安徽省合肥市一六八中学2019-2020学年高一上学期期末数学(凌志班)试题
2019-2020学年安徽省合肥市六校高一上学期期末考试数学试卷
安徽省合肥市六校2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷(考试时间：100分钟 满分：120分)命题学校一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在 答题卡上）1. 已知集合}1|{},2,1,0,1{2≤=-=x x Q P ，则=Q P （ ）A. }2,1,0{B. }1,0,1{- C .}1,0{ D. }1,1{-2.=（ ）A. B.CD.3. 已知2.023.02,2.0log ,2.0===p n m ，则 （ ）A.p n m >> B. m n p >> C . p m n >> D. n m p >>4 .已知则 （ ）A.B.C .D.5 函数2)(-+=x e x f x的零点所在的一个区间是 （ ） A. )1,2(-- B. )0,1(- C . )1,0( D. )2,1( 6. 下列各式中正确的是 （ ）A.B.C.D.7. 函数的图象大致是 ( )8. 若函数是偶函数，则的值不可能是 （ ）A.B.C.D.9. 将函数图象上每一点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象，再将图象向左平移个单位长度，得到图象，则图象的一个对称中心是 （ ）A. B.C. D.10. 已知函数),3(log )(22a ax x x f +-=对于任意的2≥x ，当0>∆x 时，恒有)()(x f x x f >∆+，则实数a 的取值范围是（ ）A. )4,4[-B. ]4,(-∞C .]4,4(- D.),4[+∞二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.幂函数的图像经过点)81,2(，则满足27)(-=x f 的x 的值为12.函数(a的最小正周期为2,则13. 已知函数1sin )(++=x b ax x f ，若,7)5(=f 则=-)5(f14.已知，则15. 将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个.若每个涨价1元，则日销售量减少10个，为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个 元.三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）16.已知函数.110,11,11)(≥<<⎪⎩⎪⎨⎧--=x x xx x f （1）指出函数)(x f 在区间),1[),1,0(+∞上的单调性（不必证明）； （2）当b a <<0，且)()(b f a f =时，求ba 11+的值； 17.已知函数的部分图象如图所示,图象与x 轴两个交点的横坐标分别为和.(1) 求、、的值. (2) 求使成立的x 取值的集合.18.若函数122)(12-⋅-=+x xa x f 在区间]1,0[上的最小值为1-，求实数a 的值.19.已知函数.(1)求f(x)的最小正周期与单调减区间.(2)20.已知函数)01,()(>>>∈-=b a R k kb a x f xx ，是否存在这样的a 、b 、k ，满足下面三个条件：①不等式0)(>x f 的解集是),0(+∞； ②函数)(x f 在),1[+∞上的最小值等于1；③2)2(f.若存在，求出a、b、k的值；若不存在，请说明理由.数学答案一、选择题二、填空题11. -13 12． 32+ ; 13. 5- ; 14. ; 15. 14.三、解答题16.解：（1）)(x f 在)1,0(上为减函数，在),1[+∞上是增函数. … …5分 (2)由b a <<0，且)()(b f a f =，知b a <<<10，则bb f a a f 11)(,11)(-=-=，b a 1111-=-∴，.211=+∴ba … …10分 17.解：(1)又,又,(2)18.解：设则原函数可化为,2t x=2()21,[1,2]g t t at t =--∈，.3分 (1)当2≥a 时，,143)2()(min -=-==a g t g 解得1=a ，舍去..5分(2)当21<<a 时，,11)()(2min -=--==a a g t g 解得0=a ，舍去..7分 (3)当1≤a 时，,12)1()(min -=-==a g t g 解得21=a ，舍去.10.分19.解：(1)单调减区间为(2),8分20.解：由,0>-xxkb a 得. … …2分(1)当0≤k 时，则R x ∈;显然不符合题意 … …3分 (2)当0>k 时，k x ba log >，而0)(>x f 的解集是),0(+∞，故.1,0log ==k k ba … …5分)01()(>>>-=b a b a x f x x 是增函数， … …7分因为函数)(x f 在),1[+∞上的最小值等于1，故1)1(=-=b a f ，又2)2(=f ，故222=-b a ，解得.21,23==b a … …9分 故存在21,23==b a ，1=k 同时满足题设条件. … …10分。
2019-2020学年安徽省合肥一中、六中、八中高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)
D． (3 ， 4) (4 ， )
4．函数 f (x) 2x 3 log3 x 的零点所在区间是 (
)
A． (0,1)
B． (1, 2)
C． (2,3)
D． (3, )
5．定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) f (x) 0 ，当 x (0, ) 时， f (x) x2 ，则 f (2) 的
)
A．{x | 3 x 1} B．{x | 3 x 5}
C．{x | 3x 1} D．{x | 3 x 1}
【解答】解： A {x || x | 3} {x | 3 x 3} ，
则 ðR B {x | x 5 或 x 1} ，
则 A (ðR B) {x | 3 x 1} ，
m 1 1 ，解得 m 2 ．
点 (2,8) 在幂函数 f (x) xn 上，
8 2n ，解得 n 3 ．
f (x) x3 在 R 上单调递增．
又 log4 9 log2 3 log2
8 3 ， (1 )0.5 1 ． 22
（2）已知 a [1 ， 2] ，若函数 g(x) | f (x) | a 有两个不同的零点 x1 ， x2 (x1 x2 ) ，函数
h(x)
|
f
(x) |
a 有两个不同的零点 a 1
x3
，
x4 (x3
x4 )
，求
x2 (x2 x1 (x1
x4 ) x3 )
的最大值．
-3-
21．已知函数 f (x) 是 R 上的偶函数，当 x 0 时， f (x) x3 ． （1）求 x 0 时 f (x) 的解析式； （2）解关于 x 的不等式 f (x 1) 8 f (x) ．
安徽省合肥市六校2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
2019-2020学年度第一学期合肥市六校联考高一年级期末教学质量检测数学试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合 题目要求.）1.已知集合{}|22A x x =-≤<，{}2|230B x x x =--≤，则A B =：A.[1,1]-B.[2,1]--C.[1,2)D.[1,2)-2.设函数()()()2111x x f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(4)]f f -的值为： A.16 B.15 C.5- D.15-3.已知角α的终边上一点P 的坐标为22(sin,cos )33P ππ，则sin α的值为： A.12-B.12C.2D.2-4.在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ： A.3144AB AC + B.1344AB AC -C.3144AB AC -D.1344AB AC + 5.已知，0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则：A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a <<6.已知1sin()33πα+=，则5cos()6πα+=： A.13B.3C.13-D.3-7.函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间是：A.1(,0)4-B.13(,)24C.1(0,)4D.11(,)428.已知非零向量,a b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为： A.3πB.6π C.56π D.23π 9.幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--在(0,)+∞时是减函数,则实数m 的值为：A.2B.21-或C.1-D.-21或10.设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是：A.()f x 的一个周期为2-πB.()f x 在上(,)2ππ单调递减C.()y f x =的图像关于直线83x π=对称 D.()f x π+的一个零点为6x π= 11.已知,0a b >，且1,1a b ≠≠，若log 1a b > ，则有：A.(1)()0b b a -->B.(1)()0a a b -->C.(1)()0b b a --<D.(1)(1)0a b --< 12.函数2sin ()cos x xf x x x+=+在[,]ππ-的图像大致为： A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.） 13.23log 9log 4⋅= . 14.已知1tan 3α=-，tan()1αβ+=，则tan β= . 15.函数sin 3y x x =图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移 个单位长 度得到. 16.若函数2(21)1,0()(2),0m x m x f x x m x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩在R 上为单调递增函数，则实数m 的取值范围 为 .三、解答题（本大题共6小题，满分70分,解答题应写出文字说明及演算步骤.） 17.（本题满分10分）已知集合{}|3A x a x a =≤≤+，{}=|-15RB x x ≤≤.（1）若=A B φ，求实数a 的取值范围；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分） 已知2sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπαπαπα---+=+--.（1）化简()f α；（2）若α是第四象限角，且33cos()25πα-=，求()f α的值.19.（本题满分12分）已知函数1()(01)1x xa f x a a a -=>≠+且 . （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若01a <<，判断函数()f x 在R 上的单调性，并证明.20.（本题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，12()log (1)f x x =-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围.21.（本题满分12分）已知向量413(cos ,sin ),(cos ,sin ),||13a b a b ααββ==-=. （1）求cos()αβ-的值； （2）若0,022ππαβ<<-<<，且4sin 5β=-，求sin α的值.22.（本题满分12分） 已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 1,33f x x x x x R ππ=++-+-∈.（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若函数()21y f x a =-+在[0,]2π上有两个零点，求实数a 的取值范围.2019-2020学年度第一学期合肥市六校联考 高一年级期末教学质量检测数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上．）13. 4 14. 2 15. 3π16. [1,2]三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答题应写出文字说明及演算步骤.） 17. 解： （1）由{}=|-15RB x x ≤≤得：{}|15B x x x =<->或. ......2分若=A B φ，则有：-135a a ≥⎧⎨+≤⎩，故12a -≤≤. ......6分（2）若=AB A ，则有A B ⊆，结合数轴得：315a a +<->或，45a a <->即或.......10分18. 解： （1）2sin cos (tan )()2cos tan sin f ααααααα-==-. ......6分（2）33cos()sin 25παα-=-=，所以3sin 5α=-，又α是第四象限角， 故4cos 5α=.即8()5f α=-. ......12分 19.解：（1）函数的定义域为R ， 11()()11x xxxa a f x f x a a-----===-++.有()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数. ......6分（2）设1212(,R)x x x x <∈，1212121212112()11(1)(1()-())x x x x x x x x a a a a a a a a f x f x ----==++++. 当01a <<时，12x xa a >，有12()()f x f x >，所以()f x 在R 上是减函数；......12分20.解：（1）当0x >时，0x -<，故12log (()1)f x x -=+，又()f x 是偶函数，所以0x >时，12()()log (1)f x f x x ==+-.综上，1212log (1),0()log (1),0x x f x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩. ......6分（2）由()f x 为偶函数得：()(||)f x f x =.又()f x 在[0,)+∞为减函数，且(1)1f =-， 故有(|1|)(1)f a f -<，即|1|1a ->，解得20a a ><或.故所求实数a 的取值范围为：(,0)(2+)-∞∞，. ......12分21.解：（1）(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--， 222||(cos cos )(sin sin )a b αβαβ-==-+-22co )3s 16(1αβ-==-，所以5os(13c )βα-= . ......6分 （2）由-02πβ<<，及4sin 5β=-，得：3cos 5β=. 由0,022ππαβ<<-<< 得： 0αβπ<-<，所以12()13sin βα-=.故sin =sin[)]ααββ-+=（ 1235416()sin )cos cos )si 131565n 53αββαββ-+-⨯=+⨯-=（（. ......12分22.解：（1）()sin 2coscos 2sinsin 2coscos 2sincos 23333f x x x x x x ππππ=++-+sin 2cos2x x =+)4x π=+. 3222()242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈令，得： 5()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 故函数()f x 的单调递减区间为：5,]()88k k k Z ππππ++∈[ . ......6分 （2）函数()21y f x a =-+在[0,]2π上有两个零点，等价于方程()21f x a =-在[0,]2π有 两个不等的实根，即函数()f x 在[0,]2π上的图像与直线21y a =-有两个不同的交点.作出函数()f x 在[0,]2π上的图像，由121a ≤-<112a ≤<.......12分。
2020-2021学年安徽省合肥168中学高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年安徽省合肥168中学高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合U ={−1,0，1，2，3}，A ={−1,0，1}，B ={1,2}，则(∁U A)∩(∁U B)=( )A. {3}B. {2,3}C. {−1,0，3}D. {−1,0，2，3}2. 若ab >0，则a <b 是1a >1b 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 中文“函数(function)”词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数“，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化.下列选项中，两个函数相同的一组是( )A. f(x)=√x 33与g(x)=|x|B. f(x)=2lgx 与g(x)=lgx 2C. f(x)=22x 与g(t)=4tD. f(x)=x −1与g(x)=x 2−1x+14. 若mn >0，1m +4n =3，则m +n 的最小值为( )A. 2B. 6C. 3D. 95. 若奇函数f(x)在区间[−2,−1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上( )A. 单调递增，且有最小值f(1)B. 单调递增，且有最大值f(1)C. 单调递减，且有最小值f(2)D. 单调递减，且有最大值f(2)6. 关于x 的不等式ax 2+bx +c <0的解集为(−3,1)，则不等式bx 2+ax +c <0的解集为( )A. (1,2)B. (−1,2)C. (−12,1)D. (−32,1)7. 已知sin(α+π4)=√55，α∈(π2,π)，则tanα=( )A. −3B. −32C. −1D. −128. 已知f(x)={|lnx|,0<x ≤e2−lnx,x >e，若方程f(x)−k =0至少有两个不相等的实根，则k的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,1]C. [0,1)D. [0,1]9. 函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，为了得y =sin(2x −π6)的图象，只需将f(x)的图象( )A. 向右平移π3个单位长度 B. 向右平移π4个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度 D. 向左平移π4个单位长度10. 希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学，特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是△ABC 的外接圆和以AB 为直径的圆的一部分，若∠ACB =2π3，AC =BC =1，则该月牙形的周长为( ) A. (3√3+4)π6 B. (3√3+2)π3 C. (3√3+2)π6 D. (3√3+4)π311. 给出下列命题：(1)第四象限角的集合可表示为{α|2kπ+32π<α<2kπ,k ∈Z}； (2)函数y =log 2(x 2+4x −5)的单调递增区间为(−2,+∞)； (3)函数y =2sin(3x +π6)的图象关于直线x =π9对称； (4)函数y =x −3+e x 的零点所在区间为(0,1)． 其中正确命题的个数有( )A. 1B. 2C. 3D. 412. 函数f(x)={|x −2|,x ≥02x+1,x <0，若x 1<x 2<x 3，且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 2f(x 1)x 2+x 3的取值范围是( )A. [0,14)B. (0,14]C. (0,12)D. (0,12]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. cos(−17π6)= ______ ．14. ∀x >1，x 2−2x +1>0的否定是______ ．15.已知f(√x+1)=1x，则f(x)=______ ，其定义域为______ ．16.如图，点A是半径为1的半圆O的直径延长线上的一点，OA=√3，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边△ABC，则四边形OACB的面积的最大值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)计算：log3√27+lg25+lg4−7log72+(−8)13−log92⋅log481；(2)已知tanθ=2，求2cos2θ2−sinθ−1√2sin(θ+π4)的值．18.设集合A={x|x2−2x−3<0}，集合B={x|2−a<x<2+a}．(1)若a=2，求A∪B和A∩B；(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19.已知函数f(x)是定义在(−1,1)上的偶函数，当x∈[0,1)时，f(x)=x−log2(1−x)．(1)求函数f(x)在(−1,1)上的解析式；(2)求不等式f(log a√x)−32<0的解集．20. 2005年8月15日，习近平总书记在浙江省安吉县余村首次提出了“绿水青山就是金山银山”的重要理念.某乡镇以“两山”理念引领高质量绿色发展，努力把绿水青山持续不断地转化为人民群众的金山银山.现决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量w(单位：千克)与肥料费用10x(单位：元)满足如下关系：w(x)={5x 2+10(0≤x ≤2)40−301+x(2<x ≤5).此外，还需要投入其它成本(如施肥的人工费等)20x 元.已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为f(x)(单位：元)． (1)求f(x)的函数关系式；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？21. 已知函数f(x)=x 2+bx +c 满足f(1+x)=f(1−x)且f(2)=4，函数g(x)=a x (a >0且a ≠1)与函数y =log 3x 图象关于直线y =x 对称． (1)求函数f(x)，g(x)解析式；(2)若方程f(g(x))−g(m)=0在x ∈[−1,1]上有解，求实数m 的取值范围．22.已知函数f(x)=sin(2ωx+π3)+sin(2ωx−π3)+2sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数g(x)=f(x)−a在区间[−π4,π4]上恰有两个零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合U={−1,0，1，2，3}，A={−1,0，1}，B={1,2}，所以A∪B={−1,0，1，2}，所以(∁U A)∩(∁U B)=∁U(A∪B)={3}．故选：A．根据集合的定义与运算性质，求出A∪B，再计算(∁U A)∩(∁U B)的值．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：当ab>0时，1a −1b= b−aab，当a<b时，b−a>0，则1a −1b= b−aab>0，即1a>1b成立，反之当1a >1b成立时，b−a>0，则a<b成立，即a<b是1a >1b的充要条件，故选：C．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键，是基础题．3.【答案】C【解析】解：对于A，f(x)=√x33=x，定义域为R，g(x)=|x|，定义域为R，两函数的对应关系不同，不是相同函数；对于B，f(x)=2lgx，定义域为(0,+∞)，g(x)=lgx2=2lg|x|，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，两函数的定义域不同，对应关系也不同，不是相同函数；对于C，f(x)=22x=4x，定义域为R，g(t)=4t，定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D，f(x)=x−1，定义域为R，g(x)=x2−1x+1=x−1，定义域为(−∞,−1)∪(−1,+∞)，两函数的定义域不同，不是相同函数．故选：C．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相同函数．本题考查了判断两个函数是否为相同函数的应用问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：∵mn>0，1m +4n=3，∴m>0，n>0，∴3(m+n)=(m+n)(1m +4n)=5+nm+4mn≥5+2√nm⋅4mn=9，当且仅当n=2m=2时，取等号，所以m+n的最小值为3．故选：C．利用3(m+n)=(m+n)(1m +4n)=5+nm+4mn≥5+2√nm⋅4mn=9，即可求解．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由奇函数的单调性知，函数f(x)在区间[1,2]上得到递减，且由最大值f(1)，最小值f(2)，故选：C．根据奇函数在对称区间上单调性相同的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的性质的应用，结合奇函数在对称区间上单调性相同是解决本题的关键，是基础题．6.【答案】D【解析】解：根据题意，不等式ax2+bx+c<0的解集为(−3,1)，必有a>0，且方程ax2+bx+c=0的两个根为−3和1，则有{−ba=−3+1=−2ca=(−3)×1=−3，解得ba=2，ca=−3，对于bx2+ax+c<0，变形可得ba x2+x+ca<0，即2x2+x−3<0，解得：−32<x <1，即不等式的解集为(−32,1)， 故选：D ．根据题意，先由二次不等式与二次方程的关系可得方程ax 2+bx +c =0的两个根为−3和1，则有{−ba =−3+1=−2c a =(−3)×1=−3，计算可得ba =2，c a =−3，则不等式bx 2+ax +c <0，变形可得2x 2+x −3<0，解可得x 的取值范围，即可得答案．本题考查一元二次不等式的解法，关键是分析a 、b 、c 的关系，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：因为α∈(π2,π)，且sin(α+π4)=√55，所以α+π4∈(3π4,π)，故cos(α+π4)=−√1−sin 2(α+π4)=−2√55， 所以cosα=cos[(α+π4−π4)]=√22[cos(α+π4)+sin(α+π4)] =√22×(−2√55+√55)=−√1010， 则sinα=√1−cos 2α=3√1010，所以tanα=sinαcosα=−3． 故选：A ．先利用同角三角函数关系求出cos(α+π4)，然后再利用两角和差公式求出cosα，再利用同角三角函数关系求出sinα，tanα即可．本题考查了三角函数的求值，涉及了同角三角函数关系以及两角和差公式的应用，解题的关键是利用角的范围确定三角函数的符号，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：函数f(x)={|lnx|,0<x ≤e2−lnx,x >e ，方程f(x)−k =0至少有两个不相等的实根，画出函数图象如图，当x≥e时，函数f(x)的最大值为：1，所以k的取值范围是：[0,1]．故选：D．画出函数的图象，求出函数在x≥e时的最大值，然后由图象可得k的取值范围．本题考查分段函数的应用，函数的零点的判定，考查数形结合的思想方法的应用，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：由图象知3T4=7π12−(−π6)=9π12，即T=π，即2πω=π，得ω=2，则f(x)=sin(2x+φ)，由五点对应法得2×(−π6)+φ=0，得φ=π3，则f(x)=sin(2x+π3)，由sin[2(x+m)+π3]=sin(2x+2m+π3)=sin(2x−π6)，得2x+2m+π3=2x−π6，得2m=−π2，得m=−π4，即只需将f(x)的图象向右平移π4个单位长度，即可，故选：B．根据图象求出函数的解析式，利用待定系数法进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和变换，根据图象求出函数的解析式，以及利用三角函数图象变换关系是解决本题的关键，是中档题．10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正余弦定理的应用，弧长公式的应用，属于中档题．由题意，由余弦定理求出AB，再利用正弦定理求出内侧圆弧所在圆的半径，利用弧长公式及圆的周长公式求解．【解答】解：由AC=BC=1，∠ACB=2π3，由余弦定理可得AB=√3，设△ABC的外接圆半径为r，则r=√32sin2π3=1，又月牙内弧所对的圆心角为2π3，∴内弧的弧长为2π3×1=2π3；月牙外弧的长为√32π，则该月牙形的周长为2π3+√32π=(3√3+4)π6．故选：A．11.【答案】B【解析】解：对于(1)，根据象限角的定义知，第四象限的角α满足2kπ+32π<α<2kπ+2π，k∈Z，而集合{α|2kπ+32π<α<2kπ,k∈Z}=⌀，则(1)错；对于(2)，x2+4x−5>0⇒x<−5，x>1⇒函数y=log2(x2+4x−5)的单调递增区间为(1,+∞)，则(2)错；对于(3)，当x=π9时，y=2sin(3⋅π9+π6)=2，达到最大值，所以函数y=2sin(3x+π6)的图象关于直线x=π9对称，则(3)对；对于(4)，f(0)=−2<0，f(1)=e−2>0，所以函数y=x−3+e x所(0,1)内有零点，又因为f(x)在R上严格递增，所以只有一个零点，则D对；故选：B．(1)求出象限角即可判断，(2)用复合函数法求出递增区间，(3)用特值法确定对称性，(4)用函数递增且端点处函数值异号判断函数零点存在性．