选修2-1圆锥曲线练习题概要

圆锥曲线1．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为Κ，点Α在抛物线上，且，则ΑF Κ△的面积为 .2．与双曲线22132x y -=有共同的渐近线，且经过点A 的双曲线的方程为__________． 3．当直线():12I y k x =-+被圆()()22:215C x y -+-=截得的弦长最短时，k 的值为 .4．已知双曲线C ：2213y x -=的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，(0,2)M ，则△PFM 周长最小值为 ．5．直线x ＋a 2y －a ＝0（a>0，a 是常数），当此直线在x 、y 轴上的截距的和最小时，a ＝ ．6．直线x+2y=0被曲线x 2+y 2﹣6x ﹣2y ﹣15=0所截得的弦长等于 .7．不论m 取何值，直线（m －1）x － y ＋2m ＋1＝0恒过定点 ．8．已知两条直线1:(1)230l a x y -++=，2:30l x ay ++=平行，则a= .9．圆221:9O x y +=与圆222:(3)(4)1O x y -+-=的公切线条数为 ． 10．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程12222=+ny m x 表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．11．当三条直线123:310,:3250,:650l x my l x y l x y +-=--=+-=不能围成三角形时，实数m 的取值是 .12．下列四个命题中真命题有 个.①经过定点()00,y x P 的直线都可以用方程()00x x k y y -=-表示；②经过任意两点()()222111,,,,y x P y x P 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示； ③不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示； ④经过定点()b ,0的直线都可以用方程b kx y +=表示.13．点()1,2到直线21y x =+的距离为 __________.14．已知直线l 在y 轴上的截距为1，且垂直于直线12y x =，则l 的方程是__________.15．抛物线23x y =上一点A 的纵坐标为54，则点A 到此抛物线焦点的距离为___________． 16．经过点()2,3P -作圆22224x x y ++=的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为 .17．若焦点在x 轴的椭圆过点()3,0P ，且长轴长是短轴长的3倍，则其标准方程为18．若方程22121x y m m -=++表示椭圆，则实数m 的取值范围是______________ 19．已知椭圆2255kx y +=的一个焦点坐标是()2,0，则k =____________．20．如果实数,x y 满足等式()2223x y -+=，那么y x的最大值是 . 21．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，若使最小则直线的方程是 .22．已知椭圆E:12222=+by a x （a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线340l x y -=交椭圆E 于A 、B 两点；若4=+BF AF ，点M 到直线l 的距离不小于54，则椭圆E 的离心率的取值范围是 ． 23．过点()1,2M 且在坐标轴上截距相等的直线方程为 ．24．已知1B ，2B 是双曲线15422=-y x 的虚轴顶点，21,F F 其焦点，P 是双曲线上一点，圆C 是21F PF ∆的内切圆，则21B CB ∆的面积为____________.25．一条渐近线方程为x y 3=，焦点（4,0），则双曲线的标准方程为______________.26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若310,6,cos 5AB AF FAB ==∠=,则C 的离心率e = ． 27．已知实数a b c ，，满足2a b c +=，则直线: 0l ax by c +=－恒过定点 ，该直线被圆229x y +=所截得弦长的取值范围为 .28．已知过点(3,0)M -的直线l 被圆22(2)25x y ++=所截得的弦长为8，那么直线l 的方程为___________.29．若抛物线()220y px p =>的准线经过椭圆22195x y +=的一个焦点，则该抛物线的准线方程为___________．30．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为__________． 31．已知点P 在圆2284110x y x y +--+=上，点Q 在圆224210x y x y ++++=上，则PQ 的最小值是__________．