2019年高考数学一轮复习两直线的位置关系

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高考数学一轮复习第二节两直线的位置关系课件理新人教A版

＋y＝1 平行”的充要条件，故选 C .
3．经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交点 P，
且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程为________．
解析：法一
由பைடு நூலகம்
方
程
组
x－2y＋4＝0， x＋y－2＝0，
得
x＝0， y＝2，
即
P(0,2)．
∵l⊥l3，∴直线 l 的斜率 k1＝－43，
第二节
两直线的位置关系
1．两直线的位置关系
斜截式
一般式
方程 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0) A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0当A2B2≠0时，记为AA21≠BB12
垂直 k1＝－k12或k1k2＝－1
2．已知 p：直线 l1：x－y－1＝0 与直线 l2：x＋ay－2＝0 平行，
q：a＝－1，则 p 是 q 的
()
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由于直线 l1：x－y－1＝0 与直线 l2：x＋ay－2＝0 平行的充要条件是 1×a－(－1)×1＝0，即 a＝－1.
k1＝k2 平行
且 b1≠b2
A1A2＋B1B2 ＝
0A当1BB2－1BA2≠20B时1＝，0，记为ABA11·1BAB222＝－－A21B 1 ＝0，
B2C1－B1C2≠0
或
A1C2－A2C1≠0
当A2B2C2≠0时，记为AA12＝BB12≠CC12
2．两直线的交点

高考数学一轮复习第九章解析几何第二节两条直线的位置关系教案理(含解析)苏教版-苏教版高三全

第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2[小题体验]1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则实数m 的值为________．解析：由k AB ＝4－mm ＋2＝－2，得m ＝－8.答案：－82．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________. 解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，所以|a ＋1|＝2，又a ＞0，所以a ＝2－1. 答案：2－13．若直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为________．解析：直线ax ＋2y －1＝0的斜率k 1＝－a 2，直线2x －3y －1＝0的斜率k 2＝23，因为两直线垂直，所以－a 2×23＝－1，即a ＝3.答案：31．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：①若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t ，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，因为l 1⊥l 2，所以k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，所以t ＝－1.综上可知t ＝－1或t ＝1. 答案：－1或12．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．解析：因为63＝m 4≠14－3，所以m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 答案：2考点一两条直线的位置关系 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·沭阳月考)若直线y ＝mx ＋1与直线y ＝4x －8垂直，则m ＝________. 解析：由直线y ＝mx ＋1与直线y ＝4x －8垂直，得m ×4＝－1，解得m ＝－14.答案：－142．(2018·某某模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________．解析：依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝03．(2019·启东调研)已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2. 解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)＋b ＝0.① 又l 1过点(1,1)，所以a ＋b ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去．所以a ＝2，b ＝－2.(2)因为l 1∥l 2，所以a －b (a －1)＝0，③由题意，知a ＞0，b ＞0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4a，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，4b .则12×4a ×4b＝2，得ab ＝4，④ 由③④，得a ＝2，b ＝2.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 l 1与l 2平行的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交的充分条件 A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) [提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．考点二距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使PA ＝PB ，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．因为A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. 因为点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，所以a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，所以|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.所以所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87.[由题悟法]距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．[即时应用]1．(2019·阜宁中学检测)在坐标轴上，与点A (1,5)，B (2,4)等距离的点的坐标是________．解析：线段AB 的垂直平分线方程为y －92＝－1－25－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，令x ＝0，可得y ＝3；令y＝0，可得x ＝－3，∴在坐标轴上，与点A (1,5)，B (2,4)等距离的点的坐标是(0,3)或(－3,0)．答案：(0,3)或(－3,0)2．(2018·某某中学测试)已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则PM 的最小值为________．解析：PM 的最小值即为点P (3，－1)到直线x ＋3y ＝2的距离，又d ＝|3－3－2|1＋3＝1，故PM 的最小值为1.答案：13．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为______________________．解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)．又因为l 1与l 2的距离是2，所以|b ＋1|12＋12＝2，解得b ＝1或b ＝－3，即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0考点三对称问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．(2019·丹阳高级中学检测)点A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为________．解析：设A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为(x 0，y 0)，由中点坐标公式，得2＋x 02＝0，3＋y 02＝5，则x 0＝－2，y 0＝7.∴点A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为(－2,7)．答案：(－2,7)角度二：点关于线对称2．(2018·某某模拟)已知△ABC 的两个顶点A (－1，5)和B (0，－1)，若∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，则BC 边所在的直线方程为______________．解析：设点A 关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×x ′－12－3×y ′＋52＋6＝0，y ′－5x ′＋1＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ′－3y ′－5＝0，3x ′＋2y ′－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3113，y ′＝－113，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113，－113，由题意知，点A ′在直线BC 上．所以直线BC 的方程为y ＝－113－－13113－0x －1，整理得12x －31y －31＝0. 答案：12x －31y －31＝0 角度三：线关于线对称3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________．解析：设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，所以2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0. 答案：x －2y ＋3＝0[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．(2019·沭阳期中)已知点A (1，－2)关于直线x ＋ay －2＝0的对称点为B (m,2)，则实数a 的值为________．解析：由对称的特点可知，AB 的中点在对称轴上，直线AB 垂直于对称轴，则1＋m 2＋－2＋22a －2＝0，2－－2m －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得m ＝3，a ＝2.答案：22．(2018·启东期末)已知直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的斜率为________．解析：设P (a ，b )是直线l 上任意一点，则点P 到直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0的距离相等，即|2a －b －2|5＝|a ＋2b －1|5，整理得a －3b －1＝0或3a ＋b －3＝0， ∴直线l 的斜率为13或－3.答案：13或－33．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·某某调研)已知点A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5，1)，则直线l 的方程为________．解析：∵已知点A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5,1)，故直线l 为线段AB 的中垂线．求得AB 的中点为(－2,2)，AB 的斜率为1－3－5－1＝13，故直线l 的斜率为－3，故直线l 的方程为 y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0.答案：3x ＋y ＋4＝02．(2018·宿迁模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是________．解析：因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率ky －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.答案：2x ＋y －2＝03．直线y ＝3x ＋3关于直线l ：x －y －2＝0对称的直线方程为________．解析：取直线y ＝3x ＋3上一点A (0,3)，设A 关于直线l ：x －y －2＝0对称的点为A ′(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －0·1＝－1，a ＋02－b ＋32－2＝0，解得a ＝5，b ＝－2.∴A ′(5，－2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋3，x －y －2＝0，解得x ＝－52，y ＝－92.令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92，∵直线y ＝3x ＋3关于直线l 对称的直线过A ′，M 两点，∴所求直线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－92－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－525－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，即x －3y －11＝0.答案：x －3y －11＝04．(2018·启东中学测试)已知直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则点P 的坐标为________．解析：因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，则直线l 2l 2过点(－1,1)，所以直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理得y ＝2xx ＝0，得y ＝3，所以点P 的坐标为(0,3)．答案：(0,3)5．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，所以直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2，所以a ＝23.答案：236．(2019·某某检测)已知直线l 1：mx ＋2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋(m ＋1)y －2＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________．解析：∵直线l 1：mx ＋2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋(m ＋1)y －2＝0平行，当m ＝－1时，显然不合题意；当m ≠－1时，有m 1＝2m ＋1≠4－2，解得m ＝1，∴l 1与l 2间的距离d ＝|－2－4|1＋4＝655.答案：655二保高考，全练题型做到高考达标1．已知直线l 1：(m ＋1)x ＋2y ＋2m －2＝0，l 2：2x ＋(m －2)y ＋2＝0，若直线l 1∥l 2，则m ＝________.解析：由题意知，当m ＝2时，l 1：3x ＋2y ＋2＝0，l 2：x ＋1＝0，不合题意；当m ≠2时，若直线l 1∥l 2，则m ＋12＝2m －2≠2m －22，解得m ＝－2或m ＝3(舍去)．答案：－22．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1，所以l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.答案：823 3．(2019·X 家港模拟)过点P (1,2)作一直线l ，使直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)的距离相等，则直线l 的方程为________________．解析：易知直线l 的斜率存在，∵直线l 过点P (1,2)，∴设l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.又直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)的距离相等， ∴|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|4k ＋5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝－4或k ＝－32， ∴l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.答案：4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝04．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点________．解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，所以直线l 2恒过定点(0,2)．答案：(0,2)5．已知点P (0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线P Q 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：设Q(x 0，y 0)，因为点Q 在直线x －y ＋1＝0上，所以x 0－y 0＋1＝0.①又直线x ＋2y －5＝0的斜率k ＝－12，直线P Q 的斜率k P Q ＝y 0＋1x 0，所以由直线P Q 垂直于直线x ＋2y －5＝0，得y 0＋1x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.② 由①②解得x 0＝2，y 0＝3，即点Q 的坐标是(2,3)．答案：(2,3)6．(2019·某某一模)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线l 的距离为3，则△AOB 的面积S 的最小值为________．解析：由坐标原点O 到直线l 的距离为3，可得|－1|m 2＋n 2＝3，化简得m 2＋n 2＝13. 对直线l ：mx ＋ny －1＝0，令x ＝0，可得y ＝1n ；令y ＝0，可得x ＝1m，故△AOB 的面积S ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ·1n ＝12|mn |≥1m 2＋n2＝3，当且仅当|m |＝|n |＝66时，取等号．故△AOB 的面积S 的最小值为3.答案：37．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则PA ·PB 的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以PA 2＋PB 2＝AB 2＝10，所以PA ·PB ≤PA 2＋PB 22＝5(当且仅当PA ＝PB ＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，PA ·PB＝0，故PA ·PB 的最大值是5.答案：58．将一X 画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A (0,2)与点B (4,0)重合．若此时点C (7,3)与点D (m ，n )也重合，则m ＋n 的值是________．解析：由题意知，折痕既是A ，B 的对称轴，也是 C ，D 的对称轴．因为AB 的斜率k AB ＝0－24－0＝－12，AB 的中点为(2,1)，所以图纸的折痕所在的直线方程为y －1＝2(x －2)，所以k CD ＝n －3m －7＝－12， ① 因为CD 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫m ＋72，n ＋32，所以n ＋32－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋72－2. ② 由①②解得m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345. 答案：3459．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)当l 1∥l 2时，求a 的值；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＝11－a，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1. 综上可知，a ＝－1.法二：由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a a －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6⇒a ＝－1.(2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1⇒a ＝23. 法二：因为l 1⊥l 2，所以A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23. 10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，所以l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·江阴检测)直线l 经过点P (2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S ，如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则S ＝________.解析：由已知可得直线l 的斜率一定存在且不为零，设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，则直线l 与坐标轴的交点为(0,1－2k )，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，则S ＝12|1－2k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12k －2k . 如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则关于k 的方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12k －2k ＝S 只有三个解，即4k 2＋2(S －2)k ＋1＝0与4k 2－2(S ＋2)k ＋1＝0，一个有一解，一个有两解，解得S ＝4.答案：42．(2018·锡山高级中学检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin B ·sin A ax sin A ＋ay ＋c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －y sin B ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，因此k 1·k 2＝b sin B ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin A a ＝－1，所以两条直线垂直．答案：垂直3．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值，并求此时l 的方程．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，因为点A (5,0)到l 的距离为3，所以|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝2或λ＝12，所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)．所以d max ＝PA ＝5－22＋0－12＝10.因为k PA ＝－13，l ⊥PA ，所以k l ＝3，所以直线l 的方程为y －1＝3(x －2)，即3x －y －5＝0.。

