logistic回归分析

2.模型中参数的意义
P ln = 0 1 X 1 1 P
Β0（常数项）：暴露因素Xi=0时，个体发病 概率与不发病概率之比的自然对数比值。
P( y 1 / x 0) = 0 ln 1 P( y 0 / x 0)
i
事件发生率很小，OR≈RR。
二、logistic回归模型的参数估计
1. 模型中的参数（βi）估计
，
P ln = 0 1 X 1 2 X 2 m X m 1 P
通常用最大似然函数 (maximum likelihood estimate， MLE)估计β， 由统计软件包完成。(讲义259页）
研究问题可否用多元线性回归方法？
ˆ y a b1 x1 b2 x2 bm xm
1.多元线性回归方法要求 Y 的取值为计量 的连续性随机变量。 2.多元线性回归方程要求Y与X间关系为线 性关系。 ˆ 3.多元线性回归结果 Y 不能回答“发生 与否” logistic回归方法补充多元线性回归的不足
OR e

如X=1，0两分类，则OR的1-α可信区间 估计公式
e
( b j u / 2 Sb j )
Sb j
为回归系数 的标准误
（公式16-10）
例：讲义表16-1资料
一个研究吸烟、饮酒与食道癌关系的病例－对 照资料（886例），试作logistic回归分析。 变量的赋值
1 Y 0
0
0 x
logistic回归模型方程的线性表达
对logistic回归模型的概率（p）做logit变 换，
p log it ( p) ln( ) 1 p
方程如下：
线形 关系
y log it ( p) 0 1 x1
Y～（-∞至+∞）
截距（常数）
回归系数
在有多个危险因素（Xi）时
Point
Effect 吸烟x1 饮酒x2 Estimate 2.424 1.692
95% Wald
Confidence Limits 1.807 1.244 3.253 2.303
似然比检验（讲义）
对某个β做检验，检验统计量（G）
G 2(ln L1 ln L0 )
ln L1 ln L0
包括p个自变量的对 数似然函数 包括 l 个自变量的 对数似然函数
e p1 P( y 1/ x 1) 0 x 1 e
0 x
e P( y 0 / x 1) 1 1 p1 0 x 1 e e p0 P( y 1/ x 0) 0 1 e 0 e P( y 0 / x 0) 1 1 p0 0 1 e
例表16-1资料，对各x的β做检验（wald检验）
参数 β估计值 常数-0.9099 吸烟 0.8856 标准误 0.1358 0.1500 Chi-Squa 44.8699 34.8625 Pr .0001 .0001
饮酒 0.5261
0.1572
11.2069
.0008
Odds Ratio Estimates
b j ' b j s j /( / 3)
标准回归系数（b’） 比较各自变量对Y 的相对贡献
第二节 条件Logistic回归
概念： 用配对设计获得病例对照研究资料，计算的 Logistic回归模型为条件Logistic回归。
成组（未配对）设计的病例对照研究资料，计算的 Logistic回归模型为非条件Logistic回归。 例：见265页 区别： 条件Logistic回归的参数估计无常数项（β0），主 要用于危险因素的分析。
饮酒与不饮酒OR的95%可信区间：
exp(b2 u / 2 Sb2 ) exp(0.5261 1.96 0.1572) (1.24, 2.30)
1.检验一：对建立的整个模型做检验。
说明自变量对Y的作用是否有统计意义。
三、Logistic 回归模型的假设检验
H 0 : 1 2 m 0
2.两值因变量的logistic回归模型方 程
一个自变量与Y关系的回归模型 如：y：发生=1,未发生=0 x ： 有=1， 无=0， 记为p（y=1/x）表示某暴露因素状态下， 结果y=1的概率（P）模型。x 0
或
e P( y 1 / x) 0 x 1 e
1 p( y 1 / x) 1 exp[ ( 0 x)]
Xi=1与Xi=0相比，发生某结果（如发病）优势 比的对数值。
i
的含义：某危险因素，暴露水平变化时，即
P /(1 P ) 1 ln OR ln 1 P0 /(1 P0 ) log itP log itP0 1
P1（y=1/x=1）的概率 P0（y=1/x=0）的概率
Y 发病=1 不发病=0
a p1 ac
有暴露因素人群中发病的比例
多元回归模型的的
i
概念
P logit(p) ln = 0 1 X 1 m X m 1 P
i 反映了在其他变量固定后，X=1与x=0相
比发生Y事件的对数优势比。 回归系数β与OR X与Y的关联 β=0，OR=1， 无关 β＞1，OR＞1 ， 有关，危险因素 β＜1，OR＜1， 有关，保护因子
模型描述了应变量p与x的关系
P概率 1 p( y 1) 1 1 exp[ ( 0 x)]
z 0 1 x
0.5
Β为正值，x越 大，结果y=1发 生的可能性（p） 越大。
Z值 -3 -2 -1 0 1 2 3
图16-1 Logistic回归函数的几何图形
几个logistic回归模型方程
( 0 1 x1 ) ( 0 x0 ) 1 x1
OR e

