期北师大版九年级数学上册习题1.2.3矩形的性质与判定的运用

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北师版初中九上数学1.2.3矩形的性质与判定的综合应用【课件】

∠ + ∠ + ∠ + ∠ = °.
∴四边形AGBD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
∟
∟D
1、定义：
∟
B
2、性质和判定：
性
质
边
同平行四边形
角
四个角都是直角
对角线
对角线相等且互相平分
判
定
1、有一个角是直角的平行四边形.
2、有三个角是直角的四边形.
3、对角线相等的平行四边形.
2x
2
8 x 2 2 3 x,
K
1、已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对
角线所成的锐角的度数是（ C ）.
A、100°
B、90°
C、80°
D、70°
2、矩形的一边长为6，各边中点围成的四边形的周长是20 ，则
矩形的对角线长为
.
10 ，面积为 48
3、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成
（2）若AB＝4cm，AD＝5cm，
求线段CE的长.
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=4，∠B=∠C=90°.
由题意得AF=AD=5，EF=DE=x，EC=4-x.
由勾股定理，得BF2=52-42，∴BF=3，CF=5-3=2.
在△EFC中，由勾股定理得x2=22+（4-x）2，
解得：x=2.5，EC=4-2.5=1.5．
知识讲解
例1 如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交
于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
分析：在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，
BE ︰ ED=1︰3，易证得△OAB是等边三

北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题

北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF 与MN ，PQ 分别交于A ，C 两点，过A ，C 两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ，即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形．在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∵AE＝AF，∴AF＝AD.∵AF＝DH，∴AD＝DH.又∵∠GAD＝∠DHM＝90°，∴△DAG≌△DHM(SAS)．∴∠ADE＝∠HDM，∠AGD＝∠M.∴∠EDC＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM.∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠GDH.∴∠CDM＝∠M.∴CD＝CM＝CH＋HM. ∵AB＝CD，CH＝BF，HM＝AG，∴AB＝BF＋AG.。

1.2 矩形的性质与判定第3课时九年级上册数学北师大版

第一章特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定（第3课时）
1. 如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD= 120°，
25
AB=2.5 cm，则∠DAO= 30°， AC=
5
cm，S矩形ABCD= 4
3 cm2 .
A
D
O
B
C
图1
2. 如图2，四边形ABCD是平行四边形，添加一个
条件 AC=BD（答案不唯一），可使它成为矩形.
∴ 四边形 BMDN 是矩形.
D 图5
C M B
1. 说说你的收获. 2. 说说你的困惑. 3. 说说你的方法.
又∵ AE⊥BD，∴ AB=AO.
图3
∴ AB=AO=BO.
即△ABO是等边三角形.
∴∠ABO=60°.
∴∠ADB=90°-∠ABO=30°.
在Rt△AED中，
∵∠ADB=30°，
∴
AE=
1 2
AD=
1 2
×6=3.
图3
你还有其他的解法吗？和D为△ABC的一条角平分线， AN 为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E. 求证：四边形ADCE是矩形.
图4
证明：∵ AD平分∠BAC，AN 平分∠CAM，
∴
∠CAD=
1 2
∠BAC，∠CAN=
1 2
∠CAM.
∴ ∠DAE=∠CAD+∠CAN
=
1 2
(∠BAC+∠CAM
)
=
1 2
×180°
图4
=90°.
在△ABC中，
∵ AB=AC，AD为∠BAC的角平分线，
∴ AD⊥BC. ∴∠ADC=90°.

北师大版九年级数学上册1.2.3矩形的性质与判定的综合应用教案

举例：给出一些与矩形相关的方程和不等式问题，让学生通过分析矩形性质，找到解题关键。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《矩形的性质与判定的综合应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算矩形面积或周长的情况？”（如计算桌布大小、设计房间布局等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索矩形性质的奥秘。
难点解析：学生在解决实际问题时，往往不知道如何将矩形知识融入其中，需要教师指导。
举例：设计一些与实际生活相关的题目，如房屋设计、园林规划等，让学生学会运用矩形知识解决实际问题。
（3）矩形相关的一元一次方程和不等式问题：解决与矩形相关的方程和不等式问题，提高学生的数学运算能力；
难点解析：学生可能对矩形与方程、不等式之间的关系理解不够深入，需要教师引导。
1.教学重点
（1）矩形的基本性质：强调矩形的对边平行且相等，对角线相等且互相平分等核心内容；
举例：在解题过程中，引导学生关注矩形性质的应用，如计算矩形周长、面积时需用到这些性质。
（2）矩形的判定方法：掌握有一个角是直角的平行四边形、对角线相等的平行四边形、有三个角是直角的四边形是矩形等判定方法；
举例：在解决几何问题时，指导学生运用判定方法识别矩形，提高问题解决效率。
4.在教学过程中，我注意到部分学生对于矩形相关的一元一次方程和不等式问题感到困惑。针对这个问题，我应在讲解时更加注重引导学生运用矩形性质来分析问题，帮助他们找到解题的关键。
5.总的来说，本节课的教学效果还有待提高。在今后的教学中，我需要更多地关注学生的个体差异，因材施教，以提高全体学生的学习效果。同时，我要不断反思和改进自己的教学方法，努力提高学生的数学素养。

北师大版九年级数学上册 1.2矩形的性质和判定(1).2.1矩形的性质和判定

3 若已知ＡＣ＝10㎝，ＢＣ=6㎝，则矩形的周长＝ 28 ㎝矩形的面积＝ 48 ㎝2
4 若已知 ∠ＤＯＣ=120°，ＡＤ＝6㎝，则ＡＣ= 12 ㎝
练习1：
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
（A ）
A.对角线相等
B.对边相等
C.对角相等
D.对角线互相平分
2.下面性质中，矩形不一定具有的是（ D ） A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
∵∠AOD=120°，
∴ ∠ ODA= ∠OAD=
180o 120o 2
=30°，
又 ∵∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角）.
∴BD=2AB=2×2.5=5 ( cm ) .
练一练：如图，在矩形ABCD中：
A
D
①AB∥ CD ，AB= CD ；
O
AD∥ BC ，AD= BC ;
B
C
②∠BAD=∠ ADC =∠ BCD =∠ ABC =90°；
即：矩形是一种特殊的平行四边形
矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角．
已知:如图,四边形ABCD是矩形. ∠A=900
求证:∠A=∠B=∠C=∠D=900. 分析:由矩形的定义,利用对角
A
D
相等,邻角互补可使问题得证.
证明: ∵ 四边形ABCD是矩形,
B
C
∴∠A=900,四边形ABCD是平行四边形.
B
D O
C
例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线
相交于点O，∠ＡＯＤ=120°,AB=2.5，求
这个矩形对角线的长？
解：∵四边形ABCD是矩形，
A
∴AC=BD（矩形的对角线相等）.

