八级数学竞赛讲座第十讲全等三角形
八级数学上册 第10课时 三角形全等的判定(SSS)课件 新人教版精品
设疑求解，操作感知
问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图所示的 残片， 你对图中的残片作哪些测量，就可以割取符合规
格的三角形玻璃，与同伴交流．
观察，思考，回答教师的问题．方法如下：可以将下图 （左）的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或 水笔画出一块完整的三角形．如图（右）， 剪下模板就
哪个三用
问题思考 已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在直线上，AD=FB （如图所示），要用“边边边”证明△ABC≌△FDE， 除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条
件？怎样才能得到这个条件？
随堂练习
教材练习．
课堂总结
1．全等三角形性质是什么？ 2．正确地判断出全等三角形的对应边、对应角， 利用全 等三角形处理问题的基础，你是怎样掌握判断对应边、对应角
对应边相等，就可以保证这两块三角形全等．
作图验证（用直尺和圆规）
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′， 使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA．把画出的 △A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们能完全重
合吗？（即全等吗） 拿出直尺和圆规按上面的要求作图，并验证．（如
课本图11．2-2所示）
可去割玻璃了．
理论认知
如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边 相等，对应角相等． 反之， 如果△ABC与 △A′B′C′满足三条边对应相等，三个角对应相等， 即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，
∠B=∠B′，∠C=∠C′．
这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′， 从刚才的实践我们可以发现： 只要两个三角形三条
画一个△A′B′C′，使A′B′=AB′，A′C′=AC，B′C′=BC： 1．画线段取B′C′=BC；
八年级数学竞赛题：全等三角形
八年级数学竞赛题：全等三角形同一底片冲印出的照片，同一生产流水线的产品等，生活中常常见到全等图形由全等图形和由全等图形拼成的美丽图案．全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点，线段相等、线段和差倍分关系、角相等、两直线位置关系的证明常转化为证明三角形全等．学好全等三角形应注意如下几个方面：1．深刻理解“全等”的含义；2．熟悉组成全等三角形的基本图形，并能在复杂的图形中发现分解出这些基本图形；3．恰当选择判定三角形全等的方法；4．掌握证明三角形全等的几个要领．例1 如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF．∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC=∠C；②DF=CF；③BC=DE+DF；④∠BFD=∠CAF．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．例2 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB>AD，下列结论正确的是（）．A．AB-AD>CB-CD B．AB-AD=CB-CDC．AB-AD<CB-CD D．AB-AD与CB-CD的大小关系不确定例3 如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个，正确的命题（要求写出已知、求证及证明过程）例4 一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．（1）求证：AB⊥ED（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．例5 如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC-∠CF A=∠α．（1）若直线CD经过么BCA的内部，且E、F在直线CD上，请解决下面两个问题：①如图①，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE________CF；EF_______ BE AF-（填“>”、“<”、“=”）；②如图②，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件____________，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．（2）如图③，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．1．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=_____________．2．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为____________．3．如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△O A’B’，使点B恰好落在边A’B’上．已知AB=4cm，BB’=1cm，则A’B的长是__________cm．4．如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△CAN ≌△ABM；④CD=DB．其中正确的结论是__________（把你认为所有正确结论的序号都填上）．5．如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠A与∠DEC互补，若BC=11cm，则△DEC周长为（）．A．10cm B．11cm C．12cm D．13cm6．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）．