32．抛物线x y 42=的准线方程_____.33．经过两条直线220x y ++=和3420x y +-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线方程为___________.34．过点C (3,4)作圆225x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点C 到直线AB 的距离为．35．已知直线023)sin 6(=-+y x θ的倾斜角为)0(≠θθ，则=θ_____.36．以下四个关于圆锥曲线的命题中①设A B ，为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；④过点(0,1)作直线，使它与抛物线24y x =仅有一个公共点，这样的直线有3条；其中真命题的序号为_________________.（写出所有真命题的序号）37．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是____________.38．抛物线214y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的横坐标为________． 39．已知(1,2)(5,6)A B -，，经过AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_________．40．经过抛物线28y x =的焦点和顶点且与准线相切的圆的半径为___________．参考答案1．32 【解析】双曲线22179x y -=的右焦点为(4,0)，即为抛物线22y px =的焦点(,0)2p ，所以42p =，即8p =，所以抛物线的方程为216y x =，其准线为4x =-，所以(4,0)K -，过Α作AM 垂直于准线，垂足为M ，则|AM|=|AF|,所以|||AK AM =，所以45MAK ∠=，所以||||||AM MK AF ==，从而易知四边形AMKF 为正方形，所以||||KF AF =，所以ΑF Κ△的面积为21||322KF =. 2．2211827y x -= 【解析】 试题分析：设方程为)0(2322≠=-λλy x ，代入点)52,3(A ，可得λ=-22033，∴9-=λ，∴双曲线的方程为2211827y x -=． 考点：双曲线的性质；渐近线.3．1【解析】试题分析：直线过定点()1,2，且该点在圆内，则当直线过定点且圆心连线垂直时得到的弦长最短，定点与圆心连线的斜率12121-=--，所以所求斜率1k =. 考点：直线与圆的位置关系.4．2+【解析】试题分析：依题意，双曲线2,1c a ==，所以MF =，12PM PF PM PF a +=++，1F 为左焦点，1,,M P F 三点共线时，1PM PF +最小，1MF =22+=+.考点：双曲线的定义.【思路点晴】本题考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法.首先根据双曲线的标准方程，求得双曲线的基本量2,1c a ==.所求PFM ∆中，MF 是定值，即MF =另两边的和PM PF +无法求得最小值，所以考虑利用双曲线的定义，将问题转化到跟左焦点有关的问题，利用定义转化后，三点共线时，周长就会取得最小值.5．1【解析】试题分析：横截距为x a =，纵截距为1y a =，12x y a a +=+≥，当且仅当1a a =，即1a =时取等号．考点：直线方程，基本不等式．6．【解析】试题分析：圆标准方程为22(3)(1)25x y -+-=，圆心(3,1)，半径为5，圆心到直线的距离为d ===．考点：直线与圆的位置关系．【名师点睛】直线与圆相交弦长问题解决方法：（1）与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．利用勾股定理：若弦心距为d ，圆的半径为r ，则由图可知，弦长|AB|＝2r 2－d 2.（2）若能求出直线与圆的两交点A ，B 的坐标，则弦长l ＝|AB|.（3）利用弦长公式：|AB|＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·1＋x 22－4x 1x 2或|AB|＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k 2·1＋y 22－4y 1y 2（方程联立，消去y （或x ），再利用根与系数的关系可得）．7．（－2,3）【解析】 试题分析：直线方程整理为(2)10m x x y +--+=，令2010x x y +=⎧⎨--+=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩，即直线过定点(2,3)-．考点：直线方程．8．-1【解析】试题分析：0a =时，两直线显然不平行，当0a ≠时，由两直线平行得12313a a -=≠，解得1a =-．考点：两直线平行的判断．9．