2019版高考数学第9章平面解析几何2第2讲两直线的位置关系教案理

第2讲两直线的位置关系1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系3．三种距离(1)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． (2)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋λ＝0.(3)过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )(4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√(教材习题改编)直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A.由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x＋2y －1＝0.已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )A. 2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：选C.由题意知|a －2＋3|2＝1，所以|a ＋1|＝2，又a ＞0，所以a ＝2－1.(教材习题改编)已知直线l1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行，则实数a 的值是________．解析：由直线l 1与l 2平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋1）＝2×3，a ×1≠2，解得a ＝－3.答案：－3若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2. 将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－12.答案：－12两条直线平行与垂直(高频考点)两条直线的平行与垂直是高考的热点，高考多出现在选择题、填空题或解答题中的一小问，一般难度较小．高考对两条直线的平行与垂直的考查主要有以下两个命题角度： (1)两条直线位置关系的判断； (2)由两条直线位置关系求直线方程．[典例引领]角度一两条直线位置关系的判断设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．【答案】 C角度二由两条直线位置关系求直线方程(2018·湖南东部十校联考)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．【解析】法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79，因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53，即4x －3y ＋9＝0.法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0可解得交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79，代入4x －3y ＋m ＝0得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.法三：由题意可设所求直线的方程为(2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0，即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0，① 又因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 【答案】 4x －3y ＋9＝0两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在．(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. [提醒] 判断两条直线位置关系应注意： (1)注意斜率不存在的特殊情况；(2)注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．[通关练习]1．已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( )A ．2或12B. 13或－1 C. 13D ．－1解析：选B.因为直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或a ＝－1.故选B.2．求满足下列条件的直线方程．(1)过点P (－1，3)且平行于直线x －2y ＋3＝0； (2)已知A (1，2)，B (3，1)，线段AB 的垂直平分线．解：(1)设直线方程为x －2y ＋c ＝0，把P (－1，3)代入直线方程得c ＝7，所以直线方程为x －2y ＋7＝0. (2)AB 中点为⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，2＋12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，直线AB 斜率k AB ＝2－11－3＝－12，故线段AB 垂直平分线斜率k ＝2，所以其方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y －5＝0.距离公式[典例引领](1)已知A (2，0)，B (0，2)，若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1(2)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．【解析】 (1)设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0， |AB |＝2 2.由于△ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝ 2.由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2，即|t ＋t 2－2|＝2，即t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个． (2)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，因此c ＝2或－6. 【答案】 (1)A (2)2或－6距离的求法(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．[通关练习]1．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是( ) A ．[－10，10] B ．[－10，5] C ．[－5，5]D ．[0，10]解析：选D.由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0，10]．2．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________．解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y－15＝0.答案：12x ＋8y －15＝03．l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又k AB ＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝0对称问题[典例引领]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4，3)．又因为m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.[通关练习]1．(2018·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( ) A ．2x ＋3y －12＝0 B ．2x －3y －12＝0 C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0解析：选D.由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y＝1，所以M (－3，1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选D.2．如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程是________．解析：直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.答案：210由一般式确定两直线位置关系的方法(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，若直线无斜率，要单独考虑． (2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数化为相同的形式．1．(2018·石家庄模拟)已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析：选A.由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－1k PQ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.2．已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( ) A ．－10 B ．－2 C ．0D ．8解析：选A.因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.3．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：选A.直线y ＝2x ＋3与y ＝－x 的交点为A (－1，1)，而直线y ＝2x ＋3上的点(0，3)关于y ＝－x 的对称点为B (－3，0)，而A ，B 两点都在l 2上，所以kl 2＝1－0－1－（－3）＝12.4．已知点A (－1，2)，B (3，4)．P 是x 轴上一点，且|PA |＝|PB |，则△PAB 的面积为( ) A ．15 B.552 C ．6 5D.152解析：选D.设AB 的中点坐标为M (1，3)，k AB ＝4－23－（－1）＝12，所以AB 的中垂线方程为y －3＝－2(x －1)．即2x ＋y －5＝0.令y ＝0，则x ＝52，即P 点的坐标为(52，0)，|AB |＝（－1－3）2＋（2－4）2＝2 5.P 到AB 的距离为|PM |＝（1－52）2＋32＝352.所以S △PAB ＝12|AB |·|PM |＝12×25×352＝152.5．(2018·河南安阳模拟)两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1，2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(0，5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34 ]解析：选D.当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为（－1－2）2＋[2－（－3）]2＝34，所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34 ]．故选D.6．设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：设点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x，x 0＞0，曲线y ＝1x在点P 处的切线斜率k 2＝－1x 20(x 0＞0)．又因为曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率k 1＝e x|x ＝0＝1，k 1k 2＝－1，所以x 20＝1，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)7．已知一直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________．解析：若所求直线的斜率存在，则可设其方程为：y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，由题设有|2k －3－k ＋2|1＋k 2＝|0＋5－k ＋2|1＋k 2，即|k －1|＝|k －7|，解得k ＝4. 此时直线方程为4x －y －2＝0.又若所求直线的斜率不存在，方程为x ＝1，满足题设条件．故所求直线的方程为4x －y －2＝0或x ＝1. 答案：4x －y －2＝0或x ＝18．(2018·山西四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________．解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y ＝2x －3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m ，n )的连线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345.答案：3459．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.10．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值．解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝12或λ＝2. 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．所以d max ＝|PA |＝10.1．(2018·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( ) A ．过点P 且与l 垂直的直线 B ．过点P 且与l 平行的直线 C ．不过点P 且与l 垂直的直线 D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D.因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，故选D.2．(2018·湖北孝感五校联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2，4)B ．(－2，－4)C ．(2，4)D ．(2，－4)解析：选C.设A (－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3，1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1，3)，所以AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－（－4）·(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2，4)．故选C.3．已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知，k AC ＝－2，A (5，1)，所以l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，所以C (4，3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，所以B (－1，－3)，所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.4．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得： (1)P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； (2)P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小．解：(1)如图，设B 关于l 的对称点为B ′，AB ′的延长线交l 于P 0，在l 上另任取一点P ，则|PA |－|PB |＝|PA |－|PB ′|<|AB ′|＝|P 0A |－|P 0B ′|＝|P 0A |－|P 0B |，则P 0即为所求．易求得直线BB ′的方程为x ＋3y －12＝0，设B ′(a ，b )，则a ＋3b －12＝0，①又线段BB ′的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42在l 上，故3a －b －6＝0.②由①②解得a ＝3，b ＝3，所以B ′(3，3)．所以AB ′所在直线的方程为2x ＋y －9＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0可得P 0(2，5)． (2)设C 关于l 的对称点为C ′，与(1)同理可得C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245.连接AC ′交l 于P 1，在l 上另任取一点P ，有|PA |＋|PC |＝|PA |＋|PC ′|>|AC ′|＝|P 1C ′|＋|P 1A |＝|P 1C |＋|P 1A |，故P 1即为所求．又AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，故由⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋17y －93＝0，3x －y －1＝0可得P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.。

数学一轮复习课后限时集训49两条直线的位置关系理含解析

课后限时集训(四十九）两条直线的位置关系建议用时：40分钟一、选择题1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定C[直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－错误!,则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.]2．已知过点A(－2，m）和B（m，4)的直线为l1，直线2x ＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为（）A．－10 B．－2C．0 D．8A[因为l1∥l2，所以k AB＝错误!＝－2。

解得m＝－8。

又因为l2⊥l3，所以－错误!×（－2)＝－1，解得n＝－2，所以m＋n＝－10。

］3．经过两直线l1：2x－3y＋2＝0与l2:3x－4y－2＝0的交点，且平行于直线4x－2y＋7＝0的直线方程是()A．x－2y＋9＝0 B．4x－2y＋9＝0C．2x－y－18＝0 D．x＋2y＋18＝0C[由错误!解得错误!所以直线l1，l2的交点坐标是（14,10)．设与直线4x－2y＋7＝0平行的直线l的方程为4x－2y＋C＝0(C≠7)．因为直线l过直线l1与l2的交点(14,10），所以C＝－36.所以直线l的方程为4x－2y－36＝0，即2x－y－18＝0。

故选C。

] 4．若直线l1：x＋3y＋m＝0（m〉0）与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为错误!，则m＝（）A．7 B．错误!C．14 D．17B[直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，所以｜2m＋3|4＋36＝错误!,求得m＝错误!.］5．一只虫子从点(0，0）出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A（1，1)，则虫子爬行的最短路程是(）A。

错误!B．2C．3 D．4B［点(0,0）关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为(－1，1），则最短路程为错误!＝2。

