最新人教版九年级数学上册第二十四章《点和圆、直线和圆的位置关系》同步测控2

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最新人教版九年级数学上册第二十四章《点和圆、直线和圆的位置关系》教案2

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设计意图
【活动一】
1.创设情境,发现问题
活动一:情景创设:我们生活在丰富多彩的图形世界里,圆与圆组成的图形是我们生活中最常见的画面。比如:自行车的两个轮子、奥运会的会标、皮带轮、日环食照片(大屏幕演示),你还能举出两个圆组成的图形吗?(学生举例)。
活动二:问题探究
问题1,圆和圆有哪些位置关系?(分组讨论)
教学方式
自主探究——合作交流——问题驱动式教学。
教学手段
多媒体(实物投影仪、计算机、直尺、三角板、圆规)
教学过程
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动1创设情境,引入新课;
以实际问题引入,设计悬念,揭示新问题,激发学生的求知欲,感受到学习数学的必要性。
活动2问题探究,获得结论;
以学生动手操作引导发现问题,得到初步猜想。
教材分析
圆和圆的位置关系是和圆有关的位置关系中的一个重要内容,也是学生学习了点和圆、直线和圆之后一个比较难掌握的内容。教材首先从一些生活中的常见的实例,包括两圆外离、内含、相交、内切、外切、同心圆等不同情况,让学生对两圆的位置关系有直观感受。教材设置了一个“探究”,通过移动两圆去发现两圆存在的不同位置关系,在这里总结抽象出各种位置关系的定义。然后学生讨论、测量得出各种位置关系的圆心距和两圆的半径的数量关系,两圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系,既是两圆不同位置的判定,又是它们的性质。最后,让学生能够运用进行解决问题。在这里学生学习了点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系,应当让学生总结不同的位置关系时不同的数量关系,从数和形的两方面去加以认识,在对比和类比中加深对这三不同位置关系的理解。
教师课前布置好:每人都在纸上画一个半径为2cm的圆,每个人都准备一个钥匙环当作另一个圆,在纸上移动钥匙环,让学生观察两圆的位置关系和公共点的个数。

最新人教版九年级数学上册第二十四章《点和圆、直线和圆的位置关系》名师导航2

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24.2.2 直线和圆的位置关系知识梳理1.由直线与圆的公共点的个数,得出直线和圆的以下三种位置关系:(1) 叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的.(2) 叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的,唯一的公共点叫做.(3) 叫做直线和圆相离.2.如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么(1)直线l和⊙O相交⇔;(2)直线l和⊙O相切⇔;(3)直线l和⊙O相离⇔;3.切线的性质:圆的切线;切线的判定: 是圆的切线.4. 是圆外一点到圆的切线长.切线长定理:从圆外一点引圆的条切线,它们的切线长,圆心和这一点的连线两条切线的夹角.5.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的,内切圆的圆心是三角形的的交点,叫做三角形的心.疑难突破1.对切线的判定定理的理解.剖析:定理中有两个条件:①经过半径外端,②垂直于这条半径;这两个条件缺一不可.如图24-2-2-1.图24-2-2-1图(1)中直线l经过半径外端,但不与半径垂直;图(2)(3)中直线l与半径垂直,但不经过半径外端.从以上三个反例可以看出,只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.2.如图24-2-2-2,作△ABC的内切圆,怎样画?图24-2-2-2剖析:作圆的关键是使它和已知三角形的各边都相切.假设⊙I是所求作的圆,⊙I和三角形三边都相切,圆心I应满足:圆心I到三角形三边的距离都相等.这样的点I应在三角形的内角平分线上,只需作出三角形的两条内角平分线的交点即可.圆心I确定后,半径就是圆心I到三角形边的距离.(如图24-2-2-3)图24-2-2-3问题探究问题 1 作一个圆,把直尺的边缘看作一条直线.固定圆,当直尺由远及近向圆平移时,直线与圆的哪些量发生了变化?它们怎样变化的?探究:直线与圆的公共点的个数发生了变化.圆心到直线的距离也发生了变化.当直尺由远及近向圆平移时,直线与圆的公共点的个数由0个增加一个,然后是两个.当直尺由远及近向圆平移时,圆心到直线的距离d由大变小,经历了d大于r,d等于r,d小于r.问题2 如何利用直线和圆的位置关系去判定直线是圆的切线呢?图24-2-2-4探究:图24-2-2-4中直线l是⊙O的切线,怎样判定?根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线,但有时使用定义判定很不方便.我们从另一个侧面去观察,那就是直线和圆的位置怎样时,直线也是圆的切线呢?直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径,直线l是⊙O的切线.这时我们来观察直线l与⊙O的位置.发现:(1)直线l经过半径OC的外端点C;(2)直线l垂直于半径OC.这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.典题精讲例1 如图24-2-2-5,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于B,AD∥OC交⊙O于D,连结CD.求证:CD 是⊙O的切线.图24-2-2-5思路解析连结OD,只需证CD⊥OD.证明:连结OD.∵AD∥OC,∴∠3=∠A,∠1=∠2.∵OD=OA,∴∠A=∠2.∴∠1=∠3.∵OD=OB,OC=OC,∴△COB≌△COD(SAS).∴∠B=∠ODC.∵BC是⊙O的切线,∴∠B=90°.∴∠ODC=90°.∴CD是⊙O的切线.例2 如图24-2-2-8,已知直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是⊙O的切线.图24-2-2-8思路解析欲证直线AB是⊙O的切线,只需证O到直线AB的距离等于半径,即AB⊥OC.证明:连结OC,∵OA=OB,CA=CB,∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.直线AB经过半径的外端C,并且垂直于半径OC,所以AB是⊙O的切线.例3 如图24-2-2-10,在△ABC中,∠ABC=45°,∠ACB=75°,点O是三角形的内心.求∠BOC的度数.图24-2-2-10思路解析要求∠BOC的度数,只要求出∠OBC和∠OCB的度数之和就可,即求∠1+∠3的度数.因为O是△ABC的内心,所以OB和OC分别为∠ABC和∠BCA的平分线,再由三角形的内角和定理易求出∠BOC的度数.解:连结OB、OC,则∵点O是三角形的内心,∴OB和OC分别为∠ABC和∠BCA的平分线,∴∠1=12∠ABC,∠3=12∠ACB.∵∠ABC=45°,∠ACB=75°,∴∠1+∠3=12∠ABC+12∠ACB=60°.∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=120°.知识导学1.直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”,这与直线与圆有一个公共点的含义不同.直线和圆除了上述三种位置关系外,没有第四种关系(即一条直线和圆的公共点不能多于两个).2.直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和圆的半径大小关系的对应,它既可作为各种位置关系的判定,又可作为性质.3.切线的判定方法有三种:(1)直线与圆有唯一公共点;(2)直线到圆心的距离等于该圆的半径;(3)切线的判定定理.4.注意“连结圆心和角顶点”这一辅助线的添加和应用.5.在学习概念时,应注意区别“内”与“外”,“接”与“切”.疑难导析1.切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素:一是经过半径外端,二是直线垂直于这条半径;开始时掌握不好并极容易忽视.2.利用作三角形的内角平分线,任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心,交点到任意一边的距离是圆的半径.和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个.问题导思1.给定圆,直线在动,从几条直线和圆的公共点的个数来完成直线和圆的位置关系的理解.2.切线的判定定理中的切线应满足两个条件:①经过半径外端;②垂直于这条半径.在应用定理时,注意:这两个条件缺一不可.直线和圆位置关系中的相切,是给出了“圆心到直线的距离等于半径”这个条件,这里的“距离”即包含垂直(点到直线距离的定义),“等于半径”即说明直线和圆的唯一公共点就是这半径的外端,这与切线的判定定理相吻合.典题导考绿色通道判定一条直线是圆的切线,当直线和圆的交点确定时,则应连半径,证垂直.典题变式如图24-2-2-6,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.求证:A T是⊙O的切线.证明:(略).图24-2-2-6典题变式如图24-2-2-7,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=30°.求证:DC是⊙O的切线.图24-2-2-7证明:(略).典题变式如图24-2-2-9,已知△ABC中,AB=AC,O是BC中点,以O为圆心的圆与AB切于D点.求证:AC是⊙O的切线.图24-2-2-9证明:连结OD,过O点作OE⊥AC于E点,∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵O 是BC 中点,∴BO=CO. ∵AB 是切线,∴OD ⊥AB. ∴∠BDO=90°.∵∠OEC=90°,∴∠BDO=∠CEO. ∴△DBO ≌△ECO.∴OD=OE. ∵OD 是半径,∴OE 是⊙O 的半径. ∴AC 是⊙O 的切线. 绿色通道连结圆心和角顶点这一辅助线是解决有关三角形的内心的角的问题的常用方法. 典题变式如图24-2-2-11,△ABC 的内心为I,外心为O,且∠BIC=115°,求∠BOC 的度数.图24-2-2-11解:∵I 为△ABC 的内心,∴∠IBC=12∠ABC,∠ICB=12∠ACB. ∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-115°=65°.∴∠ABC+∠ACB=130°.∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=50°. 又∵O 是△ABC 的外心, ∴∠BOC=2∠A=100°.。

2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章 圆直线和圆的位置关系 (第1课时)教案

2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章 圆直线和圆的位置关系 (第1课时)教案

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系(第1课时)一、教学目标【知识与技能】掌握直线和圆的三种位置关系及其数量间的关系,掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法.【过程与方法】通过生活中的实例,探求直线和圆的三种位置关系,并提炼出相关的数学知识,从而渗透数形结合,分类讨论等数学思想.【情感态度与价值观】在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.二、课型新授课三、课时第1课时,共3课时。

四、教学重难点【教学重点】直线与圆的三种位置关系及其数量关系.【教学难点】通过数量关系判断直线与圆的位置关系.五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程(一)导入新课如图,在太阳升起的过程中,太阳和地平线会有几种位置关系?我们把太阳看作一个圆,地平线看作一条直线,由此你能得出直线和圆的位置关系吗?(出示课件2)解决这个问题要研究直线和圆的位置关系.(板书课题)(二)探索新知探究一用公共点个数判断直线与圆的位置关系教师问:如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一条直线,那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下,直线和圆有几种位置关系吗?(出示课件4)学生交流,回答问题:有三种位置关系.教师问:如图,在纸上画一条直线l,把钥匙环看作一个圆,在纸上移动钥匙环,你能发现在钥匙环移动的过程中,它与直线l的公共点的个数吗?(出示课件5)学生交流,回答问题:0个,1个,2个.教师问:请同学在纸上画一条直线l,把硬币的边缘看作圆,在纸上移动硬币,你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗?公共点个数最少时有几个?最多时有几个?(出示课件6)学生交流,回答问题:公共点个数最少时0个,公共点个数最多时2个.出示课件7:教师展示切割钢管过程,学生观察并填表.出示课件8:填一填:(教师引导学生构建并填写表格,帮助学生理清知识脉络)教师归纳:(出示课件9)直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线(如图直线l),这个唯一的公共点叫做切点(如图点A).练一练:判断正误.(出示课件10)(1)直线与圆最多有两个公共点.(2)若直线与圆相交,则直线上的点都在圆上.(3)若A是⊙O上一点,则直线AB与⊙O相切.(4)若C为⊙O外一点,则过点C的直线与⊙O相交或相离.(5)直线a和⊙O有公共点,则直线a与⊙O相交.学生独立思考后口答:⑴√⑵×⑶×⑷×⑸×探究二用数量关系判断直线与圆的位置关系教师问:同学们用直尺在圆上移动的过程中,除了发现公共点的个数发生了变化外,还发现有什么量也在改变?它与圆的半径有什么样的数量关系呢?(出示课件11)学生讨论,归纳总结答案,并由学生代表回答问题.教师问:怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢?(出示课件12)学生讨论,归纳总结答案后教师归纳:根据直线和圆相交、相切、相离的定义:直线和⊙O d<r;直线和⊙O d>r;直线和⊙O d = r.教师演示:根据直线和圆相切的定义,经过点A用直尺近似地画出⊙O的切线.(出示课件13)学生根据教师演示进行操作.教师归纳:(出示课件14)直线和⊙O d<r 两个直线和⊙O d>r 0个直线和⊙O d=r 1个位置关系公共点个数出示课件15-17:例1 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?为什么?(1)r=2cm;(2)r=2.4cm;(3)r=3cm.教师分析:要了解AB 与⊙C 的位置关系,只要知道圆心C 到AB 的距离d 与r 的关系.已知r ,只需求出C 到AB 的距离d.师生共同解决如下:解:过C 作CD ⊥AB ,垂足为D.在△ABC 中,==5(cm ).根据三角形的面积公式有1122CD AB AC BC ⨯=⨯.∴342.4(cm),5AC BC CD AB ⨯⨯===即圆心C 到AB 的距离d=2.4cm.所以(1)当r=2cm 时,有d>r,因此⊙C 和AB 相离.(1) (2) (3) (2)当r=2.4cm 时,有d=r ,因此⊙C 和AB 相切. (3)当r=3cm 时,有d<r ,因此⊙C 和AB 相交. 巩固练习:(出示课件18-20)1.Rt △ABC,∠C=90°AC=3cm ,BC=4cm ,以C 为圆心画圆,当半径r 为何值时,圆C 与直线AB 没有公共点?学生独立思考后独立解答.解:当0cm<r<2.4cm或r>4cm时,⊙C与线段AB没有公共点.2.Rt△ABC,∠C=90,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心画圆,当半径r为何值时,圆C与线段AB有一个公共点?当半径r为何值时,圆C与线段AB有两个公共点?学生独立思考后独立解答.解:当r=2.4cm或3cm<r≤4cm时,⊙C与线段AB有一个公共点.当2.4cm<r≤3cm时,⊙C与线段AB有两公共点.3.圆的直径是13cm,如果直线与圆心的距离分别是(1)4.5cm ;(2)6.5cm;(3)8cm;那么直线与圆分别是什么位置关系?有几个公共点?学生独立思考后一生板演.解:如图所示.(1)圆心距d=4.5cm<r=6.5cm时,直线与圆相交,有两个公共点;(2)圆心距d=6.5cm=r=6.5cm时,直线与圆相切,有一个公共点;(3)圆心距d=8cm>r=6.5cm时,直线与圆相离,没有公共点.出示课件21:例2 如图,Rt △ABC 的斜边AB=10cm,∠A=30°.学生独立思考后师生共同解答. 解:过点C 作边AB 上的高CD. ∵∠A=30°,AB=10cm,15cm.2BC AB ==在Rt △BCD 中,有1 2.5cm,2BD BC CD ====时,AB 与☉C 相切. 巩固练习:(出示课件22)如图,已知∠AOB=30°,M 为OB 上一点,且 OM=5cm ,以M 为圆心、r 为半径的圆与直线OA 有怎样的位置关系?为什么?(1)r=2cm ;(2)r=4cm ;(3)r=2.5cm.学生思考后自主解答.解:(1)相离;(2)相交;(3)相切. (三)课堂练习(出示课件23-29)1.已知⊙O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O 的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.无法确定2.已知直线y=kx(k≠0)经过点(12,﹣5),将直线向上平移m(m>0)个单位,若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交(点O为坐标原点),则m的取值范围为________.3.看图判断直线l与☉O的位置关系?4.直线和圆相交,圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5,则有()A.r<5B.r>5C.r=5D.r≥55.☉O的最大弦长为8,若圆心O到直线l的距离为d=5,则直线l与☉O______.6.☉O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5,则直线l与☉O的位置关系是()A.相交或相切B.相交或相离C.相切或相离D.上三种情况都有可能7.如图,在平面直角坐标系中,⊙A与y轴相切于原点O,平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点.若点M的坐标是(-4,-2),则点N的坐标为( )A.(-1,-2) B.(1,2)C.(-1.5,-2) D.(1.5,-2)8.已知☉O的半径r=7cm,直线l1//l2,且l1与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.参考答案:1.B2.13m0<<23.解:⑴相离;⑵相交;⑶相切;⑷相交;⑸相交.4.B5.相离6.A7.A8.解:(1)l2与l1在圆的同一侧:m=9-7=2cm;(2)l2与l1在圆的两侧:m=9+7=16cm.(四)课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法?请与同伴交流.(五)课前预习预习下节课(24.2.2第2课时)的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:本节课从生活中的常见情况引出了直线和圆的位置关系,并且从两个不同方面去判定直线与圆的三种关系,让学生讨论并归纳总结常用的直线和圆位置关系的判定方法,让学生领会该判定方法的实质是看直线到圆心的距离与半径的大小.对于该判定方法,学生一般能够熟记图形,以数形结合的方法理解并记忆.。

人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)

人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)

