32；11.⎰dx x x cos ；12.⎰dx x x 221sec ； 13.⎰dx x e x 21；14.求⎰30)(dx x f ，其中⎩⎨⎧≤<≤≤=31,10,)(x e x x x f x . 六.应用题 1.设图形由曲线2x y =和x y =2所围成，求：（1）此图形的面积；（2）此图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积。

大学生期末高数复习题

大学生期末高数复习题一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x-2在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 2C. 3D. 52. 曲线y=x^3-6x^2+9x在x=3处的切线斜率是：A. 0B. 3C. 6D. 93. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 14. 无穷小量o(x)与x^2是：A. 等价无穷小B. 高阶无穷小C. 同阶但非等价无穷小D. 低阶无穷小5. 级数∑(1/n^2)（n从1到∞）是：A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 绝对收敛二、填空题6. 若函数f(x)=x^3-2x^2-5x+6在x=1处取得极小值，则f'(1)=________。

7. 函数y=x^2-4x+3的图像与x轴的交点坐标为(1,0)和(________,0)。

8. 若定积分∫(1,2) e^x dx的值为e^2-e，则e^2-e的值为________。

9. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是________。

10. 级数∑(1/n)（n从1到∞）是________。

三、解答题11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在[0,4]区间上的单调性。

12. 证明：函数f(x)=x^3在R上是严格递增的。

13. 计算定积分∫(0,π/2) sin(x) dx。

14. 求函数y=ln(x)的泰勒展开式，并计算其在x=1处的近似值。

15. 讨论级数∑((-1)^n)/(n^2)（n从1到∞）的收敛性。

四、证明题16. 证明：对于任意正整数n，有1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。

17. 证明：函数f(x)=e^x在R上是严格递增的。

五、综合题18. 给定函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求其在[-1,2]区间上的极值，并讨论其凹凸性。

19. 已知函数y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程，求该切线的斜率及切点坐标。

高等数学复习题(含答案)