高考数学一轮复习第2节两直线的位置关系

第2节两直线的位置关系考试要求 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知识梳理1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A1x ＋B1y ＋C1＝0，A2x ＋B2y ＋C2＝0的解一一对应. 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x2＋y2. (2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C1－C2|A2＋B2.4.对称问题(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0，2b －y 0).(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y′－y0x′－x0·k ＝－1，y′＋y02＝k·x′＋x02＋b ，可求出x ′，y ′. [常用结论与微点提醒] 1.两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0). 2.两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.3.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) 解析 (1)两直线l 1，l 2有可能重合.(2)如果l 1⊥l 2，若l 1的斜率k 1＝0，则l 2的斜率不存在. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(老教材必修2P114A10改编)两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( ) A.235B.2310C.7D.72解析由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72.答案 D3.(老教材必修2P110B1改编)若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________.解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9. 答案－94.(2020·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A.2B.－3C.2或－3D.－2或－3解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3. 答案 C5.(2020·重庆重点中学联考)已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________.解析由题意可知圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1，2)，由已知得直线l 2的斜率k ＝－12，所以直线l 2的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝06.(一题多解)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________. 解析法一由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x0，x0＋4x0(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0＋x0＋4x02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x0＋4x02≥22x0·4x02＝4，当且仅当2x 0＝4x0，即x 0＝2时取等号. 故所求最小值是4.法二设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x0，4x0＋x0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x20.令1－4x20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.答案 4考点一两直线的平行与垂直【例1】 (1)(2019·河北五校联考)直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2020·西安模拟)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋3y －1＝0垂直，则12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α的值为( )A.310B.35C.－310D.110解析 (1)由l 1∥l 2得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去，所以“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充要条件.(2)∵直线x ＋3y －1＝0的斜率为－13，∴直线l 的斜率k ＝3，∴tan α＝3，∴12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192π－2α＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2α＝－12sin 2α＝－12×2sin αcos α＝－sin αcos αsin2α＋cos2α＝－tan αtan2α＋1＝－39＋1＝－310.答案 (1)C (2)C规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 【训练1】 (1)若直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( ) A.－2B.－4C.－6D.－8(2)已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 解析 (1)由已知得：⎝⎛⎭⎪⎫－a 4×25＝－1，a ＋4c －2＝0，2－5c ＋b ＝0，解得a ＝10，c ＝－2，b ＝－12.∴a ＋b ＋c ＝－4.(2)由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点.当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0分别平行时，m ＝23或－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.答案 (1)B (2)D考点二两直线的交点与距离问题【例2】 (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________.(2)(2020·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________.解析 (1)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1，2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0，10]. 答案 (1)5x ＋3y －1＝0 (2)[0，10]规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为相等.【训练2】 (1)(2020·葫芦岛调研)若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是( ) A.－23B.23C.－32D.32(2)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95B.185C.2910D.295(3)(一题多解)直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为________.解析 (1)由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋1，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k －6k －1，－6k ＋1k －1.又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.(2)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知，|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(3)法一当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意.法二当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4). ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案 (1)A (2)C (3)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 考点三对称问题多维探究角度1 点关于点对称【例3－1】直线x －2y －3＝0关于定点M (－2，1)对称的直线方程是________________.解析设所求直线上任一点(x ，y )，则关于M (－2，1)的对称点(－4－x ，2－y )在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x )－2(2－y )－3＝0，即x －2y ＋11＝0. 答案 x －2y ＋11＝0规律方法 1.点关于点的对称：点P (x ，y )关于O (a ，b )对称的点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.2.直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解. 角度2 点关于线对称【例3－2】如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( ) A.33 B.6 C.210D.25解析直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.答案 C规律方法 1.若点A (a ，b )与点B (m ，n )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)对称，则直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直平分线段AB ，即有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A·a ＋m 2＋B·b ＋n 2＋C ＝0.2.几个常用结论(1)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y ).(2)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x ). (3)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x ，2b －y ). 角度3 线关于线对称【例3－3】直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________.解析设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x02－y ＋y02＋2＝0，x －x0＝－（y －y0），得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝y －2，y0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0. 答案 x －2y ＋3＝0规律方法求直线l 1关于直线l 对称的直线l 2，有两种处理方法：(1)在直线l 1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l 的对称点，再用两点式写出直线l 2的方程.(2)设点P (x ，y )是直线l 2上任意一点，其关于直线l 的对称点为P 1(x 1，y 1)(P 1在直线l 1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x ，y 表示出x 1，y 1，再代入直线l 1的方程，即得直线l 2的方程.【训练3】已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2).求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)(一题多解)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程.解(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上. 设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，即M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4，3).又m ′经过点N (4，3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)法一在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，N (4，3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上.易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.数学抽象——活用直线系方程1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.直线系方程的常见类型(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )； (3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)； (4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2). 类型1 相交直线系方程【例1】 (一题多解)已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解法一解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0，2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二设所求直线l 的方程为：4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知：P (0，2)，将其代入方程，得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.法三设所求直线l 的方程为：x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0. 类型2 平行直线系方程【例2】已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1与x 轴、y 轴围成面积为8的三角形，请求出直线l 1的方程.解设直线l 1的方程为：x －3y ＋c ＝0(c ≠6)，则令y ＝0，得x ＝－c ；令x ＝0，得y ＝c 3，依照题意有：12×|－c |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 3＝8，c ＝±43.所以l 1的方程是：x －3y ±43＝0.【例3】 (一题多解)已知直线方程3x －4y ＋7＝0，求与之平行而且在x 轴、y 轴上的截距和是1的直线l 的方程.解法一设存在直线l ：x a ＋y b ＝1，则a ＋b ＝1和－b a ＝34组成的方程组的解为a ＝4，b ＝－3.故l 的方程为：x 4－y3＝1，即3x －4y －12＝0.法二根据平行直线系方程可设直线l 为：3x －4y ＋c ＝0(c ≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－c 3，c 4，由－c 3＋c4＝1，知c ＝－12.故直线l 的方程为：3x －4y －12＝0.类型3 垂直直线系方程【例4】求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.类型4直线系方程的应用【例5】求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离的直线方程.解设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得|（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2＝|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2，整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝2935或λ＝13，所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.A级基础巩固一、选择题1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定解析直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－12，则k1≠k2，且k1k2≠－1.答案 C2.(2020·昆明诊断)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A.1B.2C.2D.22解析圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝2.答案 C3.(2019·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A.6x －4y －3＝0 B.3x －2y －3＝0 C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0解析因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.答案 A4.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －ay －1＝0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当a ＝1时，两直线分别为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，满足两直线平行.当直线ax －y ＋1＝0与直线x －ay －1＝0平行时，若a ＝0，两直线分别为－y ＋1＝0和x －1＝0，不满足两直线平行，所以a ≠0.故a 1＝－1－a ≠1－1，解得a 2＝1，且a ≠－1，所以a ＝1.即“a ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －ay －1＝0平行”的充要条件.故选C. 答案 C5.点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( ) A.(1，2)B.(2，1)C.(1，2)或(2，－1)D.(2，1)或(－2，1)解析设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x0＋y0－5＝0，|x0－y0－1|2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝1，y0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2，y0＝－1，所以点P 的坐标为(1，2)或(2，－1).故选C. 答案 C6.(2020·河北五校联盟质检)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A.2B.823C.3D.833解析因为a ＝0或a ＝2时，l 1与l 2均不平行，所以a ≠0且a ≠2.因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a （a －2）＝3，2a2≠18，a≠2，a≠0，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.故选B.答案 B7.(2020·山东省精英对抗赛)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为( ) A.2x ＋3y －12＝0 B.2x ＋3y ＋12＝0 C.2x －3y ＋12＝0D.2x －3y －12＝0解析由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，∴N (－3，1).设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6). 则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c|4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去).∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选B. 答案 B8.已知直线l 1：mx －y ＋3＝0与l 2关于直线y ＝x 对称，l 2与l 3：y ＝－12x ＋12垂直，则实数m ＝( ) A.－12B.12C.－2D.2解析由于l 2与l 3：y ＝－12x ＋12垂直，故l 2的斜率是2.设l 2：2x －y ＋n ＝0，因为l 1：mx －y ＋3＝0过定点(0，3)，l 2和x 轴的交点为⎝⎛⎭⎪⎫－n 2，0，l 1：mx －y ＋3＝0与l 2关于直线y ＝x 对称，所以3n 2＝－1，则n ＝－6.易知l 2：2x －y －6＝0和直线y ＝x 的交点为(6，6)，该点也在l 1：mx －y ＋3＝0上，所以6m －6＋3＝0，解得m ＝12. 答案 B 二、填空题9.点(－1，－2)关于直线x ＋y ＝1对称的点的坐标是______.解析设点(－1，－2)关于直线x ＋y ＝1对称的点的坐标是(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧m －12＋n －22＝1，n ＋2＝m ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2，故所求坐标为(3，2). 答案 (3，2)10.(2020·长沙一调)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.解析设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，由⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －（－3）·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.答案 6x －y －6＝011.如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为________________. 解析因为直线AB 的斜率为a ＋1－a a －1－a＝－1，所以直线l 的斜率为1.设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －12，2a ＋12，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0. 答案 x －y ＋1＝012.在平面直角坐标系中，已知点P (－2，2)，对于任意不全为零的实数a ，b ，直线l ：a (x －1)＋b (y ＋2)＝0，若点P 到直线l 的距离为d ，则实数d 的取值范围是________. 解析易知直线l 经过定点(1，－2)，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为（－2－1）2＋（2＋2）2＝5，最小值为0，所以d 的取值范围是[0，5]. 答案 [0，5]B 级能力提升13.设△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠B ，∠C 的平分线的方程分别是x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程是( ) A.y ＝3x ＋5 B.y ＝2x ＋3 C.y ＝2x ＋5D.y ＝－x 2＋52解析 A 关于直线x ＝0的对称点是A ′(－3，－1)，关于直线y ＝x 的对称点是A″(－1，3)，由角平分线的性质可知，点A′，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为y＝2x＋5.故选C.答案 C14.(2019·洛阳期末)已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By ＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示()A.过点P且与l垂直的直线B.过点P且与l平行的直线C.不过点P且与l垂直的直线D.不过点P且与l平行的直线解析因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，排除A，B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C.故选D.答案 D15.(2020·济南质检)l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________________.解析当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A(1，1)，B(0，－1)，所以k AB＝－1－10－1＝2，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的斜率为k＝－12，此时，直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案x＋2y－3＝016.(一题多解)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，若点A(5，0)到直线l的距离为3，则l的方程为________.解析法一两直线交点为(2，1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0.由点线距离公式得d ＝|5k ＋1－2k|k2＋1＝3，解得k ＝43，故所求直线方程为4x －3y －5＝0.综上知，所求直线方程为x －2＝0或4x －3y －5＝0.法二经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝2或λ＝12.所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0. 答案 x ＝2或4x －3y －5＝0C 级创新猜想17.(多选题)已知直线l 1：x －y －1＝0，动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k ∈R )，则下列结论正确的是( )A.存在k ，使得l 2的倾斜角为90°B.对任意的k ，l 1与l 2都有公共点C.对任意的k ，l 1与l 2都不重合D.对任意的k ，l 1与l 2都不垂直解析对于动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k ∈R )，当k ＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A 正确；由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，（k ＋1）x ＋ky ＋k ＝0，可得(2k ＋1)x ＝0，对任意的k ，此方程有解，可得l 1与l 2有交点，故B 正确；因为当k ＝－12时，k ＋11＝k －1＝k－1成立，此时l 1与l 2重合，故C 错误；由于直线l 1：x －y －1＝0的斜率为1，动直线l 2的斜率为k ＋1－k＝－1－1k ≠－1，故对任意的k ，l 1与l 2都不垂直，故D 正确.答案 ABD18.(多填题)在平面直角坐标系内，已知A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)，则平面内任意一点到点A 与点C 的距离之和的最小值为________，平面内到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点的坐标是________.解析设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |＝25，当且仅当A ，M ，C 共线，且M 在A ，C 之间时取等号，同理，|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线，且M 在B ，D 之间时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，此时|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求.因为k AC ＝6－23－1＝2，所以直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x－y ＝0.① 又因为k BD ＝5－（－1）1－7＝－1，所以直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4).答案 25 (2，4)。

