大学物理 冲量 动量 动量定理
冲量定理和动量定理
冲量定理和动量定理1. 引言物理学是研究物质和能量之间相互作用的科学，其中力和运动是重要的概念。
在力学中，冲量定理和动量定理是描述物体运动的基本原理。
2. 冲量定理冲量定理是描述物体受到外力作用后产生的运动变化的原理。
它表明，当一个物体受到一个外力作用时，它的运动状态将发生变化，并且与外力大小、作用时间以及物体质量有关。
冲量可以用下式表示：I=∫Fdt其中，I表示冲量，F表示外力，dt表示作用时间。
根据牛顿第二定律F=ma，我们可以将冲量表达式改写为：I=∫madt，我们可以进一步改写为：由于加速度a=ΔvΔtI=∫mdv这个积分可以看作是速度变化dv对时间的累加。
根据积分定义，我们可以将其改写为：I=mΔv这个式子表示冲量等于物体速度的变化量乘以物体质量。
根据力学基本定理，冲量等于动量的变化，即：Δp=I3. 动量定理动量定理是描述物体受到外力作用后动量变化的原理。
它表明，当一个物体受到一个外力作用时，它的动量将发生变化，并且与外力大小、作用时间以及物体质量有关。
动量可以用下式表示：p=mv其中，p表示动量，m表示物体质量，v表示物体速度。
根据牛顿第二定律F=ma，我们可以将动量表达式改写为：F=Δp Δt这个式子表示力等于单位时间内动量的变化率。
根据冲量定理Δp=I，我们可以进一步改写为：F=I Δt由于冲量I等于速度变化Δv乘以质量m，我们可以将其改写为：F=m Δv Δt根据加速度定义a=ΔvΔt，我们可以进一步改写为：F=ma这个式子即为牛顿第二定律，它表明物体受到的力等于物体质量乘以加速度。
4. 应用和例子冲量定理和动量定理在物理学中有广泛的应用。
下面是一些例子：4.1 球类运动在篮球、足球等球类运动中，运动员通过给球一个冲量来改变球的动量，使其发生位移或改变运动方向。
冲量定理和动量定理可以帮助我们分析球与运动员之间的相互作用，并预测球的轨迹和速度变化。
4.2 汽车碰撞在汽车碰撞事故中，两辆车之间会产生冲击力，导致车辆发生形变或位移。
动量和力动量定理和冲量的计算
动量和力动量定理和冲量的计算动量和力、动量定理以及冲量的计算动量是描述物体运动状态的物理量，它是物体质量与速度的乘积。
根据牛顿第二定律，力的大小和方向与物体的加速度成正比。
而动量定理则进一步指出，当外力对物体施加冲量时，物体动量的变化量等于所受冲量的大小。
一、动量（momentum）的概念动量是衡量物体运动状态的物理量，用p表示。
动量的定义公式为：p = mv其中，p代表动量，m代表物体的质量，v代表物体的速度。
二、力（force）对动量的改变根据牛顿第二定律F=ma，力的大小和方向与物体的加速度成正比。
同样地，力的大小和方向也与物体的动量变化成正比。
根据力对物体动量的改变关系，可以得出力的动量定理：FΔt = Δp其中，Δt代表力作用时间的变化量，Δp代表物体动量的变化量。
三、冲量（impulse）的计算冲量是指力作用时间的积分，表示单位时间内力对物体的作用总量。
冲量的计算公式为：J = ∫Fdt其中，J代表冲量，F代表力，dt代表时间变化量。
根据冲量的定义，可以将冲量表示为力对时间的乘积：J = FΔt其中，F代表力，Δt代表力作用时间的变化量。
四、示例计算以一个质量为2kg的物体为例，其初始速度为5m/s，受到一个持续时间为2秒的恒力作用，求冲量和动量的变化量。
