初中数学竞赛讲座之数论初步(一)

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数论初步PPT课件

代数数域的构建
Baidu Nhomakorabea
代数数域的定义
代数数域是具有某种代数结构的域，通常是由有理数域通过添加代数数得到的。
代数数域的构建方法
通过添加代数数，可以得到不同的代数数域，如添加二次方程的根可以得到二次数域，添加更高级的方程的根可以得到更高级的代数数域。
代数数域的性质
代数数域具有一些重要的性质，如封闭性、完备性等，这些性质对于研究代数数论和数学其他分支都有重要的意义。
06 数论在其他领域的应用
数论在密码学中的应用
加密算法
数论中的一些重要概念，如模运算、费马大定理等，被广泛应用于加密算法的设计中，如RSA算
法。
密钥交换
利用数论中的一些定理和概念，可以实现安全的密钥交换，保证通信双方能够安全地交换密钥。
数字签名
数字签名是验证信息发送者身份的一种方法，基于数论中的一些理论，如离散对数等，可以实现
现代数论
20世纪以来，数论不断与其他数学分支和物理学等领域交叉融合，发展迅速。
数论的应用领域
密码学
数论在密码学中有着广泛的应用，如RSA公钥
密码算法。
计算机科学
数论在计算机科学中用于实现数据加密、网络
安全等领域。
物理学
数论在物理学中用于描述量子力学和弦理论的
数学结构。

初中奥数数论基础知识

1、质数有无限多个； 2、除2以外的全体质数都是正奇数，除2以外的全体正偶数都是合数； 3、大于1的整数的所有约数中，1以外的最小正约数一定是质数； 4、如果a是合数，那么a的最小质因数一定不大于 §1.6 算术基本定理每一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。
把一个合数用质因数的连乘的形式来表示，叫做分解质因数。分解质因数有下面一个重要的定理：
奇数就是通常所述的单数，偶数就是通常所说的双数；
一般的，一个整数如果能被2整除就叫做偶数，如果不能被2整除（即被2除余1）就叫做奇数；偶数可以记作2n，奇数可以记作2n-1或2n+1（n为整数）；奇数和偶数有一些十分简单又明显的性质：
1、奇数不等于偶数； 2、奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数； 3、奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意多个偶数的和都是偶数；
算术基本定理：任何一个正整数N>1，都能分解成质因数的连乘积，即： = · ·⋯· ，（n≥1）
其中p1，p2，⋯，pn为互不相等的质数，α1，α2，⋯，αn是正整数；如果不考虑顺序，则这个分解式是的。 §1.7 公约数与最小公倍数对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都能整除它们中的每一个数，所以1、2、4都是它们的公约数，其中4是这些公约数中
= + −1 −1+⋯+ 1 + 0 ≡0（mod ）叫做模m的同余方程。是同余方程成立的x的值叫做同余方程的解。显然，若x=c是同余方程 ≡0（mod ）的一个解，则剩余类c mod m中的每一个数都是这个方程的解。

“初等数论初步”简介“初等数论初步”简介

“初等数论初步”简介

初等数论是研究整数的性质和不定方程（组）的整数解的一门学问，它与几何学是最古老的两个数学分支。初等数论中至今仍有许多没有解决的问题，如哥德巴赫（Goldbach）问题，孪生素数猜想，奇完全数的存在性问题等，它们对人类智慧产生了极大挑战。人们在解决一些初等数论问题的过程中所作的贡献，对数论乃至整个数学的发展起了重要的推动作用，产生了一些直接与数学有关的新的重要数学分支。初等数论在计算机科学和信息工程中有许多重大的实际应用。在本专题中，同学们将通过具体的问题，学习初等数论的一些基本知识，如有关整数和整除的知识，用辗转相除法求解一次同余方程（组）和简单的一次不定方程等，初等数论中蕴含的一些思想方法，以及我国古代数学在初等数论的研究方面取得的一些重要成就。

一、内容与课程学习目标

本专题的学习初等数论的一些基本知识，具体包括：整数的整除、同余与同余方程、一次不定方程和数论在密码中的应用四部分内容。通过本专题的学习，要引导学生：

1．通过实例，认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。体会剩余类运算与传统数的运算的异同（会出现零因子）。

2．理解整除、因数和素数的概念，了解确定素数的方法,如埃拉托斯特尼（Eratoshenes）筛法，知道素数有无穷多个。

3．了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法,如弃九验算法。

4．通过实例，探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a能整除bc，且a,b互素，则a能整除c。探索公因数和公倍数的性质。了解算术基本定理。

