第二章 第1讲 函数和映射的概念公开课

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第一节 映射与函数课件

第一节  映射与函数课件
函数 f 的值域,记作 Rf = f (D) = { y| y = f (x) , x D }.
第一节 映射与函数
两点说明
(1) 函数两要素:定义域、对应法则 例如:函数 f (x) = x2 ,自然定义域为 (- , + ),
若它表示正方形的面积 则其定义域为(0 , + ).
表达式有意义的全体实数的集合,称之为自然定义域.
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3

f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
定义域
Df
π 2
,
π 2
,
值域 Rf = [ -1 , 1 ] . y
1
π 2
f (x) = sin x
O
πx
2
-1
第一节 映射与函数
2、常见映射类型
(1)若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射.
映射 g 为 f 的逆映射,记作 f -1 , 其定义域 D f 1 R f ,
值域 R f 1 X .
Rf
只有单射才存在逆映射
第一节 映射与函数
(2)定义 设有两个映射 g : X Y 1 , f : Y 2 Z ,
其中 Y1 Y2 , 则由映射 g 和 f 可以定义一个从 X 到 Z 的对应法则,它将每个 x X 映成 f [g(x)] Z . 这个法 则确定了一个从 X 到 Z 的映射,称之为映射 g 和 f 构成
X
Rg Df
Z
第一节 映射与函数
例4.
第一节 映射与函数
二、函数

高中数学第2章函数2.3映射的概念课件苏教版必修1

高中数学第2章函数2.3映射的概念课件苏教版必修1
(1)A=B=N*,f:x→|x-3|; (2)A={0,1,2,9},B={0,1,4,9,64},f:x→(x-1)2;
(3)A=B=R,f:x→±x;
(4)A={x|x是三角形},B=R,f:x→x的面积.
典例导学 即时检测 一 二 三
解(1)对于集合A中的元素3,在f作用下得0∉B,即3在集合B中没有 对应元素,所以不是映射.
(4)是映射,也是函数.因为当x≥2时,x-3≥-1,而y=x2-4x+3=(x-2)21≥-1,所以对集合A中每一个元素,在集合B中都有唯一元素与之对 应.A,B是非空数集,所以该对应既是映射,又是函数.
典例导学 即时检测 一 二 三
判断下列对应关系,哪些是集合A到B的映射,哪些不是?为什么? (导学号51790059)
(2)在f作用下,集合A中的0,1,2,9分别对应到集合B中的1,0,1,64,所 以是映射.
(3)对于集合A中元素1,在f作用下得±1,该对应是“一对多”,故不是
映射. (4)对于集合A中的每一个三角形,在f作用下,都有唯一的一个面
积相对应,所以是映射.
典例导学 即时检测 一 二 三
映射的判断要严格按照定义,映射定义包括如下性质:①方
典例导学 即时检测 一 二 三
解(1)是映射,也是函数.因为集合A中的每一个元素在集合B中都 能找到唯一的元素与之对应.又A、B均为非空数集,所以该映射是 函数.
(2)不是集合A到B的映射,更不是函数,因为集合A中元素0,在集合 B中无对应元素.
(3)不是集合A到B的映射,也不是函数,因为任何正数的平方根都 有两个值,即集合A中的任一元素,在集合B中都有两个元素与之对 应,所以不是映射.
������ + ������ = 2,解得 ������ = 3,

高数课件-映射与函数

高数课件-映射与函数

义的一切实数组成的合集,这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下,一
般的用算是表达的函数可用“y=∱(x)”表达,而不必再出Df。
例如,函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1,1 ,函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
(-1,1)。
表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公 式法)。其中,用图形法表下)的像,并记作∱(χ),即
y=∱(χ), 而元素χ称为元素y(在映射∱下)的一个原像;集合X称为映射∱的定义域,记作Df, 即Df=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域,记作Rf或者∱(χ),即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中,需要注意的是:
映 射

主讲人: 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念,而函数是微积分的研究对象,也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念,函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则∱,使得对X中的每个元素χ,按法则∱, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应,那么称∱为从X到Y的映射,记作
由复合映射的定义可知,映射ℊ和∱构成复合映射的条件是:ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内,即Rg⊂Df,否则,不能构成复合映射。由此可以知道,映射ℊ和∱的复 合是有顺序的,∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义,复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ:R→ -1,1 ,对每个x∈R,ℊ(x)=sinx;映射∱: -1,1 → 0,1 , 对每个 u∈ -1,1 ,∱(u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ:R→ 0,1

映射的概念(公开课)