首先，我们需要求出物体的初始动量和最终动量：初始动量：p1 = m * v = 2kg * 5m/s = 10kg·m/s最终动量：p2 = ?根据力的动量定理：FΔt = Δp，我们可以计算出动量的变化量：Δp = FΔt = maΔt由于所受力是恒力，物体的质量没有改变，所以可以简化为：Δp = FΔt = mΔv根据力的动量定理，力对物体动量的改变等于冲量：J = FΔt = Δp = mΔv由于题目给出的物体质量、力作用时间和初始速度，我们可以代入计算：J = 2kg * (5m/s - 0m/s) = 10kg·m/s因此，该物体受到的冲量为10kg·m/s，动量的变化量也为10kg·m/s。
动量和冲量的关系
动量和冲量的关系动量和冲量是力学中重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
本文将从理论角度解释动量和冲量的定义，并探讨它们之间的关系。
1. 动量的定义动量是物体运动的属性，它与物体的质量和速度有关。
根据牛顿第二定律，物体的动量等于物体质量乘以物体的速度。
即动量 = 质量 ×速度2. 冲量的定义冲量是力在时间上的积累，是力对物体运动状态的改变。
冲量等于力在时间上的乘积。
即冲量 = 力 ×时间3. 动量定理动量定理描述了力对物体运动状态的影响。
根据动量定理，物体所受的总冲量等于物体动量的变化量。
即总冲量 = 动量的变化量4. 动量和冲量的关系通过分析动量定理，我们可以得出动量和冲量之间的关系。
根据牛顿第二定律和冲量的定义可得：总冲量 = 力 ×时间 = 动量的变化量 = 质量 ×速度的变化量上述公式可以进一步化简为：冲量 = 质量 ×速度的变化量由此可见，冲量是动量变化的量度，它与质量乘以速度的变化量有直接关系。
5. 动量和冲量的应用动量和冲量在实际生活和工程中具有广泛的应用。
以下是一些例子：5.1 球击中墙壁当一个运动中的球击中墙壁时，球会产生冲量作用于墙壁，同时球的速度也会发生变化。
根据动量和冲量的关系，我们可以计算出球对墙壁施加的力和变化的速度。
5.2 车辆碰撞在道路上，汽车碰撞是一种常见的事故。
碰撞中的冲量会导致车辆速度的改变，根据动量和冲量的关系，我们可以分析碰撞过程中车辆所受的力和速度变化。
5.3 运动员的起跳和落地在田径比赛中，运动员的起跳和落地过程中会产生冲量，并改变运动员的速度。
通过分析动量和冲量的关系，我们可以研究运动员起跳和落地的力学特性。
总结：动量和冲量是力学中重要的概念，它们描述了力对物体运动状态的影响。
动量是物体运动的属性，冲量是力在时间上的积累。
动量和冲量之间存在着紧密的关系，冲量可以看作是动量的变化量。
在实际应用中，动量和冲量是研究物体运动和碰撞的重要工具。
大学物理 第四章 冲量和动量
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【例3】一质量为m的质点作匀速圆周运动，速率为v， 求：质点走过1/4圆弧的过程中，（1）合力对质点的冲 量大小；（2）合力对质点作功。 解：（1） （ 2）
2mv
0
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先考虑守恒。 ※动量守恒（合外力0）、 ※机械能守恒（非保守力不作功） 若不满足守恒条件，可选： ※牛顿第二定律 ※动能定理 ※动量定理 动能定理不显含时间，动量定理不显含位移
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F 10ti 2(2 t )j 3t k ，质点从静止开始运动，
2
求：（1）2s内受合力的冲量；（2）2s末的动量。
解：（1） I
2 0
[10ti 2(2 t )j 3t k ]dt
2
Fdt
t1
t2
(20i 4 j 8k )N s （2） I pt 2 pt 0
t1
t2
t1 t2
t1
m (F2 f 2 )dt m2v 22 m2v21 1
t2 t1
(F1 f1 )dt m1v12 m1v11
f1
F1
f2
m
2
