近世代数期末考试试题和答案解析

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个

备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、

多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、

B 、

C 、

D 、

{}a {}e a ,{}3,a e {}3

,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群

A 、G 为整数集合，*为加法

B 、G 为偶数集合，*为加法

C 、G 为有理数集合，*为加法

D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|

4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），

1σ2σ3σ1σ2σ=（1324），则=（ ）

3σ3σA 、 B 、 C 、 D 、1

2

σ

1σ2σ2

2

σ

2σ1

σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A 、不可能是群

B 、不一定是群

C 、一定是群

D 、 是交换群

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。

G a 4

a 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。

6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。ϕϕ

7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得

αF F n a a a ,,,10 。

010=+++n n a a a αα

8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为-------a )0,(A A x ∈x a x = a --。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足

G 对于乘法封闭；结合律成立、---------。

G 10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群，H 是G 的子群，H={I,(1 2)}，写出H

的所有陪集。

2、设E 是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E 中的运算，（E ，）是

∙∙∙一个代数系统，问（E ，）是不是群，为什么？

∙3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q 。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、若是群，则对于任意的a 、b∈G，必有惟一的x∈G 使得a*x ＝b 。

2、设m 是一个正整数，利用m 定义整数集Z 上的二元关系：a 〜b 当且仅当m︱a –b 。

近世代数模拟试题三

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个

备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、

多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。A 、2阶 B 、3 阶 C 、4 阶 D 、 6 阶

2、设G 是群，G 有（ ）个元素，则不能肯定G 是交换群。A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。

A 、偶数

B 、奇数

C 、4的倍数

D 、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）

A 、（N,）

B 、（Z,） ≤≥

C 、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））

D 、 (P(A),)

⊆5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与

(123)交换的所有元素有（ ）

A 、(1)，(123)，(132)

B 、12)，(13)，(23)

C 、(1)，(123)

D 、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上

正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则----------

f A A a A ()[]=-a f f

1

。

3、区间[1，2]上的运算的单位元是-------。

},{min b a b a = 4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z 8的零因子有 -----------------------。

6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。

9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为------

G a m e a n

=m n --。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。S 1+S 2也是子环吗？

3、设有置换，。

)1245)(1345(=σ6)456)(234(S ∈=τ1．求和；

στστ-1

2．确定置换和的奇偶性。

στστ-1

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M 为含幺半群，证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e 。