抽象代数
抽象代数基础 教学大纲
抽象代数基础
一、课程说明
课程编号：130215Z10
课程名称：抽象代数基础/Fundamental of Abstract Algebra
课程类别：专业教育课程
学时/学分：48/3
先修课程：高等代数
适用专业：信息与计算科学、数学与应用数学、统计学
教材、教学参考书：
1. 张禾瑞编,《近世代数基础》，高等教育出版社, 2010年;
2. 丘维声编，《抽象代数基础》，高等教育出版社，2003年；
3. 聂灵沼，丁石孙编，《代数学引论》，高等教育出版社，2000年。
二、课程设置的目的意义
《抽象代数》是数学专业的专业选修课之一，它为现代数学、现代物理学、计算机科学、现代通信以及密码学等提供了语言、重要结论和研究方法。该课程主要讲授群、环、域的基本理论和初步知识，培养学生的抽象思维和逻辑推理的能力、为后继课程学习奠定基础。
该课程的目的在于使学生初步掌握基本的抽象代数知识和抽象、严格的代数方法，培养学生的抽象思维和逻辑推理的能力；进一步理解具体与抽象、特殊与一般等辨证关系。锻炼学生认识问题和研究问题的能力，提高学生的数学素质。
三、课程的基本要求
知识：掌握群的定义,群的同态,变换群,置换群,循环群,子群,子群的陪集,不变子群、商群等; 掌握环的定义, 整环, 子环, 环同态, 剩余类环, 理想, 唯一分解整环, 主理想环, 欧式环,多项式环与因子分解等; 掌握域的定义, 域扩张, 分裂域、有限域的结构等。进一步融合高等代数和抽象代数课程的内容，使之成为一个有机整体。
能力：通过对抽象代数基础知识的学习和基本技巧的训练，培养学生的理解能力和抽象思维能力；重视理论和具体实例之间的相互联系，培养运用抽象代数的方法分析问题和解决问题的能力。
抽象代数-
抽象代数
抽象代数是一种研究代数结构的数学分支。它主要研究抽象结构的性质和关系，这些结构在代数学中经常出现。代数结构通常由一组对象以及代数运算所组成。例如，向量空间就是一个代数结构，由向量组成，并在其上定义了称为加法和数乘的运算。另一个例子是环，由一组元素和两个二元运算组成，称为加法和乘法。
抽象代数中的基本概念是群、环和域等代数结构。一个群就是一个集合，其中包含一些元素以及定义在这些元素上的二元运算。这个运算必须满足一些条件，例如结合律和单位元素的存在性。另一个重要的性质是每个元素都有一个逆元素。群的一些典型例子包括对称群和整数群。
环是一种代数结构，其中包含一个集合，以及定义在这个集合上的两个二元运算（加法和乘法）。这些运算必须满足一些条件，例如分配律和乘法单位元素的存在性。整数环和矩阵环都是一些典型例子。
域是一种代数结构，它包含一个集合，以及定义在这个集合上的加法、乘法和求逆元素运算。域的一个重要性质是它的乘法和加法都满足分配律。实数域和复数域都是典型的域。
在抽象代数中，还有一些与上述代数结构相关的概念，例如同态和同构。同态是指两个代数结构之间的一种映射，它保留了结构中的一些性质。同构是指一种同态，其中映射还是一一映射。
抽象代数中的一个重要原理是结构定理，它给出了任何有限生成的交换群的结构。换言之，任何有限生成的交换群都可以写成一些有限阶循环群的直和形式。这个原理是代数几何和代数数论中的许多结论的基础。
总的来说，抽象代数是研究代数结构的重要分支，它涵盖了群、环、域等许多概念，并具有广泛的应用，包括密码学、编码理论、代数几何和代数数论等。
大三数学抽象代数精选题目
大三数学抽象代数精选题目
一、群论
1. 给定一个群G，证明其单位元素是唯一的。
证明：
设e和e'都是群G的单位元素，即对任意的g∈G，有eg=ge=g和e'g=ge'=g。
则有：e=g⁻¹g= (e'g⁻¹)g=e'(g⁻¹g)=e'。
因此，群G的单位元素是唯一的。
2. 设G是一个群，证明：G中任意元素的逆元素也在G中。
证明：
设g∈G，由群的定义可知，存在一个元素g'∈G使得gg'=g'g=e （其中e为群G的单位元素）。
因此，g'是g的逆元素。
由此可见，G中任意元素的逆元素也在G中。
二、环论
1. 证明：对于任意整数n，Zn（整数环Z中模n的剩余类）构成一个环。
证明：
（1）封闭性：对于任意的a、b∈Zn，a=b(mod n)，即a与b同余(mod n)，那么a+b和ab与b+a(mod n)以及ab(mod n)也是模n的剩余类，因此Zn对于加法和乘法运算均封闭。
（2）结合律：由于Zn对于加法和乘法运算均封闭，结合性显然成立。
（3）加法单位元：对于任意的a∈Zn，a+0=a=0+a(mod n)，其中0
为模n的零元。
（4）加法逆元：对于任意的a∈Zn，存在一个元素b∈Zn使得
a+b=b+a=0(mod n)，即b为a的加法逆元。
（5）乘法单位元：对于任意的a∈Zn，a×1=a=1×a(mod n)，其中1
为模n的单位元。
（6）乘法交换律：由于Zn对于乘法运算封闭，交换律显然成立。
综上所述，Zn构成一个环。
2. 证明：交换环中存在无零因子的元素。
证明：