本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的单调性和对称性及零点问题，属中档题．12.【答案】B【解析】解：作出函数f(x)={|x −2|,x ≥02x+1,x <0的图象如图，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 2+x 3=4，x 2∈(0,2)，由f(x 1)=f(x 2)，得2x 1+1=2−x 2，∴x 2f(x 1)x 2+x 3=x 2(2−x 2)4=14(−x 22+2x 2)， ∵x 2∈(0,2)，∴14(−x 22+2x 2)∈(0,14]. 故选：B ．由题意画出图形，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 2+x 3=4，x 2∈(0,2)，把问题转化为关于x 2的二次函数求解．本题考查分段函数的应用，考查数形结合与数学转化思想，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】−√32【解析】解：cos(−17π6)=cos 17π6=cos(3π−π6)=cos(2π+π−π6)=cos(π−π6)=−cos π6=−√32． 故答案为：−√32原式利用余弦函数为偶函数化简，将角度变形后利用诱导公式化简，计算即可得到结果． 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．14.【答案】∃x >1，x 2−2x +1≤0【解析】解：全称命题∀x >1，x 2−2x +1>0，由全称命题的否定是特称命题得∀x >1，x 2−2x +1>0的否定是：∃x >1，x 2−2x +1≤0．故答案为：∃x>1，x2−2x+1≤0．根据全称命题的否定是特称命题，任意改存在，否定结论即可得到所求．本题主要考查了命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．15.【答案】1(x−1)2(x>1)(1,+∞)【解析】解：令√x+1=t，则t≥1，x=(t−1)2，故f(t)=1(t−1)2，(t≥1)，∵t−1≠0，解得：t≠1，故t>1，故f(x)=1(x−1)2，(x>1)，故f(x)的定义域是(1,+∞)，故答案为：1(x−1)2(x>1)，(1,+∞)．令√x+1=t，则t≥1，x=(t−1)2，从而求出函数的解析式即可．本题考查了求函数的解析式，定义域问题，是一道基础题．16.【答案】2√3【解析】【分析】本题主要考查三角函数模型和余弦定理的应用，属于中档题．设∠AOB=θ，并根据余弦定理，表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．【解答】解：四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积，设∠AOB=θ，∴AB2=OA2+OB2−2OA⋅OB⋅sinθ=3+1−2×1×√3sinθ=4−2√3sinθ，则△ABC的面积=12⋅AB⋅AC⋅sin60°=√34⋅AB2=√3−32cosθ，△OAB的面积=12⋅OA⋅OB⋅sinθ=12×1×√3=√32sinθ，四边形OACB的面积=√3−32cosθ+√32sinθ=√3+√3(12sinθ−√32cosθ)=√3+√3sin(θ−60°)，故当θ−60°=90°，即θ=150°时，四边形OACB 的面积最大值为√3+√3=2√3， 故答案为：2√3．17.【答案】解：(1)原式=log 3332+lg(25×4)−2+(−23)13−log 322⋅log 2234 =32+2−2−2−1=−32；(2)原式=(2cos 2θ2−1)−sinθ√2(sinθcos π4+cosθsin π4)=cosθ−sinθsinθ+cosθ =1−tanθtanθ+1=−13．【解析】本题考查了指数与对数的运算、三角函数的公式应用问题，解题的关键是掌握对数和指数的运算性质以及三角恒等式，属于基础题．(1)直接利用有理指数幂和对数的运算性质进行变形化简，即可得到答案；(2)利用二倍角公式以及两角和差公式将要求解得式子化简，然后再利用同角三角函数关系求解即可．18.【答案】解：(1)A ={x|x 2−2x −3<0}={x|−1<x <3}，当a =2时，B ={x|0<x <4}，则A ∪B ={x|−1<x <4}，A ∩B ={x|0<x <3}，(2)若p 是q 成立的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，则2−a ≥2+a 或−1≤2−a <2+a ≤3，得a ≤0，或0<a ≤1，综上a ≤1即实数a 的取值范围是(−∞,1]．【解析】(1)根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合并集和交集定义进行计算即可．(2)根据必要不充分条件的定义转化为B 是A 的真子集，进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，结合不等式的性质求出集合的等价条件是解决本题的关键，是基础题．19.【答案】解：(1)设x ∈[−1,0)，则−x ∈[0,1)，所以f(−x)=−x −log 2(1+x)，又函数f(x)是定义在(−1,1)上的偶函数，所以f(−x)=f(x)，则f(x)=f(−x)=−x −log 2(1+x)，所以f(x)={x −log 2(1−x),x ∈(0,1)−x −log 2(1+x),x ∈(−1,0)． (2)不等式f(log a √x)−32<0可化为不等式f(log a √x)<f(12)，因为当x ∈[0,1)时，f(x)=x −log 2(1−x)为增函数，且函数f(x)是定义在(−1,1)上的偶函数，所以原不等式等价于|log a √x|<12，即−1<log a x <1，所以当a >1时，不等式的解集为(a −1,a)；当0<a <1时，不等式的解集为(a,a −1).【解析】(1)设x ∈[−1,0)，则−x ∈[0,1)，由当x ∈[0,1)时，f(x)=x −log 2(1−x)，结合函数的奇偶性即可求解函数f(x)解析式；(2)判断函数f(x)的单调性，结合函数的奇偶性将不等式转化为|log a √x|<12，即−1<log a x <1，再对a 分类讨论，即可求得不等式的解集．本题主要考查函数解析式的求法，利用函数的性质解不等式，属于中档题．20.【答案】解：(1)w(x)={5x 2+10(0≤x ≤2)40−301+x (2<x ≤5)， 由题意，f(x)=16w(x)−20x −10x ={80x 2−30x +160(0≤x ≤2)640−4801+x −30x(2<x ≤5)； (2)当0≤x ≤2时，f(x)max =f(2)=420；当2<x ≤5时，f(x)=670−30[16x+1+(x +1)]≤670−60√16x+1⋅(x +1)=430． 当且仅当16x+1=x +1，即x =3时上式取等号．故当投入的肥料费用为30元时，该水果树获得的利润最大，最大利润是430元．【解析】(1)直接由题意写出分段函数解析式即可；(2)对(1)中的函数分段求最值，取最大值中的最大者得结论．本题考查函数模型的选择及应用，训练了二次函数求最值与基本不等式求最值，是中档题．21.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=x2+bx+4满足f(1+x)=f(1−x)，=1，则b=−2，即函数f(x)的对称轴为x=1，则有−b2又由f(2)=4，则f(2)=4+4+c=4，则c=4，故f(x)=x2−2x+4，函数g(x)=a x(a>0且a≠1)与函数y=log3x图象关于直线y=x对称．则g(x)=a x(a>0且a≠1)与函数y=log3x互为反函数，则a=3，则g(x)=3x，(2)根据题意，函数y=f(g(x))−g(m)=f(3x)−3m=(3x)2−2⋅3x+4−3m，≤t≤3，令3x=t，x∈[−1,1]，则13,3]上有交点，则直线y=3m与函数y=t2−2t+4在区间[13,3]上，有3≤y≤7，y=t2−2t+4=(t−1)2+3，在区间[13必有3≤3m≤7，解可得：1≤m≤log37，故m的取值范围为[1,log37]．=1，则b=−2，又由f(2)=4，则【解析】(1)根据题意，由二次函数的性质可得−b2f(2)=4+4+c=4，可得c的值，即可得f(x)的解析式，由反函数的性质可得g(x)的解析式，即可得答案，(2)根据题意，求出y=f(g(x))−g(m)的解析式，令3x=t，x∈[−1,1]，利用换元法,3]上有交点，由二次函数的性质分分析可得直线y=3m与函数y=t2−2t+4在区间[13析可得y=t2−2t+4的值域，可得3≤3m≤7，求出m的取值范围，即可得答案．本题考查函数与方程的综合应用，涉及函数解析式的计算，属于中档题．22.【答案】解：(1)f(x)=12sin2ωx+√32cos2ωx+12sin2ωx−√32cos2ωx+1−cos2ωx=sin2ωx−cos2ωx+1=1+√2sin(2ωx−π4)，∵周期T=2π2ω=π，∴ω=1，则f(x)=1+√2sin(2x−π4)，由2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为[kπ−π8,kπ+3π8]，k∈Z．(2)作出函数f(x)在区间[−π4,π4]上的图象如图：若函数g(x)=f(x)−a在区间[−π4,π4]上恰有两个零点，则f(x)与y=a在区间[−π4,π4]上恰有两个交点，从图象中知f(0)=f(−π4)=0，f(−π8)=1−√2，由(1)及图象得当f(x)与y=a在区间[−π4,π4]上恰有两个交点，则1−√2<a≤0，即实数a的取值范围是(1−√2,0]．【解析】(1)利用两角和差的三角公式以及倍角公式，辅助角公式进行化简，结合周期公式求出函数的解析式，利用单调性进行求解即可．(2)利用函数与方程之间的关系，转化为f(x)与y=a的交点问题，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合函数与方程的关系进行转化，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．。
2019-2020学年安徽省合肥市六校联考高一上学期期末考试数学试卷及答案
2019-2020学年安徽省合肥市六校联考高一上学期期末考试数学试卷及答案一、单选题1．已知集合{}|22A x x =-≤<，{}2|230B x x x =--≤，则A B = （）A ．[1,1]-B ．[2,1]--C ．[1,2)D ．[1,2)-2．设函数()()()2111x x f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(4)]f f -的值为（）A ．16B ．15C ．5-D ．15-3．已知角α的终边上一点P 的坐标为2233sincos ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，则sin α的值为（）A ．12B ．1-2C ．2D ．3-24．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144AB AC+D ．1344AB AC+5．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．b c a<<6．已知1sin()33πα+=，则5cos()6πα+=（）A ．13B ．13-C ．3D ．3-7．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知非零向量a ，b 满足2a b = ，且()a b b -⊥ ，则a 与b的夹角为()A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为()A ．2或1-B ．1-C ．2D ．2-或110．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称C ．f(x+π)的一个零点为x=6πD ．f(x)在(2π,π)单调递减11．已知a ，b ＞0，且a≠1，b≠1.若log >1a b ，则A ．(1)(1)0a b --<B ．(1)()0a a b -->C ．D ．(1)()0b b a -->12．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．23log 9log 4⨯=.14．已知1tan 3α=-，tan()1αβ+=，则tan β=_______.15．函数sin y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．16．若函数()()()2211,02,0b x b x f x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩在R 上为增函数，则实数b 的取值范围为________.三、解答题17．已知集合{}|3A x a x a =≤≤+，{}=|-15R B x x ≤≤ð.（1）若=A B φ⋂，求实数a 的取值范围；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.18．已知2sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπαπαπα---+=+--.（1）化简()f α；（2）若α是第四象限角，且33cos()25πα-=，求()f α的值.19．已知函数1()1x x a f x a -=+（0a >且1a ≠）.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若01a <<，判断函数()f x 在R 上的单调性，并证明.20．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，12()log (1)f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围。
安徽省合肥市一六八中学2019-2020学年高一上学期期末数学(凌志班)试题(解析版)
高一数学试题（考试时间：120分钟 满分150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.2.选择题答案请用2B 铅笔准确地填涂在答题卷上相应位置，非选择题答案必须填写在答题卷相应位置，否则不得分.3.考试结束后，将答题卷交回.一、选择题（本题共12小题，共60分）1.已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2,3}A B?，则满足条件的集合B 有（ ）个 A. 2B. 3C. 4D. 1 【答案】C【解析】【分析】写出满足题意的集合B ，即得解.【详解】因为集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2,3}A B?， 所以集合B={3},{1,3},{2,3},{1,2,3}.故选：C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.函数()f x =） A. [2,2]-B. (2,2)-C. (,2)(2,)-∞-+∞UD. {2,2}-【答案】D【解析】【分析】 由题得224040x x ⎧-≥⎨-≥⎩，解之即得解. 【详解】由题得224040x x ⎧-≥⎨-≥⎩，解之即得{2,2}x ∈-.所以函数的定义域为{2,2}-.故选：D【点睛】本题主要考查函数的定义域的计算，考查二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.sin 570︒的值为（ ）A. 12-B. 2-C. 12D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式化简即得解. 【详解】1sin(360210)sin 210sin(18030sin5)sin37002︒=+==+=-=-o o o o o o . 故选：A【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 4.已知()2,1a =v ，()1,1b =-v ，则a v 在b v 方向上的投影为（ ，A. 2-B. 2C. -D. 【答案】A【解析】a v 在b v 方向上的投影为a b b⋅==r r r ，选A. 5.如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E 从A 开始沿A →B →C 的方向以2个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点C 开始沿CD 边以1个单位长/秒的速度运动到D 点停止，则AEF V 的面积y 与运动时间x （秒）之间的函数图像大致形状是（ ）AB. C.D.【答案】A【解析】【分析】 先求出12x ≤≤时，AEF V 的面积y 的解析式，再根据二次函数的图象分析判断得解.【详解】由题得12x ≤≤时，2(1)22,42,,2BE x x CE x CF x DF x =-=-=-==-，所以AEF V 的面积y 211142(22)(42)2(2)34222x x x x x x =-⋅⋅--⋅⋅--⋅⋅-=-+， 它的图象是抛物线的一部分，且含有对称轴.故选：A【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω的值可以为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 B.【解析】 由图可知πππππ2sin 2,sin 133636f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故2ω=，选B .7.若,αβ都是锐角，且cos 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β= （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先计算出()cos αβ+，再利用余弦的和与差公式，即可.【详解】因为,αβ都是锐角，且1cos 2α=<，所以,32ππα<<又()3sin 5αβ+=<，所以2παβπ<+<，所以()4cos 5αβ+==-sin α==cos β= ()()()cos cos cos sin sin αβααβααβα+-=+++ =，故选A .【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大．8.已知函数()2log (1)7a a x f x x ⎡⎤=+--⎣⎦在[]2,3上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B. 15,1,94⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U C. 5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 1,1[2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 【答案】A【解析】【分析】先考虑函数2()(1)7t x a x x =+--在[]2,3上是增函数，再利用复合函数的单调性得出21(1)2270a a >⎧⎨+⨯-->⎩求解即可.详解】设函数2()(1)7t x a x x =+--0a >Q122(1)x a ∴=<+ 2()(1)7t x a x x ∴=+--在[]2,3上是增函数 21(1)2270a a >⎧∴⎨+⨯-->⎩，解得54a > 故选：A【点睛】本题主要考查了由复合函数的单调性求参数范围，属于中档题. 9.已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)3f -=，则满足(23)3f x -<的x 的取值范围是（ ） A. 15,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U B. 15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D. 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】由题得函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)3f =，再根据函数的图象得到2232x -<-<，解不等式即得解.【详解】因为偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)3f -=，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)3f =，因为(23)3f x -<，所以2232x -<-<， 所以1522x <<. 故选：B【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.【10.已知1(2,1)P -，2(0,5)P 且点P 在线段12PP 的延长线上，1232PP PP =-u u u r u u u r ，则点P 的坐标为（ ） A. (2,7)- B. 618,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. (4,17)- D. (2,11)-【答案】C【解析】【分析】设(,)P x y ，根据题意得出12(2,1),(,5)PP x y PP x y =-+--=u u u r u u u r ，由1232PP PP =-u u u r u u u r 建立方程组求解即可. 【详解】设(,)P x y ，12(2,1),(,5)PP x y PP x y =-+--=u u u r u u u r 因为1232PP PP =-u u u r u u u r ，所以3(2,1)(,5)2x y x y -+=- 即32423171(5)2x x x y y y ⎧-=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=-⎪⎩故选：C【点睛】本题主要考查了由向量共线求参数，属于基础题.11.已知函数1221,0()21,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(1)()20f x m f x m -++=有五个不同实根，则m 的值是（ ）A. 0或12B. 12C. 0D. 不存在【答案】C【解析】【分析】令()t f x =，做出()f x 的图像，根据图像确定至多存在两个t 的值，使得y t =与()y f x =有五个交点时，t 的值或取值范围，进而转为求方程22(1)20t m t m -++=在t 的值或取值范围有解，利用一元二次方程根的分布，即可求解.【详解】做出()f x 图像如下图所示：令()t f x =，方程22()(1)()20f x m f x m -++=，为22(1)20t m t m -++=，当0t <时，方程()t f x =没有实数解，当0t =或1t >时，方程()t f x =有2个实数解，当01t <<，方程有4个实数解，当1t =时，方程有3个解，要使方程方程22()(1)()20f x m f x m -++=有五个实根，则方程22(1)20t m t m -++=有一根为1，另一根为0或大于1，当1t =时，有220,0m m m -=∴=或12m =， 当0m =时，20t t -=，0t =或1t =，满足题意， 当12m =时，231022t t -+=，1t =或12t =，不合题意， 所以0m =.故选:C.【点睛】本题考查复合方程的解，换元法是解题的关键，数形结合是解题的依赖，或直接用选项中的值代入验证，属于较难题.12.已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A. 15[,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2]【答案】A【解析】【详解】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈， ∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈， 0ω>Q ，1524ω∴≤≤．故A 正确． 考点：三角函数单调性．二、填空题（本题共4小题，共20分）13.若1e u v ，2e u u v 是夹角为60︒的两个单位向量，则122a e e =-+u v u u v r ，22b e =r u u v 的夹角为________.【答案】30︒【解析】【分析】由题得||a =r 2||2||2b e ==u r r ，再利用向量的夹角公式求解即得解.【详解】由题得12|||2|a e e =-+==u r u r r 2||2||2b e ==u r r所以cos ,a b <>===u r u r u r r r . 所以122a e e =-+u r u u r r ，22b e =u u r r 的夹角为30︒.故答案：30︒【点睛】本题主要考查平面向量的模和数量积的计算，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.已知 tan 2α=，32παπ<<，则cos sin αα-=________.【解析】【分析】由平方关系以及商数关系得出cos 55αα=-=-，即可得出cos sin αα-.【详解】由22sin tan 2cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩以及 32παπ<<得出cos αα==cos sin αα⎛∴-== ⎝⎭【点睛】本题主要考查了平方关系以及商数关系，属于基础题.15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12（弦g 矢+2矢）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为23π，弦长等于9m 的弧田.按照上述经验．．．．．．公式计算所得弧田的面积是________2m .【答案】2748+. 【解析】【分析】如下图所示，在Rt AOC ∆中，求出半径,OA OC ，即可求出结论.【详解】设弧田的圆心为O ，弦为AB ，C 为AB 中点，连OC 交弧为D ，则OC AB ⊥，所以矢长为CD ，在Rt AOC ∆中，92AC =， 3AOC π∠=，所以92sin 3OA π==1222OC OA CD ===，所以弧田的面积为221127()(9()222248AB CD CD ⋅+=⨯+=+.故答案为：2748+.【点睛】本题以数学文化为背景，考查直角三角形的边角关系，认真审题是解题的关键，属于基础题.16.设函数2()3f x x ax a =-++，()g x x a =-若不存在．．．0x R ∈，使得()00f x <与()00g x <同时成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】36a -≤≤.【解析】【分析】当,()0x a g x ≥≥恒成立，不存在0(,)x a ∈+∞使得()00f x <与()00g x <同时成立，当x a <时，()0<g x 恒成立，则需x a <时，()0f x ≥恒成立，只需x a <时，min ()0f x ≥，对()f x 的对称轴分类讨论，即可求解.【详解】若x a <时，()0<g x 恒成立，不存在0x R ∈使得()00f x <与()00g x <同时成立，则x a <时，()0f x ≥恒成立，即x a <时，min ()0f x ≥，2()3f x x ax a =-++对称轴为2a x =， 当2a a ≥时，即min 0,()()30a f x f a a ≤==+≥， 解得30a -≤≤， 当2a a <，即min 0,()a f x >为抛物线的顶点的纵坐标，min ()0f x ≥，只需24(3)0,26a a a ∆=-+≤-≤≤，06a ∴<≤.若,()0x a g x ≥≥恒成立，不存0(,)x a ∈+∞使得()00f x <与()00g x <同时成立， 综上，a 的取值范围是36a -≤≤. 故答案为:36a -≤≤.【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像和性质，不等式恒成立和能成立问题的解法，考查分类讨论和转化化归的思想方法，属于较难题.三、解答题（本题共6小题，计70分）17.已知{}2|8200P x x x =--≤，非空集合{|11}S x m x m =-≤≤+，若S 是P 的子集，求m 的取值范围.【答案】[0,3] 【解析】 【分析】由28200x x --…，解得210x -剟．根据非空集合{|11}S x m x m =-+剟，S 是P 的子集，可得2111011m m m m --⎧⎪+⎨⎪-≤+⎩……，解得m 范围．【详解】由28200x x --…，解得210x -剟．[2P ∴=-，10]． 非空集合{|11}S x m x m =-+剟．又S 是P 的子集， ∴2111011mm m m --⎧⎪+⎨⎪-≤+⎩……，解得03m 剟． m ∴的取值范围是[0，3]．【点睛】本题考查了不等式的解法和充分条件的应用，考查了推理能力与计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．18.已知),cos a x m x =+r，()cos ,cos b x m x =-+r ，且()f x a b =⋅rr（1）求函数()f x 的解析式； （2）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是4-，求此时函数()f x 的最大值，并求出函数()f x 取得最大值时自变量x 的值【答案】（1）()21sin(2)62f x x m π=++-（2）5,26x π-= 【解析】试题分析：（1）由向量的数量积运算代入点的坐标得到三角函数式，运用三角函数基本公式化简为()()sin f x A x ωϕ=+的形式；（2）由定义域,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得到x ωϕ+的范围，结合函数单调性求得函数最值及对应的自变量值 试题解析：（1）即22()cos cos f x x x x m =+-21cos 22x m +=+-21sin(2)62x m π=++-（2）由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，211422m ∴-+-=-，2m ∴=±max 15()1422f x ∴=+-=-，此时，sin(2)=1,2=663626x x x x ππππππ⎡⎤+∈-∴+∴=⎢⎥⎣⎦，且， 考点：1．向量的数量积运算；2．三角函数化简及三角函数性质19.