4【解析】试题分析：两圆的圆心和半径分别为()()0,0,3,4,123,1r r ==，所以圆心距为5d =12d r r ∴>+，两圆相离，有4条公切线考点：两圆位置关系10．12【解析】试题分析：由题意可知，(),m n 构成的区域如下图中的矩形，若方程22221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则应满足m n >，如下图中阴影部分，所以根据几何概型，能构成椭圆的概率为()11+3212==422S S ⋅⨯阴影矩形.考点：1.线性规划；2.几何概型.11．2±或12 【解析】试题分析：当0m =时，直线123,,l l l 可以围成三角形，要使直线123,,l l l 不能围成三角形，则0m ≠.记123,,l l l 三条直线的斜率分别为123,,k k k ，则12333,,62k k k m =-==-.若12//l l 或13//l l ,则1232k k ==或1k = 36k =-，解得2m =-或12m =；若三条直线交于一点，由3250,650x y x y --=⎧⎨+-=⎩得1,1,x y =⎧⎨=-⎩，2l 与3l 交于点()1,1-，将点()1,1-代入310x my +-=，得2m =.故当2m =±或12时，123,,l l l 不能围成三角形.综上：2m =±或12. 考点：直线的位置关系.【方法点晴】本题考查直线的位置关系，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.当0m =时，直线123,,l l l 可以围成三角形，要使直线123,,l l l 不能围成三角形，则0m ≠.记123,,l l l 三条直线的斜率分别为123,,k k k ，则12333,,62k k k m =-==-.若12//l l 或13//l l ,则1232k k ==或1k =36k =-，解得2m =-或12m =； 若三条直线交于一点，由3250,650x y x y --=⎧⎨+-=⎩得1,1,x y =⎧⎨=-⎩ 2l 与3l 交于点()1,1-，将点()1,1-代入310x my +-=，得2m =.故当2m =±或12时，123,,l l l 不能围成三角形.综上：2m =±或12. 12．1【解析】 试题分析：①当k 不存在时，直线方程为0x x =，不正确；②正确；③当直线与坐标轴垂直时不能用该方程表示，不正确；④k 可能不存在，不正确.故正确命题的个数为1个. 考点：命题的真假.13【解析】试题分析：根据点到直线的距离公式可得5d ==. 考点：点到直线的距离公式.14．21y x =-+【解析】 试题分析：设垂直于直线12y x =的直线为2y x m =-+，因为直线l 在y 轴上的截距为1，所以1m =，所以直线l 的方程是21y x =-+.考点：两直线的垂直关系.15．2【解析】试题分析：由题意得，抛物线的准线方程为34y =-，所以点A 到准线的距离为53()244--=，根据抛物线的定义可知点A 与抛物线的交点的距离就是点A 与抛物线准线的距离，所以点A 到此抛物线焦点的距离为2．考点：抛物线的定义及其应用．16．50x y --=【解析】试题分析：圆心为()1,0-，1PO k =-，平分弦的直线过圆心，所以1AB k =，由点斜式得32y x +=-，化简得50x y --=.考点：直线与圆的位置关系.17．2219x y += 【解析】试题分析：由椭圆性质可知3,31a a b b ==∴=，所以椭圆方程为2219x y += 考点：椭圆方程及性质18．33(2,)(,1)22---- 【解析】 试题分析：由椭圆方程可知2010210m m m m +>⎧⎪+<⎨⎪+++≠⎩，解不等式得实数m 的取值范围为33(2,)(,1)22---- 考点：椭圆方程19．1【解析】试题分析：由题意得，椭圆的方程可化为22151x y k+=，又因为焦点坐标是()2,0，所以25121k k-=⇒=. 考点：椭圆的方程及几何性质.20【解析】试题分析：设y t x = y tx ∴=代入()2223x y -+=得()()2223x tx -+= ()221410t x x ∴+-+=由0∆≥得()216410t t -+≥≤，y x考点：直线和圆的位置关系21．30x y -+=【解析】试题分析：圆C 的方程为x 2+y 2-2y-3=0，即 x 2+（y-1）2=4，表示圆心在C （0，1），半径等于2的圆．点P （-1，2P （-1，2）在圆内．∴当AB ⊥CP 时，|AB|最小，此时，k CP =-1，k l =1，用点斜式写直线l 的方程y-2=x+1，即x-y+3=0考点：直线与圆相交的性质；直线的一般式方程22．(0【解析】试题分析：如图所示，设F ′为椭圆的左焦点，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′是平行四边形，∴4=|AF|+|BF|=|AF ′|+|AF|=2a ，∴a=2．取M （0，b ），∵点M 到直线l 的距离不小于45，45≥，解得b ≥1．∴c e a ==≤= ∴椭圆E的离心率的取值范围是(0．