设R是一个交换环，如果存在a、b∈R且ab=0，则可以得出结论
高等代数1
高等代数
高等代数是现代数学中的一门重要学科，它研究的是代数结构的基础和性质。代数结构是指由一组元素及其相关运算组成的数学系统，如群、环、域等。高等代数是对线性代数和抽象代数等基础知识的延伸和深化，对于理解现代数学中许多分支都至关重要。
一、线性代数
高等代数中最基础的部分是线性代数。线性代数是代数学中的一个分支，主要研究向量、矩阵以及线性方程组的性质和运算。线性代数是微积分和微分方程等数学领域必不可少的基础知识，它的应用范围也很广泛，包括了图像处理、信号处理、机器学习等领域。
1. 向量空间
向量空间是线性代数中最重要的概念之一，它是由一组向量以及其对应的加法和数乘运算组成的数学结构。向量可以是实数向量或复数向量，它们具有加法、数乘、向量求和、向量求差等运算。
2. 线性变换
线性变换是一种从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它具有线性性质。线性变换的本质是将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，它可以用矩阵表示，从而得到
更方便的运算方式。
3. 矩阵及其运算
矩阵是线性代数中常见的数学工具，它具有加法、数乘、矩阵乘法等运算，可以用于解决线性方程组、对称矩阵的特征值和特征向量等问题。
二、抽象代数
抽象代数是研究代数结构的基本性质和理论结构的一门学科，它通过对代数结构的抽象和推广，研究了许多重要的代数性质。抽象代数包括了群论、环论、域论等领域。
1. 群论
群是一种有限或无限的、具有代数结构的量，它由一组元素以及合成运算组成。群具有封闭、结合、单位元和逆元等运算性质，在数学研究中被广泛应用。群论的应用领域包括了几何学、物理学、密码学等领域。
群论与抽象代数
群论与抽象代数
群论和抽象代数是数学领域中的两个重要分支，它们研究的对象和
方法在数学、物理、计算机科学等多个学科中有广泛的应用。本文将
探讨群论和抽象代数的基本概念和性质，以及它们的关系和应用。
一、群论的基本概念和性质
群论是研究代数系统中的群的结构和性质的数学分支。群是指一个
集合G和一个在集合上定义的二元运算，满足以下四个性质：
1. 封闭性：对于任意的a、b∈G，a·b∈G；
2. 结合律：对于任意的a、b、c∈G，(a·b)·c=a·(b·c)；
3. 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，a·e=e·a=a；
4. 存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a'∈G，使得
a·a'=a'·a=e。
群还可以满足其他一些性质，比如交换律，即对于任意的a、b∈G，a·b=b·a。满足交换律的群称为交换群或阿贝尔群。
二、抽象代数的基本概念和性质
抽象代数是研究代数结构和代数对象的基本性质的数学分支。抽象
代数的研究对象可以是群、环、域等代数结构。抽象代数的基本概念
包括代数运算、代数结构和同态映射等。
代数运算是指数学对象上的一种运算，比如在集合上定义的二元运算、一元运算等。代数结构是指具有特定代数运算和性质的集合。
同态映射是两个代数结构之间的映射，它保持代数运算的性质。同态映射可以用来研究代数结构之间的关系。
三、群论与抽象代数的关系
群论是抽象代数中的一个重要分支，它研究的是具有群结构的代数对象。在抽象代数中，群是一种非常基本的代数结构。
群论与抽象代数的关系主要体现在以下几个方面：
1. 群论为抽象代数提供了基本的概念和方法。群论中的群的概念和性质为抽象代数的研究提供了基础。通过研究群的结构和性质，可以推广到其他代数结构的研究。
抽象代数的应用与实践
抽象代数的应用与实践
抽象代数是数学的一个分支，主要研究运算和结构的一般性质。它
的基本思想是将运算和结构抽象化，从而可以研究不同数学结构之间
的关系和性质。尽管抽象代数看起来很抽象，但它在现实生活中有着
广泛的应用和实践。
1. 加密算法与密码学
抽象代数在密码学领域中有着重要的应用。加密算法的设计依赖
于数论和抽象代数的概念。例如，公钥加密算法中使用了群论中的离
散对数问题和大素数的乘法群。抽象代数的研究可以帮助我们理解和
设计更安全的加密算法，保护个人隐私和信息安全。
2. 编码与信息传输
在信息传输中，错误校正编码是非常重要的。抽象代数的线性代
数和有限域理论为错误校正编码提供了坚实的数学基础。例如，汉明
码和里德-所罗门码就是常用的错误校正编码方式。抽象代数的研究使
得我们可以设计更高效的错误校正编码方案，提高通信系统的可靠性。
3. 数学物理与量子力学
抽象代数在数学物理领域中扮演着重要的角色，特别是在量子力
学中。量子力学中的算子和向量空间的概念都可以从抽象代数的角度
进行理解。线性代数和群论是量子力学中不可或缺的数学工具，能够
描述和解决一系列复杂的物理问题。
4. 计算机科学与算法设计
