C语言程序设计_中牛顿迭代算法的教学探索
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４ 结束语
高职程序设计的最终教学目的，不是简单地使学生 掌握某个计算机语言的基本规则，而是切实培养其解决 实际问题的能力和实现算法的编程能力。为此，教师在 实际教学过程中，只有“重算法，更重方法”，才能提高课 堂教学效果，从而提高学生运用知识的能力。
参考文献：
［１］高福成， 等． Ｃ 语言程序设计教程［Ｍ］． 北京：清华 大学出版社，２００５．８，９１－ ９５．
ＨＵＡＮＧ Ｘｉｏｎｇ－ ｂｏ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｆｏｓｈａｎ Ｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｆｏｓｈａｎ ５２８０００， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓ ｔｒａ ｃｔ： Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｃｏｎｔｅｎｔ ｏｆ Ｎｅｗｔｏｎ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｎ Ｃ ｌａｎｇｕａｇｅ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ， ａｎｄ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｔｓ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｉｅｓ． Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｅｘｐｌａｉｎｓ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ Ｎｅｗｔｏｎ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂｙ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ － ｆｏｒｍｕｌａ＇ ｓ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ， ａｎｄ ｇａｉｎｓ ｇｏｏｄ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒｄｓ ： Ｃ ｌａｎｇｕａｇｅ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ； Ｎｅｗｔｏｎ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ； Ｔｅａｃｈｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔ
１ 引言
所谓牛顿迭代算法，就是一种不断用变量的旧值来
递推新值的计算过程，它作为“直到型”循环语句的典型
应用而被众多 Ｃ 语言教程所介绍。在现有教材的基础
上，结合迭代公式的推导过程来串讲牛顿迭代算法，使