北师版九年级数学上册作业课件(BS) 第一章特殊平行四边形第3课时矩形的性质与判定的综合应用

∵DE＝12 BC＝12 EF，∴BC＝EF，∴平行四边形 BFCE 是矩形
15．(12 分)如图，矩形 ABCD 中，延长 AB 至点 E，延长 CD 至点 F，且 BE＝DF，连接 EF，与 BC，AD 分别相交于 P，Q 两点． (1)求证：CP＝AQ； (2)若 BP＝1，PQ＝2 2 ，∠AEF＝45°，求矩形 ABCD 的面积．
5．(3分)如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE. 若BC＝7，AE＝4，则CE＝__5__.
6．(3分)如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1， D1分别是四边形ABCD各边的中点，若AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积是__2_0_．
7．(3分)如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE平分∠ADC交BC 于点E，∠BDE＝15°，则∠COE的度数为_7_5_°_．
8．(8分)(教材P17例4变式)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
北师版
第一章特殊平行四边形
2.矩形的性质与判定
第3课时矩形的性质与判定的综合应用
1．(3分)如图，已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的面积为( C ) A.4 B．5 C．6 D．7
2．(3分)(教材P18“随堂练习”变式)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，
14．(10 分)在△ABC 中，D 是 BC 边的中点， E，F 分别在 AD 及其延长线上，CE∥BF，连接 BE，CF. (1)求证：△BDF≌△CDE；

1.2第3课时矩形的性质与判定的运用-北师大版九年级数学上册习题课件

的最小值为_____. 1．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB、EC、DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
7．如图，已知MN∥PQ，AB、CB分别平分∠MAC、∠PCA，AD、CD分别平分∠NAC、∠QCA.
(1)求证：□ABCD为矩形；
7．如图，已知MN∥PQ，AB、CB分别平分∠MAC、∠PCA，AD、CD分别平分∠NAC、∠QCA.
第一章特殊平行四边形
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数学·九年级（上）·配北师
12 ．【贵州安顺中考】如图，在 Rt△ABC 中， ∠BAC ＝ 90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D 分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN 的最小值为_____1.52
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第一章特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
第三课时矩形的性质与判定的运用
第一章特殊平行四边形
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第一章特殊平行四边形
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以练助学名师点睛基础过关能力提升思维训练
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以练助学
B．BE⊥DC 12．【贵州安顺中考】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN
的最小值为_____. 13．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，使点A落在点A′处，设A′B与CD相交于点E，若AB＝8，BC＝6，则EB＝_____.
【典例】如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形． (1)求证：□ABCD为矩形； (2)若AB＝4，求□ABCD的面积．

北师大版初三数学上册1.2 矩形的性质与判定(三).2矩形的性质与判定(3)

例3 如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE。求AE的长。
解：∵四边形ABCD为矩形 ∴∠BAD=90°
A
D
AC=BD
∴AAOO==BCOO==D12 OA=C12，BBDO=DO=
1 2
BD
∵ED=3BE
∴BE=OE
O
E
B
C
又∵AE⊥BD
布置作业
驶向胜利的彼岸
P18 习题1.6 第1、2、3题
再见
PA＝3，PD＝4，PC＝5，
则PB＝
。A E
D
提示：过点P作其中一边的垂线，利用勾股定理来解。
3 P
?
BF
∟
4 5
C
课堂小结
本节课给你什么样的启发？1、说说你的收获。2、说说你的困惑。3、说说你的方法。
互相交流矩形的性质与判定定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理，矩形与平行四边形的关系，遇到矩形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。
九年级数学(上) 第一章特殊平行四边形
1.2.矩形的性质与判定—应用
驶向胜利的彼岸
A
∟
∟D
1、定义：
O
∟
∟
B
C
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、性质和线
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
1、有一个角是直角的平行四边形. 2、有三个角是直角的四边形.
证明：∵AD1 平分∠BAC，AN1 平分∠CAM
M
∴∠CAD=2 ∠BAC,∠CAN=2 ∠CAM
∴∠DAE=∠1 CAD+∠CAN

北师大版九年级上册数学课后辅导专练：1.2 矩形的性质与判定(课内精炼课时达标)

