第六章李亚普诺夫稳定性分析

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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
2)系统外部稳定性判据
线性定常连续系统 ∑ (A,B,C) 的传递函数矩阵为
当且仅当 极点都在s的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO稳定）的。 【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为
试分析系统的外部稳定性。
解：系统为SISO系统，传递函数为
1892年，俄国学者李雅普诺夫在“运动稳定性一般问题”一 文中，提出了著名的李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳 定性判据的通用方法，适用于各类系统。该理论成为现代控 制理论的一个重要组成部分。
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第六章 李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫的稳定性理论，主要阐述了判断系统稳定性 的两种方法。
实际上，渐近稳定即为工程意义下的稳定，也就是
经典控制理论中所讨论的稳定性。当δ与 t0 无关时，
的稳定性一致。
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【例6.1.２】已知受控系统状态空间表达式为
试分析系统的内部稳定性。 解：该系统为线性定常系统，其特征方程为：
于是系统的特征值为 故系统不是内部稳定（渐近稳定）的。
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
第六章李亚普诺夫稳定 性分析
2020年4月23日星期四
第六章 李雅普诺夫稳定性分析
自动控制系统最重要的特性是稳定性，它表示系统能妥善地 保持预定工作状态，耐受各种不利因素的影响。
稳定性问题实质上是控制系统自身属性的问题。在经典控制 理论中，基于特征方程的根是否分布在根平面左半部分，即 可得出稳定性的结论。仅适用于线性定常系统，对于时变系 统和非线性系统，这种方法判定稳定性通常是很困难的。
由于传递函数的极点位于s左平面，故系统是外部稳定的。
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2.内部稳定性 对于线性定常系统
如果外部输入u(t) = 0，初始条件x0为任意，且由x0引起的零 输入响应为
满足 则称系统是内部稳定的，或称为系统是渐近稳定的。
说 明：线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中
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6.1.2 范数的概念
范数的定义 n维状态空间中，向量x的长度称为向量的范数， 用||x|| 表示：
向量的距离 长度 ||x -xe ||称为向量x与xe的距离。写成
当
的范数限定在某一范围之内，则记
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图5-1 球域
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在三维状态空间中表示以
为球心、以
为半径的
一个球域，可记为
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6.1Βιβλιοθήκη Baidu3 李雅普诺夫稳定性定义
1. 李雅普诺夫意义下的稳定性(稳定和一致稳定)
定义 对于系统
，若任意给定实数
,
都存在另一实数
, 使当
时，
从任意初始状态 出发的x的解
(外部稳定性也称为BIBO（Bounded Input Bounded Output ）稳定性)
说明：
（1） 所谓有界是指如果一个函数 ，在时间区间[0，∞] 中，它的幅值不
会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的t∈ [0 ∞] ，恒有
|h(t)| ≤ k ≤ ∞成立。 （2） 所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。
如图5-3李雅普诺夫意义下的稳定性示意图
2.古典理论稳定性定义(渐近稳定性)
设 xe 是系统 的一个孤立平衡状态，如果
（1） xe 是李雅普诺夫意义下稳定的；
（2）
则称此平衡状态是渐近稳定的。
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
- 初始状态 - 平衡状态
图6-2 二维空间渐近稳定性的几何解释示意图
§6.1. 李雅普诺夫稳定性定义
稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的 性质。因此，系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。
6.1.1 平衡状态
考察系统自由运动状态。令输入 u=0。设系统的状态方程为：
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1. 平衡状态的定义
第一种方法的基本思路是仅求解系统的微分方程，然后 根据解的性质判断系统的稳定性。这种方法为间接法。
第二种方法的基本思路是不必通过求解系统的微分方程 ，而是构造一个李雅普诺夫函数，根据这个函数的性质 来判别系统的稳定性。这种思想由于不用求解方程就能 直接判断，故称为直接法，并且这种方法不局限于线性 定常系统，对于任何复杂系统都是适用的。
满足
则称系统的平衡状态xe是稳定的，其中
和 有关的实数；
是与
若 与 无关，则称
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是一致稳定的。
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
二维空间的几何意义：
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稳定范围 如图5-3
a）局部稳定
b）大范围稳定
若对所有t，状态x满足
，故有下式成立:
，则称该状态x为平衡状态，记为
（5-2）
由平衡状态在状态空间中所确定的点 ，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
（1）线性定常系统
其平衡状态xe满足Ax=0
A非奇异，则存在唯一的一个平衡状态xe =0 。 （2）非线性系统
方程
的解可能有多个。
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
一、 外部稳定性和内部稳定性
系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部 描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。
1. 外部稳定性 1)定义（外部稳定性）：
若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的 ，则称该系统是外部稳定的。
3.内部稳定性与外部稳定性的关系
1)若系统是内部稳定（渐近稳定）的，则一定是外部稳定（ BIBO稳定）的。
2)若系统是外部稳定（BIBO稳定）的，且又是可控可观测的， 则系统是内部稳定（渐近稳定）的。此时内部稳定和外部稳定 是等价的。
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