F2
t2
(F1 F2 )dt (f1 f 2 )dt
(m1v12 m2v 22 ) (m1v11 m1v 21 )
【例4】一力F作用在质量为3kg的质点上，使之沿x轴
运动，运动方程
x 3t 4t t ，求：0---4s内
2 3
（1）力F的冲量大小；（2）力F对质点做功。
解： v 3 8t 3t 2
冲量、动量定理
冲量、动量定理冲量动量定理冲量：1，概念：⼒F 和时间t 的乘积叫做⼒F 在这⼀段时间内的冲量。
2，定义式：I=Ft3，单位：⽜秒，符号是NS4，对冲量的理解：（1）⽮量性：运算遵循平⾏四边形定则。
（2）过程性：是过程量。
（3）绝对性：⼒的冲量与参照物的选择⽆关。
动量定理1，内容：物体所受合⼒的冲量等于物体动量的变化2，表达式：0mv mv Ft t -=3，量定理适⽤于恒⼒，也适⽤于变⼒；对于变⼒，式中的F 应理解为变⼒在作⽤时间⾥的平均值。
如铁锤钉钉⼦。
例1如图所⽰，两个质量相等的物体从同⼀⾼度沿倾⾓不同的两个光滑固定斜⾯由静⽌⾃由滑下（α＞θ），到达斜⾯底端的过程中（）A ．两物体所受重⼒冲量相同B ．两物体所受合外⼒冲量不同C ．两物体到达斜⾯底端时动量相同D ．两物体到达斜⾯底端时动量不同例2恒⼒F 作⽤在质量为m 的物体上，如图所⽰，由于地⾯对物体的摩擦⼒较⼤，没有被拉动，则经时间t ，下列说法正确的是（）A ．拉⼒F 对物体的冲量⼤⼩为零B ．拉⼒F 对物体的冲量⼤⼩为FtC ．拉⼒F 对物体的冲量⼤⼩是Ft cosθD ．合⼒对物体的冲量⼤⼩为零例3⽔平⾯上有质量相等的a 、b 两个物体，⽔平推⼒F 1、F 2分别作⽤在a 、b 上.⼀段时间后撤去推⼒，物体继续运动⼀段距离后停下. 两物体的v ―t 图线如图所⽰，图中AB ∥CD . 则整个过程中A ．F 1的冲量等于F 2的冲量B ．F 1的冲量⼤于F 2的冲量C ．摩擦⼒对a 物体的冲量等于摩擦⼒对b 物体的冲量D ．合外⼒对a 物体的冲量等于合外⼒对b 物体的冲量例4篮球运动员接传来的篮球时，通常要先伸出两臂迎接，⼿接触到球后，两臂随球迅速引⾄胸前.这样做可以A ．减⼩篮球的动量变化率B ．减⼩篮球对⼿的冲量C ．减⼩篮球的动量变化量D ．减⼩篮球的动能变化量（2）⼈从⾼处跳到低处，为了安全，⼀般都是脚尖先着地，这样做的⽬的是为了A ．减⼩着地时所受冲量B ．使动量增量变的更⼩C ．增⼤⼈对地⾯的压强，起到安全作⽤D ．延长对地⾯的作⽤时间，从⽽减⼩地⾯对⼈的作⽤⼒例5质量为m的⼩球在竖直光滑圆形内轨道中做圆周运动，周期为T，则以下说法正确的是（）A．每运转⼀周，⼩球所受重⼒的冲量的⼤⼩为0 B．每运转⼀周，⼩球所受重⼒的冲量的⼤⼩为mgTC．每运转⼀周，⼩球所受合⼒的冲量的⼤⼩为0 D．每运转半周，⼩球所受重⼒的冲量的⼤⼩⼀定为mgT/2（2）下列运动过程中，在任意相等时间内，物体的动量变化量相等的是：A、匀速圆周运动B、竖直上抛运动C、平抛运动D、变加速直线运动例6⼀个质量为0.5kg的弹性⼩球，在光滑⽔平⾯上以l0m／s的速度垂直撞到墙上，碰撞后⼩球沿⼊射⽅向的相反⽅向运动，反弹后的速度⼤⼩与碰撞前相同。
大学物理力学第三章1动量与冲量
I
F
t
I
Fx
t2
x
t1
Fy
t
Iy t
2
1
F
I
t
mu一定
Ft 一定
0 t1
t2
面积相等
作用时间长 缓冲
由于力是随时间变化的，当变化较快 时，力的瞬时值很难确定，用一平均的力 代替该过程中的变力。
平均力的作用效果与这段时间内变力
的作用效果相同，用F~t 图表示，曲线下
面积，用与之相同的矩形面积来代替。
F外 0 时，P 常矢量
1.动量定理及动量守恒定律在不同的惯性系中 的形式不变。
2.式中的速度是同一惯性系中的速度；求和是 同一时刻的速度求和.