学生对牛顿迭代算法的原理方法、编程思路以及执行效
率等方面有了更深入的理解，从而取得了较为满意的教
学效果。
１１４８ 电脑知识与技术
能由计算机编程来解决，它的选取应根据实际具体的方 程而定，而示范程序则根据二分法选取了 ｘ／２ 作为迭代 的初值。
教师结合实例指出，迭代初值的选取对程序的执行 效率有重要影响。如下列程序是用牛顿迭代法来求解数 值 １０００ 的平方根，迭代初值 ｘ０ 选取为 １０００／２，程序运行 的结果为：ｘ１＝３１．６２２７７６ （１０００ 的近似平方根），ｃｏｕｎｔ＝８ （迭代次数）；当把源程序中的迭代初值 ｘ０ 变更为 ｓｑｒｔ （１０００）， 重 新 运 行 程 序 ， 得 到 如 下 结 果 ：ｘ１ ＝３１．６２２７７６ （１０００ 的近似平方根），ｃｏｕｎｔ＝１（迭代次数）。
（ｘ１）≠０，则得： ｘ２＝ｘ１－ ｆ（ｘ１）／ｆ＇ （ｘ１） 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：
ｘｎ＋１＝ｘｎ－ ｆ（ｘｎ）／ｆ＇ （ｘｎ）
（式 ２）
这里求解平方根 的值，写成方程形式有：ｘ２－ ａ＝０，
故以 ｆ（ｘ）＝ｘ２－ ａ 代入（式 ２）得：ｘ１－ （ｘ２０－ ａ）／（ｘ２－ ａ）＇ ｜ｘ＝ｘ０ ，整 理后有：ｘ１＝（ｘ０＋ａ／ｘ０）／２ （式 ３）
３ Ｃ 语言中牛顿迭代算法的教学探索
学生对牛顿迭代算法原理没有清晰的理解主要体 现在以下几点：
（１）平方根的迭代公式为什么是 （式 １）
收稿日期：２００７－ ０９－ ２５ 作者简介：黄雄波（１９７５－ ），男，广东南海人，佛山职业技术学院计算机讲师，硕士，主要研究方向：非线性复杂时滞系统的鲁棒镇定 和计算机软件工程。
当被开方数 ａ 为一变量时 （取变量的符号为 ｘ），式
３ 便变为式 １。
图 １ 牛顿迭代过程的几何示意图
３．２ 教学讨论 ３．２．１ 教师点题小结，牛顿迭代算法的本质是逐次 线性化，即每次迭代后用精度更高的切线来替代曲线 ｆ （ｘ） ［３］。结合示范程序不难发现，每次迭代运算后均用 ｘ１ 变量来保存新的切线与 ｘ 轴的交点，若误差较大，则把 新的交点 ｘ１ 赋值给 ｘ０ 作为下一次迭代的初值进行迭 代。从课堂的互动及课后的交流情况得知，绝大部分学 生在听完迭代公示的推导后，对示范程序中的变量含 义、程序结构有了更为深刻的理解。 ３．２．２ 教师串讲分析迭代初值的选取问题［５］，从图 １ 可以看出，初值 ｘ０ 的选取若靠近方程的解 ｘ＊ 时，迭代次 数就会越少，相应的程序计算时间也越短。迭代初值不
［２］李庆扬， 等． 数值计算原理［Ｍ］． 北京：清华大学出 版社，２０００．９，２５９－ ２８１．
［３］白峰杉． 数值计算引论［Ｍ］． 北京：高等教育出版 社，２００４．７，１３６－ １３９．
［４］邓易东． 基于牛顿迭代法的高阶代数方程算法设 计［Ｊ］． 石河子大学学报（自然科学版）， ２００６，２４（３），３７４－ ３７８．
１１４７
计算机教育
本栏目责任编辑：王力
（２）迭代初值 ｘ０ 为什么选取“ｘ／２”？ （３）迭代收敛条件为什么是“ｆａｂｓ（ｘ１－ ｘ０）＞１ｅ－ ５”？ 显然，学生感到困惑的地方已不在 Ｃ 语言的语句 中，而是迭代算法的本身。而回答上述问题，则需要从迭 代公式的推导入手。 ３．１ 平方根迭代公式的推导过程［２］［４］ 牛顿迭代法是把非线性方程 ｆ （ｘ）＝０ 线性化的一种 近似方法。设 ｘ＊ 和 ｘ０ 分别是非线性方程 ｆ（ｘ）＝０ 的解和 近似解，把 ｆ（ｘ）在 ｘ０ 点附近展开成泰勒级数有：