映射的概念(公开课)

a b c
A
×
(1)
1 2
B
1 2
A
×
(2)
a b c
B
1 2 3
A
a
×
(3)
b
B
a b c
A
1

(4)
2
B
A 中 任 一 元 素 对 B 中 惟 一 元 素
A 中 一 个 不 剩, B 中 可 有 剩 余
体验1:1、下图表示集合A到集合B的映射的是____
A
1 2
B
A
A
1 2
B
B
C d
B
C d
3
函数是特殊的映射! 函数:一般地,设A A, ,B B是两个非空的数集 是两个非空的数集,如果 映射是函数的推广! 按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,
在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对 应叫做从A到B的一个函数,通常记为y=f(x).
数学应用:
判断映射的要点:
例1 如图所示的对应是否为A到B的映射?
4
3
4
(1) (4)
(1)
(2)
A
1 2 3 4
B
A B
A
1 2 3 4
B
1 2
C
d
3
4
(3)
(4)
数学应用:
2.已知M={x|0≤x≤2},N= {y|0≤y≤2},下列图中表示从M到N的映射共 有多少个? y y y 2 1 1 O (1) y 2 2 x 2 1 2 1 1
O
y 2 1

2
x
B
1.7m
座位 2
23 班

高一数学必修教学课件第二章映射

高一数学必修教学课件第二章映射

02 一一映射与逆映射
一一映射的定义及性质
一一映射定义
设A和B是两个非空集合,如果存在一个从A到B的映射f,使得B中的每一个元素 都有A中的唯一元素与之对应,则称f为从A到B的一一映射。
一一映射的性质
一一映射具有单射和满射的性质,即每个元素都有唯一的像,且像集B中的每个 元素都有原像。
逆映射的概念及求法
方程的图像可以看作是定义域到值域的一个映射 关系的图形表示,通过映射的性质可以研究方程 的图像的形状和性质。
方程的变换与映射关系
通过映射的变换可以研究方程之间的内在联系和 相互转化。
映射在不等式中的应用
不等式的解集与映射关系
不等式的解集可以看作是定义域到值域的一个映射关系的 集合表示,通过映射的性质可以研究不等式的解集的存在 性和范围。
映射的表示方法
通常用箭头图或表格来表示映射。在箭头图中,箭头表示元 素之间的对应关系;在表格中,第一行列出原像集合的元素 ,第一列列出像集合的元素,表格中的其余部分表示对应关 系。
映射的性质与分类
有向性
映射是有方向的,即A中的元素通 过对应关系f对应到B中的元素。
唯一性
对于A中的任何一个元素,通过对 应关系f在B中有唯一确定的元素 与之对应。
不等式的图像与映射关系
不等式的图像可以看作是定义域到值域的一个映射关系的 图形表示,通过映射的性质可以研究不等式的图像的形状 和性质。
不等式的证明与映射关系
通过映射的性质可以证明一些不等式,例如利用单调性证 明不等式等。
05 映射的拓展与应用前景
拓展映射的概念及应用
拓展映射的定义
在原有映射的基础上,通过引入新的元素或规则,对映射关系进行扩展和深化,以适应更 广泛的应用场景。

《映射和函数》课件

《映射和函数》课件

奇函数
如果一个函数满足f(-x)=f(x),则该函数为奇函数, 其图像关于原点对称。
06
常见函数的图像和性质
正比例函数
总结词
正比关系,过原点
详细描述
正比例函数是形如$y=kx$($k neq 0$)的函数,图像是一条经过原点的直线。当 $k>0$时,图像过一、三象限;当$k<0$时,图像过二、四象限。
总结词
函数是数学中一个重要的概念, 它描述了两个集合之间的对应关 系。
详细描述
函数是建立在两个非空集合A和B 之间的对应关系,使得集合A中的 每一个元素x,通过某种对应关系 f,在集合B中都有唯一确定的元 素与之对应。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性和周期性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内存在上界和下界;单调性是指函数在某一区间内 的增减性;奇偶性是指函数对于原点的对称性;周期性是指函数按照一定的周 期重复的性质。
详细描述
函数加法是将两个函数的输出作为输入,对应输出相加得到的新的函数。函数加 法满足交换律和结合律。
函数的数乘
总结词
数乘函数的概念和性质
详细描述
数乘是指将一个常数与一个函数相乘,得到一个新的函数。数乘满足结合律和分配律。数乘对函数的图像有伸缩 变换的影响。
函数的复合
总结词
复合函数的概念和性质
详细描述
映射中集合A的元素x的取值范围。
陪域
映射中集合B中元素y的取值范围。
函数
特殊的映射,其定义域和陪域都是数集, 且数集中的每一个元素都有唯一的一个数 与之对应。
映射的性质
01
02
03
04
一一对应

