初中数学竞赛专题选讲 一元二次方程的根(含答案)
201X中考数学专题训练 一元二次方程的根(含解析)
一元二次方程的根一、单选题1.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a值为（）A. 1B. -1C. 1或-1 D.2.一元二次方程x2﹣1=0的根是（）A. 1B. ﹣1 C. D. ±13.关于x的一元二次方程x2-5x+p2-2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（）A. 4B. 0或2 C. 1 D. －14.方程的解是( )A. B. C. ， D. ，5.关于x的一元二次方程的一个根为2，则的值是（）A. B. C. D.6.一元二次方程ax2+x+c=0，若4a-2b+c=0，则它的一个根是（）A. -2B.C. -4D. 27.一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（）A. 1B. 2C. ﹣1 D. ﹣28.若α，β是方程x2+2x﹣xx=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A. xxB. 2003C. ﹣xxD. 40109.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2-7x+12=0的两根，则这个三角形的斜边长是（）A. B. 7 C. 5 D. 1210.若一元二次方程有一个根为，则下列等式成立的是（）A. B. C. D.11.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0有一个根为0，则m的值（）A. 0B. 1或2 C. 1 D. 212.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（）A. 若x2=4，则x=2B. 若x2+2x+k=0有一根为2，则k=﹣8C. 方程x（2x﹣1）=2x﹣1的解为x=1D. 若分式的值为零，则x=1，213.若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A. 1B. 0C. ﹣1 D. 2二、填空题14.若x=2是关于x的方程的一个根，则a 的值为________.15.若方程x2+mx+1=0的一个根是2，则m=________．16.关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是________ ．17.若x=﹣2是关于x的方程x2﹣2ax+8=0的一个根，则a=________．18.方程=﹣x的根是________．19.已知关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则xx﹣a﹣b的值是________．20.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是________三、计算题21.先化简，再求值，其中m是方程x2+3x﹣1=0的根．22.阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．请你按照上述解题思想解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．23.先化简，再求值：÷（a﹣1+ ），其中a是方程x2﹣x=6的根．24.已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，求m（m+1）2﹣m2（m+3）+4的值．四、解答题25.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的一根为2，求方程的另一根及k的值．26.已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．27.如图△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=5cm；△DEF中，∠D=90º,∠E=45º,DE=3cm.现将△DEF的直角边DF与△ABC的斜边AB重合在一起，并将△DEF沿AB方向移动（如图）.在移动过程中，D、F两点始终在AB边上（移动开始时点D与点A重合，一直移动至点F与点B重合为止）.（1）在△DEF沿AB方向移动的过程中，有人发现：E、B两点间的距离随AD的变化而变化，现设AD=x , BE=y,请你写出y与x之间的函数关系式及其定义域.（2）请你进一步研究如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，E、B的连线与AC平行？问题②：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠EBD=22.5°，如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由.问题③：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、EB、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？五、综合题28.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求OA、OB的长．（2）若点E为x轴正半轴上的点，且S△AOE= ，求经过D、E两点的直线解析式及经过点D的反比例函数的解析式，并判断△AOE与△AOD是否相似．（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．29.关于x的一元二次方程x2﹣6x+p2﹣2p+5=0的一个根为2．（1）求p值．（2）求方程的另一根．答案解析部分一、单选题1.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a值为（）A. 1B. -1C. 1或-1 D.【答案】B【考点】一元二次方程的解【解析】【分析】由题意把x=0代入一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0即可得到关于a的方程，求得a的值，再结合二次项系数不为0即可求得结果。
初中数学竞赛：韦达定理(附练习题及答案)
初中数学竞赛：韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。
思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。
思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。
【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。
初中数学竞赛第三讲充满活力的韦达定理(含答案)
第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．思路点拨 所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2 思路点拨 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式．【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ． 思路点拨 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手．【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值．思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．【例5】 已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由．(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长．思路点拨 对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式．注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．学历训练A 组1．(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 ． (2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．2．已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 ．3．CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ．4．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，35．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )A ．23B ．25 C ．5 D ．2 6．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是( ) A ．1 B ．-l C ．21- D ．21 7．若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?8．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ．(1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值．B 组9．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．10．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ．11．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．12．两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则b a a b +的值是( ) A ．9413 B ．1949413 C ．999413 D ．979413 13．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x14．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43C ．143≤<m D ．43≤m ≤115．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根．(1)求rn 的值；（2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的31，请说明理由．16．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2)求22212111x mx x mx -+-的最大值．17．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．18．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值．参考答案。
一元二次方程的整数根
例 2 (2000 年全国初中数学联赛试题)设关于 x 的二次方程 (k2－6k＋8)﹒x2＋(2k2－6k－4)x＋k2＝4
的两根都是整数.求满足条件的所有实数 k 的值.
分析 此题也可通过直接求根法求出二根，但是它的条件与例 1 不同，例 1
况。 解 若 k=6, 则 x=-2; 若 k=9, 则 x=3；
若 k≠6 且 k≠9，原方程可化为 [(k-6)x-9][(k-9)x-6] = 0 ,故方程的二
根为 x1＝ k 9 6 ，x2＝ k 6 9 .为使 x1 和 x2 都是整数，则应有 k-6 = ±1,±3,± 9 ， k=-3,3,5,7,9,15;还 应 有 k-9 = ± 1,± 2, ± 3,± 6, k=3,6， 7,8,10,11,12，15. 所以 k=3,7,15时，x 1 和 x 2都是整数，
当 m =1 时，方程 mx2-6x+9=0 的二根均为 1，方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0 的
二根为-1 和 5，符合要求。 当 m =-1 时，方程 mx2-6x+9=0 的二根均不是整数,不符合要求. 所以仅当 m=1 时，方程的两根都是整数。 例 4． (1996 年上海市初中数学竞赛试题)若关于 x 的方程 ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
a = 25, 18, 16, -9, -2, 0
因 a 为正实数，于是 a 25 或 18或 16均为所求.
