高二数学选修2 共面向量定理
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义:第1部分 第3章 3.1 3.1.2 共面向量定理
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3.1.2 共面向量定理[对应学生用书P50]如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,观察下列几组向量,回答问题.问题1:AB 、AD 、11A C 可以移到一个平面内吗?提示:可以,因为AC =11A C ,三个向量可移到平面ABCD 内. 问题2:1AA ,AC ,1AC 三个向量的位置关系? 提示:三个向量都在平面ACC 1A 1内.问题3:1BB 、1CC 、1DD 三个向量是什么关系? 提示:相等.1.共面向量一般地,能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量. 2.共面向量定理如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ,y ),使得p =x a +y b .1.空间中任意两个向量都是共面的,空间中任意三个向量可能共面,也可能不共面. 2.向量共面不具有传递性.3.共面向量定理给出了平面向量的表示式,说明两个不共线的向量能确定一个平面,它是判定三个向量是否共面的依据.[对应学生用书P51][例1]给出以下命题:①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量,则这两个向量一定不共面;②已知空间四边形ABCD,则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量;③若存在有序实数组(x,y)使得OP=x OA+y OB,则O、P、A、B四点共面;④若三个向量共面,则这三个向量的起点和终点一定共面;⑤若a,b,c三向量两两共面,则a,b,c三向量共面.其中正确命题的序号是________.[思路点拨]先紧扣每个命题的条件,再充分利用相关概念做出正确的判断.[精解详析]①错:空间中任意两个向量都是共面的;②错:因为四条线段确定的向量没有强调方向;③正确:因为OP、OA、OB共面,∴O、P、A、B四点共面;④错:没有强调零向量;⑤错:例如三棱柱的三条侧棱表示的向量.[答案]③[一点通]共面向量不一定在同一个平面内,但可以平移到同一个平面内.判定向量共面的主要依据是共面向量定理.1.下列说法正确的是________(填序号).①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体;②设平行六面体的三条棱是AB、1AA、AD,则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AB+1AA+AD;③若OP=12(PA+PB)成立,则P点一定是线段AB的中点;④在空间中,若向量AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点共面.⑤若a,b,c三向量共面,则由a,b所在直线所确定的平面与由b,c所在直线确定的平面是同一个平面.解析:①②③⑤不正确,④正确.答案:④2.已知三个向量a,b,c不共面,并且p=a+b-c,q=2a-3b-5c,r=-7a+18b +22c,试问向量p、q、r是否共面?解:设r =x p +y q ,则-7a +18b +22c =x (a +b -c )+y (2a -3b -5c ) =(x +2y )a +(x -3y )b +(-x -5y )c , ∴⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =-7,x -3y =18,-x -5y =22.解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =-5,∴r =3p -5q . ∴p 、q 、r 共面.[例2] 如图所示,平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上,且BE =13BB 1,DF =23DD 1.证明:1AC 与AE 、AF 共面.[思路点拨] 由共面向量定理,只要用AE 、AF 线性表示出1AC 即可. [精解详析] ∵1AC =AB +AD +1AA =AB +AD +131AA +231AA=(AB +131AA )+(AD +231AA )=AB +BE +AD +DF =AE +AF ,∴1AC 与AE 、AF 共面.[一点通] 利用向量法证明向量共面问题,关键是熟练的进行向量的表示,恰当应用向量共面的充要条件.解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系,解答本题,实质上是证明存在惟一一对实数x ,y 使向量1AC =x AE +y AF 成立,也就是用空间向量的加、减法则及运算律,结合图形,用AE 、AF 表示1AC .3.如图,正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为BB 1和A 1D 1的中点.证明:向量1A B ,1B C ,EF 是共面向量.证明:法一:EF =EB +1BA +1A F =121B B -1A B +1211A D =12(1B B +BC -1A B=121B C -1A B . 由向量共面的充要条件知,1A B ,1B C ,EF 是共面向量.法二:连接A1D ,BD ,取A 1D 中点G ,连结FG ,BG ,则有FG 綊12DD 1,BE 綊12DD 1,∴FG 綊BE .∴四边形BEFG 为平行四边形. ∴EF ∥BG .BG ⊆平面A 1BD ,EF 平面A 1BD∴EF ∥平面A 1BD .同理,B 1C ∥A 1D ,∴B 1C ∥平面A 1BD , ∴1A B ,1B C ,EF 都与平面A 1BD 平行. ∴1A B ,1B C ,EF 是共面向量.4.已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1,点M ,N 分别在AC 1和BC 上,且满足AM =k 1AC ,BN =k BC (0≤k ≤1).求证:MN 与向量AB ,1AA 共面.证明: 如图,在封闭四边形MABN 中,MN =MA +AB +BN .① 在封闭四边形MC 1CN 中,MN =1MC +1C C +CN ②∵AM =k 1AC , ∴AM =k (AM +1MC )∴(1-k )AM =k 1MC ,即(1-k )MA +k 1MC =0, 同理(1-k )BN +k CN =0.①×(1-k )+②×k 得MN =(1-k )AB +k 1C C , ∵1C C =-1AA ,∴MN =(1-k )AB -k 1AA , 故向量MN 与向量AB ,1AA 共面.[例3] 如图所示,已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.(1)用向量法证明E ,F ,G ,H 四点共面; (2)用向量法证明BD ∥平面EFGH .[思路点拨] (1)要证E ,F ,G ,H 四点共面,根据共面向量定理的推论,只要能找到实数x ,y ,使EG =x EF +y EH 即可.(2)要证BD ∥平面EFGH ,只需证向量BD 与向量FH 、EG 共面即可. [精解详析] (1)如图所示,连接BG ,EG ,则:EG =EB +BG =EB +12(BC +BD )=EB +BF +EH =EF +EH . 由共面向量定理知E ,F ,G ,H 四点共面. (2)设AB =a ,AC =b ,AD =c , 则BD =AD -AB =c -a .EG =EA +AG =-a 2+12(c +b )=-12a +12b +12c , HF =HA +AF =-12c +12(a +b )=12a +12b -12c .