本栏目责任编辑：王力
计算机教育
高职《Ｃ语言程序设计》中牛顿迭代算法的教学探索
黄雄波 （佛山职业技术学院 计算机工程系，广东 佛山 ５２８０００）
摘要：介绍了 Ｃ 语言中牛顿迭代算法的教学内容，并分析了其教学难点。结合迭代公式的推导过程来串讲牛顿 迭代算法的编程原理，取得了较为满意的教学效果。
关键词：Ｃ 语言；牛顿迭代算法；教学效果 中图分类号：Ｇ６４２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００９－ ３０４４（２００７）２２－ ４１１４７－ ０２ Ｔｅ ａ ｃｈｉｎｇ Ｅｘｐｌｏｒａ ｔｉｏｎ ｏｆ Ｎｅ ｗｔｏｎ Ｉｔｅ ｒａ ｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｎ Ｃ Ｌａ ｎｇｕａ ｇｅ Ｐ ｒｏｇｒａ ｍｍｉｎｇ ｏｆ Ｈｉｇｈｅ ｒ Ｖｏｃａ ｔｉｏｎ Ｃｏｌｌｅ ｇｅ ｓ
［５］崔国华． 计算方法［Ｍ］． 武汉：华中理工大学出版 社，１９９６．１１，１３６－ １４３．
取其线性部分，作为非线性方程 ｆ （ｘ）＝０ 的近似方
程，则有：
ｆ（ｘ０）＋ｆ＇ （ｘ０）（ｘ－ ｘ０）＝０ 设 ｆ＇ （ｘ０）≠０，则其解为：ｘ１＝ｘ０－ ｆ（ｘ０）／ｆ＇ （ｘ０） 如图 １ 所示，一般地 ｆ（ｘ１）≠０，且 ｘ１ 比 ｘ０ 更接近非线 性方程 ｆ（ｘ）＝０ 的解 ｘ＊。为此，再把 ｆ（ｘ）在 ｘ１ 附近展开成 泰勒级数，也取其线性部分作 ｆ（ｘ）＝０ 的近似方程。若 ｆ＇
２ Ｃ 语言中牛顿迭代算法的教学内容及难点分析
２．１ 迭代算法的 Ｃ 语言程序示例
文献［１］给出的牛顿迭代算法例题为：“用牛顿迭代
法求 ２￣１００ 之间的正数 ｘ 的平方根，其中平方根的迭代
公式为：
，要求迭代精度为 ０．００００１”；教材的示
范源程序如下：
＃ｉｎｃｌｕｄｅ ＜ｍａｔｈ．ｈ＞
＃ｉｎｃｌｕｄｅ ＜ｓｔｄｉｏ．ｈ＞
｝ｗｈｉｌｅ（ｆａｂｓ（ｘ１－ ｘ０）＞１ｅ－ ５）； ／＊ 迭代收敛条件 ＊／
ｐｒｉｎｔｆ（“％．０ｆ ％ｆ＼ｎ”，ｘ，ｘ１） ；／＊ 打印 ｘ 及其平方根近似
值 ／
｝ ｝ ２．２ 教学难点的分析 从计算机语言的角度来说，上述示范程序无论是程 序语句还是程序结构均属简单。程序中，外层的 ｆｏｒ 循环 语句控制着每个被求平方根的正数 ｘ，并以 ｘ／２ 的初值 进行了第一次迭代；内层的 ｄｏ－ ｗｈｉｌｅ 循环语句控制着迭 代的精度，并根据最近两次迭代结果的误差 ｜ｘ１－ ｘ０｜ 来确 定迭代是否结束。这里的迭代，就是从初始值 ｘ０ 出发，用 平方根迭代公式计算 ｘ１，当 ｜ｘ１－ ｘ０｜＜０．００００１ 时，迭代收 敛，ｘ１ 就是所求的近似根；否则，用 ｘ１ 替换 ｘ０，继续使用 迭代公式进行迭代。 然而，在实际的教学过程中，众多学生普遍反映牛 顿迭代算法的编程思路难以理解和掌握，相应的教学效 果也不尽人意。经过认真的思考和总结，作者发现产生 教学难点的主要原因并不在于 Ｃ 语言的语句描述上，而 是在于学生对算法本身没有清晰的理解。由于文献［１］是 一本 Ｃ 语言程序设计的教程，所以它只关注如何用 Ｃ 语 言来描述迭代算法，至于程序中的平方根迭代公式就没 有具体讲解。为此，在讲授迭代算法的编程思路之前，引 入了相关的数值分析知识来剖析牛顿迭代算法的原理， 这种做法不仅有效地降低了教学内容的难度，而且也使 学生的学习兴趣和信心得到了一定的提高。