例 8 (第十七届全俄数学奥林匹克十年级试题)求使方程 x2-pqx+p+q=0 有
整数根的所有正整数 p 和 q．
解 设原方程两根为 x1、x2，则 x1x2 = p+q
专题培优-一元二次方程的整数根(含答案)
一元二次方程的整数根1.使一元二次方程x2+3x+m=0有整数根的非负整数m的个数为( )．A. 0B. 1C. 2D. 32.满足(n2-n-1)n+2＝1的整数n有________个．3.已知关于x的方程（a－1）x2＋2x－a－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数a有________个．4.方程x2+px+q=0的两个根都是正整数，并且p+q＝1992，则方程较大根与较小根的比等于________.5.已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相同的正整数根，则k＝________.6.关于x的一元二方程4x2+4mx+m2+m-10=0(m为正整数)有整数根，则满足条件的m值的个数为________个．7.已知关于x的方程((m2−1)x2−3(3m−1)x+18=0有两个正整数根(m是整数)．△ABC的三边a，b，c满足c=2√3，m2+a2m−8a=0，m2+b2m−8b=0．求：(1)m的值；(2)△ABC的面积．8.当k为何整数时，方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72＝0有两个不相等的正整数根?9.当n为何整数时，关于x的一元二次方程x2-3nx+2n2-6=0的两根都为整数?10.求这样的正整数a，使得方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0至少有一个整数解．11.设关于x的一元二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2＝4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值．12.已知m，n为正整数，关于x的方程x2-mnx+(m+n)=0有正整数解，求m，n的值．13.k为何值时，关于x的方程x2-4mx+4x+3m2-2m+4k=0的根是有理数?14.已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值．15.已知一元二次方程x2+ax+b=0，①有两个连续的整数根，一元二次方程x2+bx+a=0，②有整数根，求a，b的值．答案1.C2.43.54.9975.26.47.解：（1）∵关于x 的方程（m 2-1）x 2-3（3m -1）x +18=0有两个正整数根（m 是整数）．∵a =m 2-1，b =-9m +3，c =18，∴b 2-4ac =（9m -3）2-72（m 2-1）=9（m -3）2≥0，设x 1，x 2是此方程的两个根，∴x 1•x 2=c a =18m 2−1，∴18m 2−1也是正整数，即m 2-1=1或2或3或6或9或18， 又m 为正整数，∴m =2；（2）把m =2代入两等式，化简得a 2-4a +2=0，b 2-4b +2=0当a =b 时，a =b =2±√当a ≠b 时，a 、b 是方程x 2-4x +2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a +b =4＞0，ab =2＞0，则a ＞0、b ＞0．①a ≠b ，c =2√3时，由于a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =16-4=12=c2 故△ABC 为直角三角形，且∠C =90°，S △ABC =12ab =1．②a =b =2-√2，c =2√3时，因2(2−√2)＜2√3，故不能构成三角形，不合题意，舍去． ③a =b =2+√2，c =2√3时，因2(2+√＞2√3，故能构成三角形．S △ABC =12×（2√）×√=√综上，△ABC 的面积为1或√． 8.解：∵k 2-1≠0∴k ≠±1∵△=36（k -3）2＞0∴km ≠3用求根公式可得：x 1=6k−1，x 2=12k+1∵x 1，x 2是正整数∴k -1=1，2，3，6，k +1=1，2，3，4，6，12，解得k =2．这时x 1=6，x 2=4． 9.解：原方程变形得(x −2n)(x −n)=6，∵x ，n 均为整数，∴原方程化为{x −2n =±2,x −n =±3或{x −2n =±3,x −n =±2或{x −2n =±6,x −n =±1或{x −2n =±1,x −n =±6，解得n =-1或1或-5或5．10.解：原方程变形为(x ＋2)2a =2x ＋7(x ≠−2)，解得a =2x ＋7(x ＋2)2.∵a ≥1，∴2x ＋7(x ＋2)2⩾1，∴-3≤x ≤1，∴x 可取值为-3，-1，0，1，分别代入a =2x ＋7(x ＋2)2中，解得a ＝1或a ＝5或a =74或a ＝1．又∵a 是正整数，∴当a ＝1或a ＝5时，方程至少有一个整数解. 11.解：原方程可化为[(k −4)x ＋(k −2)][(k −2)x ＋(k ＋2)]=0，∵k 2−6k ＋8=(k −4)(k −2)≠0，∴x 1=−k−2k−4=−1−2k−4，x 2=−k ＋2k−2=−1−4k−2， ∴k −4=−2x 1＋1，k −2=−4x 2＋1(x 1≠−1,x 2≠−1)，消去k ，得x 1x 2＋3x 1＋2=0. ∴x 1(x 2＋3)=−2．由于x 1，x 2都是整数，∴{x 1=−2,x 2＋3=1或{x 1=1,x 2＋3=−2或{x 1=2,x 2＋3=−1.或{x 1=−2,x 2=−2或{x 1=1,x 2=−5或{x 1=2,x 2=−4． ∴k =6或3或103.经检验均满足题意．12.解：设方程x 2−mnx +(m +n )=0的两根分别为：x 1,x 2，∵m ，n 为正整数，∴x 1+x 2=mn >0,x 1⋅x 2=m +n >0，∴这两个根x 1,x 2均为正数，又∵(x 1−1)(x 2−1)+(m −1)(n −1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1−[mn −(m +n )+1]=(m +n )−mn +1+[mn −(m +n )+1]=2， 其中(x 1−1)(x 2−1)，m −1，n −1均非负，而为两个非负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0.∵(x 1−1)(x 2−1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1=m +n −mn +1,(m −1)(n −1)=mn −(m +n )+1，∴{m +n −mn +1=0mn −(m +n)+1=2或{m +n −mn +1=1mn −(m +n )+1=1或{m +n −mn +1=2mn −(m +n)+1=0，解得：{m =2n =3或{m =3n =2或{m =2n =2或{m =1n =5或{m =5n =1.13.解：根据题意得：△=(-4m +4)2-4×(3m 2-2m +4k )=4(m 2-6m +4-4k )，∵方程的解为有理数，∴4(m 2-6m +4-4k )是一个完全平方数，即4-4k =9，解得：k =-54. 14.解：设方程x 2+ax +b =0的两个根为α，β，∵方程有整数根，设其中 α，β为整数，且α≤β，则方程x 2+cx +a =0的两根为α+1，β+1，∴α+β=-a ，(α+1)(β+1)=a ，两式相加，得 αβ+2α+2β+1=0，即 (α+2)(β+2)=3，∴{α+2=1β+2=3或{α+2=−3β+2=−1.解得{α=−1β=1或{α=−5β=−3.又 ∵a =-(α+β)=-[(-1)+1]=0，b =αβ=-1×1=-1，c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-1+1)+(1+1)]=-2， 或a =-(α+β)=-[(-5)+(-3)]=8，b =αβ=(-5)×(-3)=15，c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-5+1)+(-3+1)]=6， ∴a =0，b =-1，c =-2；或者a =8，b =15，c =6，∴a +b +c =0+(-1)+(-2)=-3或a +b +c =8+15+6=29，故a +b +c =-3，或29．15.解：设方程①的两个根式n ,n +1,则{n +(n +1)=−a n(n +1)=b∴a =-(2n +1)，b =n (n +1)，则方程②可变为x 2+n (n +1)x -(2n +1)=0③，∵方程③有整数根，视n 为主元，∴n 2x +n (x -2)+x 2-1=0④有整数解，∴设△=(x -2)2-4x (x 2-1)=x 2+4-4x 3=p 2（p 为正整数），∴x 2(1-4x )=(p +2)(p -2)⑤.∵p +2＞p -2，∴{p +2=x 2p −2=1−4x ⑥，{p +2=x p −2=(1−4x)x ⑦，{p +2=1−4x p −2=x2⑧，{p +2=(1−4x)x p −2=x ⑨， 由⑥得：x 2+4x -1=0，解得：x 1=-5，x 2=1，把x 1=-5代入③得：n =-3或n =85（不合题意，舍去），当n =-3时，a =5，b =6， 把x 2=1代入③得：n 1=0，n 2=1，当n =0时，a =-1，b =0，当n =1时，a =-3，b =2， 对⑦，⑧，⑨继续讨论.综上所述，{a =−1b =0或{a =−3b =2或{a =5b =6.。