点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.(1)点与圆的位置关系有3种.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:3.①点P在圆外⇔d>r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d<r6.(2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.7.(3)符号“⇔”读作“等价于”,它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端,从右端也可以得到左端.2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆.注意:这里的“三个点”不是任意的三点,而是不在同一条直线上的三个点,而在同一直线上的三个点不能画一个圆.“确定”一词应理解为“有且只有”,即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆,过一点可画无数个圆,过两点也能画无数个圆,过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆.3.三角形的外接圆与外心(1)外接圆:经过三角形的三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆.(2)(2)外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.(3)(3)概念说明:(4)①“接”是说明三角形的顶点在圆上,或者经过三角形的三个顶点.(5)②锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形的外部.(6)③找一个三角形的外心,就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点,三角形的外接圆只有一个,而一个圆的内接三角形却有无数个.4.反证法(了解)(1)对于一个命题,当使用直接证法比较困难时,可以采用间接证法,反证法就是一个间接证法.反证法主要适合的证明类型有:①命题的结论是否定型的.②命题的结论是无限型的.③命题的结论是“至多”或“至少”型的.(2)(2)反证法的一般步骤是:(3)①假设命题的结论不成立;(4)②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;(5)③由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确.5.直线和圆的位置关系(1)直线和圆的三种位置关系:①相离:一条直线和圆没有公共点.②相切:一条直线和圆只有一个公共点,叫做这条直线和圆相切,这条直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点.③相交:一条直线和圆有两个公共点,此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫圆的割线.(2)判断直线和圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.①直线l和⊙O相交⇔d<r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d>r.6.切线的性质(1)切线的性质(2)①圆的切线垂直于经过切点的半径.(3)②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.(4)③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(5)(2)切线的性质可总结如下:(6)如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件,这三个条件是:①直线过圆心;②直线过切点;③直线与圆的切线垂直.(7)(3)切线性质的运用(8)由定理可知,若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,见垂直.7.切线的判定8.(1)切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.9.(2)在应用判定定理时注意:10.①切线必须满足两个条件:a、经过半径的外端;b、垂直于这条半径,否则就不是圆的切线.11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时,直线和圆相切“这个结论直接得出来的.12.③在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径,可简单的说成“无交点,作垂线段,证半径”;当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线,可简单地说成“有交点,作半径,证垂直”.8.切线的判定与性质(1)切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(3)常见的辅助线的:①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;②有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”.9.切线长定理(1)圆的切线定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.(2)(2)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角.(3)(3)注意:切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.(4)(4)切线长定理包含着一些隐含结论:(5)①垂直关系三处;(6)②全等关系三对;(7)③弧相等关系两对,在一些证明求解问题中经常用到.10.三角形的内切圆与内心(1)内切圆的有关概念:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.(2)任何一个三角形有且仅有一个内切圆,而任一个圆都有无数个外切三角形.(3)三角形内心的性质:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.11.圆与圆的五种位置关系(1)圆与圆的五种位置关系:①外离;②外切;③相交;④内切;⑤内含.如果两个圆没有公共点,叫两圆相离.当每个圆上的点在另一个圆的外部时,叫两个圆外离,当一个圆上的点都在另一圆的内部时,叫两个圆内含,两圆同心是内含的一个特例;如果两个圆有一个公共点,叫两个圆相切,相切分为内切、外切两种;如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交.(2)圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系:①两圆外离⇔d>R+r;②两圆外切⇔d=R+r;③两圆相交⇔R-r<d<R+r(R≥r);④两圆内切⇔d=R-r(R>r);⑤两圆内含⇔d<R-r(R>r).12.相切两圆的性质相切两圆的性质:如果两圆相切,那么连心线必经过切点.这说明两圆的圆心和切点三点共线,为证明带来了很大方便.13.相交两圆的性质(1)相交两圆的性质:(2)相交两圆的连心线(经过两个圆心的直线),垂直平分两圆的公共弦.(3)注意:在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系.(4)(2)两圆的公切线性质:(5)两圆的两条外公切线的长相等;两圆的两条内公切线的长也相等.(6)两个圆如果有两条(内)公切线,则它们的交点一定在连心线上.4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种:(1)与圆有惟一公共点的直线是圆的切线;(2)若圆心到一条直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线;(3)经过半径外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°,BC=34,D是线段BC的中点.(1)试判断点D与⊙O的位置关系,并说明理由.(2)过点D作DE⊥AC,垂足为点E,求证:直线DE是⊙O的切线.【例5】如图,已知O为正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OA的长为半径的⊙O与BC相切于M,与AB、AD分别相交于E、F,求证CD与⊙O相切.【例6】如图,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为劣弧上一动点,P在CB 的延长线上,且有∠BAP=∠BDA.求证:AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系:2. 切线的定义和性质:3.三角形与圆的特殊位置关系:4. 圆与圆的位置关系:(两圆圆心距为d ,半径分别为21,r r )相交⇔2121r r d r r +<<-; 外切⇔21r r d +=;内切⇔21r r d -=; 外离⇔21r r d +>; 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算.【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6,点O 到直线a 的距离为5,则直线a 与⊙O 的位置关系为( )A .相离B .相切C .相交D .内含例 2. 如图1,⊙O 内切于ABC △,切点分别为D E F ,,.50B ∠=°,60C ∠=°,连结OE OF DE DF ,,,,则EDF ∠等于( )A .40°B .55°C .65°D .70°例3. 如图,已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ,且A 、B 到直线L 的距离相等,则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有( )A .0个B .1个C .无数个D .0个或1个或无数个例4.已知⊙O 1半径为3cm ,⊙O 2半径为4cm ,并且⊙O 1与⊙O 2相切,则这两个圆的圆心距为( ) A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5.两圆内切,圆心距为3,一个圆的半径为5,另一个圆的半径为 例6.两圆半径R=5,r=3,则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时,•两圆相交;•当d•满足___ ___时,两圆不外离.例7.⊙O 半径为6.5cm ,点P 为直线L 上一点,且OP=6.5cm ,则直线与⊙O•的位置关系是____例8.如图,PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ,⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ,切点C 在弧AB 上,若PA 长为2,则△PEF 的周长是 _.例9. 如图,⊙M 与x 轴相交于点(20)A ,,(80)B ,,与y 轴切于点C ,则圆心M 的坐标是例10. 如图,四边形ABCD 内接于⊙A ,AC 为⊙O 的直径,弦DB ⊥AC ,垂足为M ,过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ,若AC=10,tan ∠DAE=43,求DB 的长.【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4,圆心距为7,那么两圆位置关系是( )A .相离B .外切C .内切D .相交2.⊙A 和⊙B 相切,半径分别为8cm 和2cm ,则圆心距AB 为( )A .10cmB .6cmC .10cm 或6cmD .以上答案均不对3.如图,P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A ,如果PA =3,PB =1,那么∠APC 等于( )A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图,⊙O 半径为5,PC 切⊙O 于点C ,PO 交⊙O 于点A ,PA =4,那么PC 的长等于( ) A )6 (B )25 (C )210 (D )2145.如图,在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长).⊙A 半径为2,⊙B 半径为1,需使⊙A 与静止的⊙B 相切,那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C = 90,AO 的延长线交BC 于点D ,AC =4,DC =1,,则⊙O 的半径等于( )A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6,⊙O 的一条弦AB 长63,以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图,在ABC △中,12023AB AC A BC =∠==,°,,A ⊙与BC 相切于点D ,且交AB AC 、于M N 、两点,则图中阴影部分的面积是 (保留π).9.如图,B 是线段AC 上的一点,且AB :AC=2:5,分别以AB 、AC 为直径画圆,则小圆的面积与大圆的面积之比为_______.10. 如图,从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆,则剩下的纸板面积是___.11. 如图,两等圆外切,并且都与一个大圆内切.若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm .则大圆的半径是______cm .12.如图,直线AB 切⊙O 于C 点,D 是⊙O 上一点,∠EDC=30º,弦EF ∥AB ,连结OC 交EF 于H 点,连结CF ,且CF=2,则HE 的长为_________.13. 如图,PA 、PB 是⊙O 的两条切线,切点分别为A 、B ,若直径AC=12cm ,∠P=60°.求弦AB 的长. 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆,⊙O 的半径为2,则ABC △的边长为( )A .3B .5C .23D .253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30,过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点.PC =5,则⊙O 的半径为 ( )A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径,点P 在BA 的延长线上,PC 是⊙O 的切线,C 为切点,PC =26,PA =4,则⊙O 的半径等于( )A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆,在某一平面内,让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切,该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中,你认为正确的有( )①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图,AB 、AC 是⊙O 的两条切线,切点分别为B 、C ,D 是优弧BC 上的一点,已知∠BAC =80°,那么∠BDC =__________度.7. 如图,AB 是⊙O 的直径,四边形ABCD 内接于⊙O ,,,的度数比为3∶2∶4,MN 是⊙O 的切线,C 是切点,则∠BCM 的度数为________.8.如图,在△ABC 中,5cm AB AC ==,cos B 35=.如果⊙O 的半径为10cm ,且经过点B 、C ,那么线段AO = cm .9.两个等圆⊙O 与⊙O ′外切,过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ,A 、B 是切点,则∠AOB = .10.如图6,直线AB 与⊙O 相切于点B ,BC 是⊙O 的直径,AC 交⊙O 于点D ,连结BD ,则图中直角三角形有 个.11.如图,60ACB ∠=°,半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ,若将O ⊙在CB 上向右滚动,则当滚动到O ⊙与CA 也相切时,圆心O 移动的水平距离是__________cm .12.如图, AB 与⊙O 相切于点B ,线段OA 与弦BC 垂直于点D ,∠AOB =60°,B C=4cm ,则切线AB = cm.13.如图,⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切,圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上,则阴影部分面积等于 .14. Rt △ABC 中,9068C AC BC ∠===°,,.则△ABC的内切圆半径r =______.15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ,⊙O 的半径为r ,当d 、r 是关于x 的方程x 2-4x+m=0的两根,且直线l 与⊙O 相切时,则m 的值为_____.16.已知:⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5,且两两相切,则AB 、BC 、CA 分别为 .17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ,⊙O 的半径为r ,当d 、r 是关于x 的方程x 2-4x+m=0的两根,且直线l 与⊙O 相切时,则m 的值为_____.三、解答题18. 如图,AB 是⊙O 的弦,OA OC ⊥交AB 于点C ,过B 的直线交OC 的延长线于点E ,当BE CE =时,直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系?请说明理由. 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1,在⊙O 中,AB 为⊙O 的直径,AC 是弦,4OC =,60OAC ∠=. (1)求∠AOC 的度数;(2)在图1中,P 为直径BA 延长线上的一点,当CP 与⊙O 相切时,求PO 的长;(3)如图2,一动点M 从A 点出发,在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动,当MAO CAO S S =△△时,求动点M 所经过的弧长.第18题图。

人教版九年级数学第二十四章第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》解答题专题复习(精选解析版) (48)

人教版九年级数学第二十四章第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》解答题专题复习(精选解析版) (48)