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =-+.（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩；（2）(]1,3【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性可得()()f x f x -=-且()00f =；当0x <时，0x ->，根据()()f x f x =--可求得()f x ，又()0f 满足()22f x x x =+，可得分段函数解析式；（2）由解析式可得函数的图象，根据图象可得不等式，解不等式求得取值范围.【详解】（1）()f x Q 是定义在R 上的奇函数 ()()f x f x ∴-=-且()00f = 当0x <时，0x ->()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤∴=--=----=+⎣⎦又()0f 满足()22f x x x =+ ()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>∴=⎨+≤⎩（2）由（1）可得()f x 图象如下图所示：()f x Q 在区间[1,2]a --上单调递增 121a ∴-<-≤，解得：(]1,3a ∈a ∴的取值范围为：(]1,3【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限.20.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，在一个周期内的图象如下图所示.（1）求函数的解析式；（2）设0πx <<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围和这两个根的和.【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，（2）21m -<<或12m <<；当(2,1)∈-m 时，两根之和43π；当(1,2)m ∈）时，两根之和3π 【解析】 【分析】（1）观察图象可得：2A =，根据(0)1f =求出ϕ，再根据11()012f π=可得=2ω．可得解;（2）如图所示，()2sin(2)16f πππ=+=．作出直线y m =．方程()f x m =有两个不同的实数根转化为：函数()2sin(2)6f x x π=+．与函数y m =图象交点的个数．利用图象的对称性质即可得出．【详解】（1）观察图象可得：2A =， 因为f(0)=1,所以12sin 1,sin ,||,226ππϕϕϕϕ=∴=<∴=Q . 因为1111()0,2sin()012126f ππωπ=∴⋅+=， 由图象结合五点法可知，11(0)12π，对应于函数y=sinx 的点(2,0)π， 所以112,2126πωππω⋅+=∴=()2sin(2)6πf x x ∴=+．（2）如图所示，()2sin(2)16f πππ=+=．作出直线y m =．方程()f x m =有两个不同的实数根转化为：函数()2sin(2)6f x x π=+． 与函数y m =图象交点的个数．可知：当21m -<<时，此时两个函数图象有两个交点，关于直线23x π=对称，两根和为43π． 当12m <<时，此时两个函数图象有两个交点，关于直线6x π=对称，两根和为3π． .【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、方程思想、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.某市有A ，B 两家乒乓球俱乐部，两家的设备和服务都很好，但收费标准不同，A 俱乐部每张球台每小时5元，B 俱乐部按月收费，一个月中30h 以内（含30h ）每张球台90元，超过30h 的部分每张球台每小时加收2元.某学校准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15h ，也不超过40h ．（1）设在A 俱乐部租一-张球台开展活动h x 的收费为()f x 元154()0x ≤≤，在B 俱乐部租一张球台开展活动h x 的收费为()g x 元154()0x ≤≤，试求()f x 和()g x 的解析式； （2）问选择哪家俱乐部比较合算?为什么? 【答案】（1）()()51540f x x x =≤≤ ()90,1530,230,3040,x g x x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩； （2）当1518x ≤<时，选择A俱乐部比较合算；当18x =时，两家都一样；当1840x <≤时，选择B 俱乐部比较合算. 【解析】 【分析】（1）根据已给函数模型求出函数解析式．（2）比较()f x 和()g x 的大小可得（可先解方程()()f x g x =，然后确定不同范围内两个函数值的大小．【详解】（1）由题意可得()() 51540f x x x =≤≤ 当1530x ≤≤时，()90g x =， 当3040x <≤时，()()90302230g x x x +-⨯+=＝， ∴()90,1530,230,3040,x g x x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩（2）当1518x ≤<时，()7590f x ≤<，()90g x =，∴()() f x g x <；当18x =时，()()90f x g x ==；当1830x <≤时，()90g x =，而()551890f x x =>⨯=，∴()()f xg x >； 当3040x <≤时，()23024030110g x x +≤⨯+==，而()5530150f x x =>⨯＝，∴()() f x g x >. ∴当1518x ≤<时，选择A 俱乐部比较合算； 当18x =时，两家都一样；当1840x <≤时，选择B 俱乐部比较合算。
(9份试卷汇总)2019-2020学年安徽省合肥市数学高一(上)期末质量跟踪监视模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A ．624-B ．624C ．324D ．3242．已知向量(1,1)a =r ，(2,)b x =r ，若a b +r r 与42b a -r r平行，则实数x 的值为（）A ．2-B ．0C ．1D ．23．已知点(1,1)A 和点(4,4)B ， P 是直线10x y -+=上的一点，则||||PA PB +的最小值是（ ） A.36345 D.54．在ABC △中，22223ABC a b ab c S ∆+-==，则ABC △一定是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形5．已知10a -<< ，则三个数3a 、13a 、3a 由小到大的顺序是（ ） A.1333a a a << B.1333a a a << C.1333a a a << D.1333a a a <<6．若110a b<<，则下列不等式中不正确的是（） A ．a b ab +<B ．2b aa b+> C ．2ab b > D ．22a b <7．在数列{}n a 中，若12a =，()*121nn n a a n a +=∈+N ，则5a =（ ） A ．417B ．317 C ．217D ．5178．已知(,0)2απ∈- ，tan cos2-1αα=，则α=( ) A.-12πB.-6πC.-4πD.-3π9．已知函数()()cos 4f x g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 是周期为π的偶函数，则()g x 可以是（ ） A ．cos xB ．sin xC ．cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭10．为了得到sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，可以将函数sin2y x =的图像向右平移．．．．ϕ（0ϕ>）个单位长度，则ϕ的最小值为( )A ．6π B ．12π C ．116πD ．1112π11．已知函数f （x ）=-cos （4x-6π），则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．()f x 的单调递增区间为()5,224224k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知幂函数()f x x α=的部分对应值如下表，则不等式'(1)0,{'(3)0.g g <∴>的解集是__________.x 112 f （x ） 12214．过点A(4，1)的圆C 与直线相切于点B(2，1)，则圆C 的方程为_________．15．已知数列{}n a 满足：217n a n =-，其前n 项的和为n S ，则13S =_____，当n S 取得最小值时，n 的值为______.16．光线从点(1,4)射向y 轴，经过y 轴反射后过点(3,0)，则反射光线所在的直线方程是________. 三、解答题17．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； (2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；(3)甲同学发现，其物理考试成绩y (分)与班级平均分x (分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.参考数据: 72134840ii x ==∑，72150767ii y ==∑，7141964i i i x y ==∑，71()()314iii x x y y =--=∑.参考公式：y bx a =+$$$，1122211()()()n niii ii i nni i i i x x y y x y n x yb x x x n x====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑$，$a y b x =-⋅$(计算$a b$，时精确到0.01).18．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益、养鸡的收益与投入（单位：万元）满足.设甲合作社的投入为（单位：万元）.两个合作社的总收益为（单位：万元）.（1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益； （2）试问如何安排甲、乙两个合作的投入，才能使总收益最大？19．某市为了加快经济发展，2019年计划投入专项奖金加强旅游景点基础设施改造.据调查，改造后预计该市在一个月内（以30天计），旅游人数()f x （万人）与日期x （日）的函数关系近似满足：1()320f x x =-，人均消费()g x （元）与日期x （日）的函数关系近似满足：()60|20|g x x =--. （1）求该市旅游日收入()p x （万元）与日期()130,x x x N +≤≤∈的函数关系式； （2）求该市旅游日收入()p x 的最大值.20．已知{}n a 是公差不为零的等差数列,11391,,,a a a a =成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项; （2）求数列11n n n b a a +=的前n 项和. 21．等差数列{}n a 的各项均为正数，，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，，且．（1）求n a 与n b ；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 22．已知函数()2(1)f x a x x =++．（1）当0a =时，求证：()f x 函数是偶函数；（2）若对任意的[)()1,00,x ∈-⋃+∞，都有()1f x ax a x≤++，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 有且仅有4个零点，求实数a 的取值范围． 【参考答案】*** 一、选择题13．[]4,4- 14．(x －3)2＋y 2＝2 15．39- 816．30x y +-=（或写成3y x =-+） 三、解答题 17．（1）14；（2）略；（3）略 18．（1）88.5万元 （2）答案略.19．（1）()()()221120,120,2017240,2030,20x x x x N p x x x x x N ++⎧-++≤∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩＜（2）125万元20．(1)n a n =(2) 1nn + 21．（1）；（2）22．(1)略；（2）a 的取值范围为1[2,]4--；（3）a 的取值范围为1(,0)4-.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知两条直线,a b 与两个平面,αβ，给出下列命题:①若,,a b αβαβ⊂⊂∥，则a b ∥；②若,,,a b a b αββα⊂⊂P P ，则αβ∥； ③若,,a b αβαβ⊥⊥P ，则a b ∥；④若,,a b αβαβ⊥P P ，则a b ∥； 其中正确的命题个数为 A ．1B ．2C ．3D ．42．下列说法正确的为①如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行； ②如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线平行； ③如果两条直线同时平行于一个平面，那么这两条直线平行； ④如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．( ) A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④3．在三棱锥A BCD -中，已知所有棱长均为2，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ） A ．36B ．16C ．13D ．3 4．已知当x θ=时函数()sin 2cos f x x x =-取得最小值，则sin 22cos 2sin 22cos 2θθθθ+=-（ ）A ．-5B ．5C ．15D ．15-5．已知直线l ：()210x m y ++-=，圆C ：226x y +=，则直线l 与圆C 的位置关系一定是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定6．在平行四边形ABCD 中，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，AC 与BD 的相交于点O ，点M 在AB 上，且30MB MA +=u u u v u u u v v，则向量OM u u u u r 等于( )A ．1142a b --v vB ．1142a b +r rC ．3142a b --v v D ．3142a b +r r7．在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆1C ：2212x y +=和2C ：2214x y +=，又A 点坐标为(3,1)-，,M N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A.0个B.2个C.4个D.无数个8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A.23π B.43π C.83π-D.283π-9．函数f （x ）=ln （223x x --）的递增区间为（ ）A.(,1)-∞-B.(1,)+∞C.(3,)+∞D.(1,3)10．已知6sin cos 5αα-=，则sin 2α=（ ） A.1425-B.1125-C.1125D.142511．若全集{}0,1,2,3U =且{}2U C A =，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个12．下列三角函数值大小比较正确的是 A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()f x x x =+，则不等式()20f x ->的解集是_____14．已知3log 2m =，则32log 18=____________（用m 表示） 15．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 3A =，23b c =，且ABC ∆的面积是2，a =___________.16．已知二面角l αβ--为60°，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P 、Q 两点之间距离的最小值为 ． 三、解答题17．在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =. （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18．已知函数2()log f x x =，(0,)x ∈+∞. （1）解不等式：2()3()4f x f x +≥；（2）若函数2()()3()F x f x f x m =+-在区间[1,2]上存在零点，求实数m 的取值范围；（3）若函数()f x 的反函数为()G x ，且()()()G x g x h x =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，试比较(1)g -与1()h -的大小.19．如图，已知圆22:4O x y +=与y 轴交于,A B 两点（A 在B 的上方），直线:4l y kx =-．（1）当2k =时，求直线l 被圆O 截得的弦长；（2）若0k =，点C 为直线l 上一动点（不在y 轴上），直线,CA CB 的斜率分别为12,k k ，直线,CA CB与圆的另一交点分别,P Q ．①问是否存在实数m ，使得12k mk =成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由； ②证明：直线PQ 经过定点，并求出定点坐标． 20．如下图，长方体中，，，点是棱上一点.（1）当点在上移动时，三棱锥的体积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求这个三棱锥的体积. （2）当点在上移动时，是否始终有，证明你的结论.21．一次函数()f x 是R 上的增函数，()()()x x g f x m =+,已知[()]165f f x x =+. （1）求()f x ；（2）若()g x 在(1,)+∞单调递增，求实数m 的取值范围； （3）当[1,3]x ∈-时，()g x 有最大值13，求实数m 的值. 22．已知函数()()1210,121x f x a a a -=->≠+且是定义在R 上的奇函数.（Ⅰ）求实数a 的值.（Ⅱ）当[)1,x ∈+∞时，()22xmf x ≤+恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D A D C A D B C B CC13．{|1x x <-或1}x > 14．25m m+ 15．32216．23三、解答题 17．(Ⅰ) 14-； (Ⅱ) 357+. 18．（1）{|2x x ≥或10}16x <≤；（2）[]0,4；（3）()()11g h -<-。
安徽省合肥一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
安徽省合肥一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,1，2，4，6}，B={x|x2+2x−8≤0}，则A∩B=()A. {−1,1}B. {−1,1，2}C. {−1,1，2，4}D. {−1,1，2，4，6}2.函数f(x)=√2x2−3x−2log2(x−1)的定义域是()A. (−12,2) B. (−∞,−12]∪[2,+∞)C. (2,+∞)D. [1,+∞)3.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2a=23，则=A. 15B. √55C. 2√55D. 14.《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的面积是()A. 415B. 158C. 100D. 1205.若θ∈[π4,π2]，sin2θ=3√78，则cosθ=()A. 34B. √78C. √74D. −346.函数f(x)=x1−2x −x2()A. 是偶函数，在(−∞,0)上是增函数B. 是偶函数，在(−∞,0)上是减函数C. 是奇函数，在(−∞,0)上是增函数D. 是奇函数，在(−∞,0)上是减函数7.要得到函数y=sin(2x−π3)的图象，应该把函数y=sin2x的图象()A. 向左平移π3B. 向右平移π3C. 向左平移π6D. 向右平移π68. 函数f(x)=x(e −x −e x )4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.9. 函数y =b +asinx(a <0)的最大值为−1，最小值为−5，则y =tan(3a +b)x 的最小正周期为( )A. 2π9B. π9C. π3D. 2π310. 已知函数f(x)={3x −x 2,x <0ln(x +1),x ≥0，若|f(x)|≥ax ，则 a 取值范围是( )A. [−3,0]B. (−∞,1]C. (−∞,0]D. {−3,1}11. 已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)=f(2−x)，若函数y =|x 2−2x −3|与y =f(x)图象的交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…(x m ,y m )，则∑x i m i=1=( )A. 0B. mC. 2mD. 4m12. 关于函数f(x)=√3cos(2x +π6)，x ∈R ，下列结论中正确的个数是( )①若f(x 1)=f(x 2)，则x 1−x 2必是π的整数倍； ②函数f(x)的图象关于直线x =5π12对称； ③函数f(x)在区间[0,π2]上的值域为[−32,32]； ④函数f(x)的解析式可写为f(x)=√3sin(2x +2π3)．A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=ln(√1+x 2+x)+x 3+3，则f(m)=1，则f(−m)=__________．14. 已知sin(π−α)=35，α∈(π2,π)，则tanα=______． 15. 若cosα=13，则sin (α+π3)−12sinα=____ . 16. 若函数f(x)=x 3−(12)x−2，零点x 0∈(n,n +1)(n ∈Z)，则n =__________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知α∈(−π2,0)，sinα=−√55．(Ⅰ)求cos(π6−α)的值； (Ⅱ)求sin(π4+2α)的值． 18. 设函数．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间．19. 设函数y =f(x)是定义在R 上的函数，对任意实数x ，有f(1−x)=x 2−3x +3．(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−(1+2m)x+1(m∈R)在上的最小值为−2，求m的值．20.启东市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界，沿线段AB，BC，CD，DA建一个观景长廊，其中A，B，C，D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭，且它们关于直线AC对称，在湖面建一条观景桥APC.观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设∠ABC=α．(1)若观景长廊AD=4百米，CD=AB，求由观景长廊所围成的四边形ABCD内的湖面面积；(2)当时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；(3)若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内(不包括边界)，试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时α的值；若没有，请说明理由．21.定义：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．(1)已知二次函数f(x)=ax2+2x−4a(a∈R)，试判断f(x)是否为“局部奇函数”？并说明理由；(2)若f(x)=2x+m是定义在区间[−1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围;(3)若f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围。
安徽省合肥市一六八中学2020年高一数学理上学期期末试卷含解析
安徽省合肥市一六八中学2020年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=ln|ax|（a≠0），g（x）=x﹣3+sinx，则（）A．f（x）+g（x）是偶函数B．f（x）?g（x）是偶函数C．f（x）+g（x）是奇函数D．f（x）?g（x）是奇函数参考答案：D【考点】函数奇偶性的判断．【分析】运用定义分别判断f（x），g（x）的奇偶性，再设F（x）=f（x）g（x），计算F﹣x）与F （x）的关系，即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=ln|ax|（a≠0），由ln|﹣ax|=ln|ax|，可得f（x）为偶函数；g（x）=x﹣3+sinx，由（﹣x）﹣3+sin（﹣x）=﹣（x﹣3+sinx），可得g（x）为奇函数．设F（x）=f（x）g（x），由F（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=f（x）（﹣g（x））=﹣F（x），可得F（x）为奇函数．故选：D．2. 甲、乙两人某次飞镖游戏中的成绩如下表所示.甲、乙两人成绩的平均数分别记作，，标准差分别记作，.则（）A. ，B. ，C. ，D. ，参考答案：B【分析】分别求出甲、乙的平均数和方差即可判断.【详解】由题意，，，所以；，，所以故选：B【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，考查学生计算能力，属于基础题.3. ，对任意实数t都有，则实数m的值等于（）A．—1 B．±5 C．—5或—1 D．5或1参考答案：C略4. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 20163 5 7 9 … 4027 4029 40318 12 16 … 8056 806020 28 (16116)该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A． B． C． D．参考答案：B试题分析：观察数列，可以发现规律：每一行都是一个等差数列，且第一行的公差为1第二行的公差为2，第三行的公差为4，第四行的公差为8，…，第2015行的公差为，第2016行（最后一行）仅有一个数为，故选B．KS5U考点：1、归纳与推理；2、等差数列的通项公式．5. 正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A．B． C. D．参考答案：A6. 在矩形ABCD中，，设，则=（）A．B．C．D．参考答案：C略7. 已知映射f:A B，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是（）A．4 B．5 C．6 D ．7参考答案：A8. 设函数f（x）=|sin（x+）|（x∈R），则f（x）（）A．周期函数，最小正周期为πB．周期函数，最小正周期为C．周期函数，最小正周期为2πD．非周期函数参考答案：A【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据正弦函数的图象与性质，结合绝对值的意义，即可得出结论．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，结合绝对值的意义知，函数f（x）=|sin（x+）|（x∈R）是周期函数，且最小正周期为π．故选：A．9. 已知函数f（x）=，方程f（x）=k恰有两个解，则实数k的取值范围是（）A．（，1）B．[，1）C．[，1] D．（0，1）参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用数学结合画出分段函数f（x）的图形，方程f（x）=k恰有两个解，即f（x）图形与y=k有两个交点．【解答】解：利用数学结合画出分段函数f（x）的图形，如右图所示．当x=2时， =log2x=1；方程f（x）=k恰有两个解，即f（x）图形与y=k有两个交点．∴如图：＜k＜1故选：A10. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于（ ）A. 4B. 5C. 6D. 12参考答案：A 【分析】 由题可知函数的图像关于对称，求出时函数的解析式，然后由韦达定理求解。
2019-2020学年安徽省合肥一中,八中、六中高一上学期期末联考数学试题(含答案解析)