《高数映射与函数》课件

《高数映射与函数》课件
在指数的位置上。
04
高数中的映射与函数
高数中的映射
映射的基本概念
映射是从一个集合到另 一个集合的对应关系, 它描述了元素之间的对 应关系。
映射的表示方法
通常使用箭头或等号来 表示映射关系,例如 f: A → B 表示从集合 A 到集合 B 的映射。
单射与满射
单射是指每个元素在集 合 A 中都有唯一的元素 与之对应,而满射则是 指集合 B 中的每个元素 都有至少一个元素与之 对应。
03
对应法则是函数的核心,它规定了输入集合中的每 一个元素如何与输出集合中的元素对应。
函数的性质
有界性
函数在某个区间上的取值范围是有限的。
单调性
函数在某个区间上随着自变量的增加,函数值也单调增加或减少。
周期性
函数在一定周期内的取值具有重复性。
可导性
函数在某一点的切线斜率存在。
函数的分类
代数函数
三角函数
答案4
函数的极限、连续性和可导性之 间的关系是密切相关的。极限存 在是连续的必要条件,连续是可 导的必要条件。一个函数在某点 可导,则一定在该点连续,同时 也存在极限。
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指数函数
对数函数
由代数方程定义的函数,如 多项式、分式、根式等。
与三角学相关的函数,如正 弦、余弦、正切等。
形如$a^x$的函数,其中 $a>0$且$aneq1$。
以数$a$的$n$次方等于$x$记 作$a^n=x$($a>0,a≠1$), 数$a$称为这函数的底数,$n$ 称为这函数的指数,作为表示 形式记作对数函数的自变量写
01

高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 第1讲 函数与映射的概念课件 理

高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 第1讲 函数与映射的概念课件 理

通常记为 f:A→B.
2.函数的概念
(1)函数的定义:
设 A,B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关 系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确 定的数和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数,通常记为 y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域、值域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 定义域 ;与 x 的值相对应的 y 的值叫做函 叫做函数 y=f(x)的________ 数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}称为函数 y=f(x)的值域. 值域 和对应关系 f. (3)函数的三个要素:定义域、______
4.设 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤3},给出如图 2-1-1 所示的四个图象,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的 ②③ 填序号). 是________(
图 2-1-1
考点1
有关映射与函数的概念
例1:若集合 A={1,2,3,k}到集合 B={4,7,a4,a2+3a} 是一个映射,对应关系为 f:x→y=3x+1,则自然数 a=____,
考点 2 判断两个函数是否为同一个函数
例2:试判断以下各组函数是否表示同一个函数? (1)f(x)= x ,g(x)= x3;
x≥0, 1 |x| (2)f(x)= ,g(x)= x -1 x<0;
2
3
(3)f(x)=
2n+1
x
2n+1
,g(x)=
2n-1
x2n-1,n∈N*;
(5)∵函数的定义域和对应关系都相同, ∴它们是同一个函数.
【规律方法】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和 值域.由于值域是由定义域和对应关系确定的,所以如果两个 函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数为同一个 函数.第(5)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对函数 的概念理解不透.在函数的定义域及对应法则 f 不变的条件下, 自变量变换字母对于函数本身并无影响,比如 f(x)=x2+1,f(t) =t2+1,f(u+1)=(u+1)2+1 都可视为同一个函数.

苏教版高中数学必修一第2章 函数 2.3 映射的概念 课件(40张)

苏教版高中数学必修一第2章 函数 2.3 映射的概念 课件(40张)
【答案】 1
求对应元素的一般思路是:若已知 A 中的元素 a,求 B 中与之对应的元素 b, 这时只要将元素 a 代入对应法则 f 求解 即可;若已知 B 中的元素 b,求 A 中与之对应的元素 a,这时 需构造方程(组)进行求解即可, 这时需注意解得的结果可能有 多个.
把题设中“f:x→2x+1”换成“f:(x,y)→(x+y,xy)” 则 A 中元素(3,2)在 B 中与之对应的元素是________.
定义,即 A 中的每一个元素在对应法则下,B 中都有唯一的 元素与之对应. 对于④⑤,A 中的每一个元素在 B 中有 2 个元素与之对 应,所以不是 A 到 B 的映射; 对于⑥,A 中的元素 a3,a4,在 B 中没有元素与之对应, 所以不是 A 到 B 的映射.
【答案】 ①②③
确定映射中的对应元素
1.判断 f:A→B 是否是 A 到 B 的映射,须注意两点: (1)明确集合 A、B 中的元素; (2)判断 A 中的每个元素是否在集合 B 中都有唯一确定的 元素与之对应. 2.即映射须满足:A 中元素不剩且一对一或多对一.
下面各图表示的对应构成映射的有________.
【解析】
①②③这三个图所表示的对应都符合映射的
●重点、难点 重点:映射的概念. 难点:映射的概念.
●教学建议 1.关于映射概念的教学 建议教师适当引导学生多举一些实际例子,从中体会其 中的对应关系,深刻理解映射的概念. 2.关于函数与映射关系的教学 建议教师引导学生在理解概念的基础上,逐步体会理解 映射是一种特殊的一对一或多对一的对应,而函数则是建立 在两个非空数集之间的映射.
2.3
映射的概念
教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能 (1)了解映射的概念及表示方法; (2)结合简单的对应图表,理解——映射的概念.