第二十四章第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》解答题专题复习(精选解析版) (48)1.如图所示,已知O 的外切等腰梯形ABCD ,,AD BC AB DC =,梯形中位线为EF ,求证:EF AB =.【答案】见解析.【解析】【解析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB ,根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF ,进而可得EF=AB.∵等腰梯形ABCD 是O 的外切等腰梯形,∴AD+BC=AB+CD=2AB ,∵梯形中位线为EF ,∴AD+BC=2EF ,∴EF=AB.本题考查切线长定理及梯形的中位线,从圆外一点引圆的两条切线,它们的长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角;熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键.2.如图所示,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,点P 在BC 上,AB=20,BP=5,BC=16,点O 在AP 上,AB 、BC 分别切O 于M 、N. 求O 半径.【答案】125R =. 【解析】连接ON 、OB 、OM ,设O 半径为R ,利用勾股定理可求出AC 的长,根据ABC ACP OBP OBA S S S S ∆∆∆∆=++列方程求出R 的值即可得答案.连接ON ,OB ,OM ,设O 半径为R , ∵AB 、BC 分别切O 于M 、N.∴ON ⊥BC ,OM ⊥AB ,∵BC=16,BP=5,∴CP=16-5=11,∵AB=20,BC=16,∠C=90°,∴,∵ABC ACP OBP OBA S S S S ∆∆∆∆=++, ∴()111222AC BC AC CP R BP AB ⋅=⋅+⋅+, ∴11112161211(205)222R ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+ 解得125R =.本题考查切线的性质,勾股定理,根据三角形的面积得出关于R 的方程是解题关键.3.如图所示,等腰ABC △,5AB AC ==,6BC =,求三角形的内切圆O 的半径R .【答案】32R =【解析】【解析】 作AD ⊥BC ,根据等腰三角形的性质可得BD 的长,利用勾股定理可求出AD 的长,即可求出△ABC 的面积,设△ABC 的内切圆与△ABC 各边的切点为E 、F 、G ,根据S △ABC =S △AOB +S △BOC +S △AOC在图(1)中,作AD BC ⊥,垂足为D∵5AB AC ==,6BC =,∴BD=CD=3,∴, ∴1122ABC S BC AD ∆=⋅= 在图(2)中,设ABC △的内切圆O 切点分别为E 、F 、G ,连接 OA 、OE 、OB 、OG 、OC 、OF , ∴OE ⊥AB ,OG ⊥BC ,OF ⊥AC , ∵()12ABC ABO BCO ACO S S S S AB BC AC R ∆∆∆=++=++⋅ ∴()1125562R =++⨯ ∴32R =本题考查了三角形的内切圆、等腰三角形的性质,熟练掌握面积法求三角形内切圆的半径方法是解题的关键..4.如图所示,C ,D 分别是O 的半径OA 和弦AB 上的点,CD AO ⊥,点E 在CD 的延长线上,且ED=EB .(1)求证:BE 与O 相切;(2)如图所示,已知AC=2CO ,△DEB 为等边三角形,若BE =,求O 的半径. 【答案】(1)见解析;(2)O 的半径为95. 【解析】【解析】 (1)连接OB ,由CD 与OA 垂直,得到∠DCA=90°,进而得到两个角互余,由OA=OB ,ED=EB ,明BE 与O 相切;(2)延长AO ,交O 于点F ,设OC=x ,由CD ⊥OA ,△DEB 为等边三角形可得∠CAD=30°,∠ABF=90°,利用∠CAD 的余弦可用x 表示出AD 、AB 的长,根据AB=AD+BD 列方程可求出x 的值,进而可得OA 的长,即可得答案. (1)连接OB ,∵EB ED =,∴EBD EDB ∠=∠,∵CD AO ⊥,∴90DCA ∠=︒,∴90CAB CDA ∠+∠=︒,∵OB OA =,∴∠OAB=∠OBA ,∵∠=∠CDA EDB ,∴90OBA EBA ∠+∠=︒,∠OBE=90°∵OB 是O 的半径, ∴BE 与O 相切.(2)延长AO ,交O 于点F ,连接BF ,设OC x =,则AC=2x ,OA=3x ,AF=6x ,∵CD AO ⊥,DEB ∆为等边三角形,∴∠EDB=60°,∴∠ADC=60°,30CAD ∠=︒,∴AC=2AD ,∴AD=3x , ∵AF 是直径,∠ABF 是AF 所对的圆周角,∴∠ABF=90°,∴,∵AB=AD+BD ,∴, 解得:35x =, ∴OA=3x=95, ∴O 的半径为95. 此题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理,熟练掌握切线的判定方法把正确作出辅助线是解本题的关键.5.如图所示(1),OA ,OB 是O 的两条半径,且AO BO ⊥,点C 是OB 延长线上的一点,过点C 作CD 切O 于点D ,连结AD 交OC 于点E .(1)判断CD 和CE 的数量关系并证明.(2)若将图(1)中的半径OB 所在直线向上平移交OA 于F ,交O 于点H ,其它条件不变,(1)中结论还成立吗?为什么?(3)若将图(1)中的半径OB 所在直线向上平移到O 外的CF ,点E 是DA 延长线与CF 的交点,其它条件不变,(1)中结论还成立吗?为什么?【答案】(1)CD CE =,理由见解析;(2)CD CE =,理由见解析;(3)CD CE =成立,理由见解析.【解析】【解析】(1)连接OD ,由切线性质可得∠CDO=90°,由等腰三角形的性质可得∠ODA=∠OAD ,根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠A+∠AEO=90°,根据等量代换可得∠CDE=∠CED ,可得CD=CE ;(2)连接OD ,由平移性质可得CF ⊥OA ,同(1)的证明方法可得CD=CE ;(3)延长OA ,交=,理由如下:(1)CD CE连接OD,∵CD是O的切线,OD是半径,∴∠CDO=90°,∴∠ODA+∠CDE=90°,∵OA⊥OB,∴∠A+∠AEO=90°,∵OA=OD,∴∠A=∠ODA,∴∠AEO=∠CDE,∵∠AEO=∠CED,∴∠CDE=∠CED,∴CD=CE.=成立,理由如下:(2)CD CE连接OD,∵半径OB所在直线向上平移交OA于F,OA⊥OB,∴CF⊥OA,∴∠A+∠AEF=90°,∵CD是O的切线,OD是半径,∴∠CDO=90°,∴∠ODA+∠CDE=90°,∵OA=OD,∴∠A=∠ODA,∴∠AEF=∠CDE,∵∠AEF=∠CED,∴∠CED=∠CDE,∴CD=CE.(3)CD CE =成立,理由如下:延长OA 交CF 于G ,连结OD ,∵半径OB 所在直线向上平移到O 外的CF ,OA ⊥OB , ∴CF ⊥OG ,∴90AEG GAE ∠+∠=︒∵OA OD =,∴OAD ODA ∠=∠,∵CD 是O 的切线,OD 是半径,∴∠CDO=90°,∴∠ODA+∠CDE=90°,∵∠GAE=∠OAD ,∴∠GAE=∠ODA ,∴CED CDE ∠=∠,∴CD CE =.本题考查切线的性质及等腰三角形的性质与判定,圆的切线垂直于过切点的半径.熟练掌握切线的性质是解题关键.6.如图所示,在O 中,OA 为半径,CO AO ⊥,CB 切O 于点B ,连结AB ,交OC 于D ,且1,42OD OA BC ==,求O 的半径.【答案】163R =【解析】【解析】 连接BO ,由切线性质可得∠CBO=90°,由等腰三角形的性质可得∠OBA=∠OAB ,根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠ODA=∠CBD ,根据等量代换可得∠CDB=∠CBD ,可得CD=BC=4,设OB=R ,在Rt △OBC 中,利用勾股定理求出R 的值即可得答案.连接BO ,∵CB 切O 于B∴,90OB BC CBO ⊥∠=︒∵CO AO ⊥∴90COA ∠=︒∵OB OA =,∴OBA OAB ∠=∠∵90OAB ODA ∠+∠=︒,90OBA CBD ∠+∠=︒∴ODA CBD ∠=∠,∵ODA CDB ∠=∠,∴CDB CBD ∠=∠,∴4CB CD ==,在Rt OBC △中,设OB R =,由勾股定理知2221442R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,解得:0R =或163, ∵0R >, ∴163R =.本题考查切线的性质,等腰三角形的性质,圆的切线垂直于过切点的直径.熟练掌握切线性质是解题关键.7.如图所示,,,AB BC CD 分别与O 相切于点,,E F G ,且AB CD ∥,OB 与EF 相交于点M ,OC 与FG 相交于点N ,连结MN(1)求证:OB OC ⊥;(2)若6,8OB OC ==,求MN 的长.【答案】(1)见解析;(2) 4.8MN =.【解析】【解析】(1)根据切线长定理可得∠ABO=∠CBO ,∠DCO=∠BCO ,由平行线的性质可得∠ABC+∠BCD=180°,即可得出∠CBO+∠BCO=90°,根据三角形内角和可得∠BOC=90°,即可得OB ⊥OC ;(2)连结OF ,由切线性质可得OF ⊥BC ,利用勾股定理可求出BC 的长,利用三角形面积可求出OF 的长,根据等腰三角形的性质可得∠ONF=90°,∠OMF=90°,即可证明四边形ONFM 是矩形,根据矩形对角线相等即可得MN 的长.(1)∵AB CD ∥,∴180ABC DCB ∠+∠=︒,∵,,AB BC CD 分别与O 相切于点,,E F G ,∴ABO CBO ∠=∠,DCO BCO ∠=∠∴90CBO BCO ∠+∠=︒,∴∠BOC=180°-90°=90°,∴OB OC ⊥(2)连接OF ,∵BC 是切线,F 为切点,OF 是半径,∴OF ⊥BC ,∵OB=6,OC=8,OB ⊥OC ,∴BC=10, ∵1122BOC S BC OF OB OC ∆=⋅=⋅,∵CF=CG ,∠FCN=∠GCN ,∴CN ⊥FG ,即∠ONF=90°,同理,∠OMF=90°,∴四边形ONFM 是矩形,∴MN=OF=4.8本题考查切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的性质及矩形的判定与性质,从圆外一点引圆的两条切线,它们的长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.等腰三角形顶角的角平分线、底边的高及底边中线“三线合一”.8.如图所示,已知在ABC △中,BC=7,AC=5,AB=6,它的内切圆分别和BC 、AC 、AB 切于点D 、E 、F ,求AF 、BD 、CE 的长.【答案】2AF=,4BD =,3CE =.【解析】【解析】 设AF=x ,BD=y ,CE=z ,根据切线长定理可得AE=AF=x ,BF=BD=y ,CD=CE=z ,即可得出x+y=6,y+z=7,x+z=5,三式相加可得x+y+z=9,进而可分别求出x 、y 、z 的值,即可得答案.设AF=x ,BD=y ,CE=z ,∵△ABC 的内切圆分别和BC 、AC 、AB 切于点D 、E 、F ,∴AE=AF=x ,BF=BD=y ,CD=CE=z ,∴x+y=6,y+z=7,x+z=5,三式相加得x+y+z=9,∴x=2,y=4,z=3,∴AF=2,BD=4,CE=3.本题考查切线长定理,从圆外一点引圆的两条切线,它们的长相等,这一点和圆心的连线平分两条9.如图所示,O 是ABC △的内心,过点O 作EF AB ∥,与AC ,BC 分别交于点E ,F . 求证:EF AE BF =+【答案】见解析.【解析】【解析】连接OA 、OB ,由内心的定义可得∠OAE=∠OAB ,AB 、AC 与O 相切,根据平行线的性质可得∠AOE=∠OAB ,即可证明∠AOE=∠OAE ,可得AE=OE ,同理可证明OF=BF ,根据OE+OF=EF 即可得EF=AE+BF.连接AO ,BO∵O 是ABC △的内心,∴AB ,AC 与O 相切,∴EAO OAB ∠=∠,∵EF AB ∥∴EOA OAB ∠=∠,∴EOA EAO ∠=∠∴EO EA =同理可证FO FB =∴EF OE OF AE BF =+=+本题考查了三角形的内心的性质及平行线的性质,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,是三角形内切圆的圆心.10.如图所示,已知四边形OABC 是菱形,60O ∠=︒,点M 是OA 的中点,以点O 为圆心,R为半径作O 分别交OA ,OC 于点D ,E ,连结BM ,若.求证:直线BC 为O 的切线.【答案】见解析.【解析】【解析】作ON ⊥BC ,交BC 延长线于N ,连接CM ,根据菱形的性质可得BC//AO ,即可求出∠NOC=30°,设NC=x ,由M 是OA 的中点,可得OM=12OC=x ,NC=OM=x ,即可证明四边形MONC 是平行四边形,可得,在Rt △BCM 中,利用勾股定理可列方程求出x 的值,即可求出ON 的长,根据切线的判定定理即可证明BC 是O 的切线.作ON BC ⊥,交BC 的延长线于N ,连接CM ,∵四边形OABC 是菱形,∴BC AO ,∴ON OA ⊥∵60AOC ∠=︒,∴30NOC ∠=︒,∴OC=2CN ,在Rt ONC ∆中,设NC x =,则OC=2x ,,∵点M 是OA 中点,OA OC =, ∴12OM OC x == ∵OM NC ,OM NC =∴四边形MONC 是平行四边形,∴CM ON ==,∵ON BC ⊥,∴CM ⊥BC ,在Rt BCM ∆中,BC=OC=2x ,∴)()2222x +=, 解得1x =,∴ON CM R ===,∴直线BC 为O 的切线本题考查了菱形的性质,勾股定理,切线的判定,利用菱形的性质及勾股定理求出ON 的值是解题的关键.11.如图所示,在Rt ABC △中,90B ∠=︒,A ∠的平分线交BC 于D ,以D 为圆心,DB 长为半径作D .求证:AC 是D 的切线.【答案】见解析.【解析】作DF ⊥AC ,垂足为F ,根据角平分线的性质可得BD=DF=半径,即可证明AC 与D 相切. 作DF AC ⊥,垂足为F ,∵90B ∠=︒,∴DB AB ⊥,AD 平分BAC ∠,∴DF BD ==半径,∴AC 与D 相切.本题考查切线的判定及角平分线的性质,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;角平分线上的点到角两边的距离相等;熟练掌握切线的判定定理是解题关键.12.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,D是边AB上一点,以BD为直径的⊙O经过点E,且交BC于点F.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若BF=12,⊙O的半径为10,求CE的长.【答案】(1)详见解析;(2)8.【解析】【解析】(1)根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得:OE∥BC,所以OE⊥AC,则AC是⊙O的切线;(2)作弦心距OH,根据垂径定理求得BH,再根据勾股定理求OH的长,根据矩形的性质即可求得CE=OH=8.(1)证明:连接OE,∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE,∵OB=OE,∴∠ABE=∠OEB,∴∠CBE=∠OEB,∴OE∥BC,∵∠ACB=90°,∴OE⊥AC,∴AC是⊙O的切线;(2)解:过O作OH⊥BC于H,∴BH=HF=6,在Rt△OBH中,OH,在矩形OHCE中,CE=OH=8.本题考查了圆的切线的判定、角平分线和平行线的性质、勾股定理、垂径定理等知识,在圆中常利用勾股定理计算圆中的线段.13.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠C=60°,AD是⊙O的直径,Q是AD延长线上的一点,且BQ=AB.(1)求证:BQ是⊙O的切线;(2)若AQ=6.①求⊙O的半径;②P是劣弧AB上的一个动点,过点P作EF∥AB,EF分别交CA、CB的延长线于E、F两点,连接OP,当OP和AB之间是什么位置关系时,线段EF取得最大值?判断并说明理由.【答案】(1)详见解析;(2)①⊙O的半径为2;②当OP垂直平分AB时,线段EF取得最大值,理由详见解析.【解析】【解析】(1)根据同弧所对的圆周等于圆心角的一半,结合等腰三角形的性质,可求∠OBQ=90°;(2)①设出半径,表示出OQ,运用三角函数建立方程即可求解;②过点C作CH⊥EF,垂足为H,交AB于点K,推理出“EF随着HK的增大而增大,当HK取最大值时,EF取最大值”即可求解.解:如图1,(1)连接OB,∵∠C=60°,∴∠AOB=120°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=30°,∵BQ=AB,∴∠Q=∠OAB=30°,∴∠ABQ=120°,∴∠OBQ=90°,∴BQ是⊙O的切线;(2)①设圆的半径为r,则OQ=6﹣r,由(1)知,∠Q=30°,∠OBQ=90°,∴OBOQ=sin30°=12,∴r16r2=-,解得:r=2;②如图2,当OP垂直平分AB时,线段EF取得最大值;理由如下:由(1)知,AQ=6,∠Q=∠BAQ=30°,可求AB=过点C作CH⊥EF,垂足为H,交AB于点K,∵EF∥AB,∴CK⊥AB,△ABC∽△EFC,∴AB CK EF CH=,∴EF=AB CH CK HK HK CK CK CK⋅+==,易知:CK是定值,所以,EF随着HK的增大而增大,当HK取最大值时,EF取最大值,∴当点P为劣弧AB的中点时,HK最大,此时OP垂直平分AB.此题主要考查圆的综合问题,会证明圆的切线,会运用方程思想解决问题,熟悉等腰三角形的性质并灵活运用,会结合相似三角形的性质进行推理是解题的关键.14.如图,以AB为直径作半圆O,点C是半圆上一点,∠ABC的平分线交⊙O于E,D为BE延长线上一点,且DE=FE.(1)求证:AD为⊙O切线;(2)若AB=20,tan∠EBA=34,求BC的长.【答案】(1)详见解析;(2)285.【解析】【解析】(1)先利用角平分线定义、圆周角定理证明∠4=∠2,再利用AB为直径得到∠2+∠BAE=90°,则∠4+∠BAE=90°,然后根据切线的判定方法得到AD为⊙O切线;(2)解:根据圆周角定理得到∠ACB=90°,设AE=3k,BE=4k,则AB=5k=20,求得AE=12,BE=16,连接OE交AC于点G,如图,解直角三角形即可得到结论.(1)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠1=∠2,∵AB为直径,∴AE⊥BD,∵DE=FE,∴∠3=∠4,∵∠1=∠3,∴∠4=∠2,∵AB为直径,∴∠AEB=90°,∵∠2+∠BAE=90°∴∠4+∠BAE=90°,即∠BAD=90°,∴AD⊥AB,∴AD为⊙O切线;(2)解:∵AB为直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ABC中,∵tan∠EBA=34,∴设AE=3k,BE=4k,则AB=5k=20,∴AE=12,BE=16,连接OE交AC于点G,如图,∵∠1=∠2,∴AE CE,∴OE⊥AC,∵∠3=∠2,∴tan∠EBA=tan∠3=34,∴设AG=4x,EG=3x,∴AE=5x=12,∴x=125,∴AG=485,∵OG∥BC,∴AC=2AG=965,∴BC 285.本题考查了切线的判定与性质:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形.15.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点E在BC边上,且CA=CE,过A,C,E三点的⊙O 交AB于另一点F,作直径AD,连结DE并延长交AB于点G,连结CD,CF.(1)求证:四边形DCFG是平行四边形;(2)当BE=4,CD=38AB时,求⊙O的直径长.【答案】(1)见解析;(2)O的直径长为.【解析】【解析】(1)连接AE,由∠BAC=90°,得到CF是⊙O的直径,根据圆周角定理得到∠AED=90°,即GD⊥AE,推出CF∥DG,推出AB∥CD,于是得到结论;(2)设CD=3x,AB=8x,得到CD=FG=3x,于是得到AF=CD=3x,求得BG=8x−3x−3x=2x,求得BC=6+4=10,根据勾股定理得到AB=8=8x,求得x=1,在Rt△ACF中,根据勾股定理即可得到结论.解:(1)连结AE,∵90BAC ︒∠=,∴CF 为O 的直径. ∵AC EC =,∴CF AE ⊥.∵AD 为O 的直径,∴90AED ︒=∠,即GD ⊥AE ,∴CF ∥DG ,∵AD 是⊙O 的直径,∴∠ACD =90°,∴180ACD BAC ︒∠+∠=,∴AB CD ∥,∴四边形DCFG 为平行四边形.(2)由38CD AB =,可设38CD x AB x ==,, ∴3CD FG x ==.∵AOF COD ∠=∠,∴3AF CD x ==,∴8332BG x x x x =--=.∵GE CF ∥, ∴23BE BG EC GF ==. 又∵4BE =,∴6AC CE ==,∴6410BC =+=,∴88AB x ===,∴1x =.