2019-2020学年安徽省合肥一中，八中、六中高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．函数()f x =的定义域为（ ）A ．1(0,)2B ．(2,)+∞C ．1(0,)(2,)2+∞UD ．1(0,][2,)2+∞U 【答案】C【解析】由题意得220(log )10x x >⎧⎨->⎩，0,1202x x x 或>⎧⎪⎨><<⎪⎩所以x ∈()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭，选C.3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，则cos2θ=（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】A【解析】根据题意可求出cos θ，利用二倍角公式求出cos2θ 【详解】解：当θ的终边在第一象限时，取直线3y x =上的点(1,3)，则r =，故cos10θ==，同理：当θ的终边在第三象限时，cos 10θ=-，所以224cos 22cos 12(15θθ=-=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的定义、二倍角公式，解题的关键是画出图形，准确使用定义和倍角公式.4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]“今有宛田，下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长6步，其所在圆的直径是4步，问这块田的面积是（ ）平方步？ A ．12 B ．9C ．6D ．3【答案】C【解析】根据扇形面积公式，求出扇形面积. 【详解】解：因为弧长为6步，所在圆的直径为4步， 所以12662S =⨯⨯=（平方步）. 故选：C. 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解题的关键是熟记扇形面积公式.5．若0,4πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 28θ=，则sin θ=（ ）A ．35B ．4C ．45D ．34【答案】B【解析】根据sin 2θ，先求出cos2θ，利用二倍角公式可以解出结果. 【详解】 解：[0,]4πθ∈Q2[0,]2πθ∴∈故1cos 28θ===又2cos 212sin θθ=- 即2112sin 8θ=- 由[0,]4πθ∈，解得：sin θ=. 故选：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系、倍角公式等知识，解题的关键是灵活运用三角变换中的公式.6．已知函数()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ） A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】C【解析】利用函数的单调性、奇偶性定义等方法判断函数的性质. 【详解】解：函数()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ， 因为()1144()()44xx x x f x f x --⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭， 所以()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数；因为14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，4xy =-在R 上的减函数，所以()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上的减函数， 综上：函数()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数，在R 上是减函数.故选：C. 【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的研究，解决问题的关键是熟练运用函数性质的定义.7．要得到函数4sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需要将函数4sin3y x =的图像（ ）A ．向左平移9π个单位 B ．向右平移9π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位 【答案】B【解析】先将函数4sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭转化为4sin(3())9y x π=-，然后根据平移的规则即可得出答案. 【详解】解：函数4sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭等价于4sin(3())9y x π=-，故只需要将4sin3y x =向右平移9π即可得到. 故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数图象平移的规则，解题的关键是理清函数图象左右平移时，是自变量的平移.8．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>Q ， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．设函数()2cos cos f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，但与c 无关B ．与b 有关，且与c 有关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】A【解析】根据三角恒等变换化简()1cos 2cos 2xb xc f x +=++，对b ，c 分类讨论即可得解. 【详解】由于()21cos 2cos cos cos 2xx b x c b x c f x +=++=++. 当0b =时，()f x 的最小正周期为π； 当0b ≠时，()f x 的最小正周期2π；c 的变化会引起()f x 的图象的上下平移，不会影响其最小正周期.故选：A.【点睛】此题考查函数周期的辨析，关键在于弄清参数对函数的影响.10．已知函数 ()()2x 3x,x 0f x ln x 1,x 0⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若 ()f x ax ≥∣∣，则 a 取值范围是()n nA ．(],0∞-B ．(],1∞- C ．[]3,0-D ．[]3,1-【答案】C【解析】当0x <时，230x x -+<，()23f x x x ax =-≥，所以3a x ≥-恒成立，所以3a ≥-；当0x ≥时，()ln(1)f x x ax =+≥恒成立，则在同一坐标系中由函数ln(1)(0)y x x =+≥与(0)y ax x =≥的图象可知0a ≤， 综上，30a -≤≤，故选C ．点睛：本题主要考查了分段函数的解析式和不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及到分段函数的解析式，二次函数的性质和对数函数的单调性的应用，解答中牢记恒成立问题的求解和函数的基本性质是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题. 11．已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1miii x y =+=∑（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】C【解析】函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，得到()y f x =是关于点(0,2)对称，函数21x y x+=经过化简也可以得到关于(0,2)对称，由此可知两个函数的交点就关于(0,2)对称，根据点的对称性，就可以得到()1miii x y =+∑的值.【详解】解：因为函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，即函数()f x （x ∈R ）满足()()22f x f x -+=，所以()y f x =是关于点(0,2)对称，函数21x y x +=等价于12y x =+， 所以函数21x y x +=也关于点(0,2)对称，所以函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 也关于点(0,2)对称，故交点()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 成对出现，且每一对点都关于(0,2)对称， 故()12121()()0422mi i m m i mx y x x x y y y m =+=+++++++=+⨯=∑LL . 故选：C. 【点睛】本题考查了抽象函数对称性的综合应用，在解决抽象函数的问题时，和具体函数研究的方法相同，也是从奇偶性（对称性）、单调性、周期性等性质着手研究，然后可根据性质作出大致的草图进行研究.12．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 的最大值为2 ③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．②③④C ．①③④D ．①②③【答案】A【解析】函数的奇偶性可根据定义判断，最值、零点、单调性等可将函数去绝对值进行分析. 【详解】解：()sin |||sin |f x x x =+的定义域为R ，因为()sin sin()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 故()f x 为偶函数，结论①正确，当*[2,(21)],x k k k N ππ∈+∈，()sin sin 2sin f x x x x =+=当*((21),(22)],x k k k N ππ∈++∈，()sin sin 0f x x x =-=故当0x ≥时，()**2sin ,[2,(21)],0,((21),(22)],x x k k k N f x x k k k N ππππ⎧∈+∈=⎨∈++∈⎩根据函数为偶函数，作出大致图象，如图所示故函数的最大值为2，结论②正确，根据图象可得，()f x 在[],ππ-有3个零点，故结论③错误，由图象可以看出，()f x 在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，结论④正确.故选：A. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、三角函数的图象与性质，考查学生的推理论证能力和运算求解能力等.二、填空题13．已知函数()()2ln 1422f x x x =++，则()1lg 5lg 5f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】4【解析】先研究函数())2ln 1422f x x x =++的性质，然后利用对称性求解.【详解】 解：令)2()ln 142g x x x =+函数)2()ln142g x x x =+的定义域为R ，()))1222()ln142ln142ln142()g x x x x xx x g x --=+=+=-+=-，所以函数()2()ln142g x x x =+为奇函数，故()()()()()1lg 5lg lg 5lg 5lg 52lg 525f f f f g g ⎛⎫+=+-=++-+ ⎪⎝⎭()()lg5lg544g g =-+=.故答案为：4. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，研究函数问题常见的方法是从函数的性质、图象等角度研究.14．已知()()()()sin 5cos 8tan 3sin cos 22f αππααπαππαα----=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()f α=______.【答案】12-【解析】先利用诱导公式对函数()()()()sin 5cos 8tan 3sin cos 22f αππααπαππαα----=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭进行化简，再求解出31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求解出()f α的值. 【详解】解：()()()()sin 5cos 8tan 3sin cos 22f αππααπαππαα----=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()[sin ]cos [tan ][cos ]sin ααααα--=-tan α=-，由31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简得1sin 5α=-， 因为α是第三象限角，所以cos 5α===-，故tan 12α==，所以()12f α=-.故答案为：. 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、同角三角函数的关系等知识点，熟练运用公式是解决本题的关键.15．若04πα<<，04πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 433πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 3βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】9【解析】由于()()3443βππβαα+=+--，利用两角和差公式可求出cos 3βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】 解：因为04πα<<， 所以442πππα<+<，所以sin 43πα⎛⎫+==⎪⎝⎭，同理可得：sin 43πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭故cos cos[()()]3443βππβαα⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭ cos()cos()sin()sin()443443ππβππβαα=+-++-1··33339=+=.故答案为：9. 【点睛】本题考查了两角和差公式的知识，解决问题的关键是整体思想的意识，还要关注角的范围的确定.16．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()3f x x =.又函数()()cosg x x x π=，则函数()()()h x g x f x =-在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为______. 【答案】6【解析】根据题意，解出()f x 在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数表达式，将零点问题转化为方程问题，结合函数图象进行求解. 【详解】 解：当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，10,2x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 故()33()()f x f x x x =-=-=-； 当31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,12x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 故()3(2)(2)f x f x x =-=-.函数()()()h x g x f x =-的零点即为方程()()g x f x =的根， 故接下来研究方程()()g x f x =解的情况. 当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 方程()()g x f x =即为()3cos x x x π=-， 化简得()3cos x x x π-=-，显然0x =是一个根，当0x ≠时，方程()3cos x x x π-=-等价于()2cos x x π=，在1[,0)2x ∈-内，作出函数()cos y x π=与2y x =的图象，如图所示，可得有一个交点，故当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()()h x g x f x =-有两个零点； 当(0,1]x ∈时，方程()()g x f x =即为()3cos x x x π=，化简得()2cos x x π=，在(0,1]x ∈内，作出函数()cos y x π=与2y x =的图象，如图所示，可得有3个交点，故当(0,1]x ∈时，函数()()()h x g x f x =-有3个零点； 当3(1,]2x ∈时，方程()()g x f x =即为()3cos (2)x x x π=-，化简得()3(2)cos x x xπ-=，在3(1,]2x ∈内，作出函数()cos y x π=与3(2)x y x-=的图象，如图所示，可得有一个交点，故当3(1,]2x ∈时，函数()()()h x g x f x =-有1个零点； 综上：函数()()()h x g x f x =-有6个零点. 故答案为：6. 【点睛】本题考查了函数的性质与图像、函数零点等知识，考查了转化与化归、数形结合等思想方法，属于函数综合应用问题，难度大.三、解答题 17．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin α.（1）求sin 6απ⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）求5cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】（11525-；（2）34310+ 【解析】（1）利用两角和差公式求解； （2）利用二倍角公式、两角和差公式求解. 【详解】解：（1）因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin α=，所以225cos 1sin αα=--， 所以sin sin cos cos sin 666πππααα⎛⎫+=+⎪⎝⎭125351525·(?252510=-+=，即sin 610πα⎛⎫+=⎪⎝⎭； （2）223cos 212sin 155αα=-=-=，4sin 22sin cos 2?·555ααα-===-， 555cos 2cos cos 2sin sin 2333πππααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭134(()255=⨯+⨯-=即53cos 2310πα+⎛⎫-=⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了两角和差公式、二倍角公式、同角三角函数关系等知识，熟练运用公式是解题的关键.18．已知函数22()sin cos cos f x x x x x =-+ （1）求()3f π的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）最小正周期为π，单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（2）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】解：（1）22()sin cos cos f x x x x x Q =-+，cos22x x =-，2sin(2)6x π=-，即()2sin(2)6f x x π=-则2()2sin()2336f πππ=-=，（2）由（1）知()2sin(2)6f x x π=-()f x ∴的最小正周期为22T ππ==， 令：222262k x k πππππ-+-+剟，()k ∈Z ，得：63k x k ππππ-+剟，()k ∈Z ，所以函数的递增区间为：,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用，周期性的应用，属于中档题．19．若函数()y f x =是周期为2的偶函数，当[]1,2x ∈时，()3f x x =-+.在()y f x =的图象上有两点A 、B ，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[]1,3上. （1）求当[]2,3x ∈时()f x 的解析式；（2）定点C 的坐标为()0,3，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）当[]2,3x ∈时，()1f x x =-；（2）1【解析】（1）利用函数的奇偶性与周期性，求解()f x 在[]2,3x ∈上的解析式； （2）设出A 、B 两点的纵坐标，根据题意，构建出ABC ∆的面积函数，运用函数性质求解最值. 【详解】解：（1）当[]2,3x ∈时 则[]3,2x -∈--， 故[]41,2x -∈，根据函数为偶函数且周期为2得，所以()()(4)(4)31f x f x f x x x =-=-=--+=-， 即[]2,3x ∈时，()1f x x =-；（2）设A 在3y x =-+上，B 在1y x =-上， 且A 、B 两点的纵坐标为(12)m m <≤， 则3A x m =-，1B x m =+，3122A B x x m m m -=---=-， 21(22)(3)432ABC S m m m m ∆=--=-+-，12m <≤ 当2m =时，ABC S ∆最大，最大值为1. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性等性质，考查函数解析式的求解，考查二次函数的图象与性质，考查学生的综合应用能力.20．如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，2AB =，1AD =，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG ，其底边EF AB ⊥，点E 在半圆上.（1）设6EOC π∠=，求三角形木块EFG 面积；（2）设EOC θ∠=，试用θ表示三角形木块EFG 的面积S ，并求S 的最大值. 【答案】（1）EFG 63S 8∆+=；（2）1sin cos sin cos 2S θθθθ+++=,EFG ∆的面积最大值为324+ 【解析】（1）构造垂线，将EF 、GH 的长度进行转化，EF 的长度即为EM MF +的值，GH 的长度即为DO OM +的值，从而求解出EFG S ∆；（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出EFG S ∆的表达式，然后将sin cos θθ+看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值. 【详解】解：（1）过点G 作GH EF ⊥交EF 于点H ，设EF 交CD 于点M ，所以311?cos16GH DM DO OM π==+=+=+, 311?sin62EF EM MF π=+=+=， 所以11323633222EFG S EF GH ∆++=⨯⨯=⨯=； （2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性， 所以可只分析[0,]2πθ∈时的情况，11?cos 1cos GH DM DO OM θθ==+=+=+， 11?sin 1sin EF EM MF θθ=+=+=+，所以11(1cos )(1sin )22EFG S EF GH θθ∆=⨯⨯=⨯+⨯+ 1sin cos sin cos 2θθθθ+++=，令sin cos t θθ+=，[0,]2πθ∈，故21sin cos 2t θθ-=，sin cos 2)4t πθθθ=+=+，[0,]2πθ∈Q3[,]444πππθ∴+∈，2sin()42πθ∴+∈， 2]t ∴∈，221121224EFGt t t t S ∆-++++==，函数2214t t y ++=在单调递增，所以当t =时，EFG ∆的面积最大，最大值为34+. 【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中sin cos θθ±与sin cos θθg的联系等等，考查了学生综合应用能力. 21．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()2f x f x -=-，则称“局部中心函数”.（1）已知二次函数()2241f x ax x a =+-+（a R ∈），试判断()f x 是否为“局部中心函数”，并说明理由； （2）若()12423xx f x m m +=-⋅+-是定义域为R 上的“局部中心函数”，求实数m 的取值范围.【答案】(1) ()f x 为“局部中心函数”，理由详见解题过程；（2）1m -≤≤ 【解析】（1）判断()f x 是否为“局部中心函数”，即判断方程()()2f x f x -=-是否有解，若有解，则说明()f x 是“局部中心函数”，否则说明()f x 不是“局部中心函数”； （2）条件()12423xx f x m m +=-⋅+-是定义域为R 上的“局部中心函数”可转化为方程()()2f x f x -=-有解，再利用整体思路得出结果. 【详解】解：（1）由题意，()2241f x ax x a =+-+（a R ∈），所以()2241f x ax x a -=--+，()2222241124f x ax x a ax x a -=--+-=--+，当()()2f x f x -=-时，22241124ax x a ax x a --+=--+解得：2(4)0a x -=， 由于a R ∈，所以2x =±， 所以()f x 为“局部中心函数”.（2）因为()12423xx f x m m +=-⋅+-是定义域为R 上的“局部中心函数”，所以方程()()2f x f x -=-有解，即12124232423x x x x m m m m --++-⋅+-=-+⋅-+在R 上有解， 整理得：2442(22)280xxx x m m --+-⋅++-=，令22x x t -+=，[2,)t ∈+∞，故题意转化为2222100t m t m -⋅+-=在[2,)t ∈+∞上有解， 设函数22()2210g t t m t m =-⋅+-，当(2)0g ≤时，2222100t m t m -⋅+-=在[2,)t ∈+∞上有解， 即2442100m m -+-≤， 解得：13m -≤≤； 当(2)0g >时，则需要满足(2)002g m >⎧⎪∆≥⎨⎪>⎩才能使2222100t m t m -⋅+-=在[2,)t ∈+∞上有解，解得：3m <≤综上：1m -≤≤【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、指数函数的图象与性质，考查了整体换元的思想方法，还考查了学生理解新定义的能力. 22．已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）当9a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）不等式的解集为：{|0x x >或1}8x <-；（2）312a <≤或2a =或3a =；（3）23a ≥. 【解析】（1）利用对数函数的单调性，求解对数不等式；（2）将对数方程转化为整式方程，根据解集只有一个元素以及真数要大于0进行分情况讨论求解；（3）先求出最大值与最小值的差，进而转化为恒成立问题进行求解，分离变量构建新函数，求解最值，从而得出结果. 【详解】解：（1）当9a =时，21log 90x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭即为191x +>，故18x>-， 等价于(81)0x x +>， 解得：0x >或18x <-，所以不等式的解集为：{|0x x >或1}8x <-. （2）方程()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦ 即为()221log ()log 3240a a x a x⎡⎤+--+-=⎣⎦， 等价于当()3240a x a -+->时，方程()1324a a x a x+=-+-①有一解， ①式化简为：(1)((3)1)0x a x +--=②，当3a =时，方程②的解为1x =-，满足条件()3240a x a -+->，故成立； 当2a =时，方程②的解为1x =-，满足条件()3240a x a -+->，故成立； 当3a ≠且2a ≠时，方程②的解为1x =-或13x a =-， 若1x =-是方程①的解，则10a ->，即1a >， 若13x a =-是方程①的解，则230a ->，即32a >， 要使方程①有且只有一解，故312a <≤. 综上：方程()()2log 3240f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素时，a 的取值范围为312a <≤或2a =或3a =. （3）因为函数()f x 在区间[,1]t t +上单调递减， 所以对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1， 可转化为()(1)1f t f t -+≤对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 即2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 因为0a >， 所以等价于112()1a a t t +≤++对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 分离变量得到：121a t t ≥-+对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 令12()1g t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 121()1(1)t g t t t t t -=-=++， 当1t =时，()0g t =， 当1[,1)2t ∈时，令1t m -=，1(0,]2m ∈，2121()21(1)(2)323m m g t t t m m m m m m=-===+---++-， 因为当1(0,]2m ∈时，函数2y m m=+单调递减， 故当12m =时，min 29()2m m +=， 故max 2()3g t =， 所以23a ≥. 【点睛】本题考查了对数不等式、对数函数、二次方程、二次不等式等知识，考查了常见函数的单调最值等性质，还考查了分类讨论、分离变量等思想方法.。
合肥一中六中八中2020_2021学年高一数学上学期期末考试试题
C. 充分必要条件D。 既不充分也不必要条件
4. 若 ，则x的值是（ ）
A. B。5C. D。
5。 等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形。例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示：在黄金角形ABC中, ，根据这些信息，可求得 的值为（ ）
A。 0个B。 1个C. 2个D. 3个
12. 已知定义在R上的奇函数 满足 ，当 时， ，若函数 在区间 上有2021个零点，则m的取值范围是（ ）
A。 B. C。 D。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知半径为 的扇形 的面积为 ，周长为 ,则 ________．