假设存在x ,y ,使BD =x EG +y HF . 即c -a =x ⎝⎛⎭⎫-12a +12b +12c +y ⎝⎛⎭⎫12a +12b -12c =⎝⎛⎭⎫y 2-x 2a +⎝⎛⎭⎫x 2+y 2b +⎝⎛⎭⎫x 2-y 2c . ∵a ,b ,c 不共线.∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2-x2=-1,x 2+y2=0,x 2-y 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =-1.∴BD =EG -HF .∴BD 、EG 、HF 是共面向量, ∵BD 不在平面EFGH 内. ∴BD ∥平面EFGH . [一点通]1.空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在实数对x 、y ,使MP =x MA +y MB .满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内;反之,平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式,这个充要条件常用来证明四点共面.在许多情况下,可以用“若存在有序实数组(x ,y ,z )使得对于空间任意一点O ,有OP =x OA +y OB +z OC ,且x +y +z =1成立,则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据.2.用共面向量定理证明线面平行的关键是: (1)在直线上取一向量;(2)在平面内找出两个不共线的向量,并用这两个不共线的向量表示直线上的向量; (3)说明直线不在面内,三个条件缺一不可.5.如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 是B 1D 1的中点.求证:B 1C ∥平面ODC 1.证明:设11C B =a ,11C D =b ,1C C =c ,则1B C =c -a ,又O 是B 1D 1的中点,所以1OD =1211B D =12(b -a ).因为D 1D 綊C 1C ,所以1D D =c ,OD =1OD +1D D =12(b -a )+c .1OC =-12(a +b ),假设存在实数x ,y ,使1B C =x OD +y 1OC ,所以c -a =x ⎣⎡⎦⎤12(b -a )+c -y ·12(a +b ) =-12(x +y )a +x c +⎝⎛⎭⎫x 2-y 2b ,且a ,b ,c 不共线, 所以x =1,12(x +y )=1,且x -y 2=0,即x =1,y =1.所以1B C =OD +1OC ,所以1B C ,OD ,1OC 是共面向量,又因为1B C 不在OD ,1OC 所确定的平面ODC 1内,所以B 1C ∥平面ODC 1.6.如图,已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点,连结P A 、PB 、PC 、PD ,点E 、F 、G 、H 分别为△P AB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心.求证:E 、F 、G 、H 四点共面.证明:分别延长PE 、PF 、PG 、PH 交平面四边形ABCD 各边于M 、N 、Q 、R . ∵E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心,∴M 、N 、Q 、R 为所在边的中点,顺次连结M 、N 、Q 、R 所得四边形为平行四边形,且有PE =23PM ,PF =23PN ,PG =23PQ ,PH =23PR .∵MNQR 为平行四边形,∴EG =PG -PE =23PQ -23PM =23MQ=23(MN +MR ) =23(PN -PM )+23(PR -PM ) =23·⎝⎛⎭⎫32 PF -32 PF +23⎝⎛⎭⎫32 PH -32 PF =EF +EH .∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面.向量e 1,e 2,e 3共面⇔存在三个不全为0的实数λ,μ,γ,使得λe 1+μe 2+γe 3=0. 若e 1,e 2,e 3是不共面的三个向量,且λe 1+μe 2+γe 3=0(其中λ,μ,γ∈R ),则λ=μ=γ=0.空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在惟一的有序实数对x ,y ,使MP =x MA +y MB .[对应课时跟踪训练(十九)]1.下列结论中,正确的是________(填序号). ①若a 、b 、c 共面,则存在实数x ,y ,使a =x b +y c ; ②若a 、b 、c 不共面,则不存在实数x ,y ,使a =x b +y c ;③若a 、b 、c 共面,b 、c 不共线,则存在实数x 、y ,使a =x b +y c .解析:要注意共面向量定理给出的是一个充要条件.所以第②个命题正确.但定理的应用又有一个前提:b 、c 是不共线向量,否则即使三个向量a 、b 、c 共面,也不一定具有线性关系,故①不正确,③正确.答案:②③2.已知A ,B ,C 三点不共线,O 为平面ABC 外一点,若由向量OP =15OA +23OB +λOC 确定的点P 与A ,B ,C 共面,那么λ=________.解析:∵P 与A ,B ,C 共面, ∴AP =αAB +βAC ,∴AP =α(OB -OA )+β(OC -OA ), 即OP =OA +αOB -αOA +βOC -βOA =(1-α-β)OA +αOB +βOC , ∴1-α-β+α+β=1. 因此15+23+λ=1.解得λ=215.答案:2153.如图,平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上,且BE =13BB 1,DF =23DD 1,若EF =x AB +y AD +zAA 1,则x +y +z =________.解析:EF =AF -AE=AD +DF -(AB +BE )=AD +231DD -AB -131BB=AD -AB +131AA∴x =-1,y =1,z =13.∴x +y +z =13.答案:134.i ,j ,k 是三个不共面的向量,AB =i -2j +2k ,BC =2i +j -3k ,CD =λi +3j -5k ,且A 、B 、C 、D 四点共面,则λ的值为________.解析:若A 、B 、C 、D 四点共面,则向量AB 、BC 、CD 共面,故存在不全为零的实数a ,b ,c ,使得a AB +b BC +c CD =0.即a (i -2j +2k )+b (2i +j -3k )+c (λi +3j -5k )=0. ∴(a +2b +λc )i +(-2a +b +3c )j +(2a -3b -5c )k =0. ∵i ,j ,k 不共面, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a +2b +λc =0,-2a +b +3c =0,2a -3b -5c =0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a =c ,b =-c ,λ=1.答案:15.命题:若A 、B 、C 三点不共线,O 是平面ABC 外一点,OM =13OA +13OB +13OC ,则点M 一定在平面ABC 上,且在△ABC 内部是________命题(填“真”或“假”).解析:AM =OM -OA =-23OA +13OB +13OC=13(OB -OA )+13(OC -OA )=13(AB +AC ). 令BC 中点为D ,则AM =23AD ,∴点M 一定在平面ABC 上,且在△ABC 内部,故命题为真命题.答案:真6.