1.2 矩形的性质与判定第1课时矩形的性质1．有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形．2．矩形的四个角都是__直角__；矩形的对角线__相等__．3．直角三角形斜边上的中线__等于斜边的一半__．知识点一：矩形的性质1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是(C)A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对边平行2．矩形具有而菱形不具有的性质是(B)A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．(2014·黄石)如图，一个矩形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是(C)A．30°B．60°C．90°D．120°,第3题图),第4题图) 4．(2014·宜宾)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，且∠DOC＝120°，DC＝3，则图中长度为1的线段共有(D)A．3条B．4条C．5条D．6条5．(2014·黔东南)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为(D)A．6 B．12 C．2 5 D．4 5,第5题图),第6题图) 6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC 于点F，EG⊥BC于点G，则矩形CFEG的周长是__12__．7．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.求证：四边形DOCE 是菱形．解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DB＝AC，DO＝OB，AO＝OC，∴DO＝OC，∵EC∥BD，DE∥AC，∴四边形DOCE是平行四边形，∴▱DOCE是菱形知识点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半8．(易错题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，BC，CA 的中点，若EF＝4 cm，则CD＝__4__cm.9．如图，“人字形屋梁”中，AB＝AC，点E，F，D分别是AB，AC，BC的中点，若AB＝6 m，∠B＝30°，则支撑人字形屋梁的木料DE，AD，DF共有__9__米．10．直角三角形斜边上的高与中线分别是5 cm和6 cm，则它的面积是__30_cm2__．11．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为__20__．12．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(C)A．18°B．36°C．45°D．72°,第12题图),第13题图) 13．(2014·青岛)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为(A)A．4 B．3 2 C．4.5 D．514．(2014·凉山)顺次连接矩形各边中点所形成的四边形是__菱形__．15．如图所示，在△ABC中，BD，CE是高，点G，F分别是BC，DE的中点，则下列结论中：①GE＝GD；②GF⊥DE；③GF平分∠DGE；④∠DGE＝60°.其中正确的是__①②③__．(填写序号)16．(2014·湘潭)如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在点E处，BE与CD相交于点F，若AD＝3，BD＝6.(1)求证：△EDF≌△CBF；(2)求∠EBC的度数．解：(1)证明：由折叠的性质可得，DE ＝BC ，∠E ＝∠C ＝90°，在△DEF 和△BCF 中⎩⎨⎧∠DFE ＝∠BFC ，∠E ＝∠C ，DE ＝BC∴△DEF ≌△BCF (AAS ) (2)在Rt △ABD 中，∵AD ＝3，BD ＝6，∴∠ABD ＝30°，由折叠的性质可得；∠DBE ＝∠ABD ＝30°，∴∠EBC ＝90°－30°－30°＝30°17．如图所示，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为点E ，∠1＝∠2，OB ＝6 cm.(1)求∠BOC 的度数； (2)求△DOC 的周长．解：(1)∵AE ⊥BD, ∴∠AEO ＝∠AEB ＝90°，又∵AE ＝AE ，∠1＝∠2，∴△AEO ≌△AEB.∴AB ＝AO.又∵OA ＝OB, ∴△AOB 为等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∴∠BOC ＝120° (2)由矩形的性质可得△OCD ≌△OAB ，∴OC ＝OA ＝OB ＝6 cm. ∴△DOC 的周长为18 cm18．(2014·邵阳)准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在对角线BD 上的M 点，将△CDF 沿DF 翻折，使点C 落在对角线BD 上的N 点．(1)求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若四边形BFDE 是菱形，AB ＝2，求菱形BFDE 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∴∠EBD ＝∠FDB ，∴EB ∥DF ，∵ED ∥BF ，∴四边形BFDE 为平行四边形 (2)∵四边形BFDE 为菱形，∴BE ＝ED ，∠EBD ＝∠FBD ＝∠ABE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝30°，∵∠A ＝90°，AB ＝2，∴AE ＝233，BF ＝BE ＝2AE ＝433，∴菱形BFDE 的面积为：433×2＝833第2课时矩形的判定对角线__相等__的平行四边形是矩形；有__三__个角是直角的四边形是矩形．知识点一：对角线相等的平行四边形是矩形1．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各条件中，能判断四边形ABCD 是矩形的是(B)A．AO＝CO，BO＝DOB．AO＝BO＝CO＝DOC．AC＝BD，AO＝COD．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD2．下列关于矩形的说法中正确的是(D)A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直平分D．矩形的对角线相等且互相平分3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长应该为(C)A．4B．3C．2D．1,第3题图),第4题图) 4．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__∠ABC＝90°或AC＝BD(不唯一)__．(添加一个条件即可)5．(易错题)如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__60__度时，四边形ABFE为矩形．6．(原创题)已知，如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且△OAB是等边三角形，若▱ABCD的面积是163，求对角线AC的长．解：∵△OAB是等边三角形，∴OA＝OB，∠OAB＝60°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠OAB＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB，BC＝3AB，∴AB·3AB＝163，∴AB＝4，∴AC＝8知识点二：有三个角是直角的四边形是矩形7．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( C )A ．测量对角线是否互相平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量其中三个角是否都为直角D ．测量对角线是否相等8．如图，直角∠AOB 内的一点P 到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为__12__.9．如图，点M 是矩形ABCD 的边AD 的中点，点P 为BC 上一点，PE ⊥MC 于点E ，PF ⊥MB 于点F ，当AB ，BC 满足条件__BC ＝2AB __时，四边形PEMF 为矩形．10．已知▱ABCD 的对角线交于点O ，分别添加下列条件：①∠ABC ＝90°；②AC ⊥BD ；③AC ＝BD ；④OA ＝OD .使▱ABCD 是矩形的条件的序号是__①③④__.11．如图，点E ，F 分别△ABC 的边BC ，CA 的中点，延长EF 到点D ，使得DF ＝EF ，连接DA ，DC ，AE .(1)求证：四边形ABED 是平行四边形；(2)若AB ＝AC ，求证：四边形AECD 是矩形．解：(1)证明：∵AF ＝CF ，DF ＝EF ，∴四边形AECD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝CE ，又∵BE ＝CE ，∴AD ＝BE ，∴四边形ABED 是平行四边形(2)∵AB ＝AC ，BE ＝CE ，∴AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90°，∴▱AECD 是矩形12．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，点O 既是AC 的中点，又是EF 的中点．(1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若OA ＝12BD ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由．解：(1)证明：∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴∠BEO ＝∠DFO ＝90°，∵点O 是EF 的中点，∴OE ＝OF ，又∵∠DOF ＝∠BOE ，∴△BOE ≌△DOF (ASA )(2)四边形ABCD 是矩形．理由如下：∵△BOE ≌△DOF ，∴OB ＝OD ，又∵OA ＝OC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵OA ＝12BD ，OA ＝12AC ，∴BD ＝AC ，∴▱ABCD 是矩形13．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，DE ＝BC 且∠BAD ＝∠CAE ，求证：四边形BCDE 是矩形．解：证明：∵AC ＝AB ，AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ，∴∠CAD ＝∠BAD －∠CAB ＝∠CAE －∠CAB ＝∠BAE.∴△ADC ≌△AEB.∴DC ＝BE ，∠ABE ＝∠ACD.又∵DE ＝BC ，∴四边形BCDE 为平行四边形．∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝ACB ，∴∠ABC ＋∠ABE ＝∠ACB ＋∠ACD ，即∠EBC ＝∠DCB ＝90°.∴四边形BCED 为矩形14．(教材例4变式题)如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F.连接AE ，AF.(1)求证：OE ＝OF ；(2)若CE ＝12，CF ＝5，求OC 的长；(3)当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．解：(1)证明：∵CF 平分∠ACD ，且MN ∥BD ，∴∠ACF ＝∠FCD ＝∠CFO.∴OF ＝OC.同理可证：OC ＝OE.∴OE ＝OF (2)由(1)知：OF ＝OC ，OC ＝OE ，∴∠OCF ＝∠OFC ，∠OCE ＝∠OEC.∴∠OCF ＋∠OCE ＝∠OFC ＋∠OEC.而∠OCF ＋∠OCE ＋∠OFC ＋∠OEC ＝180°，∴∠ECF ＝∠OCF ＋∠OCE ＝90°，∴EF ＝CE 2＋CF 2＝122＋52＝13.∴OC ＝12EF ＝132(3)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF是矩形．.理由如下：由(1)知OE ＝OF, 当点O 移动到AC 中点时有OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形， ∵∠ECF ＝90°， ∴平行四边形AECF 是矩形第3课时矩形的性质与判定的综合运用1．矩形的性质：(1)矩形具有__平行四边形__的一切性质；(2)矩形的四个角都是__直角__；(3)矩形的对角线__相等__．2．矩形的判定：(1)有一个角是__直角__的平行四边形是矩形；(2)有三个角是__直角__的__四边形__是矩形；(3)对角线__相等__的__平行四边形__是矩形．知识点：矩形的性质与判定的综合运用1．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD 和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是(B)A．S1>S2B．S1＝S2C．S1<S2D．3S1＝2S2,第1题图),第2题图) 2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于(B)A．8 cm B．10 cm C．16 cm D．24 cm3．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1，3)，则对角线BD的长等于(D)A.7 B．2 2C．2 3 D.104．在四边形ABCD中，AC和BD的交点为点O，下列条件中不能判定四边形ABCD 是矩形的是(C)A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，∠AOB＝∠BOCD．AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°5．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝__75__度．,第5题图),第6题图) 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标为__(1＋23，2)__．7．平行四边形的四个内角平分线相交，如果能构成四边形，则这个四边形是__矩形__．8．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA ＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°.这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD 是矩形，如①②⑤⇒四边形ABCD 是矩形，请再写出符合要求的两个：__①②⑥⇒四边形ABCD 是矩形；③④⑤⇒四边形ABCD 是矩形；(另外③④⑥，②③⑤⇒四边形ABCD 是矩形)__．9．如图，四边形ABCD 是矩形，对角线AC ，BD 相交于点O ，BE ∥AC 交DC 的延长线于点E .(1)求证：BD ＝BE ；(2)若∠DBC ＝30°，BO ＝4，求四边形ABED 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝AC ，AB ∥CE ，又∵BE ∥AC ，∴四边形ABEC 是平行四边形，∴BE ＝AC ，∴BD ＝BE (2)S 四边形ABED ＝12(AB ＋DE )·BC ＝12(4＋8)×43＝24310．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，AC 于点E ，O ，连接CE ，则CE 的长为( C )A ．3B ．3.5C ．2.5D ．2.811．矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若OE ∶ED ＝1∶3，AE ＝3，则BD ＝5．12．如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AC 上的一点，且BO ＝2AE ，∠AOD ＝120°，求证：BE ⊥AC .解：证明△AOB 为等边三角形，点E 是OA 的中点即可 13．如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 为矩形ABCD 外一点，若AE ⊥CE ，求证：BE ⊥DE .解：连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∵AE⊥CE ，∴OE ＝12AC ，∴OE ＝12BD ，∴OE ＝OB ＝OD ，可证∠BED ＝90°，∴BE ⊥DE14．如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F ，G ，H 分别是AD ，AB ，BC ，CD 的中点． (1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)若菱形ABCD 的面积是50，求四边形EFGH 的面积．解：(1)∵点E ，F 分别是AD ，AB 的中点，∴EF 綊12DB ，同理GH 綊12DB ，∴EF綊GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴EF ⊥AC ，∴FG ⊥EF ，∴∠GFE ＝90°，∴四边形EFGH 是矩形 (2)由(1)知EF ＝12DB ，FG ＝12AC ，∴S 矩形EFGH ＝EF·FG ＝14AC·BD ＝12·(12·AC·BD )＝12×50＝2515．如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于点M ，MA ＝MC . (1)求证：CD ＝AN ；(2)若∠AMD ＝2∠MCD ，求证：四边形ADCN 是矩形．解：(1)证△AMD ≌△CMN 得AD ＝CN ，又∵AD ∥CN ，∴四边形ADCN 是平行四边形，∴CD ＝AN (2)∵∠AMD ＝2∠MCD ，∠AMD ＝∠MCD ＋∠MDC ，∴∠MCD ＝∠MDC ，∴MD ＝MC ，由(1)知四边形ADCN 是平行四边形，∴MD ＝MN ＝MA ＝MC ，∴AC ＝DN ，∴▱ADCN 是矩形16．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N .(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MNDN的值．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠ANM ＝∠CMN ，由折叠知∠CNM ＝∠ANM ，∴∠CNM ＝∠CMN ，∴CN ＝CM (2)∵AD ∥BC ，S △CMN ∶S △CDN ＝3∶1，∴CM ∶DN ＝3∶1，设DN ＝x ，则CM ＝3x ，过点N 作NK ⊥BC 于点K ，∵DC ⊥BC ，∴NK ∥DC ，又∵AD ∥BC ，∴CK ＝DN ＝x ，MK ＝2x ，由(1)知CN ＝CM ＝3x ，∴NK 2＝CN 2－CK 2＝(3x )2－x 2＝8x 2，∴MN ＝MK 2＋NK 2＝（2x ）2＋8x 2＝23x ，∴MN DN ＝23xx＝23。