14。 已知函数 的值域为 ,则实数 的取值范围是________．
A. B。 C。 D.
【答案】C
6。 如果函数 ,满足对任意 ，都有 成立，那么a 取值范围是（ ）
A。 B。 C. D。
【答案】C
7. 已知 （ 为常数），那么函数 的图象不可能是（ )
A。 B.
C. D.
【答案】B
8. 已知函数 图象过点 ,若要得到一个奇函数的图象，则需将函数 的图象( ）
A. 向左平移 个单位长度B。 向右平移 个单位长度
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1。 已知集合 ， ，则 （ ）
A。 B. C. D.
2。 已知命题p： ， ，则它的否定形式为（ ）
A. ， B。 ,
安徽省合肥168中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
安徽省合肥168中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,1，3，5}，B ={0,1，3，4，6}，则A ∪B =( )A. {1,3}B. {1}C. {−1,0，1，1，3，4，5，6}D. {−1,0，1，3，4，5，6}2. 函数f(x)=√25−x 2+√x−1x−3的定义域为 ( )A. (3,5]B. [1,3)C. [1,5]D. [1,3)⋃(3,5]3. sin585°的值为( )A. −√22B. √22C. −√32D. √324. 在△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3，则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( )A. −12B. 12C. −√32D. √325. 某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t(年)的函数关系可用图象表示的是( )A.B.C.D.6. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)+b 的一部分图象如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A. A =4B. b =4C. ω=1D. φ=π67. 己知α，β都是锐角，若sinα=√55，sinβ=√1010，则α+β=( )A. π4B. 3π4C. 3π4和π4D. −π4和−3π48. 若函数f(x)=log 12(x 2+ax +6)在[−2,+∞)上是减函数，则a 的取值范围为( ) A. [4,+∞)B. [4,5)C. [4,8)D. [8,+∞)9. 已知偶函数f(x)={3x +a,x ≥0g(x) ,x <0，则满足f(x −1)<f(2)的实数x 的取值范围是( )A. (−∞,3)B. (3,+∞)C. (−1,3)D.10. 若函数f(x)=x 2−8x +15的定义域为[1,a]，值域为[−1,8]，则实数a 的取值范围是( )．A. (1,4)B. (4,7)C. [1,4]D. [4,7]11. 设定义域为R 的函数f(x)={5|x−1|−1,x ≥0x 2+4x +4,x <0,，若关于x 的方程f 2(x)−(2m +1)f(x)+m 2=0有7个不同的实数解，则m =( )A. m =6B. m =2C. m =6或2D. m =−612. 在△ABC 中，AD ⊥BC ，CD⃗⃗⃗⃗⃗ =3DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知两个单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为120∘，则|2a ⃗ −b ⃗ |的值为______． 14. 已知角α满足tanα−1tanα+1=−13，则sinαcosα=__________．15. 按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为2π3，弦长等于9 m 的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为________．16. 已知函数f(x)=−x 2+ax +b 2−b +1 (a ∈R, b ∈R)，对任意实数x 都有f(1−x)=f(1+x)成立，若当x ∈[−1,1]时，f(x)>0恒成立，则b 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 设集合A ={x||x −a|<2}，B ={x|2x−1x+2<1}，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．18.已知|a⃗=|√3，|b⃗ |=√5，|a⃗+b⃗ |=3√2．(1)求a⃗⋅b⃗ ；(2)若(2a⃗−b⃗ )⊥(a⃗+k b⃗ )，求k的值．19.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象如图所示．(1)求它的解析式；(2)说明怎样由y=sinx图象平移得到．20. 已知函数f(x)=log 9(9x +1)+kx(k ∈R)为偶函数．(1)求k 的值；(2)解关于x 的不等式f(x)−log 9(a +1a )>0(a >0)．21. 如图，某小区准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，△ABC 外的地方种草，其余地方种花，若BC =a,∠ABC =θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形PQRS的面积为S 2，将比值S 1S 2称为“规划合理度”．(1)试用a,θ表示S 1和S 2；(2)若a 为定值，当θ为何值时，“规划合理度”最小？并求出这个最小值．22. 设f(x)=x 2−2x ，x ∈[t,t +1](t ∈R)，函数f(x)的最小值为g(t)(1)求g(t)的解析式． (2)求函数g(t)的值域．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查并集及其运算，属于基础题． 利用并集的定义进行求解即可得到答案．解：∵集合A ={−1,1，3，5}，集合B ={0,1，3，4，6}， ∴A ∪B ={−1,0,1,3,4,5,6}， 故选D ．2.答案：D解析：本题考查了函数的定义域及其求法，属于基础题．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0，联立不等式组求解x 的取值集合即可得到函数的定义域．解：由{25−x 2≥0x −1≥0x −3≠0，解得1≤x ≤5且x ≠3．∴函数f(x)=√25−x 2+√x−1x−3的定义域是[1,3)∪(3,5]．故选D ．3.答案：A解析：本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．由sin(α+2kπ)=sinα、sin(α+π)=−sinα及特殊角三角函数值解之．解：sin585°=sin(585°−360°)=sin225°=sin(45°+180°)=−sin45°=−√22，故选A ．4.答案：A解析：解：∵△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3， ∴cosA =AB 2+AC 2−BC 22⋅AB⋅AC=1+1−32×1×1=−12，∴A =120°，∴向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1×1×cos120°1=−12， 故选：A ．根据余弦定理求出角A 的大小，结合向量投影的定义进行求解即可． 本题主要考查向量投影的计算，根据定义转化向量数量积是解决本题的关键．5.答案：A解析：本题考查函数的图象，根据已知分析函数的单调性和凹凸性，进而得到函数的图象． 解：∵前3年年产量的增长速度越来越快， ∴t ∈[0,3]时，函数为增函数，且为凹函数， ∵后3年年产量保持不变， ∴总产量的增速保持不变，∴t ∈[3,6]时，函数图象为递增线段． 故选A ．6.答案：D解析：解：根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)+b 的一部分图象可得A +b =4，−A +b =0，求得b =2，A =2， 再根据14⋅2πω=5π12−π6，可得ω=2，再根据五点法作图可得2×π6+φ=π2，求得φ=π6，故选：D ．根据最值求出A 和b ，由周期求得ω，再根据五点法作图求得φ的值，可得结论．本题主要考查由函数f(x)=Asin(ωx +φ)+b 的一部分图象求解析式，根据最值求出A 和b ，由周期求得ω，属于基础题．7.答案：A解析：解：∵α、β为锐角，sinα=√55，sinβ=√1010，∴cosα=√1−sin 2α=2√55cosβ=√1−sin 2β=3√1010∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=√22∴α+β=π4故选A ．先利用同角三角函数的基本关系和α、β的范围，求得cosα和cosβ的值，进而利用余弦函数的两角和公式求得答案．本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用和两角和公式求值．重点考查了三角函数基础知识的运用．属于基础题．8.答案：B解析：本题考查了对数函数以及复合函数的单调性，难度一般．先将原函数分解为两个基本函数，y =log 12t ，t =x 2+ax +6，再利用复合函数的单调性求解． 解：令t =x 2+ax +6，则y =log 12t ， 因为函数f(x)=log 12(x 2+ax +6)在[−2,+∞)上是减函数， 所以t =x 2+ax +6在[−2,+∞)上递增，从而−a2≤−2，解得a ≥4． 又当x ∈[−2,+∞]时，t =x 2+ax +6>0， 所以当x =−2时，t =x 2+ax +6>0，解得a <5． 综上所述，4≤a <5， 故选B ．9.答案：C解析：本题考查分段函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题．根据偶函数的性质得到f(|x−1|)<f(2)，再利用单调性即可求解．解：∵f(x)是偶函数，f(x−1)<f(2)∴f(|x−1|)<f(2)，又∵f(x)在[0,+∞)单调递增，∴|x−1|<2，解得−1<x<3．故选C．10.答案：D解析：本题主要考查了函数定义域与值域，考查学生的计算能力和推理能力，难度适中．根据函数的对称轴和值域，可得a≥4，令f(x)=x2−8x+15=8即可得a的取值．解：∵函数f(x)=x2−8x+15=(x−4)2−1≥−1，且定义域为[1,a]，值域为[−1,8]，∴a≥4，令f(x)=x2−8x+15=8，解得x=1(舍去)或x=7，∴f(1)=f(7)=8，∴4≤a≤7，故选D．11.答案：B解析：本题主要考查复合函数的根的取值判断，利用数形结合作出函数f(x)的图象是解决本题的关键，综合性较强．作出函数f(x)的图象，由图象判断要使方程f 2(x)−(2m +1)f(x)+m 2=0有7个不同的实数根，即要求对应于f(x)的取值即可求出m 的值．解：设f(x)=t ，作出函数f(x)的图象，由图象可知， 当t >4时，函数图象有两个交点， 当t =4时，函数图象有3个交点， 当0<t <4时，函数图象有4个交点， 当t =0时，函数图象有两个交点， 当t <0，函数图象无交点．要使原方程f 2(x)−(2m +1)f(x)+m 2=0有7个不同的实数根， 则要求对应方程t 2−(2m +1)t +m 2=0中的两个根t 1=4或0<t 2<4， 且t 1+t 2∈(4,8)，即4<2m +1<8，解得32<m <72．当t =4时，它有三个根．∴42−4(2m +1)+m 2=0， ∴m =2或m =6(舍去)， ∴m =2． 故选B ．12.答案：A解析：本题考查了数量积运算性质及其投影，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．如图所示，由AD ⊥BC ，可得|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.再利用数量积运算性质即可得出． 解：如图所示，∵AD ⊥BC ，∴|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |． 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ > =|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1． 故选：A ．13.答案：√7解析：解：根据题意，两个单位向量 a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为120°，则a⃗ ⋅b ⃗ =1×1×cos120°=−12， 则(2a ⃗ −b ⃗ )2=4a ⃗ 2−4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=7， 则有|2a ⃗ −b ⃗ |=√7；故答案为：√7．根据题意，由向量数量积的计算公式可得(2a ⃗ −b ⃗ )2=4a ⃗ 2−4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2，变形计算可得|2a⃗ −b ⃗ |的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算公式，涉及向量模的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式． 14.答案：25解析：由tanα−1tanα+1=−13⇒tanα=12，∴sinαcosα=sinαcosαcos 2α+sin 2α=tanα1+tan 2α=25．15.答案：27√32+278−9π解析：本题主要考察了扇形面积公式，属于基础题．解：扇形半径r =3√3扇形面积等于12×2π3×(3√3)2=9π(m 2)， 弧田面积=9π−12r 2sin 2π3=9π−27√34(m 2)，圆心到弦的距离等于12r ，∴矢长为12r ． 按照上述弧田面积经验公式计算得12(弦×矢+矢2)=12(9×3√32+274)=274(√3+12). ∴按照弧田面积经验公式计算结果比实际多27√32+278−9π平方米． 故答案为：27√32+278−9π．16.答案：b <−1或 b >2解析：利用一元二次函数图象的对称轴求出a ，函数在[−1,1]上最小值为f(−1)或f(1)，由最小值大于0解出b 的范围．解：由f(1−x)=f(1+x)，得函数图象对称轴为x =1，所以a =2，当x ∈[−1,1]时，f(x)>0恒成立，则{f(−1)=b 2−b −2>0f(1)=b 2−b +2>0， 解得b <−1或b >2，故答案为b <−1或b >2．17.答案：解：由|x −a|<2，得a −2<x <a +2，所以A ={x|a −2<x <a +2}．由<1，得<0，即−2<x <3，所以B ={x|−2<x <3}．因为A B ，所以，解得0≤a ≤1．解析：本题考查集合的包含关系．先化简集合A ，B ，根据A B ，得到a 的不等式组，解得a 的取值范围．18.答案：解：(1)∵，|a⃗+b⃗ |=3√2.∴a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=18，∴3+5+2a⃗⋅b⃗ =18，∴a⃗⋅b⃗ =5．(2)∵(2a⃗−b⃗ )⊥(a⃗+k b⃗ )，∴(2a⃗−b⃗ )⋅(a⃗+k b⃗ )=0，即2a⃗2−k b⃗ 2+(2k−1)a⃗⋅b⃗ =0，∴6−5k+5(2k−1)=0，解得k=−15．解析：(1)对|a⃗+b⃗ |=3√2两边平方即可得出a⃗⋅b⃗ ；(2)令(2a⃗−b⃗ )⋅(a⃗+k b⃗ )=0，解出k．本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．19.答案：解：(1)由图知A=2，T=8，∴ω=π4．∴y=2sin(π4x+φ)．又∵图象过点(1,2)，∴sin(π4+φ)=1．∴φ=π4．∴y=2sin(π4x+π4).(2)将y=sinx图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标增大为原来的2倍，得到y=2sinx．又将y=2sinx向左平移π4个单位，得到y=2sin(x+π4).再将y=2sin(x+π4)纵坐标不变，横坐标变为原来的4π倍，得到y=2sin(π4x+π4).解析：(1)由图知A，T，利用周期公式可求ω，又图象过点(1,2)，利用五点作图法可求φ，即可得解函数解析式．(2)根据函数y=Asin(ωx+⌀)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查利用y=Asin(ωx+⌀)的图象特征，由函数y=Asin(ωx+⌀)的部分图象求解析式，y= Asin(ωx+⌀)的图象变换规律，属于基础题．20.答案：解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x)，即log 9(9−x +1)−kx =log 9(49+1)+kx ，∴log 99x +19x −log 9(9x +1)=2kx ，∴(2k +1)x =0，∴k =−12，(2)f(x)−log 9(a +1a )>0⇒log 9(9x +1)−x 2>log 9(a +1a )⇒log 99x +19x 2>log 9(a +1a ) ⇒9x +13x >a +1a ，⇒(3x )2−(a +1a )3x +1>0⇒(3x −a)(3x −1a )>0(I)①a >1时⇒3x >a 或3x <1a ⇒{x|x >log 3a 或x <log 31a }，②0<a <1时⇒3x >1a 或3x <a ，{x|x >log 31a 或x <log 3a}，③a =1时⇒3x ≠1，{x|x ≠0}．解析：(1)转化为log 99x +19x −log 9(9x +1)=2kx 恒成立求解．(2)利用(3x −a)(3x −1a )>0，分类讨论求解．本题考查了函数的性质，不等式的解法，属于中档题． 21.答案：解：(1)在Rt △ABC 中，AB =acosθ，AC =asinθ，S 1=12AB ⋅AC =12a 2sinθcosθ，设正方形的边长为x ，则BP =x sinθ,AP =xcosθ，由BP +AP =AB ，得x sinθ+xcosθ=acosθ，故x =asinθcosθ1+sinθcosθ，所以S 2=x 2=(asinθcosθ1+sinθcosθ)2;(2)S 1S 2=12⋅(1+sinθcosθ)2sinθcosθ=(1+12sin2θ)2sin2θ=1sin2θ+14sin2θ+1，令t =sin2θ，因为0<θ<π2，所以0<2θ<π，则t =sin2θ∈(0,1]，所以S 1S 2=1t +14t +1=g(t)，g′(t)=−1t 2+14<0， 所以函数g(t)在(0,1]上递减，因此当t =1时g(t)有最小值，g(t)min =g(1)=94，此时sin2θ=1,θ=π4所以当θ=π4时，“规划合理度”最小，最小值为94．故答案为94．解析：考查学生会根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，属于中档题．(1)据题知三角形ABC 为直角三角形，根据三角函数分别求出AC 和AB ，求出三角形ABC 的面积S 1；设正方形PQRS 的边长为x ，利用三角函数分别表示出BQ 和RC ，利用BQ +QR +RC =a 列出方程求出x ，算出S 2；(2)由比值S 1S 2称为“规划合理度”，可设t =sin2θ来化简求出S 1与S 2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．22.答案：解：(1)f(x)=x 2−2x ，∵f(x)的图象抛物线开口向上，对称轴为直线x =1，∴当t +1≤1，即t ≤0时，f(x)在[t,t +1]上单调递减，∴当x =t +1时，g(t)=f(t +1)=t 2−1； 当t <1<t +1，即0<t <1时，g(t)=f(1)=−1；当t ≥1时，f(x)在[t,t +1]上单调递增，g(t)=f(t)=t 2−2t ．综上，g(t)的解析式为：g(t)={t 2−1,t ≤0−1,0<t <1t 2−2t,t ≥1；(2)当t ≤0时，g(t)=t 2−1为减函数，g(t)≥g(0)=−1，当0<t <1时，g(t)=−1，当t ≥1时，g(t)=t 2−2t =(t −1)2−1为增函数，g(t)≥g(1)=−1，综上函数g(t)的值域为[−1,+∞)．解析：(1)求出二次函数的对称轴，对x∈[t,t+1]与对称轴的关系讨论其最小值，可得g(t)的解析式．(2)根据函数g(t)的定义域范围与二次函数的性质求值域本题考查了二次函数在其定义域范围内的单调性的讨论求最值的问题．要抓住开口方向和对称轴是关键．属于中档题．。
安徽省合肥一六八中学2019学年高一上学期期末考试数学试题-306edebc09a243b1acfc90fc9a15cd41 - 副本
绝密★启用前【全国百强校】安徽省合肥一六八中学2018-2019学年高一（宏志班)上学期期末考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1． 是第四象限角，，则 等于（ ） A ． B ． C ． D ．2．函数 是（ ） A ．最小正周期为 的奇函数 B ．最小正周期为 的奇函数 C ．最小正周期为 的偶函数 D ．最小正周期为 的偶函数3．二次函数 中， ，则函数的零点个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无法确定 4．设，， ，则（ ） A ． B ． C ． D ．5．已知函数 的定义域为 ，集合 ，若 中的最小元素为2，则实数 的取值范围是：（ ） A ． B ． C ． D ．6．已知函数 的图像如图所示，则（ ）…○…………订…………○……※装※※订※※线※※内※※答…○…………订…………○……A ．B ．C ．D ．7．已知 ， ， ，且 与 垂直，则实数 的值为（ ） A ．B ．C ．D ．18．已知 ，，则 （ ）A ．或B ．C ．D ．9．函数的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．10．已知函数 是定义域为R 的偶函数，且 在 上单调递减，则不等式 的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数 ，其中 为实数，若对 恒成立，且，则 的单调递增区间是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数且 的图象上关于 轴对称的点至少有3对，则实数 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．若向量，，且，则_____14．函数的定义域为____15．设是以2为周期的奇函数，且，若，则的值等于___16．设，，依次是方程，，的根，并且，则，，的大小关系是___三、解答题17．已知，且，（1）求，的值；（2），求的值。
2019-2020学年安徽省合肥市高一上学期期末数学试题及答案解析