初中数论30讲

初中数论30讲是一个针对初中学生的数论课程，它涵盖了数论中的基础知识和重要概念。以下是初中数论30讲的大致内容：

第1讲：整数的概念和性质

整数的定义和表示

整数的性质和运算规则

第2讲：整除与因数

整除的概念和性质

因数和质因数的概念及求法

第3讲：最大公因数与最小公倍数

最大公因数的概念及求法

最小公倍数的概念及求法

第4讲：分数与小数的互化

分数和小数的关系及互化方法

第5讲：同余与余数

同余的概念和性质

余数的概念及求法

第6讲：中国剩余定理及其应用中国剩余定理的原理及应用

第7讲：完全平方数与平方根

完全平方数的概念及性质

平方根的概念及求法

第8讲：一次方程的解法及应用一元一次方程的解法及实际应用题

第9讲：一元二次方程的解法及应用

一元二次方程的解法及实际应用题

第10讲：不等式与不等式组

不等式的概念及性质

不等式组的解法及实际应用题

……以此类推，直至第30讲。每一讲都涵盖了该主题的基础知识和重要概念，并通过例题和练习题帮助学生加深理解和掌握。

初中数论30讲是一个全面、系统的数论课程，通过学习这门课程，学生可以建立起坚实的数论基础，为进一步学习数学和其他学科打下良好的基础。

初中数学竞赛讲座——数论部分1(进位制)

第一讲正整数的表示及进位制

一、基础知识：

1．我们通常接触的整数都是“十进制”整数，十进制计数法就是用0，1，2…9十个数码，采用“逢十进一”的法则进行计数的方法。例如1999就是一个一千，9个一百，9个十，9个1组成的，故1999这个数也可以表示为：

1999=1×1000+9×100+9×10+9

底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：

100=1(个位上的数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)，102=100(百位上的数---第3位)，…10n(第n+1

位上的数)

故1999=1×103+9×102+9×101+9×100

a记作：

a=10n-1+…+102a n-2+10

其中最高位a1≠0，即，其它则是0≤a1，a

．各位上的数字相同的正整数记法：

999=1000－1104－1，∴999

n个

＝10n-1

111

n个＝

101

，333

n个

＝

555

n个

＝

5(101)

解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据

示0到9的整数这一性质进行讨论。

．二进制及其它进制

二进制即计数法就是用0，1两个数码，采用“逢二进一”的法则进行计数的方法。例如二进制中的111记为(111)2

111=1×22+1×2+1=7

a )2记作：

a=2n-1××a3+…+22×a

其中最高位a1≠0，，其它则是0≤a1，a2，

位数(n为正整数

a )b记作：

a=b n-1××a3+…+b2×a

其中最高位a1≠0，，其它则是0≤a1，

（一）十进制转二进制（整数部分）

初等数论-第一章

2、整除的基本定理
定理1（传递性）：ab，bc ac
定理2：若a，b都是m的倍数，则ab都是m的倍数
定理 3若 a 1 ,a 2 , ,a n 都是 m 的倍数， q 1 ,q 2 , ,q n 是任意 n 个整数，则 a 1 q 1 a 2 q 2 a n q n 是 m 的倍数
例 2 、证明：若 n 是正整数，则 2 1 n 4 是既约分数。 1 4 n 3
证明：因为（ 2 1 n 4 , 1 4 n 3 ) ( 7 n 1 , 1 4 n 3 )
( 7 n 1 ,7 n 2 ) ( 7 n 1 ,1 ) 1 所以，命题得证。
证：设这 5个数为 ai,i1, ,5，记 ai 3qi ri， 0ri 3, i1, ,5。分别考虑以下两种情形：
(i)若在r1, ,r5中数0， 1， 2都出现，不妨设
r1 0,r2 1,r3 2，
此时
a1a2 a3 3(q1q2 q3)3
可以被3整除。
(ii)若在r1, ,r5中数0， 1，2至少有一个不出现，
设 a , b 是整数， b 0 ，依次做带余数除法
ab q 1r1 ， 0r1b ， br1 q 2r2 ， 0r2r1 ，
r k 1 r k q k 1 r k 1 ， 0 r k 1 r k，

初中数学中的数论初步(初中数学培优)

第1章整除

在日常生活中，我们会过到许多有趣而又耐人寻味的问题：

某同学到文具店买了七个一角二分钱的本子、五个六分钱的铅笔和三个活页夹子。售货员收了他三元钱，并找还三角七分钱。这个同学马上对售货员说：“您的账算错了！”你能知道他为什么这样快就知道“算错了账”吗？