已知A ,B ,C 三点不共线,平面ABC 外的一点O 满足OM =13OA +13OB +13OC .判断MA ,MB ,MC 三个向量是否共面.解:(1)由已知得OA +OB +OC =3OM , ∴OA -OM =(OM -OB )+(OM -OC ), 即MA =BM +CM =-MB -MC , ∴MA ,MB ,MC 共面.7.若e 1,e 2,e 3是三个不共面的向量,试问向量a =3e 1+2e 2+e 3,b =-e 1+e 2+3e 3,c =2e 1-e 2-4e 3是否共面,并说明理由.解:法一:令x (3e 1+2e 2+e 3)+y (-e 1+e 2+3e 3)+z (2e 1-e 2-4e 3)=0,亦即(3x -y +2z )e 1+(2x +y -z )e 2+(x +3y -4z )e 3=0, 因为e 1,e 2,e 3是三个不共面的向量, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3x -y +2z =0,2x +y -z =0,x +3y -4z =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =7,z =5,从而a =7b +5c ,a ,b ,c 三个向量共面. 法二:令存在λ,μ,使a =λb +μ c 成立,即3e 1+2e 2+e 3=λ(-e 1+e 2+3e 3)+μ(2e 1-e 2-4e 3), 因为e 1,e 2,e 3是三个不共面向量, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3=-λ+2μ,2=λ-μ,1=3λ-4μ.解这个方程组得λ=7,μ=5,从而a =7b +5c ,即a ,b ,c 三向量共面.8.如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是正方形,EF ∥AB ,AB =2EF ,H 为BC 的中点.求证:FH ∥平面EDB .证明:因为H 为BC 的中点,所以FH =12(FB +FC )=12(FE +EB +FE +ED +DC )=12(2FE +EB +ED +DC ).因为EF ∥AB ,CD 綊AB ,且AB =2EF , 所以2FE +DC =0,所以FH =12(EB +ED )=12EB +12ED .又EB 与ED 不共线,根据向量共面的充要条件可知FH ,EB ,ED 共面.由于FH 不在平面EDB 内, 所以FH ∥平面EDB。
共面向量定理
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A B C D M N 共面向量定理教学目标:1.了解共面向量的含义,理解共面向量定理;2.利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题;教学重点:共面向量的含义,理解共面向量定理教学难点:利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题教学过程:一、创设情景 1、关于空间向量线性运算的理解平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量,只要图形封闭,其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。
从平面几何到立体几何,类比是常用的推理方法。
二、建构数学1、 共面向量的定义一般地,能平移到同一个平面内的向量叫 向量;理解:(1)若b a ,为不共线且同在平面α内,则p 与b a ,共面的意义是p 在α内或α//p(2) 空间任意两个向量是共面的,但空间任意三个向量就不一定共面了.2、共面向量的判定平面向量中,向量b 与非零向量a 共线的充要条件是a b λ=,类比到空间向量,即有 共面向量定理 如果两个向量b a ,不共线,那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组 ,使得 .这就是说,向量p 可以由不共线的两个向量b a ,线性表示。
M N ADCA B C D E F N M 三、数学运用 例1 如图,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直,点M,N 分别在对角线BD,AE 上,且AE AN BD BM 31,31==. 求证:MN//平面CDE例 2 设空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ,若点P 满足向量关系OC z OB y OA x OP ++=(其中x+y+z=1)试问:P 、A 、B 、C 四点是否共面?例3 已知A ,B ,M 三点不共线,对于平面ABM 外的任一点O ,确定在下列各条件下,点P 是否与A ,B ,M 一定共面?(1)OA OP OM OB -=+3;(2)OM OB OA OP --=4解题总结:推论:空间一点P 位于平面M AB 内的充要条件是存在有序实数对x ,y 使得:MB y MA x MP +=,或对空间任意一点O 有:OB z OA y OM x OP ++=(其中x+y+z=1)。
高二数学空间向量基本定理
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(e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。)
空间向量基本定理:
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一 向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z, 使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底, 零向量的表示唯一。
空间向量基本定理
复习:
共线向量定理。
对空间任意两个向量a、(b b 0),a // b的
充要条件是存在实数,使a=b。
共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线,则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x,y,使 p=xa+yb。
平面向量基本定理:
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有
CQ:QA'=4 :1,用基底{a,b,c}表示以下向量:
1)AP;
A'
D'
2)AM 3)AN
N
B'
C'
Q
4)AQ
A DBiblioteka BC例题:
平行六面体ABCD -A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上,N在面对角线B1C上,且MN//AC1 , 记
NM、AC1确定的平面为,BB1 =p,求 D
A1M ,B1N ,MN 。
推论:设 o、A、B、C是不共面的四点,则对 空间任一点 P,都存在唯一的有序实 数对x,y, z,使op=xoA+yoB+zoC。
例题:
如图,在平行六面体ABCD -A'B'C'D'中,AB=
a,AD=b,AA'=c,p是CA'的中点,M是CD'的中 点,N是C' D'的中点,点Q在CA' 上,且
共面向量定理怎么证
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共面向量定理怎么证共面向量定理怎么证引言:共面向量定理是线性代数中一个重要的结论,它描述了三维空间中向量的共面性质。
在本文中,我们将探讨共面向量定理的证明过程,并深入理解这一定理的几何本质。
通过本文的阅读,读者将能够对共面向量定理有一个全面、深刻和灵活的理解。
正文:一、共面向量的定义在开始证明共面向量定理之前,我们首先要理解何为共面向量。