第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课

第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课

函数的 定义
设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的 对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集 合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数,通常记为y= f(x),x∈A
定义域
x的取值范围A
函数的 三个要素
值域
函数值的集合{f(x)|x∈A} 对应关系f
法,全国卷在 2011 年、 2012 年、2013 年连续三年 都考查求简单函数的反函
a≠1)

设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 映射的 A中的任意元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应 ,
定义 那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射,通常记为 f :A→B
函数的 概念
-x2+2x,对于实数 k∈B,且在集合 A 中没有元素与之对应,
则 k 的取值范围是( A )
A.k>1 B.k≥1
C.k<1
D.k≤1
解析:y=-(x-1)2+1≤1,若 k∈B,且在集合 A 中没有
元素与之对应,则 k>1.故选 A.
考点2 求函数的定义域 考向1 具体函数的定义域
例 2:(1)(2018 年江苏)函数 f(x)= log2x-1的定义域为 ________.
<2x+1<1,得-14<x<0. ∴f(2x+1)的定义域为-14,0.
答案:C
(3)若函数 f(x)的值域为[2,3],则 f(x-1)的值域为________, f(x)-1 的值域为________.
解析:f(x-1)的图象是将 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度 得到的,不改变值域.f(x)-1 的图象是将 f(x)的图象向下平移 1 个单位长度得到的.故 f(x-1)的值域为[2,3],f(x)-1 的值域为 [1,2].