北师大版九年级上册数学-1.2-矩形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)

北师大版九年级上册数学矩形的性质和判定课堂讲义及练习（含答案）【矩形的性质】1．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.温馨提示①对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法。

2. 矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质 .（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线相等.（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴. 矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心,过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分..矩形中相等的线段：AC=BD， OA = OC=OB = OD．矩形中相等的角：∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°．矩形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①矩形具有平行四边形的一切性质；②利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；③“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。

【练习】1.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．52.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是( )A．30° B．° C．15° D．10°3第4题第5题第6题第7题4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF ＝________cm.5.△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )A．15° B．25° C．35° D．45°6.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．67.在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．208.如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.9.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．【矩形的判定】1.矩形的判定定理（1）有三个角是直角的四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

北师大版九年级数学上册1.2.3 矩形的性质与判定的综合应用(课件)【新版】

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证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC. ∴∠ABE＝∠ECF. 又∵点E为BC的中点， ∴BE＝CE. 又∵∠AEB＝∠FEC， ∴△ABE≌△FCE. ∴AB＝CF.
又AB∥CF， ∴四边形ABFC为平行四边形． ∴AE＝EF. ∵∠AEC为△ABE的外角， ∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB. 又∵∠AEC＝2∠ABC， ∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE. ∴AE＋EF＝BE＋CE，即AF＝BC. ∴四边形ABFC为矩形．
证明：(1)如图，作BH⊥FP交FP的延长线于点H. ∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF， ∴四边形BDFH是矩形． ∴BD＝HF. ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C. ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠PEB＝∠PFC＝90°. ∴∠EPB＝∠FPC.
又∵∠HPB＝∠FPC， ∴∠EPB＝∠HPB. ∵PE⊥AB，PH⊥BH， ∴∠PEB＝∠PHB＝90°. 又∵PB＝PB， ∴△PEB≌△PHB. 则PE＝PH. ∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.
2
2
∴ FG＝EF.
∴四边形EFGH是菱形．
②当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
点拨：(2)②中由(1)可知四边形EFGH是平行
四边形，
∵E，F分别是AB，BC的中点， ∴EF∥AC. ∵AC⊥BD，∴EF⊥BD. ∵G，F分别是CD，BC的中点， ∴FG∥BD. ∵EF⊥BD， ∴EF⊥FG.即∠EFG＝90°. ∴四边形EFGH是矩形．
小敏在思考问Leabharlann 时，有如下思路：连接AC.点E，F分
别是AB，揪中位三线角揪定形理?
BC的中点
点G，H分
别是CD，揪中位三线角揪定形理?