A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD、CE交于点H，已知EH =EB=3，AE=4，则CH的长是（）．A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足，则结论：①AD=BF；②CF=CD③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE．其中正确结论的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．49．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP，”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．之后，他将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中其他条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．10．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF．（1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；（2）求证：∠MAE=∠NCF．11．在△ABC中，∠ACB= 90°，AC=BC，直线MN经过C点，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．12．如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，若AB=5，AC=3，则AD的取值范围是___________．13．如图，将△ABC绕着C点按顺时针方向旋转20，B点落在B ’点位置，A点落在A ’点位置，若AC⊥A’B ’，则∠BAC=______________．14．一分为二如图是一张等边三角形网格纸片，现要沿着一条经过点A的格线把它剪成两张形状、大小相同的纸片．（1）请你在图上画出一种裁剪方案；（2）不同的裁剪方案共有_________种（若两种裁剪方法所得的纸片能够重合，则只算作一种方案）．15．在△ABC中，高AD和BE交予H点，且BH=AC，则∠ABC=_____________．16．如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G．下列结论：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=12BF，④AE=BG．其中正确的是（）．A．①②B．①③C．①②③D．①②③④17．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于（）．A．DC B．BC C．A B D．AE+AC18．下面三个判断：（1）存在这样的三角形，它有两条角平分线互相垂直；（2）存在这样的三角形，它的三条高的比是1：2：3；（3）存在这样的三角形，其中一边上的中线不小于其他两边和的一半．其中正确的判断有（）A．0个B．1个C．2个D．3个19．如图，AD是△ABC的中线．E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则（）．A．BE+CF>EF．B．BE+CF=EFC．BE+CF<EF D．BE+CF与EF的大小关系不确定20．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E．求证：AB=AC+BD．21．如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积．22．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=51°，求∠DFE的度数．23．下列四个判断：（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；（2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；（3）三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；（4）一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等．上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例．24．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A-∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°<α<60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°<β<180°，其他条件不变，如图③．你认为（1）中的结论还成立吗?若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．。
八年级数学全等三角形新课讲义完整版（全8讲）
⼋年级数学全等三⾓形新课讲义完整版（全8讲）⼋年级数学全等三⾓形新课讲义全⾯完整版（全⼋讲）A B C 1 E DA B C D O 1 2（1）（2） A B D C （1）（2） AB C E D第⼀讲全等三⾓形概念及其性质（⼀）知识要点1、全等三⾓形的有关概念1）能够完全重合的两个图形叫做形。
2）能够完全重合的两个三⾓形叫做全等形。
把两个全等的三⾓形重合在⼀起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的⾓叫做对应⾓。
3）全等三⾓形表⽰⽅法：“全等”⽤“≌”表⽰，读作“全等于”，如△ABC ≌△DEF 。
4）对应元素：①对应顶点：点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 是对应顶点②对应边：AB 与DE ，AC 与DF ，BC 与EF 是对应边③对应⾓：∠A 与∠D ，∠B 与∠E ，∠C 与∠F 是对应⾓当两个三⾓形全等时，通常把表⽰对应顶点的字母写在对应的位置上，如右图所⽰，△ABC 和△DEF 全等，是，记作△ABC ≌△DEF 。
其中，。
2、常见的全等三⾓形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。
（1）平移型：如下左图，若△ABC ≌△DEF ，则BC=EF 。