在Rt ACF 中,36AF AC ==,,∴CF ==O 的直径长为本题考查了三角形的外接圆与外心,平行四边形的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.16.如图,已知OA 是⊙O 的半径,AB 为⊙O 的弦,过点O 作OP ⊥OA ,交AB 的延长线上一点P ,OP 交⊙O 于点D ,连接AD ,BD ,过点B 作⊙O 的切线BC 交OP 于点C(1)求证:∠CBP =∠ADB ;(2)若O4=4,AB=2,求线段BP的长.【答案】(1)证明见解析;(2)BP的长为14.【解析】【解析】(1)连接OB,根据切线的性质得到OB⊥BC,根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠ABO,得到2∠OAB+∠AOB=180°,于是得到结论;(2)延长AO交⊙O于E,连接BE.由圆周角定理得到∠ABE=90°,根据相似三角形的性质即可得到结论.(1)证明:连接OB,∵BC为⊙O的切线,∴OB⊥BC,∴∠ABO+∠CBP=180°﹣∠CBO,=180°﹣90°=90°,∵OB=OA,∴∠OAB=∠ABO,∵∠OAB+∠ABO+∠AOB=180°∴2∠OAB+∠AOB=180°,∵∠AOB=2∠ADB,∴∠ABO+∠ADB=90°,∴∠CBP=∠ADB;(2)解:延长AO交⊙O于E,连接BE.∵AE为直径,∴∠ABE=90°,∵OP⊥AO,∴∠AOP=90°在Rt△ABE和Rt△AOP中,∵∠EAB=∠PAO,∴Rt△ABE∽Rt△AOP,∴OA AP AB AF=,∵AB=2,AO=4,AE=8,∴428AP =,解得,AP=16.∴BP=AP﹣AB=16﹣2=14.所以BP的长为14.本题考查了切线的性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.17.如图1,E为半圆O直径AB上一动点,C为半圆上一定点,连接AC和BC,AD平分∠CAB 交BC于点D,连接CE和DE.如果AB=6cm,AC=2.5cm,设A,E两点间的距离为xcm,C,E 两点间的距离为y1cm,D,E两点间的距离为y2cm.小明根据学习函数经验,分别对函数y1和y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程,请将它补充完整:(1)按表中自变量x值进行取点、画图、测量,得到了y1和y2与x几组对应值:问题:上表中的m=______cm;(2)在同一平面直角坐标系xOy中(见图2),描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y2)和(x,y1),并画出函数y1和y2的图象;(3)结合函数的图象,解决问题:当△ACE为等腰三角形时,AE的长度约为______cm(结果精确到0.01).【答案】(1)3;(2)见解析;(3)①2.5;②0;③3.【解析】【解析】(1)当x=3时,点E与点O重合,故CE即为CO,即可求解;(2)根据表格数据,描点后图象如下图2;(3)分AE=AC、AC=CE、AE=CE三种情况,求解即可.解:(1)当x=3时,点E与点O重合,故CE即为CO=3,故:答案为3;(2)根据表格数据,描点后图象如下图2;(3)△ACE为等腰三角形,有以下三种情况:①当AE=AC时,AE=AC=2.5;②AC=CE时,即y1=CE=2.5,从图象可以看出,x=0;即:AE=0(舍去),③当AE=CE时,即:x=y1,从图中可以看出:x=3,即:AE=3;故:答案为2.50或3.00.本题考查的是圆知识的综合运用,涉及到作函数图象,此类题目通常在作图的基础上,依据图象确定特殊点坐标情况求解.18.如图,点C在⊙O上,AB为直径,BD与过点C的切线垂直于D,BD与⊙O交于点E.(1)求证:BC平分∠DBA;(2)如果cos∠ABD=12,OA=2,求DE的长.【答案】(1)证明见解析;(2)1.【解析】【解析】(1)如图1中,连接OC,由CD是⊙O的切线,推出OC⊥CD,由BD⊥CD,推出OC∥BD,推出∠OCB=∠CBD,由OC=OB,推出∠OCB=∠OBC,即可推出∠CBO=∠CBD;(2)如图2,连接AC、AE.易知四边形AEDC是直角梯形,求出CD、AE、BE长,则DE可求出.(1)证明:如图1中,连接OC,∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD,∵BD⊥CD,∴OC∥BD,∴∠OCB=∠CBD,∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∴∠CBO=∠CBD,∴BC平分∠DBA;(2)解:如图连接AC、AE.∵cos∠ABD=12,∴∠ABD=60°,由(1)可知,∠ABC=∠CBD=30°,在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AB=4,∴在Rt △ABE 中,∵∠AEB=90°,∠BAE=30°,AB=4,∴BE=12AB=2,在Rt △CDB 中,∵∠D=90°,∠CBD=30°,,∴CD=12,BD=3, ∴DE=DB-BE=3-2=1.本题考查切线的性质、解直角三角形、角平分线的定义、解直角三角形等特殊角三角函数、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题. 19.如图所示,在平面直角坐标系中,正方形ABCO 的顶点A ,C 分别在y 轴、x 轴上,以AB 为弦的M 与x 轴相切,若点A 的坐标为()0,8,求圆心M 的坐标.【答案】圆心M 的坐标为()4,5-.【解析】【解析】过M 作MN ⊥AB 于N ,连接MA ,设⊙M 的半径是R ,根据正方形性质求出OA=AB=BC=CO=8,根据垂径定理求出AN ,得出M 的横坐标,在△AMN 中,由勾股定理得出关于R 的方程,求出R ,即可得出M 的纵坐标.∵四边形ABCO 是正方形,A (0,8),∴AB=OA=CO=BC=8,过M 作MN ⊥AB 于N ,连接MA ,由垂径定理得:AN=12AB=4, 设⊙M 的半径是R ,则MN=8-R ,AM=R ,由勾股定理得:AM 2=MN 2+AN 2,R 2=(8-R )2+42,解得:R=5,∵AN=4,四边形ABCO 是正方形,⊙M 于x 轴相切,∴M 的横坐标是-4,即M (-4,5).本题考查了勾股定理、切线的性质、正方形性质,垂径定理等知识点,本题综合性比较强,是一道比较好的题目.20.如图所示,ABC △内接于O ,AB AC >,CAB ∠的外角平分线交O 于E ,EF BA ⊥,垂足为F ,若3EF AC ==,5AB =,求AEF S .【答案】32AEF S ∆=. 【解析】【解析】 由角平分线的定义得∠1=∠2,再根据圆内四边形的性质得∠1=∠EBC ,根据圆周角定理得∠2=∠3,利用等量代换得∠EBC=∠3,然后根据等腰三角形的判定得到EB=EC ; 在BA 上截取BD=CA ,可根据“SAS”判断△BED ≌△CEA ,则ED=EA ,再根据等腰三角形的性质得DF=AF ,则BD=AC=3,再由AB=BD+DF+AF=AC+2AF=5得到AF=1,然后根据三角形面积公式求解.解:∵∠BAC 的外角平分线交⊙O 于E ,∴∠1=∠2,∵∠1=∠EBC ,∠2=∠3,∴∠EBC=∠3,∴EB=EC ;在BA 上截取BD=CA ,如图,在△BED 和△CEA 中45BE CE BD CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BED CEA SAS ED EA EF ADDF AF∴≅∆∴=⊥∴= ∵BD=AC=3,∵AB=BD+DF+AF=AC+2AF ,∴3+2AF=5,∴AF=1,而EF=3,∴△AEF 的面积133122=⨯⨯= 本题考查了圆的综合题:熟练运用圆周角定理和等腰三角形的判定与性质;利用三角形全等解决线段相等是常用的方法.21.如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AC 为直径做⊙O 交BC 于点D ,过点D 作⊙O 的切线,交AB 于点E ,交CA 的延长线于点F .(1)求证:FE⊥AB;(2)填空:当EF=4,35OAOF=时,则DE的长为.【答案】(1)详见解析;(2)6.【解析】【解析】(1)连接OD,如图,先根据切线的性质得到OD⊥DF,然后利用等腰三角形的性质和平行线的判定证明OD∥AB,从而可判断EF⊥AB;(2)根据平行线分线段比例,由AE∥OD得35DE OADF OF==,然后根据比例性质可求出DE.(1)连接OD,如图,∵DF为⊙O的切线,∴OD⊥DF,∵OC=OD,∴∠C=∠ODC,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠ODC,∴OD∥AB,∴EF⊥AB;(2)∵AE∥OD,∴35 DE OADF OF==,即345DEDE=+,解得DE=6,故答案为6.本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;灵活运用相似比进行几何计算.也考查了等腰三角形的性质和切线的性质. 22.如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,以AB 的中点O 为圆心,OA 为半径的圆交AC 于点D ,E 是BC 的中点,连接DE ,OE .(1)判断DE 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(2)若cos ∠BAD =35,BE =12,求OE 的长; (3)求证:BC 2=2CD•OE .【答案】(1)DE 与⊙O 相切(2)15(3)证明见解析【解析】【解析】(1)DE 与⊙O 相切,连接 OD ,BD .证明DE ⊥OD 即可证明DE 为⊙O 的切线;(2)由cos ∠BAD=35得到sin ∠BAC=45BC CD =,又BE=12,BC=24,所以AC=30,又AC=2OE ,所以OE=12AC=12×30=15; (3)OE 是△ABC 的中位线,所以AC=2OE ,证明△ABC ∽△BDC ,则C BC AC CD B =即BC 2=AC•CD=2CD•OE .(1)DE 与相切理由如下:连接 OD,BD.∵AB 为直径,∴∠ADB=90°,在Rt △BDC 中,E 为斜边BC 的中点,∴CE=DE=BE= 12BC , ∴∠C=∠CDE ,∵OA=OD ,∴∠A=∠ADO ,∵∠ABC=90°,即∠C+∠A=90°,∴∠ADO+∠CDE=90°,即∠ODE=90°,∴DE ⊥OD ,又OD 为圆的半径,∴DE 为的切线;(2)∵cos ∠BAD=35∴sin ∠BAC=45BC CD = 又∵BE=12,E 是BC 的中点,即BC=24,∴AC=30,又∵AC=2OE ,∴OE=12AC=12×30=15; (3)证明:∵E 是BC 的中点,O 点是AB 的中点,∴OE 是△ABC 的中位线,∴AC=2OE ,∵∠C=∠C ,∠ABC=∠BDC ,∴△ABC ∽△BDC , ∴CBC AC CD B = 即BC 2=AC•CD .∴BC 2=2CD•OE本题考查了圆的综合知识,熟练掌握圆的相关性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键. 23.如图,在ABC ∆中,60B ∠=︒,AD 、CE 分别是BAC ∠、ACB ∠的平分线,AD 、CE 相交于点F ,试判断FE 和FD 之间的数量关系.【答案】详见解析【解析】【解析】如图,过点F 作FH BC ⊥,FG AB ⊥,垂足分别为H 、G ,根据角平分线,可得点F 是ABC ∆的内心,则有FG FH =,继而根据三角形内心的性质可得FDH FEG ∠=∠,从而可得FDH FEG ∆∆≌,继而可得FE=FD.FE=FD ,理由如下:如图,过点F 作FH BC ⊥,FG AB ⊥,垂足分别为H 、G. F 是BAC ∠,ACB ∠的平分线AD 、CE 的交点,F ∴为ABC ∆的内心,FG FH ∴=.60B ∠=︒,()1602FAC FCA BAC BCA ∴∠+∠=∠+∠=︒, 又60FDH B BAD BAD ∠=∠+∠=︒+∠;60FEG BAD FAC FCA BAD ∠=∠+∠+∠=︒+∠,FDH FEG ∴∠=∠,又GH FH =,FDH FEG ∴∆∆≌,FD FE ∴=.本题考查了三角形的内心的性质,全等三角形的判定与性质解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.24.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,O 为BC 边上一点,以OC 为半径的圆O ,交AB 于D 点,且AD=AC ,延长DO 交圆O 于E 点,连接AE.(1)求证:DE ⊥AB ;(2)若DB=4,BC=8,求AE 的长.【答案】(1)详见解析;(2)【解析】【解析】(1)连接CD ,证明90ODC ADC ∠+∠=︒即可得到结论;(2)设圆O 的半径为r ,在Rt △BDO 中,运用勾股定理即可求出结论.(1)证明:连接CD,∵OD OC =∴ODC OCD ∠=∠∵AD AC =∴ADC ACD ∠=∠90,90,OCD ACD ODC ADC DE AB ∠+∠=︒∴∠+∠=∴⊥.(2)设圆O 的半径为r ,()2224+8,3r r r ∴=-∴=,设()222,84,6,AD AC x x x x AE ==∴+=+∴=∴=.本题综合考查了切线的性质和判定及勾股定理的综合运用.综合性比较强,对于学生的能力要求比较高.25.如图,点D 为圆O 上一点,点C 在直径AB 的延长线上,且∠CAD =∠BDC ,过点A 作⊙O 的切线,交CD 的延长线于点E .(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若CB=3,CD=9,求ED的长.【答案】(1)见解析;(2)ED=36.【解析】(1)连接OD,根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°,求出∠CDB+∠BDO=90°,根据切线的判定推出即可;(2)根据切线长定理求出AC,进而求得OC和OD,根据证得OCD∽△ECA,得到AC EC CD OC,求出EC,即可求得ED的长.(1)证明:连接OD,∵OD=OB,∴∠DBA=∠BDO,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°,∵∠CDB=∠CAD,∴∠CDB+∠BDO=90°,即OD⊥CE,∵D为⊙O的一点,∴直线CD是⊙O的切线;(2)∵CD是⊙O的切线,∴CD2=BC•AC,∵CB=3,CD=9,∴92=3AC,∴AC=27,∴AB=AC﹣BC=27﹣3=24,∵AB是圆O的直径,∴OD=OB=12,∴OC=OB+BC=15,∵过点A作的⊙O切线交CD的延长线于点E,∴EA⊥AC,∵OD⊥CE,∴∠ODC=∠EAC=90°,∵∠OCD=∠ECA,∴△OCD∽△ECA,∴AC ECCD OC=,即27EC915=,∴EC=45,∴ED=EC﹣CD=45﹣9=36.本题考查了切线的性质和判定,切线长定理,圆周角定理,相似三角形的性质和判定的应用,题目比较典型,综合性比较强,难度适中.26.如图,⊙O中,AB为直径,点P为⊙O外一点,且PA=AB,PA、PB交⊙O于D、E两点,∠PAB为锐角,连接DE、OD、OE.(1)求证:∠EDO=∠EBO;(2)填空:若AB=8,①△AOD的最大面积为;②当DE=时,四边形OBED为菱形.【答案】(1)证明见解析;(2)8;4.【解析】(1)如图1,连AE,由等腰三角形的性质可知E为PB中点,则OE是△PAB的中位线,OE∥PA,可证得∠DOE=∠EOB,则∠EDO=∠EBO可证;(2)如图2,由条件知OA=4,当OA边上的高最大时,△AOD的面积最大,可知点D是AB的中点时满足题意,此时最大面积为8;(3)如图3,当DE=4时,四边形ODEB是菱形.只要证明△ODE是等边三角形即可解决问题.证明:(1)如图1,连AE,∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°,∵PA=AB,∴E为PB的中点,∵AO=OB,∴OE∥PA,∴∠ADO=∠DOE,∠A=∠EOB∵OD=OA,∴∠A=∠ADO,∴∠EOB=∠DOE,∵OD=OE=OB,∴∠EDO=∠EBO;(2)①∵AB=8,∴OA=4,当OA边上的高最大时,△AOD的面积最大(如图2),此时点D是AB的中点,∴OD⊥AB,∴14482AODS=⨯⨯=;②如图3,当DE=4时,四边形OBED为菱形,理由如下:∵OD=DE=OE=4,∴△ODE是等边三角形,∴∠EDO=60°,由(1)知∠EBO=∠EDO=60°,∴OB=BE=OE,∴四边形OBED为菱形,故答案为8;4.本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、中位线定理、菱形的判定等知识,解题的关键是找准动点D在圆上的位置,灵活运用所学知识解决问题.27.如图,已知AB是⊙P的直径,点C在⊙P上,D为⊙P外一点,且∠ADC=90°,2∠B+∠DAB =180°.(1)证明:直线CD为⊙P的切线;(2)若DC=,AD=4,求⊙P的半径.【答案】(1)证明见解析;(2)⊙P的半径为5.【解析】【解析】(1)连接PC,则∠APC=2∠B,可证PC∥DA,证得PC⊥CD,则结论得证;(2)连接AC,先求出AC长,可证△ADC∽△ACB,可求出AB长,则⊙P的半径可求出.(1)连接PC,∵PC=PB,∴∠B=∠PCB,∴∠APC=2∠B,∵2∠B+∠DAB=180°,∴∠DAC+∠ACP=180°,∴PC∥DA,∵∠ADC=90°,∴∠DCP=90°,即DC⊥CP,∴直线CD为⊙P的切线;(2)连接AC,∵DC=AD=4,∠ADC=90°,∴AC===,∵AP=CP,∴∠P AC=∠ACP,∵AD∥PC,∴∠DAC=∠ACP,∴∠P AC=∠DAC,∵AB是⊙P的直径,∴∠BCA=90°,∴∠BCA=∠ADC,∴△ADC∽△ACB,∴AB ACAC AD=,4=,∴AB=10,∴⊙P的半径为5.本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题.28.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,E为BC的中点.⊙O与边BC相切于点E,并交边AD于点M、N,AM=3.(1)求⊙O的半径;(2)将矩形ABCD绕点E顺时针旋转,旋转角为α(0°<α≤90°).在旋转的过程中,⊙O和矩形ABCD的边是否能够相切,若能,直接..写出相切时,旋转角α的正弦值;若不能,请说明理由.【答案】(1) ⊙O的半径为3.4.1315 (2),1717【解析】【解析】(1)如图①,连接EO并延长,交AD于点F,连接OM.根据矩形的性质和切线的性质求得FM=3,设⊙O的半径为r,则OM=OE=r,OF=5-r.在Rt△OFM中,根据勾股定理即可求得半径的长. (2)如图②,A'B'与⊙O相切,切点为Q,此时旋转角α为∠BEB',作OP⊥B'E,连接OQ,OE,易证∠POE=∠BEB',OQ=PB'=OE,由(1)得OQ=PB'=OE=3.4,PE=6-3.4=2.6,即sin∠BEB'=sin∠POE=1317;如图③,A'D'与⊙O相切,切点为Q,此时旋转角α为∠BEB',作OP⊥B'E,连接OQ,OE,易证∠POE=∠BEB',OQ+OP=A'B',由(1)得OQ=OE=3.4,OP=5-3.4=1.6,根据勾股定理,可得PE=3,即sin∠BEB'=sin∠POE=15 17.解:(1)如图①,连接EO并延长,交AD于点F,连接OM.∵⊙O与BC相切于点E,∴OE⊥BC.在矩形ABCD中,AD∥BC,AD=BC=12,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∴四边形ABEF和四边形DCEF是矩形.∴AF=BE,DF=CE,EF=AB=5.∵BE=CE,∴AF=DF.∵OE⊥BC,AD∥BC,∴OF⊥AD.∴MF=NF.∵AF=6,AM=3,∴FM=3.设⊙O的半径为r,则OM=OE=r,OF=5-r.在Rt△OFM中,根据勾股定理,得32+(5-r)2=r2.解这个方程,得r=3.4.即⊙O的半径为3.4.(2)1317,1517.如图②,A'B'与⊙O相切,切点为Q,此时旋转角α为∠BEB',作OP⊥B'E,连接OQ,OE,∵∠BEO=90°,OP⊥B'E∴∠BEB'+∠PEO=90°,∠POE+∠PEO=90°∴∠POE=∠BEB',OQ=PB'=OE,由(1)得OQ=PB'=OE=3.4,PE=6-3.4=2.6,即sin∠BEB'=sin∠POE=13 17;如图③,A'D'与⊙O相切,切点为Q,此时旋转角α为∠BEB',作OP⊥B'E,连接OQ,OE,∵∠BEO=90°,OP⊥B'E∴∠BEB'+∠PEO=90°,∠POE+∠PEO=90°∴∠POE=∠BEB',OQ+OP=A'B',由(1)得OQ=OE=3.4,OP=5-3.4=1.6,根据勾股定理,可得PE=3,即sin∠BEB'=sin∠POE=15 17.本题考查矩形的性质,切线的性质,勾股定理的应用和旋转图形的性质.29.等边△ABC与正方形DEFG如图1放置,其中D,E两点分别在AB,BC上,且BD=BE.(1)求∠DEB的度数;(2)当正方形DEFG沿着射线BC方向以每秒1个单位长度的速度平移时,CF的长度y随着运动时间变化的函数图象如图2所示,且当y有最小值1;①求等边△ABC的边长;②连结CD,在平移的过程中,求当△CEF与△CDE同时为等腰三角形时t的值;③从平移运动开始,到GF恰落在AC边上时,请直接写出△CEF外接圆圆心的运动路径的长度.。