ｍａｉｎ（）
｛ ｆｌｏａｔ ｘ，ｘ０，ｘ１；
ｆｏｒ（ｘ＝２；ｘ＜＝１００；ｘ＋＋） ／＊ 外层循环确定被求平方根
的数值范围 ＊／
｛ ｘ０＝ｘ／２； ／＊ 迭代初值 ＊／
ｘ１＝（ｘ０＋ｘ／ｘ０）／２； ／＊ 迭代公式 ＊／
ｄｏ ／＊ 内层循环求每个 ｘ 的平方根近似值 ＊／
｛ ｘ０＝ｘ１；
ｘ１＝（ｘ０＋ｘ／ｘ０）／２；
＃ｉｎｃｌｕｄｅ ＜ｍａｔｈ．ｈ＞ ＃ｉｎｃｌｕｄｅ ＜ｓｔｄｉｏ．ｈ＞ ｍａｉｎ（） ｛ｆｌｏａｔ ｘ０，ｘ１； ｉｎｔ ｃｏｕｎｔ＝０； ／＊ 记录迭代次数的变量 ＊／ ｘ０＝１０００／２； ／＊ 迭代初值 ＊／ ｘ１＝（ｘ０＋１０００／ｘ０）／２； ｃｏｕｎｔ＝ｃｏｕｎｔ＋１； ｗｈｉｌｅ（ｆａｂｓ（ｘ１－ ｘ０）＞１ｅ－ ５） ｛ｘ０＝ｘ１； ｘ１＝（ｘ０＋１０００／ｘ０）／２； ｃｏｕｎｔ＝ｃｏｕｎｔ＋１； ｝ ｐｒｉｎｔｆ（＂ｘ１＝％ｆ＼ｎ＂，ｘ１） ； ｐｒｉｎｔｆ（＂ｃｏｕｎｔ＝％ｄ＼ｎ＂，ｃｏｕｎｔ）； ／＊ 打印迭代次数 ＊／ ｝ ３．２．３ 教师指引学生思考迭代收敛条件 ｆａｂｓ （ｘ１－ ｘ０）＞ １ｅ－ ５，从图 １ 不难发现，每次迭代所得的 ｘｎ 与方程的解 ｘ＊ 就越接近，即存在｜ｘｎ－ ｘｎ－１｜＜｜ｘｎ－１－ ｘｎ－２｜的关系，当 ｜ｘｎ－ ｘｎ－１｜＜ ０．００００１ 时，｜ｘ＊－ ｘｎ｜＜０．００００１ 也一定成立；至于收敛条件 引入 ｆａｂｓ 绝对值函数的原因是确保前后两次迭代的差 为正数。
高职程序设计的最终教学目的，不是简单地使学生 掌握某个计算机语言的基本规则，而是切实培养其解决 实际问题的能力和实现算法的编程能力。为此，教师在 实际教学过程中，只有“重算法，更重方法”，才能提高课 堂教学效果，从而提高学生运用知识的能力。
参考文献：
［１］高福成， 等． Ｃ 语言程序设计教程［Ｍ］． 北京：清华 大学出版社，２００５．８，９１－ ９５．
ＨＵＡＮＧ Ｘｉｏｎｇ－ ｂｏ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｆｏｓｈａｎ Ｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｆｏｓｈａｎ ５２８０００， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓ ｔｒａ ｃｔ： Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｃｏｎｔｅｎｔ ｏｆ Ｎｅｗｔｏｎ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｎ Ｃ ｌａｎｇｕａｇｅ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ， ａｎｄ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｔｓ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｉｅｓ． Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｅｘｐｌａｉｎｓ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ Ｎｅｗｔｏｎ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂｙ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ － ｆｏｒｍｕｌａ＇ ｓ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ， ａｎｄ ｇａｉｎｓ ｇｏｏｄ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒｄｓ ： Ｃ ｌａｎｇｕａｇｅ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ； Ｎｅｗｔｏｎ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ； Ｔｅａｃｈｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔ
１ 引言
所谓牛顿迭代算法，就是一种不断用变量的旧值来
递推新值的计算过程，它作为“直到型”循环语句的典型
应用而被众多 Ｃ 语言教程所介绍。在现有教材的基础
上，结合迭代公式的推导过程来串讲牛顿迭代算法，使
学生对牛顿迭代算法的原理方法、编程思路以及执行效
率等方面有了更深入的理解，从而取得了较为满意的教
学效果。
１１４８ 电脑知识与技术
能由计算机编程来解决，它的选取应根据实际具体的方 程而定，而示范程序则根据二分法选取了 ｘ／２ 作为迭代 的初值。
教师结合实例指出，迭代初值的选取对程序的执行 效率有重要影响。如下列程序是用牛顿迭代法来求解数 值 １０００ 的平方根，迭代初值 ｘ０ 选取为 １０００／２，程序运行 的结果为：ｘ１＝３１．６２２７７６ （１０００ 的近似平方根），ｃｏｕｎｔ＝８ （迭代次数）；当把源程序中的迭代初值 ｘ０ 变更为 ｓｑｒｔ （１０００）， 重 新 运 行 程 序 ， 得 到 如 下 结 果 ：ｘ１ ＝３１．６２２７７６ （１０００ 的近似平方根），ｃｏｕｎｔ＝１（迭代次数）。
（ｘ１）≠０，则得： ｘ２＝ｘ１－ ｆ（ｘ１）／ｆ＇ （ｘ１） 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：
ｘｎ＋１＝ｘｎ－ ｆ（ｘｎ）／ｆ＇ （ｘｎ）
（式 ２）
这里求解平方根 的值，写成方程形式有：ｘ２－ ａ＝０，
故以 ｆ（ｘ）＝ｘ２－ ａ 代入（式 ２）得：ｘ１－ （ｘ２０－ ａ）／（ｘ２－ ａ）＇ ｜ｘ＝ｘ０ ，整 理后有：ｘ１＝（ｘ０＋ａ／ｘ０）／２ （式 ３）
３ Ｃ 语言中牛顿迭代算法的教学探索
学生对牛顿迭代算法原理没有清晰的理解主要体 现在以下几点：
（１）平方根的迭代公式为什么是 （式 １）
收稿日期：２００７－ ０９－ ２５ 作者简介：黄雄波（１９７５－ ），男，广东南海人，佛山职业技术学院计算机讲师，硕士，主要研究方向：非线性复杂时滞系统的鲁棒镇定 和计算机软件工程。
当被开方数 ａ 为一变量时 （取变量的符号为 ｘ），式
