最新人教A版必修5高中数学2.5等比数列的前n项和教学设计
高中数学人教A版必修5第二章2.5等比数列的前n项和教案
等比数列的前n项和一、教学目标1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。
3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。
二、教学重点与难点重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
三、教学设想本节课采用问题导学式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。
让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探四、教学过程（一）创设问题情景课前给出复习：等比数列的定义及性质课首给出引例：某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂赊借红砖盖房,可砖厂厂长很风趣,提出了这样一个条件:在一个月（30天）内,砖厂每天向建筑队提供10000块砖,为了还本付息,建筑队第一天要向厂方返还1块砖,第二天返还2块砖,第三天返还4块砖,即每天返还的砖数是前一天的2倍,请问,假如你是建筑队队长,你会接受这个条件吗？请在座的同学思考讨论一下,建筑队长能否向砖厂借砖?[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！]（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
学生直觉认为队长可以向砖厂借砖，教师引导学生自主探求，得出：队长30天借到的砖：465230)301(3021'30=⨯+=+++= S （万） 队长需要还的砖：=++++=292302221 S ?[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]教师紧接着把如何求=++++=292302221 S ？的问题让学生探究，292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到302923022222++++= S ②若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：1073741823123030=-=S (分) ≈1073(万) ＞ 465（万）答案:穷人不能向富人借钱（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。
人教新课标版数学高二A必修5学案 等比数列的前n项和(一)
明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1(q ＝1). (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．[情境导学]国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g ，据查目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言． 探究点一 等比数列前n 项和公式的推导思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？答 所得数列为1,2,4,8，…，263.它首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为a n ＝2n －1. 思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，可转化为一个怎样的数列问题？ 答 转化为求通项为a n ＝2n－1的等比数列前64项的和．思考3 类比求等差数列前n 项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？答 不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等． 思考4 如何求等比数列{a n }的前n 项和S n?答 设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和为S n . S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .② 由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n . 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q；当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.小结 (1)千粒麦子的质量约为40 g,1.84×1019粒麦子相当于7 000多亿吨，而目前世界年度小麦产量约6亿吨，所以国王是无法满足发明者要求的． 0(2)等比数列{a n }的前n 项和S n 可以用a 1，q ，a n 表示为 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a nq1－q ，q ≠1.例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13.所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝1 64081.反思与感悟 涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错． 跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.探究点二 等比数列前n 项和的实际应用例2 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)?解 根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5 000，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30 000. 于是得到5 000(1－1.1n )1－1.1＝30 000.整理，得1.1n ＝1.6.两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6. 用计算器算得n ＝lg 1.6lg 1.1≈0.200.041≈5(年)．答 大约5年可以使总销量达到30 000台．反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．跟踪训练2 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？ 解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 探究点三 错位相减法求和思考 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种方法也适用于一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．如何用错位相减法求数列{n2n }前n项和？答 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12(1－12n )1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)． 解 分x ＝1和x ≠1两种情况．当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)，x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).反思与感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)·a n ② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)·a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)，n 2(a ＝1)，1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1，n ， x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1，n ， x ＝1答案 C解析 当x ＝1时，S n ＝n ； 当x ≠1时，S n ＝1－x n 1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．275 答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，且q >0，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________． 