排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时，队形都能成为矩形，问最少需要多少人参加团体操的排练？

§1.1 十进制整数

在小学数学中，我们主要学习的是整数的运算，思考整数是怎样表示的？“逢十进一”是什么意思？

我们通常接触到整数都是十进制的整数。十进制计数法就是采取逢十进一的法则进行计数的方法。例如，1995就是由1个一千，9个一百，9个十和1个五组成，因此1995这个数就可以写成

那么对于任意一个n+1位的正整数怎样用这种形式表示？

为了表示方便，我们经常把用字母表示数字的多位数，在这个多位数上面加一个横线，以避免和乘法混淆，例如，就表示一个五位数。

§1.2 数的整除

设有两个整数a，b（b≠0），若有另一整数q，使得，则称a被b 整除；或b能整除a；若a被b整除，也成a是b的倍数；b是a的约数，并记

作b|a.若a不能被b整除，则记作.

我们曾经学过下述有关整除的判别法则：

1、被2或5整除的数的特征是末位数字能被2或5整除；

2、被4或25整除的数的特征是末两位数字能被4或25整除；

3、被8或125整除的数字的特征是末三位数字能被8或125整除；

4、被3或9整除的数的特征是个位数字的和能被3或9整除；

5、被11整除的数的特征是其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被

初中数论讲义

（2）5 堆是可以保证．因为苹果和梨数的奇偶性有且只有上述 4 种可能，当把这些苹果和梨分成 5 堆时，必有 2 堆属于同一奇偶性，其和苹果数与梨数都是偶数．
例 4 有 n 个数 x1, x2 ,L, xn−1, xn ，它们中的每一个要么是 1 ，要么是 −1 ．若
……
1
例 1 （1906，匈牙利）假设 a1, a2 ,L, an 是1, 2,L, n 的某种排列. 证明：
如果 n 是奇数，则乘积 (a1 −1)(a2 − 2)L(an − n) 是偶数．解法 1 （反证法）假设 (a1 −1)(a2 − 2)L(an − n) 为奇数，则 ai − i 均为奇数，奇数个
8381 1015
= =
172 × 29 5× 7 × 29
⇒
(
8381,1015)
=
29,
[8381,1015]
=
5
×
7
×17
2
×
29
=
293335
方法 2 辗转相除法．
8 8381 1015 3 8120 783
1 261 232 8 232 232 29 0
q2 = 3 q3 = 1 q2 = 3 q1 = 8 232 261 1015 8381
x1x2 + x2 x3 +L +L + xn−1xn + xn x1 = 0 ，求证 4 | n ．

初一数学竞赛讲座(一)自然数的有关性质

一、知识要点

1、 1、最大公约数

定义1 如果a1,a2,…,an和d都是正整数，且d∣a1,d∣a2,…, d∣an ，那么d叫做a1,a2,…,an的公约数。公约数中最大的叫做a1,a2,…,an的最大公约数，记作(a1,a2,…,an).

如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公约数，但4是这些公约数中最大的，所以4是它们的最大公约数，记作(4,8,12)=4.

2、 2、最小公倍数

定义2 如果a1,a2,…,an和m都是正整数，且a1∣m, a2∣m,…, an∣m，那么m叫做a1,a2,…,an的公倍数。公倍数中最小的数叫做a1,a2,…,an的最小公倍数，记作[a1,a2,…,an].

如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作[4,8,12]=24.

3、 3、最大公约数和最小公倍数的性质

性质1 若a∣b,则(a,b)=a.

性质2 若(a,b)=d,且n为正整数，则(na,nb)=nd.

性质3 若n∣a, n∣b,则 .

性质4 若a=bq+r (0≢r<b), 则(a,b)= (b,r) .

性质4 实质上是求最大公约数的一种方法，这种方法叫做辗转相除法。

性质5若b∣a,则[a,b]=a.

性质6若[a,b]=m,且n为正整数，则[na,nb]=nm.

性质7若n∣a, n∣b,则 .