高一数学第二章函数同步辅导讲义

高一数学第二章函数同步辅导讲义

第二章函数同步辅导第一讲映射与函数一、辅导内容1.映射、一一映射的定义和概念的理解2.函数的定义、表示。

3.函数的三要素及函数的表达方法。

二、重点、难点讲解1.映射、一一映射〔1〕集合A到集合B的映射有三个要素,即集合A、集合B和对应法则f.其中集合A和集合是有先后顺序的,因为一般情况下A到B的映射和B到A的映射是不同的映射.而对于集合A和集合B的元素是什么,映射的定义未对此作具体要求,它们的元素可以是数,可以是点,也可以是其他对象.〔2〕一个对应要满足下面两个条件才能称为集合A到集合B的映射:①集合A中的每一..个.元素〔一个不漏地〕在集合B中都有象〔但集合B中的每一个元素不一定都有原象〕;②集合A中的每一个元素在集合B中的象只有唯一..的一个〔集合B中的元素在集合A中的原象可能不止一个〕.也就是说,图1和图2〔3〕对于上述映射,如果加上一个条件,要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象,则这样的映射称为“集合A到集合B上.的映射”.如果在此基础上再加上一个条件,要求集合B中的每一个元素在集合A中的原象只有唯一的一个,则这样的映射称为“集合A 到集合B上的一一..映射”.例1如图3,集合A={1、2、3、4、5},B={a、b、c、d、e}.判断以下对应中,〔1〕哪些是集合A到集合B的映射;(2)哪些是集合A到集合B上的映射;〔3〕哪些是集合A到集合B上的一一映射.图3①BA②③BA④图1 图2解〔1〕②和④是集合A 到集合B 的映射,①中集合A 的元素3在集合中没有象;③中集合A 的元素3在集合B 中有两个象,它们都不是映射.〔2〕②是集合A 到集合B 上的映射.④中集合B 的元素b 在集合A 中没有原象. 〔3〕②是集合A 到集合B 上的一一映射. 例2 已知集合A={30≤≤x x },B={10≤≤y y }.判断以下各对应f 是否是集合A到集合B 的映射?一一映射?并说明理由. (1)f :x y x 31=→; (2) f :x y x 41=→;(3)f :2)2(-=→x y x ; (4) f :291x y x =→;(5)f :2)1(41-=→x y x解 〔1〕∵30≤≤x , ∴1310≤≤x . 因此对集合A 的每一个元素x ,B x y ∈=31,所以对应f :B A →是集合A 到集合B 的映射.对于集合B 中的每一个元素y ,由y x3=及10≤≤y ,有30,330≤≤≤≤x y .即集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象,且这样的原象只有一个,所以对应f :B A →是一一映射.〔2〕∵30≤≤x , ∴43410≤≤x .所以对于集合A 中的每一个元素x ,在集合B 中都有唯一的象,因此对应f :B A →是映射.而集合B 中有些元素,如1=y ,在集合A 中没有原象,因此映射f :B A →不是一一映射. 〔3〕∵30≤≤x , ∴122≤-≤-x , ∴4)2(02≤-≤x .由此知集合A 的某些元素,如0=x ,在集合B 中没有象,因此对应f :B A →不是映射,更不是一一映射.〔4〕∵30≤≤x , ∴19102≤≤x .因此对于集合A 中的每一个元素x ,在集合B 中都有唯一的象,所以对应f :B A →是映射.由291x y=,对于集合B 中的每一个元素y ,A y x ∈=3,即集合B 中的每一个元素在集合A 中有唯一的原象,因此映射f :B A →是一一映射.0=x 和2=x ,都对应于集合B 中的同一个元素41,所以对应f :B A →是映射,但不是一一映射. 2. 函 数〔1〕函数的定义.在初中学过的函数概念是从运动变化的角度出发,用变量来定义的,习惯上称为传统定义.传统定义由研究变量的物理意义而产生,反映了两个变量之间变化的相依关系.由于受变量物理意义的限制,对某些函数难以进行研究,因为有些函数从物理的角度不好解释.因此高中学习函数时重新引进了用映射刻划函数的近代定义,它更具有一般性.当然,两种定义的本质是一样的. 集合A 到集合B 的映射f :B A →要成为函数,还必须满足两个条件:①集合A 、B都是非空集合;②集合A 、B 都是数的集合.其中集合A 就是函数的定义域,而集合B 不一定是值域.一般地说,值域C 是集合B 的子集,即B C ⊆.〔假设集合B C =,则这个映射就成为集合A 到集合B 上的映射〕. 〔2〕函数的三要素.定义域A ,值域C 和定义域A 到值域C 的对应法则f,构成了函数的三个要素.当且仅当这三个要素完全相同时,两个函数才是同一个函数. 在判断两个函数是否同一函数时,主要观察它们的定义域和对应法则是否相同. 〔3〕区间设a 、R b ∈,且b a <.用闭区间[b a ,]表示集合{b x a x ≤≤},用开区间),(b a 表示集合{b x a x <<},用半开半闭区间],(b a 表示集合{b x a x ≤<},用半开半闭区间),[b a 表示集合{b x a x <≤}.〔4〕函数的表示法.函数常用的表示法有:解析法,列表法及图像法,三种表示法各有其长处. 要搞清符号)(x f 和)(a f 〔a 为常数〕的区别.一般情况下,)(x f 是一个随自变量x 的变化而变化的变量,而)(a f 是当自变量a x =时函数的值,是一个确定的量.与初中接触到的函数不一样,这里的函数可以是在不同区间中〔或不同条件下〕表达式不同的分段函数,因此函数的图像也不一定是一条平滑曲线,它可能是一些孤立的点,一些线段,或一些曲线.例3 判断以下各对函数是否是同一个函数,并说明理由. (1) 2)(x x f = , 2)()(x x g = ;(2).)(33x x f = , x x g =)( ;(3)11)(2+-=x x x f , 1)(-=x x g ; (4)1)(-=x x f , ⎩⎨⎧<->-=);1(,1),1(,1)(x x x x x g (5)2)(x x f = , x x g =)( ;(6)21)(x x f -= , 21)(t t g -= .解 〔1〕不是同一个函数,两者的定义域不同, 它们的定义域分别为),(+∞-∞和),0[+∞.〔2〕不是同一个函数,它们的对应法则和值域都不同.x x f =)( ,其值域为),(+∞-∞; x x g =)(,其值域为),0[+∞.),1()1,(+∞---∞ 和),(+∞-∞.〔4〕不是同一个函数,它们的定义域不同,定义域分别是),(+∞-∞和),1()1,(+∞-∞ .〔5〕是同一个函数,)()(x g x x f == .〔6〕是同一个函数,虽然自变量用不同的字母表示,但定义域、值域和对应法则都相同.例4 已知32)(-=x x f , 12)(2+=x x g ,求 )]([x g f 和 )]([x f g .解)]([x g f =143)12(23)(222-=-+=-x x x g .)]