初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)
九年级数学竞赛讲座(共10讲)
目录第一讲分式方程(组)的解法第二讲无理方程的解法第三讲简易高次方程的解法第四讲有关方程组的问题第五讲函数的基本概念与性质第六讲二次函数第七讲函数的最大值与最小值第八讲根与系数的关系及应用第九讲判别式及其应用第十讲一元二次不等式的解法第一讲分式方程(组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．例1 解方程解令y=x2＋2x－8，那么原方程为去分母得y(y－15x)＋(y+9x)(y－15x)＋y(y＋9x)=0，y2－4xy－45x2=0，(y+5x)(y－9x)=0，所以y=9x或y=－5x．由y=9x得x2+2x－8=9x，即x2－7x－8=0，所以x1=－1，x2=8；由y=－5x，得x2+2x－8=－5x，即x2＋7x－8=0，所以x3=－8，x4=1．经检验，它们都是原方程的根．例2 解方程y2－18y+72=0，所以y1=6或y2=12．x2－2x＋6=0．此方程无实数根．x2－8x+12=0，所以x1=2或x2=6．经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根．例3 解方程分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为整理得去分母、整理得x＋9=0，x=－9．经检验知，x=－9是原方程的根．例4 解方程分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为即所以((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)．例5 解方程分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为整理得去分母得x2＋9x－22＝0，解得x1=2，x2=－11．经检验知，x1=2，x2=－11是原方程的根．例6 解方程次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为所以x=0或2x2－3x－2=2x2+5x－3．例7 解方程分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为当x≠0时，解得x=±1．经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．例8 解方程解将原方程变形为例9 解关于x的方程将x1=a－2b或x2=b－2a代入分母b+x，得a－b或2(b－a)，所以，当a≠b时，x1=a－2b及x2=b－2a都是原方程的根．当a=b时，原方程无解．例10 如果方程只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2－2x+(a+4)=0．①原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即△=4－4·2(a+4)=0．(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．(i)当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=－4．这时方程①的另一个根是x=1(因为2x2－2x=0，x(x－1)=0，x1=0或x2＝1．而x1＝0是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．(ii)当x=2时，代入①式，得2×4－2×2＋(a+4)=0，即a=－8．这时方程①的另一个根是x=－1(因为2x2－2x－4=0．(x－2)(x+1)=0，所以x1=2(增根)，x2=－1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是练习一1．填空：(3)如果关于x的方程有增根x=1，则k=____．2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解方程7．m是什么数值时，方程有根？第二讲无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．例1 解方程解移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x2＋3x－28＝0，所以x1=4，x2=－7．经检验知，x2=－7为增根，所以原方程的根为x=4．说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．例2 解方程方公式将方程的左端配方．将原方程变形为所以两边平方得3x2+x=9－6x＋x2，两边平方得3x2+x=x2＋6x＋9，例3 解方程即所以移项得例4 解方程解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为配方得利用非负数的性质得所以x=1，y=2，z=3．经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．例5 解方程所以将①两边平方、并利用②得x2y2＋2xy－8=0，(xy＋4)(xy－2)=0．xy=2．③例6 解方程解观察到题中两个根号的平方差是13，即②÷①便得由①，③得例7 解方程分析与解注意到(2x2－1)－(x2－3x－2)=(2x2+2x+3)－(x2－x+2)．设则u2－v2＝w2－t2，①u+v=w+t．②因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得u－v=w－t．③②＋③得u=w，即解得x=－2．经检验，x=－2是原方程的根．例8 解方程整理得y3－1=(1－y)2，即(y－1)(y2+2)=0．解得y=1，即x=－1．经检验知，x=－1是原方程的根．整理得y3－2y2+3y=0．解得y=0，从而x=－1．例9 解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2．解得x=±2a．经检验，x=±2a是原方程的根．练习二1．填空：2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解关于x的方程第三讲简易高次方程的解法在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答．例1 解方程x3－2x2－4x＋8=0．解原方程可变形为x2(x－2)－4(x－2)=0，(x－2)(x2－4)=0，(x－2)2(x+2)=0．所以x1＝x2＝2，x3=－2．说明当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样=0可化为bkx3+bx2+dkx+d=0，即(kx+1)(bx2+d)=0．方程ax4+bx3+cx+d=0也可以用类似方法处理．例2 解方程(x－2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x－14)(x2＋5x＋4)=19．设(y－9)(y+9)=19，即y2－81＝19．说明在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．例3 解方程(6x＋7)2(3x+4)(x+1)=6．解我们注意到2(3x+4)=6x＋8=(6x+7)+1，6(x+1)=6x＋6=(6x＋7)－1，所以利用换元法．设y=6x＋7，原方程的结构就十分明显了．令y=6x＋7，①由(6x＋7)2(3x＋4)(x＋1)=6得(6x＋7)2(6x＋8)(6x＋6)=6×12，即y2(y＋1)(y－1)=72，y4－y2－72＝0，(y2＋8)(y2－9)=0．因为y2＋8＞0，所以只有y2－9=0，y=±3．代入①式，解得原方程的根为例4 解方程12x4－56x3+89x2－56x+12=0．解观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由例5 解方程解方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式．所以经检验，x1=－1，x2=2是原方程的根．例6 解方程(x+3)4+(x+1)4=82．分析与解由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设于是原方程变为(y＋1)4＋(y－1)4＝82，整理得y4+6y2－40=0．解这个方程，得y=±2，即x+2=±2．解得原方程的根为x1=0，x2=－4．说明本题通过换元，设y=x＋2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如(x＋a)4＋(x+b)4=c例7 解方程x4－10x3－2(a－11)x2＋2(5a+6)x+2a+a2=0，其中a是常数，且a≥－6．解这是关于x的四次方程，且系数中含有字母a，直接对x求解比较困难(当然想办法因式分解是可行的，但不易看出)，我们把方程写成关于a的二次方程形式，即a2－2(x2－5x－1)a+(x4－10x3＋22x2+12x)=0，△=4(x2－5x－1)2－4(x4－10x3＋22x2＋12x)=4(x2－2x+1)．所以所以a=x2－4x－2或a=x2－6x．从而再解两个关于x的一元二次方程，得练习三1．填空：(1)方程(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)=24的根为_______．(2)方程x3－3x＋2=0的根为_____．(3)方程x4+2x3－18x2－10x+25=0的根为_______．(4)方程(x2+3x－4)2＋(2x2－7x＋6)2=(3x2－4x+2)2的根为______．2．解方程(4x＋1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x4．3．解方程x5＋2x4－5x3＋5x2－2x－1=0．4．解方程5．解方程(x+2)4+(x－4)4=272．6．解关于x的方程x3+(a－2)x2－(4a+1)x－a2＋a+2=0．第四讲有关方程组的问题在教科书上，我们已经知道了二元一次方程组、三元一次方程组以及简单的二元二次方程组的解法．利用这些知识，可以研究一次函数的图像、二次函数的图像以及与此有关的问题．本讲再介绍一些解方程组的方法与技巧．1．二元二次方程组解二元二次方程组的基本途径是“消元”和“降次”．由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二次方程组在中学阶段只研究它的几种特殊解法．如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项．例1 解方程组解②×2－①×3得4x＋9y－6＝0．