抽象代数为计算机科学和算法设计提供了重要的理论基础。比如
在图论中，群论的概念可以帮助我们理解图的置换对称性和其它性质。抽象代数的观念也被广泛应用于计算机科学中的密码学、编译器设计、图像处理等方面。
5. 数学教育与研究
抽象代数是现代数学的重要分支，对于培养数学思维和解决问题
的能力非常关键。它在数学教育中被广泛应用，让学生更好地理解并
抽象代数考试试题及答案
抽象代数考试试题及答案
在这份3000字的抽象代数考试试题及答案内容中，将为您详细解
析各种抽象代数考试题目，并给出相应的答案，帮助您更好地理解和
掌握这一领域的知识。
第一题：给定一个环R，证明R中每个理想都是主理想。
解答：首先，我们知道一个环中的理想是一个包含于该环的子集，
并且满足加法和乘法封闭性，对于任意r∈R和a，b∈I（I为R的一个
理想），有ra, rb∈I。
要证明R中每个理想都是主理想，即对于任意理想I，存在一个元
素r∈R，使得I = rR。我们可以取r为I的一个生成元素，即r为使得I = rR的最小生成元素。
第二题：证明一个整数环不一定是唯一分解整环。
解答：反例：考虑整数环Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}，Z并不是唯一
分解整环，因为在Z中存在不满足唯一分解性质的元素。例如，2可以被分解为2 = (-1)(-2) = 1 * 2，即存在不同的唯一分解形式。
第三题：给定一个域K，证明K[x]（K上的多项式环）是唯一分解
整环。
解答：首先证明K[x]是整环。然后证明K[x]是主理想整环（PID），意味着K[x]中的每个理想都是主理想。再进一步证明K[x]是唯一分解
整环（UFD），即K[x]中每个非零元素都可以被分解为不可约元素的
乘积，且这个分解是唯一的。
通过以上试题及解答，我们可以看出在抽象代数领域中，需要深入
理解环、理想、整环、唯一分解整环等概念，并掌握相应的证明方法，才能较好地解决相关问题。希望以上内容对您有所帮助，祝您学业有成！
抽象代数教案
抽象代数教案
一、引言
抽象代数是数学的一个重要分支，它研究代数结构及其性质，并通
过一种抽象的方式对代数对象进行分类和理解。本教案旨在介绍抽象
代数的基本概念和主要内容，帮助学生初步掌握抽象代数的思想和方法。
二、基本概念
1. 代数系统
代数系统是指具有一组运算和一些运算规则的集合。常见的代数系
统包括群、环和域等。
2. 群
群是一种代数结构，它包括一个集合和一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等性质。群可以分为交换群和非
交换群。
3. 环
环是一种代数结构，它包括一个集合和两个二元运算，满足加法和
乘法封闭性、结合律、分配律等性质。环可以分为交换环和非交换环。
4. 域
域是一种代数结构，它包括一个集合和两个二元运算，满足加法和乘法封闭性、结合律、分配律以及存在加法单位元和乘法单位元等性质。
三、主要内容
1. 群论
1.1 群的定义和基本性质
1.2 子群和陪集
1.3 同态和同构
1.4 群的分类
2. 环论
2.1 环的定义和基本性质
2.2 理想和商环
2.3 同态和同构
2.4 环的分类
3. 域论
3.1 域的定义和基本性质
3.2 子域和扩域
3.3 代数元和超越元
3.4 域的分类
四、教学方法
1. 理论讲授
通过清晰的讲解和示例，介绍抽象代数的基本概念和主要内容，帮助学生建立起关于代数结构的抽象思维。
2. 经典案例分析
选取一些经典的代数问题或定理，进行详细分析和讨论，帮助学生深入理解抽象代数的思想和方法。
3. 计算实践
设计一些计算练习，让学生通过实际计算来巩固和应用所学的代数知识，培养解决问题的能力。
抽象代数的概念与应用
抽象代数的概念与应用
抽象代数是数学中一个非常重要的分支。从字面上理解，抽象
代数是对代数结构进行的一种抽象的研究。虽然初学者可能会对
这个领域感到陌生，但是抽象代数已经被证明是在许多不同的应
用中至关重要的。在本文中，我们将探索抽象代数的概念与应用
以及它在数学、计算机科学、物理学和其他领域中的实际应用。
抽象代数的概念
抽象代数是一种研究代数结构的数学学科。代数结构是指一组
数学对象及它们之间的一些关系，通常包括运算、等式和公理。
对这些对象和关系进行抽象地研究，是抽象代数的主要目标。抽
象代数的一个基本概念是群，它是一种代数结构，包括一组对象
和一种二元运算，并满足一些基本性质。
具体来说，一个群必须满足以下性质：
1. 闭合性： A和B是群G的成员，A*B也是群G的成员。
2. 结合律：对于群G中的任意三个成员，(A*B)*C=A*(B*C)。
3. 反元素：对于群G中的任意一个成员A，存在一个成员B，使得A*B=B*A=e，其中e是群G的恒等元素。
4. 恒等元素：存在一个元素e，使得对于群G中的任意元素A，e*A=A*e=A。
这些性质保证了群的基本性质，它们是抽象代数研究的核心内容。在这之上，抽象代数还研究了其他代数结构，如环、域和向
量空间等。