考点：椭圆的简单性质23．2x-y=0或x+y-3=0【解析】试题分析：：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a ， 把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y-3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx ，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x 即2x-y=0． 综上，所求直线的方程为：2x-y=0或x+y-3=0 考点：直线方程 24．52 【解析】试题分析：双曲线方程可知224,52,3a b a b c ==∴===，设内切圆与1122,,PF F F PF 切点分别为,,M N Q1122,,PM PQ FM F N F N F Q ∴===121224F N F N PF PF a ∴-=-==1226F N F N c +==152N F N x ∴=∴=，21B CB ∆的面积为12252N S b x ==考点：双曲线性质25．112422=-y x【解析】试题分析：由题意可知2224ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩可得224,12a b ==，所以双曲线方程为112422=-y x 考点：双曲线方程及性质 26．57【解析】 试题分析：设椭圆C 的右焦点为F '，根据椭圆的对称性可知，四边形FAF B '为平行四边形，所以2A FB F a +=，所以26BF a =-，()222263cos 25AF AB a FAB AF AB +--∠==⋅，即()23610026326105a +--=⨯⨯，解得7a =，又2223cos 25AF AO c FAO AF AO +-∠==⋅，即2362532655c +-=⨯⨯，解得：5c =，所以离心率57c e a ==． 考点：椭圆的离心率． 27．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭；⎤⎦【解析】试题分析:将2a b c +=代入直线: 0l a x b y c +=－可得0)21()(=-++y c y x a ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=+21210210y x y y x ,即直线过定点)21,21(-P ;因22=OP ,故最短弦长是过点)21,21(-P 且垂直于半径的线段的长,即342192=-=L ,最长弦是该圆的直径,即6=d ,故该直线被圆229x y +=所截得弦长的取值范围为]6,34[,故答案应填11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；⎤⎦. 考点：直线过定点的知识及直线截圆所得的弦长计算公式及运用. 28．3x =-或512150x y -+= 【解析】试题分析：设直线方程为()3+=x k y 或3-=x ，∵圆心坐标为()2,0-，圆的半径为5，∴圆心到直线的距离31625=-=d ，∴31232=++k k ，∴125=k ，∴直线方程为()3125+=x y ，即015125=+-y x ；直线3-=x ，圆心到直线的距离33=-=d ，符合题意，故答案为：3x =-或512150x y -+=.考点：直线与圆的位置关系.【方法点睛】本题考查了待定系数法求直线方程，考查了直线与圆相交的相交弦长公式，注意不要漏掉3-=x ，难度中档；当直线与圆相交时，弦长的一半、圆心到直线的距离以及圆的半径构成直角三角形可求出点()2,0-到直线的距离为3，已知直线过某点时，分为斜率存在和斜率不存在时两种情况，当斜率不存在时进行验证，当斜率存在时设为点斜式，利用点到直线的距离可得结果. 29．2x =- 【解析】试题分析：椭圆焦点为()2,0±，由于0p >，所以准线为22px =-=-. 考点：抛物线与椭圆的概念.【思路点晴】本题主要考查抛物线的定义，椭圆的基本概念. 考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多. 30．2 【解析】试题分析：由于240,0m m +>>，交点在x 轴上，根据离心率有2e m ===.考点：双曲线的概念.31．5 【解析】试题分析：因为点p 在圆2284110x y x y +--+=上，点Q 在圆224210x y x y ++++=上，故两圆的圆心分别()(4,2),2,1--为半径分别为3和2两圆的圆心距为PQ 最小值为325-=，故答案为5.考点：1、圆的方程及圆的几何性质；2、两点间的距离公式及最值问题.【方法点晴】本题主要考查圆的方程及几何性质、两点间的距离公式及最值问题的应用，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是利用圆的几何性质，将PQ 的最小值转化两圆心的距离减半径解答的.32．1-=x . 