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题(三种方法)
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）设p为质数，且关于x的方程x²+px-1170p=0的一个根为正整数，求p 的值；题目如上，很简洁，那么相对的，难度也会很不简单。
首先根据十字相乘法，将-1170p拆分因数，可得-、3、3、10、13、p，那么要求组合而成的两个因数之和还必须=p，那么我们可以看到除了10和p之外，其他三个数的个位都是3，首先可以排除1170×p这种形式，那么就可以确定不含p的一个因数的个位必定为3、9或7，同时p肯定要比1170小，所以我们可以分情况来讨论，先将负号放在一边，那么：①若其中一个因数为3×3=9，那么另一个则为130p，明显不行；②若其中一个因数为3×13=39，那么另一个则为30p，由于p至少得是2，所以无论p取哪个质数，39和30p的差值都不会是p，也不行；③若其中一个因数为3×10=30，那么另一个则为39p，同②也不行；④若其中一个因数为3×3×10=90，那么另一个则为13p，则需要p乘以13后个位数与p相同，那么p的个位数只能是5，而个位是5的质数只有5，当p=5时，也不行；⑤若其中一个因数为3×3×13=117时，那么另一个为10p，这个更没有合适的p；⑥若其中一个因数位10×13=130时，那么另一个为9p，当p=13时，9p=117,130与117的差值刚好为13=p，所以这个合适；所以最终就能得到p=13；这是一个一个情况罗列出来求解，那么能不能不这么麻烦呢？我们重新看一下1170拆分出来的3、3、10、13、p这五个因数，想要组成的两个因数差值等于p，那么也就是说不含p的那个因数里面含有p-1或者p+1这个因数，而其他部分的因数组成完全相同，那么这样一来，我们就可以将这四个已知的因数先分一下组，有两个因数3，那么假设这两个3分别在两个因数中，那么剩余的10、13、p这三个因数怎么也不可能凑出来差值等于p，为什么呢？因为有三个因数，怎么分呢？所以，剩余三个因数肯定是没法分的，那么也就是说两个3要在同一组当中，那么我们可以将两个3看做一个因数9，现在就变成了四个因数9、10、13、p，需要其中有两个因数相同，那么p肯定是9、10、13中的其中一个，那么别忘了，不相同的两个因数差值必须是1，才能凑出p这个差值，那么我们就可以先选出差值是1的两个因数9和10，也就是说，p就只能和剩下的那个13相等了，将p=13放进去，验证一个因数为130，另一个因数为117，130-117=13=p成立，所以p=13符合；老师用的方法和答案上提供的不同，题后答案如下：x²=p（1170-p），因为p是质数，所以x中肯定含有p这个因数，所以设x=np，那么（np）²=p（1170-p），所以n²p=1170-p，变形为n（n+1）p=9×10×13那么p=13；。
初中数学竞赛：求根公式(附练习题及答案)
初中数学竞赛：求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。
【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。
【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。
思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。
【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值。
思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。
注：一元二次方程常见的变形形式有：(1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换；(2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次；(3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x 。
2019中考数学专题训练 一元二次方程的根(含解析)
一元二次方程的根一、单选题1.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a值为（）A. 1B. -1C. 1或-1D.2.一元二次方程x2﹣1=0的根是（）A. 1B. ﹣1C.D. ±13.关于x的一元二次方程x2-5x+p2-2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（）A. 4B. 0或2C. 1D. －14.方程的解是( )A. B. C.， D. ，2 25.关于x 的一元二次方程的一个根为2，则 的值是（ ）A.B.C.D.6.一元二次方程ax 2+x+c=0，若4a-2b+c=0，则它的一个根是（ ） A. -2B.C. -4D. 27.一元二次方程x 2+px ﹣2=0的一个根为2，则p 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. ﹣1 D. ﹣28.若α，β是方程x 2+2x ﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ） A. 2005 B . 2003 C. ﹣2005 D. 40109.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x 2-7x+12=0的两根，则这个三角形的斜边长是（ ）A.B. 7C. 5D. 12 10.若一元二次方程有一个根为，则下列等式成立的是（ ）A.B.C.D.11.若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0有一个根为0，则m 的值（ ） A. 0 B. 1或2C. 1D. 212.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（）A. 若x2=4，则x=2B. 若x2+2x+k=0有一根为2，则k=﹣8C. 方程x（2x﹣1）=2x﹣1的解为x=1 D. 若分式的值为零，则x=1，213.若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A. 1B. 0C. ﹣1D. 2二、填空题14.若x=2是关于x的方程的一个根，则a 的值为________.15.若方程x2+mx+1=0的一个根是2，则m=________．16.关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是________ ．17.若x=﹣2是关于x的方程x2﹣2ax+8=0的一个根，则a=________．18.方程=﹣x的根是________．19.已知关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是________．20.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是________三、计算题21.先化简，再求值，其中m是方程x2+3x﹣1=0的根．22.阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；34 4当y=4时，x 2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=﹣1，x 3=2，x 4=﹣2．请你按照上述解题思想解方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12=0． 