高等数学复习题与答案解析一、一元函数微积分概要（一）函数、极限与连续1.求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .解 (1) 由所给函数知,要使函数y 有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎩⎨⎧>≥-,0sin ,0162x x 推得⎩⎨⎧⋅⋅⋅±±=+<<≤≤-2,1,0π)12(π244n n x n x 这两个不等式的公共解为 π4-<≤-x 与π0<<x所以函数的定义域为)π,4[-- )π,0(.(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-≠-,112,03,032xx x 推得⎩⎨⎧≤≤<<-,40,33x x 即 30<≤x , 因此，所给函数的定义域为 )3,0[.2.设)(x f 的定义域为)1,0(，求)(tan x f 的定义域. 解：令x u tan =, 则)(u f 的定义域为)1,0(∈u∴)1,0(tan ∈x , ∴x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z ,∴ )(tan x f 的定义域为 x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z .3.设)(x f =x-11，求)]([x f f ，{})]([x f f f .解：)]([x f f =)(11x f -=x--1111=x 11- (x ≠1,0),{})]([x f f f =)]([11x f f -=)11(11x--= x (x ≠0,1).4.求下列极限：（1）123lim 21-+-→x x x x , （2）652134lim 2434-++-∞→x x x x x ,解：原式=1)1)(2(lim 1---→x x x x 解: 原式=424652134limxx x x x -++-∞→ =)2(lim 1-→x x =2.（抓大头）= 1-.（恒等变换之后“能代就代”）（3）xx x -+-→222lim 2, （4）330sin tan lim x x x →,解：原式=)22)(2()22)(22(lim2++-+++-→x x x x x 解：0→x 时33~tan x x ,=221lim2++→x x 33~sin x x ,=41. （恒等变换之后“能代就代”） ∴原式=330lim x x x →=1lim 0→x =1.（等价）（5）)100sin (lim +∞→x x x , （6） 2121lim()11x x x→--- ，解：原式=100lim sin lim∞→∞→+x x x x解：原式=2211212(1)lim()lim 111x x x x x x→→-+-=--- =0 + 100= 100 （无穷小的性质） 11(1)11limlim (1)(1)12x x x x x x →→-===-++．(7)215lim+-+∞→x x x ．解 : 原式=52115lim=+-+∞→xx x ．（抓大头）（8）11lim 21-+→x x x .解：因为0)1(lim 1=-→x x 而0)1(lim 21≠+→x x ，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为011lim 21=+-→x x x ，所以当1→x 时，112+-x x 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 ∞=-+→11lim21x x x ．（9）limx解：不能直接运用极限运算法则，因为当x →+∞时分子，极限不存在，但sin x 是有界函数，即sin 1x ≤而 0111lim1lim33=+=++∞→+∞→x x xx x x ，因此当+∞→x 时，31xx +为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得l i 0x =. （10）203cos cos limxxx x -→ ．解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式=202sin sin 2limx x x x →=441)22sin 4(lim sin lim 0=⨯=⋅⋅∞→→x x x x x x ．（也可用洛必达法则）（11）xx x)11(lim 2-∞→.解一原式=10])11[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x xx x x =1ee 1=-，解二原式=)1()(2])11[(lim 2x x x x--∞→-=1e 0=．（12）30tan sin limx x xx→-．解：x x x x 30sin sin tan lim -→=xx x x x cos )cos 1(sin lim 30-→ =2202sin 2limx x x → =21 （ 222~2sin ,0⎪⎭⎫⎝⎛→x x x ）．（等价替换） 5.求下列极限（1）201cot limxx x x -→ （2）)e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x （3）)]1ln(11[lim 20x x x x +-→ （4）)ln (lim 0x x n x ⋅+→ （5） xxx cos 1lim++∞→解：（1）由于0→x 时，1tan cot →=x x x x ，故原极限为0型，用洛必达法则所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim 1cot lim 2020-=-→→30sin cos limx xx x x -=→ （分母等价无穷小代换）01sin lim 3x x x→-=31-=.（2）此极限为∞∞，可直接应用洛必达法则所以 )e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x x x e lim 3cos e133+→⋅⋅=3cos = . （3）所求极限为∞-∞型，不能直接用洛必达法则，通分后可变成00或∞∞型.)]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx xx x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .（4）所求极限为∞⋅0型，得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ （∞∞型） =1111lim --→-+n x x nx =.01lim lim 0110=-=-++→+→nxn xnx x nx （5）此极限为 ∞∞型，用洛必达法则，得 1sin 1limcos lim xx x x x x -=++∞→+∞→不存在，因此洛必达法则失效！但 101c o s 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x xxx x x x x x x . 6.求下列函数的极限：（1）42lim 22--→x x x ，（2）()⎪⎩⎪⎨⎧++=,1,1sin 2xa x x x f ,0,0><x x 当a 为何值时，)(x f 在0=x 的极限存在. 解： (1)41)2)(2(2lim 42lim 222-=+--=----→→x x x x x x x ,41)2)(2(2lim 42lim 222=+--=--++→→x x x x x x x ,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．（2）由于函数在分段点0=x 处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限．于是，有a a x x a x x x f x x x x =+=+=----→→→→000lim )1sin (lim )1sin(lim )(lim ，1)1(lim )(lim 2=+=++→→x x f x x ，为使)(lim 0x f x →存在，必须有)(lim 0x f x +→=)(lim 0x f x -→，因此，当a =1 时， )(lim 0x f x →存在且 )(lim 0x f x →=1．