3.若某个方向上合外力为零，则该方向上动 量守恒。 4.当外力<<内力时（如碰撞、爆炸），动量 守恒。
5.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本 的定律，它在宏观和微观领域均适用。
篮板上，设碰撞时间t =0.01 s 求：篮板受到的
平均作用力。
解：对球用动量定理
x
P1
F t mv2 mv1
P2 ， I P1 P2 m v
I
F I t
600N
y
F 600i N
篮板受平均作用力。F 600i N
§3-2 质点系的动量定理 动量守恒定律
一、质点系 N个质点组成的系统-- 研究对象
用守恒定律作题， 应注意分析 过程、系统和条件。
例题1 已知船的质量 M=300kg , 人的质量m=60kg ,开始
船速V1=2 ms-2 ，人跳离后,船速V2=1 ms-1 求：起 跳时人相对于船的水平速度 v人-船。
解 v v v
1.动量冲量 动量定理
3. 动量定理往往讨论动量的变化量一定时,作用 力和作用时间的相互关系: 作用时间越短, 平 均相互作用力越大。一个力大于另一个力50倍 以上, 一般可以忽略 4. 解决物理问题的三条路:
①动力学即牛顿第二定律
②动量关系
③能量关系
1.如图所示，两个质量相等的物体在同一高度 沿倾角不同的两个光滑斜面由静止自由滑下， 到达斜面底端的过程中，两种情况以下物理量： A.重力的冲量 B.弹力的冲量 C.合力的冲量 D.刚到达底端时的动量 E.刚到达底端时的动能. F.重力的瞬时功率
动量和冲量
1. 冲量：力对时间的积累效应，是过程量； （与物体是静止，还是运动无关；） F △t ； 矢量； 单位：N.s 由牛顿第二定律及加速度定义得 F = ma = m △V/ △t 即 F △t =m △V 冲量影响物体质量和速度的乘积。 * 合外力冲量 F合 t = △P
2. 动量: 质量和速度的乘积, 动量 P = m V
例6.如图所示,质量为50g的小球以12m/s的水 平速度抛出,恰好与斜面垂直碰撞,其碰撞后的 速度的大小恰好等于小球抛出时速度的一半.小 球与斜面碰撞过程中所受到的冲量的大小是( ). A.1.4N· s C.1.3N· s B.0.7N· s D.1.05N· s C
练习1.质量为m，初速度为v0的物体作竖 直上抛运动，不计空气阻力, 在回到原位 置的全过程中，物体动量变化量的大小为 A．0 B．m vo （C ） C．2mvo D．以上都不对 练习2.做平抛运动的物体, 质量为 m , 初 速度为 Vo, 经过 t s, 速度变为Vt,,, t s 内物体动量的变化量. (动量变化量和合外力冲量两种方法解)
动量定理的应用
练习3. 一粒钢珠从静止状态开始自由下落，然 后陷入泥潭中，若把在空中自由下落的过程称 为1，进入泥潭直到停住的过程称为2，则： A.过程1中钢珠动量的改变量等于重力的冲量； B.过程2中阻力的冲量的大小等于过程1中重力的 冲量大小； C.过程2中阻力的冲量的大小等于过程1与过程2 中重力的冲量大小； D.过程2中钢珠的动量改变量等于阻力的冲量.
