广东省江门市开侨中学2017-2018学年高二3月月考数学理试题

开侨中学2017-2018学年第二学期高二三月考试数 学 试 卷（理科）第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．等差数列{}n a 中，4839,33,a a ==则16a =（ ） A ．30 B ．27 C ．24 D ．21 2．⎰+1)2(dx x ex等于 （ ）A ．1B ．eC ．1-eD ．e + 13．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )A. 类比推理、归纳推理B. 类比推理、演绎推理C. 归纳推理、类比推理D. 归纳推理、演绎推理4．已知()22132(,z m m m i m R i =-+-+∈为虚数单位），则“1m =-”是“z 为纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5．已知椭圆mx 2+4y 2=1的离心率为√22，则实数m 等于（ ） A. 2 B. 2或 C. 2或6 D. 2或8 6．在ABC ∆中，三边之比::3:5:7a b c =，则角C =（ ） A.3π B. 23π C. 6πD. 56π7．在ABC ∆中，若22tan tan a A b B=，则ABC ∆为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 8．关于函数2ln )(x xx f =极值的判断，正确的是（ ） A. x ＝1时，y 极大值＝0 B. x ＝e 时，y 极大值＝ C. x ＝e 时，y 极小值＝ D. x =√e 时，y 极大值＝9．若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 （ ）A.()2,2-B. []2,2-C.(),1-∞-D.()1,+∞10．点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为A. B. C. D.11．设椭圆22:142x y C +=与函数3y x =的图象相交于,A B 两点，点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，若直线PA 的斜率取值范围是[]3,1--，则直线PB 的斜率取值范围是（ ）A. []6,2--B. []2,6 C. 11,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. 11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．若关于x 的不等式0x xe ax a -+<的解集为()(),0m n n <，且(),m n 中只有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A.)21,322e e （B. )21,32[2e eC.)1,322e e （D. )1,32[2e e第II 卷（非选择题）二、填空题（共4小题，每小题5分。

把答案填在答题卡的相应位置）13．（2013•重庆）已知复数iiz 215+=（i 是虚数单位），则|z|= _________ ． 14．计算dx x ⎰-1021= .15．.已知数列)1(1,...,431,321,211+⨯⨯⨯n n ,…,计算得123123,,234S S S ===,…. 由此可猜测n S =16．设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四点，且满足,,AB AC AD AC AB AD ⊥⊥⊥，ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++的最大值是 _______ .三、解答题本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，公差0d ≠．且35141342,,,a S a a a +=成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11n n nb a a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(在x ＝1与23x =-时，都取得极值． （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）若3(1)2f -=，求f （x ）的单调区间和极值． 19．（本小题满分12分）已知多面体S ABCD -如图所示，底面ABCD 为矩形，其中DC ⊥平面SAD ，090SAD ∠=，若,,P Q R 分别是,,BC SA AD 的中心，其中2AD CD ==.（Ⅰ）证明： AD PQ ⊥；（Ⅱ）若二面角S BR D --6，求SD 的长. 20．（本小题共12分）如图，点F 是抛物线Γ： 22(0)x py p =>的焦点，点A 是抛物线上的定点，且()2,0AF =，点B ， C 是抛物线上的动点，直线AB ， AC 的斜率分别为1k ， 2k .(Ⅰ）求抛物线Γ的方程；(Ⅱ)若212k k -=，点D 是B ， C 处切线的交点，记BCD ∆的面积为S ，证明S 是定值. 21．（本小题满分12分） 已知函数1()1ln a f x x x=-+（a 为实数）． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a 满足()≥h a 18+λ，求λ的取值范围； （Ⅲ）已知*N n ∈，求证：11111ln(1)12345n n+<++++++．22．（本小题满分10分）已知函数()()12f x x x m m R =-++∈ （Ⅰ）若m=2时，解不等式()3f x ≤;（Ⅱ）若关于x 的不等式()[]230,1f x x x ≤-∈在上有解，求实数m 的取值范围。

