广东省汕头市潮南区2015届高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

广东省汕头市潮南区2015届高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）若复数z=，则z在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合M={x|log2（x﹣1）＜2}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（2，b），则a+b=（）A．4B．5C．6D．73．（5分）通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由上表算得k≈7.8，因此得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”4．（5分）一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（）A．12πB．15πC．24πD．36π5．（5分）“m＜2”是“一元二次不等式x2+mx+1＞0的解集为R”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知F是双曲线﹣=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．7B．8C．9D．107．（5分）如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A．84 B．72 C．64 D．568．（5分）已知f（x）=x2，g（x）=|x﹣1|，令f1（x）=g（f（x）），f n+1（x）=g（f n（x）），则方程f2015（x）=1解的个数为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017三、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）计算（2x+）dx=．10．（5分）若（2﹣）n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为．11．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d＜0，若S20＞0，S21＜0，当S n取得最大值时，n的值为．12．（5分）给出下列六种图象变换方法：①图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；③图象向右平移个单位；④图象向左平移个单位；⑤图象向右平移个单位；⑥图象向左平移个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y=sinx的图象变换到函数的图象，那么这两种变换的序号依次是（填上一种你认为正确的答案即可）．13．（5分）运行如图所示框图，坐标满足不等式组的点共有个．【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=1，点P是直线l上的一个动点，过点P作曲线C的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为．【平面几何选做题】15．（平面几何选做题）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD 于D，交半圆O于点E，DE=1，则BC的长为．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边，锐角α的终边与单位圆在第一象限交于点A，且点A的纵坐标为，锐角β的终边与射线x﹣7y=0（x≥0）重合．（1）求tanα和tanβ的值；（2）求2α+β的值．17．（12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由；（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．18．（14分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．19．（14分）在单调递增数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a2n﹣1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，n=1，2，3，…．（1）分别计算a3，a5和a4，a6的值；（2）求数列{a n}的通项公式（将a n用n表示）；（3）设数列的前n项和为S n，证明：，n∈N*．20．（14分）如图，椭圆（a＞b＞0）过点，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且．（1）求椭圆的方程；（2）求MN的最小值；（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．21．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x﹣y+1=0平行．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数g（x）=﹣2lnx，试判断函数g（x）在（1，+∞）上的符号，并证明：lnn+（1+）≤（n∈N*）．广东省汕头市潮南区2015届高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）若复数z=，则z在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数对应点的坐标，则答案可求．解答：解：∵z==，∴z在复平面上对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）已知集合M={x|log2（x﹣1）＜2}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（2，b），则a+b=（）A．