将△DEF 向左平移得到下右图，则仍有BC=EF ，在右图中，若知BC=EF ，则可推出BE=CF 。
（2）旋转型：如下左图，两对三⾓形的全等属于旋转型，图形的特点是：图1的旋转中⼼为点A ，有公共部分∠1；图2的旋转中⼼为点O ，有⼀对对顶⾓∠1=∠2。
（3）翻折型：如右图，两个三⾓形的全等属于翻折型，其中图中有公共边AB 3、全等三⾓形的性质1）全等三⾓形的对应边相等； 2）全等三⾓形的对应⾓相等。
3）知识延伸：如果两个三⾓形全等，则三⾓形的对应边上的中线、⾼线及对应⾓的⾓平分线也相等。
AB C DE F AB C DE FAC D FB AD EEAB C D OA B C DFE 4、规律⽅法⼩结：在寻找全等三⾓形的对应边和对应⾓时，常⽤的⽅法有：（1）全等三⾓形对应⾓所对的边是对应边，两个对应⾓所夹的边是对应边；（2）全等三⾓形对应边所对的⾓是对应⾓，两条对应边所夹的⾓是对应⾓；（3）公共边⼀定是对应边，公共⾓⼀定是对应⾓，对顶⾓⼀定是对应⾓；（4）全等三⾓形中⼀对最短的边（或最⼩的⾓）是对应边（或对应⾓）。
奥林匹克数学竞赛辅导资料全等三角形
奥林匹克数学竞赛辅导资料全等三角形经验谈：你见过两片完全相同的树叶吗？你见过两个完全相同的事物吗？也许你从未意识到这世界上还有完全相同。
在这里我们将引导你的思路，给你解题技巧：完全相同--全等三角形。
内容综述：三解形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。
三角形全等的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。
判定两个三角形全等的方法有：SAS，ASA，AAS，SSS。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角及其它对应元素相等。
要点讲解：例1：如图2-7-1，△ABC和△DCE均是等边三角形，B、C、E三点共线，AE交CD于G，BD交AC于F。
求证：①AE=BD②CF=CG思路①证明△ACE≌△BCD。
证明①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴CB=CA，CD=CE，∠BCA=∠ECD=，∴∠BCD=∠ACE=，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD。
思路②证明△FCD≌△GCE。
证明②由△BCD≌△DCE都是等边三角形可知∴CD=CE，∠BCA=∠ECD=∴∠ACD=-∠BCA-∠ECD=∴△FCD≌△GCE，∴CF=CG说明：证明两条线段相等的重要方法之一就是证明它们所在的两个三角形全等。
例2：如图2-7-2，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE。
求证：MD=MN。
思路：取AD的中点P，连结PM，证明△DMP≌△MNB。
证明：取AD的中点P，连结PM，则有DP=MB。
∵DM⊥MN，∴∠DMA+∠BMN=，又由正方形ABCD 知∠A=，∴∠DMA+∠MDA=，∴∠BMN=∠MDA又∵BN平分∠CBE，∴∠MBN=又由P、M分别为AD、AB的中点，ABCD是正方形，得△PAM是等腰直角三角形，故∠DPM=。
∴∠DPM=∠MBN，∴△DPM≌△MBN，∴DM=MN。
说明：本题中DM和MN所在的三角形不全等，这时就要考虑作出它们所在的新三角形，证明这两个新三角形全等。
全等三角形讲解
全等三角形讲解
全等三角形是指两个三角形在形状和大小上完全相等的情况，也称为同一形状的三角形。
在几何学中，全等三角形是几何学中最基本的概念之一，因为它是通过三角形之间的相似性来推导其他几何形状的方法之一。
全等三角形的定义是，两个三角形在所有的对应角度相等，在对应的边上也相等。
当两个三角形完全重合时，即它们的所有的对应角度和对应边都相等时，这两个三角形就是全等三角形。
证明两个三角形全等的方法有多种，例如SAS（已知两边和夹角），SSS（已知三边）和ASA（已知两角和一边）等等。
通过这些方法，我们可以证明两个三角形完全相等，这种相等性对于解决几何问题、计算面积和寻找相似形状等问题非常有用。
在实际应用中，全等三角形也经常出现。
例如，在设计建筑物、桥梁和通讯塔等结构时，必须确保它们的三角形部分是全等的，以确保结构的稳定性和安全性。
另外，全等三角形也是数学竞赛中常见的问题，需要我们熟练掌握求证全等三角形的方法。
总之，全等三角形是几何学中最基本的概念之一，我们需要认真学习和掌握。
只有掌握了全等三角形的定义和证明方法，我们才能在实际问题中应用它们，解决复杂的几何形状和结构问题。
全国优质课一等奖人教版初中八年级上册数学《全等三角形》公开课课件
如图，△ABC≌△DEC，∠ACB=90°，且∠DCB=126°，求∠ACE的度数.
解:∵ △ABC≌△DEC , ∴∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠ACE=∠DCE+∠ACB-∠DCB
在图(1)中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF； 在图(2)中，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC； 在图(3)中，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE. 各图中的两个三角形全等吗？
△ABC≌△DEF △ABC≌△DBC △ABC≌△ADE
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有 改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.
Hale Waihona Puke 1.△ABC沿BC折叠，使点A与点D重合，则△ABC__≌___△DBC，AB的对应
边是___D_B___，∠ACB的对应角是_∠__D__C_B___. 2.△ABC≌△CDA，则AB=__C_D__，∠BAC=_∠__D_C_A___.
3.△ABC≌△BAD，若AB=6cm，BD=5cm，AD=4cm，则BC=___4___cm; 4.△ABC≌△EFC，且CF=3cm，CE=5cm,∠EFC=57°，则∠A=_3_3__°， BE=__2___cm.
请说出每图中的对应顶点，对应边、对应角.
例1.找一找下列全等图形的对应元素？
A
D
A
2 B E CF
解：对应顶点：A与D,B与E,C与F； 对应边：AB=DE，AC=DF，BC=EF； 对应角：∠A=∠D，∠B=∠1，∠2=∠F.