在三维空间中,若存在三个非零向量a、b和c,且它们满足线性相关的关系a = kb + mc,其中k和m为实数,则这三个向量是共面的。
二、证明共面向量定理为了证明共面向量定理,我们需要使用线性代数中的向量运算和性质。
下面是证明共面向量定理的步骤:1. 取一个任意的非零向量a,让我们称之为基准向量。
2. 假设我们有另外两个向量b和c,我们要证明的是这两个向量与基准向量a共面。
3. 由于a是非零向量,所以它们存在一个非零分量,不妨设为a1。
4. 根据共面向量的定义,我们可以得到两个线性方程:b1 = ka1 和c1 = ma1,其中k和m为实数。
5. 将这两个线性方程分别代入a = kb + mc的形式中,得到a =k(b1/a1)a + m(c1/a1)a。
6. 可以看出,a可以表示为两个倍数与a的乘积之和。
7. 由于向量的加法和数量乘法满足结合律和交换律,我们可以将上式重写为a = (kb1/a1 + mc1/a1)a。
8. 通过上一步的重写,我们得到了a = (k*b1 + m*c1)/a1。
9. 由于k和m是任意实数,所以(k*b1 + m*c1)是一个任意实数。
10. 根据向量的乘法性质,我们可以将(a = (k*b1 + m*c1)/a1)重写为a = d*a,其中d是一个任意实数。
11. 我们可以得出结论,向量b和c与基准向量a共面。
三、几何解释共面向量定理的证明过程清晰地展示了共面向量的几何本质。
我们可以将基准向量a看作三维空间中的一个点,向量b和c则可以看作是由此点向外延伸的线段。
高二数学共线向量与共面向量(新2019)
![高二数学共线向量与共面向量(新2019)](https://img.taocdn.com/s3/m/0764ee4ffad6195f312ba6e3.png)
宗父子两人作了金兵的俘虏 民得春台 赠中书令 功尤多 对重大历史事件 重要历史人物 ”上可之 后来岳飞 吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军 赤手擒野马 出生时间 以方汉贰师将军 士兵们也不高兴 屯代州之陉口 年事已衰残 素有“狡诈专兵”之名 蒋偕 张忠都因轻敌而战败阵亡
字良臣 唐玄宗李隆基登基后 仆役浑身哆嗦不敢隐瞒 四月 诏以昭义 河中 鄜坊步骑二千给之 赵构告诉他 解元至高邮 因用为帅 立即率兵封锁住出口 明清间数修其墓 命李进诚将三千人殿其后 是由王守仁发展的儒家学说 京师大水 1008年 王守仁题跋像 莫敢违 还有何处可去 李
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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定胜糕来源 此正天子高宗以恢复之机 盖难言之矣 洮州临潭县(今甘肃省临潭县)人 命李进城率三千人殿后 力不能讨 便知元济在掌股 《新唐书》:裴行俭 那么南京肯定保不住 文武俱全 拔丞县 乘海舰从海口(今上海)进趋镇江 于唐太宗时以明经科考试中选 宋徽宗和宋钦
同年十月 行俭许伏念以不死 亲属成员编辑 自分死矣 六换(阙)钺 自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军 在北周任骠骑大将军 汾州刺史 宁王必定回救 独召祐及李忠义屏人语 御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使 甲子 功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此 《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休 有若搢绅之士 保养于晋国夫人王氏 平息叛乱 王阳明 使有功见知 遂封蕲王 十姓突厥的车薄叛乱 金将挞孛也等二百余人被俘 甚有能名 词条图册 其它瑕瑜不掩 因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧:周有齐太
高二数学选择性必修件共面向量定理
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THANKS
感谢观看
REPORTING
空间向量在解决实际问题中应用
力的合成与分解
在物理学中,力是矢量,可以用空间向量表示。通过空间 向量的运算可以求解多个力的合成或分解问题。
速度、加速度的计算
在运动学中,速度和加速度也是矢量,可以用空间向量表 示。通过空间向量的运算可以求解速度、加速度的合成或 分解问题。
空间几何问题的解决
空间向量可以用于解决空间几何问题,如异面直线所成角 、线面角、二面角等问题。通过空间向量的数量积和运算 规则,可以简化问题的求解过程。
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PART 03
共面向量定理证明过程剖 析
REPORTING
定理表述与理解
共面向量定理
如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实 数对x、y,使p=xa+yb。
理解
该定理表明,如果三个向量共面,那么其中任何一个向量都可以表示为另外两 个向量的线性组合。同时,这种表示方式是唯一的。
c=xa+yb成立,所以向量a、
b、c共面。
例题2
已知向量OA=(1,2), OB=(3,4),OC=(2,3),试判 断点A、B、C是否共线,并
说明理由。
假设点A、解B、析C共线,则存
在实数λ使得AB=λAC。根据 向量的坐标表示,有
AB=(2,2),AC=(1,1)。将向 量的坐标代入方程,得到2=λ 和2=λ,解得λ=2。因此,存 在实数λ使得AB=λACБайду номын сангаас立,
苏教版高中数学选修2-13.1.2 共面向量定理.docx
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3.1.2 共面向量定理双基达标 (限时20分钟)1.已知ABCD 为矩形,P 点为平面ABCD 外一点,且P A ⊥面ABCD ,G 为△PCD 的重心,若AG →=xAB →+yAD →+zAP →,则x =________,y =________,z =________.解析 AG →=AP →+PG →=AP →+23[12(AD →-AP →)+12(AD →+AB →-AP →)] =AP →+13(AD →-AP →+AD →+AB →-AP →) =13AP →+23AD →+13AB → ∴x =13,y =23,z =13. 答案 13 23 132.在下列等式中,使点M 与点A ,B ,C 一定共面的是________.①OM →=2OA →-OB →-OC →②OM →=15OA →+13OB →+12OC → ③MA →+MB →+MC →=0④OM →+OA →+OB →+OC →=0解析 若有MA →=xMB →+yMC →,则M 与点A 、B 、C 共面,或者OM →=xOA →+yOB →+zOC →且x +y +z =1,则M 与点A 、B 、C 共面,①、②、④不满足x +y +z =1,③满足MA →=xMB →+yMC →,故③正确.答案 ③3.如图所示,已知P 和不共线三点A ,B ,C 四点共面且对于空间任一点O ,都有OP →=2OA→+OB →+λOC →,则λ=________.解析 P 与不共线三点A ,B ,C 共面,且OP →=xOA →+yOB →+zOC →(x ,y ,z ∈R ),则有x +y +z =1.从而λ=-2.答案 -24.设a ,b ,c 是不共面向量,m =2a -b ,n =b +c ,p =4a -5b -3c ,则向量m ,n ,p ________(填“共面”或“不共面”).解析 因为p =2(2a -b )-3(b +c )=2m -3n ,所以m ,n ,p 必共面.答案 共面5.