2019-2020学年安徽省合肥市高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知集合{}3M x x =<，{N x y ==，则RMN =（ ）A ．{}23x x ≤≤B ．{}23x x <≤C ．{}23x x <<D ．{}23x x ≤<【答案】C【解析】先求得集合N,再由集合补集与交集的运算即可求解. 【详解】集合{N xy ==,求解得{}2N x x =≤则由补集运算可得{}2RN x x =>由交集运算可知{}{}{}3223RM N x x x x x x ⋂=<⋂>=<<故选:C 【点睛】本题考查了集合的补集与交集的简单运算,属于基础题. 2．sin1290︒=（ ）A ．B ．12-C ．12D 【答案】B【解析】将1290先化为0~360的角,再结合诱导公式即可求得三角函数值.【详解】 因为12903360210=⨯+则()sin1290sin 3360210sin 210=⨯+=由诱导公式可知()sin 210sin 18030=+1sin 302=-=-故选:B 【点睛】本题考查了任意角三角函数值的求法和诱导公式的简单应用,属于基础题.3．已知12,e e 是两个不共线向量，且1263a e e =-，12b ke e =+.若向量a 与b 共线，则实数k 的值为（ ） A ．2- B ．1-C ．13 D ．43【答案】A【解析】根据平面向量共线基本定理,设λa b ,即可解方程组求得k 的值. 【详解】根据平面向量共线基本定理,若向量a 与b 共线 则满足λa b即()211263k ee e e λ-=+所以满足63k λλ=⎧⎨-=⎩,解得32k λ=-⎧⎨=-⎩故选:A 【点睛】本题考查了平面向量共线基本定理的简单应用,属于基础题.4．计算：61log 022log lg 25lg 469.8+++=（ ）A ．1B ．4C ．5D ．7【答案】C【解析】由对数的运算性质,结合零次幂的值,即可求得算式的值. 【详解】根据对数运算及指数幂运算,化简可得61log 022log lg 25lg 469.8+++322211log 2lg 5lg 2122=++++ ()312lg5lg 2122=++++ 312122=+++ 5=故选:C 【点睛】本题考查了对数的运算性质及化简求值,属于基础题.5．设21log a e =，11e b e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln 2c =，则（ ）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】C【解析】根据对指数函数与对数函数的图像与性质,判断出,,a b c 的范围,即可比较大小. 【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知21log 0a e=< 1111eeb e e -⎛⎫= ⎪=⎭>⎝0ln21c <=<所以b c a >> 故选:C 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,利用中间值法比较大小,属于基础题.6．下列函数既是偶函数又在区间(0,)+∞上是减函数的是（ ） A ．()|1|f x x =+ B ．()1f x x x =+ C ．()f x =D ．()4f x x -=【答案】D【解析】根据函数解析式,结合偶函数性质及函数的单调性,即可判断选项. 【详解】对于A,函数()|1|f x x =+不是偶函数,所以A 错误;对于B,函数()1f x x x =+为奇函数,不是偶函数,所以B 错误; 对于C,()f x =,但在区间(0,)+∞上是增函数,所以C 错误; 对于D,()441f x x x -==为偶函数,且在区间(0,)+∞上是减函数,所以D 正确. 综上可知,正确的为D故选:D 【点睛】本题考查由函数解析式判断函数奇偶性及单调性,属于基础题.7．下列区间，包含函数()12ln 3x f x x =--零点的是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C【解析】由函数单调性,结合零点存在定理,即可判断函数零点所在区间. 【详解】根据函数解析式可知()12ln 3x f x x =--在()0,∞+上为单调递增函数且()152ln101331f =--=-< ()127ln 2ln 202362f =--=-<()12ln 3ln 310333f =--=->由零点存在定理可知,零点位于(2,3)内 故选:C 【点睛】本题考查了函数零点存在定理的应用.在判断函数零点所在区间时,需先判断函数的单调性,才能说明函数零点的唯一性,属于基础题.8．已知向量(2,1)a =-，(3,2)b =-，(1,1)c =，则向量c 可用向量,a b 表示为（） A ．26a b +B ．53a b +C ．42a b -D ．5a b -【答案】B【解析】根据平面向量基本定理,设c a b λμ=+.代入坐标,由坐标运算即可求得参数. 【详解】根据平面向量基本定理,可设c a b λμ=+ 代入可得()()()1,12,13,2λμ=-+-即12312λμλμ=-⎧⎨=-+⎩,解得53λμ=⎧⎨=⎩所以53c a b =+ 故选:B 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,向量坐标运算及数乘运算的应用,属于基础题.9．在ABC ∆中，2AD DB =，若P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，则m =（ ）A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】根据平面向量共线基本定理,可设DP DC λ=,结合向量的加法与减法运算,化简后由12AP mAC AB =+,即可求得参数,m λ的值. 【详解】因为P 为CD 上一点,设DP DC λ=因为2AD DB = 所以23AD AB =则由向量的加法与减法运算可得AP AD DP =+AD DC λ=+()AD AC ADλ=+-()1AD AC λλ=-+ ()213AB AC λλ=-+ 因为12AP mAC AB =+所以()12123m λλ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,解得1414m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选:A 【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用,平面向量基本定理的应用,向量的加法与减法的线性运算,属于基础题. 10．已知偶函数()log ||a f x b x =-（0a >且1a ≠）在(,0)-∞上单调递减，则()f b a -与()21f a +的大小关系是（）A ．()()21f b a f a >+- B ．()()21f b a f a <+-C ．()()21f b a f a =+-D ．无法确定【答案】B【解析】根据偶函数性质,可求得b ,结合函数的单调性即可求得a 的取值范围.通过比较21a +与a -的大小关系,即可比较大小.因为()log ||a f x b x =-为偶函数 所以()()f x f x =-,即log ||log ||a a x b x b -=-- 所以||||x b x b -=--对()(),00,x ∈-∞+∞恒成立 解得0b = 即()log ||a f x x =因为偶函数()log ||a f x x =（0a >且1a ≠）在(,0)-∞上单调递减,则()log ||a f x x =在()0,∞+上单调递增 所以由对数函数的图像与性质可知1a > 而211a a +>-> 所以()()()21f a f a f a +>-=-故选:B 【点睛】本题考查了由偶函数的性质求参数,根据函数单调性比较抽象函数的大小关系,综合性较强,属于中档题.11．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||ϕπ<）的部分图象如图所示，若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象向右平移(0)αα>个单位后，得到一个偶函数的图象，则α的取值可能为（ ）A ．6πB ．3πC ．116πD ．1712π【解析】根据部分函数图像,先求得函数解析式.结合函数平移变化,求得平移后的解析式,由平移后为偶函数并对比选项即可求解. 【详解】由函数图像可知,A =而741234T πππ=-=,所以T π=由周期公式可得22Tπω==所以)y x ϕ=+将最低点坐标7,12π⎛ ⎝代入解析式可知7212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ 则7322,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈ 所以2,3k k Z πϕπ=+∈因为||ϕπ<所以当0k =时,3πϕ=则解析式为23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 将解析式向右平移α单位后,可得()22233y x x ππαα⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为平移后的函数为偶函数,则202,32k k Z ππαπ⨯-+=+∈解得6,12212k k k Z ππππα+=--=-∈ 对比四个选项,当3k =-时, 1712πα=故选:D 【点睛】本题考查了根据部分图像求函数解析式,由函数的性质求得参数,属于中档题.12．已知函数()sin()f x x ϕθ=++的图象关于直线x π=对称，其中0ϕπ<<，02θπ-<<，且tan 2θ=-，则sin 2ϕ的值为（ ）A ．34B ．14C ．35D ．45-【答案】D【解析】根据函数对称轴,求得θ的表达式.由tan 2θ=-结合诱导公式即可得cos 2sin ϕϕ=-.根据同角三角函数关系式及正弦二倍角公式,即可求解. 【详解】因为函数()sin()f x x ϕθ=++的图象关于直线x π=对称 所以由正弦函数的图像与性质可知,2k k Z ππϕθπ++=+∈ 则,2k k Z πθϕπ=--+∈所以tan tan tan 222k ππθϕπϕ⎛⎫⎛⎫=--+=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由诱导公式化简可得tan 22πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭根据同角三角函数关系中的商数关系式可得sin 22cos 2πϕπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭由诱导公式化简可得cos 2sin ϕϕ=-,即cos 2sin ϕϕ=-由同角三角函数关系式中的平方关系式22sin cos 1ϕϕ+=,代入可得()22sin 2sin 1ϕϕ+-=,解得21sin 5ϕ=因为0ϕπ<<,所以sin 0ϕ>,则sin ϕ=而由cos 2sin ϕϕ=-,可得cos ϕ=由正弦二倍角公式可知sin 22sin cos ϕϕϕ=425⎛==- ⎝⎭故选:D 【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质的应用,同角三角函数关系式的化简求值,正弦二倍角公式的应用,属于中档题.二、填空题13．已知1sin 3α=，则sin cos 22αα+=__________．【答案】3±【解析】24sin cos 1223sin ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭,所以sin cos 22αα+=±14．设函数()()142,1,log 21,1,x xx f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若()12f x =，则x =________. 【答案】0或2log 3【解析】根据分段函数解析式,分段即可求得自变量的值. 【详解】当1x <时,()12x f x -=.若()12f x =,即1212x -=,解得0x =,符合题意当1x ≥时,()()4log 21x f x =-. 若()12f x =,即()41log 221x =-,所以212x -=则23x =,解得2log 3x =,符合题意 综上可知,若()12f x =时,0x =或2log 3x = 故答案为: 0或2log 3 【点睛】本题考查了分段函数的求值,属于基础题. 15．已知,a b 是单位向量，且夹角为60°，3c=，则1122a c b c ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的取值范围是________. 【答案】111,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据平面向量数量积,先求得a b ⋅及a b +.由平面向量数量积的运算律,计算1122a c b c ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,设c 与a b +的夹角为θ,即可由平面向量数量积的运算求得取值范围. 【详解】因为,a b 是单位向量,且夹角为60° 则()2222a b a ba ab b+=+=+⋅+=设c 与a b +的夹角为θ（0180θ≤≤）,由平面向量数量积的运算律化简可得1122a c b c ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2111224a b a c b c c =⋅-⋅-⋅+()21111cos6024c a b =⨯⨯-⋅++⨯113cos 224c a b θ=-⋅++ 5142θ=- 53cos 42θ=- 当0θ=,即cos 1θ=时取得最小值为531424-=-当180θ=,即cos 1θ=-时取得最大值为5311424+=所以取值范围为111,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为:111,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算,向量的夹角及模的求法,属于中档题. 16．已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________. 【答案】(4,1)(1,0)--⋃-【解析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围. 【详解】 函数()211x x xf -=-定义域为{}1x x ≠当1x ≤-时,()2111x x x f x -==---当11x -<<时,()2111x x xf x -==+-当1x <时,()2111x x xf x -==---画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点;当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点. 综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点 故答案为:()()4,11,0--⋃- 【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.三、解答题 17．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=-【解析】（Ⅰ）根据任意角的转化,即可把角α写成2k πβ+的形式.进而根据β的值确定α所在的象限;（Ⅱ）根据γ与α的终边相同且(4,3)γππ∈--,即可确定γ的值. 【详解】 （Ⅰ）9203360160-︒=-⨯︒+︒,81609π︒=,920α∴=-︒=8(3)29ππ-⨯+.角α与89π终边相同,∴角α是第二象限角.（Ⅱ）角γ与α的终边相同,∴设82()9k k Z πγπ=+∈. (4,3)γππ∈--,由84239k ππππ-<+<-,可得2235918k -<<-. 又k Z ∈,2k ∴=-. 828499ππγπ∴=-+=-.【点睛】本题考查了角度与弧度的转化,任意角转为()0,2π的角,根据角判断所在象限,属于基础题. 18．已知集合A 为函数()2log (1)f x x =-+的定义域，集合B 为函数()2233x x g x -=-的值域.（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若{|112}C x a x a =-<<-，且()C A B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{}|10B x x A -<=≤；（Ⅱ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（Ⅰ）根据对数性质及二次根式有意义条件,先求得集合A,由指数的图像与性质,求得集合B,即可由集合交集的运算求得AB .（Ⅱ）讨论C =∅与C ≠∅两种情况.根据集合的包含关系,即可求得a 的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）由函数()f x 的定义域需满足10,10,x x ->⎧⎨+>⎩解得11x -<<,所以{}|11A x x =-<<. 设22t x x =-,则22(,1]t x x =-∈-∞, 所以3(0,3]t ∈, 所以{}|30}B y y =-<≤. 所以{}|10B x x A-<=≤.（Ⅱ）由于()C AB ⊆,若C =∅,则需112a a -≥-,解得23a ≥； 若C ≠∅,则需2,311,120,a a a ⎧<⎪⎪-≥-⎨⎪-≤⎪⎩解得1223a ≤<.综上,实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数定义域的求法,指数函数值域的求法,由集合的包含关系求参数,属于基础题. 19．已知函数()21log 1x x xf -=+. （Ⅰ）设()11x x x h -=+，用定义证明：函数()h x 在(1,)-+∞上是增函数；（Ⅱ）若函数()()2xg x f x m =++，且()g x 在区间(3,5)上有零点，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2log 3337m -<<- 【解析】（Ⅰ）任取12,(1,)x x ∈-+∞,且12xx <,代入解析式可求得()()21h x h x -,变形后即可判断函数的单调性.（Ⅱ）先判断出函数()f x 与()g x 的单调性,即可根据零点存在定理求得m 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）证明:由题意得()11211x x x x h x -+-==++211x=-+. 任取12,(1,)x x ∈-+∞,且12xx <,则()()212211h x h x x ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭1211x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭122211x x =-++()()()2112211x x x x -=++.因为12,(1,)x x ∈-+∞,且12xx <,所以210x x ->,110x +>,210x +>, 所以()()210h x h x ->,所以函数()h x 在(1,)-+∞上是增函数. （Ⅱ）由题意()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞.由（Ⅰ）知,()f x 在(1,)+∞上单调递增,所以()()2xg x f x m =++在(3,5)上单调递增.因为()g x 在区间(3,5)上有零点,所以3252231(3)log 270,3151(5)log 2log 3330,51g m m g m m -⎧=++=+<⎪⎪+⎨-⎪=++=-++>⎪+⎩所以2log 3337m -<<-. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性,由函数单调性及零点取值范围判断参数的取值情况,属于基础题.20．已知角θ满足1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求下列各式的值：（Ⅰ）sin sin 21cos cos 2θθθθ+++；（Ⅱ）cos2sin 2θθ+. 【答案】（Ⅰ）-3；（Ⅱ）75-【解析】（Ⅰ）根据正切和角公式,展开化简可求得tan θ的值.将原式根据正弦与余弦的二倍角公式展开即可变形为sin (12cos )cos (12cos )θθθθ++,即可求解. （Ⅱ）将原式变形为齐次式,222222cos sin 2sin cos cos sin cos sin θθθθθθθθ-+++,即可变形求解. 【详解】由题意知1tan tan 41tan πθθθ+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭12=-,得tan 3θ=-. （Ⅰ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得sin sin 21cos cos 2θθθθ+++ 2sin 2sin cos cos 2cos θθθθθ+=+sin (12cos )cos (12cos )θθθθ+=+ tan θ=3=-.（Ⅱ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得cos2sin 2θθ+2222cos sin cos sin θθθθ-=++222sin cos cos sin θθθθ+2221tan 2tan 1tan 1tan θθθθ-=+++192(3)1919-⨯-=+++75=- 【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,正弦与余弦二倍角公式的用法,属于基础题.21．某公司的电子新产品未上市时，原定每件售价100元，经过市场调研发现，该电子新产品市场潜力很大，该公司决定从第一周开始销售时，该电子产品每件售价比原定售价每周涨价4元，5周后开始保持120元的价格平稳销售，10周后由于市场竞争日益激烈，每周降价2元，直到15周结束，该产品不再销售.（Ⅰ）求售价()f t （单位：元）与周次t （*t N ∈）之间的函数关系式；（Ⅱ）若此电子产品的单件成本()h t （单位：元）与周次()21(7)1008h t t --+=之间的关系式为[1,15]t ∈，()f x ，*t N ∈，试问：此电子产品第几周的单件销售利润（销售利润=售价-成本）最大？ 【答案】（Ⅰ）()1004,[1,5],120,[6,10],1402,[11,15],t t f t t t t +∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩()*t N ∈；（Ⅱ）第10周【解析】（Ⅰ）根据题意,结合分段情况即可求得解析式. （Ⅱ）根据售价解析式及成本解析式,先表示出利润的函数解析式.结合二次函数性质即可求得最大值及对应的时间. 【详解】（Ⅰ）当[1,5]t ∈时,()1004f t t =+； 当[6,10]t ∈时,()120f t =；当[11,15]t ∈时,()1202(10)f t t =--1402t =-. 所以()1004,[1,5],120,[6,10],1402,[11,15],t t f t t t t +∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩()*t N ∈.（Ⅱ）由于单件电子产品的销售利润=售价-成本,即单件销售利润()()()g t f t h t =-, 所以,当[1,5]t ∈时,()211004(7)1008t t g t =++--21949848t t =++21(9)48t =+-. 此时()g t 单调递增,所以当5t =时,()g t 取得最大值1648.当[6,10]t ∈时,()21120(7)1008g t t =+--21(7)208t =-+.当10t =时,()g t 取得最大值1698. 当[11,15]t ∈时,()211402(7)1008t t g t =-+--2115369848t t =-+21(15)188t =-+. 当11t =时,()g t 取得最大值20.综上,该电子产品第10周时单件销售利润最大.【点睛】本题考查了分段函数在实际问题中的应用,利润问题的最值求法,二次函数的性质应用,属于基础题.22．已知函数()22cos sin 26x x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期以及()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（Ⅱ）若()085f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.【答案】（Ⅰ）π，最大值为2，最小值为12；（Ⅱ【解析】（Ⅰ）由余弦的降幂公式,结合正弦的差角公式及辅助角公式化简三角函数式,即可求得最小正周期.结合正弦函数的图像与性质即可求得在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）将0x 代入即可求得03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.根据0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及同角三角函数关系式求得0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.即可由配凑法及余弦的差角公式求得0cos2x . 【详解】（Ⅰ）由余弦的降幂公式,结合正弦的差角公式及辅助角公式化简可得()22cos sin 26x x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos 222x x =++1cos 22x -112cos 222x x =++ 1sin 26x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2,最小值为12. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()001sin 26f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为()085f x =,所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.从而0cos 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭45=-. 所以00cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 0cos 2cos 66x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0sin 2sin 66x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了三角函数式的化简,余弦降幂公式及正余弦的差角公式应用,正弦函数的图像与性质的用法,属于中档题.。
安徽省合肥市六校2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题(学生版)
