ODE-Sec6.1-3

(5)
e xA
令 M 表示所有 n-阶实系数矩阵的集合，构 成 n2 -维的线性空间。 对于 ∀A = (aij )n×n , 定义其 模为：
n
A :=
i,j =1
|aij |.
容易证明其如下性质：
(1) A ≥ 0, 而且 A = 0 =⇒ A = O ;
8
(2) 对于 ∀A, B ∈ M, 有三角不等式 A + B ≤ A + B ; (3) 对于 ∀A, B ∈ M, 有 A · B ≤ A · B ; (4) Ak ≤ A
其中 rj (0 ≤ j ≤ nj − 1) 是 n-维常数列向量。
15
引理 1.23. 设 λj 是矩阵 A 的 nj 重特征根，则 方程组 (5) 有形如 (9) 的非零解的充要条件是：
r0 是齐次线性代数方程组： (A − λ j E ) n j r = 0
其中 c 为任意常数列向量。 其满足初值条件 y (x0 ) = y0 的解为：
y=e
(x−x0 )A
x
y0 +
x0
e(x−s)Af (s)ds,
其中 x0 ∈ (a, b). 例 1.18. 试求以下指数矩阵函数 exA :
(1) A 是一个 n-阶对角矩阵； (2) A = 1 1 .
0 1 对于 ∀An×n ∈ M, ∃Pn×n 非奇异， 使得： A = P J P −1,
P −1.
12
如果 A 的特征根 λj , (1 ≤ j ≤ n) 均为单根， 则 A 的 Jordan 标准型 J 是一个对角矩阵，从而 基解矩阵：


λ x e 1 e λ2 x xA Φ(x) = e P = P ...
e λ3 x
= n. 根据
(8), (7) and (6), 在齐次线性微分方程组 (5) 的基
解矩阵 exA P 的全部列向量中，与 λj 相关的 nj 列都具有以下形式：
y=e
λj x
x2 xnj −1 x rn −1 , r0 + r1 + r2 + · · · + 1! 2! (nj − 1)! j (9)
k
(k ≥ 1), 而且此不等式对 k = 0
不成立， 因为通常定义 A0 := E . 命题 1.15. 定义矩阵 A 的指数函数为：
∞
e :=
k =0
A
Ak , k!
而且以上级数绝对收敛。 矩阵指数函数具有以下性质：
(1) 如果 AB = BA, 则有 eA+B = eAeB ; (2) 对于 ∀A ∈ M, eA 可逆，而且 (eA)−1 = e−A; (3) 如果 P ∈ M 非奇异，那么 eP AP
xJ e 1 e x J2 = ...

e xJ
e x Jm

(7)
同时， 由 exA = e xP J P 出：
−1
= P exJ P −1 可以推
e xA P = P e xJ
(8)
是 (5) 的一个基解矩阵， 这样就可以避免求逆矩阵
5 −28 −18 dy (1) = −1 5 3 y; dx 3 −16 −10 1 1 dy (2) = y. dx −1 1
假设矩阵 A 有互不相同的特征根 λ1 , . . . , λs , 分别有重数 n1 , . . . , ns , 满足
s j =1 nj
−1
= P eAP −1.
9
定理 1.16. 矩阵指数函数 Φ(x) := exA 是常系数 齐次线性方程 (5) 的一个标准基解矩阵， 而且满足
Φ(0) = E .
推论 1.17. 常系数非齐次线性方程组 (4) 在区间
(a, b) 上的通解为： y=e
xA x
c+
x0
e(x−s)Af (s)ds,
基解矩阵，那么对于任意一个非退化常数方阵
5
C , 以下矩阵 Ψ(x) = Φ(x)C
也是一个基解矩阵；
(3)
(3) 若 Ψ(x) 和 Φ(x) 都是齐次线性微分方程组 (2) 的基解矩阵，那么必存在一个非退化常数
方阵 C , 使得等式 (3) 成立。 引理 1.12. 若 Φ(x) 是齐次线性微分方程组 (2) 的一个基解矩阵， ϕ∗(x) 是非齐次线性微分方程组
(2) 的阶数相同。 Proof. 对于 ∀y0 ∈ Rn, 存在唯一 y (x) ∈ S , 满足 y (x0) = y0, 由此得到映射： H: Rn → S : y 0 → y (x ) .
可以证明 H 是一一映射， 而且是线性映射：
0 0 0 0 + C2y2 ) = C1H (y1 ) + C2H (y2 ). H (C1y1
第六章 线性微分方程组
§6.1 一般理论
线性微分方程组：
dy = A ( x )y + f (x ) . dx
非齐次和齐次方程。 定理 1.1. 存在唯一性定理 满足初值条件的以上线性微分方程组
(1)
y (x 0 ) = y 0
在区间 x ∈ (a, b) 上存在唯一解 y = y (x), 其中 初值 x0 ∈ (a, b) 和 y0 ∈ Rn 是任意给定的。 引理 1.2. 设 y = yj (x), (j = 1, 2) 是齐次线性 微分方程组：