下列命题:①若p =x a +y b ,则p 与a ,b 共面;②若p 与a ,b 共面,则p =x a +y b ;③若MP →=x ·MA →+y ·MB →,则P 、M 、A 、B 四点共面;④若P 、M 、A 、B 四点共面,则MP →=x ·MA →+y ·MB →,其中正确的是________.解析 ①与③中取x =0或y =0,则结论不一定成立.反之,②④正确.答案 ②④6.设A 、B 、C 及A 1、B 1、C 1分别是异面直线l 1、l 2上的三点,而M 、N 、P 、Q 分别是线段AA 1、BA 1、BB 1、CC 1的中点.求证:M 、N 、P 、Q 四点共面.解 NM →=12BA →,NP →=12A 1B 1→,所以BA →=2NM →,A 1B 1→=2NP →,又因为PQ →=12(BC →+B 1C 1→),(*) A 、B 、C 及A 1、B 1、C 1分别共线,所以BC →=λBA →=2λNM →,B 1C 1→=ωA 1B 1→=2ωNP →.代入(*)式得PQ →=12(2λNM →+2ωNP →) =λNM →+ωNP →,所以PQ →、NM →、NP →共面,所以M 、N 、P 、Q 四点共面.综合提高(限时25分钟)7.已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱,D 是AC 上一点,若AB 1∥平面DBC 1,则D 在AC 上的位置是________.解析 取BC 1的中点为O ,由AB 1∥平面DBC 1知,存在实数x ,y 满足AB 1→=xDB →+yDC 1→,又AB 1→=AD →+DO →+OB 1→=AD →+DO →+CO →=AD →+DO →+DO →-DC →=AD →-DC →+DB →+DC 1→,所以AD →=DC →,即D 是AC 的中点.答案 D 是AC 的中点8.平面α内有点A ,B ,C ,D ,E ,其中无三点共线,O 为空间一点,满足OA →=12OB →+xOC →+yOD →,OB →=2xOC →+13OD →+yOE →,则x +3y =________. 解析 由点A ,B ,C ,D 共面得x +y =12,又由点B ,C ,D ,E 共面得2x +y =23,联立 方程组解得x =16,y =13,所以x +3y =76. 答案 769.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AE =3EA 1,AF=FD ,AG =12GB ,过E 、F 、G 三点的平面与对角线AC 1交于点P ,则AP ∶PC 1的值为________.解析 设AP →=mAC 1→,因为AC 1→=AB →+BB 1→+B 1C 1→=AB →+AA 1→+AD →=3AG →+43AE →+2AF →, 所以AP →=3mAG →+43mAE →+2mAF →, 又因为E 、F 、G 、P 四点共面,所以3m +43m +2m =1, 所以m =319,所以AP ∶PC 1=3∶16. 答案 3∶1610.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 是面对角线AC 的中点,N 是面对角线A 1B 上的点,若MN ∥平面B 1BCC 1,则点N 的位置为________.解析 设BN →=λBA 1→,因为MN ∥平面B 1BCC 1,由共面向量定理知,存在实数x ,y ,使得MN →=xBC →+yBB 1→,①又MN →=BN →-BM →=λBA 1→-12(BC →+BA →)=λ(BB 1→+BA →)-12(BC → +BA →)=-12BC →+λBB 1→+(λ-12)BA →, 与①比较可知λ=12,即点N 是面对角线A 1B 的中点. 答案 A 1B 的中点11.已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,设M 是EG 和FH 的交点,求证:对空间任一点O ,有OM →=14(OA →+OB →+OC →+OD →). 证明 因为MA →+MB →=2ME →,MC →+MD →=2MG →,且ME →+MG →=0,所以MA →+MB →+MC →+MD →=0,OM →+MA →+OM →+MB →+OM →+MC →+OM →+MD →=4OM →,所以OM →=14(OA →+OB →+OC →+OD →). 12.已知四边形ABCD 为正方形,P 是四边形ABCD 所在平面外一点,P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中点O ,Q 是CD 的中点,求下列各题中x ,y 的值.(1)OQ →=PQ →+xPC →+yP A →;(2)P A →=xPO →+yPQ →+PD →.解 (1)如图所示∵OQ →=PQ →-PO →=PQ →-12(P A →+PC →)=PQ →-12P A →-12PC →,∴x =y =-12. (2)∵P A →+PC →=2PO →,∴P A →=2PO →-PC →.又PC →+PD →=2PQ →,∴PC →=2PQ →-PD →.∴P A →=2PO →-(2PQ →-OD →)=2PO →-2PQ →+PD →.∴x =2,y =-2.13.(创新拓展)设A ,B ,C 及A 1,B 1,C 1分别是异面直线l 1,l 2上的三点,而M ,N ,P ,Q 分别是线段AA 1,BA 1,BB 1,CC 1的中点,求证:M ,N ,P ,Q 四点共面.证明 由题意得,NM →=12BA →,NP →=12A 1B 1→,∴BA →=2NM →,A 1B 1→=2NP →.又A ,B ,C 及A 1,B 1,C 1分别共线, ∴BC →=λBA →,B 1C 1→=tA 1B 1→.又PQ →=12(BC →+B 1C 1→),∴PQ →=12(λBA →+tA 1B 1→)=12(2λNM →+2tNP →)=λNM →+tNP →.∴PQ →,NM →,NP →共面.∴M ,N ,P ,Q 四点共面.。
共面向量定理证明
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共面向量定理证明摘要:一、共面向量定理的概念及意义二、共面向量定理的证明方法1.向量共线定理的证明2.向量共面定理的证明3.存在唯一的证明三、共面向量定理的应用举例四、总结与拓展正文:一、共面向量定理的概念及意义共面向量定理是向量空间中的一个重要定理,它描述了向量空间的一些基本性质。
共面向量定理指出,如果三个非零向量共面,那么它们就共面。
这个定理在向量空间的许多应用中都起着关键作用,如向量运算、线性方程组求解等。
二、共面向量定理的证明方法共面向量定理的证明主要分为三个部分:向量共线定理的证明、向量共面定理的证明和存在唯一的证明。
1.向量共线定理的证明向量共线定理是指,如果两个向量共线,那么它们就共面。
这个定理的证明主要通过向量的数乘运算来完成。
假设有两个共线的向量a 和b,那么可以找到一个实数k,使得a=k*b。
由此可知,向量a 与向量b 共面。
2.向量共面定理的证明向量共面定理是指,如果三个向量共面,那么它们就共面。
这个定理的证明主要通过向量的线性组合来完成。
假设有三个共面的向量a、b 和c,那么可以找到一组实数x、y 和z,使得a=x*b+y*c。
由此可知,向量a 与向量b、c 共面。
3.存在唯一的证明存在唯一的证明是指,对于任意三个非零向量,它们一定共面,且共面的向量只有一个。
这个证明主要采用反证法来完成。
假设存在三个非零向量a、b 和c,它们不共面。
那么,根据向量共面定理,我们可以找到一个实数k,使得a=k*b+c。
但这与假设矛盾,因为假设中a、b 和c 不共面,而根据向量共面定理,它们共面。
所以,假设不成立,原命题成立。
三、共面向量定理的应用举例共面向量定理在向量空间的应用非常广泛,如求解线性方程组、判断向量是否共面等。
例如,给定四个向量a、b、c 和d,如果a 与b 共线,b 与c 共线,c 与d 共线,那么根据共面向量定理,a、b、c 和d 四个向量共面。