7.讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=,1sin ,)(x x xx f0>≤x x ，在点0=x 处的连续性．解：由于函数在分段点0=x 处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限．因而有01sinlim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xx x f x x f x x x x ，而,0)0(=f 即0)0()(lim )(lim 00===+-→→f x f x f x x ，由函数在一点连续的充要条件知)(x f 在0=x 处连续．8. 求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点，并判断其类型：解：由初等函数在其定义区间上连续知)(x f 的间断点为1,0==x x .21lim)(lim 11=+=→→xx x f x x 而)(x f 在1=x 处无定义，故1=x 为其可去间断点.又∞=+=→x x x f x 1lim )(0 ∴0=x 为)(x f 的无穷间断点.综上得1=x 为)(x f 的可去间断点, 0=x 为)(x f 的无穷间断点.（二）一元函数微分学1.判断：（1）若曲线y =)(x f 处处有切线，则y =)(x f 必处处可导. 答：命题错误. 如：x y 22=处处有切线，但在0=x 处不可导. （2）若A ax a f x f ax =--→)()(lim（A 为常数），试判断下列命题是否正确.①)(x f 在点a x = 处可导, ②)(x f 在点a x = 处连续, ③)()(a f x f -= )()(a x o a x A -+-. 答：命题①、②、③全正确.(3)若)(x f ，)(x g 在点0x 处都不可导，则)()(x g x f +点0x 处也一定不可导. 答：命题不成立.如：)(x f =⎩⎨⎧>≤,0,,0,0x x x )(x g =⎩⎨⎧>≤,0,0,0,x x x)(x f ，)(x g 在x = 0 处均不可导，但其和函数)(x f +)(x g = x 在x = 0 处可导.（4）若)(x f 在点0x 处可导，)(x g 在点0x 处不可导，则)(x f +)(x g 在点0x 处一定不可导. 答：命题成立.原因：若)(x f +)(x g 在0x 处可导，由)(x f 在0x 处点可导知)(x g =[)(x f +)(x g ])(x f -在0x 点处也可导，矛盾.（5）)('0x f 与)]'([0x f 有区别. 答：命题成立.因为)('0x f 表示0)(x x x f =在处的导数; )]'([0x f 表示对0)(x x x f =在处的函数值求导，且结果为0.（6）设)(x f y =在点0x 的某邻域有定义，且-∆+)(0x x f )(0x f =2)(x b x a ∆+∆，其中b a ,为常数，下列命题哪个正确？①()x f 在点0x 处可导，且()a x f ='0,②()x f 在点0x 处可微，且()x a x f x x d |d 0==, ③()()x a x f x x f ∆+≈∆+00 （ ||x ∆很小时）. 答：①、②、③三个命题全正确.2.已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→.解：xx x 1)2πsin(lim 0-+→=xx x 2sin)2πsin(lim0π-+→ =2π|)'(sin =x x = 2πcos=0. 3.求 ()⎩⎨⎧+=，，xx x f 1ln )(0<≥x x ，的导数.解：当0>x 时，xx f +='11)( ，当0<x 时，1)(='x f ，当0=x 时，xf x f x f x f f x x )0()(lim 0)0()(lim)0(00-=--='→→，所以 10lim )0(0=-='-→-xx f x ， 1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(100==+=-+='++→→+x x x x xx f ，因此 1)0(='f ，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧+=',1,11)(xx f.0,0≤>x x4.设))((),1ln()(x f f y x x f =+=，求dxdy 解：)]1ln(1ln[))((x x f f y ++==,)]'1ln(1[)1ln(11d d x x x y ++⋅++=∴)1)](1ln(1[1x x +++=.5.已知arctanxy=求y ''. 解：两端对x 求导，得)(1)()(1122222'++='⋅+y x y x y xyx ，222222222221yx y y x yx yy x y y x y +'⋅+⋅+='-⋅+，整理得 x y y x y -='+)( ，故 xy xy y +-='，上式两端再对x 求导，得=2)(22x y yy x +-'，将 xy xy y +-='代入上式，得 2)(22x y yxy xy x y +-+-⋅=''322)(2222y x xy y x xy +---=322)()(2x y y x ++-=. 6.求y = 323)4()3)(2)(1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+++x x x x x 的导数x yd d 解：两边取对数：y ln =)]4ln(ln 3)3ln()2ln()1[ln(32+--+++++x x x x x , 两边关于x 求导：]413312111[32'1+--+++++=⋅x x x x x y y , ∴)413312111(32d d +--+++++=x x x x x y x y . 7.设xx x f e )(=，求)('x f .解：令xx y e =, 两边取对数得：x y xln e ln =, 两边关于x 求导数得：即 )e ln e ('e xx x y xxx+=. 8.设,sin ),(2x u u f y ==求x y d d 和22d d xy.解：xy d d =2cos 2)(x x u f ⋅⋅', 22d d xy =)sin 4cos 2)(()(cos 4)(222222x x x u f x x u f -'+⋅''. 9.x x y e 4+=, 求y)4(.解：xx y e 43+=', xx y e 122+='',xx y e 24+=''', x y e 24)4(+=.10.设cos sin x t t y t=-⎧⎨=⎩，，求 22d d x y . 解：d (sin )cos d 1sin (cos )y t tx tt t '=='+- ， 222sin (1sin )cos 11(1sin )1sin (1sin )t t t t t t -+--=⋅=+++. 11.求曲线⎩⎨⎧==,,3t y t x 在点（1，1）处切线的斜率. 解：由题意知：⎩⎨⎧==,1,13t t 1=⇒t ,∴33)()(d d 12131==''====t t t t t t xy ,∴曲线在点（1，1）处切线的斜率为312. 求函数xx y tan ln e=的微分.解一用微分的定义x x f y d )(d '=求微分，有x x xx d )2sin 21(e tan ln +=. 解二利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 13.试证当1≠x 时，x xe e >.证明：令x x f xe e )(-=，易见()f x 在),(+∞-∞内连续，且0)1(=f e e )(-='xx f .当1<x 时，e e )(-='xx f 0<可知()f x 为]1,(-∞上的严格单调减少函数，即当1>x 时，e e )(-='x x f 0>，可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数，即()(1)0f x f >=.