抽象代数的应用
抽象代数在数学以外的领域中也有广泛的应用。以下是抽象代
数在数学、计算机科学、物理学和其他领域中的一些实际应用。
数学中的应用
在数学研究中，抽象代数已被证明是一个强大的工具。在代数
几何中，群论、域论和其他抽象代数内容都扮演了重要角色。抽
象代数也被应用于实际问题的解决，如密码学中的ElGamal密码和Diffie–Hellman密钥交换协议等。此外，抽象代数在贝尔定理、代数化数学、代数编程和代数处理四个方面都有广泛应用。
群论与抽象代数
群论与抽象代数是现代数学的两个重要分支，它们不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在其他科学领域也发挥着重要的作用。
群论是研究代数结构的一个分支，它研究的对象称为群。群由一组元素及其上的一个二元运算组成，其运算必须满足封闭性、结合性、单位元存在性和逆元存在性等性质。群论的研究内容包括群的结构、子群、同态和同构等。群论的一个经典例子就是整数加法群，其中元素是整数集合，运算是加法。群论的一个重要应用领域是密码学，其中群论的概念和性质用于构建安全的加密算法。
抽象代数是研究代数结构的一个更加抽象的分支，它以群论为基础，并扩展到更一般的代数结构。抽象代数研究的对象可以是群、环、域等。它主要关注代数结构的性质和相互之间的关系。抽象代数的一个经典例子就是线性代数，其中研究的对象是向量空间及其上的线性变换。线性代数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用，如量子力学的希尔伯特空间和计算机图形学的三维空间变换等。
群论和抽象代数的研究方法都十分抽象和推广，因此具有很强的普适性和适用性。在数学领域，它们对于研究其他代数结构如环、域及其上的代数方程等起着基础性的作用。此外，在物理学、化学、计算机科学等领域，群论和抽象代数中的概念和方法也有着广泛的应用，如对称群在分子结构研究中的应用、线性变换在计算机图形学中的应用等。
群论和抽象代数的研究方法还被广泛应用于其他科学领域的建模和分析中。例如，它们可以用来描述和分析复杂系统中的对称性和不变性，如晶体学中的对称性分析、量子力学中的对称性变换等。此外，群论和抽象代数的概念和方法还可以用于网络科学中复杂网络的分析与建模，如社交网络中的群组结构、网络拓扑结构的对称性和同构性等。
近世代数和抽象代数的区别
近世代数和抽象代数的区别
抽象代数和近世代数有着不同的研究方向，其中有几个很明显的区别： 1。从运算形式来看，近世代数在做运算时，必须首先考虑所使用的计算机能够进行哪种运算；而抽象代数的基础是算术运算。 2。从应用领域来看，近世代数的范围相对狭窄些，只限于某些具体的数学问题。如果涉及到非数学专业的话，可能会因为各种原因，人们无法理解它。但当与其他学科相联系时，便可以转化成为通俗易懂的语言了。而抽象代数的研究范围则十分广泛，在许多不同的领域中都得到了广泛的应用。 3。从思想方法上来看，近世代数在分析具体问题时更多地采用直观的方法；而抽象代数则注重理论分析。在实际应用时，抽象代数常需要一些间接的经验，例如，对特殊情况的处理等。这些问题往往还牵涉到数学本身的根本问题。 4。从计算机来看，近世代数由于其复杂性，对计算机的要求比较高，目前还不是很普及。随着计算机技术的发展，人们对近世代数的认识会越来越深刻。抽象代数则由于它本身所具有的简洁性和严谨性，将被越来越多的人所接受。
近世代数是一门比较古老的学科，它起源于希腊，最早的近世代数工作大约是由古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里德和阿基米德完成的。从19世纪开始，数学家们才真正认识到近世代数的价值，但那时已为时太晚了。近世代数现在属于抽象代数的一个分支，是解决数学分析的各类问题的重要工具。它和离散数学一样是当今最活跃的数学分支之一。近世代数包含着丰富的内容。
近世代数主要关心的是数学本身的性质、运算法则等，这是从数学的角度来考虑的。从数学史的角度看，近世代数是近代数学的开端。18世纪末，欧洲的几何学家提出了解析几何的问题。第一次明确地把数与形结合起来，从而创立了新的数学分支——解析几何。
《抽象代数》教学大纲
《抽象代数》教学大纲
一、课程基本信息
课程编码：061112B
中文名称：抽象代数
英文名称：AbstractA1gebra
课程类别：专业基础课程
总学时：48（理论40,实践8）
总学分：3
适用专业：数学与应用数学
先修课程：高等代数
二、课程的性质、目标和任务
抽象代数（或近世代数）是数学与应用数学专业学生的一门专业课，是高等代数的继续和提高，本课程主要研究各种代数系统一-群、环、域等的结构。通过本课程的学习，使学生获得一定的抽象代数基础知识，受到代数方法的初步训练，提高辩证思维和逻辑推理能力，并为进一步学习专业知识打下基础。
三、课程教学基本要求
1、授课：以课堂讲授为主，采取板书配以多媒体的方式。