4B．5C．6D．7考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，根据M与N交集求出a与b的值，即可求出a+b 的值．解答：解：由M中的不等式变形得：log2（x﹣1）＜2=log24，即0＜x﹣1＜4，解得：1＜x＜5，即M=（1，5），∵N=（a，6），且M∩N=（2，b），∴a=2，b=5，则a+b=7．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由上表算得k≈7.8，因此得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”考点：独立性检验的应用．专题：计算题．分析：根据列联表数据得到7.8，发现它大于6.635，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”，从而可得结论．解答：解：∵7.8＞6.635，∴有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”故选C．点评：本题考查独立性检验的应用，考查利用临界值，进行判断，是一个基础题4．（5分）一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（）A．12πB．15πC．24πD．36π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知该几何体为一个圆锥，底面直径为6，母线长为5，根据圆锥表面积公式求解即可．解答：解：由三视图可知该几何体为一个圆锥，底面直径为6，母线长为5，底面圆的面积S1=π×（）2=9π．侧面积S2=π×3×5=15π，表面积为S1+S2=24π．故选C．点评：本题考查三视图求几何体的表面积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．5．（5分）“m＜2”是“一元二次不等式x2+mx+1＞0的解集为R”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：可得解集为R的充要条件为m2﹣4×1×1＜0，解之由集合的包含关系可得答案．解答：解：“一元二次不等式x2+mx+1＞0的解集为R”的充要条件为△=m2﹣4×1×1＜0，解得﹣2＜m＜2，集合{m|﹣2＜m＜2}是集合{m|m＜2}的真子集，故“m＜2”是“一元二次不等式x2+mx+1＞0的解集为R”的必要不充分条件．故选B点评：本题考查充要条件的判断，涉及一元二次不等式的解集问题，属基础题．6．（5分）已知F是双曲线﹣=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．7B．8C．9D．10考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：求出右焦点H 的坐标，由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|，从而求得2a+|AH|的值．解答：解：∵F是双曲线﹣=1的左焦点，∴a=2，b=2，c=4，F（﹣4，0 ），右焦点为H（4，0），由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=4+=4+5=9，故选C．点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把|PF|+|PA|化为2a+|PH|+|PA|是解题的关键．7．（5分）如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A．84 B．72 C．64 D．56考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色；A、C同色两大类解答：解：分两种情况：（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色）：有4×3×2×2=48种；（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色）：有4×3×1×3=36种．共有84种，故选：A点评：本题考查了区域涂色、种植花草作物是一类题目．分类要全要细．8．（5分）已知f（x）=x2，g（x）=|x﹣1|，令f1（x）=g（f（x）），f n+1（x）=g（f n（x）），则方程f2015（x）=1解的个数为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用特殊值法分别求出f1（x），f2（x），f3（x），f4（x）的解的个数，从而找到规律，进而求出f2015（x）的解的个数．解答：解：∵f（x）=x2，g（x）=|x﹣1|，∴n=0时：f1（x）=g（x2）=|x2﹣1|，令|x2﹣1|=1，方程f1（x），3=1+2个解，n=1时：f2（x）=g（|x2﹣1|）=||x2﹣1|﹣1|，令||x2﹣1|﹣1|=1，方程f2（x）有4=2+2个解，n=2时：f3（x）=|||x2﹣1|﹣1|﹣1|，令|||x2﹣1|﹣1|﹣1|=1，方程f3（x）有5=3+2个解，n=3时：f4（x）=||||x2﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|，令||||x2﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=1，方程f4（x）有6=4+2个解，…，n=2014时：f2015（x）有2017=2015+2个解，故选：D．点评：本题考查了函数的零点问题，考查了特殊到一般的数学思想，本题属于中档题．三、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）计算（2x+）dx=e2．考点：定积分．专题：计算题．