1.冲量与动量及动量定理
增加动量变化，并 减小作用时间，可 增加有用的作用力
用铁锤猛击放在“大力士” 身上的大石块，石裂而人 不伤，这是什么道理？
用铁锤猛击大石块，大石块受 到很大的打击力而破裂，根据动 量定理得 Ft mv 1 mv 0
石块虽然受到的作用力F很大， 但力作用时间极短，而大石块的 质量又很大，因而引起的速度变 化就很小，即大石块几乎没有向 下运动，而且石块与人的身体接 触面积又较大，据 P F / S ，
动量、冲量、动量定理
去掉这些海绵 垫可以吗？为米多高的地方落到地板上，肯 定会被打破，现在，在地板上放一块泡沫 塑料垫，让鸡蛋落到泡沫塑料上，会看到 什么现象？你能解释这种现象吗？
生活中的这些现象都是什么原理呢？
质量为M 的物体在水平恒力F 的作用下，经过时间t，速度由v0 变为 vt
二、动量定理
1. 动量定理： 物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化量
公式： I = Δp
常用形式：Ft
mvt mv0
P 由上述公式变形可得：F （牛二定律的动量形式） t
现代物理学把力定义为物体动量的变化率， 反应物体动量变化的快慢：
应用举例
1、用锤子使劲压钉子，就很难 把钉子压入木块中去，如果用锤 子以一定的速度敲钉子，钉子就 很容易钻入木块，这是为什么？
（2）选择初、末状态，判断对应的动量
（3）分析过程中的各力冲量，规定正方向
（4）动量定理描述运动模型
（5）求解方程
（6）对结果进行必要地分析或讨论。
冲量与功 冲 量 功 力的积累 对时间的积累 对空间的积累 I=Ft W=Fs cosα 定义式 矢、标量性 矢量 标量 联系的量 动量增量 动能增量 某力对物体做了功，该力一定有冲量； 而某力有冲量，该力却不一定做了功。
动量和冲量、动量定理
第一讲、动量和冲量动量定理【基础再现】一、动量和冲量1、动量（1）定义：运动物体的叫动量，p= ，动量的单位：。
（2）物体的动量表征物体的运动状态，所以它是量，其中的速度为速度，通常以地面为参考面。
（3）动量是量，其方向与的方向相同，两物体的动量相同是必须大小相等，方向相同。
（4）动量和动能的区别动量动能相同点和速度一样都是描述物体运动状态的物理量，都是状态量。
不同点V的大小或方向改变都可以让P变。
是矢量动量p的改变是力在时间上的积累V的大小变，动能变。
是标量动能Ek是力在空间（位移）上的积累联系P2=2mEk2、动量的变化(1)△p=P t-P0=mv2-mv1（矢量式，注意方向）（2）是矢量，其方向和方向相同，与合外力方向，与动量的方向无关。
由合外力方向决定。
（3）动量变化率物体所受的合外力F等于物体动量变化率：。
3、冲量（1）定义：，叫做该力的冲量，I= ，（适用恒力，变力用平均值，图像法）单位：。
（2）冲量是量，它表示力在一段时间上的积累。
（3）冲量是量，其方向由方向决定，如果在作用时间内力的方向不变，冲量的方向就与力的方向相同。
求冲量时，一定要注意明确是哪个力在哪段时间内对哪个物体的冲量。
（4）冲量和功的区别冲量是矢量，功是矢量。
冲量是力在时间上的积累，功是力在空间上的积累。
二、动量定理（1）物体所受的，等于这个物体运动的，这就是动量定理。
表达式：F合= 。
（2）动量定理的研究对象是物体，或是单个物体的系统，但是高中只要求用来研究单个物体的冲量或动量变化。
（3）动量定理中F是物体所受的合外力。
可以是恒力，也可以是变力。
当合外力是变力时，可以先求出合外力的平均值再求冲量。
（4）运用A、定性分析有关现象B、定量计算有关物理量①两种类型已知动量或是动量变化，求合外力的冲量。
已知合外力的冲量求动量或是动量的变化量。
②运用动量定理的计算步骤 选定研究对象，明确运动过程进行受力分析和运动的初、末状态分析 选定正方向，根据动量定理列方程【典型例题】 一、动量 例1：质量为m=1kg 的小球，从高H=5cm 处，自由下落，小球落到泥沙并下陷h=1cm 静止，求（1）小球从开始下落到与泥沙接触的前这段时间内动量变化； （2）小球与泥沙作用的这段时间内动量变化；（3）小球从静止开始下落到静止在泥沙中的这段时间内动量变化。
动量冲量动量定理
取鸟为研究对象，因撞击时间极短，因此可认为撞 击时间内，鸟受到飞机对它的撞击力为F.根据动量定 理可得：
F·t=mv1-mv0
F=(mv1-mv0)/t=1.0×600/2.5×10-4N=2.4×106N.
这里所求出的撞击力F，实际上只是撞击时间内的 平均值，可近似认为撞击力的峰值Fm=2F=4.8×106N.