2019-2020学年度第一学期合肥市六校联考高一年级期末教学质量检测数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）1.已知集合{}|22A x x =-≤<，{}2|230B x x x =--≤，则AB =（ ）A. [1,1]-B. [2,1]--C. [1,2)D. [1,2)-2.设函数()()()2111x x f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(4)]f f -的值为（ ）A. 16B. 15C. 5-D. 15-3.已知角α的终边上一点P 的坐标为2233sincos ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，则sin α的值为（ ）A.12B. 1-2C.2D. -24.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC - B.1344AB AC - C. 3144AB AC +D. 1344AB AC +5.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<6.已知1sin()33πα+=，则5cos()6πα+=（ ）A.13 B. 13-D. 7.在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A. 1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 13,24⎛⎫⎪⎝⎭8.已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π69.幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为( )A. 2或1-B. 1-C. 2D. 2-或110.设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A. f(x)的一个周期为−2π B. y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C. f(x+π)的一个零点为x=6π D. f(x)在(2π,π)单调递减 11.已知a ，b ＞0，且a≠1，b≠1.若log >1a b ，则 A. (1)(1)0a b --<B. (1)()0a a b -->C.D. (1)()0b b a --> 12.函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）13.23log 9log 4⨯= . 14.已知1tan 3α=-，tan()1αβ+=，则tan β=_______. 15.函数sin y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．16.若函数()()()2211,02,0b x b x f x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩在R 上为增函数，则实数b 取值范围为________.三、解答题（本大题共6小题，满分70分,解答题应写出文字说明及演算步骤.）17.已知集合{}|3A x a x a =≤≤+，{}=|-15R B x x ≤≤ð.（1）若=A B φ⋂，求实数a 的取值范围； （2）若=A B A ，求实数a 的取值范围. 18.已知2sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπαπαπα---+=+--.（1）化简()f α；（2）若α是第四象限角，且33cos()25πα-=，求()f α的值.19.已知函数1()1x x a f x a -=+（0a >且1a ≠） .（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若01a <<，判断函数()f x 在R 上的单调性，并证明. 20.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，12()log (1)f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围．21.已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=，413a b -=.（Ⅰ）求cos()αβ-的值；（Ⅱ）若02πα<<，02πβ-<<，且4sin 5β=-，求sin α的值. 22.已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 1,33f x x x x x R ππ=++-+-∈.（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若函数()21y f x a =-+在[0,]2π上有两个零点，求实数a 的取值范围.。
2019-2020学年安徽省合肥市六校高一上学期期末联考数学试题(解析版)
2019-2020学年安徽省合肥市六校高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合{}|22A x x =-≤<，{}2|230B x x x =--≤，则A B =I （ ）A ．[1,1]-B ．[2,1]--C ．[1,2)D ．[1,2)-【答案】D【解析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B I . 【详解】由()()223310x x x x --=-+≤，解得13x -≤≤，所以[]1,3B =-，所以[)1,2A B =-I .故选：D 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．设函数()()()2111x x f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(4)]f f -的值为（ ） A ．16 B ．15 C ．5- D ．15-【答案】B【解析】根据分段函数解析式，求得[(4)]f f -的值. 【详解】依题意()()()[]24416,41616115f f f f -=-=-==-=⎡⎤⎣⎦. 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.3．已知角α的终边上一点P 的坐标为2233sin cos ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则sin α的值为（ ）A ．12B ．1-2C D ． 【答案】B【解析】由任意角的三角函数定义先求得该点到原点的距离，再由sin α的定义求得． 【详解】解：角α的终边上一点P 的坐标为3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 它到原点的距离为r =1，由任意角的三角函数定义知：1sin 2y r α==-， 故选B ． 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+u u u v u u u v u u u v，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+u u u v u u u v u u u v，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+u u u v u u u v u u u v ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1113124444BA BA AC BA AC u uu v u u u v u u u v u u u v u u u v =++=+， 所以3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 6．已知1sin()33πα+=，则5cos()6πα+=（ ） A ．13 B ．13-C．3D．3-【答案】B【解析】51cos sin 62333cos ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选B7．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.8．已知非零向量a r ，b r 满足2a b =r r ，且()a b b -⊥r r r ，则a r 与b r的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】根据题意，建立a r 与b r的关系，即可得到夹角. 【详解】因为()a b b -⊥r r r ，所以()=0a b b -⋅r r r ，则2=0a b b ⋅-r r r ，则222cos =0b θb -r r ，所以1cos =2θ，所以夹角为π3故选B.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，难度较小.9．幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为()A ．2或1-B ．1-C ．2D ．2-或1【答案】B【解析】由题意得2211130m m m m m ⎧--=⇒=-⎨+-<⎩，选B. 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围. 10．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.11．已知a ，b ＞0，且a≠1，b≠1.若log >1a b ，则 A ．(1)(1)0a b --< B ．(1)()0a a b --> C ．D ．(1)()0b b a --> 【答案】D【解析】试题分析：log log 1a a b a >=，当1a >时，1b a >>，10,010,0a b a b a b ∴->->->-<，，(1)(1)0,(1)()0,(1)()0.a b a a b b b a ∴-->----当01a <<时，01b a ∴<<<，10,010,0,a b a b a b ∴-<-<--，(1)(1)0,(1)()0,(1)()0.a b a a b b b a ∴-->----观察各选项可知选D.【考点】对数函数的性质.【易错点睛】在解不等式log 1a b >时，一定要注意对a 分为1a >和01a <<两种情况进行讨论，否则很容易出现错误．12．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】 由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．二、填空题13．23log 9log 4⨯= . 【答案】4【解析】试题分析：原式lg 9lg 42lg 32lg 24lg 2lg 3lg 2lg 3=⨯=⨯=，答案：4. 【考点】1.对数运算；2.对数的换底公式. 14．已知1tan 3α=-，tan()1αβ+=，则tan β=_______. 【答案】2【解析】利用两角和的正切公式列方程，解方程求得tan β的值. 【详解】由1tan 3α=-，tan()1αβ+=得()1tan tan tan 3tan 111tan tan 1tan 3βαβαβαββ-+++===-⋅+，解得tan 2β=. 故答案为：2 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题.15．函数sin y x x =的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到． 【答案】3π【解析】试题分析：因为sin 2sin()3y x x x π==-，所以函数sin y x x =的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到．【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．16．若函数()()()2211,02,0b x b x f x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩在R 上为增函数，则实数b 的取值范围为________. 【答案】12b ≤≤【解析】()f x 在R 为增函数；∴()()22102 022101020b b b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-⋅+-≥-+-⋅⎪⎩，解得12b ≤≤；∴实数b 的取值范围是[]1,2，故答案为[]1,2.三、解答题 17．已知集合{}|3A x a x a =≤≤+，{}=|-15R B x x ≤≤ð.（1）若=A B φ⋂，求实数a 的取值范围；（2）若=A B A I ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）12a -≤≤（2）4a <-或5a >【解析】（1）首先求得B ，根据=A B φ⋂列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. （2）根据A B A =I ，得到A B ⊆，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】（1）由{}=|15R B x x -≤≤ð得：{}|15B x x x =<->或. 若=A B φ⋂，则有：-135a a ≥⎧⎨+≤⎩，故12a -≤≤.（2）若=A B A I ，则有A B ⊆，故：31a +<-或5a >，即4a <-或5a >. 【点睛】本小题主要考查交集、补集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题. 18．已知2sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπαπαπα---+=+--.（1）化简()f α；（2）若α是第四象限角，且33cos()25πα-=，求()f α的值. 【答案】（1）()2cos f αα=-（2）8()5f α=-【解析】（1）利用诱导公式化简求得()fα.（2）利用诱导公式求得sin α的值，根据同角三角函数的基本关系式求得cos α的值，进而求得()f α的值.【详解】（1）2sin cos (tan )()2cos tan sin f ααααααα-==-.（2）33cos()sin 25παα-=-=，所以3sin 5α=-，又α是第四象限角， 故4cos 5α=.即8()5f α=-.【点睛】本小题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系式的运用，考查运算求解能力，属于基础题.19．已知函数1()1x x a f x a -=+（0a >且1a ≠） .（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若01a <<，判断函数()f x 在R 上的单调性，并证明. 【答案】（1）奇函数.见解析（2）减函数；见解析【解析】（1）先求得()f x 的定义域，然后利用()()f x f x -=-，证得()f x 为奇函数.（2）利用单调性的定义，计算()()120f x f x ->，由此证得()f x 在R 上递减. 【详解】（1）函数的定义域为R ， 11()()11x x x xa a f x f x a a-----===-++.有()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数.（2）设1212(,R)x x x x <∈，1212121212112()11(1)(1()-())x x x x x x x x a a a a a a a a f x f x ----==++++， 当01a <<时，12x x a a >，有()()120f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 在R 上是减函数； 【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题.20．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，12()log (1)f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围。
安省省合肥一六八中学2019学年高一数学上学期期中试题(凌志班)
x1
x2
e 1 (e 1)(e 1)
x1<x2
x1
x2
x1
x2
e e e e ∵ x1<x2∴ 0<
，
1 0,
1 0 ∴ f(x 1)<f(x 2)
由此可得，函数 f(x) 在（ - ∞， +∞）上是增函数。 （ 2）∵函数 f(x) 在（ -1 ，+1）上是增函数，且是奇函数
∴
解得 1<t<
∴ 所求实数 t 的取值范围是 1<t<
A. x | 0 x 2
B ． x|0 x 2 C ．
D ． x|0 x 2
2、已知函数 f x 满足 f (x 1) 3x 11 ，则 f 2 的值为 (
)
3
A． 16 3
20
16
B．
C．
3
3
D ． 20 3
x1
3、函数 f ( x)
的定义域为（ ）
x2
A、 [1 ，2) ∪ (2 ，+∞） B 、 (1 ，+∞） C 、 [1 ，2) D 、[1 ， +∞)
f (2019) f ( 1 ) 的值 . 2019
是奇函数，
恒成立，试求实数 t 的取值范围。
22、（本题满分 12 分）某商品最近 30 天的价格 f t （元）与时间 t 满足关系式
ft
且知销售量
1 t 8,
3 1
t 18, 3
0 t 15,t N
，
15 t 30, t N
gt
与时间 t 满足关系式
-7-
2x, x 0
的图像为（
2 x,x 0
【全国百强校】安徽省合肥一六八中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题(PDF版,无答案)
高一数学试题（考试时间：120分钟满分150分）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
2、选择题答案请用2B 铅笔准确地填涂在答题卷上相应位置，非选择题答案必须填写在答题卷相应位置，否则不得分。
3、考试结束后，将答题卷交回。
一．选择题（本题共12小题，共60分）1.已知集合{}1,2=A ，集合B 满足{}1,2,3=A B È，则满足条件的集合B 有（）个A.2B.3C.4D.12.函数()f x =）3.sin 570 的值为（）A．12-B．2-C．12D．2-4.已知()2,1a = ，()1,1b =- ，则a在b 方向上的投影为（）B. C. D.5.如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E 从A 开始沿A→B→C 的方向以2个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点C 开始沿CD 边以1个单位长/秒的速度运动到D 点停止，则△AEF 的面积y 与运动时间x（秒）之间的函数图像大致形状是（）6.已知函数的部分图象如图所示，则的值可以为()A.4B.3C.2D.17设αβ、，则cos β等于（）8.已知函数()()2log 17a f x a x x ⎡⎤=+--⎣⎦在[]23，上是增函数，则实数a 的取值范围是（）C.()2+∞，9.已知偶函数()f x 在[)0¥，+上单调递增，且(2)3f -=，则满足(23)3f x -<的x 的取值范围是（）则实数m 的取值范围是（）A.B.C.D.11.已知m ∈R ，函数()()221,1log 1,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩，()2221g x x x m =-+-，若函数()y f g x m =-⎡⎤⎣⎦有6个零点，则实数m 的取值范围是（）12．已知ABC ∆中，AB AC ⊥，2AB AC -= ，点M 是线段BC （含端点）上的一点，且()1AM AB AC += ，则AM的取值范围是（）A.(]0,1 B.10,2⎛⎤⎥⎝⎦C.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦二．填空题（本题共4小题，共20分）13.若,12 e e 是夹角为60的两个单位向量，则a e e 12-2=+ ，b e 22= 的夹角为_______.14.已知()π∈α,0，且51cos sin =α+α，则αtan 的值为________.15.设函数()x f x mπ=，存在0x 使得()()0f x f x ≤和()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦成立，则m 的取值范围是．16.设函数2()||f x x ax b =++，对于任意的实数a b ，，总存在[0,4]x ∈ ，使得()f x t ≥ 成立，则实数t 的取值范围是__________.三、解答题（本题共6小题，计70分）17.（本题满分10分）18.（本题满分12分）已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ== ，且,a b满足关系|||ka b a kb +=-(0)k >.(1)求向量,a b的数量积用k 表示的解析式()f k ；(2)求向量a b与夹角的最大值.19.（本题满分12分）已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A pw j w j =+>><在一个周期内的图象如下图所示。
2019-2020学年安徽省合肥一中、六中、八中高一上学期期中联考数学试题(解析版)
2019-2020学年安徽省合肥一中、六中、八中高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，{}3A x x =<，{}15B x x =-<<，则()R A C B I 等于（ ） A ．{}31x x -<<- B ．{}35x x << C ．{}31x x -≤≤-D ．{}31x x -<≤-【答案】D【解析】直接根据交集和补集的定义进行运算． 【详解】由题意有，{5R C B x x =≥或}1x ≤-，{}33A x x =-<<， ∴(){}31R A C B x x ⋂=-<≤-， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．2．已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x mx =+=，A B A ⋃=，则m 的取值范围是（ ） A ．3,11⎧-⎫⎨⎬⎩⎭B ．1013,,⎧⎫⎨⎩-⎬⎭C ．13,1⎧-⎫⎨⎬⎩⎭D ．1013,,⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】先解方程求出集合{}1,3A =-，再根据A B A ⋃=得到B A ⊆，再对m 分类讨论即可求出答案． 【详解】解：由题意有{}1,3A =-， 又A B A ⋃=， ∴B A ⊆，当0m =，B A =∅⊆； 当0m ≠时，1m A B ⎧⎫⊆⎨⎬⎩⎭=-，则11m -=-或3，∴1m =或13-，故选：D ． 【点睛】本题主要考查根据集合的基本运算求参数的取值范围，考查分类讨论思想，属于基础题．3．函数()f x =的定义域是（ ） A ．(]3-∞，B ．11,322,⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭⎝∞⎭U C ．1132,,2⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭⎝∞⎭UD ．()()344+∞U ,, 【答案】C【解析】由题意得30x -≥且22940x x -+≠，解出即可得出答案． 【详解】解：由题意得，2302940x x x -≥⎧⎨-+≠⎩，即()()32140x x x ≤⎧⎨--≠⎩，解得：12x <或132x <≤， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，属于基础题．4．函数3()23log xf x x =-+的零点所在区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，+∞）【答案】B【解析】计算出(1),(2)f f ,并判断符号,由零点存在性定理可得答案. 【详解】因为3(1)23log 110f =-+=-<,233(2)23log 21log 20f =-+=+>,所以根据零点存在性定理可知函数3()23log xf x x =-+的零点所在区间是(1,2), 故选:B 【点睛】本题考查了利用零点存在性定理判断函数的零点所在区间,解题方法是计算区间端点的函数值并判断符号,如果异号,说明区间内由零点,属于基础题.5．定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，当()0,x ∈+∞时，()2f x x =，则()2f -的值等于（ ）A ．4-B ．1C ．1-D ．4【答案】A【解析】由题意得，()()220f f -+=，再代入即可求出答案． 【详解】由题意有，()()220f f -+=， ∴()()224f f -=-=-， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求函数值，属于基础题．6．某品种鲜花进货价5元/支，据市场调查，当销售价格（x 元/支）在x ∈[5，15]时，每天售出该鲜花支数p （x ）5004x =-，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为( )元 A ．9 B ．11 C ．13 D ．15【答案】D【解析】仔细阅读题目,得到利润的函数解析式后,利用函数的单调性可求得最大值. 【详解】 设每天获利y 元,则500(5)()(5)4y x p x x x =-=-⋅- ([5,15])x ∈, 因为5001(41)500(1)44y x x x =--⋅=---在[5,15]上单调递增, 所以15x =时,y 取得最大值500011元所以若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为15元. 故选:D 【点睛】本题考查了函数模型及其应用中的分式型函数模型,考查了利用函数单调性求最大值,属于基础题.7．已()231,02,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则方程()2f x =的所有根之和为（ ）A ．3B ．1-C ．1D ．3-【答案】B【解析】分类讨论得3120x x ⎧-=⎨≥⎩或222x x ⎧-=⎨<⎩，解出即可得出结论．【详解】解：由()2f x =得，3120x x ⎧-=⎨≥⎩或222x x ⎧-=⎨<⎩，解得：1x =或2x =-， ∴方程的根的和为121-=-， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查已知分段函数的函数值求自变量，属于基础题．8．已知点()8m ,在幂函数()()1n f x m x =-的图象上，设32a f ⎛=⎫⎪⎝⎭，()4log 9b f =，0.512c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】C【解析】根据题意得118n m m -=⎧⎨=⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩，从而得出函数解析式，再根据幂函数的单调性即可得出结论． 