分析：先求出被积函数2x+的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可．解答：解：（2x+）dx=（x2+lnx）=e2+lne﹣1﹣ln1=e2故答案为：e2点评：本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题．10．（5分）若（2﹣）n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为﹣160．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项式定理系数的性质，求出n，然后通过二项式定理的通项公式求出常数项即可．解答：解：因为（2﹣）n的展开式的二项式系数之和为64，所以2n=64，所以n=6，由二项式定理的通项公式可知T r+1=（2）6﹣r（﹣）r=26﹣r（﹣1）r C x3﹣r，当r=3时，展开式的常数项为：23（﹣1）3C=﹣160．故答案为：﹣160．点评：本题是基础题，考查二项式定理系数的性质，通项公式的应用，考查计算能力．11．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d＜0，若S20＞0，S21＜0，当S n取得最大值时，n的值为10．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的求和公式和等差数列的性质结合题意易得数列{a n}前10项均为正数，从第11项开始为负数，可得答案．解答：解：由题意可得S20==10（a1+a20）=10（a10+a11）＞0，S21===21a11＜0，∴a10+a11＞0，a11＜0，∴a10＞0，a11＜0，∴等差数列{a n}前10项均为正数，从第11项开始为负数，∴当S n取得最大值时，n的值为10故答案为：10点评：本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．12．（5分）给出下列六种图象变换方法：①图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；③图象向右平移个单位；④图象向左平移个单位；⑤图象向右平移个单位；⑥图象向左平移个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y=sinx的图象变换到函数的图象，那么这两种变换的序号依次是④②（填上一种你认为正确的答案即可）．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位可得函数y=sin（x+）的图象；再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象，故答案为：④②．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．13．（5分）运行如图所示框图，坐标满足不等式组的点共有2个．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；循环结构．专题：计算题．分析：本题是一个循环结构，由过程可以看出程序共执行6次，然后在把点的坐标代入不等式组进行检验即可解答：解：阅读算法中流程图知输出的（x，y）有（1，1），n=1；（2，2），n=2；（3，3），n=3；；（4，4），n=4；（5，5），n=5；（6，6）n=6结束循环即输出的（x，y）有（1，1）；（2，2）；（3，3）；；（4，4）；（5，5）；（6，6），经检验满足不等式组的有（2，2），（3，3）共2个故答案为：2点评：本题考查循环结构，本题解题的关键是读懂框图，并且能够利用数字进行检验，本题是一个基础题．【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=1，点P是直线l上的一个动点，过点P作曲线C的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：本题考查直线的参数方程程为（t为参数）转化，以及圆C的极坐标方程为ρ=1的转化，是一道基础题目．解答：解：∵直线l的参数方程为（t为参数）∴l：x+y﹣4=0又∵曲线C的极坐标方程为ρ=1∴圆C：x2+y2=1显然过过圆C的圆心（0，0）做直线l：x+y﹣4=0的垂线，垂足为Q，此时|PQ|的值最小∴圆C的圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离d=∴|PQ|=即|PQ|的最小值为故答案为点评：本题的考点是坐标系与参数方程，难点是方程的转化，一道2015届高考常见题型【平面几何选做题】15．（平面几何选做题）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD 于D，交半圆O于点E，DE=1，则BC的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：连结OC，过E作EF⊥OC于F，连接OE，由已知条件推导出四边形CDEF是矩形，并求出DC和AD的长，由此利用勾股定理能求出BC的长．解答：解：连结OC，过E作EF⊥OC于F，连接OE，∵AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，∴四边形CDEF是矩形，∵DE=1，∴CF=DE=1，∴OF=OC﹣1=﹣1=1，∴CD=EF==，∵CD2=DE•DA，∴DA=3，∴AC2=CD2+AD2=12，∴BC2=AB2﹣AC2=16﹣12=4，∴BC=2．故答案为：2．点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，解题时要注意切害割线定理和勾股定理的合理运用，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边，锐角α的终边与单位圆在第一象限交于点A，且点A的纵坐标为，锐角β的终边与射线x﹣7y=0（x≥0）重合．（1）求tanα和tanβ的值；（2）求2α+β的值．