2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数学案苏教版必修4.doc

2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数学案

苏教版必修4

典题精讲

例1 已知sin α=t 且|t|<1,求角α的余弦值和正切值.

思路分析:利用三角函数基本关系式,分类讨论求解，即要考虑到α所在象限，以及要求的三角函数值的正负情况.

解:∵sin α=t 且|t|<1,∴角α可能为四个象限的角和x 轴上的轴线角.

(1)当α为第一、四象限或x 轴正半轴上的角时,

有cos α=221sin 1t -=-α,tan α=ααcos sin =21t

t -. (2)当α为第二、三象限或x 轴负半轴上的角时,

有cos α=221sin 1t --=--α,

tan α=ααcos sin =-21t

t -. 绿色通道:若已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值是用字母表示的,且角所在象限也没有指定时,这个角α可能在四个象限(也可能是轴线角),此时,不必按四个象限讨论,只需将四个象限角(可能含轴线角)的三角函数值分成两组讨论.

变式训练 1

(2006重庆高考卷，文13) 已知sin α=5

52，2π≤α≤π，则tan α等于______. 思路解析:由sin α=552，2π≤α≤π⇒cos α=5

5-,所以tan α=-2. 答案:-2

变式训练 2

sin2α>0且cos α<0,试确定α所在的象限.

思路分析:由sin2α>0得出α的范围,再由cos α<0得出α的范围,两者取交集即可. 解:∵sin2α>0,∴2k π<2α<2k π+π(k∈Z ).

∴k π<α

π(k∈Z ). 当k=2n(n∈Z )时,有2n π<α<2n π+2

π(n∈Z ), ∴α为第一象限角. 当k=2n+1(n∈Z )时,有2n π+π<α<2n π+

23π(n∈Z ),∴α为第三象限角. ∴α为第一或第三象限角.

由cos α<0，知α在第二或第三象限或α终边在x 轴的负半轴上.

综上所述,知α为第三象限角.

例2 y=x

x x tan cos sin +的定义域是_____________. 思路解析:利用函数y=sinx,y=cosx,y=tanx 的定义域及分式函数的定义域即可求解. 要使函数有意义必须使tanx 有意义且tanx≠0， 即⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠π

ππk x k x ,2（k∈Z ）

∴函数y=

x x x tan cos sin +的定义域为{x|x≠2

πk ,k∈Z }. 答案:{x|x≠2πk ,k∈Z } 黑色陷阱:解答本题，往往容易忽视tanx 本身有意义这个条件，只考虑到tanx 作为分母不能为0.

变式训练

若|cos α|=cos(π+α),则角α的集合为_____________.

思路解析:由绝对值的意义确定角α所在象限，进而写出范围.

由已知,得|cos α|=-cos α，

∴α为第二、三象限角或终边落在y 轴上的角.

∴2k π+

2

π≤α≤2k π+23π(k∈Z ). 答案:{α|2k π+2

π≤α≤2k π+23π,k∈Z } 例3 分别作出32π和-43π的正弦线、余弦线和正切线. 思路分析:利用单位圆中三角函数线的作法作图.

解:(1)在直角坐标系中作单位圆,如图1-2-4,以Ox 轴为始边作3

2π角,角的终边与单位圆交于点P,作PM⊥Ox 轴,垂足为M,由单位圆与Ox 轴正方向的交点A 作Ox 轴的垂线与OP 的反向延长线交于T 点,则

3

2π的正弦线为有向线段MP,余弦线为有向线段OM,正切线为有向线段

AT.

图1-2-4

(2)同理可作出-

43π的正弦线、余弦线和正切线,如图1-2-5. -4

3π的正弦线为有向线段M 1P 1,余弦线为有向线段O 1M 1,正切线为有向线段A 1T 1.

图1-2-5

黑色陷阱:容易忽视

32π的正切线的数量为负，即有向线段的方向与y 轴负方向相同，所以应反向延长.-4

3π的正切线同样应反向延长. 变式训练

集合M={x|sin|x|=1},N={x||sinx|=1},则M 与N 之间的关系是( ) A.M N B.M N C.M=N D.M∩N=∅

思路解析:采用淘汰法.

sin|x|=1⇒|x|=2k π+

2π(k∈Z )⇒x=±(2k π+2

π)(k∈Z ), |sinx|=1⇒sinx=±1⇒x=2k π±2

π(k∈Z ),从而淘汰D. 又|sin 23π|=1,∴23π∈N ,而sin|23π|=sin 23π=-1,∴23π∉M,从而淘汰B 、C. 答案:A

例4 已知tan α=2,求值: (1)α

αααcos 9sin 4cos 3sin 2--=_____________； (2)α

ααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--=______________. 思路解析:根据同角的三角函数之间的关系，对所求代数式进行适当变形.

(1)∵cos α≠0，

分子分母同除cos α，得

ααααcos 9sin 4cos 3sin 2-- =9

243229tan 43tan 2-⨯-⨯=--αα=-1. (2)∵cos 2α≠0，分子分母同除cos 2α， 得7

59243229tan 43tan 2cos 9sin 4cos 32sin 22222222=-⨯-⨯=--=--αααααα. 答案:(1)-1 (2)7

5 绿色通道:这是一组在已知tan α=m 的条件下,求关于sin α、cos α的齐次式值的问题 .解这类问题 需注意以下几点:

(1)一定是关于sin α、cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;

(2)因为cos α≠0,所以可用cos n α(n∈N *)除之.这样可以将所求式化为关于tan α的表达式,