【详解】解：Q 点(),8m 在幂函数()()1nf x m x =-的图象上，∴118nm m -=⎧⎨=⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩， ()3f x x ∴=，∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，又0.54413log 8log 9221⎛⎫< ⎪⎝⎭<=<， ∴c a b <<， 故选：C ．【点睛】本题主要考查幂函数的定义及其单调性的应用，属于基础题．9．若函数()f x =区间[]1,2单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．[]42,-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]1,2-【答案】C【解析】由复合函数的单调性得2522012a a ⎧+-≥⎪⎨≤⎪⎩，解出即可．【详解】由题意得2522012a a ⎧+-≥⎪⎨≤⎪⎩，∴122a a ⎧≥-⎪⎨⎪≤⎩，即122a -≤≤，故选：C ． 【点睛】本题主要考查根据复合函数的单调性求参数范围，要注意函数的定义域，属于基础题． 10．已知0a >，设函数()52f x x x b =++，[],x a a ∈-，b Z ∈，若()f x 的最大值为M ，最小值为m ，那么M 和m 的值可能为（ ） A ．4与3 B ．3与1 C ．5和2 D ．7与4【答案】B【解析】由函数()52g x x x =+为奇函数得2M m b +=为偶数，由此可得出答案．【详解】解：∵函数()52g x x x =+为奇函数，且b Z ∈，∴2M m b +=为偶数， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．11．设min{,,}a b c 表示a ,b ,c 三者中的最小者，若函数{}2()min 2,,242x f x x x =-，则当[1,5]x ∈时，()f x 的值域是（ ） A ．[1,32] B ．[1,14] C ．[2,14] D ．[1,16]【答案】D【解析】画出函数22,,242x y y x y x ===-的图象得出分段函数()f x 在区间[1,5]的解析式，利用函数的单调性求出每一段的值域，即可得出当[1,5]x ∈时，()f x 的值域. 【详解】函数22,,242xy y x y x ===-的图象如下图所示所以当[1,5]x ∈时，函数()f x 的解析式为：2,12()2,24242,45xx x f x x x x ⎧≤<⎪=≤<⎨⎪-≤≤⎩函数2y x =在区间[)1,2上为增函数，则该区间的值域为[)1,4函数2xy =在区间[)2,4上为增函数，则该区间的值域为[)4,16函数242y x =-在区间[]4,5上为减函数，则该区间的值域为[]14,16 所以函数()f x 在区间[1,5]的值域为[]1,16 故选：D 【点睛】本题主要考查了求分段函数在给定区间的值域，求出每一段对应的值域，再取并集得出分段函数的值域，属于中档题.12．已知函数()()22,12ln 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，若()()()223F x f x af x =-+的零点个数为4个时，实数a 的取值范围为（ ）A ．265,7,333⎛⎤⎛⎫⎥ ⎪ ⎝∞⎦+⎭⎝U B ．263,73⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．53,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()26523,,⎛⎤+∞ ⎥ ⎝⎦U【答案】A【解析】作出函数()f x 的大致图象，令()f x t =，由图可知，当0t <时，()f x t =无解，当0t =时，()f x t =有一解，当01t <≤，或2t >时，()f x t =有两解，当12t <≤时，()f x t =有3解，由题意可得2203t at -+=有两不相等的非零实根，设为1t ，()212t t t <，则1201t t <<≤或122t t <<或101t <≤,22t >，再结合二次函数图象分类讨论即可得出结论． 【详解】解：作出函数()f x 的大致图象得，令()f x t =，由图可知， 当0t <时，()f x t =无解， 当0t =时，()f x t =有一解，当01t <≤，或2t >时，()f x t =有两解， 当12t <≤时，()f x t =有3解， ∵函数()()()223F x f x af x =-+有4个零点， ∴2203t at -+=有两不相等的非零实根，设为1t ，()212t t t <， 则1201t t <<≤或122t t <<或101t <≤,22t >， 令()223g t t at =-+，()3002g =>，①当1201t t <<≤时，由图可知()100120g a ⎧≥⎪⎪<<⎨⎪∆>⎪⎩，即22103012803a a a ⎧-+≥⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪->⎪⎩2653a <≤；②当122t t <<时，由图可知()20220g a ⎧>⎪⎪>⎨⎪∆>⎪⎩，即22420322803a a a ⎧-+≥⎪⎪⎪>⎨⎪⎪->⎪⎩，无解； ③当101t <≤，22t >时，由图可知()()10200g g ⎧≤⎪<⎨⎪∆>⎩，即2210324203803a a a ⎧-+≤⎪⎪⎪-+<⎨⎪⎪->⎪⎩，解得73a >，综上：2657,333a ⎛⎤⎛⎫∈⋃+∞ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复合函数的零点问题，二次方程根的分布问题，数形结合思想的应用，属于难题．二、填空题13．已知函数f （x ）＝a x ﹣2﹣4（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，则A 的坐标为_____．【答案】(2,3)-【解析】根据指数函数的图像恒过点()0,1 ，令20x -=可得22,1x x a -==,可得()143f x =-=-,从而得恒过点的坐标.【详解】∵函数2()4x f x a -=-，其中0,1a a >≠， 令20x -=可得22,1x x a -==,∴()143f x =-=-, ∴点A 的坐标为(2,3)-， 故答案为: (2,3)-． 【点睛】本题主要考查指数函数的图像性质：图像恒过定点()0,1，运用整体代换值的方法是本题的关键，属于基础题． 142lg 3lg 2的值为________. 【答案】3-【解析】把根式内部开方，再由对数的换底公式求解．【详解】2lg 3lg 222log 932log 3=--222log 332log 3=--3=-， 故答案为：3-． 【点睛】本题主要考查对数的换底公式及根式得运算，属于基础题．15．函数()21,244,2x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，则不等式()112f x +<的解集为________. 【答案】,32,1522⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝-+∞⎭U 【解析】由题意得()()211,1143,1x x f x x x ⎧++≤⎪+=⎨⎪->⎩，则()112f x +<()2111<421x x ⎧++⎪⇔⎨⎪≤⎩或1 321xx⎧-<⎪⎨⎪>⎩，解出即可．【详解】解：∵()21,244,2x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，∴()()211,1143,1x xf xx x⎧++≤⎪+=⎨⎪->⎩，由()112f x+<得，()2111<421xx⎧++⎪⎨⎪≤⎩或1321xx⎧-<⎪⎨⎪>⎩，解得：3122x<--<或52x>，故答案为：,32,1522⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝-+∞⎭U．【点睛】本题主要考查了分段函数解不等式问题，属于中档题．16．如图，在面积为2的平行四边形OABC中，AC CO⊥，AC与BO交于点E.若指数函数()01xy a a a=>≠,经过点E，B，则函数()af x xx=-在区间[]1,2上的最小值为________.【答案】3-【解析】设点(),tE t a，则点B的坐标为()2,2tt a，由题意得22t ta a=，则2ta=，再根据平行四边形的面积求得12t=，由此得4a=，得函数()f x的解析式，从而得函数()f x的的单调性与最值．【详解】解：设点(),tE t a ，则点B 的坐标为()2,2tt a ，∵22t t a a =，∴2t a =，∵平行四边形OABC 的面积24t S OC AC a t t =⨯⨯==， 又平行四边形OABC 的面积为2， ∴42t =，12t =，所以122a =，4a =，∴()4f x x x=-在[]1,2为增函数， ∴函数()f x 的最小值为()4111f =-=3-， 故答案为：3-． 【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查利用函数的单调性求最值，属于中档题．三、解答题 17．已知集合()(){}10A x a x a =---≤，{}13B x x =-≤≤.（1）若A B A =I ，求实数a 的取值范围; （2）若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）12a -≤≤（2）23a -≤≤【解析】（1）由题意[],1A a a =+，由A B A =I 得A B ⊆，再根据包含关系即可得出结论；（2）A B ⋂≠∅得113a a +≥-⎧⎨≤⎩，解出即可．【详解】解：（1）由题意知，[],1A a a =+，[]1,3B =-，若A B A =I ，则A B ⊆，故113a a ≥-⎧⎨+≤⎩，得12a -≤≤（2）若A B ⋂≠∅，则113a a +≥-⎧⎨≤⎩，得23a -≤≤【点睛】本题主要考查根据集合的运算求参数的取值范围，考查了推理和计算能力，属于基础题．18．己知函数()()log 01a f x x a a =>≠,. （1）若()()23f a f a +=，求实数a 的值 （2）若()()232f f >+，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2a =（2）⎫⎪⎪⎝⎭【解析】（1）由已知可得()1log 23a a +=，求解得答案； （2）由已知可得log 2log 32a a >+，对a 分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）由()()23f a f a +=得()1log 23a a +=，即()log 22a a =， 故log 21a =，所以2a =；（2）由()()232f f >+得log 2log 32a a >+，即22log 2log 3a a a >=， 当1a >时，223a <，无解；当01a <<时，223a >1a <<；综上，实数a 的取值范围为,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查对数方程与对数不等式的解法，属于基础题． 19．已知函数()()01xf x aa a =>≠,在区间[]1,2上的最大值与最小值的和为6.（1）求函数()f x 解析式；（2）求函数()()()28g x f x f x =-在[]()1,1m m >上的最小值. 【答案】（1）()2xf x =（2）()23min22,1m 216,m 2m m g x +⎧-<≤⎨->=⎩【解析】（1）由题意得26a a +=，解出即可得出答案；（2）由题意得()282x xx g =-⋅，令2x t =，则2,2m t ⎡⎤∈⎣⎦，令()()228416h t t t t =-=--，再分类讨论即可得出答案．【详解】解：（1）因为函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在区间[]1,2上是单调函数，所以()f x 最大值与最小值的和为2a a +， 所以26a a +=，解得2a =或3a =-， 因为0a >，1a ≠，所以2a =， ∴()2xf x =；（2）()282x xx g =-⋅，令2x t =，则2,2m t ⎡⎤∈⎣⎦，令()()228416h t t t t =-=--，当24m ≤即12m <≤时，()h t 在2,2m⎡⎤⎣⎦上为减函数，所以()h t 最小值为()23222mmm h +=-；当24m >即2m >时，()h t 在[]2,4上为减函数，在4,2m⎡⎤⎣⎦上为增函数，所以()h t 最小值为()416h =-； 综上：()23min 22,1216,2m m m g x m +⎧-<≤=⎨->⎩． 【点睛】本题主要考查函数的最值的求法，考查了换元法求二次函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．20．已知函数()1f x ax a =--，()21g x x ax =-+（a 为实数）.（1）若()f x 在区间()2,3有零点，求a 的取值范围；（2）若关于x 的方程()()f x g x =有两个大于1的相异实根，求a 的取值范围. 【答案】（1）1,12⎛⎫⎪⎝⎭（2）()2,3【解析】（1）直接用零点存在性定理有()()230f f ⋅<，解出即可；（2）由题意得2220x ax a -++=，利用二次方程根的分布，结合二次函数的图象即可解决． 【详解】解：（1）当0a =时不符合题意；当0a ≠时，()f x 在()2,3上为单调函数，则()()230f f ⋅<，即()()1210a a --<，解得112a <<， ∴实数a 的范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）由()()f x g x =得2220x ax a -++=， 令()222h x x ax a =-++，其大致图象如图所示，则()()244201130a a a h a ⎧∆=-+>⎪>⎨⎪=->⎩， 解得：23a <<， ∴实数a 的范围是()2,3． 【点睛】本题主要考查函数的零点存在定理的使用和二次方程的根的分布范围问题，属于中档题．21．已知函数()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，()3f x x =.（1）求0x <时()f x 的解析式； （2）解关于x 的不等式()()18f x f x +≥. 【答案】（1）当0x <时，()3f x x =-（2）113x x ⎧-≤≤⎫⎨⎬⎩⎭【解析】（1）当0x <时，0x ->，()()33f x x x -=-=-，结合函数的奇偶性分析可得答案；（2）根据题意，由函数的奇偶性以及解析式分析可得原不等式等价于()()12f x f x +≥即12x x +≥，解出即可．【详解】解：（1）当0x <时，0x ->，()()33f x x x -=-=-，因为()f x 是R 上的偶函数，因此()()f x f x =-，即()3f x x =-（2）∵()33,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩﹐∴()()()()33332,08,0828,02,0x x x x f x f x x x x x ⎧≥⎧≥⎪===⎨⎨-<-<⎩⎪⎩， 因此()()18f x f x +≥()()12f x f x ⇔+≥，因为函数()f x 在(],0-∞上为减函数，在[)0,+∞上为增函数， 所以12x x +≥，平方整理得23210x x --≤，解得113x -≤≤， 故不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及绝对值不等式的解法，属于中档题． 22．已知函数()2log f x x =. （1）若()()1ff x =，求x 的值；（2）已知[]1,2a ∈，若函数()()g x f x a =-有两个不同的零点1x ，()212x x x <，函数()()1ah x f x a =-+有两个不同的零点3x ，()434x x x <，求()()224113x x x x x x --的最大值.【答案】（1）4x =或x =（2）-【解析】（1）由题意有()()1ff x =±，分类讨论即可求出答案；（2）由2log x a =得2a x =或2a x -=，则12a x -=，22a x =，同理得132aa x -+=，142a a x +=，再代入目标式，然后化简得原式11312a a +-+=-，再判断单调性即可求得最值．【详解】 解：（1）()()1f f x =得()()1f f x =±，由()()1f f x =得()2f x =，4x =，由()()1ff x =-得()12f x =，x =∴4x =或x ；（2）由2log x a =得2a x =或2a x -=， 因为12x x <，[]1,2a ∈，所以12ax -=，22ax =，同理得132aa x -+=，142a a x +=，所以()()21124113122222a a a a aaa x x x x x x +--+⎛⎫ ⎪⎝-⎭--=-211222122a a a a a a a ++⎛⎫ ⎪⎝-⎭=-21112222222a aa a a a a aa a +++-⋅=⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝312aa a ++=-11312a a +-+=-；因为()1131t a a a =+-+在[]1,2上为增函数， 所以()11312a a h a +-+=-在[]1,2上为减函数，因此()()max 1h a h ==- 综上：()()224113x x x x x x --的最大值为-【点睛】本题主要考查解对数方程，指数式的最值问题，化简运算难度较大，属于难题．。
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高一数学试题
（考试时间：120分钟 满分150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.
2.选择题答案请用2B 铅笔准确地填涂在答题卷上相应位置，非选择题答案必须填写在答题卷相应位置，否则不得分.
3.考试结束后，将答题卷交回.
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1.已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2,3}A B
?，则满足条件的集合B 有（ ）个 A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
2.函数()f x =
） A. [2,2]- B. (2,2)- C. (,2)(2,)-∞-+∞U D. {2,2}- 3.sin 570︒的值为（ ）
A. 12-
B. 2-
C. 12
D. 4.已知()2,1a =v ，()1,1b =-v ，则a v 在b v 方向上的投影为（ ，
A. 2-
B. 2
C. -
D. 5.如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E 从A 开始沿A →B →C 的方向以2个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点C 开始沿CD 边以1个单位长/秒的速度运动到D 点停止，则AEF V 的面积y 与运动时间x （秒）之间的函数图像大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛
⎫=-> ⎪⎝⎭
的部分图象如图所示，则ω的值可以为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 7.若,αβ都
锐角，且cos α=，3sin()5αβ+=，则cos β= （ ）
A. 25
C. 25
或25 8.已知函数()2
log (1)7a a x f x x ⎡⎤=+--⎣⎦在[]2,3上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B. 15,1,94⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U
C. 5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D. 1,1[2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 9.已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)3f -=，则满足(23)3f x -<的x 的取值范围是（ ） A. 15,,22⎛
⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U B. 15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 31,,22⎛
⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U D. 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 10.已知1(2,1)P -，2(0,5)P 且点P 在线段12PP 的延长线上，1232
PP PP =-u u u r u u u r ，则点P 的坐标为（ ） A. (2,7)- B. 618,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. (4,17)- D. (2,11)-
11.已知函数1221,0()21,0
x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(1)()20f x m f x m -++=有五个不同实根，则m 的值是（ ）
是
A. 0或
12 B. 12 C. 0 D. 不存在 12.已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2
ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A 15
[,]24
B. 13[,]24
C. 1(0,]2
D. (0,2] 二、填空题（本题共4小题，共20分）
13.若1e u v ，2e u u v 是夹角为60︒的两个单位向量，则122a e e =-+u v u u v r ，22b e =r u u v 的夹角为________.
14.已知 tan 2α=，32παπ<<
，则cos sin αα-=________. 15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=
12（弦g 矢+2矢）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为
23π，弦长等于9m 的弧田.按照上述经验．．．．．．
公式计算所得弧田的面积是________2m .
16.设函数2()3f x x ax a =-++，()g x x a =-若不存在．．．0x R ∈，使得()00f x <与()00g x <同时成立，
则实数a 的取值范围是________.
三、解答题（本题共6小题，计70分）
17.已知{}
2|8200P x x x =--≤，非空集合{|11}S x m x m =-≤≤+，若S 是P 的子集，求m 的取值范围.
18.
已知)
,cos a x m x =+r ，()cos ,cos b x m x =-+r ，且()f x a b =⋅r r （1）求函数()f x 的解析式；
（2）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最小值是4-，求此时函数()f x 的最大值，并求出函数()f x 取得最大值时自变量x 的值
19.已知()f x 是定义在R 上奇函数，且当0x >时，2
()2f x x x =-+. （1）求函数()f x 在R 上的解析式；
.
（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围.
20.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+0,0,||2A πωϕ⎛
⎫>>< ⎪⎝⎭
，在一个周期内图象如下图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）设0πx <<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围和这两个根的和. 21.某市有A ，B 两家乒乓球俱乐部，两家的设备和服务都很好，但收费标准不同，A 俱乐部每张球台每小时5元，B 俱乐部按月收费，一个月中30h 以内（含30h ）每张球台90元，超过30h 的部分每张球台每小时加收2元.某学校准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15h ，也不超过40h ．
（1）设在A 俱乐部租一-张球台开展活动h x 的收费为()f x 元154()0x ≤≤，在B 俱乐部租一张球台开展活动h x 的收费为()g x 元154()0x ≤≤，试求()f x 和()g x 的解析式；
（2）问选择哪家俱乐部比较合算?为什么?
22.设函数2
()|1|f x x x a =+-+，a R ∈. （1）若方程()3f x x =在区间(1,2)上有解，求a 的取值范围.
（2）设()2()log 14
x a g x +=-，若对任意12,(0,2)x x ∈，都有()()12214
g x f x a <++，求a 的取值范围.
的的。