1.2 矩形的性质与判定北师大版九年级数学上册解答专项练习(含解析)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》解答专项练习题（附答案）1．如图，点E为矩形ABCD内一点，且EA＝EB．求证：∠ECD＝∠EDC．2．如图，在矩形ABCD中，点M在CD上，AM＝AB，BN⊥AM，垂足为N．（1）求证：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝3，MN＝1，求AB的长．3．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB＝8，BC＝16，求CF的长．4．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF．（1）求证：四边形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长．5．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．（1）求证：四边形BCEF是矩形；（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．6．如图，在▱ABCD中，点E、F在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF．（1）求证：△ABF≌△DCE；（2）求证：四边形ABCD是矩形．7．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝4，AD＝3，求四边形BCED的周长．8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积．9．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．10．如图，在矩形ABCD中，E为DC边的中点，连接AB，AE的延长线和BC的延长线相交于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）连接AC，与BE相交于点G，若△GEC的面积为2，求矩形ABCD的面积．11．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O作直线分别与矩形的边AB，CD交于E，F两点，连接BF，DE．（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；（2）若AD＝1，AB＝3，且EF⊥BD，求AE的长．12．已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）当△ABC的边AC、BC满足什么数量关系时，四边形AMCN是矩形，请说明理由．13．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：OC＝BC．（2）四边形ABCD是矩形．14．已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC的中点，连接AC，DE交于点F，AB ＝AC，AF＝CF．（1）如图1，求证：四边形AECD是矩形；（2）如图2，连接BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与△BEF面积相等的三角形．15．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC 交BD于点O，连接BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1（1）判断△BEC的形状，并说明理由；（2）求证：四边形EFPH是矩形．17．如图△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝4，CF＝3，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．18．如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向点O运动．（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是否是平行四边形？请说明理由；（2）若AC＝16cm，BD＝12cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值，如不能，请说明理由．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，MD⊥MP，求AQ的长．20．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．21．如图，在长方形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在长方形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止，已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．（1）当x为何值时，点的运动停止？（2）点P与点N可能相遇吗？点Q与点M呢？请通过计算说明理由．（3）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？22．如图，AC为矩形ABCD的对角线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形BFDE是平行四边形．23．如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点M从点D出发，按折线D→C→B→A→D方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且BE＝3cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？24．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D回到点A，设点P运动的时间为t秒．（1）当t＝3秒时，求△ABP的面积；（2）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？（3）当t为何值时（2＜t＜5），以线段AD、CP、AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP是斜边．参考答案1．证明：∵EA＝EB，∴∠EAB＝∠EBA，在矩形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，AD＝BC，∴∠DAB﹣∠EAB＝∠CBA﹣∠EBA，即∠EAD＝∠EBC，在△ADE和△BCE中，AD=BC∠DAE=∠CBE，EA=EB∴△ADE≌△BCE（SAS）．∴ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC．2．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD，∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，在△ABN和△MAD中，∠BAN=∠AMD∠BNA=∠D=90°，AB=AM∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD＝3，∵AB2＝AN2+BN2，∴AB2＝（AB﹣1）2+9，∴AB＝5，3．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵点O是AC的中点，∴AO＝CO，在△AEO和△CFO中，∠DAC=∠ACBAO=CO，∠AOE=∠COF∴△AEO≌△CFO（ASA）；（2）解：如图，连接AF，∵AO＝CO，EF⊥AC，∴AF＝FC，∵AF2＝AB2+BF2，∴CF2＝（16﹣CF）2+64，∴CF＝10．4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵FC＝AE，∴CD﹣FC＝AB﹣AE，即DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形DEBF是矩形；（2）解：∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∵DC∥AB，∴∠DFA＝∠BAF，∴∠DFA＝∠DAF，∴AD＝DF＝5，在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=AD2―AE2=52―32=4，由（1）得：四边形DEBF是矩形，∴BF＝DE＝4．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵EF＝DA，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形，又∵CE⊥AD，∴∠CEF＝90°，∴平行四边形BCEF是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，∵CF＝4，DF＝5，∴CD2+CF2＝DF2，∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，∴△CDF的面积=12DF×CE=12CF×CD，∴CE=CF×CDDF=4×35=125，由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形，∴∠FBC＝90°，BF＝CE=12 5，∴BC=CF2―BF2=42―(125)2=165，∴EF=16 5．6．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝FD，∴AE+EF＝FD+EF，即AF＝DE，在△ABF和△DCE中，AB=CDBF=CE，AF=DE∴△ABF≌△DCE（SSS）；（2）由（1）可知：△ABF≌△DCE，∴∠A＝∠D，∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴▱ABCD为矩形．7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC，∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形，∴CE＝BD．∵CE＝AC，∴AC＝BD．∴▱ABCD是矩形；（2）解：∵AB＝4，AD＝3，∠DAB＝90°，∴BD=AB2+AD2=42+32=5．∵四边形BCED是平行四边形，∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）＝2×（3+5）＝16．8．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴EC＝DC，又∵∠BDE＝15°，∴∠CDO＝60°，又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD＝OC，∴△OCD是等边三角形，∴∠DOC＝∠OCD＝60°，∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，∵CO＝CE，∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+75°＝135°；（3）解：作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴BF＝FC，∴OF=12CD＝1，∵∠OCB＝30°，AB＝2，∴BC＝23，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°，在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，∴△BOE的面积=12•EB•OF=12×（23―2）×1=3―1．9．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）如图，连接OP，∵AD＝12，AB＝5，∴BD=AB2+AD2=144+25=13，∴BO＝OD＝AO＝CO=13 2，∵S△AOD=14S矩形ABCD=14×12×5＝15，∴S△AOP+S△POD＝15，∴12×132×FP+12×132×EP＝15，∴PE+PF=60 13．