23.先化简，再求值：÷（a ﹣1+ ），其中a 是方程x 2﹣x=6的根．24.已知m 是方程x 2﹣x ﹣1=0的一个根，求m （m+1）2﹣m 2（m+3）+4的值． 四、解答题25.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+k=0的一根为2，求方程的另一根及k 的值． 26.已知m 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m ﹣1）的值． 27.如图△ABC 中，∠C=90º，∠A=30º，BC=5cm ；△DEF 中，∠D=90º,∠E=45º,DE=3cm.现将△DEF 的直角边DF 与△ABC 的斜边AB 重合在一起，并将△DEF 沿AB 方向移动（如图）.在移动过程中，D 、F 两点始终在AB 边上（移动开始时点D 与点A 重合，一直移动至点F 与点B 重合为止）.（1）在△DEF 沿AB 方向移动的过程中，有人发现：E 、B 两点间的距离随AD 的变化而变化，现设AD=x , BE=y,请你写出y 与x 之间的函数关系式及其定义域. （2）请你进一步研究如下问题：问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，E 、B 的连线与AC 平行？ 问题②：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠EBD=22.5°，如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由.问题③：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、EB 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形？ 五、综合题28.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是平行四边形，AD=6，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣7x+12=0的两个根，且OA ＞OB ．（1）求OA、OB的长．（2）若点E为x轴正半轴上的点，且S△AOE = ，求经过D、E两点的直线解析式及经过点D的反比例函数的解析式，并判断△AOE与△AOD是否相似．（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．29.关于x的一元二次方程x2﹣6x+p2﹣2p+5=0的一个根为2．（1）求p值．（2）求方程的另一根．56 6 答案解析部分一、单选题1.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a值为（）A. 1B. -1C. 1或-1D.【答案】B【考点】一元二次方程的解【解析】【分析】由题意把x=0代入一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0即可得到关于a的方程，求得a的值，再结合二次项系数不为0即可求得结果。
中考数学专题训练一元二次方程的根(含解析)
一元二次方程的根一、单选题1.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a值为（）A. 1B. -1C. 1或-1 D.2.一元二次方程x2﹣1=0的根是（）A. 1B. ﹣1 C. D. ±13.关于x的一元二次方程x2-5x+p2-2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（）A. 4B. 0或2 C. 1 D. －14.方程的解是( )A. B. C. ， D. ，5.关于x的一元二次方程的一个根为2，则的值是（）A. B. C.D.6.一元二次方程ax2+x+c=0，若4a-2b+c=0，则它的一个根是（）A. -2B.C. -4D. 27.一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（）A. 1B. 2C. ﹣1 D. ﹣28.若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A. 2005B. 2003C. ﹣2005 D. 40109.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2-7x+12=0的两根，则这个三角形的斜边长是（）A. B. 7 C. 5D. 1210.若一元二次方程有一个根为，则下列等式成立的是（）A. B. C.D.11.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0有一个根为0，则m的值（）A. 0B. 1或2 C. 1 D. 212.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（）A. 若x2=4，则x=2B. 若x2+2x+k=0有一根为2，则k=﹣8C. 方程x（2x﹣1）=2x﹣1的解为x=1D. 若分式的值为零，则x=1，213.若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A. 1B. 0C. ﹣1 D. 2二、填空题14.若x=2是关于x的方程的一个根，则a 的值为________.15.若方程x2+mx+1=0的一个根是2，则m=________．16.关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是________ ．17.若x=﹣2是关于x的方程x2﹣2ax+8=0的一个根，则a=________．18.方程=﹣x的根是________．19.已知关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是________．20.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是________三、计算题21.先化简，再求值，其中m是方程x2+3x﹣1=0的根．22.阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．请你按照上述解题思想解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．23.先化简，再求值：÷（a﹣1+ ），其中a是方程x2﹣x=6的根．24.已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，求m（m+1）2﹣m2（m+3）+4的值．四、解答题25.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的一根为2，求方程的另一根及k的值．26.已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．27.如图△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=5cm；△DEF中，∠D=90º,∠E=45º,DE=3cm.现将△DEF的直角边DF与△ABC的斜边AB重合在一起，并将△DEF沿AB方向移动（如图）.在移动过程中，D、F两点始终在AB边上（移动开始时点D与点A重合，一直移动至点F 与点B重合为止）.（1）在△DEF沿AB方向移动的过程中，有人发现：E、B两点间的距离随AD的变化而变化，现设AD=x , BE=y,请你写出y与x之间的函数关系式及其定义域.（2）请你进一步研究如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，E、B的连线与AC平行？问题②：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠EBD=22.5°，如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由.问题③：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、EB、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？五、综合题28.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求OA、OB的长．（2）若点E为x轴正半轴上的点，且S△AOE= ，求经过D、E两点的直线解析式及经过点D的反比例函数的解析式，并判断△AOE与△AOD是否相似．（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．29.关于x的一元二次方程x2﹣6x+p2﹣2p+5=0的一个根为2．（1）求p值．（2）求方程的另一根．答案解析部分一、单选题1.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a值为（）A. 1B. -1C. 1或-1 D.【答案】B【考点】一元二次方程的解【解析】【分析】由题意把x=0代入一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0即可得到关于a的方程，求得a的值，再结合二次项系数不为0即可求得结果。