2、习题课：进行典型问题分析，方法总结，难题讲解，与学生黑板演题相结合，训练学生的逻辑思维能力，解题能力和思维严密性。
3、作业：每次课后配以一定量的书面作业，按学院统一要求每周批改一次。
4、辅导：每周进行答疑辅导。
四、课程教学内容及要求
第一章基本概念（6学时）
【教学目标与要求】
1、理解代数运算，同态与同构等概念。
2、掌握等价关系，集合的分类等概念。
【教学重点与难点】
1、教学重点：代数运算、同态与同构。
2、教学难点：等价关系与集合分类的内在联系。
【教学内容】
1.1集合
1.2映射与变换
1.3代数运算
14运算律
1.5同态与同构
1.6等价关系与集合的分类
第二章群（16学时）
【教学目标与要求】
1、掌握群和半群的定义，熟知群和半群的一些典型实例；理解元素阶的定义和性质。
2、理解并掌握循环群的概念和表示。
3、了解变换群，理解置换群。
《抽象代数》课程思政教学大纲
《抽象代数》课程思政教学大纲
一、课程信息
课程名称：抽象代数
Abstract Algebra
课程代码：06S1114B
课程类别：专业核心课程/必修课
适用专业：数学与应用数学
课程学时：64学时
课程学分：4学分
修读学期：第5学期
先修课程：高等代数1、高等代数2
二、课程目标
抽象代数以群、环、域等代数系统为其基本内容。它对高等代数中出现的数域、多项式、矩阵、线性空间等概念进一步概括，具有抽象的特点，适宜于培养学生抽象思维和逻辑推理的能力。它不仅是将来学习代数的一个入门，而且与其它学科，如几何、拓扑、泛函和有限数学等有密切联系。抽象代数主要讲授群、环、域的基本概念、基本理论、基本性质等。群方面介绍变换群、置换群、循环群、正规子群、商群、群同态、n元交错群等；环方面介绍模n剩余类环、多项式环、理想、商环、同态及同构等。域方面介绍域的基本定理、基本性质。先修课程为高等代数等课程。
（一）具体目标
通过本课程的学习，使学生达到以下目标：
1.深刻理解群(半群、子群)、环(子环、理想)、域等基本概念；熟练掌握一些群(循环群、置换群、变换群、一般线性群等)，环(整环、除环、模n剩余类环、多项式环等)，域(有理分式域等)的概念以及相关概念(运算与运算律、等价关系与集合的分类、群的同态与同构、环的同态与同构、正规子群与商群、理想与商环、环的特征、单位群等)。【支撑毕业要求指标点3.1、3.2、3.3】
2.准确计算群、环、域中零元及单位元、元素的逆、元素的阶，环中的可逆元和零因子；正确写出子群的陪集，商群、商环中的元素表达式；精确确定循环群的生成元及子群、模n剩余类环的子环和理想、代数元的极小多项式等。
抽象代数的应用
抽象代数的应用
抽象代数是一门重要的数学学科，它融合了多种数学技术，可以用来研究各种数学结构。其学习抽象代数的应用也可以推广到计算机科学、物理学和数值分析等领域，因此，掌握抽象代数的应用的能力非常重要。
抽象代数的应用可以分为两大类：理论应用和实际应用。其中理论应用涉及计算群、环、域和序以及它们之间的关系。群学节点可以用来研究数学结构，探索定理和猜想，以构建数学实体。实际应用是抽象代数的重要组成部分，它主要用于计算机科学、物理学和数值分析等领域。
在计算机科学中，抽象代数可以用来研究状态空间中的特定关系。在密码学中，抽象代数可以用来构建密码系统，以及研究密码学算法的安全性。在数据库原理中，抽象代数可以用来分析数据库索引结构，以及存储和检索记录。此外，抽象代数还可以用来研究机器学习算法，有助于提高算法的性能。
在物理学中，抽象代数可以用来刻画系统的行为，这种行为可以用群学来描述。例如，可以使用群学来描述量子力学中的基本数据及其变化，以及物理系统能量水平及其变化的关系。此外，抽象代数还可以用来探究数学模型的复杂性，以及探索它们的解决方案。
在数值分析领域，抽象代数可以用来解决多元函数的不可积性问题，此外，还可以分析数学模型，以及通过研究函数的数学特性来了解数值分析方法的优劣。此外，抽象代数还可以应用于优化方法，以
及求解数学方程组的技术。
抽象代数的应用广泛，它可以用来解决许多应用程序中的问题。在抽象代数的应用中，数学建模是最常见的方式之一，重点是研究特定概念的表达和解释，以及这些概念之间的关系。例如，抽象代数可以用来研究分块矩阵和稀疏矩阵的性质，以及它们之间的关系，以及它们如何影响解决线性方程组的性能。
抽象代数的基本概念
抽象代数的基本概念
抽象代数是数学的一个分支，研究的是各种代数结构及其相应的运
算规则。它的基本概念主要包括群、环、域三个方面。本文将对这三
个基本概念进行详细介绍。
一、群
群是抽象代数中最基本的一种代数结构，它由一个非空集合 G 和一
个在 G 上定义的二元运算 * 组成。如果满足以下四个条件，即可称为
一个群：
1. 封闭性：对于任意的 a, b ∈ G，a * b 也属于 G。
2. 结合律：对于任意的 a, b, c ∈ G，(a * b) * c = a * (b * c)。
3. 存在唯一单位元：存在一个元素 e ∈ G，使得对于任意的 a ∈ G，
a * e = e * a = a。