【例2】如图5-1-3把重物G压在纸带上，用一水平 力缓缓拉动纸带，重物跟着一起运动；若迅速拉动 纸带，纸带将会从重物下面抽出，解释这些现象的 正确说法( CD )
A.在缓缓拉动纸带时，重物和纸带间的摩擦力大
B.在迅速拉动时，纸带给重物的摩擦力小
C.在缓缓拉重物的冲量可能小
3.牛顿第二定律的动量表达式为F=(p′-p)/△t，要 用其解释一些生活中现象.(如玻璃杯落在水泥地摔碎 而落在地毯上无事)
4.应用动量定理解题的步骤： （1）选取研究对象； （2）确定所研究的物理过程及初、末状态； （3）分析研究过程中物体的受力情况； （4）根据动量定理形式，规定正方向； （5）解方程、统一单位、求解.
【例5】据报载：1962年，一架“子爵号”客机，在 美国伊利奥特市上空与一只天鹅相撞，客机坠毁，十 七人丧生，1980年，一架英国“鸽式”战斗机在威夫 士地区上空与一只秃鹰相撞，飞机坠毁，飞行员弹射 逃生.
小小的飞禽何以能撞毁飞机这样的庞然大物？下面我 们通过简要计算来说明这一问题.
【解析】设鸟的质量m=1.0kg，鸟的身长L=15cm（除 去毛），鸟与飞机相撞面积S=0.01m2，相撞前鸟的速 度约为0（因远小于飞机速度），相撞后其速度与飞 机相同.飞机飞行速度v=600m/s（现代超音速飞机的 飞行速度是声速的二到三倍），因飞机质量M >m,故 相撞过程中飞机速度不变，因此，撞击时间 t=L/v=0.15/600s=2.5×10-4s.
动量和冲量动量定理
一、动量和冲量·动量定理 一、动量、冲量1.动量：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量.即p ＝mv .是矢量，方向与v 的方向相同.两个动量相同必须是大小相等，方向相同。
注意：动量、动能和速度都是描述物体运动的状态量.动量和动能的关系是：p 2＝2mE k .2.冲量：力和力的作用时间的乘积Ft ，叫做该力的冲量.即I ＝Ft .冲量也是矢量，它的方向由力的方向决定.如果在作用时间内力的方向不变，冲量的方向就是力的方向。
二、动量定理物体所受合外力的冲量等于它的动量的变化.Ft ＝p ′－p 或Ft ＝mv ′－mv【说明】 (1)上述公式是一矢量式，运用它分析问题时要特别注意冲量、动量及动量变化量的方向.譬如，一质量为m 的乒乓球以速度v 水平地飞向墙后原速弹回，其动能的变化量为零，但其动量的变化量却是2mv 。
(2)动量定理的研究对象可以是单个物体，也可以是物体系统.对物体系统，只需分析系统受的外力，不必考虑系统内力.系统内力的作用不改变整个系统的总动量.(3)动量定理是根据牛顿第二定律F ＝ma 和运动学公式v t ＝v 0＋at ，在设力是恒定的情况下推导出来的。
因此，用牛顿第二定律和运动学公式能解的恒力作用下的匀变速直线运动的问题，凡不涉及加速度和位移的，用动量定理也能求解，且较为简便。
但是，动量定理不仅适用于恒力作用的过程，也适用于随时间变化的力作用的过程.对于变力，动量定理中的力F 应当理解为变力在作用时间内的平均值.(4)根据F ＝ma 得：F ＝ma ＝m tp p t v v ∆-'=∆-' 即：F ＝tp ∆∆ 这是牛顿第二定律的另一种表达形式：合外力F 等于物体动量的变化率t p ∆∆ 三、用动量定理解释现象 用动量定理解释的现象一般可分为两类：一类是物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小。
一类是作用力一定，此时力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小.分析问题时，要把哪个量变化搞清楚.●疑难辨析1、Δp ＝p ′－p 指的是动量的变化量，不要理解为是动量，它的方向可以跟初动量的方向相同(同一直线，动量增大)；可以跟初动量的方向相反(同一直线，动量减小)；也可以跟初动量的方向成某一角度，但动量变化量(p ′－p ）的方向一定跟合外力的冲量的方向相同.2、（1）应用动量定理I =Δp 求变力的冲量：如果物体受到大小或方向改变的力的作用，则不能直接用Ft 求变力的冲量，而应求出该力作用下物体动量的变化Δp ，等效代换变力的冲量I .例如质量为m 的小球用长为r 的细绳的一端系住，在水平光滑的平面内绕细绳的另一端做匀速圆周运动，速率为v ，周期为T .向心力F ＝Rv m 2在半个周期的冲量不等于22T R v m ，因为向心力是个变力(方向时刻在变).因为半个周期的始、末线速度方向相反，动量的变化量是2mv ，根据动量定理可知，向心力在半个周期的冲量大小也是2mv ，方向与半个周期的开始时刻线速度的方向相反.（2）应用Δp =F ·Δt 求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化：在曲线运动中，速度方向时刻在变化，求动量的变化（Δp =p 2-p 1）需要应用矢量运算方法，比较麻烦，如果作用力是恒力，可以求出恒力的冲量等效代换动量的变化.如平抛运动中动量的变化问题.3、用动量定理解题的基本思路(1)确定研究对象.在中学阶段用动量定理讨论的问题，其研究对象仅限于单个物体.(2)对物体进行受力分析.可以先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和——合力的冲量；或先求合力，再求其冲量.(3)抓住过程的初末状态，选好正方向，确定各动量和冲量的正负号.(4)根据动量定理列方程.如有必要，还需要其他补充方程式.最后代入数据求解。