高考数学第一轮知识点总复习第二节直线的位置关系

举一反三
4. 已知A(7,-4)关于直线的l 对称点为B（-5，6），则直线的l方程是 ( )
A. 5x+6y-11=0
B. 6x-5y-1=0
C. 6x+5y-11=0
D. 5x-6y+1=0
解析 ∵AB的中点（1，1）在直线上l ,
又
k AB
,即5 所求直线的斜率k=
6
,6
5
∴所求直线的l 方程为y-1= 6(x-1),即6x-5y-1=0.
x0 x 3
又PP′的中点
Q
x
x0 2
,在y 2上y0 ，
l
∴ 3 x x0 2 y,… y…0 … 7……0 ………………………6′
2
2
由
y0
x0
3 x
y 2 x3
x0
2
, y
y0
7
0
x0
y0
5x 12 y 42 13
12x 5y 28 13
……………………………………………………………………..9′
l1 l2 k1k2 1
一般地，若直线 l1 : A1x B1y( C1不全0 为A10,)B，1
直线 l2 : A2x B2 y( C2不全0 为A20, B)，2 则
A1C2 A2C1 0(或B1C2 B2C1 0)
l1 / /l2且 A1B2 A2B1 0
l1 l2 A1A2 B1B2 0
17 13
,… 1…332… ……………………...10′
反射光线过M(-1,2)和P′
17 13
,
32 13
根据直线的两点式方程,可得
反射光线所在的方程为29x-2y+33=0…………………………….12

高考总复习一轮数学精品课件第9章平面解析几何第2节两条直线的位置关系

D. 2+1
a=-1+ 2或 a=-1- 2.
∵a>0,∴a=-1+ 2.
(3)直线3x-4y-4=0与直线6x-8y-3=0之间的距离为( C )
1
A.
5
2解析直线 3x-4y-4=0 即 6x-8y-8=0,显然与另一条直线平行,
则所求距离为
|-8-(-3)|
62 +82
=
(3)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为
(x,2b-y).
(4)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(5)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为
(k+y,x-k).
2.三种直线系方程
3.直线外一点与直线上的点的距离的最小值就是点到直线的距离.(
)
题组二回源教材
4.(人教A版选择性必修第一册2.3.4节练习第1题改编)已知两条平行直线l1:
2 5
2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2之间的距离是__________.
5
解析利用两平行线间的距离公式得 l1 与 l2 之间的距离 d=
条直线的斜率为0时,l1⊥l2
l1⊥l2⇔__________
k1k2=-1
若 A1,A2,B1,B2,C1,C2 均不为 0,
1
1
1
则 l1 与 l2 重合⇔ = =
2
2
2
l1∥l2⇔__________,且
A1B2-A2B1=0 B1C2-B2C1≠0(或 A1C2-A2C1≠0)

高考数学一轮总复习课件：两直线的位置关系

例1 (1)(2021·江西八校联考)已知直线l1：kx＋y＋3＝0， l2：x＋ky＋3＝0，且l1∥l2，则k的值为__－__1____．
【思路】根据两直线平行列关于k的方程，解出k的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足l1∥l2，即可得出实数k的值．
【解析】 ∵直线l1：kx＋y＋3＝0，l2：x＋ky＋3＝0，且l1 ∥l2，
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
＝0.若2．l1∥(课l2本，习则题a的改值编为)已_－_知_12_直__线__l，1：若axl1＋⊥yl＋2，5则＝a0的，值l2：为x－2y＋7 _____2___．
3．直线y＝kx－k－2恒过定点__(_1，__－__2)_．
解析 y＝kx－k－2＝k(x－1)－2.当x＝1，y＝－2时恒成立， ∴直线恒过定点(1，－2)．
【解析】要使点P到直线x－y－4＝0有最小距离，只需点P为曲线与直线x－y－4＝0平行的切线的切点，即点P为曲线上斜率为1的切线的切点，设P(x0，y0)，x0>0， y＝x2－lnx，y′|x＝x0＝2x0－x10＝1，解得x0＝1或x0＝－12(舍去)，点P(1，1)到直线x－y－4＝0的距离为|1－12－4|＝2 2，所以曲线y＝x2－lnx上任一点到直线x－y－4＝0的距离的最小值为2 2.
【思路】结合图形，根据点到直线的距离公式求解．
【解析】 (1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2. 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0. 由已知得|－k22k＋－11|＝2，解得k＝34. 此时l的方程为3x－4y－10＝0.

两直线的位置关系

两直线的位置关系直线是几何学中最简单和基础的图形之一，它在我们的日常生活和各个领域都有广泛的应用。

当两条直线在二维平面上相交时，它们可以有不同的位置关系，比如相交、平行或重合等。

本文将探讨两直线的位置关系，并通过具体例子加以说明。

1. 直线相交当两条直线在二维平面上相交时，它们的交点可以通过求解方程组得到。

两条直线的方程一般为一次函数的形式：y = ax + b假设有两条直线分别为L1和L2，它们的方程分别为y1 = a1x + b1和y2 = a2x + b2。

当a1 ≠ a2时，两线相交于唯一的一点P(x, y)。

此时直线L1和L2在P点处的斜率不相等，它们在该点的切线不重合。

例如，考虑以下两个方程：y = 2x + 1y = -3x + 5这是一组相交直线的例子。

它们分别代表了斜率为2和-3的直线，它们的交点为P(2, 5)。

2. 直线平行当两条直线的斜率相等但截距不等时，它们是平行的。

在二维平面上，平行的直线永远不会相交。

例如，考虑以下两个方程：y = 3x + 2y = 3x - 4这是一组平行直线的例子。

它们具有相同的斜率3，但截距不同，因此它们永远不会相交。

3. 直线重合当两条直线具有相同的斜率和截距时，它们是重合的。

在二维平面上，重合的直线代表了同一条直线。

例如，考虑以下两个方程：y = 2x + 3y = 2x + 3这是一组重合直线的例子。

它们具有相同的斜率2和截距3，因此表示同一条直线。

4. 直线相互垂直当两条直线的斜率乘积等于-1时，它们是相互垂直的。

在二维平面上，相互垂直的直线通过它们的交点形成一个直角。

例如，考虑以下两个方程：y = 2x + 1y = -1/2x + 3这是一组相互垂直的直线的例子。

它们的斜率分别为2和-1/2，它们的斜率乘积为-1，因此它们相互垂直。

总结：通过以上例子，我们可以看出，两条直线的位置关系取决于它们的斜率和截距。

当斜率和截距都相等时，直线重合；当斜率相等但截距不等时，直线平行；当斜率不相等时，直线相交。

高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.2两直线的位置关系模拟演练课件理

(1)在直线 l 上求一点 P，使|PA|＋|PB|最小； (2)在直线 l 上求一点 P，使||PB|－|PA||最大．
解 (1)设 A 关于直线 l 的对称点为 A′(m，n)，则
mn－－02＝－2， m＋ 2 2－2·n＋ 2 0＋8＝0，
解得nm＝＝8－，2，
故 A′(－2,8)． P 为直线 l 上的一点，则 |PA| ＋ |PB| ＝ |PA′| ＋ |PB|≥|A′B|，当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB| 取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点，解xx＝－－ 2y＋ 2，8＝0，得xy＝＝－ 3，2，故所求的点 P 的坐标为(－2，3)．
再由两点式可得 l′的方程为 2x－3y－9＝0. 解法二：∵l∥l′， ∴设 l′的方程为 2x－3y＋C＝0(C≠1)． ∵点 A(－1，－2)到两直线 l，l′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得 |－22＋2＋6＋ 32C|＝|－22＋2＋6＋ 32 1|，解得 C＝－9，
∴l′的方程为 2x－3y－9＝0. 解法三：设 P(x，y)为 l′上任意一点，则 P(x，y)关于点 A(－1，－2)的对称点为 P′(－2－x，－4－y)．∵点 P′在直线 l 上， ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即 2x－3y－9＝0.
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当 A，B，P 三点共线时，||PB| －|PA||取得最大值，为|AB|，点 P 即是直线 AB 与直线 l 的
交点，又直线 AB 的方程为 y＝x－2，解yx＝－x2－ y＋2， 8＝0，得
＝0，l1 与 l2 重合．∴a＝－1，故选 B.

高考数学一轮复习第九章解析几何第二节两直线的位置关系课件理

的距离．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× (7)√
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2．已知直线 l 过点 P(1,2)，直线 l1：2x＋y－10＝0. (1)若 l∥l1，则直线 l 的方程为________； (2)若 l⊥l1，则直线 l 的方程为________．答案：(1)2x＋y－4＝0 (2)x－2y＋3＝0 3．经过两直线 2x＋y－8＝0 与 x－2y＋1＝0 的交点，且平行于直线 4x－3y－7＝0 的直线方程为____________．答案：4x－3y－6＝0
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(1)两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点． (2)常见的三大直线系方程 ①与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R 且 m≠C)．
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②与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋m＝0(m∈R)． ③过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括 l2.
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
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[典题 2] 经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程为 ________________．
[听前试做] 法一：由方程组xx－＋2y－y＋24＝＝00，，得xy＝＝20，，即 P(0,2)．∵l⊥l3，∴直线 l 的斜率 k1＝－43，