4. 存在逆元素：对于任意的 a ∈ G，存在一个 b ∈ G，使得 a * b =
b * a = e。
群可以分为有限群和无限群。有限群指群中元素个数有限，无限群
指群中元素个数无限。群还可以通过群的运算性质来进一步分类，比
如阿贝尔群（也叫交换群），它满足交换律，即对于任意的a, b ∈G，
a *
b = b * a。
二、环
环是一个比群更为一般的代数结构，它由一个非空集合 R 和两个在
R 上定义的二元运算 + 和 * 组成。如果满足以下八个条件，即可称为
一个环：
1. 封闭性：对于任意的 a, b ∈ R，a + b 和 a * b 也属于 R。
2. 加法结合律：对于任意的 a, b, c ∈ R，(a + b) + c = a + (b + c)。
3. 加法交换律：对于任意的 a, b ∈ R，a + b = b + a。
《抽象代数基础》教案
《抽象代数基础》教案
一、引言
1.1 课程背景
抽象代数是数学的一个重要分支，它研究的是代数结构及其性质。抽象代数基础课程旨在帮助学生掌握代数基本概念、理论和方法，为后续高级代数课程打下坚实基础。
1.2 课程目标
通过本课程的学习，学生将能够：
理解并运用代数基本概念，如群、环、域等；
熟练掌握代数运算和结构性质；
运用抽象代数的方法解决实际问题。
二、基本概念
2.1 集合与映射
集合的基本运算
映射的定义和性质
2.2 群与环
群的定义和性质
环的定义和性质
2.3 域与域扩张
域的定义和性质
域扩张的定义和性质
三、代数运算
3.1 群的运算
群的乘法运算
群的单位元和逆元3.2 环的运算
环的加法运算
环的乘法运算
3.3 域的运算
域的加法运算
域的乘法运算
四、代数结构
4.1 群的结构
群的子群和同态
群的直积和半直积4.2 环的结构
环的子环和同态
环的理想和商环4.3 域的结构
域的子域和同态
域的分裂和扩张
五、应用实例
5.1 线性代数的应用线性方程组的解
矩阵的运算和性质
5.2 数理逻辑的应用
命题逻辑和谓词逻辑
代数逻辑和自动机理论5.3 编码理论的应用
线性码和非线性码
编码译码算法和性能分析
六、线性代数基础
6.1 向量空间
向量的定义和性质
向量空间的基本概念6.2 线性映射
线性映射的定义和性质线性映射的图像和核6.3 矩阵
矩阵的定义和运算
矩阵的行列式和特征值
七、群论深入
7.1 群的作用
群的群作用和群代表
群的分类和计数
7.2 群表示论
群表示的基本概念
群表示的构造和性质
7.3 群扩张和分类
群扩张的性质和分类
群的饱和性和分类定理
八、环与域的高级主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
李尚志
北京航空航天大学
抽象代数课程教什么?考什么?
• 微积分,线性代数有计算,抽象代数没有? • 既然叫抽象, 就是没有例子? • 有证明。太难,课时不够, 删去! • 还剩什么？死记硬背！ • 九阴真经: 努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混
花察察,学根许八涂,米尔米尔 • 小学程度就可以背诵和考试! • 谁是山寨版 ?
• 旋转a :v(cosa)v+(sina)(iv) • (cosa +isina)n = cosna +isinna
(棣美弗公式)
f: RR, a eia = cosa +isina
f(a+b) = f(a)f(b) : (群同态) Kerf=f-1(1)=2pZ. R/2pZ≌R (群同构)
• 曾肯成问题: 随机整数行列式等于奇 数与偶数的概率.
• 奇偶数加减乘公式: • 偶±偶=偶,偶±奇=奇,奇±奇=偶;
整×偶=偶,奇×奇=奇. • 用0,1表示: 0±0=0,0±1=1,1±1=0;
a×0=0,1×1=1. • 二元域 Z2={0,1}.注意1+1=0,a-
b=a+b.
2020/3/2
2020/3/2
抽象代数一定要从公理开始?
• 公理是什么? 许多不同东西的共同点. • 公理化方法: 描述性(非构造性)定义 • 样板: 几何(欧几里德) -- 代数(抽象代数) • 群,环,域的公理内容: • 1. 对加、减、乘、除的封闭性 • 2. 解释什么是加、减、乘、除 • 加法：向量空间前4条公理 = 交换群的运算 • 乘法：结合律(群的公理)
2020/3/2
案例5. xn -1 的因式分解
复数范围: xn -1=(x-1)(x-w)…(x-wn-1) 有理数范围: 以x15 -1为例 1,w,w2,…,w14在乘法群中的阶d|15 • 同阶d=1,3,5,15复因子相乘得Fd(x) F1(x)=x-1. F3(x)=(x3-1)/(x-1)=x2+x+1. F5(x)=(x5-1)/(x-1)=x4+x3+x2+x+1 F15(x)=(x15-1)/(F1(x)F3(x)F5(x)) • 分圆多项式 Fd(x)
2020/3/2
满足条件 J2 = -I.