九年级数学上册《第二十四章点和圆、直线和圆的位置关系》同步练习题附答案(人教版)

九年级数学上册《第二十四章点和圆、直线和圆的位置关系》同步练习题附答案(人教版)

九年级数学上册《第二十四章点和圆、直线和圆的位置关系》同步练习题附答案(人教版)一、选择题:1.已知 O 的半径为 5cm ,若点 A 到圆心 O 的距离为 3cm ,则点 A ( )A .在 O 内B .在 O 上C .在 O 外D .与 O 的位置关系无法确定2.在△ABC 中,∠A=90°,AB=3cm ,AC=4cm ,若以A 为圆心3cm 为半径作⊙O ,则BC 与⊙O 的位置关系是( )A .相交B .相离C .相切D .不能确定3.如图,AB 是⊙O 的切线,B 为切点,AO 与⊙O 交于点C ,若∠BAO=40o ,则∠OCB 的度数为( )A .40°B .50°C .65°D .75°4.三角形两边的长分别是 8 和 6,第三边的长是方程 x 2﹣12x+20=0 的一个实数根,则三角形的外接圆半径是( )A .4B .5C .6D .85.如图,AB 是O 的直径,PA 切O 于点A ,PO 交O 于点C ;连接BC ,若40P ∠=︒,则B ∠等于( )A .20°B .25°C .30°D .40°6.如图,AB 是⊙O 的弦,半径OC 经过AB 的中点D ,CE ∥AB ,点F 在⊙O 上,连接CF ,BF ,下列结论中,不正确的是( )A .∠F= 12AOC ∠B .AB ⊥BFC .CE 是⊙O 的切线D .AC BC = 7.如图,在ABC 中90ACB ∠=︒,AB=5,BC=4.以点A 为圆心,r 为半径作圆,当点C 在A 内且点B在A 外时,r 的值可能是( )A.3 B.4 C.5 D.68.如图,△ABC的边AC经过⊙O的圆心O,BC与⊙O相切于B,D是⊙O上的一点,连接AD,BD,若∠C=50°,则∠ADB的大小为()A.50°B.60°C.70°D.80°二、填空题:9.如图,PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C,DE分别交PA,PB于D、E,已知P到⊙O的切线长为8CM,那么△PDE的周长为cm10.如图,圆O内切Rt△ABC,切点分别是D、E、F,则四边形OECF是形.11.如图,△ABC的外接圆的圆心坐标为.12.如图,AD是⊙O的直径,C是⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点B.若∠A=32°,则∠B=°.13.一个边长为4㎝的等边三角形 ABC 与⊙ O 等高,如图放置, ⊙ O 与 BC 相切于点 C ,⊙ O 与 AC 相交于点 E ,则 CE 的长为 ㎝.14.如图,⊙O 为锐角ABC 的外接圆,已知18BAO ∠=︒,那么C ∠的度数为 .三、解答题:15.已知PA 、PB 、DE 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B 、F ,PO=13cm ,⊙O 的半径为5cm ,求△PDE 的周长.16.如图,平行四边ABCD 中,O 为AB 上的一点,连接OD.OC ,以O 为圆心,OB 为半径画圆,分别交OD ,OC 于点P ,Q .若OB=4,OD=6,∠ADO=∠A ,=2π,判断直线DC 与⊙O 的位置关系,并说明理由.17.如图,在Rt △ABC 中,∠C=Rt ∠,以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ,切线DE 交AC 于点E.(1)求证:∠A=∠ADE ;(2)若AD=16,DE=10,求BC 的长.18.如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C 作CD丄PA,垂足为D.(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度.19.如图,AB与⊙O相切于点B,BC为⊙O的弦,OC⊥OA,OA与BC相交于点P.(1)求证:AP=AB;(2)若OB=4,AB=3,求线段BP的长.参考答案:1.A 2.A 3.C 4.B 5.B 6.B 7.B 8.C 9.1610.正方11.(6,2)12.2613.314.72°15.解:连接OA,则OA⊥PA.在直角三角形APO中,PO=13cm,OA=5cm根据勾股定理,得AP=12cm.∵PA、PB、DE是⊙O的切线,切点分别为A、B、F∴PA=PB,DA=DF,EF=EB∴△PDE的周长=2PA=24cm.16.证明:如图,在⊙O中,半径OB=4,设∠POQ为n°,则有2π=8π360n.∴n=90°.∴∠POQ=90°.∵∠ADO=∠A,∴AO=DO=6.∴AB=10.∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB=10.∴ CO=8.过点O作OE⊥CD于点E,则OD×OC=OE×CD.∴OE=4.8.∵4.8>4,∴直线DC与⊙O相离.17.(1)证明:连结OD,∵DE是⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠ADE+∠BDO=90°∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°又∵OD=OB∴∠B=∠BDO∴∠ADE=∠A.(2)解:连结CD,∵∠ADE=∠A∴AE=DE∵BC是⊙O的直径,∠ACB=90°.∴EC是⊙O的切线,∴DE=EC∴AE=EC.又∵DE=10∴AC=2DE=20在Rt△ADC中,22201612-= .设BD=x在Rt△BDC中,BC2=x2+122, 在Rt△ABC中,BC2=(x+16)2-202 ∴x2+122=(x+16)2-202,解得x=9∴22+= .1291518.(1)证明:连接OC∵OA=OC∴∠OCA=∠OAC∵AC平分∠PAE∴∠DAC=∠CAO∴∠DAC=∠OCA∴PB∥OC∵CD⊥PA∴CD⊥OC,CO为⊙O半径∴CD为⊙O的切线(2)解:过O作OF⊥AB,垂足为F∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°∴四边形DCOF为矩形∴OC=FD,OF=CD.∵DC+DA=6设AD=x,则OF=CD=6﹣x∵⊙O的直径为10∴DF=OC=5∴AF=5﹣x在Rt△AOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.即(5﹣x)2+(6﹣x)2=25化简得x2﹣11x+18=0解得x1=2,x2=9.∵CD=6﹣x大于0,故x=9舍去∴x=2从而AD=2,AF=5﹣2=3∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点∴AB=2AF=6.19.(1)证明:∵OC=OB∴∠OCB=∠OBC∴AB是⊙O的切线∴OB⊥AB∴∠OBA=90°∴∠ABP+∠OBC=90°∵OC⊥AO∴∠AOC=90°∴∠OCB+∠CPO=90°∵∠APB=∠CPO∴∠APB=∠ABP∴AP=AB(2)解:作OH⊥BC于H.在Rt△OAB中,∵OB=4,AB=3∴2234∵AP=AB=3∴PO=2.在Rt△POC中,22OC OP+5∵12•PC•OH=12•OC•OP∴OH= OC OPPC⋅45∴22OC OH-85∵OH⊥BC∴CH=BH∴165∴PB=BC﹣PC=55﹣555.。

九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系课件 新人教版

九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系课件 新人教版
第二十四章 圆
24.2.1 点和圆的位置关系
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
教学目标 理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量关系,探求过点画圆的过程,掌握 过不在同一直线上的三点画圆的方法.
课堂导入 如图是射击靶的示意图,它是由许多同心圆构成的,你知道击中靶上不同位 置的成绩是如何计算的吗?
∵CD 为斜边上的中线,
∴CD=12AB=525(cm).
∵AC=10
55 cm> 2
cm,∴点
A
在⊙C
外;
∵BC=5
55 cm< 2
cm,∴点 B 在⊙C 内;
∵CD=5
5 2
cm,∴点
D
在⊙C
上.
类型之二 反证法 用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于 60°.
已知:△ABC. 求证:△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°.
图 24-2-3
5.已知 A,B,C 三点,根据下列条件,说明 A,B,C 三点能否确定一个圆.如 果能,求出圆的半径;如果不能,请说明理由.
(1)AB=2 3+1,BC=4 3,AC=2 3-1; (2)AB=AC=10,BC=12.
解:(1)∵2 3+1+2 3-1=4 3, ∴AB+AC=BC, ∴A,B,C 三点共线, ∴不能确定一个圆. (2)∵10+10=20>12, ∴A,B,C 三点不共线,
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知识管理
1.点和圆的位置关系 规 律:设圆的半径为 r,点到圆心的距离为 d,则有: (1)点在圆外⇔ d>r ; (2)点在圆上⇔ d=r ; (3)点在圆内⇔ d<r . 总 结:这个关系式既是点和圆的位置关系的一种判别方法,又是点和圆 的位置关系的一个性质.

最新人教版九年级数学上册第二十四章《点和圆、直线和圆的位置关系》教案

最新人教版九年级数学上册第二十四章《点和圆、直线和圆的位置关系》教案

24.2.1 点和圆的位置关系教学设计(一)教学目标1.能够用数量关系判断点和圆的位置关系.2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用.3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.4.了解反证法的证明思想.教学重难点重点是点和圆的位置关系的结论,不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用;难点是对反证法的理解.教学过程导入新课〈方式1〉请同学们回答下面的问题.1.圆的两种定义是什么?2.你能至少举两个例子说明圆是如何形成的吗?3.圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何?4.如果在圆外有一点呢?圆内呢?请你画图想一想.〈方式2〉同学们看过奥运会的射击比赛吗?射击的靶子是由许多圆组成的,射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的.如图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹.你知道这个运动员的成绩吗?请同学们算一算(击中最里面的圆的成绩为10环,依次为9,8,…,1环).这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系.今天我们就来学习点与圆的位置关系.推进新课一、合作探究(一)点和圆的位置关系1.想一想:平面内的点P和⊙O有几种位置关系?设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d,那么相对应的d和r的大小关系如何?由上面的画图以及所学知识,我们可知:点P在圆外⇒d>r;点P在圆上⇒d=r;点P在圆内⇒d<r.反过来,也十分明显,如果d>r⇒点P在圆外;如果d=r⇒点P在圆上;如果d<r⇒点P在圆内.2.归纳:设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有:点P在圆外d>r;点P在圆上d=r;点P在圆内d<r.(二)确定圆的条件1.做一做、议一议:(1)作圆,使该圆经过已知点A,你能作出几个这样的圆?(2)作圆,使该圆经过已知点A,B,你是如何做的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?(3)作圆,使该圆经过已知A,B,C三点(其中A,B,C三点不在同一直线上),你是如何做的?你能作出几个这样的圆?结论:过一个点A可以作无数个圆;过两个点A,B也可以作无数个圆,但圆心都在线段AB的垂直平分线上;过不在同一直线上的三点A,B,C可以作唯一一个圆,圆心在由三点确定线段的垂直平分线上.即:不在同一直线上的三个点确定一个圆.2.相关概念三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.三角形的外心:外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心.(三)反证法证明:经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆.证明:如图,假设过同一直线l上的A,B,C三点可以作一个圆,设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上,又在线段BC的垂直平分线l2上.即点P为l1与l2的交点,而l1⊥l,l2⊥l,这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以,过同一直线上的三点不能作圆.议一议:以上证明过程有什么特点?结论:它不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆),由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种证明方法叫做反证法.二、应用迁移1.不在同一直线上的三个点确定一个圆某地出土一明代残破圆形瓷盘,如图所示,为复制该瓷盘,需确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心.分析:圆心是一个点,一个点可以由两条直线交点而成,因此,只要在残缺的圆盘上任取三点连接成两条线段,作线段的垂直平分线,交点就是我们所求的圆心.画法:(1)在残缺的圆盘上任取三点连接成两条线段;(2)作两线段的垂直平分线,相交于一点O.则O就为所求的圆心.点拨:该方法也可以用来确定一段弧的圆心.三、巩固提高1.下列说法:①三点确定一个圆;②三角形有且只有一个外接圆;③圆有且只有一个内接三角形;④三角形的外心是各边垂直平分线的交点;⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等;⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内.其中正确的个数为().A.1B.2C.3D.4答案:B2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,则它的外心与顶点C的距离为().A.2 cm B.2.5 cm C.3 cm D.4 cm答案:B3.如图,通过防治甲型H1N1流感,人们增强了卫生意识,大街上随地乱扔生活垃圾的人少了,人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中.如图所示,A,B,C为市内的三个住宅小区,环保公司要建一垃圾回收站,为方便起见,要使得回收站建在到三个小区距离都相等的某处,请问如果你是工程师,你将如何选址?提示:作出△ABC的外心,就是所建垃圾站的地点.本课小结1.所学知识:(1)点和圆的位置关系:设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有:点P在圆外d>r;点P在圆上d=r;点P在圆内d<r.(2)不在同一直线上的三个点确定一个圆.(3)三角形外接圆和三角形外心的概念.2.所学的方法是反证法.教学设计(二)学习目标1.能够用数量关系判断点和圆的位置关系.2.理解不在同一直线上三个点确定一个圆.3.理解三角形的外接圆和三角形外心的概念.4.理解反证法的证明思想.课前预习1.阅读教材,完成下面问题.如图,设⊙O的半径为r,点A在圆内,点B在圆上,点C在圆外.容易看出OA<r,OB=r,OC>r.2.预习教材,完成下面的问题.经过三角形的三个顶点可以作一个圆,并且只能作一个.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.3.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,⊙O是三角形的外接圆.4.反证法与我们以前学过的证明不同,它不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.课内探究一、学习新知【目标1】点和圆的位置关系1.根据课前预习的第1题,总结下面的结论.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:点P在圆上d=r;点P在圆外d>r;点P在圆内d<r.说明:符号“”读作“等价于”,它表示从符号“”的左端可以得到右端,从右端可以得到左端.牛刀小试1.已知⊙O的半径r=5厘米,A为线段OP的中点,当OP=6厘米时,点A在⊙O__________;当OP=10厘米时,点A在⊙O__________;当OP=14厘米时,点A在⊙O__________.答案:内上外2.两个圆的圆心都是O,半径分别为r1,r2,且r1<OP<r2,那么点P在().A.大⊙O内B.小⊙O内C.大⊙O外D.小⊙O外,大⊙O内答案:D【目标2】经过不在同一直线上的三点确定一个圆(一)自主探究问题1:经过平面上一点能作圆吗?如果能作,请你说出圆心在哪里?半径是多少?可以作多少个圆?(学生探索,得出结论)问题2:经过平面上两点能作圆吗?如果能作,请你说出圆心在哪里?半径是多少?可以作多少个圆?(学生探索,得出结论)问题3:经过平面上三点能作圆吗?如果能作,请你说出圆心在哪里?半径是多少?可以作多少个圆?(学生探索,得出结论)得出结论:不在同一直线上的三个点确定一个圆.问题4.三角形的外心都在三角形的内部吗?(在下面的三角形中画出它们的外接圆,观察圆心的位置,得出结论)结论:锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心在斜边的中点上;钝角三角形的外心在三角形的外部.(二)牛刀小试1.判断(1)经过三点可以确定一个圆.()(2)到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的外接圆的圆心.()(3)任意三角形都有一个外接圆,并且只有一个.()(4)任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形.()答案:×√√×2.填空:△ABC的三条边是3,4,5时,△ABC的外接圆的半径是__________.答案:2.5【目标3】反证法1.回顾课前预习的问题4.2.教师对此进行点评:(1)反证法:假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作的假设不正确,从而得出原命题成立,这种方法叫做反证法.(2)反证法的一般步骤:①假设命题的结论不成立;②从假设出发,经过逻辑推理,推出或与定义,或与公理,或与定理,或与已知等相矛盾的结论;③由矛盾判定假设不正确,从而得出原命题正确.3.牛刀小试(1)用反证法证明:等腰三角形的底角必定是锐角的第一步是:假设等腰三角形的底角不是锐角.二、课堂小结这节课,我们应该掌握:(1)点和圆的三种位置关系;(2)不在同一直线上三点确定一个圆;(3)三角形外接圆与外心的概念;(4)反证法.三、当堂测试1.已知⊙P的半径为5,点P的坐标为(2,1),点Q的坐标为(0,6),则点Q的位置().A.在⊙P外B.在⊙P上C.在⊙P内D.不能确定答案:A2.AB是⊙O的弦,OC⊥AB于点C,以OC为半径作同心圆,P是线段AB上不同于A,B,C的点,则P点().A.在大圆上B.在小圆内C.在大圆外D.在小圆外且在大圆内答案:D3.⊙O的半径r=10 cm,圆心到直线l的距离OM=8 cm,在直线l上有一点P,且PM=6 cm,则点P().A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.可能在⊙O内也可能在⊙O外答案:B4.有一种证明方法,它不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的__________,经过推理得出__________,由矛盾断定所作的假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法叫做__________.答案:结论不成立矛盾反证法5.已知O为△ABC的外心,若∠A=80°,则∠BOC=__________;若∠BOC=100°,则∠BAC=__________.答案:160°50°或130°课后拓展A组1.已知⊙O的半径为5,圆心的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与⊙O的位置关系是().A.点P在⊙O内B.点P在⊙O外C.点P在⊙O上D.点P在⊙O内或点P在⊙O外答案:A2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4,如果以点A为圆心,AC为半径作⊙A,那么斜边中点D与⊙A的位置关系是().A.点D在⊙A外B.点D在⊙A上C.点D在⊙A内D.无法确定答案:A3.如图,边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O,以A为圆心,以1为半径画圆,则点__________在圆内,点__________在圆上,点__________在圆外.答案:O B,D C4.已知:点A在以O为圆心,3 cm为半径的⊙O内,则点A到圆心O的距离d的范围是__________.答案:0 cm≤d<3 cm5.用反证法证明下列各命题,写出各命题的第一步假设.(1)三角形中至少有一个角不小于60°.第一步假设为:_________________________________________________________;(2)梯形的对角线不能互相平分.第一步假设为:_________________________________________________________;(3)三角形中,至多只有一个角为钝角.第一步假设为:_________________________________________________________.答案:(1)三角形中三个角都小于60°(2)梯形的对角线能互相平分(3)三角形中有两个钝角B组6.教材练习第2,3题.。