高考数学一轮复习全套课时作业8-2两直线的位置关系

作业8.2两直线的位置关系一、单项选择题1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为()A．－12B．－2C．0D．103．若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0平行，则实数m的值是()A．m＝1或m＝－2B．m＝1C．m＝－2D．m的值不存在4．已知直线l1：x＋2y－1＝0，l2：2x＋ny＋5＝0，l3：mx＋3y＋1＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n的值为A．－10B．10C．－2D．25．(2021·吉林高一期中)点A(cosθ，sinθ)到直线3x＋4y－4＝0的距离的最大值为()A.1 5B.45C．1 D.956．已知直线3x＋y－1＝0与直线23x＋my＋3＝0平行，则它们之间的距离是() A．1 B.54C．3D．47．已知点P(m，n)在直线2x＋y＋1＝0上运动，则m2＋n2的最小值为()A.5 5B.5C.15D．5二、多项选择题8．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是()A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)C．不论a为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称D．如果l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是2(O为坐标原点)9．已知集合A＝{(x，y)y－3x－2＝a＋1}，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，若A∩B＝∅，则a的值可能为A．－4或52B．1C．－1D．0三、填空题与解答题10．已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．11．若函数y＝ax＋8与y＝－12x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝________．12．如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．13．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．14．光线从A(－4，－2)点射出，射到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，求BC所在的直线方程．15．在△ABC中，BC边上的高所在直线l1的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线l2的方程为y ＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A，C的坐标．16．(2021·江西赣州模拟)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0，l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为()A．32B．23C．33D．4217．(2021·试题调研)已知点A(3，0)，B(0，3)，M(1，0)，O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则△MPQ的周长的最小值为()A．4B．5C．25 D.3418．在平面直角坐标系中，定义两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的直角距离为：d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.现有以下命题：①若P，Q是x轴上的两点，则d(P，Q)＝|x1－x2|；②已知P(2，3)，Q(sin2α，cos2α)，则d(P，Q)为定值；③原点O与直线x－y＋1＝0上任意一点P之间的直角距离d(O，P)的最小值为2 2；④若|PQ|表示P，Q两点间的距离，那么|PQ|≥22d(P，Q)．其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．作业8.2两直线的位置关系参考答案1．答案A 解析若两直线平行，则a(a ＋1)＝2，即a 2＋a －2＝0，∴a ＝1或－2，故a ＝1是两直线平行的充分不必要条件．2．答案A解析由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p)在直线mx ＋4y －2＝0上，得10＋4p －2＝0.∴p ＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，则解得n ＝－12.3．答案A解析方法一：据已知若m ＝0，易知两直线不平行，若m ≠0，则有1m ＝1＋m 2≠m －26⇒m ＝1或m ＝－2.方法二：由1×2＝(1＋m)m ，得m ＝－2或m ＝1.当m ＝－2时，l 1：x －y －4＝0，l 2：－2x ＋2y ＋6＝0，l 1与l 2平行．当m ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y ＋6＝0，l 1与l 2平行．4．答案C解析因为l 1∥l 2且l 1⊥l 3，所以n －4＝0，且m ＋6＝0，解得n ＝4，m ＝－6，所以m ＋n ＝－6＋4＝－2.故选C.5．答案D 解析点A(cos θ，sin θ)到直线3x ＋4y －4＝0的距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4|32＋42，化简得d ＝|5sin （θ＋φ）－4|5，其中φ满足tan φ＝34，当sin(θ＋φ)＝－1时d 取得最大值，即d ＝95.故选D.6．答案B解析由题意直线3x ＋y －1＝0与直线23x ＋my ＋3＝0平行，则323＝1m⇒m ＝2，即23x ＋2y ＋3＝0，则直线3x ＋y －1＝0可化为23x ＋2y －2＝0，所以两直线之间的距离为d ＝|3＋2|（23）2＋22＝54，故选B.7．答案C解析∵点P(m ，n)是直线2x ＋y ＋1＝0上的任意一点，又m 2＋n 2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，∴m 2＋n 2的最小值为原点到直线距离的平方，∴所求最小值为(122＋122＝15，故选C.8．答案ABD解析对于A ，a ×1＋(－1)×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故正确．对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A(0，1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B(－1，0)，故正确．对于C ，在l 1上任取点(x ，ax ＋1)，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(－ax －1，－x)，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不恒等于0，故不正确．对于D ，联立ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M(－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1)，所以|MO|＝（－a －1a 2＋1）2＋（－a ＋1a 2＋1）2＝2a 2＋1≤2，所以|MO|的最大值是2，故正确．故选ABD.9．答案ABC解析由题意当a ＝1时，B ＝∅，满足题意，当a ≠1时，集合B 表示一条直线，集合A 也表示一条直线y －3＝(a ＋1)(x －2)，即(a ＋1)x －y －2a ＋1＝0(去掉点(2，3))，若直线(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15过点(2，3)，则2(a 2－1)＋3(a －1)＝15，解得a ＝－4或a ＝52，若两直线平行，则(a 2－1)＋(a －1)(a ＋1)＝0(a ≠1)，解得a ＝－1，∴a 的可能值为－4，52，－1，1.故选ABC.10．答案2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析由题设可知直线l 斜率存在．设所求直线方程为y －4＝k(x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k|1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k 2.∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.11．答案2解析直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，故得a ＝－2，b ＝4.所以a ＋b ＝2.12．答案210解析由题意，求出P 关于直线x ＋y ＝4及y 轴的对称点分别为P 1(4，2)，P 2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为|P 1P 2|＝210.13．答案3解析∵M(a ，b)在直线3x ＋4y ＝15上，∴3a ＋4b ＝15.而a 2＋b 2的几何意义是原点到M 点的距离|OM|，∴(a 2＋b 2)min ＝|－15|32＋42＝3.14．答案10x －3y ＋8＝0解析作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1，6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C.故BC 所在的直线方程为y ＋46＋4＝x ＋21＋2.即10x －3y ＋8＝0.15．答案A(－1，0)，C(5，－6)解析如图，设C(x 0，y 0)，由题意知l 1∩l 2＝A，则－2y ＋1＝0，＝0＝－1，＝0.即A(－1，0)．又∵l 1⊥BC ，∴k BC ·kl 1＝－1.∴k BC ＝－1kl 1＝－112＝－2.∴由点斜式可得BC 的直线方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.又∵l 2：y ＝0(x 轴)是∠A 的平分线，∴B 关于l 2的对称点B ′在直线AC 上，易得点B ′的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC 的方程为x ＋y ＋1＝0.由C(x 0，y 0)在直线AC 和BC 上，0＋y 0＋1＝0，0＋y 0－4＝00＝5，0＝－6.即C(5，－6)．16．答案A解析由题意知，点M 所在直线与l 1，l 2平行且与两直线距离相等．设该直线的方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，解得c ＝－6.点M 在直线x ＋y －6＝0上．点M 到原点距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即d ＝|－6|2＝3 2.故选A.17．答案C解析过A(3，0)，B(0，3)两点的直线方程为x ＋y －3＝0，设M(1，0)关于直线x ＋y －3＝0对称的点为N(x ，y)，1，＋12y －3＝0，＝3，＝2，即N(3，2)，同理可求M(1，0)关于直线OB 的对称点为E(－1，0)，当N ，P ，Q ，E 四点共线时，△MPQ 的周长MQ ＋PQ ＋PM ＝EQ ＋PQ ＋NP ，取得最小值为NE ＝（3＋1）2＋4＝25，故选C.18．答案①②④解析①因为P ，Q 是x 轴上的两点，故|y 1－y 2|＝0，则d(P ，Q)＝|x 1－x 2|，正确；②根据定义d(P ，Q)＝|2－sin 2α|＋|3－cos 2α|，因为sin 2α∈[0，1]，cos 2α∈[0，1]，故d(P ，Q)＝2－sin 2α＋3－cos 2α＝4，正确；③根据定义d(O ，P)＝|x|＋|y|＝|x|＋|x ＋1|≥|x －(x ＋1)|＝1，当且仅当x(x ＋1)≤0时，取得最小值，错误；④因为|PQ|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2，d(P ，Q)＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|,由不等式2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)2，即可得|PQ|≥22d(P ，Q)，正确．。

高三数学一轮专题复习第八章第2讲两直线的位置关系理试题

卜人入州八九几市潮王学校第2讲两直线的位置关系〔A 组〕1点(1，-1)到直线x-y+1=0的间隔是()(A)12(B)32(C)2(D)22.过两直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为()A.3x+y+1=0B.3x+y-2=0C.3x+y=0D.3x+y-3=03.假设经过点(3，a )、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，那么a 的值是()A. B. D.－104.设a ∈R ，那么“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行〞的()5.直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等间隔，那么直线l 的方程为() x ＋3y －18＝0x －y －2＝0x －2y ＋18＝0或者x ＋2y ＋2＝0x ＋3y －18＝0或者2x －y －2＝06.从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，那么反射光线所在的直线方程为 ()A.x ＋2y －4＝0 x ＋y －1＝0C.x ＋6y －16＝0x ＋y －8＝07．过点(1,2)与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为____________．8.直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，那么C 的值是________.9.假设直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,那么它们之间的间隔为.10.直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，那么实数a ＝________.11.两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足以下条件的a ，b 的值.(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的间隔相等.12.直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2).求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程.第2讲两直线的位置关系〔B组〕1.“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直〞的()A.充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2.a,b满足a+2b=1,那么直线ax+3y+b=0必过定点A.(−16,12)B.(12,16)C.(12,−16)D.(16,−12)3.设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，那么直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C ＝0的位置关系是 ()4.假设点A(3,5)关于直线l：y=kx的对称点在x轴上，那么k是()(B)5．A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P10 (0,)a,那么线段AB的长为()A．11B．10 C．9D．86.一只虫子从点(0,0)出发,先爬行到直线l:x-y+1=0上的P点,再从P点出发爬行到点A(1,1),那么虫子爬行的最短路程是()A.√2B.27.过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，那么此直线l的方程为___________________.8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，那么m＋n＝________.9.l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的间隔最大时，那么直线l1的方程是__________________________．10.假设直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，那么m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是________.11在△ABC 中,A(0,1),AB 边上的高CD 所在直线的方程为x+2y-4=0,AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x+y-3=0.(1)求直线AB 的方程.(2)求直线BC 的方程.(3)求△BDE 的面积.12.直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4).(1)在直线l 上求一点P ，使|PA |＋|PB |最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|PA ||最大.第2讲两直线的位置关系〔C 组〕1.过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l 1,直线2x+y-1=0为l 2,直线x+ny+1=0为l 3.假设l 1∥l 2,l 2⊥l 3,那么实数m+n 的值是()A.-10B.-2l 1：y ＝x sin α和直线l 2：y ＝2x ＋c ，那么直线l 1与l 2()会重合B.通过绕l 1上某一点旋转可以重合C.可能垂直D.可能与x 轴围成等腰直角三角形 3．曲线－＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，那么m 的取值范围是()A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－4,4)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3,3)4.b ＞0，直线x-b 2y-1=0与直线(b 2+1)x+ay+2=0互相垂直，那么ab 的最小值等于() (A)1(B)2(C)2235.如图，A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，那么光线所经过的路程是()6.一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，那么反射光线所在直线的斜率为〔〕〔A 〕53-或者35-〔B 〕32-或者23-〔C 〕54-或者45-〔D 〕43-或者34- 7.点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大间隔是________.8．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，那么b 的取值范围是________．9.如图，直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的间隔分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，那么△ABC 的面积的最小值为________.10在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的间隔之和最小的点的坐标是________.11.点P (2，－1).(1)求过P 点且与原点间隔为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点间隔最大的直线l 的方程，并求出最大间隔.(3)是否存在过P 点且与原点间隔为6的直线？假设存在，求出方程；假设不存在，请说明理由.12.如图，函数f (x )＝x ＋的定义域为(0，＋∞).设点P 是函数图象上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：|PM |·|PN |为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值.。