３ 便变为式 １。
图 １ 牛顿迭代过程的几何示意图
３．２ 教学讨论 ３．２．１ 教师点题小结，牛顿迭代算法的本质是逐次 线性化，即每次迭代后用精度更高的切线来替代曲线 ｆ （ｘ） ［３］。结合示范程序不难发现，每次迭代运算后均用 ｘ１ 变量来保存新的切线与 ｘ 轴的交点，若误差较大，则把 新的交点 ｘ１ 赋值给 ｘ０ 作为下一次迭代的初值进行迭 代。从课堂的互动及课后的交流情况得知，绝大部分学 生在听完迭代公示的推导后，对示范程序中的变量含 义、程序结构有了更为深刻的理解。 ３．２．２ 教师串讲分析迭代初值的选取问题［５］，从图 １ 可以看出，初值 ｘ０ 的选取若靠近方程的解 ｘ＊ 时，迭代次 数就会越少，相应的程序计算时间也越短。迭代初值不
［２］李庆扬， 等． 数值计算原理［Ｍ］． 北京：清华大学出 版社，２０００．９，２５９－ ２８１．
［３］白峰杉． 数值计算引论［Ｍ］． 北京：高等教育出版 社，２００４．７，１３６－ １３９．
［４］邓易东． 基于牛顿迭代法的高阶代数方程算法设 计［Ｊ］． 石河子大学学报（自然科学版）， ２００６，２４（３），３７４－ ３７８．
１１４７
计算机教育
本栏目责任编辑：王力
（２）迭代初值 ｘ０ 为什么选取“ｘ／２”？ （３）迭代收敛条件为什么是“ｆａｂｓ（ｘ１－ ｘ０）＞１ｅ－ ５”？ 显然，学生感到困惑的地方已不在 Ｃ 语言的语句 中，而是迭代算法的本身。而回答上述问题，则需要从迭 代公式的推导入手。 ３．１ 平方根迭代公式的推导过程［２］［４］ 牛顿迭代法是把非线性方程 ｆ （ｘ）＝０ 线性化的一种 近似方法。设 ｘ＊ 和 ｘ０ 分别是非线性方程 ｆ（ｘ）＝０ 的解和 近似解，把 ｆ（ｘ）在 ｘ０ 点附近展开成泰勒级数有：
本栏目责任编辑：王力
计算机教育
高职《Ｃ语言程序设计》中牛顿迭代算法的教学探索
黄雄波 （佛山职业技术学院 计算机工程系，广东 佛山 ５２８０００）
摘要：介绍了 Ｃ 语言中牛顿迭代算法的教学内容，并分析了其教学难点。结合迭代公式的推导过程来串讲牛顿 迭代算法的编程原理，取得了较为满意的教学效果。
关键词：Ｃ 语言；牛顿迭代算法；教学效果 中图分类号：Ｇ６４２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００９－ ３０４４（２００７）２２－ ４１１４７－ ０２ Ｔｅ ａ ｃｈｉｎｇ Ｅｘｐｌｏｒａ ｔｉｏｎ ｏｆ Ｎｅ ｗｔｏｎ Ｉｔｅ ｒａ ｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｎ Ｃ Ｌａ ｎｇｕａ ｇｅ Ｐ ｒｏｇｒａ ｍｍｉｎｇ ｏｆ Ｈｉｇｈｅ ｒ Ｖｏｃａ ｔｉｏｎ Ｃｏｌｌｅ ｇｅ ｓ
［５］崔国华． 计算方法［Ｍ］． 武汉：华中理工大学出版 社，１９９６．１１，１３６－ １４３．
取其线性部分，作为非线性方程 ｆ （ｘ）＝０ 的近似方
程，则有：
ｆ（ｘ０）＋ｆ＇ （ｘ０）（ｘ－ ｘ０）＝０ 设 ｆ＇ （ｘ０）≠０，则其解为：ｘ１＝ｘ０－ ｆ（ｘ０）／ｆ＇ （ｘ０） 如图 １ 所示，一般地 ｆ（ｘ１）≠０，且 ｘ１ 比 ｘ０ 更接近非线 性方程 ｆ（ｘ）＝０ 的解 ｘ＊。为此，再把 ｆ（ｘ）在 ｘ１ 附近展开成 泰勒级数，也取其线性部分作 ｆ（ｘ）＝０ 的近似方程。若 ｆ＇