推广. 域的代数扩张
• 无中生有: 为域F上多项式f(x)造根。 • 强制规定[f(x)]=[0]: 在F[x]中生成理想 (f(x)). • 同余类环 E=F[x]/(f(x))中[f(x)]=[0], [x]是根. • f(x) 在 F[x] 中不可约: E 是F的代数扩域. • 设d=deg f(x), 则 E 是 F 上 d 维空间,[E:F]=d. • 造矩阵根: F上线性变换[g(x)][x][g(x)] 在基
Z2上的2阶行列式
• D=ad-bc为奇数的概率 • 情况1. ad=1,bc=0 • a=d=1, • (b,c)=(0,0),(0,1),(1,0) • 情况2. ad=0,bc=1 • b=c=1, • (a,d)=(0,0),(0,1),(1,0) • 共6种可能,概率=6/16=3/8 • D为偶数的概率=1-3/8=5/8
• 各行和= (1+…+9)/3=15 • 中心=(15×4－45)/(4 － 1)=5 • 奇偶按角边: 第一行和=第一列和 :
a1+a2+a3 ≡a1+b1+c1a2 ≡b1 • 边=奇: a1+a2+a3 ≡1 a2 ≡1 • 边=奇, 角=偶
2020/3/2
案例7. 奇与偶的算术
---二元域
2020/3/2
有限域: 5最 PK 3最
• 1 抽象代数最后一课 • 2 最难 • 3 最不应当考
• 1 最有用: 信息安全大显身手 • 2 最有味: 抽象代数味道 • 3 最易懂: 小学生可以懂! • 4 最先讲: 可在第一课第一分钟! • 5 最应当考:首选第一题!
2020/3/2
案例6.三阶幻方全推导
2020/3/2
公理化: 群,子群,陪集分解
• 以正方体旋转群G为例. • G按6个面1,…,6分组, 第 i 组 Gi ={g|g1=i} • g,a在同一组 g1=a1 a-1g1=1 • a-1g∈ G1g∈aG1. Gi= aG1. • 由a 可逆得: h1≠h 2 ah1≠ah2 • |Gi |=|G1|, i=1,…,6. |G|=6|G1|. |G1|整除|G|. • 推广: G 对除法封闭总可计算a-1g • “同组” 等价性=G1含1, 对求逆,乘法封闭 • 群G分为子群G1的陪集aG1, |G1|整除|G|.
2020/3/2
Z2上可逆矩阵群
• GL(2,2):
• Z2上2维空间V共3个非零向量 • v1(1,0),v2(0,1),v3(1,1) • 任何两个线性无关 • 每个置换都是可逆线性变换 • 上述矩阵右乘分别得(1),(23),(12),
(123),(13),(132).
• GL(2,2) ≌ S3
au=1, u=a-1. y=ax+b x=a-1(y-b)
• Zn中可逆元组成乘法群 Zn*
2020/3/2
案例9.p元域Zp上可逆阵
• 素数p: Zp* = Zp \{0}. Zp 是域. • Zp 上的n阶可逆方阵个数 • |GL(n,p)|=(pn-1)…(pn-pk)…(pn-pn-1) • 随机整数n阶行列式模p余r概率 • r=0: P0=1-|GL(n,p)|/pn2 • r≠0, f:GL(n,p) Zp*, AdetA.
2020/3/2
案例分析乘法群元素的阶
• 例:q/7. 10k (k=1,2,…)模7余3,2,6,4,5,1，d=6. • 循环节D=q(106-1)/7=142857q. 1/7=a=142857… • 对k=1,2,…,5, 10ka-qk=(10k-7qk)/7=rk/7。 • 将D前k位移到末尾,得到D的rk(=3,2,6,4,5)倍。 • 推广：1/a的循环节轮换排列都得到D的rk倍。 • 仅当d=n-1时得到所有各倍循环群的生成元 • 另例:1/17=0.0588235294117647…。1/19= • 更多性质：142+857=999，14+28+57=99。
• 案例分析正规子群,同态基本定理
2020/3/2
案例10. 极限与微分
• 博士生 2010考题. • 在一点a连续的全体实函数构成环C • O(Dx)(无穷小)与o(Dx)=O(Dx)Dx都是C的理想. • limxcf(x)=A f(x) ≡A (mod O(Dx)) • f(x) ≡f(a)+f’(a)Dx (mod o(Dx)) • 和差积商极限: f(x)≡A, g(x)≡B 加减乘除 • 幂的导数: (x+Dx)n≡xn+nxn-1Dx (xn)’=nxn-1 • 积的导数: f(x)g(x)≡f(a)g(a)+(f(a)g’(a)+g(a)f’(a))Dx • 商的导数:
=rs+(r×偶+偶×s+偶×偶)=rs+偶 • “假零”性质: O1.偶±偶=偶
O2.整×偶=偶 • 真零性质: 0±0=0,数×0=0
• 只考虑奇偶性:可以将偶数当作0.