答案 11a (1.15－1)解析 注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)． [呈重点、现规律]1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．一、基础过关1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0. ∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.6．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－342.8．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n . 解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1 ∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2 ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. 二、能力提升9．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米 答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 10．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析 先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．∴a 2＝3a 3， ∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数) 参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨． 三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.高中数学-打印版精心校对 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ， 即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n .所以S n ＝n 2n －1.当n ＝1时也成立． 综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.。
高中数学 2.5等比数列的前n项和教学设计 新人教A版必修5(1)
2.5等比数列的前n项和第一课时教材分析一教材分析三维目标一、知识与技能1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；2.探索并掌握等比数列前n项和公式；3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.二、过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动.三、情感态度与价值观1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣. 教学重点1.等比数列前n项和公式的推导；2.等比数列前n项和公式的应用.教学难点等比数列前n项和公式的推导.教学建议上节课师生共同分析探究了等比数列的前n项和公式，从多种角度探索了等比数列前n项和公式的推导方法，在此基础上，这节课会进一步将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式综合在一起应用成为可能.等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知a1,a n,q,n,S n五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想.其中解指数方程的难度比较大，训练要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”.求数列前n项和，不仅仅是数学中的数列知识的演绎，更主要的是实际生活中的许多等比数列问题需要用数列的知识加以解决.例如，教育储蓄问题、住房贷款问题等等，都是与数列求和有关的生活中的实际问题.通过数列知识在现实生活中广泛的应用，使学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等比数列模型的过程，探索并掌握其中的一些基本的数量关系，感受数列这种特殊的数学模型的广泛应用，在运用它解决一些实际问题的过程中更多地体会数学的应用价值.同时，在解决问题的过程中也能对学生的价值观和世界观的培养有着积极的影响，充分发挥数学的教育功能.教材例题3设计了一个与计算机相呼应的空间，明确指出：计算机可以帮助我们求一般数列的和.教师要让学生体会到循环结构既可用于数列描述，又可用于数列求和.从这里我们应该认识到，教材的设计和安排给学生和教师都留下了一定的空间，这个空间需要我们把握好，充实好.因此，这里需要适当地安排对一般数列求和的习题和练习，使学生对一般数列的求和有个简单的认识.数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法的思想等)，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用.教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.导入新课一师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？生知道一些，踊跃发言.师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.师假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？生各持己见.动笔，列式，计算.生能列出式子：麦粒的总数为1+2+22+…+263=?师这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：1+2+22+…+2 63=?师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：S=1+2+22+23+…+2 63,①2S=2+22+23+…+263+264,②②-①得2S-S=2 64-1.264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.导入新课二(一)．复习旧知：问题1:等比数列定义及通项公式；问题2:等比数列的项之间有何特点？说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以q，从而为“错位相减法”求等比数列前n和埋下伏笔。
《2.5 等比数列的前n项和》 课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品
1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分 即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分 由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二 对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q
高中数学人教A版必修5第二章2.5等比数列前n项的求和公式课件
元，．．．以后就每天给我的钱是前一天的两倍，一直给我30天，
我们就算两清了，你看100万元，．．哇，发财了！猪八戒：猴哥，你可别反悔呀！
孙悟空：那我们可以签一个合同嘛！说着就起草了一份合同.猪八戒
230 = 2 + 22 + ⋯ + 229 + 230
①－②,得到 30 －230 =1－230
（1-2）30 =1－230
30 =
−
−
≈1.1× （元）
大约就是11亿元
②
•
•
•
•
•
猪八戒应还孙悟空的钱：
等比数列
2
3
29
1, 2，2 ，2 ， ⋯ ，2
30 = 1 +2+22 +⋯ + 228 + 229 ①
①×2得到：
230 = 2 + 22 + ⋯ + 229 +230
②
①－②,得到 30 －230 =1－230
（1-2）30 =1－230
30 =
−
−
≈1.1× （元）
大约就是11亿元
等比数列的前 n 项和公式
当 q≠1 时， Sn ＝
a1 ( 1－ q n )
．
1－q
正想签字，可转念一想，发现不对劲了，这猴哥本来就精明，做了
生意之后更精了，他会不会又在耍我？
孙悟空借给猪八戒的钱：100×10000×30=3× （元）
就是 3千万元