方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数．例2 解方程组解②×(－2)+①得3y2+3y－6=0，所以y1=1，y2=－2．解方程组与得原方程组的解方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解．例3 解方程组解由②得(2x+y)(x－2y)=0，所以2x+y=0或x－2y=0．因此，原方程组可化为两个方程组与解这两个方程组得原方程组的解为如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解．例4 解方程组解由①－②×2得x2－2xy－3y2=0，即(x+y)(x－3y)=0，所以x＋y=0或x－3y=0．分别解下列两个方程组得原方程组的解为2．二元对称方程组方程中的未知数x，y互换后方程保持不变的二元方程叫作二元对称方程．例如x2－5xy＋y2－3x－3y=7，等都是二元对称方程．由二元对称方程组成的方程组叫作二元对称方程组．例如等都是二元对称方程组．我们把叫作基本对称方程组．基本对称方程组通常用代入法或韦达定理求解．例5 解方程组解方程组中的x，y分别是新方程m2－5m+4=0的两个解．解关于m的一元二次方程得m1=1，m2=4，所以原方程组的解是这个方程组亦可用代入法求解(略)．由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x+y和xy表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用x＋y和xy作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组．例6 解方程组解原方程组可变形为①×2＋②得令u=x＋y，则即而方程组无实数解．综上所述，方程组的解为例7 解方程组分析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式．解由①得xy=16．④由②，④可得基本对称方程组于是可得方程组的解为例8 解方程组分析本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程x－y=0，从而使方程降次化简．解①－②，再因式分解得(x－y)(x+y－10)=0，所以x－y－0或x＋x－10=0．解下列两个方程组得原方程组的四组解为例9 解方程组解法1用换元法．设4x＋5=A，4y+5=B，则有即③－④并平方得整理得所以因此A－B=0或分别解下列两个方程组与经检验，A=B=9适合方程③，④，由此得原方程组的解是解法2①－②得即所以x－1与y－1同号或同为零．由方程①得所以x－1与y－1不能同正，也不能同负．从而x－1=0，y－1=0．由此解得经检验，x=1，y=1是方程组的解．练习四1．填空：(1)方程组的解有_____组．(2)若x，y是方程组(3)已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，则2a+c=_____．(4)已知实数x，y，z满足方程组则xyz=________．2．解方程组：3．设a，b，c，x，y，z都是实数．若4．已知一元二次方程a(x＋1)(x+2)+b(x+2)(x＋3)＋c(x＋3)(x＋1)=0 有两根0，1，求a∶b∶c．5．(1)解方程组第五讲函数的基本概念与性质函数是中学数学中的一条主线，也是数学中的一个重要概念．它使我们从研究常量发展到研究变量之间的关系，这是对事物认识的一大飞跃，而且对于函数及其图像的研究，使我们把数与形结合起来了．学习函数，不仅要掌握基本的概念，而且要把解析式、图像和性质有机地结合起来，在解题中自觉地运用数形结合的思想方法，从图像和性质对函数进行深入的研究．1．求函数值和函数表达式对于函数y=f(x)，若任取x=a(a为一常数)，则可求出所对应的y值f(a)，此时y的值就称为当x=a时的函数值．我们经常会遇到求函数值与确定函数表达式的问题．例1 已知f(x－1)=19x2＋55x－44，求f(x)．解法1令y=x－1，则x=y+1，代入原式有f(y)=19(y＋1)2＋55(y＋1)－44＝19y2＋93y＋30，所以f(x)=19x2+93x＋30．解法2f(x－1)=19(x－1)2＋93(x－1)+30，所以f(x)=19x2＋93x＋30．可．例3 已知函数f(x)=ax5－bx3＋x＋5，其中a，b为常数．若f(5)=7，求f(－5)．解由题设f(－x)=－ax5＋bx3－x＋5=－(ax5－bx3＋x＋5)+10=－f(x)+10，所以f(－5)=－f(5)＋10=3．例4 函数f(x)的定义域是全体实数，并且对任意实数x，y，有f(x+y)=f(xy)．若f(19)=99，求f(1999)．解设f(0)=k，令y=0代入已知条件得f(x)=f(x+0)=f(x·0)=f(0)=k，即对任意实数x，恒有f(x)=k．所以f(x)=f(19)=99，所以f(1999)=99．2．建立函数关系式例5 直线l1过点A(0，2)，B(2，0)，直线l2：y=mx＋b过点C(1，0)，且把△AOB分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，如图3－1．设此三角形的面积为S，求S关于m的函数解析式，并画出图像．解因为l2过点C(1，0)，所以m＋b=0，即b=－m．设l2与y轴交于点D，则点D的坐标为(0，－m)，且0＜－m≤2(这是因为点D在线段OA上，且不能与O点重合)，即－2≤m＜0．故S的函数解析式为例6 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式．解设矩形ABCD的长BC大于宽AB的2倍．由于周长为12，故长与宽满足4＜BC＜6，0＜AB＜2．由题意，有如下两种情形：CE1＝x，BE1＝BC－x，AB＝CD＝2(BC－x)，所以(2AB＋x)+AB=6，所以3．含绝对值的函数一次函数的图像是一条直线，含有绝对值符号的函数所对应的图像是由若干条线段和射线所组成的折线；二次函数的图像是抛物线，而y=|ax2＋bx＋c|的图像是将y=ax2+bx+c 在x轴下方的图像按x轴为对称轴翻到x轴的上方．对于一些其他的含绝对值符号的函数和方程的图像，需要按区间分段讨论．例7 作函数y=|3－x|+|x－1|的图像．解当x＜1时，y=(3－x)+(1－x)=－2x+4；当1≤x＜3时，y=(3－x)＋(x－1)=2；当x≥3时，y=(x－3)＋(x－1)=2x－4．所以它的图像如图3－3所示．例8 作函数y=|x2－5x+6|的图像．解当x≤2或x≥3时，x2－5x+6≥0，于是y=x2－5x+6；当2＜x＜3时，x2－5x+6＜0，于是y=－(x2－5x+6)．所以于是，得图像如图3－4所示．例9 点(x，y)满足方程|x－1|+|y+2|=2，求它的图像所围成区域的面积．解当x≥1，y≥－2时，x－1＋y＋2=2，即y=－x+1．当x≥1，x＜－2时，x－1－(y＋2)=2，即y=x－5．当x＜1，y≥－2时，－x+1+y＋2=2，即y=x－1．当x＜1，y＜－2时，－x＋1－(y＋2)=2，即y=－x－3．于是，所得图像如图3－5所示．由此可知，|x－1|+|y+2|=2的图像是一个对角线长为4，边长为2例10m是什么实数时，方程x2－4|x|＋5=m有四个互不相等的实数根？解法1将原方程变形为x2－4|x|＋4=m－1．令y=x2－4|x|+4=m－1，则它的图像如图3－6，而y=m－1是一条与x轴平行的直线．原方程有四个互不相等的实根，即直线应与曲线有四个不同的交点．由图像可知，当0＜m－1＜4，即1＜m＜5时，直线与曲线有四个不同的交点，所以，当1＜m＜5时，方程x2－4|x|＋5=m有四个互不相等的实数根．说明本题是一个方程问题，我们利用图形来研究，这是一种非常重要的思想方法——数形结合法．当然，本题不用图像也是可以解的，下面给出解法，请读者比较一下．解法2原方程变形为(|x|－2)2＝m－1，练习五1．填空：(1)已知f(x－1)=19x2＋55x－44，则f(x)=_______．(2)对所有实数x，f(x2+1)=x4＋5x2＋3，那么对所有实数x，f(x2－1)=_______．(3)设x与y2成反比例，y与z2成正比例．当x=24时，y=2；当y=18时，z=3，则z=1时，x=_______．(4)已知y=2x2＋mx＋5的值恒为正，且m为实数，则m的范围是_______．函数，且当x=2，x=3时，y的值都为19，则y的解析式为y=_______．(6)如果y＋m与x＋n成正比例，且当x=1时，y=2；当x=－1时，y=1，则y与x间的函数关系式是y=_______．2．在平面直角坐标系里，点A的坐标是(4，0)，点P是第一象限内一次函数y=－x＋6的图像上的点，原点是O，如果△OPA的面积为S，P点坐标为(x，y)，求S关于x的函数表达式．3．平面直角坐标上有点P(－1，－2)和点Q(4，2)，取点R(1，m)，试问当m为何值时，PR＋RQ有最小值．试求k的取值范围．5．设y=|x+2|+|x－4|－|2x－6|，且2≤x≤8，试求y的最大值与最小值之和．6．作y=2|x－3|，y=x－a的图像，问a取什么值时，它们可以围出一个平面区域，并求其面积．7．m是什么实数时，方程|x2－4x+3|=m有三个互不相等的实数解．第六讲二次函数二次函数是一类十分重要的最基本的初等函数，也是初中数学的主要内容之一，它在中学数学中起着承上启下的作用，它与一元二次方程、一元二次不等式知识的综合运用，是初中代数的重点和难点之一．另外，二次函数在工程技术、商业、金融以及日常生活中都有着广泛的应用．通过对二次函数的学习，使我们能进一步理解函数思想和函数方法，提高分析问题、解决问题的能力．正确掌握二次函数的基本性质是学好二次函数的关键．1．二次函数的图像及其性质例1 (1)设抛物线y=2x2，把它向右平移p个单位，或向下移q个单位，都能使得抛物线与直线y=x－4恰好有一个交点，求p，q的值．(2)把抛物线y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点(1，3)与(4，9)，求p，q的值．(3)把抛物线y=ax2＋bx＋c向左平移三个单位，向下平移两个单位析式．解(1)抛物线y=2x2向右平移p个单位后，得到的抛物线为y=2(x－p)2．于是方程2(x－p)2=x－4有两个相同的根，即方程2x2－(4p+1)x+2p2＋4=0的判别式△=(4p+1)2－4·2·(2p2＋4)=0，抛物线y=2x2向下平移q个单位，得到抛物线y=2x2－q．于是方程2x2－q=x－4有两个相同的根，即△=1－4·2(4－q)=0，(2)把y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，得到的抛物线为y=2(x+p)2＋q．于是，由题设得解得p=－2，q=1，即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位．解得h=3，k=2．