大学物理第四章冲量动量
dmg
在dt时间内,dm的速度减小到零。在dt时间内动量增量为： dp 0 dmv M dx 2gx
L 由动量定理 (dmg T )dt M dx 2gx
L
由于dmg远小于 T 将dmg略去不计，得
T M dx 2gx M v 2gx M 2gx
L dt
L
L
T 为T的反作用力，所以二者大小相等：
解：(1)以落在桌面上的那部分绳为对象，其长度为x
x
质量为 m M x
L
受力情况： 由平衡条件：
N
Mt xg T N 0 L
N Mt xg T (1) T为上段绳的作用力
m
m
L
T
(2)设在dt内绳下落dx。以dx为对象
mg 质量为 dm M dx
T
L
设dm接触地面时初速度为v v 2gx
当 m自由下落 h 距离，绳被
m
拉紧的瞬间，m和 M获得相同
M
h
的运动速率 v ，此后m 向下
减速运动，M 向上减速运动。
绳拉紧时冲力很大，轮轴反作用力
不能忽略 ，m M 系统动量不守恒 ，+
应分别对它们用动量定理；
N
设平均冲力大小为 F ，取向上为正
F
F+
M
Ny
Nx m
h
Mg
mg
I1 F mg t mv ( m 2gh )
地球构成系统：
只有重力作功 M
机械能守恒
+
m
h
M
H
m
h H
1. 拉紧瞬间
2.上升和下降同样的距离H
1 Mv 2 1 mv 2 mgh mg( h H ) MgH
大学物理-力学中的动量
第2级火箭脱落时，火箭组的速率为
V2 = V1 + uln N2 = ulnN1 + ulnN2 = u ln( N 1N 2 )
第 n 级火箭脱落时，火箭组的速率为
Vn = u ln( N1N 2 " N n ) (N1>1, N2>1, · · · Nn>1)
§4 质心 ( Center of Mass)
例：任意三角形的每个顶点有一质量 m，求质心
y
（x1，y1）
o
x2
x
xc
=
mx1 + mx2 3m
=
x1
+ x2 3
yc
=
my1 3m
=
y1 3
例：求半径为 R 的半圆形铁丝的质心。(Semicircular Hoop)
解
xc
=
∫
xdm m
yc
=
∫
ydm m
dm = λdl = m dl = m Rdθ
K M ,V
dm
GG
M − dm,V + dV
K
K
K
x
V气地 = V气箭 + V箭地
P0 = P1 + P2
MV= （M–dm）(V+dV)+ dm(V+dV – u)
MV= MV–Vdm + MdV– dmdV+Vdm +dmdV– udm
MdV = udm
dm = – dM
MdV= – udM
M dV = – u dM
T
m v0 m vm
T
M vM
Δp
mg
Δp
Mg
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N
h
解：以重锤为研究对象，分析受力， 作受力图：
Mg
动量定理
解法一：锤对工件的冲力变化范围很大，采用 平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。 在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。
( N Mg ) Mv Mv0 初状态动量为 M 2 gh 末状态动量为0
得到 ( N 解得
2 1
动量定理
得到积分形式
I p2 p1
这就是动量定理：物体在运动过程中所受到 的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。 几点说明： (1)冲量的方向：
冲量I 的方向一般不是某一瞬时力 F i
而是所有元冲量
的方向，
的合矢量 F dt
dt t1 F的方向。
t2
动量定理
Mg ) M 2 gh
N Mg M 2gh /
3
代入M、h、的值，求得： (1)
N 3 10 (9.8 2 9.8 1.5 / 0.1) 5 1.92 10 牛顿
动量定理
(2)
N 3 10 (9.8 2 9.8 1.5 / 0.01) 6 1.9 10 牛顿
打击或碰撞，力 F 的方向保 F