故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x xx xe e >.14.求函数344x x y -=的单调性与极值. 解：函数的定义域为),(+∞-∞.)3(3223-=-='x x x x y ，令 ,0='y 驻点 3,021==x x 列表由上表知，单调减区间为)3,(-∞，单调增区间为),3(+∞，极小值 4)3(-=y 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中0,6302=''-=''=x y x x y 不能确定0=x 处是否取极值，,093>=''=x y 得427)3(-=y 是极小值. 15.求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值. 解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f . ∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200，最小值为50-.16.求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , ∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.17.求函数)1ln(2x y +=的凹向及拐点. 解：函数的定义域 ),(+∞-∞，,122x x y +=' 222222)1()1(2)1(22)1(2x x x x x x y +-=+⋅-+=''，令 ,0=''y 得1±=y ，列表知，上凹区间(1,1)-,下凹区由此可(,1)(1,)-∞-+∞，曲线的间拐点是)2ln ,1(±.的渐近线.18.求下列曲线的渐近线（1）xxy ln = ，（2）1222-+-=x x x y ，（3）()()213--+=x x x y .解（1）所给函数的定义域为),0(+∞.由于 011lim ln lim ==+∞→+∞→x x xx x ，可知 0=y 为所给曲线xxy ln =的水平渐近线.由于 -∞=+→xxx ln lim 0，可知 0=x 为曲线xxy ln =的铅直渐近线.（2）所给函数的定义域)1,(-∞,),1(∞+.由于 -∞=-+-=--→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， +∞=-+-=++→→122lim )(lim 211x x x x f x x ，可知 1=x 为所给曲线的铅直渐近线（在1=x 的两侧()f x 的趋向不同）.又 a x x x x x x f x x ==-+-=∞→∞→1)1(22lim )(lim2， []b x x x x x x x ax x f x x x =-=-+-=--+-=-∞→∞→∞→112lim ])1(22[lim )(lim 2，所以 1-=x y 是曲线的一条斜渐近线.（3）()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .19.求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=. （2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（三）一元函数积分学1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中，为何要求0≠k ？答：因为0=k 时，C x x x kf =⎰=⎰d 0d )(（任意常数），而不是0. 2. 思考下列问题：(1) 若C x x x f x++=⎰sin 2d )(，则)(x f 为何？答：x x x f x f xcos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ，问)(x f 为何？答：233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ，则dx x f )('⎰为何？答：C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(. 3. 计算下列积分：（1）)sin d(sin 5x x ⎰, （2）x x d cos 3⎰, （3）⎰+x xx x d )sin (,（4）x xe xd 2⎰, （5）⎰-21d xx x , （6）⎰-41d xx x ,（7）⎰x xx d 2ln , （8）x x d )32(2+⎰, （9）⎰-⋅dx x x 211arcsin 1, （10）⎰+x x x d arctan )1(12, （11）⎰+22d x x, （12）⎰-24d x x . 解：（1）C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65. （2）x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰ =)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰=C xx +-3sin sin 3. （3）x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. （4）C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2. （5）C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.（6）C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .（7（8）C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(6)32(d )32(2d )32(.（9）C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12. （10）C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.（11）C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. （12）⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112x x⎰=C x+2arcsin . 4. 计算下列不定积分：（1）⎰++x xd 111，（2）x x d 162-⎰,（3）⎰+232)4(d x x ，（4）⎰-x xx d 122.解：（1）令t x =+1, 则 =x 12-t , t t x d 2d =,于是原式=⎰+t t t d 12=⎰+-+t t t d 1112=]1d d [2⎰⎰+-t tt =C t t ++-1ln 22=C x x +++-+11ln 212. （2）令)2π2π(sin 4<<-=t t x ，则t x cos 4162=-，t t x d cos 4d =，于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形，得81641642cos sin 22sin 22x x x x t t t -=-⋅⋅==,故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. （2）令)2π2π(tan 2<<-=t t x ，则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形，得24sin xx t +=故C xx x x ++=+⎰223242)4(d .（4）设 t x sin = ,t x cos 12=-,t t x d cos d = , 于是原式=⎰t t tt d cos cos sin 2=⎰t t d sin 2=⎰-t t d 22cos 1 =21⎰⎰-)2(d 2cos 41d t t t ==+-C t t 2sin 4121C t t t +-cos sin 2121=C x x x +--212arcsin 21．