高考数学一轮复习第8章解析几何第2讲两条直线的位置关系

第二讲两条直线的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2,l 1∥l 2⇔k 1＝k 2,且b 1≠b 2．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0, l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0,且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2,l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__．知识点二两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__；平行⇔方程组__无解__；重合⇔方程组有__无数个解__．知识点三三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22．特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|＝x 2＋y 2． (2)点P(x 0,y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2． (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2．重要结论1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y 的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P(a,b)关于直线x ＋y ＋m ＝0对称的点坐标为(－b －m,－a －m),点P(a,b)关于直线x －y ＋m ＝0对称的点坐标为(b －m,a ＋m)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等,则两直线平行,反之,亦然．( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直,那么它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),若直线l 1⊥l 2,则A 1A 2＋B 1B 2＝0．( √ )(4)点P(x 0,y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b|1＋k2．( × ) (5)若点A,B 关于直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0)对称,则直线AB 的斜率等于－1k ,且线段AB 的中点在直线l上．( √ )题组二走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a 等于( C ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1[解析] 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1．解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2． ∵a ＞0,∴a ＝－1＋2．题组三走向高考4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0,－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离的最大值为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 [解析] 解法一：由y ＝k(x ＋1)可知直线过定点P(－1,0),设A(0,－1),当直线y ＝k(x ＋1)与AP 垂直时,点A 到直线y ＝k(x ＋1)距离最大,即为|AP|＝2,故选B ．解法二：因为点(0,－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离d ＝|1＋k|k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2kk 2＋1；∵要求距离的最大值,故需k ＞0；可得d ＝1＋2k ＋1k≤2,当且仅当k ＝1时取等号,故选B ．5．(2018·全国)坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为__(6,－6)__． [解析] 设坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(a,b),则⎩⎪⎨⎪⎧b a ×1＝－1a 2－b2－6＝0,解得a ＝6,b ＝－6,∴坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(6,－6)．考点突破·互动探究考点一两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( A )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行,则m ＝( C ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3(4)(多选题)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2),一条直角边所在直线的方程为y ＝2x,则另外两边所在直线的方程为( CD )A ．3x ＋y －14＝0B ．x ＋2y －2＝0C ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋2y －14＝0[解析] (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32,所以所求直线l的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,化为一般式,得6x －4y －3＝0．(2)由l 1⊥l 2,得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0,∴m ＝3或m ＝－2,∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋1＝6，4m≠－4，解得m ＝2或－3．故选C ．(4)设斜边所在直线的斜率为k,由题意知tan π4＝2－k 1＋2k ＝1,∴k ＝13,∴斜边所在直线方程为y －2＝13(x －4),即x －3y ＋2＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x －3y ＋2＝0可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45,∴A 关于M 的对称点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫385，165,∴另一条直角边的方程为y －165＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －385,即x ＋2y －14＝0,故选C 、D ．名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f(x)＝2sin x 在x ＝π3处的切线与直线ax ＋y －1＝0垂直,则a ＝__1__．(2)(2012·浙江)设a ∈R,则“a＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f′(x)＝2cos x,∴k ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1．所以1×(－a)＝－1,∴a ＝1． (2)l 1∥l 2⇔a 2＋a －2＝0⇔a ＝1或－2,∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．故选A ．考点二两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与l 2：ax ＋4y －6＝0的交点到原点的距离为__2__．(2)已知点P(2,－1)．①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少？③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在,求出方程；若不存在,请说明理由． (3)(2020·上海)已知直线l 1：x ＋ay ＝1,l 2：ax ＋y ＝1,若l 1∥l 2,则l 1与l 2的距离为__2__． [解析] (1)kl 1＝－2,kl 2＝－a 4,由l 1⊥l 2知－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1,∴a ＝－2,∴l 2：x －2y ＋3＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋3＝0得交点A(－1,1),∴|AO|＝2．(2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2,而点P 的坐标为(2,－1),显然,过点P(2,－1)且垂直于x 轴的直线满足条件,此时l 的斜率不存在,其方程为x ＝2．若斜率存在,设l 的方程为y ＋1＝k(x －2), 即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2,解得k ＝34．此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上,可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线,如图．由l ⊥OP,得k l k OP ＝－1, 所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式,得y ＋1＝2(x －2),即2x －y －5＝0．所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线,最大距离为|－5|5＝5．③由②可知,过点P 不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．(3)直线l 1：x ＋ay ＝1,l 2：ax ＋y ＝1, 当l 1∥l 2时,a 2－1＝0,解得a ＝±1；当a ＝1时l 1与l 2重合,不满足题意；当a ＝－1时l 1∥l 2,此时l 1：x －y －1＝0,l 2：x －y ＋1＝0；则l 1与l 2的距离为d ＝|－1－1|12＋－12＝2．名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； ②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形式,且使x 、y 的系数分别相等．〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1：3x －y －1＝0与直线l 2：x ＋2y －5＝0的交点为A,则A 到直线l ：x ＋by ＋2＋b ＝0的距离的最大值为( C )A ．4B ．10C ．3 2D ．11(2)(多选题)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0距离相等,则m 的值可以为( AC ) A ．－6 B ．－12C ．12D ．1(3)(2021·绵阳模拟)若P,Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点,则|PQ|的最小值为( C )A ．95B ．185C ．2910D ．295[解析] (1)解法一：显然l 1与l 2的交点A(1,2),又直线l 过点B(－2,－1),∴所求最大距离为|AB|＝32,故选C ．解法二：显然l 1与l 2的交点为A(1,2),则A 到直线l 的距离d ＝|1＋2b ＋2＋b|1＋b2＝31＋b 2＋2b1＋b2＝31＋2b 1＋b2≤32(当且仅当b ＝1时取等号),故选C ． (2)直线mx ＋y ＋3＝0与直线AB 平行或过AB 中点,∴－m ＝4－2－1－3＝－12,即m ＝12；AB 中点(1,3),∴m＋3＋3＝0即m ＝－6,故选A 、C ．(3)因为36＝48≠－125,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即|－24－5|62＋82＝2910,所以|PQ|的最小值为2910．考点三对称问题——多维探究角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M,则直线2x ＋3y －6＝0关于M点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0[解析] 由ax ＋y ＋3a －1＝0,可得y －1＝－a(x ＋3),所以M(－3,1),M 不在直线2x ＋3y －6＝0上,设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c≠－6),则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c|4＋9,解得c ＝12或c ＝－6(舍去),所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0,故选D ．另解：在直线2x ＋3y －6＝0上取点A(0,2)、B(3,0),则A 、B 关于M 的对称点分别为A′(－6,0),B′(－9,2),又k A′B′＝2－0－9－－6＝－23,故所求直线方程为y ＝－23(x ＋6),即2x ＋3y ＋12＝0．故选D ．角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M(－3,4),被直线l ：x －y ＋3＝0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为__6x －y －6＝0__．[解析] 设点M(－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M′(a ,b),则反射光线所在直线过点M′,所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1,b ＝0．又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1,即6x －y －6＝0． (代入法)当x ＝－3时,由x －y ＋3＝0得y ＝0, 当y ＝4时,由x －y ＋3＝0得x ＝1．∴M(－3,4)关于直线l 的对称点为M′(1,0)．又k NM′＝6－02－1＝6,∴所求直线方程为y ＝6(x －1),即6x －y －6＝0．[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x －6y ＋27＝0__．[解析] N(2,6)关于直线l 的对称点N′(3,5),又k MN′＝5－43－－3＝16,∴所求直线方程为y －4＝16(x＋3),即x －6y ＋27＝0．角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0,l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称,则l 2的方程是( B )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法一：因为l 1与l 2关于l 对称,所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上,故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0,－2)为l 1上一点,设它关于l 的对称点为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0),(－1,－1)为l 2上两点,可得l 2的方程为x －2y －1＝0．解法二：在l 1上取两点A(0,－2),B(1,0),则A 、B 关于l 的对称点分别为A′(－1,－1),B′(1,0),∴k A′B′＝0－－11－－1＝12．∴l 2的方程为y －0＝12(x －1),即x －2y －1＝0．故选B ．解法三：设P(x,y)是直线l 2上任一点,则P 关于直线l 的对称点为P′(y＋1,x －1),又P′∈l 1,∴2(y ＋1)－(x －1)－2＝0,即直线l 2的方程为x －2y －1＝0．故选B ．名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题,都可以转化为对称问题,关于对称问题,一般常见的有： (1)中心对称①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①点A(a,b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A′(m ,n),则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×－AB＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．特别地,当对称轴的斜率为±1时,可类比关于y ＝x 的对称问题采用代入法,如(1,3)关于y ＝x ＋1的对称点为(3－1,1＋1),即(2,2)．〔变式训练3〕已知直线l ：2x －3y ＋1＝0,点A(－1,－2)．求： (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2)(角度3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3)(角度1)直线l 关于点A(－1,－2)对称的直线l′的方程． [解析] (1)设A′(x ,y),由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413．(2)在直线m 上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a ,b),则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013．设直线m 与直线l 的交点为N,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0． (3)设P(x,y)在l′上任意一点,则P(x,y)关于点A(－1,－2)的对称点为P′(－2－x,－4－y), ∵点P′在直线l 上,∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0, 即2x －3y －9＝0．名师讲坛·素养提升巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R)恒过定点,并求出定点坐标；(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解析] (1)证明：解法一：令m ＝0,则直线方程为 3x ＋y ＋1＝0．再令m ＝1时,直线方程为6x ＋y ＋4＝0．①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A(－1,2)的坐标代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中,(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0, 故动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A ．解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理,得m 2(x －y ＋3)＋m(2x ＋y)＋3x ＋y ＋1＝0,① 不论m 为何实数,①式恒为零, ∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点A(－1,2)．(2)解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P(0,2)．因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为－43,由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2,即4x ＋3y －6＝0．解法二：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0,将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m ＝－6, 故所求直线方程为4x ＋3y －6＝0．解法三：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x＋y －2)＝0, 即(1＋λ)x＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．又∵l ⊥l 3,∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0,解得λ＝11．∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0．[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”,则直线l 的方程为__3x －4y ＋8＝0__．名师点拨1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y －y 0＝f(λ)(x－x 0),从而确定定点(x 0,y 0)．(2)将直线方程整理成关于参数的方程,由方程中各项系数及常数项为0确定定点．(3)给参数取两个不同值,再解直线方程构成的方程组,从而确定定点坐标．2．直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0,其中A 1B 2－A 2B 1≠0,待定系数λ∈R ．在这个方程中,无论λ取什么实数,都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,因此它不能表示直线l 2．(2)过定点(x 0,y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．(3)平行直线系方程：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m(m 为参数且m≠b)；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ,λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,那么可选用直线系方程来求解．〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时,直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( D )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9,－4)(2)与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0__．[解析] (1)解法一：由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5,得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9,－4),故选D ．解法二：令m ＝1,则y ＝－4；令m ＝12,则－12x ＝－92,即x ＝9,∴直线过定点(9,－4),故选D ．解法三：将直线方程化为(2m －1)(y ＋a)＝(1－m)(x ＋b),则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－52a ＋b ＝－1,即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－9,∴y ＋4＝1－m 2m －1(x －9),故直线过点(9,－4),故选D ．(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0,则|c－6|52＋122＝2,解得c＝32或－20,故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．。

