初中数学竞赛专题选讲《对称式》

初中数学竞赛专题选讲对称式

一、内容提要

一.定义

1.在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z任意交换两个后，代数式

的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.

例如：代数式x+y，xy，x3+y3+z3－3xyz, x5+y5+xy, ，

. 都是对称式.

其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.

2.在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z循环变换后代数式的值不

变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.

例如：代数式 a2(b－c)+b2(c－a)+c2(a－b), 2x2y+2y2z+2z2x, ，（xy+yz+zx）(，.

都是轮换式.

显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.

二.性质

1.含两个变量x和y的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介

绍.

2.对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，

且系数相等.

例如：在含x, y, z的齐二次对称多项式中，

如果含有x2项，则必同时有y2, z2两项；如含有xy项，则必同时有yz, zx两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：

m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n是常数.

3.轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的

一切同型式，且系数相等.

例如：轮换式a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)中，有因式a－b一项, 必有同型式b－c和c－a两项.

4.两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.

例如：∵x+y, xy都是对称式，

∴x+y＋xy，（x+y）xy，等也都是对称式.

∵xy+yz+zx和都是轮换式，

∴＋xy+yz+z，（）（xy+yz+z）. 也都是轮换式.. 二、例题

例1.计算：（xy+yz+zx）(－xyz(.

分析：∵（xy+yz+zx）(是关于x,y,z的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy分别乘以，，连同它的同型式一齐写下.

解：原式＝（）＋（z+x＋y）+(y+z+x)－()

＝2x+2y+2z.

例2. 已知：a+b+c=0, abc≠0.

求代数式的值

（1989年泉州市初二数学双基赛题）

分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的

同型式.

解：∵＝＝，

∴＝－－－

＝－＝0.

例3. 计算：（a+b+c）3

分析：展开式是含字母a, b, c的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.

例4. 解：设（a+b+c）3＝m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.

（m, n, p是待定系数）

令a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得m=1；

令a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得2m+2n=8；

令a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.

解方程组得

∴（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.

例5. 因式分解：

①a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)；

②（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5.

解：①∵当a=b时，a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝0.

∴有因式a－b及其同型式b－c, c－a.

∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a－b）(b－c)(c－a)，可得

一次齐次的轮换式a+b+c.

用待定系数法：

得a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝m(a+b+c)（a－b）(b－c)(c－a)

比较左右两边a3b的系数，得m=－1.

∴a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝－(a+b+c)（a－b）(b－c)(c－a).

②x=0时，（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5＝0

∴有因式x，以及它的同型式y和z.

∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz，其商是二次齐次轮换式.

∴用待定系数法：

可设（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5

＝xyz［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.

令x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数，得 80=m+n；

令x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数，得 480=6m+n.

解方程组

得.

∴（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5＝80xyz(x+y+z).

三、练习

1.已知含字母x,y,z的轮换式的三项x3+x2y－2xy2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿＿＿

＿＿＿＿＿＿＿＿.

2.已知有含字母a,b,c,d的八项轮换式的前二项是a3b－(a－b)，试接着写完全代数式

_________________________________.

3.利用对称式性质做乘法，直接写出结果：

①（x2y+y2z+z2x）（xy2+yz2+zx2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

②（x+y+z）（x2+y2+z2－xy－yz－zx）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

4. 计算：（x+y）

5.

5. 求（x+y）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.

6.因式分解：

①ab(a－b)+bc(b－c)+ca(c－a)；

②(x+y+z)3－(x3+y3+z3)；

③（ab+bc+ca）(a+b+c)－abc；

④a(b－c)3+b(c－a)3+c(a－b)3.