九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系作业课件新版新人教版

九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系作业课件新版新人教版

3.在同一平面内,⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6 cm,最短为2 cm,则⊙O的半径为__2_c_m___. 4.如图,边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O,以点A为圆心,以1 为半径画圆,则点_O____在圆内,点_B_,__D___在圆上,点__C_____在圆外.
5.过一点可以作_无__数___个圆;过两点可以作__无__数___个圆,这些圆的圆心在 两点连线的_垂__直__平__分__线__上;过不在同一条直线上的三点可以作一个圆. 6.下列关于确定一个圆的说法中,正确的是(C ) A.三个点一定能确定一个圆 B.以已知线段为半径能确定一个圆 C.以已知线段为直径能确定一个圆 D.菱形的四个顶点能确定一个圆
⊙C 上 (3)∵CD=254 ,∴⊙C 的半径为254 时, 点 D 在⊙C 上
19.如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC的平 分线交AD于点E,连接BD,CD. (1)求证:BD=CD; (2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,DB长为半径的圆上,并说明理 由.
第15题图
16.已知⊙O的半径为1,点P与圆心O的距离为d,且方程x2-2x+d=0没有 实数根,则点P与⊙O的位置关系是_点__P_在__⊙__O_外. 17.已知⊙O1过坐标原点O,点O1的坐标为(1,1),试判断点P(-1,1), Q(1,0),R(2,2)与⊙O1的位置关系,并说明理由.
解:⊙O1 的半径 r= 2 ,PO1=2> 2 ,QO1= 1< 2 ,RO1= 2 ,故点 P 在⊙O1 外,点 Q 在 ⊙O1 内,点 R 在⊙O1 上
13.(洛阳东升三中月考)在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的 外接圆的直径为___D______ A.5 B.10 C.5或4 D.10或8

九年级数学上册第24章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系作业本课件新版新人教版

九年级数学上册第24章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系作业本课件新版新人教版
=3 cm.
∵CD=3 cm=r,∴⊙C 与 AB 相切.
第1课时 直线和圆的位置关系
知识点 2 直线与圆的位置关系的应用
7.直线 l 与半径为 r 的⊙O 相交,且点 O 到直线 l 的距离为 6,则
r 的取值范围是( C )
A.r<6
B.r=6
C.r>6
D.r≥6
【解析】∵直线 l 与⊙O 相交,∴圆心 O 到直线 l 的距离 d<r,即 r>d=6.故选 C.
图 24-2-9
第1课时 直线和圆的位置关系
(1)图①中直线 l 与⊙O__相__交____,有____两____个公共点,
这条直线叫做圆的___割_线____;
(2)图②中直线 l 与⊙O___相_切____,有____一____个公共点,
这条直线叫做圆的___相__切___;
(3)图③中直线 l 与⊙O___相__离___,____没_有___公共点.
当 r=2 cm 时,d>r,⊙C 与直线 AB 相离;
当 r=4 cm 时,d<r,⊙C 与直线 AB 相交.
第1课时 直线和圆的位置关系
B 规律方法综合练
10.已知⊙O 的半径为 7 cm,圆心 O 到直线 l 的距离为 6.5 cm,
则直线 l 与⊙O 的交点个数为( C )
A.0
B.1
C.2
移了 5 个单位长度.故选 B.
第1课时 直线和圆的位置关系
12.如图 24-2-14,⊙O 的半径 OC=5 cm,直线 l⊥OC,垂足
为 H,且 l 交⊙O 于 A,B 两点,AB=8 cm,若 l 沿 OC 所在直线平移
后与⊙O 相切,则平移的距离是( D )
A.1 cm

九年级数学上册第二十四章圆24-2点和圆、直线和圆的位置关系24-2-2直线和圆的位置关系同步检测(含解析)(

九年级数学上册第二十四章圆24-2点和圆、直线和圆的位置关系24-2-2直线和圆的位置关系同步检测(含解析)(

24.2.2 直线和圆的位置关系测试时间:30分钟一、选择题1.(2018山东临沂费县期末)已知☉O的半径为4 cm,如果圆心O到直线l的距离为3.5 cm,那么直线l与☉O的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不确定2.(2017山东泰安中考)如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,若∠ABC=55°,则∠ACD等于( )A.20°B.35°C.40°D.55°3.在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=50°,如图所示,I是△ABC的内心,延长AI交△ABC的外接圆于点D,则∠ICD的度数是( )A.50°B.55°C.60°D.65°二、填空题4.(2017江苏连云港中考)如图,线段AB与☉O相切于点B,线段AO与☉O相交于点C,AB=12,AC=8,则☉O的半径长为.5.(2018吉林四平伊通期末)如图,PA、PB切☉O于A、B,点C在上,DE切☉O于C,交PA、PB于D、E,已知PO=13 cm,☉O的半径为5 cm,则△PDE的周长是.6.定义:一个定点与圆上各点之间距离的最小值称为这个点与这个圆之间的距离.现有一矩形ABCD,如图所示,AB=14 cm,BC=12 cm,☉K与矩形的边AB,BC,CD分别相切于点E,F,G,则点A与☉K之间的距离为cm.三、解答题7.如图,AB是☉O的切线,B为切点,圆心O在AC上,∠A=30°,D为的中点.(1)求证:AB=BC;(2)试判断四边形BOCD的形状,并说明理由.8.(2017内蒙古通辽中考)如图,AB为☉O的直径,D为的中点,连接OD交弦AC于点F,过点D作DE∥AC,交BA的延长线于点E.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)连接CD,若OA=AE=4,求四边形ACDE的面积.24.2.2 直线和圆的位置关系一、选择题1.答案 A ∵☉O的半径为4 cm,圆心O到直线l的距离为3.5 cm,即圆心O到直线l的距离小于圆的半径,∴直线l与☉O的位置关系是相交,故选A.2.答案 A ∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ADC=180°-∠ABC=125°.∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,∴∠MCA=∠ABC=55°,∠AMC=90°.∵∠ADC=∠AMC+∠DCM,∴∠DCM=∠ADC-∠AMC=35°,∴∠ACD=∠MCA-∠DCM=55°-35°=20°.故选A.3.答案 C 在△ABC中,∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-50°-60°=70°,又∵I是△ABC的内心,∴∠BCD=∠BAD=∠BAC=35°,∠BCI=∠ACB=25°,∴∠BCD+∠BCI=35°+25°=60°,即∠ICD=60°,故选C.二、填空题4.答案 5解析连接OB,∵AB切☉O于B,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°,设☉O的半径长为r,由勾股定理得r2+122=(8+r)2,解得r=5.5.答案24 cm解析如图,连接OA、OB,∵PA、PB为圆的两条切线,∴由切线长定理可得PA=PB,同理可知:DA=DC,EC=EB.∵OA⊥PA,OA=5 cm,PO=13 cm,∴由勾股定理得PA=12 cm,∴PA=PB=12 cm.∴△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB=24 cm.6.答案 4解析如图,连接KE,KG,KF,连接AK交☉K于点M,∵AB,CD,BC与☉K相切,∴KE⊥AB,KG⊥CD,KF⊥BC,又AB∥CD,∴点E、K、G共线,∴EG=BC=12 cm,∴EK=KF=6 cm,∴BE=6 cm,∴AE=AB-BE=14-6=8(cm),在Rt△AEK中,AK2=AE2+EK2,∴AK==10(cm),∴AM=10-6=4(cm),∴点A与☉K之间的距离为4 cm.三、解答题7.解析(1)证明:∵AB是☉O的切线,。

九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系同步检测含解析新人教版

九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系同步检测含解析新人教版

24.2.1 点和圆的位置关系测试时间:30分钟一、选择题1.(2018广东广州花都期末)☉O的半径为5 cm,点A到圆心O的距离OA=4 cm,则点A与圆O 的位置关系为( )A.点A在圆上B.点A在圆内C.点A在圆外D.无法确定2.(2018北京门头沟期末)已知△ABC中,AC=3,CB=4,以点C为圆心,r为半径作圆,如果点A、点B只有一个点在圆内,那么半径r的取值范围是( )A.r>3B.r≥4C.3<r≤4D.3≤r≤43.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,则等腰直角三角形的直角边长为( )A.2B.2-2C.2-D.-1二、填空题4.(2017上海普陀一模)已知点P在半径为5的☉O外,如果设OP=x,那么x的取值范围是.5.(2018江苏徐州睢宁月考)正方形ABCD的边长为2 cm,以A为圆心,2 cm为半径作☉A,则点B在☉A;点C在☉A;点D在☉A.6.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距.如图,在Rt△AB C和Rt△ACD 中,∠ACB=∠ACD=90°,点D在边BC的延长线上,BC=DC=3,∴BD=6,如果BC=DC=3,那么△ABC 和△ACD的外心距是.三、解答题7.如图,☉O是△ABC的外接圆,AC是直径,过O作OD∥BC交AB于点D.延长DO交☉O于点E,作EF⊥AC于点F.连接DF并延长交直线BC于点G,连接EG.(1)求证:FC=GC;(2)求证:四边形EDBG是矩形.8.(2017浙江台州中考)如图,已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC上一点(不与B,C重合),PE是△ABP的外接圆☉O的直径.(1)求证:△APE是等腰直角三角形;(2)若☉O的直径为2,求PC2+PB2的值.24.2.1 点和圆的位置关系一、选择题1.答案 B ∵☉O的半径为5 cm,点A到圆心O的距离为4 cm,即点A到圆心O的距离小于圆的半径,∴点A在☉O内.故选B.2.答案 C 当点A在圆内时,点A到点C的距离小于圆的半径,即r>3;点B在圆上或圆外时,点B到圆心的距离不小于圆的半径,即r≤4,故3<r≤4.故选C.3.答案 A ∵直角三角形的斜边等于外接圆的直径,又直角三角形外接圆的半径为2,∴△ABC的斜边AB的长为4,∵△ABC为等腰直角三角形,∴两直角边长都为AB=2.故选A.二、填空题4.答案x>5解析∵点P在半径为5的☉O外,∴OP>5,即x>5.5.答案上;外;上解析∵正方形ABCD的边长为2 cm,∴AB=AD=2 cm,AC=2cm>2 cm,∴点B在圆上,点C 在圆外,点D在圆上.6.答案 3解析∵∠ACB=∠ACD=90°,∴Rt△ABC和Rt△ACD的外心分别是AB,AD的中点,又点D在边BC的延长线上,∴△ABC和△ACD的外心距为BD=3.三、解答题7.证明(1)∵AC为☉O的直径,∴∠ABC=90°,∵OD∥BC,∴∠ADO=∠ABC=90°,∵EF⊥AC,∴∠EFO=90°.在△AOD和△EOF中,∴△AOD≌△EOF,∴OD=OF,∴∠ODF=∠OFD,∵OD∥BC,∴∠FGC=∠ODF,又∠GFC=∠OFD,∴∠GFC=∠FGC,∴FC=GC.(2)如图,连接AE、EC,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,由(1)知OD=OF,∴∠ODF=∠OFD,∵∠AOE=∠DOF,∴∠OAE=∠OFD,∴AE∥DG,∵AC为☉O的直径,∴∠AEC=90°,∴EC⊥FG,又CF=CG,∴CE是FG的垂直平分线,∴△EFC≌△EGC,∴∠EGC=∠EFC,∵EF⊥AC,∴∠EGC=90°,又∠EDB=90°,∠ABC=90°,∴四边形EDBG是矩形.8.解析(1)证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠C=∠ABC=45°,中小学教案、试题、试卷精品资料∴∠AEP=∠ABP=45°,∵PE是☉O的直径,∴∠PAE=90°,∴∠APE=∠AEP=45°,∴AP=AE,∴△APE是等腰直角三角形.(2)∵∠CAB=∠PAE=90°,∴∠CAP=∠BAE,又AC=AB,AP=AE,∴△CAP≌△BAE,∴∠ACP=∠ABE=45°,PC=EB,∴∠PBE=∠ABC+∠ABE=90°,∴PC2+PB2=BE2+PB2=PE2=22=4.。