P /(1 P ) odds1 1 OR 1 P0 /(1 P0 ) odds0
Y 发病=1 不发病=0
危险因素 x= 1 x= 0 30（a） 10（ b） 70（c） 90（d） a+c b+d 危险因素 x= 1 x= 0 p1 p0 1-p1 1-p0
项 一、logistic回归的应用
1.疾病（某结果）的危险因素分析和筛选
用回归模型中的回归系数（β i）和OR说明 危险因素与疾病的关系。例：讲义例16-1， 16-2，16-3
适用的资料：
前瞻性研究设计、病例对照研究设计、 横断面研究设计的资料。
三类研究计算的logistic 回归模型的β意义是一致。仅常 数项不同。（证明略）
DF 2 2 2
Pr <.0001 <.0001 <.0001
2.检验二：
检验模型中某β是否对Y有作用。 检验假设：
H0 : j 0
bj Sb j
2
H1 : j 0
检验统计量：主要为Wald检验（SAS软件）
(
2
)
2
ν=1的χ2
公式16-13
例；
0.8856 2 ( ) 在大样本时，三方法结果一致。 33.86 0.15
第十六章 logistic回归分析
logistic回归为概率型非线性 回归模型，是研究分类观察 结果(y)与一些影响因素(x) 之间关系的一种多变量分析 方法
问题提出： 医学研究中常研究某因素存在条件下某结果是否 发生？以及之间的关系如何？ 因素（X） 疾病结果（Y） x1，x2，x3…XK 发生 Y=1 不发生 Y=0 例：暴露因素 高血压史(x1)：有 或无 高血脂史(x2)： 有 或 无 吸烟(x3)： 有或无 冠心病结果 有 或 无
1 X1 0
食管癌患者 对照：非食管癌
吸烟 不吸烟
1 X2 0 饮酒 不饮酒
经logistic回归计算后得 b0 =-0.9099， b1 =0.8856， b2 =0.5261， 方程表达：
p ln( ) 0.9099 0.8856 x1 0.5261x2 1 p
H1 : 各（j 1， ，m)不全为0 2， j
P ln = 0 1 X 1 2 X 2 m X m 1 P
检验方法（讲义260-261页） 1）似然比检验 (likelihood ratio test) 2）Wald检验
例表16-1吸烟、饮酒与食管癌资料 （SAS软件计算）
Logistic回归方法
该法研究是 当 y 取某值（如y=1）发生的概率（p）与 某暴露因素（x）的关系。
p( y 1/ x) f ( x),即p f ( x)
P（概率）的取值波动0～1范围。 基本原理：用一组观察数据拟合Logistic模型， 揭示若干个x与一个因变量取值的关系，反映y 对x的依存关系。
exp( ) OR
exp( 0.8856) OR 2.4244
控制饮酒因素后， 吸烟与不吸烟相比 患食管癌的优势比 为2.4倍
exp( 0.5261) OR 1.6923
OR的可信区间估计
吸烟与不吸烟患食管癌OR的95%可信区间：
exp(b1 u / 2 Sb1 ) exp(0.8856 1.96 0.15) (1.81,3.25)
多个变量的logistic回归模型方程的线性表达： 公式16-2
P logit(p) ln = 0 1 X 1 2 X 2 m X m 1 P
或ห้องสมุดไป่ตู้
p( y 1/ x1 , x2 xk )
1 1 e
( 0 1 xk .... k xk )
1.对建立的整个模型做检验。 p ln( ) 0.9099 0.8856 x1 0.5261x2 1 p