B DC F
初二暑假竞赛数学
第一讲: 全等三角形判定【知识点拨】1、三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)。
2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)。
3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)。
4、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)。
5、斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边直角边”或“HL”)。
【高博学堂】【例1】如图，△ABC中，ACB∠=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D，BE⊥MN与E,（1）当直线MN位于图①的位置时，试说明△ADC≅△CBE，并写出DE、AD、BE 的关系。
（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，试探索DE、 AD 、BE的数量关系。
【巩固练习1.1】如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB，直线AN经过顶点A，BD ⊥AN于D，CE⊥AN于E求证：DE=BD－CE【巩固练习1.2】已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.NEDCBA【例2】如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE【巩固练习2.1】已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为 BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为点E ，BF//AC 交 CE 的延长线于点F,求证：AB 垂直平分DF .【巩固练习2.2】如图Rt △ABC 中，∠AC D AC AB BAC 为,,900==的 点，，于交E BC BD AE ⊥求ADB a BDE ∠∠,＝的大小。
A B CDE F C A B D E F2 1D P B N CA【例3】如图，已知在四边形ABCD 中，AB BC >，DC AD =，BD 平分ABC ∠ 求证：︒=∠+∠180C A【巩固练习3.1】如图，ABC ∆中，AD 是A ∠的平分线，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且︒=∠+∠180BAF EDF ，求证：FD ED =【巩固练习3.2】如图，∠1＝∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB ＋BC ＝2BD 。
八年级数学竞赛讲座：第十讲全等三角形
第十讲全等三角形全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有 力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以证明线 段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题利用全等三角形证明问题，关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形，这对基础的三角形从实 质上来说，是由三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来，也可能是由几对三角形组成，其间的关系互相传递，应熟悉涉及有公共边、公共角的以下两类基本图形:BE=CF ③厶 ACN^A ABM ④CD=DN 其中正确的结论是（把你认为所有正确结论的序号填上）.（广州市中考题）思路点拨 对一个复杂的图形，先找出比较明显的一对全等三角形，并发现有用的条件，进而判断推出其 他三角形全等.注 两个三角形的全等是指两个图形之间的一种’对应”关系， “对应’两字，有“相当”、“相应”的含 意，对应关系是按一定标准的一对一的关系，“互相重合”是判断其对应部分的标准.实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，但其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻拆、旋转等方法得到，这种改变位置，不改变形状大小的图形变动叫三角形的全等变换. 【例2】 在厶ABC 中, AC = 5，中线AD = 4,则边AB 的取值范围是（）A. 1<AB<9 B . 3<AB<13 C . 5<AB<13 D . 9<AB<13 （连云港市中考题）思路点拨 线段AC AD AB 不是同一个三角形的三条边，通过中线倍长将分散的条件加以集中.【例3】 如图，BD CE 分别是△ ABC 的边AC 和AB 上的高，点 P 在BD 的延长线上，BP = AC ,点Q 在CE 上，CQ=AB求证：（1）AP=AQ ; （2）AP 丄 AQ（江苏省竞赛题）思路点拨（1）证明对应的两个三角形全等;PAQ=90【例4】 若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，试判断这两个三角形的第三边所对的 角之间的关系，并说明理由.=AF ,给出下列结论：① 题求解【例1】如图，/片 =/ 2 :②（“五羊杯”竞赛题改编题）思路点拨运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，解题的关键是由高的特殊性，分三角形的形状讨论.注有时图中并没有直接的全等三角形，，需要通过作辅助线构造全等三角形，完成恰当添辅助线的任务, 我们的思堆要经历一个观察、联想、构造的过程.边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上诸元素中选取三个条件使之组合可得到关于三角形全等判定的若干命题，其中有真有假，课本中全等三角形的判定方法只涉及边、角两类元素.【例5】如图，已知四边形纸片ABCD中，AD// BC,将/ABC / DAB分别对折，如果两条折痕恰拨折痕前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的系等不同方面进行探索，以获得更多的结论.作、观察、猜想、推理于一体，需要一定的综合能力•推明道理，也是探索、发现的逢径.