考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由条件得，由α为锐角，可求，即可求得，根据锐角β的终边与射线x﹣7y=0（x≥0）重合，即可求得tanβ的值．（2）由两角和与差的正切函数可求tan（α+β），tan（2α+β）的值，由，y=tanx在且，可求，，从而可得，即可求2α+β的值．解答：解：（1）由条件得，∵α为锐角，故：cosα＞0且，…（2分）所以…（3分）因为锐角β的终边与射线x﹣7y=0（x≥0）重合，所以…（6分）（2）∵，，∴…（7分）∴…（8分）∵，y=tanx在上单调递增，且，∴，…（10分）同理，∴…（11分）从而…（12分）点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数，任意角的三角函数的定义，属于基本知识的考查．17．（12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由；（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；极差、方差与标准差．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）由题设条件先作出茎叶图，再求学生乙成绩中位数．（2）先分别求出，，，，由，＜，得到甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则P（A）==，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ服从B（3，），由此能求出ξ的分布列和Eξ．解答：解：（1）茎叶图如下：…（2分）学生乙成绩中位数为84，…（4分）（2）派甲参加比较合适，理由如下：=，==85，…（5分）=+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]=35.5=+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]=41，…（7分）∵，＜，∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．…（8分）（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则P（A）==，…（9分）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ服从B（3，），∴P（ξ=k）=（）k（1﹣）k﹣3，k=0，1，2，3，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P∴Eξ=np=3×=．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．18．（14分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系．专题：综合题；空间角．分析：（Ⅰ）取AB中点O，连接EO，DO．利用等腰三角形的性质，可得EO⊥AB，证明边形OBCD为正方形，可得AB⊥OD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面EOD，从而可得AB⊥ED；（Ⅱ）由平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，可得EO⊥平面ABCD，从而可得EO⊥OD．建立空间直角坐标系，确定平面ABE的一个法向量为，，利用向量的夹角公式，可求直线EC与平面ABE所成的角；（Ⅲ）存在点F，且时，有EC∥平面FBD．确定平面FBD的法向量，证明=0即可．解答：（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．因为EB=EA，所以EO⊥AB．…（1分）因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．…（2分）因为EO∩OD=O所以AB⊥平面EOD．…（3分）因为ED⊂平面EOD所以AB⊥ED．…（4分）（Ⅱ）解：因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB所以EO⊥平面ABCD，因为OD⊂平面ABCD，所以EO⊥OD．由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…（5分）因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．所以，平面ABE的一个法向量为．…（7分）设直线EC与平面ABE所成的角为θ，所以，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为．…（9分）（Ⅲ）解：存在点F，且时，有EC∥平面FBD．…（10分）证明如下：由，，所以．设平面FBD的法向量为=（a，b，c），则有所以取a=1，得=（1，1，2）．…（12分）因为=（1，1，﹣1）•（1，1，2）=0，且EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD．即点F满足时，有EC∥平面FBD．…（14分）点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查线面角，考查利用向量解决线面角问题，确定平面的法向量是关键．19．（14分）在单调递增数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a2n﹣1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，n=1，2，3，…．（1）分别计算a3，a5和a4，a6的值；（2）求数列{a n}的通项公式（将a n用n表示）；（3）设数列的前n项和为S n，证明：，n∈N*．考点：等差数列与等比数列的综合；数列递推式．专题：计算题；证明题．