初中数学竞赛专题选讲 一元二次方程的根(含答案)
初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值.解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42- 依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k ab cdb a dc ==++.∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k .由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－110. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围.13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1,m>1） 15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。
一元二次方程的整数根问题专题练习(解析版)
一元二次方程的整数根问题专题练习一、选择题1、若k 为正整数，且关于k 的方程（k 2-1）x 2-6（3k -1）x +72=0有两个相异正整数根，k 的值为（）．A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A解答：原方程变形、因式分解为（k +1）（k -1）x 2-6（3k -1）x +72=0，[（k +1）x -12][（k -1）x -6]=0．即x 1=121k +，x 2=61k -． 由121k +为正整数得k =1，2，3，5，11； 由61k -为正整数得k =2，3，4，7． ∴k =2，3使得x 1，x 2同时为正整数，但当k =3时，x 1=x 2=3，与题目不符，∴只有k =2为所求．二、填空题2、已知k 为整数，且关于x 的方程（k 2-1）x 2-3（3k -1）x +18=0有两个不相等的正整数根，则k 的值为______．答案：2解答：原方程化为：[（k +1）x -6][（k -1）x -3]=0．∴x 1=61k +，x 2=31k -． 因方程的根为正整数，因而推知k =2，此时x 1=2，x 2=3．3、已知12＜m ＜40，且关于x 的二次方程x 2-2（m +1）x +m 2=0有两个整数根，则整数m 的值为______．答案：24解答：由原方程有整数解可知，Δ=4（m +1）2-4m 2=4（2m +1）必然是一个完全平方数． 又12＜m ＜40可知，25＜2m +1＜81，又2m +1为奇数，故2m +1=49，m =24．此时原方程的两个实数根为：x =212m +14502=±，不妨设x 1＞x 2，则x 1=32，x 2=18．故m=244、当关于x 的方程x 2-（m -1）x +m +1=0的两根都是整数，则整数m 的值为______． 答案：7或-1解答：设方程的两整数根分别是x 1，x 2，由韦达定理得x 1+x 2=m -1，x 1·x 2=m +1，消去m ，可得x 1x 2-x 2-x 1=2，（x 1-1）（x 2-1）=3=1×3=-1×（-3），则有121113x x -=⎧⎨-=⎩.或121113x x -=-⎧⎨-=-⎩.， 解得：1224x x =⎧⎨=⎩.或1202x x =⎧⎨=-⎩.， 由此x 1·x 2=8或0，∴m =7或m =-1．三、解答题5、当整数m 取何值时，关于x 的方程（m -1）x 2-（2m +1）x +1=0有整数根．答案：-1．解答：当m =1时，-3x +1=0，x =13（舍）． 当m ≠1时，该方程为一元二次方程，Δ=4m 2+4m +1-4m +4=4m 2+5，设4m 2+5=n 2（n 为正整数），4m 2-n 2=-5，则（2m +n ）（2m -n ）=-5，2521m n m n +=⎧⎨-=-⎩或2125m n m n +=⎧⎨-=-⎩， 则m =-1．6、已知方程（a 2-1）x 2-2（5a +1）x +24=0有两个不相等的负整数根，求整数a 的值． 答案：a =-2．解答：由题意得：2100a ⎧-≠⎨∆⎩＞， Δ=[2（5a +1）]2-4×24（a 2-1）=4（a+5）2＞0，∴a≠±1，a≠-5，由求根公式得：x1=61a-，x2=41a+，∵方程有两个不相等的负整数根，∴a-1=-1，-2，-3，-6，a+1=-1，-2，-4，即：a=0，-1，-2，-5，a=-2，-3，-5，∴a=-2或-5．∴a=-2．7、当整数m取何值时，关于x的方程mx2-（1-m）x-1=0的根为整数．答案：m=-1，0，1．解答：当m=0时，x=-1，当m≠0时，该方程为一元二次方程，x1=-1，x2=1m，∵xm为整数，∴m=±1，综上，当m=-1，0，1时，方程的根为整数．8、关于x的方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0的根为正整数，且m为整数，求m的值．答案：0或1或2或-2．解答：当m=0时，方程可化为-2x+2=0，有整数根x=1，满足题意．当m≠0时，∵mx2-（3m+2）x+2m+2=0，[mx-（2m+2）]（x-1）=0，mx-（2m+2）=0或a-1=0，∴x1=22mm+=2+2m，x2=1．又∵该方程的根为正整数且m为整数，∴2m为大于-2的整数，∴m=1或2或-2．则m 的值为0或1或2或-2．9、已知：关于x 的一元二次方程（m -1）x 2-2mx +m +1=0（m ＞1）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m 为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？答案：（1）证明见解答．（2）m =2或m =3．解答：（1）∵Δ=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0．∴方程总有两个不相等的实数根．（2）∵Δ=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0，m -1≠0．由求根公式解得：x 1=()2221m m +-=11m m +-，x 2=()2221m m --=1． x 1=11m m +-=1+21m - ∵方程的两个根都为正整数，m 是整数且m ＞1． ∴21m -是正整数． ∴m -1=1或m -1=2．∴m =2或m =3．10、已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数．答案：（1）证明见解答．（2）当m =-1时，原方程的根是整数．解答：（1）Δ=（m +3）2-4（m +1）=m 2+6m +9-4m -4=m 2+2m +5=（m +1）2+4．∵（m +1）2≥0，∴（m +1）2+4＞0．∴无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．（2）Δ=（m +3）2-4（m +1）=m 2+6m +9-4m -4=m 2+2m +5=（m +1）2+4．∵（m +1）2≥0，∴（m +1）2+4＞0．∴无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．解关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1=0，得x =3m --．要使原方程的根是整数，必须使得（m +1）2+4是完全平方数．设（m +1）2+4=a 2，则（a +m +1）（a -m -1）=4．∵a +m +1和a -m -1的奇偶性相同，可得1212a m a m ++=⎧⎨--=⎩.或1212a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩．解得21a m =⎧⎨=-⎩.或21a m =-⎧⎨=-⎩．将m =-1代入x =3m --±，得x 1=-2，x 2=0符合题意．∴当m =-1时，原方程的根是整数．11、一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程x 2-（m +2）x +4m =0，试求m 的值及此直角三角形的三边长．答案：当m =15，直角三角形三边长分别为5，12，13；当m =12，直角三角形三边长分别为6，8，10．解答：由题意得，Δ=m 2-12m +4，∴x =()22m +±． ∵该方程的根均为整数，∴m 2-12m +4必为平方数，令m 2-12m +4=n 2（n 为正整数），整理得（m -6）2-n 2=32，∴（m -6+n ）（m -6-n ）=32，∴m -6+n 与m -6-n 同奇同偶．因此61662m n m n -+=⎧⎨--=⎩或6864m n m n -+=⎧⎨--=⎩， 解得157m n =⎧⎨=⎩或122m n =⎧⎨=⎩，当157m n =⎧⎨=⎩时，方程x 2-（m +2）x +4m =0为x 2-17x +60=0， 解得x =5或x =12，∴即当m =15，直角三角形三边长分别为5，12，13．当122m n =⎧⎨=⎩时，方程x 2-（m +2）x +4m =0为x 2-14x +48=0， 解得x =6或x =8，∴即当m =12，直角三角形三边长分别为6，8，10．12、已知关于x 的方程（m -1）x 2-2mx +m +1=0．（1）求证：无论常数m 取何值，方程总有实数根．（2）当整数m 取何值时，方程有两个整数根．答案：（1）证明见解答．（2）2或0或3或-1．解答：（1）①当m -1=0即m =1时，方程化成-2x +2=0，解得x =1，②当m -1≠0即m ≠1时，方程一元二次方程，a =m -1，b =-2m ，c =m +1，∴b 2-4ac =（-2m ）2-4（m -1）（m +1）=4m 2-4m 2+4=4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根，∴综上所述，无论常数m 取何值，方程总有实数根．（2）x =()221m m ±-=()2221m m ±-=11m m±-， ∴x 1=1，x 2=11m m +-， 而11m m +-=121m m -+-=1+21m -， ∴当m -1=±1，±2时，x 2为整数，即m =2或0或3或-1，方程有两个整数根．13、已知：关于x 的一元二次方程mx 2-3（m -1）x +2m -3=0．（1）求证：不论实数m 取何值，方程必有两个实数根．（2）若方程有一个根大于2且小于3，求实数m 的取值范围．（3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值．答案：（1）证明见解答．（2）m ＜-3．（3）m =-3，-1，3．解答：（1）解法一：由题意，得()()2091423m m m m ≠⎧⎪⎨∆=---⎪⎩， ∴Δ=m 2-6m +9=（m -3）2≥0，∴不论实数m 取何值，方程必有两个实数根．解法二：原方程因式分解得（x -1）[mx -（2m -3）]=0，∵m ≠0，∴原方程必有两个实根．（2）由（1）可知，方程两根为x 1=1，x 2=23m m-， ∴2＜23m m -＜3，化简得2＜2-3m＜3， 由2＜2-3m可知，m ＜0； 由2-3m ＜3可知，m ＜-3； ∴综上所述，m ＜-3．（3）∵m 为整数，x 2=2-3m 为正整数， ∴m =-3，-1，3．14、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2m -4=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围．（2）若m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．答案：（1）m ＜52． （2）2．解答：（1）由题意得：b 2-4ac =4-4（2m -4）=20-8m ＞0，解得：m ＜52．（2）由m 为正整数，可知m =1或2，求根公式得x =-1∵方程的根为整数，∴5-2m 为完全平方数，则m 的值为2．15、已知关于x 的一元二次方程x 2+2（m +1）x +m 2-1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．（2）在（1）的条件下，选择一个恰当的m 的值，使方程的两个实数根为整数，并求出这两个根．答案：（1）m ＞-1．（2）当m =1时，x 1=0，x 2=-4．解答：（1）Δ=[2（m +1）]2-4（m 2-1）=8m +8．∵方程有两个不相等的实数根，∴8m +8＞0，∴m ＞-1．（2）在（1）的条件下，当m =1时，该方程可化为x 2+4x =0．∴两个整数根为x 1=0，x 2=-4．16、已知：关于x 的一元二次方程x 2-（2m -3）x +m 2-5m +2=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围．（2）若10＜m ＜21，是否存在整数m ，使方程有两个整数根，若存在求出m 的值；若不存在请说明理由．答案：（1）m ＞-18． （2）m =15．解答：（1）Δ=[-（2m -3）]2-4（m 2-5m +2）=8m +1＞0，得m ＞-18． （2）存在整数m ，使方程有两个整数根，原因：方程解为x =()23m -，∵10＜m＜21，m为整数，∴81＜8m+1＜169且为整数，∴913，又∵方程有两个整数根，或11或12，∴m=998或15或118，∴m=15，当m=15时，x1=19；x2=8符合题意．17、当m为何整数时，方程2x2-5mx+2m2=5有整数解．答案：m=±1或m=±3．解答：将方程2x2-5mx+2m2=5左边因式分解可得（2x-m）（x-2m）=5故2521x mx m-=⎧⎨-=⎩，或2125x mx m-=⎧⎨-=⎩，或2521x mx m-=-⎧⎨-=-⎩，或2125x mx m-=-⎧⎨-=-⎩解得31311313 x x x xm m m m==-=-=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，．18、求所有整数k，使方程kx2+（k+1）x+k-1=0的根都是整数．答案：k=1．解答：①当k=0时，x-1=0，x=1．②当k≠0时，Δ=（k+1）2-4k（k-1）=-3k2+6k+1＞0由根与系数关系得：x1+x2=-1kk+=-1-1k，x1·x2=1kk-=1-1k，∵根都是整数，∴k=±1，检验：k=-1不符合（舍）．综上所述，k=1．19、已知方程（k2-1）x2-3（3k-1）x+18=0有两个不相等的整数根，（1）求整数k的值．（2）求实数k 的值．答案：（1）k =0，±2．（2）k =0，±2，±12． 解答：（1）[（k +1）x -6][（k -1）x -3]=0，x 1=61k +，x 2=31k -， ∵方程有两个整数根，即k +1=±1，±2，±3，±6，k -1=±1，±3，∴k =0，±2．（2）由x 1=61k +，x 2=31k -得k +1=16x ，k -1=23x ， 化简得x 1=3-2932x +， ∴2x 2+3=±1，±3，±9，x 2=-2，-1，0，-3，3，-6，∴k =0，±2，±12． 20、已知一元二次方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0，且4k +1是边长为7的菱形对角线的长，求k 取什么整数值时，方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0的根都是整数？答案：k =1时，方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0的根都是整数．解答：∵（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0为一元二次方程，∴2k -3≠0，∴k ≠32． ∵4k +1是边长为7的菱形对角线的长，∴0＜4k +1＜14，∴-14＜k ＜134． ∵Δ=（4k ）2-4（2k -3）（2k -5）=64k -60≥0，∴k ≥1516， ∴1516≤k ＜134， ∵k 为整数，∴k =1或2或3．当k =1时，Δ=4，方程为-x 2+4x -3=0，根为x 1=1，x 2=3，符合题意；当k=2时，Δ=68，不符合题意；当k=3时，Δ=132，不符合题意．∴k=1．。
初中数学竞赛讲义一元二次 方程公共根问题