高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第2节两直线的位置关系距离公式教师用书

第二节　两直线的位置关系、距离公式考试要求：1．能根据两条直线的方程判定这两条直线平行或垂直(逻辑推理)．2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离(数学运算)．一、教材概念·结论·性质重现1．两条直线的位置关系(1)利用斜率关系判断对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2．l1∥l2k1＝k2l1⊥l2k1·k2＝－1特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2；当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．(2)利用方程判断l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不为0)，l1∥l2＝≠l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0l1与l2重合＝＝特别地，若A2，B2，C2中存在为0的情况，则利用斜率关系判断．(3)两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．(1)与直线Ax＋2．三种距离(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝．(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中A2＋B2≠0，C1≠C2)间的距离d＝．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2．(　×　)(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1．(　×　)(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为．(　×　)(4)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离为0．(　×　) 2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为( )A．0 B．－8 C．2 D．10B　解析：由题意知＝－2，解得m＝－8．故选B．3．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为( )A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0A　解析：因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1．设直线l的方程为y ＝x＋b，由题意知直线l过线段AB的中点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0．故选A．4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为____ ____．C　解析：若直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3．5．已知两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2之间的距离为___ _____．　解析：两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，即两条直线l1：4x＋2y －3＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，它们之间的距离d＝＝．考点1　两直线平行与垂直判定及应用——基础性1．“m＝1”是“直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A　解析：直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行⇔m2＝1⇔m＝±1，“m＝1”是“m＝±1”的充分不必要条件．故选A．2．若直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，则a2＋b2的最小值为( )A． B．3C．5 D．C　解析：因为直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，所以2b＋2(2a－5)＝0，化简得b＝5－2a，所以a2＋b2＝a2＋(5－2a)2＝5a2－20a＋25＝5(a－2)2＋5≥5，当且仅当a＝2时取“＝”，所以a2＋b2的最小值为5．3．已知直线l1：mx＋y－1＝0，l2：(2m＋3)x＋my－1＝0，m∈R，若l1⊥l2，则m＝________．0或－2　解析：若l1⊥l2，则m(2m＋3)＋m＝0，解得m＝0或m＝－2，即l1⊥l2⇔m＝0或m＝－2．1．当方程的系数含有字母时，应考虑斜率不存在的特殊情况，否则容易漏解．2．利用平行、垂直等条件求出参数值后，应将求出的参数值回代，验证是否符合题意．如当两直线平行时，利用斜率相等求出的参数值可能会使两直线重合，应该代入验证是否舍去其中一个值．考点2　两直线的交点、距离问题——综合性(1)已知直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A．4 B．C． D．B　解析：由直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直线分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋＝0．它们之间的距离是＝．故选B．(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为( )A．－24 B．24 C．6 D．±6 A　解析：直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为(a,0)，则即故选A．本例1(1)中，条件“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行”改为“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相垂直”，求两直线的交点坐标．解：因为两直线垂直，则18＋2m＝0，则m＝－9．由解得所以交点坐标为．1．求过两直线交点的直线方程的方法1．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( )A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)C　解析：设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选C．2．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点Q，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为( )A．0 B．1C．2 D．3C　解析：由得即直线l过点Q(1,2)．因为|PQ|＝＝>2，所以满足条件的直线l有2条．故选C．考点3　对称问题——应用性考向1　点关于点对称过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．x＋4y－4＝0　解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0．考向2　点关于直线的对称点已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．　解析：设A′(x，y)，由已知得解得故A′．则有(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．考向3　直线关于直线的对称已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0．若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0B　解析：由得交点(1,0)，取l1上的点(0，－2)，其关于直线l的对称点为(－1，－1)，故直线l2的方程为＝，即x－2y－1＝0．1．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0B　解析：易知A(－1,1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－＝，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x －2y＋5＝0．故选B．2．若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝( )A． B．－C．2 D．－2C　解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，则所以a＋b＝2．故选C．。