原二次函数为说明将抛物线y=ax2＋bx＋c向右平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x－p)2＋b(x－p)＋c；向左平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x＋p)2＋b(x＋p)＋c；向上平移q个单位，得到y=ax2＋bx ＋c＋q；向下平移q个单位，得到y=ax2＋bx＋c－q．例2 已知抛物线y=ax2＋bx＋c的一段图像如图3－7所示．(1)确定a，b，c的符号；(2)求a＋b＋c的取值范围．解(1)由于抛物线开口向上，所以a＞0．又抛物线经过点(0，－1)，合a＞0便知b＜0．所以a＞0，b＜0，c＜0．(2)记f(x)=ax2＋bx＋c．由图像及(1)知所以a+b＋c=a＋(a－1)－1=2(a－1)，－2＜a＋b＋c＜0．例3 已知抛物线y=ax2－(a＋c)x+c(其中a≠c)不经过第二象限．(1)判断这条抛物线的顶点A(x0，y0)所在的象限，并说明理由；(2)若经过这条抛物线顶点A(x0，y0)的直线y=－x+k与抛物线的另一解(1)因为若a＞0，则抛物线开口向上，于是抛物线一定经过第二象限，所以当抛物线y=ax2－(a＋c)x+c的图像不经过第二象限时，必有a＜0．又当x=0时，y=c，即抛物线与y轴的交点为(0，c)．因为抛物线不经过第二象限，所以c≤0．于是所以顶点A(x0，y0)在第一象限．B在直线y=－x+k上，所以0=－1+k，所以k=1．又由于直线y=－x+1经过－2x2+2x．2．求二次函数的解析式求二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式，需要三个独立的条件确定三个系数a，b，c．一般地有如下几种情况：(1)已知抛物线经过三点，此时可把三点坐标代入解析式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组可得系数a，b，c．或者已知抛物线经过两点，这时把两点坐标代入解析式，得两个方程，再利用其他条件可确定a，b，c．或者已知抛物线经过某一点，这时把这点坐标代入解析式，再结合其他条件确定a，b，c．(2)已知抛物线的顶点坐标为(h，k)，这时抛物线可设为y＝a(x－h)2＋k，再结合其他条件求出a．(3)已知抛物线与x轴相交于两点(x1，0)，(x2，0)，此时的抛物线可设为y=a(x－x1)(x－x2)，再结合其他条件求出a．例4 设二次函数f(x)=ax2＋bx＋c满足条件：f(0)=2，f(1)=－1，解由f(0)=2，f(1)＝－1，得即c=2，b=－(a＋3)．因此所求的二次函数是y＝ax2－(a＋3)x＋2．由于二次函数的图像在x轴上所截得的线段长，就是方程ax2－(a＋3)x＋2=0两根差的绝对值，而这二次方程的两根为于是因此所求的二次函数表达式为例5 设二次函数f(x)=ax2＋bx+c，当x=3时取得最大值10，并且它的图像在x轴上截得的线段长为4，求a，b，c的值．分析当x=3时，取得最大值10的二次函数可写成f(x)＝a(x－3)2＋10，且a＜0．解因为抛物线的对称轴是x=3，又因为图像在x轴上截得的线段长是4，所以由对称性，图像与x轴交点的横坐标分别是1，5．因此，二次函数又可写成f(x)=a(x－1)(x－5)的形式，从而a(x－3)2+10=a(x－1)(x－5)，所以例6 如图3－8，已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a＞0，b＜0)的图像与x轴、y轴都只有一个公共点，分别为点A，B，且AB=2，b＋2ac=0．(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y=x＋k的图像过点A，并和二次函数的图像相交于另一点C，求△ABC的面积．解(1)因二次函数的图像与x轴只有一个公共点，故b2－4ac＝0，而b+2ac=0，所以b2＋2b=0，b=－2(因为b＜0)．点B的坐标为(0，c)，AB=2，由勾股定理得所以1＋a2c2=4a2．因为ac=1，所以4a2=2，练习六1．填空：(1)将抛物线y=2(x－1)2+2向右平移一个单位，再向上平移三个单位，得到的图像的解析式为______．(2)已知y=x2＋px＋q的图像与x轴只有一个公共点(－1，0)，则(p，q)=____．(3)已知二次函数y=a(x－h)2＋k的图像经过原点，最小值为－8，且形(4)二次函数y=ax2＋bx＋c的图像过点A(－1，0)，B(－3，2)，且它与x轴的两个交点间的距离为4，则它的解析式为________．(5)已知二次函数y=x2－4x＋m＋8的图像与一次函数y=kx+1的图像相交于点(3，4)，则m=___，k=_____．(6)关于自变量x的二次函数y=－x2＋(2m＋2)x－(m2+4m－3)中，m是不小于零的整数，它的图像与x轴交于点A和点B，点A在原点左边，点B在原点右边，则这个二次函数的解析式为____．2．设抛物线y=x2＋2ax＋b与x轴有两个不同交点．(1)把它沿y轴平移，使所得到的抛物线在x轴上截得的线段的长度是原来的2倍，求所得到的抛物线；(2)通过(1)中所得曲线与x轴的两个交点，及原来的抛物线的顶点，作一条新的抛物线，求它的解析式．3．已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点为C．(2)若△ABC是等腰直角三角形，求b2－4ac的值；(3)若b2－4ac=12，试判断△ABC的形状．4．有两个关于x的二次函数C1：y=ax2＋4x＋3a和C2：y=x2+2(b＋2)x+b2+3b．当把C1沿x轴向左平移一个单位后，所得抛物线的顶点恰与C2的顶点关于x轴对称，求a，b．5．已知二次函数y＝x2－2bx+b2+c的图像与直线y=1－x只有一个公共点，并且顶点在二次函数y=ax2(a≠0)的图像上，求a的取值范围第七讲函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x 的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件x＋y＋z=30，3x+y－z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解从已知条件可解得y=40－2x，z=x－10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40－2x)＋2(x－10)=－x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=－x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程x2－(k－2)x＋(k2+3k+5)=0解由于二次方程有实根，所以△=[－(k－2)]2－4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4 已知函数有最大值－3，求实数a的值．解因为的范围内分三种情况讨论．－a2＋4a－1＝－3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积S=xy，2≤X≤4．易知CN=4－x，EM=4－y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为－2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．解由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以p2＋16p+13=30，p=1(p=－17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x－1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13－f(x)=(1－a)x2+2(a＋8)x＋8－a．由于g(x)的最小值是－2，于是解得a=－2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解去分母、整理得(2y－1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2－4(2y－1)(y＋3)≥0，解得－4≤y≤1．时，取最小值－4，当x=－2时，y取最大值1．说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解将原函数去分母，并整理得yx2－ax＋(y－b)＝0．因x是实数，故△=(－a)2－4·y·(y－b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为－1，所以(y+1)(y－4)≤0，即y2－3y－4≤0．②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到－3，即－3不能作为y的最小值．例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2－x－2y的最小值．分析先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=－1，所以，u的最小值为－1．例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．练习七。
初一数学竞赛讲座
初一数学竞赛讲座第3讲奇偶分析我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。
被2除余1的属于一类，被2整除的属于另一类。
前一类中的数叫做奇数，后一类中的数叫做偶数。
关于奇偶数有一些特殊性质，比如，奇数≠偶数，奇数个奇数之和是奇数等。
灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。
用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析，善于运用奇偶分析，往往有意想不到的效果。
例1 右表中有15个数，选出5个数，使它们的和等于30，你能做到吗？为什么？分析与解：如果一个一个去找、去试、去算，那就太费事了。
因为无论你选择哪5个数，它们的和总不等于30，而且你还不敢马上断言这是做不到的。
最简单的方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数之和仍是奇数，表中15个数全是奇数，所以要想从中找出5个使它们的和为偶数，是不可能的。
例2 小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。
小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。
试问，小丽所加得的和数能否为2000？解：不能。
由于每一张上的两数之和都为奇数，而25个奇数之和为奇数，故不可能为2000。