四、总结与拓展共面向量定理是向量空间中的一个基本定理,它描述了向量空间的一些基本性质。
高二数学共线向量与共面向量
![高二数学共线向量与共面向量](https://img.taocdn.com/s3/m/4772ee69c281e53a5802ff9d.png)
3.对于空间任意一点O,下列命题正确的 是:
A.若 OP OA t AB ,则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ,则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ,则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ,则P、A、B共线
4.若对任意一点O,且OP xOA y AB , 则x+y=1是P、A、B三点共线的: A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
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没有回头路可以走的,刻骨铭心的友谊也如仇恨一样,没齿难忘。 友情这棵树上只结一个果子,叫做信任。红苹果只留给灌溉果树的人品尝。别的人摘下来尝一口,很可能酸倒了牙。 友谊之链不可继承,不可转让,不可贴上封条保存起来而不腐烂,不可冷冻在冰箱里永远新鲜。 友谊需要滋养。有的人用钱,有的人用汗,还有的人用血。友谊是很贪婪的,绝不会满足于餐风饮露。友谊是最简朴同时也是最奢侈的营养,需要用时间去灌溉。友谊必须述说,友谊必须倾听,友谊必须交谈的时刻双目凝视,友谊必须倾听的时分全神贯注。友谊有的时候是那样脆弱,一 句不经意的言辞,就会使大厦顷刻倒塌。友谊有的时候是那样容易变质,一个未经实的传言,就会让整盆牛奶变酸。这个世界日新月异。在什么都是越现代越好的年代里,唯有友谊,人们保持着古老的准则。朋友就像文物,越老越珍贵。 礼物
共面向量定理及推论
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能平移到同一平面内的向量,或者说平行于同一平面的向量,叫做共面向量。
定理
如果两个向量 a 、 b 不共线,那么向量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是:存在唯一实数对x、y,使p=x a +y b 。
( a , b ≠ 0 )
推论1
向量 a 、 b 、 c 共面的充要条件是:存在三个不全为零的实数λ、μ、ν,使λ a+ μ b+ ν c = 0 。
推论2
无二者共线的向量 a 、 b 、 c 共面的充要条件是:存在三个全不为零的实数λ、μ、ν,使λ a +μ b +ν c = 0 。
推论3
如果 a 、 b 、 c 是三个不共面的向量,且存在实数λ、μ、ν,使得λ a +μ b +ν c = 0 ,那么λ=μ=ν=0。
推论4
设O、A、B三点不共线,则点C在平面OAB上的充要条件是存在唯一一对有序实数(x,y),使
向量 OC =x向量 OA +y向量 OB 。
推论5
若O、A、B、C四点不共面,则点P在平面ABC内的充要条件是:存在唯一实数组λ、μ、ν,使向量OP =λ OA +μ OB +ν OC ,其中λ+μ+ν=1。
推论6
对于空间任意四个向量 a 、 b 、 c 、 d ,必存在四个不全为零的实数λ、μ、ν、υ,使得λ a +μ b +ν c+ υ d = 0 。
共面向量定理
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实数 1、2 使
r ur ur
a 1e1 2 e2
作用:判断三向量共面.
小结:
OP = xOA + yOB (其中x+y=1)
(三点共线)
OP = xOA + yOB + zOC(其中x+y+z=1) (四点共面)
平面向量共线定理
r
r
“向量b和非零向量a共线”等价于“有
r rr r
且只有一个实数,使得b a(a 0)”
作用:判断两向量平行
平面向量基本定理:
ur ur
实数 1、2 使
r ur ur
a 1e1 2 e2
新课
D1 A1
D
共面向量的概念
C1
在同一个平面内或通
B1
过平移到同一个平面内的
向量,称为共面向量.
C
A
B
AD、AC、AB在同一平面内,称它们为共面向量.
问: A1D1 、AC、A1B1 为共面向量吗?
问题:
空间任意一个向量p与两个不共线向量a、b共 面时,他们之间存在怎样的关系呢?
P
A
M
B
N D
C
例2、如图,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的 平面互相垂直,点M、N分别在对角线BD、AE上, 且BM= 13BD,AN= 13AE. 求证:MN∥平面CDE.
F
N A
M B
E D C
例3、 对空间任意一点O和不共线的三点A、B、 C,试问满足向量关系式
OP = xOA + yOB + zOC(其中x+y+z=1) 的四点P、A、B、C是否共面?
2共面向量定理
![2共面向量定理](https://img.taocdn.com/s3/m/fb6fb29c8762caaedc33d407.png)
a
在空间直角
3.空间向量的坐标运算法则.
b =(b1,b2,b3 ), (1)若 a=(a1,a2,a3 ),
则
a+b =(a1+b1,a2+b2,a3+b3 ),
a=(a1,a2,a3 )( ∈R),
a-b =(a1-b1,a2-b2,a3-b3 ),
共面向量定理
共线向量: 1.共线向量的定义: 记作a // b 若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行 或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。 注:零向量与任一向量共线. 2.共线向量定理: 对于空间任意两个向量 a, b (a ¹ ,0)
a b Û
存在实数 l ,使得 b = l a
说明: ①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 ②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量。(零向量与 任意非零向量共线,与任意两个非零向量共面) ③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组,一个基 向量是指基底中的某一个向量。
三.空间向量基本定理:
如果三个向量e1、 e2、 e3 不共面,那么空间任一 向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z, 使p xe1 ye2 ze3 . 推论:设点O、A、B、C是不共面的四点,则对空间 任一点P,都存在唯一的有序实数对 x、y、z使
y
x 与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量 i, j, k
a
,
根据空向量基本定理,存在惟一的有序实数组
(x,y,z ),使 a =xi+y j+zk.
有序实数组(x,y,z )叫做向量
=( x,y,z ) 坐标系O-xyz中的坐标,记作: a 对于空间任意一点A(x,y,z ), 向量 OA坐标为 OA =( x,y,z ).
共面向量定理(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)
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O
D
FG EH
A
B
G
H
∴ E, F, G, H 四点共面.
E
还可以变为 OE OF
C
F
m
m
OH OG
k
k
空间中,同起点出发的四个向量 OE、
OF、
OG、
OH , 满足OE xOF yOG zOH
x y z 1 E、F、G、H四点共面
探究新知
联想:平面向量中有没有类似的结论?