九年级数学上册第二十四章圆24-2点和圆直线和圆的位置关系24-2-2直线和圆的位置关系拓展提高同步检测含解析

九年级数学上册第二十四章圆24-2点和圆直线和圆的位置关系24-2-2直线和圆的位置关系拓展提高同步检测含解析

24.2.2 直线和圆的位置关系基础闯关全练拓展训练1.(2016海南五指山中学模拟)如图,∠ABC=80°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB长为半径作☉O,要使射线BA与☉O相切,应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转( )A.40°或80°B.50°或100°C.50°或110°D.60°或120°2.如图,△ABC是一张周长为17 cm的三角形纸片,BC=5 cm,☉O是它的内切圆,小明准备用剪刀在☉O的右侧沿着与☉O相切的任意一条直线MN剪下△AMN,则剪下的三角形的周长为( )A.12 cmB.7 cmC.6 cmD.随直线MN的变化而变化3.☉O的半径为1,正方形ABCD的对角线长为6,OA=4.若将☉O绕点A按顺时针方向旋转360°,则在旋转过程中,☉O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现( )A.3次B.4次C.5次D.6次4.如图,△ABC中,AB=AC,∠A为锐角,CD为AB边上的高,点O为△ACD的内切圆圆心,则∠AOB=.能力提升全练拓展训练1.(2016贵州遵义中考)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,连接AC,☉P和☉Q分别是△ABC和△ADC的内切圆,则PQ的长是( )A. B. C. D.22.(2016四川德阳中考)如图,在△ABC中,AB=3,AC=,点D是BC边上的一点,AD=BD=2DC,设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1,r2,那么=( )A.2B.C.D.3.(2017江苏泰兴二模)如图,平面直角坐标系中,点P的坐标为(1,0),☉P的半径为1,点A的坐标为(-3,0),点B 在y轴的正半轴上,且OB=.若直线l:y=x+m从点B开始沿y轴向下平移,线段AB与线段A'B'关于直线l对称.若线段A'B'与☉P只有一个公共点,则m的值为.4.(2017甘肃兰州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,▱ABCO的顶点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,2).动点P在直线y=x上运动,以点P为圆心,PB长为半径的☉P随点P运动,当☉P与▱ABCO的边相切时,P点的坐标为.三年模拟全练拓展训练1.(2018湖北武汉江岸期中,9,★★☆)如图,等腰Rt△ABC中,点O为斜边AC上一点,作☉O与AB相切于点D,交BC于点E、F.已知AB=25,BE=8,则EF的长度为( )A.13B.10C.8D.72.(2016江苏宿迁泗阳新阳中学月考,8,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上,以AB为弦的☉M与x轴相切,若点A的坐标为(0,-4),则圆心M的坐标为( )A.(-2,2.5)B.(2,-1.5)C.(2.5,-2)D.(2,-2.5)3.(2018江苏宿迁泗阳期中,17,★★☆)如图,正方形ABCD的边长为9,点E是AB上的一点,将△BCE沿CE折叠至△FCE,若CF,CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的☉O相切,则折痕CE的长为.4.(2017山东聊城莘县期末,15,★★☆)如图,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F,∠A=80°,点P为☉O 上任意一点(不与E、F重合),则∠EPF=.5.(2017北京昌平期末,15,★★☆)《九章算术》是中国古代数学最重要的著作,包括246个数学问题,分为九章.在第九章“勾股”中记载了这样一个问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”这个问题可以描述为:如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,勾为AC长8步,股为BC长15步,问△ABC的内切圆☉O直径是多少步?”根据题意可得☉O的直径为步.五年中考全练拓展训练1.(2017山东济南中考,10,★★☆)把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上,∠CAB=60°,若量出AD=6 cm,则圆形螺母的外直径是( )A.12 cmB.24 cmC.6 cmD.12 cm2.(2016湖北襄阳中考,8,★★☆)如图,I是△ABC的内心,AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BI、BD、DC.下列说法中错误的一项是( )A.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C.∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D.线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合3.(2017浙江衢州中考,15,★★☆)如图,在直角坐标系中,☉A的圆心A的坐标为(-1,0),半径为1,点P为直线y=-x+3上的动点,过点P作☉A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是.核心素养全练拓展训练1.(2016浙江台州中考)如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q 分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是( )A.6B.2+1C.9D.2.如图,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=4,OB=3.☉O的半径为2,点P是线段AB上的一个动点,过点P作☉O的一条切线PQ,Q为切点.设AP=x,PQ2=y,则y与x的函数图象大致是( )24.2.2 直线和圆的位置关系基础闯关全练拓展训练1.答案 C 如图,①当BA1与☉O相切,且BA1位于BC上方时,设切点为P,连接OP,则∠OPB=90°,在Rt△OPB中,OB=2OP,∴∠A1BO=30°,又∠ABC=80°,∴∠ABA1=50°;②当BA2与☉O相切,且BA2位于BC下方时,同①,可求得∠A2BO=30°,又∠ABC=80°,∴∠ABA2=80°+30°=110°.故旋转角的度数为50°或110°.故选C.2.答案 B 如图,设D、E、F分别是☉O的切点,∵△ABC是一张三角形纸片,AB+BC+AC=17 cm,☉O是它的内切圆,BC=5 cm,∴BD+CE=BC=5 cm,AD+AE=7 cm.易知DM=MF,FN=EN,∴AM+AN+MN=AD+AE=7 cm.故选B.3.答案 B 如图,∵☉O的半径为1,正方形ABCD的对角线长为6,边长为3,OA=4,∴☉O与正方形ABCD的边AB、AD只有一个公共点的情况各有1次,与边BC、CD只有一个公共点的情况各有1次.∴在旋转过程中,☉O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现4次.故选B.4.答案135°解析如图.连接CO,并延长AO交BC于点F,∵CD为AB边上的高,∴∠ADC=90°,∴∠BAC+∠ACD=90°.又∵O为△ACD的内切圆圆心,∴AO、CO分别是∠BAC和∠ACD的角平分线,∴∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠ACD)=×90°=45°,∴∠AOC=135°.在△AOB和△AOC中,∴△AOB≌△AOC,∴∠AOB=∠AOC=135°.能力提升全练拓展训练1.答案B∵四边形ABCD为矩形,∴△ACD≌△CAB,∴☉P和☉Q的半径相等.在Rt△AB C中,AB=4,BC=3,∴AC==5,∴☉P的半径r===1.如图,连接PQ,过点Q作QE∥BC,过点P作PE∥AB交QE于点E,则∠QEP=90°.在Rt△QEP 中,QE=BC-2r=3-2=1,EP=AB-2r=4-2=2,∴PQ===.故选B.2.答案 C 如图,设☉O与△ABD内切于E、F、G.∵DA=DB,DG=DF,∴BF=AG=BE=AE.∵AB=3,∴AE=BE=BF=AG=.设DF=DG=m,∵AD=2DC,∴DC=.∵S△ABD∶S△ADC=BD∶DC=2∶1,∴(3+3+2m)·r1∶·r2=2∶1,∴(6+2m)·r1∶(6+2m)·r2=2∶1,∴=.故选C.3.答案或-解析如图,∵直线y=x+m与y轴的夹角为30°,∠ABO=60°,∴当直线l经过点B时,线段A'B'与☉P相切于点O,把B(0,)代入y=x+m,得到m=.易知直线AB的解析式为y=x+,设☉P与x轴的另一个交点为E,作EF⊥x轴交AB于F,易知F,当直线l经过点F时,线段A'B'与☉P相切于点E,把代入y=x+m,得到=2+m,m=-.综上所述,满足条件的m的值为或-.4.答案(0,0)或或解析设P,☉P的半径为r,依题意知BC⊥y轴,直线OP的解析式为y=x,直线AB的解析式为y=-x+2,可知OP⊥AB,∴OP⊥OC.分类讨论☉P与▱ABCO的边相切的情况:(1)当☉P与BC相切时,∵动点P在直线y=x上运动,∴点P与点O重合,此时P点的坐标为(0,0);(2)当☉P与OC相切时,OP=BP,∴△OBP为等腰三角形,过点P作PE⊥y轴于点E,如图①,根据等腰三角形“三线合一”的性质可得E为OB的中点,此时,P点的坐标为(x,1),将(x,1)代入y=x,得x=,即P点的坐标为;(3)当☉P与OA相切时,点P到点B的距离与点P到x轴的距离相等,过点P作PF⊥x轴于点F,如图②,则PB=PF,即=x,解得x=3+(舍去)或x=3-,将x=3-代入y=x,可得y=,即P点的坐标为;(4)当☉P与AB相切时,设线段AB与直线OP的交点为G,如图③,此时有PB=PG,又∵OP⊥AB,∴在Rt△PBG 中,∠BGP=∠GBP=90°不成立,∴不存在这样的☉P.三年模拟全练拓展训练1.答案 B 如图,连接OD、OE,过O作OG⊥EF于G.∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠B=90°,∠A=∠C=45°.∵AB 是☉O的切线,∴∠ODB=90°,又OG⊥EF,∴四边形BGOD是矩形,易知△ADO与△CGO是等腰直角三角形.设OD=BG=OE=x,则BD=OG=CG=25-x,EG=FG=x-8.在Rt△OEG中,∵EG2+OG2=OE2,即(x-8)2+(25-x)2=x2,解得x=13,或x=53(不合题意,舍去),∴EG=13-8=5,∴EF=2EG=10.故选B.2.答案 D ∵四边形ABCO是正方形,A(0,-4),∴AB=OA=CO=BC=4,过M作MN⊥AB于N,连接MA,由垂径定理得AN=AB=2,设☉M的半径是R,则MN=4-R,AM=R,由勾股定理得AM2=MN2+AN2,即R2=(4-R)2+22,解得R=2.5.∵AN=2,四边形ABCO是正方形,☉M与x轴相切,∴M的横坐标是2,即M(2,-2.5).故选D.3.答案6解析如图,连接AC,∵四边形ABCD为正方形,∴∠ACB=45°.∵△BCE沿CE折叠至△FCE,∴∠ECB=∠ECF.∵CF,CE与以正方形ABCD的中心为圆心的☉O相切,∴AC平分∠ECF,∴∠ECF=2∠ECA,∴∠ECB=2∠ECA,而∠ECB+∠ECA=45°,∴∠ECB=30°,∴CE=2BE.在Rt△BEC中,∵BE2+BC2=CE2,即BE2+92=(2BE)2,解得BE=3(舍负),∴CE=2BE=6.4.答案50°或130°解析如图,有两种情况:①当P在上时,在上任取一点N,连接EN,FN,则∠EPF=∠ENF,连接OE、OF,∵☉O 是△ABC的内切圆,∴OE⊥AB,OF⊥AC,∴∠AEO=∠AFO=90°.∵∠A=80°,∴∠EOF=360°-∠AEO-∠AFO-∠A=100°,∴∠ENF=∠EPF=∠EOF=50°.②当P在劣弧上时,在劣弧上任取一点M,连接EM,FM,则∠EPF=∠EMF,又四边形EMFN内接于☉O,∴∠EPF=∠EMF=180°-50°=130°.故答案为50°或130°.5.答案 6解析∵∠C=90°,AC=8,BC=15,∴AB===17,设△ABC的内切圆的半径为r,则S△ABC=(AB+BC+CA)·r,∴AC·BC=(AB+BC+CA)·r,即×8×15=×(8+15+17)·r,解得r=3,∴☉O的直径是6步.五年中考全练拓展训练1.答案 D 如图,设圆形螺母的圆心为O,与AB切于E,连接OD,OE,OA.∵AD,AB分别为圆O的切线,∴AO为∠DAB的平分线,OD⊥AC,OE⊥AB,又∠CAB=60°,∴∠OAE=∠OAD=∠DAB=60°.在Rt△AOD中,∠OAD=60°,AD=6 cm,∴∠AOD=30°,AO=12 cm,∴OD===6(cm),则圆形螺母的外直径为12cm.故选D.2.答案 D ∵I是△A BC的内心,∴AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠IBC,C正确;∵∠BAD=∠CAD,∴=,∴BD=CD,A正确;∵∠DAC=∠DBC,∴∠BAD=∠DBC,∵∠IBD=∠IBC+∠DBC,∠BID=∠ABI+∠BAD,∴∠IBD=∠BID,∴BD=DI,B正确.故选D.3.答案2解析连接AP,易知当AP⊥直线y=-x+3时,切线长PQ最小.如图,A的坐标为(-1,0),直线y=-x+3与坐标轴交于B(4,0),C(0,3),设P,过P作PH⊥x轴,易证△APH∽△PBH,∴=,即=,解得a=.∴P,∴AP==3,∴PQ==2.核心素养全练拓展训练1.答案 C 如图,设☉O与AC相切于点E,连接OE,作OP1⊥BC(垂足为P1),交☉O于Q1,易知P1Q1为PQ的最小值.∵AB=10,AC=8,BC=6,∴AB2=AC2+BC2,∴∠C=90°,又∵∠OP1B=90°(垂线的性质),∠OEA=90°(切线的性质),∴OP1∥AC,OE∥BC.又∵O为AB的中点,∴AO=OB=5,∴P1C=P1B,AE=EC,∴OP1=AC=4,OE=BC=3.∴P1Q1=OP1-OQ1=OP1-OE=4-3=1.如图,当Q2在OA上且P2与B重合时,P2Q2为PQ的最大值,P2Q2=5+3=8.∴PQ长的最大值与最小值的和是9.故选C.2.答案 A 连接OP,作OM⊥AB于M,∵∠AOB=90°,OA=4,OB=3,∴AB=5,OM===.在Rt△AOM中,AM===.∵PQ是☉O的切线,∴∠PQO=90°,∴PQ2=OP2-OQ2=PM2+OM2-OQ2=+-4,即y=x2-x+12.又P是线段AB上的动点,∴0≤x≤5.故选A.。

度第一学期人教版九年级数学上册_24.2_点和圆、直线和圆的位置关系_同步检测

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度第一学期人教版九年级数学上册_2424.2 点和圆、直线和圆的位置关系同步检测考试总分: 100 分考试时间:90分钟学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________一、选择题〔共 10 小题,每题 3 分,共 30 分〕1.在一个三角形中,AB=AC=6cm,BC=8cm,D是BC的中点,以D为圆心作一个半径为5cm的圆,那么以下说法正确的选项是〔〕A.点A在⊙D外B.点B在⊙D上C.点C在⊙D内D.无法确定2.⊙O的半径为10cm,假设一条直线和圆心O的距离为10cm,那么这条直线和这个圆的位置关系为〔〕A.相离B.相切C.相交D.相交或相离3.⊙O的半径为3cm,点A到圆心O的距离为4cm,那么点A与⊙O的位置关系是〔〕A.点A在⊙O内B.点A在⊙O上C.点A在⊙O外D.不能确定4.⊙O的半径为6cm,点A到圆心O的距离为5cm,那么点A与⊙O的位置关系是〔〕A.点A在圆内B.点A在圆上C.点A在圆外D.不能确定5.圆O的半径为3cm,点P是直线l上的一点,且OP=3cm,那么直线l与圆O的位置关系为〔〕A.相切B.相交C.相离D.不能确定6.⊙O的半径为4,A为线段PO的中点,事先OP=10,点A与⊙O的位置关系为〔〕A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不确定7.Rt△ABC中,∠C=90∘,AC=3,BC=4,以C为圆心,r为半径的圆与边AB有两个交点,那么r的取值范围是〔〕A.r=125B.r>125C.3<r<4D.125<r≤38.⊙O半径为3cm,直线AB上有一点P,OP⊥AB,且OP=4cm,那么直线AB 与⊙O的位置关系是〔〕A.相离B.相交C.相切D.以上均有能够9.Rt△ABC中,∠C=90∘,AC=2,BC=4,假设以点A为圆心,AC为半径作⊙A,那么斜边中点D与⊙A的位置关系是〔〕A.点D在⊙A外B.点D在⊙A上C.点D在⊙A内D.无法确定10.⊙O的半径为4cm,A为线段OP的中点,事先OP=7cm,点A与⊙O的位置关系是〔〕A.点A在⊙O内B.点A在⊙O上C.点A在⊙O外D.不能确定二、填空题〔共 10 小题,每题 3 分,共 30 分〕11.在Rt△ABC中,∠C=90∘,∠A=30∘,BC=1,区分以A、B为圆心的两圆外切,假设点C在圆A内,那么圆B的半径长r的取值范围是________.12.矩形ABCD边AB=6cm,AD=8cm,假定以A为圆心,6cm长为半径作⊙A,那么点B在⊙A________,直线CD与⊙A________.13.⊙O的半径为3cm,点P是直线l上的点,OP长为5cm,那么直线l与⊙O位置关系为________.14.同一平面内存在⊙O和点P,点P与⊙O上的点的最大距离为8,最小距离为2,那么⊙O的半径为________.15.一宽为3cm且两边缘相互平行的刻度尺在圆上移动,刻度尺两边缘均与圆相交且圆心在该尺的边缘上,假设一边缘与圆的两个交点处的读数恰恰为〝2〞和〝10〞〔单位:cm〕,那么该圆的半径为________cm.16.如图,数轴上半径为1的⊙O从原点O末尾以每秒1个单位的速度向右运动,同时,距原点左边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动,经过________秒后,点P在⊙O上.17.如图,在Rt△ABC中∠ACB=90∘,AC=6,CB=8,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作⊙O,设线段CD的中点为P,那么点P与⊙O的位置关系是________.18.平面直角坐标中,点P的坐标为(3, −4),以点P为圆心,以5为半径作⊙P,假定将⊙P沿y轴方向向下平移,使其与x轴相切,那么平移的距离是________.19.如图,Rt△ABC中,∠C=90∘,∠A=30∘,AB=4,以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O,假定⊙O与边BC一直有交点〔包括B、C两点〕,那么线段AO的取值范围是________.20.在平面直角坐标系中,⊙A的半径为2,点A的坐标为(5, 12),P(m, n)是⊙A上的一个动点,那么m2+n2的最大值为________.三、解答题〔共 5 小题,每题 8 分,共 40 分〕21.如图,在△ABC中,∠ACB=90゜,AB=10,BC=8,CD⊥AB于D,O为AB的中点.(1)以C为圆心,6为半径作圆C,试判别点A、D、B与⊙C的位置关系;(2)⊙C的半径为多少时,点D在⊙C上?22.:如图,△ABC内接于⊙O,过A点作直线DE,事先∠BAE=∠C,试确定直线DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论.23.在射线OA上取一点A,使OA=4cm,以A为圆心,作不时径为4cm的圆,问:过O的射线OB与OA的锐角α取怎样的值时,OA与OB(1)相离;(2)相切;(3)相交.24.等腰Rt△ABC和⊙O如图放置,AB=BC=1,∠ABC=90∘,⊙O的半径为1,圆心O与直线AB的距离为5.(1)假定△ABC以每秒2个单位的速度向右移动,⊙O不动,那么经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?(2)假定两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,⊙O的速度为每秒1个单位,那么经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?(3)假定两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,⊙O的速度为每秒1个单位,同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大.△ABC的边与圆第一次相切时,点B运动了多少距离?25.如图,点A从(1, 0)动身,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动,以O,A为顶点作菱形OABC,使点B,C在第一象限内,且∠AOC=60∘;以P(0, 3)为圆心,PC为半径作圆.设点A运动了t秒,求:(1)点C的坐标〔用含t的代数式表示〕;(2)当点A在运动进程中,一切使⊙P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值.答案1.C2.B3.C4.A5.D6.B7.D8.A9.A10.A11.0<r<2−√312.上相离13.相切,相交或相离14.3或515.4或516.2或8317.点P在⊙O内18.119.√3≤OA≤43√320.22521.解:在△ABC中,∠ACB=90゜,AB=10,BC=8,由勾股定理得:AC=6,由三角形面积公式得:12AC⋅BC=12AB⋅CD,∵AB=10,AC=6,BC=8,∴CD=4.8,(1)∵AC=6,∴点A在圆上,∵BC=8>6,∴B在圆外,∵CD=4.8<6,∴点D在圆内.(2)∵CD=4.8,∴⊙C的半径为4.8时,点D在⊙C上.22.解:直线DE与⊙O相切.理由如下:过点O作AF交圆O于F点,衔接BF.∵∠F,∠C是同弧AB所对的角,∴∠C=∠AFB,∵∠BAE=∠C,∴∠BAE=∠F,∵AF为直径,∴∠ABF=90∘,∴在三角形ABF中,∠AFB+∠BAF=90∘,∵∠AFB=∠BAE,∴∠BAE+∠BAF=90∘,∴FA⊥DE,∴直线DE与⊙O相切.23.解:∵⊙A的直径是4cm,∴当⊙A与射线OB相切时AC=12×4=2cm,∵OA=4cm,∴AC=12OA,∴α=30∘,∴事先30∘<α<90∘⊙A与OB相离;事先α=30∘⊙A与OB相切;事先0<α<30∘⊙A与OB相交.24.经过5−√2秒△ABC的边与圆第一次相切;(3)由(2)得CC′=(2+0.5)t= 2.5t,DD′=t,那么C′D=CD+DD′−CC′=4+t−2.5t=4−1.5t.∵FC′=√2C′E=√2C′D′,FC′+C′D′=FD′=1,∴(√2+1)C′D′=(√2+1)(4−1.5t)=1解得:t=10−2√23,∴点B运动的距离为2×10−2√23=20−4√23.25.解:(1)过C作CD⊥x轴于D.∵OA=1+t,∴OC=1+t,∴OD=OCcos60∘=1+t2,DC=OCsin60∘=√3(1+t)2.∴点C的坐标为(1+t2,√3(1+t)2).(2)①当⊙P与OC相切时〔如图1〕,切点为C,此时PC⊥OC.∴OC=OPcos30∘,∴1+t=3⋅√32,∴t=3√32−1.②当⊙P与OA,即与x轴相切时〔如图2〕,那么切点为O,PC=OP.过P作PE⊥OC于E,那么OE=12OC.∴1+t2=OPcos30∘=3√32,∴t=3√3−1.③当⊙P与AB所在直线相切时〔如图3〕,设切点为F,PF交OC于G,那么PF⊥OC.∴FG=CD=√3(1+t)2,∴PC=PF=OPsin30∘+√3(1+t)2.过C作CH⊥y轴于H,那么PH2+CH2=PC2.∴(1+t2)2+(√3(1+t)2−3)2=(32+√3(1+t)2)2,化简,得(t+1)2−18√3(t+1)+27=0,解得t+1=9√3±6√6.∵t=9√3−6√6−1<0,∴t=9√3+6√6−1.∴所求t的值是3√32−1,3√3−1和9√3+6√6−1.。

最新人教版九年级数学上册第二十四章《点和圆、直线和圆的位置关系》教案(第2课时)

最新人教版九年级数学上册第二十四章《点和圆、直线和圆的位置关系》教案(第2课时)