猪八戒应还孙悟空的钱：
1, 2，22 ，23 ， ⋯ ，229
30 = 1 +2+22 ⋯ + 228 + 229
人教a版必修5学案：2.5等比数列的前n项和(1)(含答案)
2.5 等比数列的前n 项和(一)自主学习知识梳理1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧＝ (q ≠1)(q ＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和的一个常用性质：在等比数列中，若等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝－1，且m 为偶数时，S m ＝S 2m ＝S 3m＝0，此时S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 不成等比数列；当q ≠－1或m 为奇数时，S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 成等比数列．3．推导等比数列前n 项和的方法叫__________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．自主探究阅读教材后，完成下面等比数列前n 项和公式的推导过程．方法一：设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，它的前n 项和是S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .由等比数列的通项公式可将S n 写成S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① ①式两边同乘以q 得qS n ＝________________________________.②①－②，得(1－q )S n ＝____________，由此得q ≠1时，S n ＝__________，因为a n ＝________，所以上式可化为S n ＝________.当q ＝1时，S n ＝__________.方法二：由等比数列的定义知a 2a 1＝a 3a 2＝…＝a na n －1＝q .当q ≠1时， a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n ＝q .故S n ＝____________.当q ＝1时，S n ＝____________.方法三：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2) ＝a 1＋qS n －1＝a 1＋q (S n －a n )当q ≠1时，S n ＝____________＝____________. 当q ＝1时，S n ＝________.对点讲练知识点一 有关等比数列前n 项和的计算例1 在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n .总结涉及等比数列前n项和时，要先判断q＝1是否成立，防止因漏掉q＝1而出错．变式训练1在等比数列{a n}中，a1＋a n＝66，a3a n－2＝128，S n＝126，求n和q.知识点二利用等比数列前n项和的性质解题例2在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.总结通过两种解法比较，可看出，利用等比数列前n项和的性质解题，思路清晰，过程较为简捷．变式训练2等比数列的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝30，S60＝630，求S70的值．知识点三 错位相减法的应用例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0，n ∈N *)．总结 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用这一思路和方法．变式训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．教材中的推导方法叫做错位相减法，这种方法是我们应该掌握的重要方法之一．它适合数列{a n b n }的求和，其中{a n }代表等差数列，{b n }代表等比数列，即一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的新数列的求和可用此法.课时作业一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．1282．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．333．已知公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( )A.q n S nB.S n q nC.1S n q n －1D.S n a 21qn －1 4．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510 5．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30题 号 1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________.7．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 8．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________. 三、解答题 9．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n .已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．§2.5 等比数列的前n 项和(一)知识梳理1．(1)a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－qna 13．错位相减 自主探究a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1qn －1＋a 1q na 1－a 1q na 1(1－q n )1－q a 1q n －1 a 1－a n q 1－qna 1a 1－a n q1－qna 1 a 1－a n q 1－q a 1(1－q n )1－q na 1 对点讲练例1 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝72，S 6＝632，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝72， ①a 1(1－q 6)1－q ＝632. ②②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝12，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.变式训练1 解 ∵a 3·a n －2＝a 1·a n ， ∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n＝66，得①⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，或②⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n＝64.将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q＝126，可得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q ，可得q ＝2，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.例2 解 方法一 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48a 1(1－q2n)1－q＝60①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q ＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 方法二 因为{a n }为等比数列，且q ≠1， 所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S 3n ＝(S 2n －S n )2S n ＋S 2n ＝(60－48)248＋60＝63.变式训练2 解 设b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，…，则b 7＝S 70－S 60.