近世代数初步_习题解答(抽象代数)

《近世代数初步》习题答案与解答引 论 章一、知识摘要1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=⨯的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算).2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈∀(1),ba ab = (2)),()(bc a c ab =(3)存在单位元e 满足,a ae ea ==(4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素.则称G 为一个交换群.(i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群.3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足：I. F 对加法构成交换群.II. F*=F\{0}对乘法构成交换群.III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈∀就称F 为一个域.4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足：I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1).III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈∀ 就称R 为一个环.5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =⇒==⇒=∈∀且6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子.7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合.8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义：321个n n a aa a ...=,43421个n n a a a a e a 1110...,----==.则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈∀∈∀有.)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+===(在加法群中可写出相应的形式.)9.关于数域上的行列式理论、多项式理论(包括除法算式、整除性、最大公因式、因式分解唯一性定理等)、线性方程组理论、矩阵运算及理论、线性空间及线性变换理论在一般域F 上都成立.二、习题解答 1、（1）否，（2）否，（3）是，（4）是。

注：因为集合Ａ上的一个代数运算对应了集合Ａ×Ａ到Ａ的一个映射。

此类题由此直接判断。

2、证明 由于在F 2上的任一和式中，只要有一项是1，其结果永远是1。

而a+b 与b+a ；a+(b+c)与(a+b)+c 中1，0出现的次数分别相同，它们的和就分别相等，故F 2中加法交换律和结合律成立。

由于ab 和ba ；a （bc ）和（ab ）c 中如有0出现，其积为零，否则其积为1，故这两对积分别相等，于是F 2中乘法交换律和结合律成立。

对a （b+c ）和ab+ac ，若a=0，这两式子都为零；若a=1，这两式子都为b+c ，对这两种情形两式子都相等，故F 2中乘法对加法的分配律成立。

注：此类题根据所定义的运算法则直接验证。

3、（1）对a+b=a=a+0用加法消去律，得b=0。

（2）由于[（-a ）-b]+a+b=（-a ）+[-b+（a+b ）]=（-a ）+a=0,由负元的定义知（-a ）-b=-（a+b ）. （3）在（2）中将 b 换为-b ，就得-（a-b ）=（-a ）+b 。

（4）对a-b=c 两边加上b ，左边=（a-b ）+b=a ，右边=c+b ，故a=c+b 。

（5）a ·0+a=a ·0+a ·1=a （0+1）=a,用加法消去律得a ·0=0。

（6）00)()(=⋅=+-=+-b b a a ab b a ，故b a ab )(-=-，将上式b a ,互换就得)(b a ab -=。

（7）.)())(()(ac ab c a ab c b a c b a -=-+=-+=- 注：此题直接根据环上的两个运算的性质和关系进行验证。

4∑=m i i a 1∑=nj jb1=∑=++nj jm ba a 11)(Λ∑∑==++=nj j m n j j b a b a 111Λ∑∑∑∑=====++=nj ji mi nj j m nj j ba b a b a 11111Λ。