y11(x) y1n(x) y21(x) y2n(x) y 1 (x ) = . , · · · , y n (x ) = . , . . . . y n 1 (x ) ynn(x)
dy = A ( x )y . dx
的任意两个解，则它们的线性组合
(2)
y = C1y1(x) + C2y2(x)
1
也是方程组的解， 其中 Cj (j = 1, 2) 是任意常数。 如果记齐次线性微分方程组 (2) 在区间 (a, b) 上所有的解所组成的集合为 S , 则它是一个线性空 间， 而且： 引理 1.3. 线性空间 S 是 n-维的，与微分方程组
定理 1.4. 齐次线性微分方程组 (2) 在区间 (a, b) 上有 n 个线性无关的解
ϕ 1 (x ) , · · · , ϕ n (x ) ,
称为一个基本解组，而且其通解为：
y = C1ϕ1(x) + · · · + Cnϕn(x),
2
其中 Cj (1 ≤ j ≤ n) 为任意常数。 定义 1.5. 假设已知齐次线性微分方程组 (2) 的 n 个解：
是微分方程组 (5) 的一个基解矩阵，其中 λj 是与
rj 相应的 A 的特征根，它们不必互不相同。
对于实矩阵 A 的共轭复特征根的情况，可以 通过公式
exA = Φ(x)P −1 = Φ(x)Φ(0)−1
求出实基解矩阵 exA , 或者通过求出共轭复值解， 然后再求出实部和虚部的方法。
14
例 1.22. 求以下微分方程组的通解：
(1) 的一个特解，则 (1) 的通解是： ϕ(x) = Φ(x)c + ϕ∗(x).
通过常数变易法， 可以证明以下结论： 定理 1.13. 若 Φ(x) 是齐次线性微分方程组 (2) 的一个基解矩阵， 则非齐次线性微分方程组 (1) 的 通解是：
x
y = Φ(x) c +
x0
6
Φ−1(s)f (s)ds .
W (x) = W (x0)e
3
x x0 trace A(x)dx
,
其中 x, x0 ∈ (a, b), 而 trace A(x) 表示矩阵 A(x) 的迹。
Proof. W (x) = trace A(x)W (x).
刘维尔公式说明 Wronsky 行列式 W (x) 在区 间 a < x < b 上或者恒等于零， 或者恒不为零， 而 这恰好对应于线性相关性和线性无关性。 定理 1.7. 齐次线性微分方程组 (2) 的解组线性无 关的条件是：
e x Ji
xni−1 x2 1 x 2! · · · · · · (n − 1)! i ni −2 x 1 x ··· ··· (ni − 2)! . . . . . . . . . λi x , (6) =e . ... ... . . ... x 1
则称以下行列式
y11(x) y12(x) · · · y1n(x) W (x ) = y21(x) y22(x) · · · y2n(x) . . . . . . ... . . .
yn1(x) yn2(x) · · · ynn(x)
为此解组的 Wronsky 行列式。 引理 1.6. 刘维尔公式 上述 Wronsky 行列式满足以下刘维尔公式：
1 2 cos x 2 sin 2x − 1 y1 = y2 1 2 sin 2 x + 1 sin x 2 ex cos x − sin x + C . 2 ex sin x cos x

y1 y2
= C1
定义 1.10. 定义 1.5 中的解组构成的矩阵：
Y (x) := [y1(x) · · · yn(x)]
W (x ) = 0 ,
(a < x < b).
推论 1.8. 以上解组线性相关的充要条件为：
W (x) ≡ 0,
( a < x < b) .
所以刘维尔公式说明： 只要验证在某一个特殊 点 x0 处， W (x0) = 0 是否成立即可。