t1
t2 t
动量定理
(4)动量定理在处理变质量问题时很方便。 (5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其 适用范围是惯性系。 (6)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。
例 题 2-6 质 量 M=3t 的 重 锤 ， 从 高 度 h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工 件发生形变。如果作用的时间(1)=0.1s， (2)=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。
P mi vi 常矢量
i
注意： 1.定律成立的条件：不受外力（或合外力为零）。 2.系统内部作用对系统总动量无影响 3.有相应的分量式
4.动量守恒定律的适用范围要大于牛顿运动定律
动量守恒定律的应用
用火箭发射卫星
变质量问题
变质量问题的处理方法 (1)确定研究系统 (2)写出系统动量表达式 (3)求出系统动量变化率 (4)分析系统受力
§2-5 冲量 动量 动量定理
1. 动量定理
重写牛顿第二定律的微分形式
F dt d p
2
考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分
p t F d t p d p p2 p1 t2
1 1
左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。
t I t F d t
a
x
O
xg
N
dP F xg 3ax dt F xg 3xa
(l x) g
变质量问题
例2：列车在平直铁轨上装煤,列车空载时质量为m0,煤炭 以速率v1竖直流入车厢,每秒流入质量为。假设列车与轨 道间的摩擦系数为,列车相对于地面的运动速度v2保持不 变,求机车的牵引力。
(5)应用动量定理求解
例1：匀加速提柔软链条 例2：装煤车的牵引力
变质量问题
例1：一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量 为，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住 链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。当链条端点 离地面的高度为x时，求手提力的大小。
解：以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立 坐标系。 t时刻，系统总动量 P xv X v
dx dv dP d (xv) v x dt dt dt dt
a
x
O
v ax
2
变质量问题
系统动量对时间的变化率为：
dP 2ax ax 3ax dt
t时刻，系统受合外力
F xg N (l x) g
X
F
F xg
根据动量定理，得到
(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程
I x t1 Fx d t mv2 x mv1x
t2
I y t1 Fy d t mv2 y mv1 y
t2
I z t1 Fz d t mv2 z mv1z
t2
(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。
持不变，曲线与t轴所包围的面积 就是t1到t2这段时间内力 F 的冲量 F 的大小，根据改变动量的等效性， 得到平均力。
解： 车和煤为系统,向下为Y正向， 向左为X正向，建立坐标系。 v2 tt+dt时刻，dm = dt
X
v1
Y
P (t ) (m0 t )v2 dt v1 P (t dt ) (m0 t dt )v2 dP P (t dt ) P (t )N (m0 t ) g dt 1 v 2 v1
竖直
变质量问题
(m0 t ) g N v1 N v1 (m0 t ) g
X
水平
F f v2
F v2 f
v2
N v1
3
解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过 程，动量变化为零。 重力作用时间为
2h / g
支持力的作用时间为 根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，即
N Mg ( 2h / g ) 0
得到相同的结果
N Mg M 2gh /
动量守恒定律
2. 动量守恒定律
若质点系所受的合外力（或合外力的冲量）为 零，质点组的总动量将保持不变，即当 Fi 0 时， 质点组总动量：
F f
Y
v2 N
(m0 t ) g (v2 v1 )
(m0 t ) g