●变式：若两个方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，则
（ ）
A．a=b B．a+b=0 C．a+b=1 D．a+b=-1.
解：设公共根为x0，则 x02+ax0+b=0 ①
x02+bx0+a=0
②．
①-②，得（a-b）（x0-1）=0，
当a=b时，方程可能有两个公共根，不合题意；当x0=1时，所以
∵x2= ，
∴ 是第一个方程的根，
∵x1与 是方程x12+ax1+1=0的两根， ∴x2是方程x2+ax+1=0和x2+x+a=0的公共根， 因此两式相减有（a-1）（x2-1）=0， 当a=1时，这两个方程无实根， 故x2=1，从而x1=1， 于是a=-2，b+c=-1， 所以a+b+c=-3．
9.已知方程①：，（其中）有整数根，是否存在整数，使得方程②： 与方程①有相同的整数根？如果存在，请求出的值及相应的公共根， 若不存在，请说明理由。 解答：
10.是否存在某个实数，使得方程和方程有且只有一个公共根？如果存 在，求出这个实数及两方程的公共根；若不存在，请说明理由。
解：假设存在实数m，使这两个方程有且只有一个公共实数根a，由方 程根的定义，得
（1）-（2）得：（m-2）a+(2-m)=0， 解得：m=2，或a=1， 当m=2时，两个已知方程为同一方程，且没有实数根， 所以，m=2舍去， 当a=1时，代入（1）得m=-3,当m=-3时，求得第一个方程的根为
根，所以a≠1，所以α=1 把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2
初中竞赛数学根与系数的关系及其应用(含答案)
一元二次方程（三） 根与系数的关系及其应用1．如果)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，则________,21=+x x .___________21=⋅x x2．如果02=++q px x 的两根为21,x x ，那么________,21=+x x.___________21=⋅x x3．对于一元二次方程02=++n mx x ，如果两根互为相反数，那么m = _____________，如果两根互为倒数，那么n = ___________。
4．以两数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是______________。
5．若两数和为3，积为－4，则这两个数分别为_____________。
6．1313－和+的根为方程是______________。
7．不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：（1）,7142x x =+ .____________,__________2121=⋅=+x x x x（2）,0132=-x .____________,__________2121=⋅=+x x x x（3）,062=-x x .____________,__________2121=⋅=+x x x x（4）,0)1(22=-+-m x m x .____________,__________2121=⋅=+x x x x8．设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，若0,021>>x x ，则___________；若0,021<<x x ，则______________；若021<x x ，则___________；若021>x x ，则___________；9．设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，则|21x x -|＝_____________。
专题：一元二次方程根的判别式(含答案)-
一元二次方程根的判别式姓名【1 】◆课前预习1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情形可用b2－4ac来剖断,b2－4ac叫做________,通经常应用符号“△”为暗示．（1）b2－4ac>0方程_________;（2）b2－4ac=0方程_________;（3）b2－4ac<0方程_________．2．应用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的________情势．◆互动教室【例1】不解方程,判别下列方程根的情形：（1）x2－5x+3=0（2）x2+2x+2=0;（3）3x2+2=4x（4）mx2+（m+n）x+n=0（m≠0,m≠n）．【例2】若关于x的方程（m2－1）x2－2（m+2）x+1=0有实数根,求m的取值规模．【例3】已知关于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+4（k－）=0．求证：无论k取什么实数值,这个方程总有实数根;【例4】已知关于x的方程x2－2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时,方程有两个实数根？（2）为m拔取一个适合的整数,使方程有两个不相等的实数根,并求这两个根．◆跟进教室1．方程2x2+3x－4=0的根的判别式△=________．2．已知关于x的一元二次方程mx2－10x+5=0有实数根,则m的取值规模是______．3．假如方程x2－2x－m+3=0有两个相等的实数根,则m的值为_______,此时方程的根为________．4．若关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0没有实数根,则k的取值规模是______．5．若关于x的一元二次方程mx2－2（3m－1）x+9m－1=0有两个实数根,则实数m的取值规模是_______．6．下列一元二次方程中,没有实数根的是（）．A．x2+2x－1=0 B．x2+2x+3=0 C．x2+x+1=0 D．－x2+x+2=07．假如方程2x（kx－4）－x2－6=0有实数根,则k的最小整数是（）．A．－1 B．0 C．1 D．28．下列一元二次方程中,有实数根的方程是（）．A．x2－x+1=0 B．x2－2x+3=0 C．x2+x－1=0 D．x2+4=09．假如关于x的一元二次方程kx2－6x+9=0有两个不相等的实数根,那么k的取值规模是（）．A．k<1 B．k≠0 C．k<1且k≠0 D．k>110．关于x的方程x2+（3m－1）x+2m2－m=0的根的情形是（）．A．有两个实数根B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根◆课外功课1.鄙人列方程中,有实数根的是（）（A）x2+3x+1=0 （B）=-1 （C）x2+2x+3=0 （D）=2．关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情形是A.有两个不相等的同号实数根B.有两个不相等的异号实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根3．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为（）．A.1或－4B.1C.－4D.－1或44．若关于的一元二次方程有实数根,则的取值规模是．5．若0是关于x的方程（m-2）x2+3x+m2-2m-8=0的解,求实数m的值,并评论辩论此方程解的情形．6.不解方程,试剖断下列方程根的情形．（1）2+5x=3x2 （2）x2-（1+2）x++4=0(3 )x2-2kx+（2k-1）=0 (x为未知数)7．关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x+2m－1=0,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的解．8．已知a.b.c分离是△ABC的三边长,当m>0时,关于x的一元二次方程c（x2+m）+b（x2－m）－2ax=0有两个相等的实数根,试断定△ABC的外形．10．假如关于x的方程mx2－2（m+2）x+m+5=0没有实数根,试断定关于x的方程（m－•5）x2－2（m－1）x+m=0的根的情形．11．已知关于x的方程（n－1）x2+mx+1=0 ①有两个相等的实数根．（1）求证：关于y的方程m2y2－2my－m2－2n2+3=0 ②必有两个不相等的实数根;（2）假如方程①的一个根是－,求方程②的根．。
初中数学竞赛辅导第四十七讲含参数的一元二次方程的整数根问题试题