因为q ≠1，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 70－S 60成等比数列，所以b 1，b 2，…，b 7成等比数列，首项为b 1＝10，公比为q ＝b 2b 1＝2010＝2.求得b 7＝10·26＝640.由S 70－S 60＝640，得S 70＝1 270.例3 解 (1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，①xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，②①－②得，(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x－nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).变式训练3 解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1，① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)n 2(a ＝1)1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).课时作业1．C [设公比为q ，则由a 1＝1，a 5＝16得a 5＝a 1q 4， 即16＝q 4，由q >0，得q ＝2.则S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2＝127.]2．D [由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q ＝1＋q 5＝1＋25＝33.] 3．D [数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列，且首项为1a 1，公比为1q ，其前n 项和为：1a 1⎝⎛⎭⎫1－1q n 1－1q＝1a 21q n －1·a 1(q n －1)q －1＝S na 21qn －1.] 4．D [由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1＝29－2＝510.]5．C [q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10S 30＝130，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q ＝10a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3或q 10＝－4(舍去)，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.] 6.152解析 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 7．10解析 ∵S n ＝a 1－a n q1－q ，∴－341＝1＋512q1－q ，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1， ∴n ＝10.8．2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， ∴a 1＝2a 1－1， ∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.9．解 方法一 由已知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 1(1－q 4)1－q＝5×a 1(1－q 2)1－q ， ② 由②得1－q 4＝5(1－q 2)．∴(q 2－4)(q 2－1)＝0.又q <1.∴q ＝－1或q ＝－2.当q ＝－1时，a 1＝2，a n ＝2×(－1)n －1.当q ＝－2时，a 1＝12，a n ＝12×(－2)n －1.方法二 ∵S 4＝5S 2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)．∴a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)．(1)当a 1＋a 2＝0，即a 2＝－a 1， 即q ＝－1时，a 3＋a 4＝0适合；∵a 3＝2，∴a 1＝2(－1)2＝2，∴a n ＝2×(－1)n －1.(2)当a 1＋a 2≠0时，a 3＋a 4a 1＋a 2＝4.即q 2＝4.又q <1，∴q ＝－2，a 1＝2(－2)2＝12，此时，a n ＝12×(－2)n －1. 10．(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝13(a n －1)－13(a n －1－1)， 得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．。
高中数学 2.5 等比数列前n项和教案 新人教A版必修5
word1 / 2等比数列的前n 项和〔第一课时〕一、教学目标《等比数列的前n 项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的简单运用．教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．知识与技能目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．过程与方法目标：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．情感与态度价值观：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．二、 教学过程1.创设情境，提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请在棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？2.师生互动，问题探究探究一观察数列1、2、22、32……632和2、22、32、42……642的关系： 探究二 假设记236312222n S =+++++，那么2346422222+++++可记为_______________，如何求n S ？word2 / 2 探究三 等比数列{}n a ，首项1a ，公比q ，求其前n 项和n S 。
3、类比联想，解决问题例1．求以下等比数列前8项的和。
〔1〕12、14、18、……；〔2〕127a =，91243a =，0q < 练习1 根据以下各题中的条件，求相应的等比数列的前n 项和。
高中数学_等比数列的前n项和公式教学设计学情分析教材分析课后反思
等比数列的前n项和一、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教版）第二章第5节第一课时。
从在教材中的地位与作用来：看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
二、学生学习情况分析从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。
不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。
三、设计思想《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。
对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。
心理学家研究发现，9~22岁的学生正处于创新思维的培养期，高中生正好处于这一关键年龄段，作为数学教师应因势力导，培养学生的创新思维能力。
利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。
在生生、师生交流的过程中，体现对弱势学生更多的关心。
四、教学目标理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。
等比数列的前n项和教学设计
等比数列的前n项和教学设计等比数列的前n项和教学设计篇1一、教材分析：等比数列的前n项和是高中数学必修五其次章第3.3节的内容。
它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的连续。
这局部内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在讨论等比数列的前n项和公式的推导及简洁应用，教学中注意公式的形成推导过程并充分提醒公式的构造特征和内在联系。
意在培育学生类比分析、分类争论、归纳推理、演绎推理等数学思想。
在高考中占有重要地位。
二、教学目标依据上述教学内容的地位和作用，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：1.学问与技能：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；把握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简洁问题。
