概率论与数理统计第一章第五节(概率统计)

推论
设A1,A2,…,An是n (n≥2)个事件, 且 P(A1A2…An-1)＞0, 则 P(A1A2…An-1An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An| A1A2…An-1) (1.5.7) 特别地, 当n=3时, 对于三个事件A,B,C, 若 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
2 P(B1)= . 3
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由概率乘法公式(1.5.5), 得到 P(AB1)= P(B1)P(A| B1) 2 49 49 0.653 3. 3 50 75 (2) 我们要求A发生的概率P(A). 显然，取 出的合格品与选自哪一箱有关.因为 A=AΩ=A(B1∪B2)=AB1∪AB2, 又 (AB1)(AB2)= . 所以, 由概率加法公式(1.3.3)和概率乘法公 式(1.5.5)得到
性质2 (条件对立事件概率) 对于任意事件B和它
的对立事件 B , 仍然成立 P(B|A)=1- P( B |A). (1.5.2)
讲评 对公式P(B|A)=1-P(B| A )不成立, 但 P(B|A)和P(B| A )在全概率公式、贝叶斯公式中 常用到.
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性质3(条件概率加法公式) 对于随机事件 B1, B2和A, 加法公式成立： P(B1∪B2|A)= P(B1|A)+ P(B2|A) - P(B1B2|A). (1.5.3) P(B1∪B2|A)= P(B1|A)+ P(B2|A). (1.5.4)
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(1.5.8)
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例1.5.2 今有3箱货物, 其中甲厂生产的 有2箱, 乙厂生产的有1箱. 已知甲厂生 产的每箱中装有98个合格品, 不合格品有2个; 而乙厂生产的1箱中装有90个合格品, 不合格品 有10个. 现从3箱中任取1箱, 再从这一箱中任取 1件产品. 问： (1) 这件产品是甲厂生产的合格品的概率是 多少? (2) 这件产品是合格品的概率又是多少? (3) 已知取出的是合格品，那么这件合格品 是甲厂生产的概率是多少呢？ 上页 下页 返回
1.5.4 建立理论
3 10 3 5
=
P( AB) P( A)
.
定义 设A, B为随机试验E的两个事件, 且 P(A)>0, 称 P ( AB) P(B|A)= (1.5.1) P ( A) 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
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性质1 对于不可能事件 , 有P( |A)=0.
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讲评 注意P(AB)与P(B|A)的区别： (1) 凡涉及到A与B“同时”发生, 用P(AB); 有“包含”关系或主从条件关系的用P(B|A).
(2) 从样本空间上讲, 计算P(B|A)的样本空
间为ΩA, 而计算P(AB)的样本空间为Ω . 乘法公式可以推广到多个事件的情形.
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பைடு நூலகம்
特别地, 当B1, B2互不相容时, 加法公式成立：
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讲评 计算条件概率P(B|A)有两种方法： 方法1 在样本空间Ω 的缩减样本空间ΩA中计
算B 发生的概率, 得到P(B|A). 方法2 在样本空间Ω中, 计算P(AB), P(A), 然 后利用公式(1.5.1)求出P(B|A).
1.5.5 方法应用
.
解 设A ={所取产品为合格品 }, B1 ={所取产品由甲厂生产 }， B2 ={所取产品由乙厂生产}. (1) 我们要求的是A和B1同时发生的概率, 即 P(AB1). P(A|B1)是在“取甲厂生产的一箱”的条 件下取到合格品的概率, 其概率应为
P(A| B1)=
98 100

49 50
,
1.5.1 提出问题 1.如何计算“第一次取到红球的 条件下，第二次又取到红球的概率”？ 2. 在三个工厂中的产品中取样，取到次 品的概率是多少？ 3. 已知取到次品，问该次品来自甲厂的 概率是多大呢？ 1.5.2 预备知识 概率的性质，逆事件概率计算公式， 古典概型，超几何分布.
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所以我们得到
P ( AB) 0 .4 =0.5. P(B|A)= = P ( A) 0 .8
讲评 在活到20岁的条件下，活到25岁以上 返回 上页大下页 的概率0.5要比从出生算起的概率0.4 .
2. 概率乘法公式 定理1(概率乘法公式) 对于任意的事件A,B, (1) 若P(A)>0, 则 P(AB)= P(A)P(B|A) . (1.5.5) (2) 若P(B)>0, 则 P(AB)= P(B)P(A|B). (1.5.6) 上面两个等式都称为概率乘法公式.
3 (2)的答案是 3 1 1 . (1)的答案是 , 5 1 2 5
事件AB表示第一次和第二次都抽到合格 品. 由于抽取是不放回的, 所以每次抽取一个 并且连抽两次与一次抽取两个是等效的, 因 而 2
C3 3 P(AB)= 2 . C5 10
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总有关系式
1 P(B|A)= = 2
第一章 随机事件与概率
1.5 条件概率
1.5 条件概率
内容简介 在自然界及人类的活 动中, 存在着许多互相联系、互相影响的事件. 除了要分析随机事件B发生的概率P(B)外, 有 时我们还要提出附加的限制条件, 也就是要分 析“在事件A已经发生的前提下”事件B发生 的概率, 我们记为P(B|A). 这就是条件概率问 题.我们主要学习条件概率计算公式、概率乘 法公式、全概率公式和贝叶斯公式. 这一节特 别重要，一定要学好. 上页 下页 返回
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例1.5.1 设某种动物由出生算起活到20
岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的
概率为0.4. 如果一只动物现在已经活到20岁,
问它能活到25岁以上的概率是多少？
解 设A={该动物活到20岁}, B={该动活到 25岁以上}, 则 P(A)=0.8, P(B)=0.4. 因为B A, 所以 P(AB)= P(B)=0.4.
1.5.3 问题分析
1. 条件概率
先考虑下述问题.
引例 设某盒中有5件产品, 其中3件合 格品, 2件次品. 现每次任取一件, 不放回地 取两次. 求： (1) A={第一次取到合格品}的概率； (2) B={第一次取到合格品的条件下第二 次又取到合格品}的概率.
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答案是很容易求出的：