说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”，这条性质几乎是显然的，但在解题过程中，能有意识地运用它却不容易做到，这要靠同学们多练习、多总结。
例3 有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。
试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。
解：不能。
如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍，是个偶数。
所以这98个号码数的总和是个偶数，但是这98个数的总和为1+2+…+98=99×49，是个奇数，矛盾！所以不能按要求排成。
初中数学竞赛第十九讲平行截割(含答案)
第十九讲 平行截割平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论．利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E ”、“A ”型或“X ”型的基本图形：例题求解【例1】如图，已知在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP ：PQ ：QC= ．(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)思路点拨 图中有形如“X ”型的基本图形，建立含AP ，PQ ，QC 的比例式，并把AP ，PQ ，QC 用同一条线段的代数式表示．【例2】如图，已知在△ABC 中，AE ：EB=1：3，BD ：DC=2：1，AD 与CE 相交于F ，则FDAF FC EF 的值为( ) A ．21 B ．1 C ．23 D ．2。
(江苏省泰州市中考题)思路点拨 已知条件没有平行线，需恰当作平行线，构造基本图形，产生含FC EF ，FD AF 的比例线段，并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系．【例3】 如图，BD 、BA ，分别是∠ADC 与它的邻补角∠ABP 的平分线，AE ⊥BE ，AD ⊥BD ，E 、D 为垂足．(1)求证：四边形AEBD 为矩形；(2)若AD AE =3，F 、G 分别为AE 、AD 上的点，FG 交AB 于点H ，且3=AGAF ，求证：△AHG 是等腰三角形．(2003年厦门市中考题)思路点拨 对于(2)，由比例线段导出平行线，证明∠HAG=∠AHG ．【例4】 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ．(上海市闽行区中考题)(1)如果P 、E 、F 分别是BC 、AC 、BD 的中点，求证：AB=PE+PF ；(2)如果P 是BC 上的任意一点(中点除外)，PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB=PE+PF 这个结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．思路点拨 对于(2)，先假设结论成立，从平行线出发证明AB=PC+PF ，即需证明1=+ABPF AB PE ，将线段和差问题的证明转化为与比例线段有关问题的证明． 注 若题设条件无平行线，需作平行线．而作平行线要考虑好过哪一点作平行线，一般是由比的两条线段启发而得的，其目的是构造基本图形．平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，比例线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要体现在：(1)利用比例线段求线段的长度；(2)运用比例线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题．【例5】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P ，求证：PM ×PN=PR ×PS 。
全国初中数学竞赛辅导(初3)-第19讲-平面几何中的几个著名定理
第十九讲* 平面几何中的几个著名定理几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理．1．梅内劳斯定理亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理．定理一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ∽△BXP得同理将这三式相乘，得说明 (1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为AX×BY×CZ=XB×YC×ZA，仍然成立．(2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线．例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线．证如图3－99有相乘后得由梅内劳斯定理的逆定理得F，D，E共线．例2(戴沙格定理)在△ABC和△A′B′C′中，若AA′，BB′，CC′相交于一点S，则AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的交点F，D，E共线．证如图3－100，直线FA′B′截△SAB，由梅内劳斯定理有同理，直线EC′A′和DC′B′分别截△SAC和△SBC，得将这三式相乘得所以D，E，F共线．2．塞瓦定理意大利数学家塞瓦(G．Ceva)在1678年发表了下面的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理．定理在△ABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB 相交于D，E，F，则证如图3－101，过B，C分别作直线AP的垂线，设垂足为H和K，则由于△BHD∽△CKD，所以同理可证将这三式相乘得说明 (1)如果P点在△ABC外，同样可证得上述结论，但P点不能在直线AB，BC，CA上，否则，定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理的结论应改为BD×CE×AF=DC×EA×FB，仍然成立．(2)塞瓦定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果那么直线AD，BE，CF相交于同一点．”证如图3－102，设AD和BE相交于P，作直线CP，交直线AB于F′，由塞瓦定理得所以 F′B=FB，即F′与F重合，所以AD，BE，CF相交于同一点．塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点．例3 求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点．证 (1)如果D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，则由塞瓦定理的逆定理得中线AD，BE，CF共点．(2)如果D，E，F分别是△ABC的内角平分线AD，BE，CF与边BC，CA，AB的交点，则由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD，BE，CF共点．(3)设D，E，F分别是△ABC的高AD，BE，CF的垂足．(i)当△ABC是锐角三角形时(如图3－103)，D，E，F分别在BC，CA，AB上，有BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosc，EA=ccosA，AF=bcosA，FB=acosB，所以由塞瓦定理的逆定理得高AD，BE，CF共点．(ii)当△ABC是钝角三角形时，有BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosC，EA=ccos(180°-A)=-ccosA，AF=bcos(180°-A)=-bcosA,FB=acosB，所以由塞瓦定理的逆定理，得高AD，BE，CF共点．(iii)当△ABC是直角三角形时，高AD，BE，CF都经过直角顶点，所以它们共点．例4 在三角形ABC的边上向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点，证明：直线AA1，BB1，CC1相交于一点．证如图3－104．设直线AA1，BB1，CC1与边BC，CA，AB的交点分别为A2，B2，C2，那么BA2：A2C等于从点B和C到边AA1的垂线的长度之比，即其中∠θ=∠CBA1=∠BCA1．同理将上述三式相乘得根据塞瓦定理的逆定理，得AA1，BB1，CC1共点．3．斯台沃特定理定理△ABC的边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v，AD=t，则证过A作AE⊥BC，E为垂足(如图3－105)，设DE=x，则有AE2=b2-(v-x)2=c2-(u+x)2=t2-x2，(若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v．)于是得消去x得(u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，这就是中线长公式．(2)当AD是△ABC的内角平分线时，由三角形的内角平分线的性质设a+b+c=2p，得这就是内角平分线长公式．(3)当AD是△ABC的高时，AD2=b2-u2=c2-v2．再由u+v=a，解得所以若设AD=h a，则这就是三角形的高线长公式．当D在BC的延长线上时，用-v代替v，同样可得高线长线公式．这就是三角形的面积公式．伦公式例5 如图3－106．在△ABC中，c＞b，AD是△ABC的角平分线，E 在BC上，BE=CD．求证：AE2-AD2=(c-b)2．证为方便起见，设BD=u，DC=v，则BE=v，EC=u．由斯台沃特定理得所以因为AD是角平分线，所以于是4．托勒密定理托勒密(Ptolemy，约公元85～165年)是古代天文学的集大成者．一般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
初中数学竞赛辅导资料(初一用)
初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除。
0能被所有非零的整数整除.能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除.如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686, 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99(能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解:x ，y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6。
∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0，4，8∴x ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4)－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263.练习一1、分解质因数：(写成质因数为底的幂的连乘积）①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除，那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时，59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________，最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。
初中数学竞赛辅导讲义全
初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。
解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。
解：13313232+++++x ax x X ax1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21 证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51 + …… + 121-n - 121+n ） aaax ax xO x -++++1133223=21（1- 121+n ） ∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21[小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
初中数学(初一)竞赛讲义(知识点难点梳理、重点题型分类举一反三)(家教、补习、竞赛专用)
初一数学竞赛讲义重难点有效突破知识点梳理及重点题型举一反三练习专题01 质数那些事阅读与思考一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：关于质数、合数有下列重要性质：1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4．2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．3．若质数|，则必有|或|．4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：N=，其中，为质数，为非负数(=1，2，3，…，)．正整数N的正约数的个数为(1＋)(1＋)…(1＋)，所有正约数的和为(1＋＋…＋)(1＋＋…＋)…(1＋＋…＋)．例题与求解【例1】已知三个质数，，满足＋＋＋=99，那么的值等于_________________．(江苏省竞赛试题) 解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出，，的值．【例2】若为质数，＋5仍为质数，则＋7为( )A．质数B．可为质数，也可为合数C．合数D．既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题) 解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛试题) 解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．【例4】⑴将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数，求证：一定是合数．⑵若是大于2的正整数，求证：－1与＋1中至多有一个质数．⑶求360的所有正约数的倒数和．(江苏省竞赛试题) 解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明－1与＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．【例5】设和是正整数，≠，是奇质数，并且，求＋的值．解题思想：由题意变形得出整除或，不妨设．由质数的定义得到2－1=1或2－1=．由≠及2－1为质数即可得出结论．【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．(青少年国际城市邀请赛试题) 解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．能力训练A级1．若，，，为整数，=1997，则=________．2．在1，2，3，…，这个自然数中，已知共有个质数，个合数，个奇数，个偶数，则(－)＋(－)=__________．3．设，为自然数，满足1176=，则的最小值为__________．(“希望杯”邀请赛试题) 4．已知是质数，并且＋3也是质数，则－48的值为____________．(北京市竞赛试题) 5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是( )A．4B．8C．12D．06．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有( )A．0个B．1个C．2个D．3个(“希望杯”邀请赛试题) 7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有()A．1个B．3 个C．5个D．6 个(“希望杯”邀请赛试题) 8．设，，都是质数，并且＋=，<．求．9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．(上海市竞赛试题)10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．(五城市联赛试题)11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为cm规格的地砖，恰用块，若选用边长为cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知，，都是正整数，且(，)=1，试问这块地有多少平方米？(湖北省荆州市竞赛试题)B级1．若质数，满足5＋7=129，则＋的值为__________．2．已知，均为质数，并且存在两个正整数，，使得=＋，=×，则的值为__________．3．自然数，，，，都大于1，其乘积=2 000，则其和＋＋＋＋的最大值为__________，最小值为____________．(“五羊杯”竞赛试题) 4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_______________．(北京市“迎春杯”竞赛试题) 5．若，均为质数，且满足＋=2 089，则49－=_________．A．0B．2 007C．2 008D．2 010(“五羊杯”竞赛试题) 6．设为质数，并且7＋8和8＋7也都为质数，记=77＋8，=88＋7，则在以下情形中，必定成立的是()A．，都是质数B．，都是合数C．，一个是质数，一个是合数 D．对不同的，以上皆可能出现(江西省竞赛试题) 7．设，，，是自然数，并且，求证：＋＋＋一定是合数．(北京市竞赛试题)8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：⑴6个数中任意两个都互质；⑵6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．9．已知正整数，都是质数，并且7＋与＋11也都是质数，试求的值．(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．专题01 质数那些事例1 34例2 C例3 3符合要求提示：当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，显然p＋14是合数，当p=3k＋2时，p＋10=3(k＋4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意．例4 （1）因1＋2＋…＋2004=×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．（2）因n是大于2的正整数，则－1≥7，－1、、＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除，故－1与＋1中至多有一个数是质数．（3）设正整数a的所有正约数之和为b，，，，…，为a的正约数从小到大的排列，于是=1，=a．由于中各分数分母的最小公倍数=a，故S===，而a=360=，故b=（1＋2＋＋）×（1＋3＋）×（1＋5）=1170．==．例5 由=，得x＋y==k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=为整数．又t与2t－1互质，故2t－1整除p，p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；若2t－1=p，则=，2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x ＋y为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=必有某数含因数p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p是质数，则2a－1=p，a=，故x==，∴x＋y=＋=。
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第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。
问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：①(x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9，④|x|=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？① x =k4②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？7. 己知方程221463+=+-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？8. m 取什么整数值时，方程m m x 321)13(-=-的解是整数?9. 己知方程ax x b 231)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。