10．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥CB，AD＝BC，∴∠D＝∠FCE；∵E为DC中点，∴ED＝EC，在△ADE与△FCE中，∠D=∠FCEDE=CE∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCE（ASA）；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝DC，∴ABEC=BGEG，S△ABGS△CEG=（ABEC）2，∵DE＝CE，∴AB＝2CE，∴BGEG=2，S△ABGS△CEG=（ABEC）2＝4，∵△GEC的面积为2，∴S△BGC＝2S△CEG＝4，S△ABG＝4S△CEG＝8，∴S△ABC＝S△BGC+S△ABG＝4+8＝12，∴矩形ABCD的面积＝2S△ABC＝24．11．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠OBE＝∠ODF，∵O为对角线BD的中点，∴OB＝OD，在△OBE和△ODF中，∠OBE=∠ODFOB=OD∠BOE=∠DOF，∴△OBE≌△ODF（ASA），∴BE＝DF，又∵BE∥DF，∴四边形BEDF为平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，由（1）得：四边形BEDF为平行四边形，∵EF⊥BD，∴平行四边形BEDF为菱形，∴BE＝DE，设AE＝x，则DE＝BE＝3﹣x，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 2+AE 2＝DE 2，即12+x 2＝（3﹣x ）2，解得：x =43，即AE 的长为43．12．（1）证明∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∵M ，N 分别为AB 和CD 的中点，∴AM =12AB ，CN =12CD ，∴AM ＝CN ，∵AB ∥CD ，∴四边形AMCN 是平行四边形；（2）解：AC ＝BC 时，四边形AMCN 是矩形，证明∵AC ＝BC ，且M 是BC 的中点，∴CM ⊥AB ，即∠AMC ＝90°，∴四边形AMCN 是矩形．13．证明：（1）∵CE 平分∠ACB ，∴∠OCE ＝∠BCE ，∵BO ⊥CE ，∴∠CFO ＝∠CFB ＝90°，在△OCF 与△BCF 中，∠OCE =∠BCE CF =CF ∠CFO =∠CFB，△OCF ≌△BCF （ASA ），∴OC ＝BC ；（2）∵点O 是AC 的中点，∴OA ＝OC ，∵AD ∥BC ，∴∠DAO ＝∠BCO ，∠ADO ＝∠CBO ，在△OAD与△OCB中，∠DAO=∠BCOOA=OC，∠ADO=∠CBO∴△OAD≌△OCB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OE⊥AC，∴∠EOC＝90°，在△OCE与△BCE中，CE=CE∠OCE=∠BEC，OC=BC∴△OCE≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠EOC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．14．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠FAD＝∠FCE，∠FDA＝∠FEC，在△ADF和△CEF中，∠FAD=∠FCE∠FDA=∠FEC，AF=CF∴△ADF≌△CEF（AAS），∴AD＝CE，∵AD∥CE，∴四边形AECD为平行四边形，∵AB＝AC，点E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECD为矩形；（2）解：图2中与△BEF面积相等的三角形为△AEF，△ADF，△CDF，△CEF．理由如下：∵点E为BC的中点，∴S△CEF＝S△BEF，∵AF＝CF，∴S△AEF＝S△CEF，S△ADF＝S△CDF，由（1）可知，四边形AECD是矩形，∴EF＝DF，∴S△AEF＝S△ADF，∴S△CEF＝S△BEF＝S△AEF＝S△ADF＝S△CDF，即与△BEF面积相等的三角形为△AEF，△ADF，△CDF，△CEF．15．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，AB＝ED，∵DC＝ED，∴DC＝AB，DC∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵DE⊥AD，∴∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：过O作OF⊥CD于F，∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2∴DE＝CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，∴OD＝OC，∵OF⊥CD，∴DF＝CF=12CD=12×2=1，∴OF=12BC=12×4=2，EF＝DE+DF＝2+1＝3，∴OE=EF2+OF2=32+22=13．16．解：（1）△BEC是直角三角形：理由是：∵矩形ABCD，∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2，由勾股定理得：CE=CD2+DE2=22+12=5，同理BE＝25，∴CE2+BE2＝5+20＝25，∵BC2＝52＝25，∴BE2+CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是直角三角形．（2）∵矩形ABCD，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP，∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP，∴AE＝CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形，∵∠BEC＝90°，∴平行四边形EFPH是矩形．17．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF；（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，∵CE＝4，CF＝3，∴EF=42+32=5，∴OC=12EF=52；（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．18．解：（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD；∵E、F两动点，分别从A、C两点以相同的速度向点O运动，∴AE＝CF；∴OE＝OF；∴BD、EF互相平分；∴四边形DEBF是平行四边形；（2）四边形DEBF能是矩形．理由：∵四边形DEBF是平行四边形，∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形；∵BD＝12cm，∴EF＝12cm；∴OE＝OF＝6cm；∵AC＝16cm；∴OA＝OC＝8cm；∴AE＝2cm，由于动点的速度都是1cm/s，所以t＝2（s）故当运动时间t＝2s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．19．解：（1）∵△CDQ≌△CPQ，∴DQ＝PQ，PC＝DC，∵AB＝DC＝5，AD＝BC＝3，∴PC＝5，在Rt△PBC中，PB=PC2―BC2=4，∴PA＝AB﹣PB＝5﹣4＝1，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝3﹣x，在Rt△PAQ中，（3﹣x）2＝x2+12，解得x=4 3，∴AQ=4 3．（2）方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，∵MD⊥MP，∴∠PMD＝90°，∴∠PME+∠DMF＝90°，∵∠FDM+∠DMF＝90°，∴∠MDF＝∠PME，∵M是QC的中点，∴DM=12QC，PM=12QC，∴DM＝PM，在△MDF和△PME中，∠MDF=∠PME∠DFM=∠MEPDM=PM，∴△MDF≌△PME（AAS），∴ME＝DF，PE＝MF，∵EF⊥CD，AD⊥CD，∴EF∥AD，∵QM＝MC，∴DF＝CF=12DC=52，∴ME=5 2，∵ME是梯形ABCQ的中位线，∴2ME＝AQ+BC，即5＝AQ+3，∴AQ＝2．方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点，∴DM＝CM，∴∠DMQ＝2∠DCQ，∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点，∴MP＝CM，∴∠PMQ＝2∠PCQ，∵∠DMP＝90°，∴2∠DCQ+2∠PCQ＝90°，∴∠PCD＝45°，°∠BCP＝90°﹣45°＝45°，∴∠BPC＝45°＝∠BCP，∴BP＝BC＝3，∵∠CPQ＝90°，∴∠APQ＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴∠AQP＝90°﹣45°＝45°＝∠APQ，∴AQ＝AP＝2．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE=12OB，DF=12OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．21．解：（1）由题意得x2＝20，∴x＝25，∴当x为25时，点的运动停止；（2）当点P与点N相遇时，2x+x2＝20，解得x＝221―1或﹣1﹣221（舍去），当点Q与点M相遇时，x+3x＝20，解得x＝5，当x＝5时，x2＝25＞20，∴点Q与点M不能相遇；（3）∵当点N到达A点时，x2＝20，∴x＝25，∴BQ＝25cm，CM＝65cm，∵BQ+CM＝85＜20，∴此时M点与Q点还未相遇，∴点Q只能在点M的左侧，①如图，当点P在点N的左侧时，20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2），解得x＝0（舍去）或x＝2，∴当x＝2时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；②如图，当点P在点N的右侧时，20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20，解得x＝4或﹣10（舍去），∴当x＝4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形，综上，当x＝2或4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．22．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCF，AB=CD∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形．23．解：（1）设t秒时两点相遇，根据题意得，t+2t＝2（4+8），解得t＝8，答：经过8秒两点相遇；（2）观察图象可知，点M不可能在AB或DC上．①如图1，点M在E点右侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形，得：8﹣t＝9﹣2t，解得t ＝1，∵t ＝1时，点M 还在DC 上，∴t ＝1舍去；②如图2，点M 在E 点左侧时，当AN ＝ME 时，四边形AEMN 为平行四边形，得：8﹣t ＝2t ﹣9，解得t =173．所以，经过173秒钟，点A 、E 、M 、N 组成平行四边形．24．解：（1）当t ＝3时，点P 的路程为2×3＝6cm ，∵AB ＝4cm ，BC ＝6cm∴点P 在BC 上，∴S △ABP =12AB ⋅BP =4（cm 2）．（2）（Ⅰ）若点P 在BC 上，∵在Rt △ABP 中，AP ＝5，AB ＝4∴BP ＝2t ﹣4＝3，∴t =72；（Ⅱ）若点P 在DC 上，则在Rt △ADP 中，AP 是斜边，∵AD ＝6，∴AP ＞6，∴AP ≠5；（Ⅲ）若点P 在AD 上，AP ＝5，则点P的路程为20﹣5＝15，∴t=15 2，综上，当t=72秒或t=152时，AP＝5cm．（3）当2＜t＜5时，点P在BC边上，∵BP＝2t﹣4，CP＝10﹣2t，∴AP2＝AB2+BP2＝42+（2t﹣4）2由题意，有AD2+CP2＝AP2∴62+（10﹣2t）2＝42+（2t﹣4）2∴t=133＜5，即t=13 3．。