开侨中学2017-2018学年第二学期高二三月考试 数学试卷（理科）参考答案DB ACD B D D AD D B11．D 【解析】设， ，因为椭圆和函数的图象都关于原点对称，则从而有由，得，即有则，因为，则有,选D.12．B试题分析：设(),x g x xe y ax a ==-，由题设原不等式有唯一整数解，即()xg x xe =在直线y ax a =-下方，()+1,()xg x x e g x '=∞（）在(-，-1)递减，在(1,)-+∞递增，故min 1()(1)g x g e=-=-，y ax a =-恒过定点(1,0)P ，结合图象得：PA PB k a k ≤<，即a ∈221[,)23ee ，选Ｂ．13． 14．4π15．1+n n16．8试题分析：由已知得2222416AB AC AD ++==，12ABC ABD ADC S S S AB AC ∆∆∆++=⋅+12AB AD ⋅+ 12AC AD ⋅22211()()822AB AC AB AD AD AC AB AC AD =⋅+⋅+⋅≤⨯++=，当且仅当AB AC =AD =时等号成立,因此最大值为8.17．试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的首项1a 因为等差数列{}n a 的前n 和为n S ， 3542a S +=，1413,,a a a 成等比数列．所以()11111542542{2(12a a d a d a a d ⨯+++==+ 又公差0d ≠所以13,2a d == 所以()1121n a a n d n =+-=+ （Ⅱ）因为11n n nb a a -=，所以()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭则123111111......1......23352121n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21n n =+ 18．试题解析：（1）f ′（x ）＝3x 2＋2ax ＋b ＝0．由题设知x ＝1，x ＝－23为f ′（x ）＝0的解．∴ －23a ＝1－23，3b ＝1×23⎛⎫- ⎪⎝⎭．∴ a ＝－12，b ＝－2．经检验，这时x ＝1与x ＝－23都是极值点． （2）f （x ）＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f （－1）＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1．∴ f （x ）＝x 3－12x 2－2x ＋1．x2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭23-2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭1(1,)+∞()f x ' + 0- 0 + ()f x递增极大值递减极小值递增∴ f （x ）的递增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和（1，＋∞），递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭．当x ＝－23时，f （x ）有极大值f 23⎛⎫- ⎪⎝⎭＝4927；当x ＝1时，f （x ）有极小值f （1）＝－12． 19解析：（1）取SD 的中点H ，连接QH ， HC ， 因为ABCD 是正方形，所以AD ‖ BC ， AD BC =； 因为,Q H 分别是SA , SD 的中点， 所以QH ‖ AD , 12QH AD =；又因为PC ‖ AD 且12PC AD =， 所以QH ‖ PC ， QH PC =，所以四边形QHCP 是平行四边形, 所以PQ ‖ HC . 因为90,,SDA SD DC D ∠=︒⋂=所以 AD ⊥平面SDC ， 又HC SDC ⊂平面，故AD HC ⊥，故AD PQ ⊥；（2）如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DS 分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系；设(0)SD a a =>，则()()()0,0,1,0,02,2,0S a R B ，，．因为SD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m→=.设平面SRB 的一个法向量为(),,nx y z →=，()1,0,SR a =-， ()1,2,0RB =，则0,{ 0.n nSR RB ⋅→=⋅→= 即0{20x az x y -=+=，， 令x =1，得11,2z y a ==-，所以111,,2n a ⎛⎫→=- ⎪⎝⎭，由已知，二面角S BR D --， 所以得cos ,m nmnmn⋅→→⋅→→===→→，解得a =2，所以SD =2． 20．试题解析：（1）设()00,A x y ，由题知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以00,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()2,0=， 所以002,{ ,2x p y =-=代入22x py =（0p >）中得24p =，即2p =，所以抛物线的方程是24x y =．（2）过D 作y 轴平行线交BC 于点E ，并设211,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 222,4x C x ⎛⎫⎪⎝⎭，由（1）知()2,1A -，所以22212121211144224x x x xk k x x ----=-=++， 又212k k -=，所以218x x -=，直线BD ： 21124x x y x =-，直线CD ： 22224x x y x =-，解得1212,2{ ,4D D x x x x x y +== 因直线BC 方程为()2112244x x x y x x +-=-，将D x 代入得22128E x x y +=， 所以()()()()()221212121111322228E D x x S DE x x y y x x x x -=-=--=⋅⋅-=．21试题解析：（Ⅰ）当1a =时，11()1ln f x x x=-+， 211()f x x x '=-，则1()4222f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-，即2ln 220x y -+-= 4分 （Ⅱ）221()a a xf x x x x-'=-=，由()0f x '=x a ⇒= 由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a 5分由于存在a 满足()≥h a 18+λ，所以max ()≥h a 18+λ 6分 对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ=①当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==，由max ()≥h a 18+λ29188⇒≥+λλ，结合0λ≤或83λ≥可得：19≤-λ或83λ≥②当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==，由max ()≥h a 18+λ108⇒≥+λ，结合403λ<≤可知：λ不存在；③当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-； 由max ()≥h a 18+λ1688⇒-≥+λλ，结合4833λ<<可知：13883≤<λ综上可知：19≤-λ 或138≥λ 8分（Ⅲ）当1a =时，21()xf x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴11()1ln f x x x=-+在1x =处取得最大值(1)0f =即11()1ln (1)0f x f x x=-+≤=，∴11ln xx x -≤， 11分 令 1n x n =+，则11ln n n n +<，即1ln(1)ln n n n+-<， ∴ln(1)ln(1)ln1[ln(1)ln ][ln ln(1)](ln 2ln1)n n n n n n +=+-=+-+--++-1111121n n n <++++--． 故11111ln(1)12345n n+<++++++． 22．试题解析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，若1x ≤-，则原不等式可化为412233x x x -+--≤≥-，解得，所以413x -≤≤-； 若11x -<<，则原不等式可化为12230x x x -++≤≤，解得，所以10x -<≤； 若1x ≥，则原不等式可化为212233x x x -++≤≤，解得，所以x ∈Φ． 综上不等式的解集为4{|0}3x x -≤≤． （2）当[]0,1x ∈时，由()23f x x ≤-，得1232x x m x -++≤- 即22x m x +≤-故222223x x m x x m x -≤+≤---≤≤-，解得， 又由题意知（()min max 2)23x m x --≤≤-， 所以32m -≤≤，故实数m 的取值范围为[]3,2-．。