善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，需要注的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：（1）给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形；（2）从题设条件无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形.学力训练1 .如图, AD A D'分别是锐角△ ABC和△ A B' C'中BCB' C边上的高，且AB= A B', AD= AD,若使△ （只需要填写图，在△ ABD和△ ACE中，有下列4 断：① AB=AC ② AD- AC;③/ B= BD=CE请以其中三个论断作为条下一个论断作为结论，写出一个真命题（用序号OOO T O的形式写出）.（海南省中考题）3.如图，把大小1•请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4X 4的正方形方格图形分割成两个全等图形. 好相交于DC上一点E,你能获得哪些结论？一个论断为结论，填人下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程. 已知: 求证：（荆州市中考题）10. 如图，已知Z 仁Z 2, EF 丄AD 于P,交BC 延长线于 M求证：Z（Z ACB-Z B ）.（ 天津市竞赛题）211. 在△ ABC 中，高 AD 和BE 交于H 点，且BH= AC,则Z ABC =.5.如图，已①/ A=Z B ;/ O 正确的CD 相交于O,则/ DOE 的度数是.知OA=O BA .①②B .②③C .①③D .①②③6.如图，A 在A . DCB . BC C . ABD . AE+AC (2003 年武汉市选拔赛试题 ) 7. 如图，AE// CDAC// DB AD 与BC 交于 O,AE BCEDFBCF（）A . 5 &如图， A ，B ， DC=90° , 9.如图，把厶ABC 绕点C 顺时针旋① AB=AC ② AD= AE ③ AM = AN ④ AD 丄 DC AE 丄BE 以其中3个论断为题设，填人下面的“已知”栏中,DA ^ AB, EA ^ AC, AB= AD, AC = “ 3t 第心牆、〔第5邇）(* 6ff )B . 6C . 7D . 8（第⑴题） （审12即 〔第1312.如图，已知 AE 平分Z BAC , BE 丄 AE 于 E , ED// AC, Z BAE=36°，那么/ BED （河南省竞赛题）13.如图，D 是厶ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于点F ,给出3个论断：①DE=FE ②AE = CE;③FC// AB（ 武汉市选拔赛试题）（b+c ）大小关系是（）A. m+n> b+c B . m+n<b+c C . m+n= b+c D .不能确定16.如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分7 BAD AB>AD 下列结论中正确的是 （）A . AB — AD>CB—CD B . AB- AD= CB- CDC. AB — AD<C — CD D . AB- AD 与CB- CD 的大小关系不确定. （江苏省竞赛题） 17.考查下列命题（）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等;两边和其中一边上的中线 （或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等; 两角和其中一角的角平分线 （或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等;两边和其中一边上的高 （或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等.其中正确命题的个数有（） A . 4 个 B . 3 个 C 18.如图，在四边形 ABCD 中, 1AC 平分7 BAD 过 C 作 CE! AB 于 E ,并且 AE 牙(AB+AD)，求7 ABC+7 ADC 的度数.（上海市竞赛题)H以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出3个命题，其中正确命题的个数是.14.如图，AD// BC, / 1 = Z 2，/ 3=7 4, AD=4,15.如图，在△ ABC 中，AD 是/ A 的设 PB= m PC = n , AB=c, AC=b,则(m+r )R BC=2，那么 AB=.角平分线，P 是AD 上异于A 的任意（江苏省竞赛题）21.如图，在△ ABC 中，/ ABC=60 , AD CE 分别平分/ BAG （武汉市选拔赛试题结论是否成立？为什么？回全檸三角砂【例題求解】创 1 ①②③ 由 J3E >I F f EAB~Z FAC..AC-AB.进而可例工 IfiB AD 到氐便 DE=AD,连蜻 EC ■阳AAE 昭△ECD ・AE“EG2A£)-ECV/tB<：2AD+EU.巒 3SAS^AAI3Pi£2i<X14,例4 <1)当迖两6三角陋同是取角、直坤或桂箱三箱带时.可证出第三边所对的肃柑等】<2)半有一牛足擁価三命恳.1牛是馆博三防形时.可证出第三边所对的角亜种.M 5 < 1)OilE5fi^FAE t ACB£^2iFBE ，tt LfE=EF=EC.AD=AF r BC=BF r AD+BC=AH诃形 ABCD fttj ffim -2S^=AE* EB.【学力训竦】t, tJC^B t C\A^HAe=ZB t A t\^C=^C r > 人①③④寸②｛虚①②⑥片③) 3. «右帆r5. □C 7. c«. AABCS5 AA J B f C .ZACS' - Z ACB ■而 ^BCB'^35\^^A ，CD^35B .又£挖+厶讥;。
人教版八年级数学培优竞赛