数学北师大版九年级上册第1章1.2矩形的性质与判定(3)同步训练(含解析)

数学北师大版九年级上册第1章1.2矩形的性质与判定（3）同步训练（含解析）B.C. 3D.5.如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD、AB上的点，若EF=EC，EF⊥EC，DC= ，则BE的长为（）A.B.C.4D.26.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB ＝120°，AD＝2，点E是BC的中点，连结OE，则OE 的长是（）A.B. 2C.2D.47.如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是（）A.AC＝DEB.AB＝ACC.AD＝ECD.OA＝OE8.如图，E是矩形ABCD内的一个动点，连接EA、EB、EC、ED，得到△EAB、△EBC、△ECD、△EDA，设它们的面积分别是m、n、p、q，给出如下结论：①m+n=q+p；②m+p=n+q；③若m=n，则E点一定是AC与BD的交点；④若m=n，则E点一定在BD上．其中正确结论的序号是（）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④9.如图，E，F分别是矩形ABCD边AD，BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（）A.15B.20C.35D.4010.如图，在中，是的中点，将沿翻折得到，连接，则线段的长等于( )A.2B.C.D.二、填空题11.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E为边CD 的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF 长为________.12.如图,点E是矩形ABCD内任一点,若AB=3,BC=4.则图中阴影部分的面积为________．13.如图，矩形ABCD中，AB=2 ，AD=6，P为边AD上一点，且AP=2，在对角线BD上寻找一点M，使AM+PM最小，则AM+PM的最小值为________．14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC ＝8 cm，则△AEF的周长为________cm．15.在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为________．16.如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，EF 过点O 且EF⊥AC 分别交DC 于点F ，交AB 于点E ，点G 是AE 中点且∠AOG=30°，给出以下结论： ①∠AFC=120°；②△AEF 是等边三角形；③AC=3OG；④S △AOG = 61 S △ABC其中正确的是________．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题17.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥BD．求OE 的长．18.如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，EF⊥CE 且与AB 相交于点F ，若DE=2，AD+DC=8，且CE=EF ，求AE的长。

秋北师大版九年级数学上册习题课件：1.2 第3课时矩形的性质与判定的综合运用

You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
解：由矩形的性质与勾股定理得 AC＝BD＝10 cm，由中位线得，EF＝AE＝52 cm，AF＝4 cm，
∴△AEF 的周长为 9 cm.
求证：(1)△ODE≌△FCE； (2)四边形 ODFC 是菱形．
证明：(1)证∠DOE＝∠CFE，∠ODE＝∠FCE，CE ＝DE，得△ODE≌△FCE；
(2)先证四边形 ODFC 是平行四边形，又 OC＝OD， ∴四边形 ODFC 是菱形．
◎拓展提升
5. 如图，矩形 ABCD 中，M 为 CD 中点，以 B，M
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 3:06:42 PM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/192021/9/192021/9/19Sep-2119-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/192021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/192021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月19日星期日2021/9/192021/9/192021/9/19 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/192021/9/19September 19, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/192021/9/192021/9/192021/9/19