5.计算下列积分：(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x xd e 4,(4)⎰x x xd 4sine 5, (5) ⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解：（1）)2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .（2）⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰- =⎰+-2241)(d 2arctan x x x x=)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.（3）x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x xx +-44e 161e 41. （4）5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x x xd 4cose 544sin e5155⎰-1=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x=x x x x x x xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并，得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. （5）⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin=C xx x +-100100cos 10000100sin .（6）⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅- =x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 6.计算（1）x xxd e )1(2⎰+ ，（2） 3s e c d x x ⎰．解：（1）选 12+=x u ，=v d x e x d ， =v xe ， x x u d 2d =, 于是原式 )1(2+=x x e ⎰-x 2xe x d ,对于⎰x x e x d 再使用分部积分法,选x u =， =v d x e x d , 则 x u d d =，=v xe ,从而⎰x xex d =x x e ⎰-x x d e =x x e C x +-e ．原式=x e =+--)e e (21C x x x )12(2++x x C x+e （12C C =）, 为了简便起见，所设 x u =,=v xe 等过程不必写出来，其解题步骤如下:⎰x xedx =⎰x d x e =x C x x x x x x +-=-⎰e e d e e .（2）3sec d x x ⎰=)(tan d sec x x ⎰=x x tan sec ⎰-)(sec d tan x x=x x tan sec ⎰-x x x d sec tan 2=sec tan x x -x x x d sec )1(sec 2-⎰=sec tan x x -⎰x x d sec 3+⎰x x d sec=sec tan x x -⎰x x d sec 3+x x tan sec ln +, 式中出现了“循环”，即再出现了⎰x x d sec 3移至左端，整理得3sec d x x ⎰=21[x x tan sec +x x tan sec ln +]+C ． 7. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小，知 11,102427max min =-=f f ，由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x .8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ. 9. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？解：)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.10.已知 ⎰+=t t xxx F d 1sin )(2 ，求 )(x F '．解：)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1⋅+=++-212x x x x cos sin 1⋅+．11. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解：此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得xtt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x12.计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .解：（1）⎰-20d |1|x x =⎰-10d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1. （2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰13d x x=10402444x x +--=4+41741=. （3）⎰π20d |sin |x x =⎰πd sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (x x +-=2+2=4.13.计算下列定积分（1）⎰--2π2π3d cos cos x x x ，（2）⎰--112d 1x x .解：(1)x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π03⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .(2)⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.14.计算（1）⎰+-4d 11x xx，（2）⎰4π4d tan sec x x x ．解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．令 x t =，x 2t = ，t t x d 2d = ，当0=x 时，0=t ，当4=x 时，2=t ，于是⎰+-4d 11x xx=⎰+-20d 211t t t t =⎰+--20d ]1424[t t t（2）⎰4π04d tan sec x x x =⎰4π03)(sec d sec x x43411sec 414π04=-==x ．15. 计算下列定积分：（1）x x x d e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x x d πcos e 10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(133⎰++.解：（1）x x xd e )15(405⎰+=5e d )15(540x x ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x xx =5155e 5e51e 6=--x .(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=. (3) x x x d πcos e 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰ =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 1πxx --⎰ =-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=.