分析：（1）由a1=1，a2=2，且a2n﹣1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列递推可得a3=3，a5=6，，a6=8．（2）由（1）猜想出通项公式，再用数学归纳法证明，要注意递推的严密性，（3）由（1）求得，用数学归纳法证明．解答：解：（1）由已知，得a3=3，a5=6，，a6=8．（2分）（2），，，；，，，．∴猜想，，n∈N*，（4分）以下用数学归纳法证明之．①当n=1时，a2×1﹣1=a1=1，，猜想成立；②假设n=k（k≥1，k∈N*）时，猜想成立，即，，那么，．∴n=k+1时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n∈N*，猜想成立．（6分）∴当n为奇数时，；当n为偶数时，．即数列{a n}的通项公式为．（9分）（3）由（2），得．以下用数学归纳法证明，n∈N*．①当n=1时，；当n=2时，．∴n=1，2时，不等式成立．（11分）②假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即，那么，当k为奇数时，=；当k为偶数时，=．∴n=k+1时，不等式也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n∈N*，不等式成立．（14分）点评：本题主要考查等差数列、等比数列、递推数列的有关概念，考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论、不等式的放缩等重要数学思想方法，并对学生的创新意识、推理论证能力、运算求解能力进行了考查．20．（14分）如图，椭圆（a＞b＞0）过点，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且．（1）求椭圆的方程；（2）求MN的最小值；（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：（1）因为：，且过点，列出关于a，b的方程，解得a，b．最后写出椭圆方程即可；（2）设点M（4，y1），N（4，y2）写出向量的坐标，利用向量的数量积得到y1y2=﹣15，又，结合基本不等式即可求得MN的最小值；（3）利用圆心C的坐标和半径得出圆C的方程，再令y=0，得x2﹣8x+1=0从而得出圆C过定点．解答：解：（1）∵，且过点，∴解得∴椭圆方程为．（4分）（2）设点M（4，y1），N（4，y2）则，，∴y1y2=﹣15，又∵，∴MN的最小值为．（3）圆心C的坐标为，半径．圆C的方程为，整理得：x2+y2﹣8x﹣（y1+y2）y+16+y1y2=0．∵y1y2=﹣15，∴x2+y2﹣8x﹣（y1+y2）y+1=0 令y=0，得x2﹣8x+1=0，∴．∴圆C过定点．点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．21．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x﹣y+1=0平行．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数g（x）=﹣2lnx，试判断函数g（x）在（1，+∞）上的符号，并证明：lnn+（1+）≤（n∈N*）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据极值的信息，则选用导数法，先求f'（x），再由f（x）有极值，可有=a2﹣4b＞0，又由在x=﹣1处的切线与直线x﹣y+1=0平行，可得f'（﹣1）=1﹣a+b=1从而求解．（Ⅱ）存在．令f′（x）=0得到函数的两个稳定点，然后分区间讨论函数的增减性，得到函数的极小值令其等于1，讨论得到a的值存在，求出a即可；（Ⅲ）求得g（x）=x﹣﹣2lnx，利用导数工具g（x）在（1，+∞）上是增函数，故g（x）＞g（1）=0，设x=，则g（）=﹣﹣2ln=1+﹣1+﹣2[ln（n+1）﹣lnn]=+﹣2[ln（n+1）﹣lnn]＞0，即+＞2[ln（n+1）﹣lnn]，再利用累加法进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=x2+2ax﹣b，∴f′（1）=1+2a﹣b，又因为函数在x=1处的切线与直线x﹣y+1=0平行，所以在x=1处的切线的斜率等于1，∴f′（1）=1∴b=2a①∵f（x）有极值，故方程f′（x）=x2+2ax﹣b=0有两个不等实根∴△=4a2+4b＞0∴a2+b＞0②由①．②可得，a2+2a＞0∴a＜﹣2或a＞0故实数a的取值范围是a∈（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）（（Ⅱ）存在a=﹣…（5分）由（1）可知f′（x）=x2+2ax﹣b，令f′（x）=0∴x1=﹣a﹣，x2=﹣a+∴f（x）极小=f（x2）=x23+ax22﹣2ax2+1=1，∴x2=0或x22+3ax2﹣6a=0若x2=0，则﹣a+=0，则a=0（舍），若x22+3ax2﹣6a=0，又f′（x2）=0，∴x22+2ax2﹣2a=0，∴ax2﹣4a=0∵a≠0∴x2=4∴﹣a+=4，∴a=﹣＜2∴存在实数a=﹣，使得函数f（x）的极小值为1．（Ⅲ）由g（x）=﹣2lnx=﹣2lnx=x﹣﹣2lnx 故g′（x）=1+==＞0，则g（x）在（1，+∞）上是增函数，故g（x）＞g（1）=0，所以，g（x）在（1，+∞）上恒为正．当n是正整数时，＞1，设x=，则g（）=﹣﹣2ln=1+﹣1+﹣2[ln（n+1）﹣lnn]=+﹣2[ln（n+1）﹣lnn]＞0，即+＞2[ln（n+1）﹣lnn]上式分别取n的值为1、2、3、…、n﹣1（n＞1）累加得：（）+（）+（）+…+＞2[ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+ln4﹣ln3+…lnn﹣ln（n﹣1）]∴1+2（）＞2lnn2（1+）＞2lnn+1+∴1+）＞lnn+（1+）即lnn+（1+）＜，（n＞1）又当n=1时，lnn+（1+）=，故ln n+（1+）≤，当且仅当n=1时取等号．点评：考查学生利用导数研究函数性质的能力，以及转化，特值构造证明不等式．。