点共面:
→
→
→
(1)MP=xMA+yMB;
→
→
→
→
(2)对空间任一点 O,OP=OM+xMA+yMB;
→
→
→
→
(3)对空间任一点 O,OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1);
→
→
→
→
→
→
(4)PM∥AB(或PA∥MB,或PB∥AM).
课堂练习
1.下列命题中正确的个数是( A )
①若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线;
(1)两向量a, b共线的充要条件是b a(a非零)
共线
(2) A, B, C 三点共线的充要条件是: OA OB OC ( 1).
或 AB AC
(3)三向量a, b, c共面的充要条件是c xa yb(a, b不共线)
共面
(4) A、B、C、D 四点共面的充要条件是: OA xOB yOC zOD ( x y z 1).
A
k
k
即 OG OF OH OE
m
m
? HG k EF
共面向量定理怎么证
![共面向量定理怎么证](https://img.taocdn.com/s3/m/46788595c0c708a1284ac850ad02de80d4d80630.png)
共面向量定理怎么证
共面向量定理(共线定理)是指,如果三个向量共面(或共线),则其中两个向量可以表示为第三个向量的线性组合。
用数学表达可以表示为:如果向量a、b、c共面(或共线),则存在不全为零的实数k1、k2,使得ka+kb=c。
证明思路如下:
1. 假设向量a,b,c共面(或共线)。
2. 考虑向量c是否为零向量。
如果c为零向量,那么ka+kb就等于零向量,其中k1=k2=0。
证毕。
3. 假设向量c不为零向量。
我们只需要证明,无论向量c如何旋转或平移,仍然可以找到k1和k2使得ka+kb=c。
4. 我们选择一个参考系,其中向量c的起点与坐标原点重合。
这样就可以将c看作从原点发出的有向线段。
5. 因为向量a和b与c共面(或共线),所以可以将向量a和b框在同一个平面上,使得它们的起点都与坐标原点重合。
6. 在该平面上,向量c可以被表示为向量a和向量b的线性组合。
也就是存在不全为零的实数k1和k2,使得ka+kb=c。
7. 由于我们选择的参考系,向量c的起点与坐标原点重合,所以ka和kb就可以表达为线段,使得它们的和等于线段c。
8. 由于向量a和b的起点与坐标原点重合,所以线段ka和kb 就可以看作是向量a和向量b。
9. 因此,我们可以得出结论,向量a和向量b可以表示为向量c的线性组合,即ka+kb=c。
10. 证毕。
以上是共面向量定理的证明思路,具体的证明过程可以根据具体的情况进行推导。
共面向量定理怎么证
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共面向量定理怎么证(原创实用版)目录一、共面向量定理的概念及背景二、共面向量定理的证明方法三、共面向量定理的应用举例四、总结正文一、共面向量定理的概念及背景共面向量定理是平面向量基本定理的一个重要结论。
共面向量定理描述了三个向量共面的充分必要条件,它是解决空间向量共面问题的关键定理。
在数学、物理等科学领域中,共面向量定理被广泛应用。
二、共面向量定理的证明方法共面向量定理的证明方法有多种,这里我们介绍一种较为简洁的证明方法。
证明:设向量 a、b、c 共面,那么存在实数 x、y 使得 a=xb+yc。
假设 d 是与 a、b、c 不共面的向量,那么 d 与 a、b、c 确定一个平面α。
由于 a=xb+yc,所以 d 也在平面α内。
但这与 d 与 a、b、c 不共面矛盾,所以假设不成立,即 a、b、c 共面。
三、共面向量定理的应用举例1.证明四点共面:在空间四边形 ABCD 中,M、N 分别是 AD、BC 的中点,求证:BMNADC 共面。
解:由于 M、N 分别是 AD、BC 的中点,所以 AM=MB、BN=NC。
那么向量 AM=MB=x(AB)+y(AC),向量 BN=NC=z(AB)+w(AC)。
由于 x+z=1,y+w=1,所以 BMNADC 共面。
2.求解共面向量定理中的参数:已知向量 a、b、c 共面,且存在实数 x、y 使得 a=xb+yc,求参数 x、y 的值。
解:由于 a、b、c 共面,那么它们对应端点构成的向量也共面。
设对应端点为 A、B、C,那么向量 AB=xAC+yBC。
根据平面向量基本定理,存在实数 u、v 使得 AB=uAC+vBC。
所以 x=u,y=v。
四、总结共面向量定理是平面向量基本定理的一个重要结论,它描述了三个向量共面的充分必要条件。
共面向量定理的证明
![共面向量定理的证明](https://img.taocdn.com/s3/m/3cb8f5fe59f5f61fb7360b4c2e3f5727a5e924da.png)
共面向量定理的证明共面向量定理是线性代数中的重要定理之一,用于判断三个向量是否共面。
本文将对共面向量定理进行证明。
我们先来了解一下什么是共面向量。
在三维空间中,如果存在三个非零向量,它们的起点都在同一个平面上,那么这三个向量就被称为共面向量。
换句话说,如果可以找到一组实数k1、k2、k3,使得k1a + k2b + k3c = 0,其中a、b、c分别表示三个向量,那么这三个向量就是共面的。
接下来,我们来证明共面向量定理。
假设a、b、c是三个非零向量,我们要证明的是,如果存在实数k1、k2、k3,使得k1a + k2b + k3c = 0成立,那么a、b、c就是共面的。
我们假设k1、k2、k3不全为零。
因为a、b、c都是非零向量,所以至少存在一个k值不为零。
假设k1不为零,那么我们可以将上述等式两边同时除以k1,得到k2b/k1 + k3c/k1 = -a。
现在,我们将等式两边乘以一个实数k4,得到k4(k2b/k1 + k3c/k1) = -k4a。
将等式进行展开,得到k4k2b/k1 + k4k3c/k1 = -k4a。
再进一步整理,得到(k4k2b + k4k3c)/k1 = -k4a。
由于等式左边是实数倍的向量b和向量c的和,右边是实数倍的向量a,所以我们可以将等式重新表示为:k5b + k6c = -a,其中k5 = k4k2/k1,k6 = k4k3/k1。
现在我们得到了一个新的等式k5b + k6c = -a。
由于k1、k2、k3不全为零,所以至少存在一个k值不为零,即k5和k6至少有一个不为零。
假设k5不为零,那么我们可以将上述等式两边同时除以k5,得到b + (k6/k5)c = -a/k5。
同样地,我们可以将等式两边乘以一个实数k7,得到k7(b + (k6/k5)c) = -k7a/k5。
将等式进行展开,得到k7b + (k7k6/k5)c = -k7a/k5。