高考数学一轮复习 7.2 两直线的位置关系教案

7.2 两直线的位置关系●知识梳理 1.平行与垂直若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2，则（1）直线l 1∥l 2的充要条件是k 1=k 2且b 1≠b 2. （2）直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2=－1. 若l 1和l 2都没有斜率，则l 1与l 2平行或重合.若l 1和l 2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l 1⊥l 2. 2.相交（1）两条直线l 1：y =k 1x +b 1和l 2：y =k 2x +b 2相交得到两类角：“到角”和“夹角”.①到角：直线l 1到l 2的角是指l 1按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角.设l 1到l 2的角为θ1，l 2到l 1的角为θ2，则有θ1∈（0，π），θ2∈（0，π），且θ1+θ2=π.当k 1k 2≠－1时，有公式tan θ1=21121k k k k +-.当k 1k 2=－1时，l 1⊥l 2，θ1=θ2=2π.②夹角：l 1到l 2的角θ1和l 2到l 1的角θ2中不大于90°的角叫l 1和l 2的夹角.设为α，则有α∈（0，2π］，当α≠2π时，有公式tan α=|21121k k k k +-|.如果直线l 1和l 2中有一条斜率不存在，“到角”和“夹角”都可借助于图形，通过直线的倾斜角求出.（2）交点：直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0和l 2：A 2x +B 2y +C 2=0的公共点的坐标与方程组A 1x +B 1y +C 1=0A 2x +B 2y +C 2=0相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解. 重合⇔方程组有无数解.3.点P （x 0，y 0）到直线l ：Ax +By +C =0的距离d =2200||BA C By Ax +++.两平行线l 1：Ax +By +C 1=0和l 2：Ax +By +C 2=0之间的距离d =2212||BA C C +-.●点击双基1.点（0，5）到直线y =2x 的距离为 A.25 B.5C.23D.25 解析：a =22)1(2|50|-+-=5.答案：B2.三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是A.－2B.－1C.0D.14x +3y =10，的解一一对应.解析：解方程组2x －y =10，得交点坐标为（4，－2），代入ax +2y +8=0，得a =－1. 答案：B3.直线x +y －1=0到直线x sin α+y cos α－1=0（4π＜α＜2π)的角是A.α－4πB. 4π－αC.α－4π3 D. 4π5－α解析：由tan θ=)1()tan (11tan -⋅-++-αα=ααtan 1tan 1+-=tan （4π－α）=tan （4π5－α），∵4π＜α＜2π，－4π＜4π－α＜0，4π3＜4π5－α＜π，∴θ=4π5－α.答案：D4.已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角α（0°<α<90°），所得直线方程是x －y －2=0，若将它继续旋转90°－α角，所得直线方程是2x +y －1=0，则直线l 的方程是____________.解析：∵直线l 经过直线x －y －2=0和2x +y －1=0的交点（1，－1），且又与直线2x + y －1=0垂直，∴l 的方程为y +1=21（x －1），即x －2y －3=0.答案：x －2y －3=05.若直线l 1：ax +2y +6=0与直线l 2：x +（a －1）y +（a 2－1）=0平行且不重合，则a 的值是____________.解析：利用两直线平行的条件. 答案：－1 ●典例剖析【例1】等腰三角形一腰所在直线l 1的方程是x －2y －2=0，底边所在直线l 2的方程是x +y －1=0，点（－2，0）在另一腰上，求该腰所在直线l 3的方程.剖析：依到角公式求出l 3的斜率，再用点斜式可求l 3的方程. 解：设l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 3的角是θ2，则k 1=21，k 2=－1，tan θ1=21121k k k k +-=21)1(1211⨯-+--=－3.∵l 1、l 2、l 3所围成的三角形是等腰三角形，∴θ1=θ2，tanθ1=tan θ2=－3，即23231k k k k +-=－3，3311k k -+=－3，解得k 3=2.又∵直线l 3经过点（－2，0），∴直线l 3的方程为y =2（x +2），即2x －y +4=0.评述：本题根据条件作出合理的假设θ1=θ2，而后利用直线到直线所成角的公式，最后利用点斜式，求出l 3的方程.思考讨论用夹角公式会产生什么问题，怎样去掉增解?【例2】已知两直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：（m －2）x ＋3my＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2（1）相交；（2）平行；（3）重合?剖析：依据两直线位置关系判断方法便可解决. 解：当m =0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2.当m =2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交. 当m ≠0且m ≠2时，由21-m ＝mm 32得m =－1或m =3，由21-m ＝m26得m ＝3.故（1）当m ≠－1，m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交；（2）当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2；（3）当m ＝3时，l 1与l 2重合.评述：对这类问题要从有斜率、没斜率两方面进行考虑.深化拓展不讨论有斜率、没斜率能直接求解吗? 【例3】已知点P （2，－1），求：（1）过P 点与原点距离为2的直线l 的方程；（2）过P 点与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少?（3）是否存在过P 点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.剖析：已知直线过定点求方程，首先想到的是求斜率或设方程的斜截式，但不要忘记考察斜率不存在的直线是否满足题意.若满足，可先把它求出，然后再考虑斜率存在的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决.解：（1）过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为（2，1），可见，过P （2，1）垂直于x 轴的直线满足条件.此时l 的斜率不存在，其方程为x =2.若斜率存在，设l 的方程为y +1=k （x －2），即kx －y －2k －1=0.由已知，得1|12|2+--k k =2，解之得k =43.此时l 的方程为3x －4y －10=0.综上，可得直线l 的方程为x =2或3x －4y －10=0.（2）作图可证过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得k l ·k OP =－1，所以k l =－OPk 1=2.由直线方程的点斜式得y +1=2（x －2），即2x －y －5=0，即直线2x －y －5=0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为5|5|-=5.（3）由（2）可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线.评述：第（3）问是判断存在性问题，通常的解决方法是先假设判断对象存在，令其满足应符合的条件，若有解，则存在，并求得；若无解，则不存在，判断无解的过程就是结论的理由.如（3）解法二：由于斜率不存在且过P 点的直线到原点距离不是6，因此，设过P 点到原点距离为6的直线的斜率存在且方程为y +1=k （x －2），即kx －y －2k －1=0.原点O 到它的距离d =1|12|2+--k k =6，即32k 2－4k +35=0.因Δ=16－4×32×35<0，故方程无解.所以不存在这样的直线.●闯关训练夯实基础1.（2004年全国卷Ⅳ，3）过点（－1，3）且垂直于直线x －2y +3=0的直线方程为A.2x +y －1=0B.2x +y －5=0C.x +2y －5=0D.x －2y +7=0 解析：由已知直线的斜率为21，知所求直线的斜率为－2.由点斜式得所求直线方程为2x +y －1=0. 答案：A2.若直线y =|x |与y =kx +1有两个交点，则k 的取值范围是____________.解析：y =|x |是第一、二象限角的平分线，直线y =kx +1是过定点（0，1）的直线系方程.由图象易知－1<k <1. 答案：－1<k <13.△ABC 中，a 、b 、c 是内角A 、B 、C 的对边，且lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，则下列两条直线l 1：（sin 2A ）x +（sin A ）y －a =0，l 2：（sin 2B ）x +（sin C ）y －c =0的位置关系是____________.解析：由已知2lgsin B =lgsin A +lgsin C ，得lg （sin B ）2=lg（sin A ·sin C ）.∴sin 2B =sin A ·sinC .设l 1：a 1x +b 1y +c 1=0，l 2：a 2x +b 2y +c 2=0．∵21a a =B A 22sin sin =CA A sin sin sin 2=CA sin sin ，21b b=CA sin sin ，21c c =ca --=CR A R sin 2sin 2--=CA sin sin ，∴21a a =21b b =21c c ，l 1与l 2重合．答案：重合4.求过点P （5，－2），且与直线x －y +5=0相交成45°角的直线l 的方程.解：（1）若直线l 的斜率存在，设为k ，由题意，tan45°=|kk +-11|，得k =0，所求l 的直线方程为y =－2.（2）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =5，且与直线x －y +5=0相交成45°角.综合（1）（2），直线l 的方程为x =5或y =－2.5.已知△ABC 的两条高线所在直线的方程为2x －3y +1=0和x +y =0，顶点A （1，2），求：（1）BC 边所在直线的方程；（2）△ABC 的面积.解：（1）A 点不在两条高线上，从而AB 、AC 边所在直线方程为3x +2y －7=0，x －y +1=0.∴C （－2，－1）、B （7，－7）. ∴边BC 所在直线方程是2x +3y +7=0.（2）∵｜BC ｜＝117，点A 到边BC 的高为h ＝1315，从而△ABC的面积是21×313×1315＝245．培养能力6.光线从A （－3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点D （－1，6），求BC 所在直线的方程.解法一：如下图所示，依题意，B 点在原点O 左侧，设坐标为（a ，0），由入射角等于反射角得∠1=∠2，∠3=∠4，∴k AB =－k BC .又k AB =a ---304=－a +34（a ≠－3），∴k BC =a+34.∴BC 的方程为y －0=a+34（x －a ），即4x －（3+a ）y －4a =0.令x =0，解得C 点坐标为（0，a a +-34），则k DC =01346--+--a a =－a a ++31018.∵∠3=∠4，∴010⋅+-BC BC k k =DCDCk k ⋅+-010.∴a +34=aa ++31018.解得a =－57，代入BC 方程得5x －2y +7=0.解法二：点A 关于x 轴的对称点为A ′（－3，－4），点D 关于y 轴的对称点为D ′（1，6），由入射角等于反射角及对顶角相等可知A ′、D ′都在直线BC 上，∴BC 的方程为5x －2y +7=0.7.在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（原点除外）上给定两点A （0，a ）、B （0，b ）（a ＞b ＞0）.试在x 轴的正半轴（原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值，并求出这个最大值.解：由题意作下图，设C （x ，0），其中x ＞0．又A （0，a ），B （0，b ）（a ＞b ＞0），则k AC ＝xa --00＝－xa ，k BC ＝xb --00＝－xb .∴tan ∠ACB ＝ACBC ACBC k k k k ⋅+-1 ＝21xab xb x a +-=][xab ab x ab b a +-≤abb a 2-．此时x ＝ab 时取等号.故所求点C （ab ，0），最大值为arctanabb a 2-．8.（理）已知过点A （1，1）且斜率为－m （m ＞0）的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q ，过P 、Q 作直线2x +y =0的垂线，垂足为R 、S ，求四边形PRSQ 面积的最小值.解：设l 的方程为y －1=－m （x －1），则P （1+m1，0），Q （0，1+m ）.从而可得直线PR 和QS 的方程分别为x －2y －mm 1+=0和x －2y +2（m +1）=0.又PR ∥QS ，∴｜RS ｜=5|1122|m m +++=5123mm ++.又｜PR ｜=522m +，｜QS ｜=51+m ，四边形PRSQ 为梯形，S 四边形PRSQ =21［522m ++51+m ］·5123m m ++=51（m +m 1+49）2－801≥51（2+49）2－801=3.6. ∴四边形PRSQ 的面积的最小值为3.6.（文）在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y +1=0，∠A 的平分线所在直线的方程为y =0.若点B 的坐标为（1，2），求点C 的坐标.解：点A 为y =0与x －2y +1=0两直线的交点，∴点A 的坐标为（－1，0）.∴k AB =)1(102---=1.又∵∠A 的平分线所在直线的方程是y =0，∴k AC =－1.∴直线AC 的方程是y =－x －1.而BC 与x －2y +1=0垂直，∴k BC =－2.∴直线BC 的方程是y －2=－2（x －1）.y =－x －1，y =－2x +4，解得C （5，－6）. 探究创新9.已知三条直线l 1：2x －y +a =0（a ＞0），直线l 2：－4x +2y +1=0和直线l 3：x +y －1=0，且l 1与l 2的距离是1075.（1）求a 的值；（2）求l 3到l 1的角θ；（3）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的21；③P点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5？若能，求P 点坐标；若不能，请说明理由.解：（1）l 2即2x －y －21=0，∴l 1与l 2的距离d =22)1(2|)21(|-+--a =1057.由∴5|21|+a =1057.∴|a +21|=27.∵a ＞0，∴a =3.（2）由（1），l 1即2x －y +3=0，∴k 1=2.而l 3的斜率k 3=－1， ∴tan θ=31311k k k k ⋅+-=)1(21)1(2-+--=－3.∵0≤θ＜π，∴θ=π－arctan3.（3）设点P （x 0，y 0），若P 点满足条件②，则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x －y +C =0上，且5|3|-C =215|21|+C ，即C =213或C =611，∴2x 0－y 0+213=0或2x 0－y 0+611=0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有53200+-y x =522|1|00-+y x ，即|2x 0－y 0+3|=|x 0+y 0－1|， ∴x 0－2y 0+4=0或3x 0+2=0.由P 在第一象限，∴3x 0+2=0不可能.联立方程2x 0－y 0+213=0和x 0－2y 0+4=0，x 0=－3， y 0=21，2x 0－y 0+611=0，x 0－2y 0+4=0， x 0=91，y 0=1837.解得应舍去.由解得∴P （91，1837）即为同时满足三个条件的点.●思悟小结1.要认清直线平行、垂直的充要条件，应特别注意对x 、y 的系数中一个为零的情况的讨论.2.在运用一条直线到另一条直线的角的公式时要注意无斜率的情况及两条直线垂直的情况.3.点到直线的距离公式是一个基本公式，它涉及绝对值、直线垂直、最小值等内容.●教师下载中心教学点睛1.两条直线的位置关系的有关内容是本章学习的重点，在整个解析几何的学习中占有重要地位.这部分内容是用代数方法研究几何图形的具体应用.2.在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接作出结论，设l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0.（1）l 1∥l 2⇐21A A =21B B ≠21C C A 1B 2=A 2B 1，A 1C 2≠A 2C 1.（2）l 1与l 2相交⇐21A A ≠21B B ⇔A 1B 2≠A 2B 1. （3）l 1与l 2重合⇐21A A =21B B =21C C⇔A 1B 2=A 2B 1， A 1C 2=A 2C 1.（4）l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0. 拓展题例【例1】当0<a <2时，直线l 1：ax －2y =2a －4，直线l 2：2x +a 2y =2a 2+4与坐标轴围成一个四边形，求使该四边形面积最小时a 的值.解：直线l 1交y 轴于A （0，2－a ），直线l 2交x 轴于C （a 2+2，0），l 1与l 2交于点B （2，2）.则四边形AOCB 的面积为S =S △AOB +S △OCB =21·（2－a ）·2+21（a 2+2）·2=a 2－a +4=（a －21）2+415，当a =21时，S 最小.因此使四边形面积最小时a 的值为21.【例2】已知n 条直线l 1：x －y +C 1=0，C 1=2，l 2：x －y +C 2=0，l 3：x －y +C 3=0，…，l n ：x －y +C n =0（其中C 1＜C 2＜C 3＜…＜C n ），这n 条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n .（1）求C n ；（2）求x －y +C n =0与x 轴、y 轴围成的图形的面积；（3）求x －y +C n －1=0与x －y +C n =0及x 轴、y 轴围成图形的面积.⇔解：（1）原点O 到l 1的距离为1，原点O 到l 2的距离为1+2，……原点O 到l n 的距离d n 为1+2+…+n =2)1(+n n .∵C n =2d n ，∴C n =2)1(2+n n . （2）设直线l n ：x －y +C n =0交x 轴于M ，交y 轴于N ，则△OMN 面积S △O MN =21|OM |·|ON |=21C n 2=4)1(22+n n .（3）所围成的图形是等腰梯形，由（2）知S n =4)1(22+n n ，则有S n －1=4)1(22n n ⋅-.∴S n －S n －1=4)1(22+n n －4)1(22n n ⋅-=n 3.∴所求面积为n 3.。