（4）x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰ =4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x 16.计算（1）⎰1d arctan x x ，（2）x x x d ln 2e e1⎰．解:（1）⎰1d arctan x x =10arctan x x⎰+-102d 1x x x=102)1ln(214πx +- =2ln 214-π ．（2）由于在[1,e1]上0ln ≤x ；在[2e ,1]上0ln ≥x ，所以x x x d ln 2e e1⎰=x x x d )ln (1e1⎰-+x x x d ln 2e 1⎰=)2(d ln 21e1x x ⎰-+)2d(ln 2e 12x x ⎰=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22-42x ]2e 1=41-（412e 1+212e 1）+（4e -414e +41） =21-432e 1+434e ．17.判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)⎰∞++022d )1(x x x, (2)⎰∞+02d 1x x , (3)x xd e 1100⎰∞+-, (4)⎰∞++02100d x x ．解:(1) 因为积分区间为无穷区间，所以原式=+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(=+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21=bb x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[lim 2++-+∞→b b =21，故所给广义积分收敛，且其值为21． (2)⎰∞+02d 1xx =+∞=-=-+∞→→+∞+x x x x x 1lim 1lim )1(00, ∴⎰∞+02d 1x x发散. (3)x xd e 1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .(4)⎰∞++02100d x x=20π10arctan 1010=+∞x . 18.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点（1，1）. 解一取x 为积分变量，]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x xx x x x A . 解二取y 为积分变量,y 的变化区间为[0，1]，32)d y -y -2(1==⎰y A . 显然，解法二优于解法一.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 19. 求下列曲线所围成的图形的面积:抛物线22xy =与直线42=-y x . 解:先画图，如图所示，并由方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=4222y x x y ，求出交点为（2，1-），（8，2）. 解一取y 为积分变量,y 的变化区间为[1-，2]，在区间[1-，2]上任取一子区间[y ，y +y d ]，则面积微元 A d =y y y d )242(2-+, 则所求面积为A =⎰--+212d )242(y y y = （32324y y y -+）21-=9.解二取x 为积分变量，x 的变化区间为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间，需分成[0，2]，[2，8]两部分完成.在区间[0，2]上任取一子区间[x ，x +x d ]，则面积微元 A d 1=x xd ]22[, 在区间[2，8]上任取一子区间[x ，x +x d ]，则面积微元 A d 2=[)4(212--x x ]x d , 于是得A =A 1+A 2A =⎰2d 22x x+A x xx d )222(82+-⎰=23322x 20+[23322x 224x x -+]82=9 .显然，解法一优于解法二.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 20.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：如右图，所求体积y=135)325(πx x x ++=π1528. 二、微分方程1. 验证xx C C x C y --+=e e 21为微分方程0'2''=++y y y 的解，并说明是该方程的通解. 证明： xx C C x C y --+=e e 21,x x C x C C C y ----=∴e e )('121, x x C x C C C y --+-=e e )2(''112,于是0'2''=++C C C y y y ，故C y 是0'2''=++y y y 的解.x x -e 与x -e 线性无关，∴0'2''=++y y y 中的1C 与2C 相互独立，即C y 中含有与方程0'2''=++y y y 阶数相同（个数均为2）的独立任意常数，故C y 是该方程的通解. 2. 用分离变量法求解下列微分方程:（1）22d d y x x y =, （2）21d d x y x y -=, （3）y x x x y )1(d d 2++=，且e )0(=y . 解：（1）分离变量得x x yy d d 22=,（0≠y ）两边积分得⎰⎰=x x y yd d 122 , 求积分得 3313Cx y +=-, 从而通解为Cx y +-=33及验证0=y 也是方程的解.（特别注意，此解不能并入通解）（2）分离变量得21d d xx y y -=,（0≠y ）两边积分得⎰⎰-=x x y y d 11d 12,求积分得 1arcsin ||ln C x y +=, 即 )e (e ee 11arcsin arcsin C x xCC C y ±==±=,从而通解为 xC y arcsin e =，验证0=y 也是方程的解.（3）分离变量得x x x yyd )1(d 2++=,（0≠y ）两边积分得⎰⎰++=x x x y y d )1(d 12求积分得 13232||ln C x x x y +++=, 即 )e (eee 1332232132C x x x C C C y x x x ±==±=++++,从而通解为3232ex x x C y ++=，验证0=y 也是方程的解.由e )0(=y ，得e =C ，故特解为32132e x x x y +++=.3.求解下列一阶线性微分方程（1）x b ay y sin '=+（其中b a ,为常数）, (2)21d d y x x y +=. 解：(1)因a x P =)(， x b x Q s i n )(=，故通解为)]cos sin (e 1[e 2x x a a b C axax -++=-. (2)方程变形为2d d y x yx=-, 这是x 关于y 的一阶线性微分方程，其中2)(,1)(y y Q y P =-=,通解为：)22(e 2++-=y y C y .以上是用一阶线性微分方程的通解公式求解，要熟练掌握常数变易法！ 4.求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y的特解.解：这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有x x y y y d 11d 12-=-，两边积分，得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11，求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C ，记 0e12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）. 