２ Ｃ 语言中牛顿迭代算法的教学内容及难点分析
２．１ 迭代算法的 Ｃ 语言程序示例
文献［１］给出的牛顿迭代算法例题为：“用牛顿迭代
法求 ２￣１００ 之间的正数 ｘ 的平方根，其中平方根的迭代
公式为：
，要求迭代精度为 ０．００００１”；教材的示
范源程序如下：
＃ｉｎｃｌｕｄｅ ＜ｍａｔｈ．ｈ＞
＃ｉｎｃｌｕｄｅ ＜ｓｔｄｉｏ．ｈ＞
｝ｗｈｉｌｅ（ｆａｂｓ（ｘ１－ ｘ０）＞１ｅ－ ５）； ／＊ 迭代收敛条件 ＊／
ｐｒｉｎｔｆ（“％．０ｆ ％ｆ＼ｎ”，ｘ，ｘ１） ；／＊ 打印 ｘ 及其平方根近似
值 ／
｝ ｝ ２．２ 教学难点的分析 从计算机语言的角度来说，上述示范程序无论是程 序语句还是程序结构均属简单。程序中，外层的 ｆｏｒ 循环 语句控制着每个被求平方根的正数 ｘ，并以 ｘ／２ 的初值 进行了第一次迭代；内层的 ｄｏ－ ｗｈｉｌｅ 循环语句控制着迭 代的精度，并根据最近两次迭代结果的误差 ｜ｘ１－ ｘ０｜ 来确 定迭代是否结束。这里的迭代，就是从初始值 ｘ０ 出发，用 平方根迭代公式计算 ｘ１，当 ｜ｘ１－ ｘ０｜＜０．００００１ 时，迭代收 敛，ｘ１ 就是所求的近似根；否则，用 ｘ１ 替换 ｘ０，继续使用 迭代公式进行迭代。 然而，在实际的教学过程中，众多学生普遍反映牛 顿迭代算法的编程思路难以理解和掌握，相应的教学效 果也不尽人意。经过认真的思考和总结，作者发现产生 教学难点的主要原因并不在于 Ｃ 语言的语句描述上，而 是在于学生对算法本身没有清晰的理解。由于文献［１］是 一本 Ｃ 语言程序设计的教程，所以它只关注如何用 Ｃ 语 言来描述迭代算法，至于程序中的平方根迭代公式就没 有具体讲解。为此，在讲授迭代算法的编程思路之前，引 入了相关的数值分析知识来剖析牛顿迭代算法的原理， 这种做法不仅有效地降低了教学内容的难度，而且也使 学生的学习兴趣和信心得到了一定的提高。
ｍａｉｎ（）
｛ ｆｌｏａｔ ｘ，ｘ０，ｘ１；
ｆｏｒ（ｘ＝２；ｘ＜＝１００；ｘ＋＋） ／＊ 外层循环确定被求平方根
的数值范围 ＊／
｛ ｘ０＝ｘ／２； ／＊ 迭代初值 ＊／
ｘ１＝（ｘ０＋ｘ／ｘ０）／２； ／＊ 迭代公式 ＊／
ｄｏ ／＊ 内层循环求每个 ｘ 的平方根近似值 ＊／
｛ ｘ０＝ｘ１；
ｘ１＝（ｘ０＋ｘ／ｘ０）／２；
＃ｉｎｃｌｕｄｅ ＜ｍａｔｈ．ｈ＞ ＃ｉｎｃｌｕｄｅ ＜ｓｔｄｉｏ．ｈ＞ ｍａｉｎ（） ｛ｆｌｏａｔ ｘ０，ｘ１； ｉｎｔ ｃｏｕｎｔ＝０； ／＊ 记录迭代次数的变量 ＊／ ｘ０＝１０００／２； ／＊ 迭代初值 ＊／ ｘ１＝（ｘ０＋１０００／ｘ０）／２； ｃｏｕｎｔ＝ｃｏｕｎｔ＋１； ｗｈｉｌｅ（ｆａｂｓ（ｘ１－ ｘ０）＞１ｅ－ ５） ｛ｘ０＝ｘ１； ｘ１＝（ｘ０＋１０００／ｘ０）／２； ｃｏｕｎｔ＝ｃｏｕｎｔ＋１； ｝ ｐｒｉｎｔｆ（＂ｘ１＝％ｆ＼ｎ＂，ｘ１） ； ｐｒｉｎｔｆ（＂ｃｏｕｎｔ＝％ｄ＼ｎ＂，ｃｏｕｎｔ）； ／＊ 打印迭代次数 ＊／ ｝ ３．２．３ 教师指引学生思考迭代收敛条件 ｆａｂｓ （ｘ１－ ｘ０）＞ １ｅ－ ５，从图 １ 不难发现，每次迭代所得的 ｘｎ 与方程的解 ｘ＊ 就越接近，即存在｜ｘｎ－ ｘｎ－１｜＜｜ｘｎ－１－ ｘｎ－２｜的关系，当 ｜ｘｎ－ ｘｎ－１｜＜ ０．００００１ 时，｜ｘ＊－ ｘｎ｜＜０．００００１ 也一定成立；至于收敛条件 引入 ｆａｂｓ 绝对值函数的原因是确保前后两次迭代的差 为正数。