目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)第4讲等腰三角形(P25----36)第5讲等边三角形(P37----42)第6讲实数(P43----49)第7讲变量与函数(P50----54)第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68) 第10讲一次函数的应用(P69----80)第11讲幂的运算（P81----86)第12讲整式的乘除((P87----93)第13讲因式分解及其应用(P94----100)第14讲分式的概念•性质与运算(P101----108) 第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138) 第18讲反比例函数的应用(P139----146)第19讲勾股定理(P147-----157)第20讲平行四边形(P158-----166)第21讲菱形矩形(P167-----178)第22讲正方形(P179-----189)第23讲梯形(P190-----198)第24讲数据的分析(P199-----209)模拟测试一模拟测试二模拟测试三B AC D EF 第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等A FC ED B 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE . 【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A E第1题图A BC DE BCDO第2题图A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CFB （E ）OC F 图③DAAFECB D03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠P AD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠P AD ＝90°，∴AP ⊥AQEFB ACDG第2题图21ABCPQE FD【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC第1题图a αcca50° b72° 58°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______. 09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的DA C .Q P.BAA E FB DC 中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长. 13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F ,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么A EB F DC情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下； 已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .F第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFC D 第1题图B第2题图第3题图ABCDA 1B 1C 1D 1AE FC DB AE B DC ⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .ABE D CAB C DE⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
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第十讲全等三角形
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．
利用全等三角形证明问题，关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形，这对基础的三角形从实质上来说，是由三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来，也可能是由几对三角形组成，其间的关系互相传递，应熟悉涉及有公共边、公共角的以下两类基本图形：
例题求解≌△ACN；②BE=CF；③△AC，＝AF，给出下列结论：①∠1=∠2E= 【例1】如图，∠∠F=90°，∠B=∠C) ． (广州市中考题 (ABM；④CD=DN，其中正确的结论是把你认为所有正确结论的序号填上)对一个复杂的图形，先找出比较明显的一对全等三角形，并发现有用的条件，进而判断推出思路点拨
其他三角形全等．两个三角形的全等是指两个图形之间的一种‘对应”关系，“对应'两字，有“相当”、“相应”注
的含意，对应关系是按一定标准的一对一的关系，“互相重合”是判断其对应部分的标准．实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，但其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻拆、旋转等方法得到，这种改变位置，不改变形状大小的图形变动叫三角形的全等变换．( ) 的取值范围是＝4，则边ABAD在△2】 ABC中，AC＝5，中线【例9<AB<13 ．3<AB<13
C．5<AB<13 D．A1<AB<9 B．)
(连云港市中考题 AB不是同一个三角形的三条边，通过中线倍长将分散的条件加以集中．、线段ACAD、思路点拨
在，点QCABPBDPABACABCCEBD 3 【例】如图，、分别是△的边和上的高，点在的延长线上，＝CQ=AB
CE上，
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求证：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．
(江苏省竞赛题)
思路点拨 (1)证明对应的两个三角形全等；(2)在(1)的基础上，证明∠PAQ=90°
【例4】若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由．
( “五羊杯”竞赛题改编题)
思路点拨运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，解题的关键是由高的特殊性，分三角形的形状讨论．
注有时图中并没有直接的全等三角形，，需要通过作辅助线构造全等三角形，完成恰当添辅助线的任务，我们的思堆要经历一个观察、联想、构造的过程．
边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上诸元素中选取三个条件使之组合可得到关于三角形全等判定的若干命题，其中有真有假，课本中全等三角形的判定方法只涉及边、角两类元素．
【例5】如图，已知四边形纸片ABCD中，AD∥ BC，将∠ABC、∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，你能获得哪些结论?