代入初始条件 20==x y得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .5.求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.（1）解一原方程可化为1d d +=xyx yx y ，令 x yu =，则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u u u d d 12-=+ ，两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2，积分得C x u u ln ln ln 1-=-，将xy u =代入原方程，整理得原方程的通解为 yx C y e = （C 为任意常数）.解二原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 01d d =-x yy x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C yy C =，所以原方程的通解为 1ln C y y x=，即yx C ye = （C 为任意常数）.（2）解一原方程对应的齐次方程02d d =-xy x y 分离变量，得xy xy2d d =，x x y y d 2d =，两边积分，得x x y y ⎰⎰=d 2d ，C x y +=2ln ， )e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =，用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='，x x C cos )(='，C x x x x C +==⎰sin d cos )(，故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）. 解二这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e)(2=代入通解的公式得=)d ecos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）.6.求微分方程 123='+''y x y x 的通解.解：方程中不显含未知函数y ，令P y ='，x P y d d =''，代入原方程，得 1d d 23=+P x xP x ， 311d d xP x x P =+，这是关于未知函数)(x P 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以 =)(x P 1d 13d 1d e 1(eC x xxx xx +⎰⎰⎰-） =1ln 3ln d e 1(e C x x x x+⎰-）=13d 1(1C x x xx +⋅⎰）=11(1C x x +-）=x C x 121+-，由此x y d d =x Cx 121+-，⎰+-=x x C xy d )1(12=21ln 1C x C x ++，因此，原方程的通解为 y =21ln 1C x C x++ （21,C C 为任意常数）. 7.求微分方程 )1()(22-''='y y y 满足初始条件21==x y ，11-='=x y 的特解.解：方程不显含x ，令 P y ='，y P Py d d =''，则方程可化为 )1(d d 22-=y yP PP ，当 0≠P 时y y P P d 12d -=，于是 21)1(-=y C P . 根据 21==x y，11-='=x y ，知12-='=y y 代入上式，得 11-=C ，从而得到x y yd )1(d 2-=-，积分得211C x y +=-，再由21==x y ，求得 02=C ，于是当0≠P 时，原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11，当0=P 时，得C y =(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解x y =-11中. 故原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11，即 xy 11+=. 8.求方程0)'(''2=-y yy 的通解.解：方程不显含自变量x , 令)('y p y =原方程可变为0d d 2=-⋅⋅p ypp y , 即0=p 或p ypy=d d , 由0'==p y 得C y =.由p y p y=d d 分离变量，得yy p p d d =, 两边积分得⎰⎰=y yp p d d ,求积分得 1ln ln ln C y p +=, 即y C p 1=, 解y C y 1'= 得xC C y 1e 2=,因C y =包含于xC C y 1e2=中, 故原方程通解为 xC C y 1e2=.9.写出下列微分方程的通解：（1）0'2''=+-y y y , （2）08'=+y y . 解：（1）特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r , 通解为xx C C y e )(21+=.（2）特征方程08=+r , 特征根8-=r , 通解为xC y 81e-=.10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:（1）xy y y 3e6'2''-=-+, 1)0(',1)0(==y y ,（2） x y y sin 2''=+，1)0(',1)0(==y y . 解：（1）先解06'2''=-+y y y ,其特征方程为0622=-+r r , 特征根为711+-=r , 712--=r ,故通解 xxC C y )71(2)71(1e e --+-+=.因x3e-中3-=λ不是特征方程的根，且1)(=x P m , 故设原方程特解xp A y 3e-=，代入原方程化简，得31-=A ，从而原方程通解为x x C C y )71(2)71(1e e --+-+=x 3e 31--.由0)0(=y ，得03121=-+C C , 由0)0('=y ，得11)71()71(21=++-+-C C ,解得42771+=C , 42772-=C , 故所求特解x xxp y 3)71()71(e 31e 4277e 4277---+---++=. （2）先解02=+''y y ，其特征方程为022=+r ，特征根为i 2,i 221-==r r ，故通解x C x C y C 2sin 2cos 21+=.设原方程特解x b x a y s i n c o s *+=，代入原方程，化简得1,0==b a ，故原方程通解x x C x C y sin 2sin 2cos 21++=,由00)0(1==C y 得，由1)0(='y ，得02=C ，故所求特解为x y sin =.11. 求微分方程 xx y y e 4=-''满足初始条件00==x y，10='=x y 的特解.解：对应齐次方程的特征方程为 012=-r ，特征根 12,1±=r ．故对应齐次微分方程的通解为 xx c C C y -+=e e 21.因为1=λ是特征方程的单根，所以设特解为 xP b x b x y e )(10+=，代入原方程得 x x b b b 4422010=++，比较同类项系数得 10=b ，11-=b ，从而原方程的特解为 xP x x y e )1(-=，故原方程的通解为 =y xxC C -+ee 21x x x e )1(-+，由初始条件 0=x 时，0='=y y ，得 ⎩⎨⎧=-=+,2,02121C C C C从而11=C ，12-=C .因此满足初始条件的特解为 =y xx--ee x x x e )1(-+.12.求微分方程 x y y y x2sin e 842=+'-''的通解.解：对应的齐次微分方程的特征方程 0842=+-r r ，特征根 i 222,1±=r .于是所对应的齐次微分方程通解为)2sin 2cos (e 212x C x C y x c +=．为了求原方程x y y y x2sin e842=+'-''的一个特解,先求x y y y )i 22(e 84+=+'-''（*）的特解.由于i 22+=λ是特征方程的单根，且1)(=x P m 是零次多项式。