2.过程与方法：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、类比分析与解决问题的力量，培育学生从特别到一般的思维方法，渗透方程思想、分类争论思想及转化思想，优化思维品质。
3.情感与态度：通过自主探究，合作沟通，激发学生的求知欲，体验探究的艰辛，体会胜利的喜悦，感受思维的奇异美、构造的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。
三、教学重点和难点重点：等比数列的前项和公式的推导及其简洁应用。
难点：等比数列的前项和公式的推导。
重难点确定的依据：从教材体系来看，它为后继学习供应了学问根底，具有承上启下的作用；从学问本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进展，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯穿；从学生认知水平来看，学生的探究力量和用数学语言沟通的力量还有待提高。
四、教法学法分析通过创设问题情境，组织学生争论，让学生在尝摸索索中不断地发觉问题，以激发学生的求知欲，并在过程中获得自信念和胜利感。
强调学问的严谨性的同时重学问的形成过程，五、教学过程（一）创设情境，引入新知从故事入手：传奇，波斯国王下令要奖赏国际象棋的创造者，创造者对国王说，在棋盘的第一格内放上一粒麦子，在其次格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8米，……按这样的规律放满64格棋盘格。
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和学案新人教A版必修5(2021年整理)
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2。
5 错误!第一课时等比数列的前n项和（1）公比是1的等比数列的前n项和如何计算？(2）能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？（3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？(4）等比数列前n项和的性质有哪些？［新知初探]1．等比数列的前n项和公式已知量首项a1与公比q首项a1，末项a n与公比q公式S n＝错误!S n＝错误
《等比数列的前n 项和》1、知识与技能（1）掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；（2）会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的问题；（3）理解等比数列的前n 项和性质应用。
2、过程与方法由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式，提高分析、解决问题能力。
3、情感态度与价值观从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力，在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
等比数列的前n 项和公式推导；学会用公式解决一些实际问题。
【教学难点】灵活使用公式解决问题。
（一）新课导入传说古代印度有一国王喜爱国际象棋，中国智者云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了,我将答应你的任何要求。
”智者心想，我应该治一治国王的傲慢，当国王输棋后，智者说：“陛下只须派人用麦粒填满象棋盘上的所有空格，第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒，……依此下去，以后每格是前一格粒数的2倍。
”国王听后：哈哈大笑，这个问题也太简单了罢！于是国王吩咐手下马上去办，可是过了好多天，手下惊慌地报到国王，大事不好了，即使我们印度近几十年来生产的所有麦子加起来也还不够啊！国王呆了！到底有多少麦粒呢？你认为国王有能力满足上述要求吗？每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍，总共有63个格子：（二）新课讲授探究一：等比数列的前n 项和设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和S n 可用下面的“错位相减法”求得。
S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1。
① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1＋a 1q n。
②由①－②得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n。
说明：这种求和方法称为错位相减法 当q ≠1时，S n ＝a 1－q n1－q。
高中数学 2.5 等比数列前n项和教案 新人教A版必修5
第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
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2.5等比数列的前n项和
(一)教学目标
1、知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式，并用公式解决实际问题
2、过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式
3、情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的
能力
（二）教学重、难点
重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题
难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式
（三）学法与教学用具
学法：由等比数列的结构特点推导出前n项和公式，从而利用公式解决实际问题教学用具：投影仪
（四）教学设想
教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n项和公式。
一般地，对于等比数列
a
1，a
2
，a
3
，．．．, a
n
,．．．
它的前n项和是
Sn= a
1+a
2
+a
3
+．．．+a
n
由等比数列的通项公式,上式可以写成
Sn= a
1+a
1
q + a
1
q2 +．．．+a
1
q n-1 ①
①式两边同乘以公比q得
qSn= a
1q+ a
1
q2 +．．．+a
1
q n-1+ a
1
q n②
①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得
(1-q)Sn= a
1－a 1
q n
当ｑ≠１时，
Sn=q
q a n --1)1(1 （q ≠1） 又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成 Sn=q
q a a n --11（q ≠1） 推导出等比数列的前n 项和公式，本节开头的问题就可以解决了
[相关问题]
①当q=1时，等比数列的前n 项和公式为Sn=na 1
② 公式可变形为Sn=q q a n --1)1(1=1
)1(1--q q a n （思考q>1和q<1时分别使用哪个方便）
③ 如果已知a 1, a n,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个
[例题分析]
例1 求下列等比数列前8项的和: (1)21,41,8
1,．．．； (2) a 1=27, a 9=243
1,q<0 评注:第(2)题已知a 1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过
解方程求得公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q 既可以为正数,又可以为负数.
例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量
增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?
评注:先根据等比数列的前n 项和公式列方程,再用对数的知识解方程
[随堂练习]第1.2.3题
[课堂小结]
(1)等比数列的前n 项和公式中要求q ≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子
(2)如果已知a 1, a n,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个
(五)评价设计
(1)课后阅读: [阅读与思考]
(2)课后作业: 1,2,4题。