七年级数学竞赛讲座：因式分解(含答案详解)
初中数学竞赛辅导资料因式分解甲内容提要和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。
下面再介紹两种方法1．添项拆项。
是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。
（注意这里16是完全平方数）②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)2．运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。
例3因式分解：①x 3－5x 2+9x －6 ②2x 3－13x 2+3①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
初中数学竞赛 知识点和真题 第19讲 三角形的四心
第19讲三角形的“四心”有一个人开始跟欧几里德学习几何学，当他学完第一个命题时，他就问欧几里德：我能通过学习这些东西得到什么好处呢？于是欧几里德叫来他的仆人，并说：给他三个便士，因为他想从所学的知识中获取实利。
——斯托比亚斯知识方法扫描1．三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内切圆的圆心，称为三角形的内心。
如果△ABC的内心为I，则有①I 到△ABC的三边距离相等；1∠C；②∠AIB＝90°＋2③若延长CI交三角形ABC的外接圆于D，则DA=DB=DI。
2．三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点是三角形的外接圆的圆心，称为三角形的外心。
如果△ABC的外心为O，则有①O到三个顶点的距离相等；②∠AOB＝2∠C；③外心到一边的距离等于这边所对的顶点到垂心的距离的一半。
3．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。
如果△ABC的重心为G，则有①重心到一个顶点的距离是到对边中点距离的2倍；②△ABG，△BCG，△CAG的面积相等。
4．三角形的三条高所在的直线交于一点，这点称为三角形的垂心。
如果△ABC的垂心为H ，则有①若△ABC是锐角三角形，则∠AHB＝180°－∠C；②若AD是△ABC的高，AD交三角形ABC的外接圆于E，则DE=DH。
经典例题解析例1（1995年全国初中数学联赛试题）如图, 已知∠ACE＝∠CDE＝90°, 点B在CE上, CA＝CB＝CD, 过A、C、D三点的圆交AB于F. 求证：F为△CDE 的内心.分析若连结DF、CF, 显然要证明DF平分∠CDE,CF平分∠DCE. 证明DF平分∠CDE只要证∠CDF＝45°,这是容易解决的. 证明CF平分∠DCE可以转证∠CFD＝∠CFB, 这样便于与已知条件CA＝CD沟通起来.证明∵∠ACE＝90°, CA＝CB, ∴∠A＝45°.连结DF, 则∠CDF＝∠A＝45°.∵∠CDE＝90°, ∴DF平分∠CDE.连结AD、CF. ∵CA＝CD, ∴∠CAD＝∠CDA.∵∠CFD 与∠CAD 互补, ∠CFB 与∠CFA 互补,而∠CFA ＝∠CDA, ∴∠CFB 与∠CDA 互补.∴∠CFD ＝∠CFB. ∴F 是△CDE 的内心.例2 (河南省第三届初中数学竞赛试题) 一条直线DE 平分△ABC 的周长, 同时直线DE 又平分了△ABC 的面积. 求证：直线DE 经过△ABC 的内切圆圆心O.证明 如图, 设点D 、E 分别在边AB 、AC 上, r 为△ABC 的内切圆半径, 连结AO 、BO 、CO 、DO 、EO, 由题设, 得：AD ＋AE ＝BD ＋BC ＋CE,∵r ＞0, ∴2r (AD ＋AE)＝2r (BD ＋BC ＋CE).结合图形, 得：S △AOD ＋S △AOE ＝S △DOB ＋S △BOC ＋S △COE ①又∵DE 平分△ABC 的面积, 由图可知S △ADE ＝S 四边形BCED ②比较①、②, 可知只有当S △DOE ＝0时, 才能使两个等式都成立.，所以直线DE 经过△ABC 的内切圆圆心O.从而O 点必在DE 上, 即直线DE 经过△ABC 的内切圆圆心.例3（2001年我爱数学初中生夏令试题）在锐角△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足；DE ⊥AC ，E 为垂足；DF ⊥AB ，F 为垂足，O 为△ABC 的外心，求证：（1）△ABC ∽△AEF ；（2）AO ⊥EF 。
初一数学竞赛系列讲座全套
初一数学竞赛讲座(三)数字、数位及数谜问题一、一、知识要点1、整数的十进位数码表示一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成：122321*********a a a a a n n n n +⨯+⨯++⨯+⨯---其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i ≤9，a n ≠0.对于确定的自然数N ，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=121a a a a n n -2、正整数指数幂的末两位数字(1) (1) 设m 、n 都是正整数，a 是m 的末位数字，那么m n 的末位数字就是a n 的末位数字。
(2) (2) 设p 、q 都是正整数，m 是任意正整数，那么m 4p+q 的末位数字与m q 的末位数字相同。
3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。
这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑〞、“猜〞的方法求解，是一种有趣的数学游戏。
二、二、例题精讲例1、有一个四位数，其十位数字减去2等于个位数字，其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。
分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。
解：设所求的四位数为a ⨯103+b ⨯102+c ⨯10+d ，依题意得：(a ⨯103+b ⨯102+c ⨯10+d)+( d ⨯103+c ⨯102+b ⨯10+a)=9988∴ (a+d) ⨯103+(b+c) ⨯102+(b+c) ⨯10+ (a+d)=9988比拟等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18又∵c-2=d ，d+2=b ，∴b-c=0从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7故所求的四位数为1997评注：将整数用十进位数码表示，有助于将条件转化为等式，从而解决问题。
例2 一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，假设最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，那么称N 为“新生数〞，试求所有的三位“新生数〞。
全国初中数学竞赛辅导(初3)第19讲平面几何中的几个著名定理(2021年整理)
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第十九讲＊平面几何中的几个著名定理几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外,还有许多著名的定理,以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美,使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理．1．梅内劳斯定理亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年,他和斯巴达的Menelaus是两个人）曾著《球面论》,着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理"现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理．定理一直线与△ABC的三边AB，BC,CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q,P，S,见图3－98．由△AXQ∽△BXP得同理将这三式相乘，得说明（1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点,且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为AX×BY×CZ=XB×YC×ZA，仍然成立．(2）梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y,如果那么X,Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线．例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线．证如图3－99有相乘后得由梅内劳斯定理的逆定理得F,D，E共线．例2（戴沙格定理)在△ABC和△A′B′C′中，若AA′,BB′，CC′相交于一点S，则AB与A′B′,BC与B′C′，AC与A′C′的交点F，D,E共线．证如图3－100,直线FA′B′截△SAB，由梅内劳斯定理有同理，直线EC′A′和DC′B′分别截△SAC和△SBC,得将这三式相乘得所以D，E，F共线．2．塞瓦定理意大利数学家塞瓦(G．Ceva)在1678年发表了下面的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理．定理在△ABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA,AB相交于D，E，F,则证如图3－101，过B,C分别作直线AP的垂线，设垂足为H和K，则由于△BHD∽△CKD,所以同理可证将这三式相乘得说明 (1）如果P点在△ABC外,同样可证得上述结论,但P点不能在直线AB,BC，CA上，否则，定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理的结论应改为BD×CE×AF=DC×EA×FB，仍然成立．（2)塞瓦定理的逆定理也成立,即“在△ABC的边BC,CA，AB上分别取点D,E，F，如果那么直线AD，BE，CF相交于同一点．”