2020/3/2
公理化：环, 理想, 商环
• 环 D：对加、减、乘封闭 • 加、减、乘的合法性条件： • 加法:结合律,交换律,零,负元 • 减法:a-b=a+(-b),(a-b)+b=a. • 乘法:结合律,对加法的分配律 • 理想Q:D的子集,满足“假零”性质O1,O2 • 记a-b∈Q为 a≡b (mod Q),可按等式计算 • 商环: D/Q =同余类集合{ [a]=a+ Q}, • 定义加,减,乘:[a]±[b]=[a±b], [a][b]=[ab].
对加法的分配律(环的公理) • Prof.zhang 教学法: • 通过有招学无招无招胜有招: • 案例公理案例
2020/3/2
案例1. 三阶幻方以一变多
正方形的对称群
•
旋转
来自百度文库
轴对称
•
• 共有多少个？ • 按2的位置分4组.每组2个.2×4=8
2020/3/2
正多边形与正多面体
• 正三角形的对称群 • 三角形数谜一变多 • 2×3=6 • S3 • 正方体的旋转群 • 3×8个顶点=24 • 4×6个面=24
2020/3/2
Z2 上n阶行列式
• 数域上的线性代数定理:
• detA=1A可逆行线性无 关
• 茅台换矿泉:也适合于二元域 Z2 • 第1行:A1≠0, 2n-1个选择 • 第2行:A2 ≠ lA1, 2n-2个选择 • 第k+1行:Ak+1 ≠ l1A1+…+lkAk,
2n-2k个选择
2020/3/2
案例11.分数化小数-- 循环节长度
• 数学聊斋: 商家打折: 1428元? • a=1/7=0.142857… • 循环节D=106a-a= 142857=(106-1)/7. • q/p=a的循环节 D=(10d-1)q/p=整数. • 最小的d使 10dq≡q(mod p) • 当 p是素数(≠2,5), 10d≡1(mod p) • D是 10在乘法群 Zp*中的阶,整除 p-1 • 混循环: (10d-1)10kq≡0(mod p).
2020/3/2
案例8. Zn --单表密码
• Zn =Z/nZ={r+nZ| r=0,1,…,n-1}. • 加法密码: Z26: f(x) = x+b. • 仿射密码: f(x)=ax+b, a可逆. • 可逆元与反函数.例: • y=3x+5, 9×3=27=1, 9=3-1,x=9(y-5). • 可逆条件: (a,n)=1, 存在 au+nq=1,
2020/3/2
案例12. 复数的代数模型—域扩张
2020/3/2
案例12. 复数的代数模型—域扩张
• 环同态基本定理 • 已经找到矩阵J满足J2+I=0。 • 环同态 f:R[x]R[J], f(x)f(J). Kerf = f-1(0) = (x2+1). • 每个 aI+bJ[a+bx]={a+bx+q(x)(x2+1)|q(x)∈R[x]} • 商环 C = R[x]/ (x2+1) ={[a+bx]|a,b∈R} • [0]=[x2+1]=[x]2+[1] [x]2 = -[1]。 • a+bx≠0 与x2+1互素,在C中可逆.C 是域. • 记[1]=1,[x]=i, 则 i2 = -1. C={a1+bi | a,b∈R} =复数域。 • 直接为x2+1造根: 不需先猜J2+I=0。 • 在R[x]中强制规定“假零集合”Q = [0]= [x2+1]. • 则 Q = (x2+1)由 x2+1 的所有倍式组成. C=R[x]/ (x2+1) • 线性变换: [a+bx][x][a+bx]在基{[1],[x]}下的矩阵
• 共有 (2n-1)(2n-22)…(2n-2n-1)个
• 概率=(1-1/2n)(1-1/2n-1)…(1-1/2)
2020/3/2
案例分析：“假零”性质
• a±b,ab的奇偶性只与a,b奇偶性有关: • a±b =(r+偶)±(s+偶) (结合,交换）
=(r± s)+ (偶±偶)= (r± s)+ 偶 • ab =(r+偶)(s+偶) （分配)
2020/3/2
案例2. 复数的几何与矩阵模型
• i2 = -1 : 左转两番朝后方 • 平面向量v(-1)v,后转(180o) • 记viv为左转(90o).则i2 = -1. • 域同构: 复数平面线性变换矩阵
• i 左转变换i
• a+bi a1+bi
2020/3/2
案例3. 平面旋转群 R
2020/3/2
案例4. 单位根群
单位根: 1的 n 次方根. xn =1的根. f(a)n =1 na = 2kp a=2kp/n 1,w,w2,…,wn-1 , w = cos(2p/n) +isin(2p/n) • n阶循环群 〈 w 〉={1,w,w2,…,wn-1} • f:Z 〈 w 〉, k wk , f(k+r) = f(k)f(r) • Ker f = nZ • Zn=Z/nZ ≌ 〈 w 〉