4、 4、数的整除性

定义3 对于整数a和不为零的整数b，如果存在整数q，使得a=bq 成立，则就称b整除a或a被b整除，记作b∣a，若b∣a，我们也称a是b倍数；若b不能整除a，记作ba

初中数学竞赛中的数论初步

数论是数学中一个重要的分支，它涉及许多问题，如素数分解、同余关系、算术平衡、因子分解等。作为一个抽象的学科，它在数学竞赛中至关重要，使得学生们能够积累丰富的知识，并运用它们来解决复杂的问题。

在初中阶段，数论一般介绍一些简单的基础知识，主要包括基本的整数计算，比如整除、分解质因数、最大公约数等，以及一些诸如费马小定理、欧拉函数、素数表示等复杂的概念。同时，初中还引入了许多实际应用的概念，如计算机图形、排列组合、几何图形等。这些概念对学生来说都是新鲜的，可以作为重要的知识积累。

在数学竞赛中，数论的应用特别重要。一些复杂的题目的答案依赖于数论的技巧，而实现这些技巧需要许多基础知识的积累。因此，在竞赛中，学生需要掌握许多数论的基础知识，以便在比赛中设计出有效的解决方案。此外，学生还需要结合几何、排列组合、代数等其他方面的概念，来解决更加复杂的题目。

初中数学竞赛除了要求学生掌握数论的基本知识，还要求其学会实际操作，因此在比赛过程中，学生需要以更高的效率来完成题目的求解。这就要求学生更好地掌握数论的技巧，比如要掌握欧拉函数和欧拉等式在数学比赛中的应用，也要掌握因式分解、费马小定理等概念，以及分解质因数、素数表示等概念。

此外，有效的解题技巧也是数学比赛的关键，学生需要更多的练习以提高自己的水平，尤其是针对相同题型题目的复习和训练，还可

以总结和掌握新解题技巧，便于在以后的数学比赛中更胜一筹。

总之，数论是初中数学竞赛中的重要一环，它不仅要求学生掌握数论的基础知识，还要求他们有效求解题目，掌握解题技巧，这种能力对学生以后参加数学比赛乃至学习数学都有重要意义。

数论初步精品文档

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数论与几何的联系：数论中的许多问题可以通过几何方法来解决，例如用几何方法求解面积、体积等。
数论与分析的联系：数论中的许多问题可以通过分析方法来解决，例如用分析方法求解极限、导数等。
数论在物理学中的应用
数论在量子力学中的应用：量子数、角动量等概念与数论紧密相关
数论在弦理学中的应用：弦理学中的对称性与数论中的群论有密切联系
3
数论的应用
在密码学中的应用
数论在密码学中的应用广泛，如 RSA加密算法、椭圆曲线加密算法等
椭圆曲线加密算法：基于数论中的椭圆曲线理论，用于加密和解密信息
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RSA加密算法：基于数论中的大数分解问题，用于加密和解密信息
数论在密码学中的应用不仅限于加密和解密，还可以用于密钥管理、数字签名等领域
数论在数学竞赛中的重要性
数论在数学竞赛中的常见题型和解题方法
数论在数学竞赛中的创新应
用
数论在数学竞赛中的发展趋
势和挑战
在日常生活中的应用
密码学：数论在密码学中有广泛应用，如RSA加密算法
游戏：数论在游戏中也有应用，如数独游戏
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计算机科学：数论在计算机科学中也有广泛应用，如算法分析和设计

初一数学竞赛讲座 2 初一数学竞赛讲座⑴数论的方法与技巧

初一数学竞赛讲座 2 初一数学竞赛讲座⑴数论的

方法与技巧

导读：就爱阅读网友为您分享以下“初一数学竞赛讲座⑴数论的方法与技巧”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持!

（1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；（2）从左到右两位一节组成若干个两位数；（3）划去这些两位数中的合数；（4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；（5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。问：经过1999次操作，所得的数字串是什么？

解：第1次操作得数字串711131131737；第2次操作得数字串11133173；第3次操作得数字串111731；第4次操作得数

字串1173；第5次操作得数字串1731；第6次操作得数字串7311；第7次操作得数字串3117；第8次操作得数字串1173。

不难看出，后面以4次为周期循环，1999=4×499+3，所以第1999次操作所得数字串与第7次相同，是3117。

例11 有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？分析与解：可以从简单的不失题目性质的问题入手，寻找规律。列表如下：

设这一摞卡片的张数为N，观察上表可知：

（1）当N=2（a=0，1，2，3，?）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张，即第2张；

（2）当N=2+m（m＜2）时，剩下的这张卡片是原来那一摞

初等数论(1)整除

初等数论（1）----数的整除

初等数论又称初等整数论，它的研究对象是整数集。整数是小学就接触的一类数，但是关于数论的问题却是最难解决的。

1、整数的离散性：任何两个整数,x y 之间的距离至少为1，因此有不等式1x y x y <⇔+≤。

2、整数的奇偶性：

将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m （m ∈Z ），任一奇数可表为2m+1或2m －1的形式.