证如图3－102，设AD和BE相交于P，作直线CP，交直线AB于F′，由塞瓦定理得所以 F′B=FB,即F′与F重合，所以AD，BE，CF相交于同一点．塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点．例3 求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点．证（1）如果D，E,F分别是△ABC的边BC,CA，AB的中点，则由塞瓦定理的逆定理得中线AD,BE,CF共点．(2)如果D，E,F分别是△ABC的内角平分线AD，BE，CF与边BC,CA，AB的交点，则由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD，BE,CF共点．（3)设D，E,F分别是△ABC的高AD，BE，CF的垂足．(i）当△ABC是锐角三角形时(如图3－103)，D，E,F分别在BC,CA,AB上，有BD=ccosB,DC=bcosC，CE=acosc，EA=ccosA，AF=bcosA，FB=acosB，所以由塞瓦定理的逆定理得高AD，BE，CF共点．（ii)当△ABC是钝角三角形时，有BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosC，EA=ccos（180°-A)=-ccosA，AF=bcos(180°-A）=—bcosA,FB=acosB，所以由塞瓦定理的逆定理，得高AD,BE,CF共点．（iii）当△ABC是直角三角形时,高AD,BE，CF都经过直角顶点，所以它们共点．例4 在三角形ABC的边上向外作正方形,A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点，证明:直线AA1,BB1,CC1相交于一点．证如图3－104．设直线AA1,BB1，CC1与边BC，CA,AB的交点分别为A2，B2，C2，那么BA2：A2C等于从点B和C到边AA1的垂线的长度之比，即其中∠θ=∠CBA1=∠BCA1．同理将上述三式相乘得根据塞瓦定理的逆定理，得AA1,BB1，CC1共点．3．斯台沃特定理定理△ABC的边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v，AD=t，则证过A作AE⊥BC，E为垂足（如图3－105)，设DE=x，则有AE2=b2-（v-x）2=c2-(u+x）2=t2—x2，(若E在BC的延长线上，则v-x换成x—v．)于是得消去x得（u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，这就是中线长公式．(2)当AD是△ABC的内角平分线时，由三角形的内角平分线的性质设a+b+c=2p，得这就是内角平分线长公式．（3)当AD是△ABC的高时，AD2=b2—u2=c2-v2．再由u+v=a,解得所以若设AD=h a，则这就是三角形的高线长公式．当D在BC的延长线上时，用—v代替v，同样可得高线长线公式．这就是三角形的面积公式．伦公式例5 如图3－106．在△ABC中，c＞b，AD是△ABC的角平分线,E在BC上，BE=CD．求证:AE2-AD2=(c-b)2．证为方便起见，设BD=u，DC=v，则BE=v，EC=u．由斯台沃特定理得所以因为AD是角平分线，所以于是4．托勒密定理托勒密(Ptolemy，约公元85~165年）是古代天文学的集大成者．一般几何教科书中的“托勒密定理”（圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus）之手，托勒密只是从他的书中摘出。
初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)
第一讲 有 理 数一、有理数的概念及分类。
二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。
三、例题示范例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？例2、 将9998,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。
提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。
试确定三个数ca b ab 1,1,1-的大小关系。
分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较ca b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。
例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。
提示：P=na b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。
3、算对与算巧例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002提示：1、逆序相加法。
2、求和公式：S=(首项+末项)⨯项数÷2。
例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002例8、 计算9999991999999个个个n n n +⨯ 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。
初中八年级数学培优竞赛辅导讲义全册(213页)
初中八年级数学培优竞赛辅导讲义（共213页，按住ctrl键点击目录直接跳转到对应章节）第1讲全等三角形的性质与判定 (2)第2讲角平分线的性质与判定 (12)第3讲轴对称及轴对称变换 (17)第4讲等腰三角形 (25)第5讲等边三角形 (37)第06讲实数 (43)第7讲变量与函数 (50)第8讲一次函数的图象与性质 (55)第9讲一次函数与方程、不等式 (64)第10讲一次函数的应用 (69)第11讲幂的运算 (81)第12讲整式的乘除 (87)第13讲因式分解及其应用 (94)第14讲分式的概念•性质与运算 (101)第15讲分式的化简求值与证明 (109)第16讲分式方程及其应用 (118)第17讲反比例函数的图象与性质 (126)第18讲反比例函数的应用 (139)第19讲勾股定理 (146)第20讲平行四边形 (158)第21讲菱形与矩形 (167)第22讲正方形 (175)第23讲梯形 (185)第24讲数据的分析 (194)B AC D EF 第1讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等A F C E DB D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAAFECB DAE第1题图A BCDEBCDO第2题图B （E ）OC F 图③DA【变式题组】01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C 落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°C．AC＝DF D．EC＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, 2AB QCBP CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQE FBACDG第2题图21ABCPQEFD⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D第1题图a αcca50° b72° 58°A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCEABE D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFCD 第1题图B第2题图第3题图AB C DEAEBDC＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲
2．根椐质数定义可知
1)质数只有1和本身两个正约数，
2)质数中只有一个偶数2
如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，
如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。
8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________
9．从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行
调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习
１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）
①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296
那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数． 即32，33，34，35就是所求的一组数。
本题可推广到n个。
令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N＋2，N＋3，N＋4，……N＋(n+1)就是所求的合数。
练习3
1．小于100的质数共___个，它们是__________________________________
三在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。
例如 近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米；
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第一讲 有 理 数一、有理数的概念及分类。
二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。
三、例题示范1、数轴与大小例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？例2、 将9998,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。
提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。
试确定三个数ca b ab 1,1,1-的大小关系。
分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较ca b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。