([x fg =192481)32(21)]([2222+-=+-=+x x x x f .评析 由此可见,在求)]([x g f 时,只要用)(x g 代替)(x f 表达式中的x ,然后再将)(x g 的表达式代入其中,就可以求得)]([x g f .一般来说,)]([)]([x f g x g f ≠.例5 〔1〕已知=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧-,12,2,02x 求)2(f ,)1(-f ,)]0([f f ,)]22([-f f ; 〔2〕已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<--≤+=),2(,23),21(,),1(,32)(2x x x x x x x g 且3)(=t g , 求t .解 〔1〕∵02>, ∴0)2(=f .∵01<-, ∴11)1(2)1(2=--⋅=-f .0)2()]0([==f f f .2)0(]1)22(2[)22([2==--⋅=-f f f f . (2)当132)(,1≤+=-≤x x g x ; 当40,212<≤<<-x x ;当423)(,2≥-=≥x x g x ..3),2,1(3.3,3)(,3)(2=∴-∉-±===∴=t t t t g t g例6 〔1〕画出函数342+-=x x y 的图像;〔2〕画出函数342+-=x x y 的图像;〔3〕已知函数)(x f y =的图像如右图,写出)(x f 的解析式.解 〔1〕⎩⎨⎧<-+≥--=+-=).0(,1)2(),0(,1)2(34222x x x x x x y (x > 0), (x = 0),(x < 0),图像如以下图左. (2)当0342≥+-x x ,即1≤x 或3≥x 时,1)2(3422--=+-=x x x y ;当0342<+-x x,即31<<x 时,1)2(34)34(222+--=-+-=+--=x x x x x y .∴⎨⎧≥≤--=),3,1(,1)2(2x x x y 或 〔2〕由第〔2〕题可见,画)(x f y =的图像,只要把)(x f y =的图像在x 轴下方部分“翻到”x 轴上方,即作出这一部分图像关于x 轴的对称曲线,而在x 轴上方的曲线保持不变,就可以得到函数)(x f y =的图像.〔3〕函数的定义域如果没有特别说明,通常指使式子有意义的一切自变量x 的集合,在实际问题中,还应考虑自变量x 要满足的实际问题的条件.我们现在涉及到的使式子有意义的情况,仅是分母不能为零,负数不能开偶次方.今后学习了其他函数,还会出现另外一些情况. 例7 求以下函数的定义域: 〔1〕 2312+-=x x y; 〔2〕xy 21211++= ;〔3〕7522--=x x y .解 〔1〕.21,0)2)(1(,0232≠≠≠--≠+-x x x x x x且∴定义域为{}R x x x x ∈≠≠,2,1且.〔2〕由;0,2≠x x由22212+=+x xx, 2-≠x ; 由2232212121++=++=++x x x x x, 32-≠x . ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠≠≠R x x x x x,32,2,0且且 .〔3〕271,0)72)(1(,07522≥-≤≥-+≥--x x x x x x或 . ∴定义域为}27,1{≥-≤x x x或.评析 对于繁分式,一条分数线即有一个限制条件,此题有三条分数线,因此有三个限制条件.例8 已知函数)(x f y =的定义域为[-1,2],求函数)1()1()(-++=x f x f x g 的定义域. 解 由)(x f 中的x 必须满足21≤≤-x ,因此)(x g 中的x 必须满足:⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤-,211,211x x 即 ⎩⎨⎧≤≤≤≤-.30,12x x∴)(x g 的定义域为{}10≤≤x x .例9 〔1〕已知11)11(2-=+xx f ,求)(x f ;〔2〕已知函数)(x f 的定义域是),0()0,(∞-∞ ,且x xf x f 4)1(2)(3=+,求)(x f ;(3)已知32)2(+=-x x f ,求)(x f .解 〔1〕设x t 11+=,则 11-=t x)1(≠t , ∴t t t t f 21)1()(22-=--= )1(≠t , ∴x x x f 2)(2-= )1(≠x .〔2〕由x x f x f4)1(2)(3=+, ① 将x 换成x 1,得xx f x f4)(2)1(3=+, ② 3×①-2×② ,得 xx x f812)(5-= , ∴xx x f 58512)(-=. (x ≠0) 〔3〕令2-=x t ,则 2,)2(2-≥+=t t x .∴)2(11823)2(2)(22-≥++=++=t t t t t f . ∴).2(1182)(2-≥++=x x x x f例10 设⎩⎨⎧-=,1)(x f 解 由已知,-)1(x f ∴⎩⎨⎧≥<-=).1(,1),1(,1x x y图像如下图.一、选择题1.设f是从集合A B 中都有象;②集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象;③集合A 中不同的元素在集合B 中的象也不同;④集合B 中不同的元素在集合A 中的原象也不同,其中正确的选项是 〔 〕A .①和②B .②和③C .③和④D .①和④2.已知集合A={}60≤≤x x ,B={}30≤≤y y ,则以下对应关系f 中,不能看成是从集合A 到集合B 的映射的是 〔 〕A .f :x y x 21=→B .f :x y x 31=→C .f:x y x =→ D .f:x y x 61=→3.以下三个命题:①函数是从定义域到值域的一一映射;②函数的定义域和值域可能是数集,也可能不是数集;③函数的定义域和值域都不能是空集.其中真命题是 〔 〕A .①B .②C .③D .①和③4.以下各组函数:①2)(+=x x f ,44)(2++=x x x g ;②11)(2+-=x x x f ,1)(-=x x g ;③xx f =)(,xx x g =)(;④1)(+=x x f ,⎩⎨⎧<--≥+=)0(,1)0(,1)(x x x x x g .其中)(x f 和)(x g 表示同一个函数的是 〔 〕 A .① B .①和② C .③ D .④ 5.函数xx y-=1的定义域是 〔 〕A .),0()0,(+∞-∞B .),1()1,0()0,(+∞-∞C .)0,1()1,(---∞D .)0,(-∞ 6.已知函数)(x f 的定义域是)1,0(,则函数)1(2-x f 的定义域为 〔 〕A .)2,1( B .)2,1()1,2( --C .)0,1(-D .)1,0()0,1( - 二、填空题7.已知),(y x 在映射f 下的象是)2,2(y x y x -+,则)3,1(在f下的原象是 。