北师大版九年级数学上册习题 1.2 矩形的性质与判定

1.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质01基础题知识点1矩形的定义1．已知四边形ABCD，若AB∥CD，AD∥BC，且∠A＝90°，则四边形ABCD为矩形．知识点2矩形的性质2．下列命题是假命题的是(D)A．矩形的对角线相等B．矩形的对边相等C．矩形的对角线互相平分D．矩形的对角线互相垂直3．(黄石中考)如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是(C)A．30°B．60°C．90°D．120°4．(益阳中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是(D) A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为(A) A．4 B．3C．2 D．16．(宜昌中考)如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(C)A．8 B．6C．4 D．27．(济南中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠AOD＝120°，求AC的长．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°.∴△AOB是等边三角形．∴AO＝AB＝4.∴AC＝2AO＝8.8．(钦州中考)如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD.又∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴DF＝BE.又AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形．∴DE＝BF.知识点3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，D为AB的中点，则CD＝5cm.10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB＝OA＝2 cm，则AD的长为23_cm．02中档题11．(鄂尔多斯中考)如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB ＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长为(D)A．14 B．16 C．17 D．1812．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED＝90°，AD＝10，则AB的长为5．13．(河南模拟)如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF ＝4.设AB ＝x ，AD ＝y ，则x 2＋(y －4)2的值为16．14．(沈阳中考)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE ＝CF ，连接OE ，OF.求证：OE ＝OF.证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AC ＝BD ，OD ＝12BD ，OC ＝12AC.∴OD ＝OC.∴∠ODC ＝∠OCD.∴∠ADC －∠ODC ＝∠BCD －∠OCD ，即∠EDO ＝∠FCO.在△ODE 与△OCF 中，⎩⎨⎧DE ＝CF ，∠EDO ＝∠FCO ，OD ＝OC ，∴△ODE ≌△OCF(SAS)． ∴OE ＝OF.03 综合题15．已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，且AE ＝CF ，作EG ∥FH ，分别与对角线BD 交于点G 、H ，连接EH ，FG.(1)求证：△BFH ≌△DEG ；(2)连接DF ，若BF ＝DF ，则四边形EGFH 是什么特殊四边形？证明你的结论．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，OB ＝OD. ∴∠FBH ＝∠EDG . ∵AE ＝CF ， ∴BF ＝DE. ∵EG ∥FH ，∴∠OHF ＝∠OGE. ∴∠BHF ＝∠DGE.在△BFH 和△DEG 中，⎩⎨⎧∠FBH ＝∠EDG ，∠BHF ＝∠DGE ，BF ＝DE ，∴△BFH ≌△DEG(AAS)．(2)四边形EGFH 是菱形．理由如下：连接DF ，由(1)得△BFH ≌△DEG ， ∴FH ＝EG. 又∵EG ∥FH ，∴四边形EGFH 是平行四边形． ∵BF ＝DF ，OB ＝OD ， ∴EF ⊥BD. ∴EF ⊥GH.∴四边形EGFH 是菱形．。

1.2 矩形的性质与判定北师大版九年级上册数学 1.2 矩形的性质与判定1.2 矩形的性质和判定练习

1.2 矩形的性质与判定一、填空与选择1．矩形的对边，对角线且，四个角都是，即是图形又是图形。

2．矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于。

3．如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。

4. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.5. 矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.6．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为。

7．若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 . 8．平行四边形没有而矩形具有的性质是（）A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等9.下列叙述错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.平行四边形的四个内角相等。

C.矩形的对角线相等。

D.有一个角时90º的平行四边形是矩形 10.下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（）A ．测量两条对角线是否相等B ．用曲尺测量对角线是否互相垂直C ．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角D.测量两条对角线是否互相平分11．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（） A 、5cmB 、7.5cmC 、10cmD 、12.5cm12.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A 、平行四边形B 、等边三角形C 、矩形D 、直角三角形二、解答题y xPDCBAO1．如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，︒=∠120AOD ，AB=4cm ，求此矩形的面积。

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第3课时矩形的性质与判定的运用
基础题
知识点矩形的性质与判定的运用
1．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝6，则AC＝( ) A．8 B．10 C．12 D．18
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( ) A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
3．下列说法正确的是( )
A．矩形的对角线互相平分
B．矩形的四条边相等
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论不正确的是( ) A．AC⊥BD B．AC＝BD
C．BO＝DO D．AO＝CO
5．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为正确的是( ) A．甲量得窗框两组对边分别相等
B．乙量得窗框对角线相等
C．丙量得窗框的一组邻边相等
D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等
6．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上)，AB＝5，BC＝12，点A 表示的数是－1，则对角线AC、BD的交点表示的数是( )
A．5.5 B．5 C．6 D．6.5
7．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD＝60°，OE⊥AC.若AD＝3，则OE ＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．木工做一个矩形桌面，量得桌面的两组对边长分别为15 cm，8 cm，对角线为17 cm，则这个桌面______(填“合格”或“不合格”)．
9．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°.则∠ODC＝________．
10．将一个含30°的角的直角三角尺(∠AMF＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为________．
11．(海南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，则图中四个小矩形的周长之和为________．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD.
求证：EF＝CD.
中档题
13．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快________s 后，四边形ABPQ成为矩形．
15．如图所示，□ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA 的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程．(要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件)
综合题
16．如图，已知在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF，M为EF的中点．
(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；
(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．
参考答案
基础题
1.C
2.D
3.A
4.A
5.D
6.A
7.A
8.合格
9.25° 10.15° 11.14 12.证明：∵DE 、DF 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，DF ∥AC.
∴四边形DECF 是平行四边形．又∵∠ACB ＝90°， ∴四边形DECF 是矩形． ∴EF ＝CD. 中档题 13.A 14.4
15.结论：四边形PQMN 是一个矩形．
理由如下：∵四边形ABCD 是一个平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°.
又∵AQ ，BN 分别是∠DAB ，∠ABC 的角平分线， ∴∠PBA ＝12∠ABC ，∠PAB ＝1
2
∠BAD.
∴∠PBA ＋∠PAB ＝12(∠ABC ＋∠BAD)＝1
2×180°＝90°
.∴∠APB ＝90°.
同理：∠BNM ＝∠AQD ＝90°. ∴四边形PQMN 是矩形．综合题
16.(1)四边形PECF 是矩形．
理由如下：在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 2＋BC 2＝32＋42＝52＝AB 2.∴∠ACB ＝90°. ∵PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，
∴∠PEC ＝∠ACB ＝∠CFP ＝90°. ∴四边形PECF 是矩形．（2）CM 的长度会改变．
理由：连接PM ，由(1)证得四边形PECF 是矩形，
∴EF ＝PC ，CM ＝1
2
CP.
过点C 作CD ⊥AB ，当CD ＝PC 时PC 最小，∴PC ＝AC ·BC AB ＝12
5
＝2.4. ∵点P 在斜边AB 上(不与A 、B 重合)， ∴PC ＜BC ＝4.
∴PC 的范围是2.4≤PC ＜4，即EF 的范围是2.4≤EF ＜4. ∴CM 的范围是1.2≤CM ＜2.。

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