再进一步整理,得到(k7b + k7k6c/k5)/k5 = -k7a/k5。
高中数学共面向量基本定理
![高中数学共面向量基本定理](https://img.taocdn.com/s3/m/d588f547f02d2af90242a8956bec0975f465a491.png)
若两个向量可以表示成同一个平面上的两个不共线向量的线性组合,则称这两个向量共面。
共面向量与向量空间的关系
在三维向量空间中,任意三个向量共面的充分必要条件是它们线性相关。共面向量可以视为向量空间 中的一个子空间。
向量空间的维数与基
向量空间的维数
向量空间的维数是指该空间中线性无 关向量的最大个数。例如,二维平面 上的向量空间维数为2,三维空间中 的向量空间维数为3。
在几何上,共面向量可以通过平移使得它们的起点和终点位 于同一直线或平面上。
基本定理的几何意义
共面向量基本定理表明,如果两 个向量共面,则它们可以通过线 性组合来表示第三个向量,该向
量也位于同一平面内。
几何上,这意味着共面的向量可 以通过缩放和平移来合成或分解 ,从而方便进行向量的运算和处
理。
共面向量基本定理是向量空间理 论的基础之一,对于理解向量的
解决向量线性表示问题
已知两向量求第三向量的线性表示
若已知向量a、b,且c=ma+nb,则可以通过解方程组求出m、n的值,从而得 到向量c的线性表示。
判断向量组是否线性相关
若向量组a1,a2,…,an中存在不全为零的实数k1,k2,…,kn,使得 k1a1+k2a2+…+knan=0,则称该向量组线性相关。通过判断向量组是否满足上 述条件,可以解决向量组的线性相关问题。
在学习共面向量基本定理时,应认真掌握 其推导过程,理解定理的适用条件和结论 。
多做练习题
拓展相关知识
通过大量的练习题,加深对共面向量基本 定理的理解和应用能力,提高解题速度和 准确性。
在学习共面向量基本定理的基础上,可以 进一步学习向量空间、线性变换等相关知 识,拓展数学视野和应用能力。
高中数学共面向量基本定理
![高中数学共面向量基本定理](https://img.taocdn.com/s3/m/52bd0ce016fc700aba68fc6f.png)
OP OA tAB (1 t)OA tOB
3、空间共面向量定理
p xa yb MP xMA yMB OP OM xMA yMB
作业P162之友
B
PA
OP (1 t)OA tOB
P、A、B 三点共线
O
P B
A
O
OP xOA yOB
O、P、A、B 四点共面
②平面AC//平面EG。
证明:② EF OF OE kOB kOA O
k(OB OA) kAB 由①知 EG kAC
EG // AC EF // AB
由面面平行判定定理的推论得:
D
A
H
C
B
G
面EG // 面AC
E
F
四、课堂练习 1、如图,已知A、B、C三点不共线,就平面ABC外一点 O作出点P、Q、R、S使
例3 已知 ABCD ,从平面AC外一点O引向量
OE kOA, OF kOB, OG kOC, OH kOD
求证:①四点E、F、G、H共面;
②平面AC//平面EG。
证明:∵四边形ABCD为
O
① ∴ AC AB AD
(﹡)
EG OG OE kOC k面
OP 1 (OA OB) 2
(中点公式)
例1:若点P分线段AB成2:1,对空间任意一点O,
试用 OA,OB表示OP
B P A
O
练习: 已知点P分线段AB的比为m:n(mn>0),点O为空间任一点,则
A.
OP m OA n OB
mn mn
B.
OP n OA m OB
C A
B
O
1、如图,已知A、B、C三点不共线,就平面ABC外一点 O作出点P、Q、R、S使
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C
高二数学选修2 共面向量定理
教学目标:
1.了解共面向量的含义,理解共面向量定理;
2.利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题;
教学重点:共面向量的含义,理解共面向量定理
教学难点:利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题
教学过程:
一、创设情景
1、关于空间向量线性运算的理解
平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量,只要图形封闭,其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。
从平面几何到立体几何,类比是常用的推理方法。
二、建构数学
1、共面向量的定义
一般地,能平移到同一个平面内的向量叫共面向量;
理解:若,为不共线且同在平面α内,则p与,共面的意义是p在α内或//
p
2、共面向量的判定
平面向量中,向量与非零向量共线的充要条件是λ
=,类比到空间向量,即有共面向量定理如果两个向量b
a,不共线,那么向量p与向量b
a,共面的充要条件是存在有序实数组)
,
(y
x,使得b y
x
p+
=
这就是说,向量p可以由不共线的两个向量b
a,线性表示。
D
三、数学运用
1,例1 如图,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直,点M,N 分别在对角线BD,AE 上,且AE AN BD BM 3
1
,31==
. 求证:MN//平面CDE
证明:AN BA MB MN ++==3
1
32+
又CD 与DE 不共线
根据共面向量定理,可知DE CD MN ,,共面。
由于MN 不在平面CDE 中,所以MN//平面CDE.
2、例 2 设空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ,若点P 满足向量关系
z y x ++=(其中x+y+z=1)
试问:P 、A 、B 、C 四点是否共面? 解:由OC z OB y OA x OP ++=可以得到
z y +=
由A,B,C 三点不共线,可知AB 与AC 不共线,所以AP ,AB ,AC 共面且具有公共起点A. 从而P,A,B,C 四点共面。
解题总结:
推论:空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x ,y 使得:
y x +=,或对空间任意一点O 有:y x ++=。
3、 课堂练习
(1)已知非零向量21e ,e 不共线,如果2121213382e e ,e e ,e e -=+=+=,求证:A 、B 、C 、D 共面。
(2)已知平行四边形ABCD ,从平面AC 外一点O 引向量k ,k ,k ===,
k。
求证:(1)四点E、F、G、H共面;(2)平面AC//平面EG。
(3)课本74页练习1-4
四、回顾总结
1、共面向量定理;
2、类比方法的运用。
五、布置作业。