第1课时函数与映射名师课件

第1课时函数与映射名师课件

北京大峪中学高三数学组石玉海 2020年1月26日星期日
第二章 函数
例4.(1)已知函数 f(x)的定义域为 [1,4], 求f(x2) 的定义域。
解题分析: 由函数 f(x)的定义域为 [1,4],可知1≤x2≤4,
故只须解出该不等式就可以求出f(x2)的定义域。
解:根据题意,得: 1≤x2≤4,
三部分组成的特殊映射. 4.函数的表示法:
解析式法、列表法、图象法.
5.能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域.求 函数定义域的主要依据是: (1)分式的分母不等于0; (2)偶次方根的被开方数不小于0; (3)对数式的真数必须大于0; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1。
6.如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那 么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合。
北京大峪中学高三数学组石玉海 2020年1月26日星期日
变式练习
第二章 函数
(3)已知函数y=lg(x2+ax+1)的值域为R,求a 的取值 范围。 答案(1)a≥2,或a≤-2(利用△≥0)
(4)已知函数y=lg(ax2+ax+1)的值域为R,求a 的取值 范围。
答案(1)0≤a<4(分a>0和a=0两种情况讨论)
北京大峪中学高三数学组石玉海 2020年1月26日星期日
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第二章 函数
2.映射 设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集
合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对 应,那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射,
记作f:A→B . 给定一个集合A到B的映射,且a∈A,b∈B.如果元素a和 元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫 做元素b的原象.
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解析:要使函数 f(x)有意义,则 log2x-1≥0.解得 x≥2.即函 数 f(x)的定义域为[2,+∞)y= 3-2x-x2的定义域是________.
解析:要使函数有意义,必须 3-2x-x2≥0,即 x2+2x- 3≤0.解得-3≤x≤1.
解析:f(2x+1)的定义域为(-1,0),即-1<x<0, ∴-1<2x+1<1. ∴f(x)的定义域为(-1,1). 答案:A
(2)已知函数 f(2x)的定义域为(-1,0),则函数 f(2x+1)的定 义域为( )
A.(-1,1)
B.-1,-12 C.-14,0 D.(2 2+1,5)
解析:f(2x)的定义域为(-1,0),即-1<x<0,∴12<2x<1.由12
第二章 函数、导数及其应用
第1讲 函数与映射的概念
考纲要求
考点分布
考情风向标
1.了解构成函数
对函数概念的理解是学好
的要素.
函数的关键,函数的概念
2.会求一些简单 函数的定义域
2011 年大纲第 2 题考查 求反函数;
比较抽象,不易理解,应 做适量练习,通过练习弥
和值域. 3.了解映射的概 念. 4.了解指数函数
答案:[2,3] [1,2]
【规律方法】对于求抽象的复合函数的定义域,主要理解 三种情形:①已知f(x)的定义域为[a,b],求f[u(x)]的定义域, 只需求不等式a≤u(x)≤b 的解集即可;②已知f[u(x)]的定义域 为[a,b],求f(x)的定义域,只需求u(x)在区间[a,b]内的值域; ③已知f[u(x)]的定义域为[a,b],求f[g(x)]的定义域,必须先利 用②的方法求出f(x)的定义域,再利用①的方法进行求解.
)
A.2x-1 1(x>0)
B.2x-1 1(x≠0)
C.2x-1(x∈R)
D.2x-1(x>0)
解析:由 y=f(x)=log21+1x,得 1+1x=2y.故 x=2y-1 1.把 x 与 y 互换,即得 f-1(x)=2x-1 1.由 x>0,得 1+1x>1,可得 y>0. 故所求反函数为 f-1(x)=2x-1 1(x>0).
D.(0,1]
解析:由题意,得
-x2-x+2≥0, x>0 且 ln x≠0,
解得 0<x<1.故选 C.
考向2 抽象(复合)函数的定义域 例3:(1)已知函数 f(2x+1)的定义域为(-1,0),则函数 f(x) 的定义域为( )
A.(-1,1)
B.-1,-12 C.(-1,0)
D.12,1
【互动探究】
4.(2017 年江西临川模拟)已知函数 y=f(x+1)的定义域是
[-2,3],则 y=f(2x-1)的定义域是( D )
A.[-3,7]
B.[-1,4]
C.[-5,5]
D. 0,52
解析:由 x∈[-2,3],得 x+1∈[-1,4].由 2x-1∈[-1,4],
解得 x∈0,52. 故选 D.
答案:[-3,1]
(3)若函数 f(x)=x+1 1,则函数 y=f[f(x)]的定义域为 ______________________.
解析:∵f(x)=x+1 1,∴f[f(x)]=x+1 11+1.要使函数有意义, x+1≠0,
应满足x+1 1+1≠0, 即 x≠-1,且 x≠-2. 答案:{x|x∈R,x≠-1,且 x≠-2}
【规律方法】(1)求函数定义域的一般步骤: ①写出使得函数式有意义的不等式(组); ②解不等式(组); ③写出函数的定义域. (2)常见的一些具体函数的定义域: 有分母的保证分母不为零;有开偶次方根的要保证被开方 数为非负数;有对数函数的保证真数大于零,底数大于零,且 不等于1.
[常用结论] 求函数定义域的依据 (1)整式函数的定义域为 R; (2)分式的分母不为零; (3)偶次根式的被开方数不小于零; (4)对数函数的真数必须大于零;
函数的 定义
设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的 对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集 合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数,通常记为y= f(x),x∈A
定义域
x的取值范围A
函数的 三个要素
值域
函数值的集合{f(x)|x∈A} 对应关系f
【互动探究】
6.(2016年上海)已知点(3,9)在函数 f(x)=1+ax 的图象上, 则 f(x)的反函数 f -1(x)=__l_o_g_2(_x_-__1_)___.
解析:将点(3,9)代入函数 f(x)=1+ax 中,得 a=2.所以 f(x) =1+2x.用 y 表示 x,得 x=log2(y-1).所以 f-1(x)=log2(x-1).
法,全国卷在 2011 年、 2012 年、2013 年连续三年 都考查求简单函数的反函
a≠1)