关于奇数和偶数，有下面的性质：

（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；

（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；

（3）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；

奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；

奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；

（4）两个整数的和与这两个整数的差有相同的奇偶性；

（5）奇数的平方都可表为81m +形式，偶数的平方都可表为8m 或84m +的形式（m ∈Z ）. （6）任意两个整数的平方和被4除余数不可能是3.

（7）任意两个整数的平方差被4除余数不可能是2.

以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.

数的整除

一、知识点讲解

1、设,a b 是整数，0b ≠，若存在整数q ，使得a bq =，则称b 整除a ，记为|b a ，并称b 是a 的一个约数（或因子），而a 是b 的倍数。如果不存在上述的整数q ，则称b 不整除a ，记作†b a 。

补充：关于整除的一些小结论：

一个整数被2，3，4，5，7，8，9，11，13等整除的特征.

初等数论1——整除性

第四讲初等数论1——整除性

本讲概述

数论是数学中极其重要又非常迷人的一个分支，目前我们仅学习初等数论中较浅的内容.

初等数论是数学竞赛四大模块中较难以掌握的模块之一，在数学竞赛中占据极其重要的位置.特别是联赛改制以后，二试必考一道50分的数论大题，一试也会有一到两道数论方面的问题.数论与组合水平如何是大家能否获得联赛一等奖甚至更好成绩的关键.

初等数论这块的竞赛问题涉及到的知识点极少，甚至可以说绝大部分同学在小学初中的培训中基本都接触过.但是限于初中的知识面和同学的年龄，考试中一般不出现较为深入、难度较高的数论问题.到了高中，大家将复习小学初中阶段的数论知识，并将其中的很多知识更为理论化、系统化.高中的数论问题难度也会明显增高. 但是在数论这一模块中，我们并不提倡大家过多地掌握很多高深的数论知识，而是提倡大家真正去灵活熟练地运用最基本、最重要的数论基础知识和重要定理来解决问题.

由于同学们在小学、初中都已经学过不少关于初等数论的初步知识，所以这里我们把大家比较熟悉的知识都罗列在下面，对其中大部分定理将不给出证明，直接给出结论.

如果不特别说明，本讲中所有字母均代表正整数.

一、整除

1．整除的定义

两个整数a和b(b≠0)，若存在整数k，使得a=bk，我们称a能被b整除，记作b|a．此时把a叫做b

Œ．的倍数，b叫做a的约数．如果a除以b的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a 2．数的整除特征

（1）1与0的特性：

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a．

0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a|0．

2021年小升初奥数22讲-第1讲数论初步

第1讲数论初步

知识要点

研究整数性质的数学分支叫数论，它是数学竞赛中的一项重要内容.要解答这方面的问题，首先应熟悉关于整数的某些知识，此外还要掌握解决问题的基本方法和技巧，后者自然是更重要的，本讲主要介绍数的整除和余数问题.

对整数a 和b （b 不为0），如果存在一个整数q ，使a b q =⨯，则称a 被b 整除，否则就称a 不能被b 整除，例如：7289=⨯，于是72被8（或9）整除.

性质一若c a |，c b |，则()c ma nb |±，这里m ，n 是任意整数.

性质二若c a b |•，且()c b 1=，，则c a |.

性质三若b a |，c a |，且()b c 1=，，则bc a |.

整除问题是各类数学竞赛中必考的热点问题，必须掌握好解决整除问题的方法与技巧. 如果两个整数a 与b 被正整数m 除时所得余数相同，即

a qm r =+，

b pm r =+

那么就称a 与b 关于模m 同余，其中p 、q 、r 都是整数，而且0r m ≤<. 在解决同余问题时，常把同余问题转化为整除问题来处理.

典例精讲

典例1 某种考试已举行的次数恰好是24次，共出了426道题，每次出的题数有25题或16题或20题，那么其中考25题的有多少次？

解 16、20都被4整除，426除以4余2，25除以4余1，因此出25题的次数应当是2、6、10、...，剩下的题数才能被4整除.在出25题的次数为2时，426225376-⨯=，即3761616206=⨯+⨯，即出16题16次，出20题6次.在出25题的次数为6时，426625276-⨯=，而()16246288276⨯-=>，所以这种情况不能发生，出25题的次数当然也不能更多.因此考25题的有2次.