例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。
提示：P=na b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。
3、算对与算巧例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002提示：1、逆序相加法。
2、求和公式：S=(首项+末项)⨯项数÷2。
提示：仿例5，造零。
结论：2003。
例8、 计算9999991999999个个个n n n +⨯ 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。
例9、 计算-+++⨯----)200213121()2001131211( )200113121()2002131211(+++⨯---- 提示：字母代数，整体化：令200113121,2001131211+++=----= B A ，则 例10、计算（1）100991321211⨯++⨯+⨯ ；（2）100981421311⨯++⨯+⨯ 提示：裂项相消。
常用裂项关系式：（1）nm mn n m 11+=+； （2）111)1(1+-=+n n n n ； （3）)11(1)(1m n n m m n n +-=+； （4）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 。
例11 计算 n+++++++++++321132112111 （n 为自然数） 例12、计算 1+2+22+23+…+22000提示：1、裂项相消：2n =2n+1-2n ；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+22000，则S=2S -S=22001-1。
例13、比较200022000164834221+++++= S 与2的大小。
提示：错项相减：计算S 21。
第二讲 绝 对 值一、知识要点1、绝对值的代数意义；2、绝对值的几何意义： （1）|a|、（2）|a-b|；3、绝对值的性质：（1）|-a|=|a|, |a|≥0 , |a|≥a ； （2）|a|2=|a 2|=a 2；（3）|ab|=|a||b|； （4）||||||b a b a =（b ≠0）；（1） 最简单的绝对值方程|x|=a 的解：⎪⎩⎪⎨⎧=±=0000 a a a a x 无解（2）解题方法：换元法，分类讨论法。
二、绝对值问题解题关键：（1）去掉绝对值符号； （2）运用性质； （3）分类讨论。
三、例题示范例1 已知a <0，化简|2a-|a||。
提示：多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。
例2 已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a ，则a+b= ，满足条件的a 有几个？例3 已知a 、b 、c 在数轴上表示的数如图，化简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。
例4 已知a 、b 、c 是有理数，且a+b+c=0，abc >0，求||||||c b a b a c a c b +++++的值。
注：对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。
例5 已知：例6 已知3π-=x ，化简：m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。
例7 已知|x+5|+|x-2|=7，求x 的取值范围。
提示：1、根轴法；2、几何法。
例8 是否存在数x,使|x+3|-|x-2|>7。
提示：1、根轴法；2、几何法。
例9 m 为有理数，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。
提示：结合几何图形，就m 所处的四种位置讨论。
结论：最小值为8。
例10（北京市1989年高一数学竞赛题）设x 是实数，例11 （1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p ＜15.对于满足p≤x≤15的x 的来说，T 的最小值是多少？解 由已知条件可得：T=（x-p ）+（15-x ）+（p+15-x ）=30-x.∵当p≤x≤15时，上式中在x 取最大值时T 最小；当x=15时，T=30-15=15，故T 的最小值是15.例12 若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.证 设两数为a 、b ，则|a|+|b|=|a||b|.∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0. ∴|b|-1=||ab ＞0，∴|b|＞1. 同理可证|a|＞1. ∴a、b 都不在-1与1之间.例13 某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、11、3、14台，现在为使各校电脑数相等，各调几台给邻校：一小给二小、二小给三小、三小给四小、四小给五小、五小给一小。
若甲小给乙小 3台，即为乙小给甲小三台，要使电脑移动的总台数最少，应怎样安排？例14 解方程（1）|3x-1|=8 （2） ||x-2|-1|=21 （3）|3x-2|=x+4 （4）|x-1|+|x-2|+|x+3|=6.例15（1973年加拿大中学生竞赛题）求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解.分析 解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令x+3=0,x-1=0，分别得x=-3,x=1,-3,1将全部实数分成3段：x ＜-3或-3≤x＜1或x≥1，然后在每一段上去绝对值符号解方程，例如，当x ＜-3时，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x=-5满足x ＜-3，故是原方程的一个解，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解，这种方法叫做“零点”分段法，x=-3，x=1叫做零点.第三讲 一次方程（组）一、基础知识1、方程的定义：含有未知数的等式。
2、一元一次方程：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程。
3、方程的解（根）：使方程左右两边的值相等的未知数的值。
4、字母系数的一元一次方程：ax=b 。
其解的情况：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠====≠。
，b a ；，b a a b x ，a 无解时当解这任意数时当有唯一解时当0,00;05、一次方程组：由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。
常见的是二元一次方程组，三元一次方程组。
6、方程式组的解：适合方程组中每一个方程的未知数的值。
7、解方程组的基本思想：消元（加减消元法、代入消元法）。
二、例题示范例1、 解方程1}8]6)432(51[71{91=++++x 例2、 关于x 的方程6232bk x a kx -+=+中，a,b 为定值，无论k 为何值时，方程的解总是1，求a 、b 的值。
提示：用赋值法，对k 赋以某一值后求之。
例3、（第36届美国中学数学竞赛题）设a ，a ＇b ，b ＇是实数，且a 和a ＇不为零，如果方程ax+b=0的解小于a /x+b ＇=0的解，求a ，a ＇b ，b ＇应满足的条件。
例4 解关于x 的方程1)1(2+=-ax x a .提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就a 进行讨论例5 k 为何值时，方程9x-3=kx+14有正整数解？并求出正整数解。
提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就k 进行讨论。
例6（1982年天津初中数学竞赛题）已知关于x ，y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5－2a=0，当a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何a 值它都能使方程成立吗？分析 依题意，即要证明存在一组与a 无关的x ，y 的值，使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立，令a 取两个特殊值（如a=1或a=-2），可得两个方程，解由这两个方程构成的方程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证，本例的另一典型解法例7（1989年上海初一试题），方程并且abc≠0，那么x____ 提示：1、去分母求解；2、将3改写为bb a ac c ++。
例8（第4届美国数学邀请赛试题）若x 1,x 2,x 3,x 4和x 5满足下列方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++=++++96248224212262543214321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x确定3x 4+2x 5的值.说明：整体代换方法是一种重要的解题策略.例9 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=+++=++)3(3)2(2)1(1m mz y x m z my x m z y mx 提示：仿例8，注意就m 讨论。
例10 如果方程组⎩⎨⎧=--+=-+0253032m y x m y x （1）的解是方程2x-y=4（2）的解，求m 的值。
提示：1、从（1）中解出x,y 用m 表示，再代入（2）求m ；2、在（1）中用消元法消去m 再与（2）联立求出x,y ，再代入（1）求m 。
例11 如果方程ax+by+cz=d 对一切x,y,z 都成立，求a,b,c,d 的值。
提示：赋值法。
例12 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=332x z x z z y x 。
提示：引进新未知数第四讲 列方程（组）解应用题一、知识要点1、 列方程解应用题的一般步骤：审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等.2、 列方程解应用题要领：（1） 善于将生活语言代数化；（2） 掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）；（3） 善于寻找数量间的等量关系。