全国初中数学竞赛辅导第四十七讲含参数的一元二次方程的整数根问题对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或者有理根，那么就没有统一的方法了，只能详细问题详细分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．例1 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根．解法1 首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2．这时x1=6，x2=4．解法2 首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，那么由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．说明一般来说，可以先把方程的根求出来(假如比拟容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比拟容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．例2 关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．分析“至少有一个整数根〞应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．解因为a≠0，所以所以所以只要a是3或者5的约数即可，即a=1，3，5．例3 设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值．解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m-1)2-4m＝n2，其中n是非负整数，于是m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2-n2=8，(m-3＋n)(m-3-n)＝8．由于m-3＋n≥m-3-n，并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以说明一个整系数的一元二次方程假如有整数根或者有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．例4 关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，那么n是正奇数，要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n 可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．综上所述，a的值是2，-4，-10．说明此题是前面两种方法的“综合〞．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．例5 关于x的方程x2＋(a-6)x＋a=0的两根都是整数，求a的值．解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得从上面两式中消去a得x1x2+x1+x2＝6，所以 (x1＋1)(x2+1)=7，所以a=x1x2=0或者16．说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．例6 求所有有理数r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r-1)=0的所有根是整数．分析首先对r=0和r≠0进展讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x 的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或者用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，那么消去r得x1x2-x1-x2＝2，所以(x1-1)(x2-1)=3．例7 a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0至少有一个整数根，求a的值．解将原方程变形为(x＋2)2a= 2(x＋6)．显然x＋2≠0，于是由于a是正整数，所以a≥1，即所以 x2+2x-8≤0，(x＋4)(x-2)≤0，所以 -4≤x≤2(x≠-2)．当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值是1，6，10，3，说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，假如参数是一次的，可以先对这个参数来求解．例8 方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2(2)求证：b-1≤c≤b＋1；(3)求b，c的所有可能的值．解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．假设x1＞0，那么x2＞0，(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1=(x1＋1)(x2+1)≥0，所以 c≥b-1．同理有所以 c≤b+1，所以 b-1≤c≤b+1．(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：(i)c=b＋1．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)＋1，所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．(ii)c=b．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)，所以 (x1+1)(x2＋1)=1，所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．(iii)c=b-1．由韦达定理知所以综上所述，一共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．练习二十六1．填空：(1)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，(2)k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x＋18=0有两个不一样的正整数根，那么k=____．(3)两个质数a，b恰好是关于x的方程x2-21x＋t=0的两个根，(4)方程x2+px＋q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，那么方程较大根与较小根的比等于____．(5)方程(a2-1)x2-2(5a+1)x＋24=0有两个不相等的负整数根，那么整数a的值是____．2．设m为整数，且4＜m＜40，又方程(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8＝0有两个整数根，求m的值及方程的根．3．关于x的一元二次方程x2+(m-17)x+m-2=0的两个根都是正整数，求整数m的值．4．求使关于x的方程a2x2＋ax＋1-7a2=0的两根都是整数的所有正数a．5．求所有的整数a，使得关于x的二次方程ax2＋2ax＋a-9＝0至少有一个整数根．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
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初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值.解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42- 依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k ab cdb a dc ==++.∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k .由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－110. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围.13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1,m>1） 15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。