设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 映射的 A中的任意元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应 ,
定义 那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射,通常记为 f :A→B
函数的 概念
(5)正切函数 y=tan x 的定义域为
xx≠kπ+π2,k∈Z

(6)x0 中 x≠0;
(7)实际问题中除要考虑函数解析式
有意义外,还应考虑实际问题本身的要求.
【互动探究】
3.(2017 年广东深圳一模)函数 y= -xl2n-xx+2的定义域为
(C ) A.(-2,1)
B.[-2,1]
C.(0,1)
课堂
检测
1. 已知函数 f (x)
3 a
ax 1
(a
1)
,若
a>0,则
f(x)的定义
域是
.
2.若函数 f (x) 2x22axa 1 的定义域为 R,则 a 的取值
范围为
.
x 1
3. 若函数 f (x) x 2 ,则 f 1( 2 ) 的值为
.
-x2+2x,对于实数 k∈B,且在集合 A 中没有元素与之对应,
则 k 的取值范围是( A )
A.k>1 B.k≥1
C.k<1
D.k≤1
解析:y=-(x-1)2+1≤1,若 k∈B,且在集合 A 中没有
元素与之对应,则 k>1.故选 A.
考点2 求函数的定义域 考向1 具体函数的定义域
例 2:(1)(2018 年江苏)函数 f(x)= log2x-1的定义域为 ________.
<2x+1<1,得-14<x<0. ∴f(2x+1)的定义域为-14,0.
答案:C
(3)若函数 f(x)的值域为[2,3],则 f(x-1)的值域为________, f(x)-1 的值域为________.
解析:f(x-1)的图象是将 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度 得到的,不改变值域.f(x)-1 的图象是将 f(x)的图象向下平移 1 个单位长度得到的.故 f(x-1)的值域为[2,3],f(x)-1 的值域为 [1,2].
答案:A
(2)函数 y=2 x(x≥0)的反函数为( )
A.y=x42(x∈R)
B.y=x42(x≥0)
C.y=4x2(x∈R)
D.y=4x2(x≥0)
解析:由原函数反解得 x=y42,又原函数的值域为 y≥0,所 以函数 y=2 x(x≥0)的反函数为 y=x42(x≥0).
答案:B
【规律方法】本题主要考查反函数的求解,利用原函数反 解,再互换得到结论,同时也考查函数值域的求法;特别要注 意的是教材关于反函数的内容不多,只有对数函数与指数函数 互为反函数,因此本知识点要引起我们的重视.
y =a x 与对数函 数 y=logax 互为 反函数(a>0,且
2012 年大纲第 2 题考查 求反函数;
2013 年大纲第 6 题考查 求反函数;
2016 年江苏第 5 题考查 求函数定义域,上海第 6 题考查求反函数
补理解的缺陷,纠正理解
上的错误. 本节重点解决 求函数的定义域 . 但是也 要补充反函数的概念及求
考点1 有关映射与函数的概念 【互动探究】 1.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出:
x 123 f(x) 1 3 1
x 123 g(x) 3 2 1
则 f[g(1)]的值为__1___; 满足 f[g(x)]>g[f(x)]的 x 的值为__2___.
2.已知映射 f:A→B,其中 A=B=R,对应关系 f:x→y=
1.函数的三要素是定义域、值域及对应法则,判断两个函 数是否相同,只需判断这两个函数的对应法则与定义域是否相 同即可.
2.对于求抽象的复合函数的定义域,主要理解三种情形: (1)已知 f(x)的定义域为[a,b],求 f[u(x)]的定义域,只需求 不等式 a≤u(x)≤b 的解集即可; (2)已知 f[u(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,只需求 u(x)在区间[a,b]内的值域; (3)已知 f[u(x)]的定义域为[a,b],求 f[g(x)]的定义域,必须 先利用(2)的方法求出 f(x)的定义域,再利用(1)的方法进行求解.
5.(2017 年山东枣庄模拟)已知函数 f(x)的定义域为[0,6],则
函数 g(x)=f(2x)+ 2x-4的定义域为( A )
A.[2,3]
B.[2,12]
C.[2,6]
D.[0,6]
解析:由题意,得
0≤2x≤6, 2x ≥4,
∴2≤x≤3.故选 A.
D D
考点3 反函数
例 4:(1)函数 f(x)=log21+1x(x>0)的反函数 f-1(x)=(
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