注：此题直接根据环上“乘法对加法的分配律”来证明。

5.分几种情形（i ）0=+n m ，但m ，n 不为零，不妨设m 为正整数。

mma a -为m 个a 及m 个1-a 的乘积，由广义结合律知)(01m m mma a aa -+-===。

（ii ）若m ，n 中有零，不妨设m=0，则左边右边====+n n na a a a00。

（iii ）m ，n 皆为正整数，则a m+n 与a m a n 皆为m+n 个a 的积，由广义结合律知它们相等。

若m ，n 皆为负整数，则a m+n 与a m a n 皆为-（m+n ）个a -1的乘积，由广义结合律知它们相等。

（iv ）m ，n 中有正有负，且0≠+n m ，不妨设m 与m+n 为异号。

则由（iii ）n m n m m nm a a a a ==-+-+)(，两边再乘上()m ma a =--1(参看(i)),则n m n m a a a =+.以上已证明了m m n m nm a a a a a--+==1)(及再由);0(,)(时当个个〉===+++n a a a a an m n m m n m m m mn48476Λ48476Λ4484476Λ48476Λ876Λ个个个)(11)()()()())((n m n m m n m m mna a a a a n m a a m ---------===--=);0(,)(时当〈=n a n m又.)(100m m a a==⋅这就证明了.)(n m mna a=若a,b 交换,当m=0时,显示有.)(mmm ab b a =当m 为正整数时,mmm ab b a )(与都是m 个a,m 个b 的乘积,由广义结合律知它们相等,当m 为负整数时,m mm ab ba ---=)(,即111))(()()(---=m m m ab b a .左边又是1)(-m m b a ,故m m m ab b a )(=.注：此题根据广义结合律和群中元素的方幂的性质进行验证．6. 参照中学数学中对二项定理的证明,根据环上的运算性质及b a ,的交换性直接证明．7.由1))((11111111121112121==----------a a a a a a a a a a a a a a m m m m m m m ΛΛΛΛ,故11121121)(----=a a a a a a mm ΛΛ. 对第2个问题,上面一段正是证明了它的充分性,再证必要性.设121=⋅u a a a m Λ,则任意i ,1)(111=--u a a a a a m i i i ΛΛ,故每个i a 有逆元素.注：直接根据逆元的定义和广义结合律证明.8.11)1(11)1)(1()1(=+-=-+-=-+-=+-=-ba ba ca ab b ba babca bca ba bca ba d babcaba bca ba ba bca ba d -+-=-+=-1)1)(1()1(.11)1(1=+-=-+-=ba ba a ab bc ba即1-ba 在R 内也可逆又由c abc cab c ab ab c =+=+=-=-11,1)1()1(得.故cab)ab(11abcab ab 1bca)b a(11adb 1++=++=++=+c abc =+=1.注：直接根据结合律和环中乘法对加法的分配律验证.9.当n ≥2时,取⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯⋯=001A 001 000 ΛΛΛ 000nn ⨯⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫B=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-0011 0000Λ ΛΛΛΛΛ 0000 nn ⨯⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫ 则0≠A ,0≠B ,但AB=0.A,B 皆为零因子.注：根据环中零因子的定义直接构造.第一章 群 第一节 群的例子一、知识摘要1.数1的n 次单位根⎭⎬⎫⎩⎨⎧-===1,...,2,1,0:2n k e U i n k k n πε关于复数乘法构成群.2.域F 上的全体n 阶可逆矩阵关于矩阵乘法构成群,称为n 阶一般线性群,记为).(F GL n3.)(F GL n 中全体行列式为1的矩阵关于矩阵乘法构成群,称为n 阶特殊线性群,记为).(F SL n4.实数域R 上的全体n 阶正交矩阵关于矩阵乘法构成群,称为n 阶正交群,记为).(R O n5.非空集合M 上的可逆变换全体关于变换乘法构成群,称为集合M 上的全变换群,记为M S .特别,当M 是有限集{1,2,…,n}时,M 上的可逆变换称为1,2,…,n 的一个置换(或一个n 元置换).此时,全体n 元置换在置换乘法下所成的群称为n 元对称群,记为n S .6. 域F 上n 维线性空间V 上的全体可逆线性变换在变换乘法下构成群,记为).(V GL7.实数域上n 维欧氏空间V 上的全体正交变换在变换乘法下构成群,记为).(V O n8.平面上全体正交变换(保持点之间的距离和直线夹角的变换)在变换变换乘法下构成群,称为平面的正交变换群.二、习题解答1.写仿射点变换TTy x y x ),(),(:''αϕ(这儿T 是矩阵的转置)为矩阵形式⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''212122122111b b y x A b b y x a a a a y x ,其中022122111≠=a a a a A .设另一仿射点变换ρ:⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c y x B y x α,其中0≠B , 则()Ty x ,经ρϕ变成⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛212121c c b b y x A B b b y x A y x y x ρϕρρϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121c c b b B y x BA由于ρϕ,0≠=A B BA 仍是仿射点变换.易证:仿射点变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭⎫⎝⎛001001:y x y x I α是恒等变换，它是乘法单位元. 仿射点变换:'ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00211b b y x A y x α正是ϕ的逆变换. 又变换的乘法自然有结合律，故平面上全体仿射点变换对变换的乘法成为一个群.注：此类题按照群的定义验证,对逆元和单位元的存在性证明是关键.2.平面上正交点变换ϕ可写成矩阵形成ϕ:⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b y x A y x α,其中A 为2×2正交矩阵，即满足I A A AA T ==T （单位矩阵）.正交矩阵的乘积是正交矩阵，正交矩阵的逆也是正交阵。