折痕前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探思路点拨索，以获得更多的结论．融操作、观察、猜想、推理于一体，需要一定的综合能力．推理论证既是说明道理，也是探5例注
索、发现的逄径．2 / 8
善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，需要注的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：
(1)给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形；
(2)从题设条件无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形．
学力训练
1．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC、B′C边上的高，且AB= A′B′，AD＝A′D，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件(只需要填写一个你
认为适当的条件)． (黑龙江省中考题)
，请以其中；④CBD=CEAC；③∠B=∠；②．如图，在△2ABD和△ACE中，有下列4个论断：①AB=ACAD ＝海． (三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题(用序号○○○→○的形式写出)
)
南省中考题中，沿着虚线画出．请在下图4×的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图13．如图，把大小为4的正方形方格图形分割成两个全等图形．4×4四种不同的分法，把
，则∠相交于和，＝，＝，⊥，⊥．如图，4DAABEAACABADACAEBECDODOE的度数是．3 / 8
，正确的O，则OE平分∠DE＝CE；③连OE(5．如图，已知OA=OB，OC=OD，下列结论中：①∠A=
∠B；②( )
是．①②③．①③ D B A．①②．②③ C( ) 的长等于，则DE＝∠2＝∠3上，
且在DE上，F在ABAC=CE，∠1．如图，6A)
AE+AC (2003年武汉市选拔赛试卷 BC C．．AB D． A．DC B( )，那么图中全
等的三角形有BC⊥于F⊥BC于E，DFAEDB．如图，7AE∥CD，AC∥，AD与BC交于O，对8 ．6 C． 7 DA．5
B．
′A于点D，已知∠A′C′，′B′交ACB35BC8．如图，把△A绕点C顺时针旋转°，得到△A′) 的度数． (贵州省中考题DC=90°，求∠A⊥，AE⊥＝AE；③AMAN；④ADDC＝；②个论断：①中，给出以下和△．如图，在△9ABEACD4AB=ACAD个论断为题设，填人下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填人下面的“求证”栏中，3BE．以其中使之组成一个真命题，并写出证明过程．已知：求证：)
(荆州市中考题4 / 8
10．如图，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，
1（∠ACB－∠B）．求证：∠M= (天津市竞赛题) 2
交于AD和BEH点，且BH＝AC，则∠ABC＝．11．在△ABC中，高
．BAE＝36°，那么∠BEDACBE12．如图，已知AE平分∠BAC，⊥AE于E，ED∥，∠)
河南省竞赛题 (∥；③FCAECABC是△的边AB上一点，DF交A于点F，给出3个论断：①DE=FE；
②＝CE13．如图，D个命题，其中正确命题的个数是．，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出AB3)
武汉市选拔赛试卷 ( ，那么AB=．BC=23＝∠4，AD=4，，∠，∠．如图，14AD∥BC1＝∠2
，mAPAD15．如图，在△ABC中，是∠A的外角平分线，是AD上异于的任意一点，设PB＝，PC＝n( )
）与(b+c)大小关系是AC=bAB=c，，则（m+n m+n<b+c C．不能确定．m+n= b+c D．．Am+n> b+c B－ABCD16．如图，在四边形中，对角线( ) A，下列结论中正确的是AB>ADBAD平分∠AC，．AB 5 / 8
AD>CB－CD B．AB－AD＝CB—CD
C．AB—AD<CB—CD D．AB－AD与CB—CD的大小关系不确定．
(江苏省竞赛题)
17．考查下列命题( )
(1)全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；
(2)两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；
(3)两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；
(4)两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．
其中正确命题的个数有( )
A．4个 B．3个 C． 2个 D．1个
1(AB+AD)，求∠ABC+AE=∠ADCEC作CE⊥AB于，并且BAD18．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠，过2) (上海市竞赛题的度
数．
EF的大小关系，并证明你的结论．BE+CFD19．如图，△ABC中，是BC的中点，DE⊥DF，试判断与的面积．＝20．如图，已知AB=CD=AEBC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDC)
(江苏省竞赛题．、∠BACACB，求证：AC=AF+CD、中，∠21．如图，在△ABCABC=60°，ADCE 分别平分∠) 武汉市选拔赛试卷(
°，求证：△′，∠′′，′′中，′′和△已知△．22(1)ABCABCAB= ABBC= BCBAC′A′＝∠BC′=1006 / 8
ABC≌△A′B′C′；
(2)上问中，若将条件改为AB＝A′B′，BC= B′C′，∠BAC＝∠∠B′A′C′=70°，
结论是否成立?为什么?
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