第2课时切线的判定和性质教学目标1.理解并能熟练运用切线的性质定理和判定定理.2.掌握切线长定理及其应用.3.会作三角形内切圆并能够解决一些数学问题.教学重难点切线的判定定理,切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的问题,切线长定理的初步运用.教学过程导入新课〈方式1〉下雨天,当你转动雨伞,你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出.仔细观察一下,水珠是顺着什么样的方向飞出的?这就是我们要研究的直线和圆相切的情况.〈方式2〉1.复习、回顾直线和圆的三种位置关系.2.如图所示的图形,请学生判断直线和圆的位置关系.学生判断的过程中,提问:你是怎样判断出图中的直线和圆相切的?根据学生的回答,继续提出问题:如何界定直线和圆是否只有一个公共点?根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线,但有时使用定义识别很不方便,为此我们还要学习识别切线的其他方法.推进新课一、合作探究(一)切线的判定定理1.做一做:任意画⊙O,作⊙O的一条半径OA,过点A作OA的垂线l,观察并确定直线l和⊙O的位置关系.2.议一议:由以上做法讨论如何判定一条直线是圆的切线.3.结论:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.4.议一议:根据上面的判定定理,如果你要证明一条直线是⊙O的切线,应该如何证明?归纳:应分为两步:(1)直线经过半径的外端点;(2)直线垂直于这条半径.(二)切线的性质定理议一议:如果知道直线是切线,有什么性质呢?分析:实际上,如图,CD是切线,A是切点,连接AO与⊙O交于点B,那么直线AB 是对称轴,所以沿AB对折图形时,AC与AD重合,因此,∠BAC=∠BAD=90°.因此,我们有切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.(三)切线长定理1.做一做:我们知道,过⊙O上任一点A都可以作一条切线,并且只有一条,根据下面提出的问题操作思考:在你手中的纸上画出⊙O,并画出过A点的唯一切线PA,连接PO,沿着直线PO将纸对折,设圆上与点A重合的点为B.议一议:这时,OB是⊙O的一条半径吗?PB是⊙O的切线吗?利用图形的轴对称性,说明圆中的PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系.2.结论:(1)切线长的概念:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.(2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.3.思考:如何证明以上定理?(四)三角形的内切圆1.做一做:已知△ABC,作三个内角的平分线,说说它们具有什么性质?2.议一议:若以△ABC内角平分线的交点为圆心,以该交点到三角形一边的距离为半径画圆,这个圆与△ABC的三边有什么关系?3.相关概念:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.二、应用迁移1.切线的判定与性质如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,且∠DCB=∠A.(1)CD和⊙O相切吗?如果相切,请你加以证明;如果不相切,请说明理由.(2)若CD和⊙O相切,且∠D=30°,BD=10,求⊙O的半径.分析:(1)要说明CD是否是⊙O的切线,因为C点已在圆上,只要说明OC是否垂直于CD,垂足为C.(2)由已知易得:∠A=30°,又由∠DCB=∠A=30°,得BC=BD=10.解:(1)CD和⊙O相切.理由:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,即∠OCA+∠OCB=90°.∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A,∴∠OCA=∠DCB.∴∠OCD=90°.又C点在⊙O上,∴CD是⊙O的切线.(2)在Rt△OCD中,∠D=30°,∴∠COD=60°.∴∠A=30°.∴∠BCD=30°.∴BC=BD=10.∴AB=20.∴r=10.点拨:证明一条直线是圆的切线时,若已知直线和圆的交点,则证明直线和过交点的半径垂直;若不知道交点,则过圆心作直线的垂线段,然后证明垂线段是半径.2.切线长定理如图,已知⊙O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,如果AE=1,CD=2,BF=3,且△ABC的面积为6,求内切圆的半径r.分析:直接求内切圆的半径有困难,由于面积是已知的,因此要转化为面积法来求,就需添加辅助线,如果连接AO ,BO ,CO ,就可把三角形ABC 分为三块,那么就可解决.解:连接AO ,BO ,CO.∵⊙O 是△ABC 的内切圆且D ,E ,F 是切点,∴AF=AE=1,BD=BF=3,CE=CD=2.∴AB=4,BC=5,AC=3.又∵S △ABC =6, ∴1(453)2r ++=6. ∴r =1.三、巩固提高1.从圆外一点向半径为9的圆作切线,已知切线长为18,则这点到圆的最短距离为( ).A .93B .9(3-1)C .9(5-1)D .9答案:C2.如图,P 为⊙O 外一点,PA 切⊙O 于点A ,过点P 的任一直线交⊙O 于B ,C ,连接AB ,AC ,连接PO 交⊙O 于D ,E.(1)求证:∠PAB =∠C .(2)如果PA 2=PD·PE ,那么当PA =2,PD =1时,求⊙O 的半径.(1)证明:作直径AF ,连接BF.∴∠FBA =90°.∴∠F +∠BAF =90°.又∵PA 是⊙O 的切线,AF 为直径,∴FA ⊥PA .∴∠PAB +∠BAF =90°.∴∠PAB =∠F.又∵∠F =∠C ,∴∠PAB =∠C .(2)解:把PA =2,PD =1代入PA 2=PD·PE ,得PE =4.∴DE =PE -PD =3.∴⊙O 的半径为32=1.5. 本课小结1.本节课所学的定理是:切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.2.应用上面的知识解决实际问题.。

九年级数学上册第24章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系习题课件(新版)新人教版

九年级数学上册第24章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系习题课件(新版)新人教版
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
第二十四章 圆
24.2.2 直线和圆的位置 关系
考场对接
考场对接
题型一 判断直线和圆的位置关系
例题1 在平面直角坐标系中, O为坐标原点, 直线y=x+ 与以点O为 圆心, 1为半径的圆的位置关系是______相_切___.
分析 如图24-2-32, 设直线y=x+ 与x轴交于点A, 与 y轴交于点B, 则 A(- , 0), B(0, 2), ∴OA=OB= , AB=2. 过点O作OC⊥AB于点C, 根 据直 角三角形的面积公式, 得 OA·OB= AB·OC, ∴
锦囊妙计
切线的判定方法二 —— 作垂直, 证半径 证明某直线是圆的切线时, 如果未明确说 明直线和圆有公共 点, 那么常过圆心作直线的垂 线段, 证明垂线段的长等于半径, 即 “无交点, 作 垂直, 证半径”.
题型五 切线性质的应用
例题5 如图24- 2 - 3 6 , △ABC的边AC与⊙O相交于C, D 两点, 且
×2OC, ∴OC=1, ∴圆 心O到直线AB的距离与⊙O的半径相等, 故直线 y=x+ 和⊙O的位置关系是相切.
锦囊妙计
判断直线和圆的位置关系的方法 (1)根据直线和圆的公共点的个数来判断: 当有2个公共点时, 直线和圆相交;当只有1个 公共点时, 直线和圆相切;当没有公 共点时, 直 线和圆相离. (2)根据圆心到直线的距离d与圆的 半径r 的大小关系来判断:当d<r时, 直线和圆 相交;当d=r时, 直线和 圆相切;当d>r时, 直线 和圆相离. 第二种方法是判断直线和圆的 位置 关系的常用方法.
例题6 如图24-2-37, 已知⊙O的直径AB与弦AC的 夹角为30°,

九年级数学上册 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系同步

九年级数学上册 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系同步
共点 ●O
一个公共点
●O
没有(méi yǒu)公共点
●O
相交
(xiāngjiāo)
相切
相离
直线和圆有两个公共点,这时我们就说这条直线和圆相交,这条 直线叫做圆的割线
直线和圆只有一个公共点,这时我们就说这条直线和圆相切,这 条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.
直线12/11和/202圆1 没有公共点,这时我们就说这条直线和圆相离.
(1)根据定义(dìngyì),由直__线___与___圆___的__公___共点的个数来
判断;
(2)由____圆__心__到___直__线__的__距离d与半径的r大小(dàxiǎo)
关系来判断。
在实际应用中,常采用第二种方法判定。
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1、已知⊙O的半径为6cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
No 如何计算的吗。点与圆的位置关系的判定方法。经过两个已知点A 、B 能作无数个圆.。经过两个已知点A 、
B所作的圆的圆心在怎样的一条直线上。经过两个已知点A 、B 所作圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.。相 离
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内容(nèiróng)总结
数学 九年级上册 RJ版。我国射击运动员在奥运会上屡获金牌,为我国赢得荣誉,右图是射击靶的示 意图,它是由许多同心圆(圆心相同,半径不等的圆)构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩(chéngjì)是
经过一个(yī ɡè)已知点 能作多少个圆?

最新九年级数学上册 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系(2)教案

最新九年级数学上册 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系(2)教案

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二、探究切线的判 定方法:经过半径 的外端并且垂直于 这 条半 径的直线 是圆的切线. 教师引导学生思考,分析,让学生知道,圆 心 O 到直线 l 的距离就是⊙O 的半径, 直线 l 就是 ⊙O 的切线. 1、 连半径, 证垂直 2、 作垂直, 证半径 教师再次引导学生讨论点 A 与直线 l 的位置 关系,从而得到切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线. 学生:几何语言表示: 例如,下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水 珠,在砂轮上打磨工件时飞出的火星,都是沿 着 三、探索切线的性 质:圆的切线垂直 于过切点的半径. 圆的切线方向飞出的. 2.探索切线的性质定理. 思考:将上面“思考”中的问题反过来,如 果直线 l 是⊙O 的切线,切点为 A,那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢? 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的 半径. 教 学生:几何语言表示: 证明:(见上图)假设 OA 与直线 l 不垂直, 过点 O 作 OM⊥l,根据垂线段最短的性质,有 OM 四、例题的探究: 学 <OA, 这说明圆心 O 到直线 l 的距离小于半径 OA, 于是直线 l 就与圆 相交.而这与直线 l 是的⊙O 切线矛盾.因此,OA 与直线 l 垂直,从而得出切 过 线的性质定理. 三、例题探究. 例 如左图,△ABC 为等腰三角形,O 是底边
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直线和圆的位置关系
课题:24.2.2 直线和圆的位置关系(2) 教学设计 课 标 了解直线和圆的位置关系,掌握切线的概念,探索切线与过切点的半径的关系,会用 要 求 三角尺过圆上一点给圆画切线。 1、 教材分析: 学生在学习本章之前,已通过折叠、对称、平移、旋转、推理证明等方式认识了许多 图形的性质, 积累了大量的空间与图形的经验. 本章是在学习了这些直线型图形的有关性 教 质的基础上,进一步来探索一种特殊的曲线── 圆的有关性质.通过本章的学习,对学 材 生今后继续学习数学, 尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的 及 铺垫作用.本章的学习是高中的数学学习,尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程. 学 学情分析: 情 2、九年级学生已具备一定知识储备和认知能力。但学生的基础较差,中等、差等生较 分 多,优等生较少。课堂上,多数学生表现欲不强,发言不积极,怕回答错问题;学生应用 析 知识灵活解决问题的能力较差, 在几何证明题中, 不会抓住已知条件进行论证推理。 因此, 在教学中,注重学生学习方法的培养,通过学生实践、探究、合作交流来完成本节课的教 学。 课 时 教 学 目 标 重点 难点 教法学 合作探究法 法 引导启发法 练习法 理解圆的切线的判定定理和性质定理,并能运用它解决简单问题 理解切线的判定定理,用反证法证明切线的性质定理 1.能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线 . 2.理解切线的判定定理和性质定理,会用这两个定理解决简单问题. 3.经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推 理能力. 课时 1 课 时
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1.(2006重庆)⊙O 的半径为4,圆心O 到直线l 的距离为3,则直线l 与⊙O 的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
解析:当d <r 时,直线与圆相交.
答案:A
2.正方形ABCD 的边长为22,以A 为圆心,2为半径作圆,则此圆与BD 的位置关系为( )A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 解析:点A 到BD 的距离d=r=2.
答案:B
3.(2006江苏常德)如图24-2-2-10,在直角坐标系中,⊙O 的半径为1,则直线y=-x+2与⊙O 的位置关系是( )
A.相离
B.相交
C.相切
D.以上三种情形都有可能
图24-2-2-10
解析:首先求出直线y=-x+2与x 轴的交点A 的坐标为(2,0),与y 轴的交点B 的坐标为(0,2),则AB=2,△ABO 的面积为1.由面积法得点O 到y=-x+2的距离为1.因为d= r=1,故相切.
答案:C
4.(2006辽宁旅顺口)如图24-2-2-11,AB 与⊙O 切于点B ,AO=6cm ,AB=4cm ,则⊙O 的半径为…( ) A.54cm B.52cm C.132cm D.13cm
图24-2-2-11
解析:根据切线的性质,AB 与过切点的半径垂直,即AB ⊥OB ,OB=22AB OA =52(cm ).
答案:B
5.如图24-2-2-12,PA 、PB 是⊙O 的切线,A 、B 是切点,连接AB 与PO 相交于点C ,下列结论中正确的个数为( )
①PA=PB ②PO 平分∠APB ③AB 被OP 垂直平分④C 为△PAB 的内心
A.1
B.2
C.3
D.4
图24-2-2-12
解析:根据切线长定理和圆的轴对称性可知,①②③都正确,④错.
答案:C
6.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3cm ,AB=5cm ,以点C 为圆心,2cm 为半径的圆与AB 的位置关系是_____________.
解析:由三角形的面积公式求得点C 到AB 的距离为5
12cm. 答案:相离
7.(2006吉林长春)如图24-2-2-13,AB 为⊙O 直径,BC 切⊙O 于B ,CO 交⊙O 于D ,AD 的延长线交BC 于E ,若∠C=25°,求∠A 的度数.
图24-2-2-13
分析:根据切线的性质定理,得∠ABC=90°,利用圆心角与圆周角的关系,求∠A 的度数. 解:∵AB 为⊙O 的直径,BC 切⊙O 于B ,
∴∠ABC=90°.
∵∠C=25°,∴∠BOC=65°.
∵∠A=2
1∠BOD ,∴∠A =32.5°. 8.如图24-2-2-13,以等腰△ABC 的腰AB 为直径作⊙O 交底边于点P ,过点P 作PE ⊥AC 于点E.
求证:PE 是⊙O 的切线.
图24-2-2-13
分析:连接OP ,用切线的判定定理证明.
证明:连接OP ,∵AB=AC ,∴∠B=∠C.∵OB=OP ,
∴∠B=∠OPB.
∴∠OPB=∠C.∴OP ∥AC.∵PE ⊥AC ,∴OP ⊥PE ,
∴PE 为⊙O 的切线.
我综合 我发展
9.如图24-2-2-14,AB 为⊙O 的直径,延长AB 到点D ,使BD=OB ,DC 切⊙O 于点C ,则AC ∶AD=______________.
图24-2-2-14
解析:如图,连接OC、BC,可得Rt△COD中∠COD=60°,CD=3OC.△ACD中∠CAD=∠ADC=30°,所以AC=CD=3OC.而AD=3OC.
答案:1∶3
10.(2006福建南平)如图24-2-2-15,AB是⊙O的弦,OC⊥OA交AB于点C,过B的直线交OC的延长线于点E,当CE=BE时,直线BE与⊙O有怎样的位置关系?请说明理由.
图24-2-2-15
分析:利用切线的判定定理,连接OB,证明OB与BE垂直.
解:当CE=BE时,直线BE与⊙O相切.理由如下:
连接OB,∵OA=OB,∴∠A=∠OBA.
∵CE=BE,∴∠ECB=∠EBC.
∵OC⊥OA,∴∠AOC=90°,∠A+∠ACO=90°.
∵∠ACO=∠ECB,∴∠OBA+∠EBC=90°.
所以,当CE=BE时,直线BE与⊙O相切.
11.如图24-2-2-16,在⊙O中,半径OB⊥OE于O点,C是OE延长线上一点,过C点作CA 切⊙O于A点,连结AB交OE于D点.求证:CA=CD.
图24-2-2-16
分析:证明CA=CD(特点是两线段可以构成三角形),所以通过等角对等边证明,就是证明(1)∠DAC=∠ADC.其中∠DAC容易转化为圆内的角(圆周角或者圆心角),而∠ADC 也要转化为圆内的角,才能找到两角的关系.方法有多种.
证法一:如图(1),连接OA.∵AC是切线,∴∠OAC=90°,
(1)
即∠OAD+∠DAC=90°.
∵OB⊥OE,∴∠DOB=90°. ∴∠B+∠ODB=90°.又∠ODB=∠ADC.
∴∠OAD+∠DAC=90°=∠B+∠ADC.
∵OA=OB ,∴∠B=∠OAD.∴∠DAC=∠ADC.
∴CA=CD.
证法二:如图(2),延长BO 交⊙O 于F 点,连接AF.∵FB 是直径,∴∠FAD=90°.
∵BO ⊥OE ,∴∠FOD=90°.∴∠F+∠ADO=180°.
∵∠ADO+∠ADC=180°.∴∠F=∠ADC.
∵AC 是切线,∴∠DAC=∠F.∴∠DAC=∠ADC.∴CA=CD.
12.如图24-2-2-17,⊙O 内切于△ABC ,若∠ACB=90°,∠AOC=105°,AB=83,求AC 及S △ABC .
图24-2-2-17
分析:点O 是△ABC 的内心,则OA 、OC 是三角形的角平分线,则∠OCA=45°,求得∠OAC=30°,再求AC 及S △ABC .
解:∵⊙O 内切△ABC ,∴OA 、OC 是角平分线.
∴∠OCA=21∠ACB=45°,∠OAC=2
1∠CAB. ∵∠AOC=105°,∴∠OAC=30°.∴∠BAC=60°.
∴∠B=30°.
∴AC=21AB=21×38=3
4. 在Rt △ABC 中,由勾股定理得BC=3
34. ∴S △ABC =
21AC·BC=9
38.。

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