【解析】试题分析：由题意得，抛物线x y 42=的准线方程为1-=x . 考点：抛物线的性质. 33．2320x y +-= 【解析】试题分析：解方程组2203420x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得交点为()2,2-，斜率为23-，由点斜式求得切线方程为2320x y +-=. 考点：两条直线的位置关系.34．4【解析】试题分析：以OC 为直径的圆方程为()222352,22x y AB ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为圆C 与圆O 225x y +=的公共弦，所以AB 方程为()()22223252524x y x y ⎡⎤⎛⎫+--+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，化为3450x y +-=，C 到AB 的距离为4d ==，故答案为4.考点：1、两圆公共弦方程的求法；2、圆的标准方程及点到直线距离公式. 35．43π（或145） 【解析】试题分析：由题意得，22cos ,0,sin 2tan -=∴≠-=θθθθ ，则=θ43π（或 145）.考点：斜率的几何意义. 36．②④ 【解析】试题分析：根据双曲线的定义，设,A B 为两个定义，k 为非零常数，当||||PA PB k AB -=<时，则动点P 的轨迹为双曲线，所以①不正确；解方程可得两根1,22，因此12可以作为椭圆的离心率，2可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，所以②是正确的；过定圆C 上一定点A 作圆的动弦,AB O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，可得点P 为弦BA 的中点，由垂径定理可得OP AP ⊥，因此动点P 的轨迹为圆，所以③不正确；④中，当直线的斜率不存在时，直线的方程为0x =与抛物线的方程联立求解0,0x y ==，此时直线与抛物线只有一个交点，当直线的斜率存在时，设直线方程1y kx =+，与抛物线方程联立得22(24)10k x k x +-+=，当0k =时，1y =代入抛物线求得1x =，此时直线与抛物线有一个交点，当0k ≠，要使直线与抛物线只有一个交点需22(24)40k k ∆=--=，求得1k =，综合可知要使直线与抛物线仅有一个公共点，所以这样的直线共有3条，所以是正确的，故选②④. 考点：命题的真假判定.【方法点晴】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到双曲线的定义、向量的运算、椭圆与双曲线的几何性质、轨迹方程的判断、直线与抛物线的位置关系等知识点的综合考查.着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论的数学思想的应用，其中认真审题、自习解答是解答的关键，属于中档试题. 37．212y x = 【解析】试题分析：设动点(,)M x y ，设M 与直线:3l x =-的切点为N ，则MA MN =，即动点M 到定点A 和定直线:3l x =-的距离相等，所以点M 的轨迹是抛物线，且以(3,0)A 为焦点，以直线:3l x =-为准线，所以6p =，所以动圆圆心的轨迹方程为212y x =. 考点：抛物线的定义及其标准方程. 38．1516【解析】试题分析：由已知可得00111512161616p x x =⇒+=⇒=． 考点：抛物线的方程及其性质． 39．230x y -=或50x y +-= 【解析】试题分析：点(1,2)(5,6)A B -，的中点M 的坐标(3,2)，当直线过原点时，方程为23y x =，即230x y -=．当直线不过原点时，设直线的方程为x y k +=，把中点(3,2)代入直线的方程可得5k =，故直线方程是50x y +-=．综上，所求的直线方程为 230x y -=，或50x y +-=．所以答案应填：230x y -=或50x y +-=．考点：直线的方程．【易错点睛】两坐标轴上的截距相等，容易忽视两坐标轴上的截距都为零的情况，而导致漏解，本题求出AB 的中点坐标，当直线过原点时，求出直线方程，当直线不过原点时，设直线的方程为x y k +=，把中点坐标代入直线的方程可得k 值，即得所求的直线方程．本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 40．3 【解析】试题分析：焦点为(2,0)，所以圆心在直线1x =上，设圆心坐标为(1,)a ，所以到准线的距离即半径为123+=. 考点：抛物线． 【思路点晴】本题考查抛物线的定义，考查圆的方程，直线与圆的位置关系. 考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；考查直线与圆的位置关系，要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题.抛物线的定义是动点到定点的距离等于到定直线的距离.另外，圆心在弦的垂直平分线上.。