高数期末考试复习题库

高数期末考试复习题库一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x-2的导数是：A. 2x+3B. 2x-3C. 2x+6D. 2x+12. 曲线y=x^3-6x^2+9x在x=1处的切线斜率是：A. 0B. -6C. 6D. 123. 若f(x)=sin(x)，则f'(π/4)的值是：A. 1B. √2/2C. 0D. -14. 函数f(x)=e^x的不定积分是：A. e^x + CB. e^x - CC. e^x * x + CD. x * e^x + C5. 曲线y=x^2与直线y=4x-5的交点坐标是：A. (1,3)B. (2,3)C. (1,1)D. (2,5)二、填空题6. 若f(x)=x^3-2x^2+x，求f'(x)=______。

7. 函数y=ln(x)的导数是______。

8. 曲线y=sin(x)在x=π/6处的切线斜率是______。

9. 函数y=x^2的原函数是______。

10. 若曲线y=x^3-2x^2+x与x轴相交，则交点的横坐标是______。

三、计算题11. 求函数f(x)=2x^3-5x^2+3x+1在区间[0,2]上的最大值和最小值。

12. 求曲线y=x^2-4x+4在x=2处的切线方程。

13. 计算定积分∫[0,1] (3x^2-2x+1)dx。

14. 求函数f(x)=x^2e^x的n阶导数。

15. 利用分部积分法计算定积分∫[1,e] (1/x)lnxdx。

四、解答题16. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续且f(a)f(b)<0，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。

17. 解微分方程：dy/dx + 2y = x^2，y(0) = 1。

18. 利用泰勒公式展开函数f(x)=e^x在x=0处的前三项。

19. 讨论函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的单调性。

20. 求曲线y=x^3-6x^2+9x与直线y=kx平行的切线方程。

高等数学复习题

高等数学复习题一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下关于极限的描述中，正确的是：A. 极限存在则函数一定连续B. 函数在某点连续则该点的极限存在C. 函数在某点的极限存在则该点的函数值等于极限值D. 函数在某点的极限不存在则该点的函数值一定无定义2. 若函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在点x=a处一定连续B. f(x)在点x=a处的导数等于f(x)在该点的极限C. f(x)在点x=a处的导数是f(x)在该点的瞬时变化率D. f(x)在点x=a处的导数是f(x)在该点的切线斜率3. 以下关于定积分的描述中，错误的是：A. 定积分表示曲线与x轴之间的有向面积B. 定积分的值与积分区间的选择无关C. 定积分的值与积分变量无关D. 定积分的值是积分区间上函数的平均值与区间长度的乘积4. 以下关于无穷级数的描述中，正确的是：A. 所有正项级数都收敛B. 收敛级数的项趋于0C. 收敛级数的和一定存在D. 级数的收敛性与项的符号无关二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-2x+3，则f'(x)=______。

2. 函数f(x)=x^3-6x^2+9x+15在x=2处的切线斜率为______。

3. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值为______。

4. 级数∑(1 to ∞) 1/n^2的和为______。

三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1在x=1处的导数。

2. 计算定积分∫(0 to 2) (2x+1) dx。

3. 判断级数∑(1 to ∞) (-1)^n/n的收敛性。

4. 证明函数f(x)=x^2在(-∞, +∞)上是凸函数。

5. 求函数f(x)=e^x的原函数。

6. 讨论函数f(x)=ln(x)在x=1处的连续性及其导数。

四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分∫(a to b) f(x) dx存在。