2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数学案苏教版必修4.doc

2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数学案苏教版必修4典题精讲例1 已知sin α=t 且|t|<1,求角α的余弦值和正切值.思路分析:利用三角函数基本关系式,分类讨论求解，即要考虑到α所在象限，以及要求的三角函数值的正负情况.解:∵sin α=t 且|t|<1,∴角α可能为四个象限的角和x 轴上的轴线角.(1)当α为第一、四象限或x 轴正半轴上的角时,有cos α=221sin 1t -=-α,tan α=ααcos sin =21tt -. (2)当α为第二、三象限或x 轴负半轴上的角时,有cos α=221sin 1t --=--α,tan α=ααcos sin =-21tt -. 绿色通道:若已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值是用字母表示的,且角所在象限也没有指定时,这个角α可能在四个象限(也可能是轴线角),此时,不必按四个象限讨论,只需将四个象限角(可能含轴线角)的三角函数值分成两组讨论.变式训练 1(2006重庆高考卷，文13) 已知sin α=552，2π≤α≤π，则tan α等于______. 思路解析:由sin α=552，2π≤α≤π⇒cos α=55-,所以tan α=-2. 答案:-2变式训练 2sin2α>0且cos α<0,试确定α所在的象限.思路分析:由sin2α>0得出α的范围,再由cos α<0得出α的范围,两者取交集即可. 解:∵sin2α>0,∴2k π<2α<2k π+π(k∈Z ).∴k π<α<k π+2π(k∈Z ). 当k=2n(n∈Z )时,有2n π<α<2n π+2π(n∈Z ), ∴α为第一象限角. 当k=2n+1(n∈Z )时,有2n π+π<α<2n π+23π(n∈Z ),∴α为第三象限角. ∴α为第一或第三象限角.由cos α<0，知α在第二或第三象限或α终边在x 轴的负半轴上.综上所述,知α为第三象限角.例2 y=xx x tan cos sin +的定义域是_____________. 思路解析:利用函数y=sinx,y=cosx,y=tanx 的定义域及分式函数的定义域即可求解. 要使函数有意义必须使tanx 有意义且tanx≠0， 即⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠πππk x k x ,2（k∈Z ）∴函数y=x x x tan cos sin +的定义域为{x|x≠2πk ,k∈Z }. 答案:{x|x≠2πk ,k∈Z } 黑色陷阱:解答本题，往往容易忽视tanx 本身有意义这个条件，只考虑到tanx 作为分母不能为0.变式训练若|cos α|=cos(π+α),则角α的集合为_____________.思路解析:由绝对值的意义确定角α所在象限，进而写出范围.由已知,得|cos α|=-cos α，∴α为第二、三象限角或终边落在y 轴上的角.∴2k π+2π≤α≤2k π+23π(k∈Z ). 答案:{α|2k π+2π≤α≤2k π+23π,k∈Z } 例3 分别作出32π和-43π的正弦线、余弦线和正切线. 思路分析:利用单位圆中三角函数线的作法作图.解:(1)在直角坐标系中作单位圆,如图1-2-4,以Ox 轴为始边作32π角,角的终边与单位圆交于点P,作PM⊥Ox 轴,垂足为M,由单位圆与Ox 轴正方向的交点A 作Ox 轴的垂线与OP 的反向延长线交于T 点,则32π的正弦线为有向线段MP,余弦线为有向线段OM,正切线为有向线段AT.图1-2-4(2)同理可作出-43π的正弦线、余弦线和正切线,如图1-2-5. -43π的正弦线为有向线段M 1P 1,余弦线为有向线段O 1M 1,正切线为有向线段A 1T 1.图1-2-5黑色陷阱:容易忽视32π的正切线的数量为负，即有向线段的方向与y 轴负方向相同，所以应反向延长.-43π的正切线同样应反向延长. 变式训练集合M={x|sin|x|=1},N={x||sinx|=1},则M 与N 之间的关系是( ) A.M N B.M N C.M=N D.M∩N=∅思路解析:采用淘汰法.sin|x|=1⇒|x|=2k π+2π(k∈Z )⇒x=±(2k π+2π)(k∈Z ), |sinx|=1⇒sinx=±1⇒x=2k π±2π(k∈Z ),从而淘汰D. 又|sin 23π|=1,∴23π∈N ,而sin|23π|=sin 23π=-1,∴23π∉M,从而淘汰B 、C. 答案:A例4 已知tan α=2,求值: (1)ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--=_____________； (2)αααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--=______________. 思路解析:根据同角的三角函数之间的关系，对所求代数式进行适当变形.(1)∵cos α≠0，分子分母同除cos α，得ααααcos 9sin 4cos 3sin 2-- =9243229tan 43tan 2-⨯-⨯=--αα=-1. (2)∵cos 2α≠0，分子分母同除cos 2α， 得759243229tan 43tan 2cos 9sin 4cos 32sin 22222222=-⨯-⨯=--=--αααααα. 答案:(1)-1 (2)75 绿色通道:这是一组在已知tan α=m 的条件下,求关于sin α、cos α的齐次式值的问题 .解这类问题 需注意以下几点:(1)一定是关于sin α、cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;(2)因为cos α≠0,所以可用cos n α(n∈N *)除之.这样可以将所求式化为关于tan α的表达式,整体代入tan α=m 的值求解.变式训练已知sin(α+β)=1，求证:tan(2α+β)+tan β=0.思路分析:由已知得α+β的取值，注意将α+β变形得到α，代入被证式左边，然后利用诱导公式进行化简，直到推得右边.证明:∵sin(α+β)=1，∴α+β=2k π+2π(k∈Z )， ∴α=2k π+2π-β(k∈Z ). ∴tan(2α+β)+tan β=tan ［2(2k π+2π-β)+β］+tan β =tan(4k π+π-2β+β)+tan β=tan(4k π+π-β)+tan β=tan(π-β)+tan β=-tan β+tan β=0.∴tan(2α+β)+tan β=0得证.例5 已知sin α是方程6x=1-x 根，那么)cot()23cos()2tan()5cos(απαπαππα-+--的值等于( ) A.±205 B.±1515 C.205- D.801 思路解析:先求出方程6x=1-x 的根，即为sin α的值，然后对所求式子用诱导公式化简，最后把sin α的值代入化简后的式子即可. 由6x=1-x ,解得x=91，即sin α=91，)cot (sin )tan )(cos ()cot()23cos()2tan()5cos(αααααπαπαππα---=-+--=-tan α，∵sin α=91，∴α应为第一或第二象限的角.∴tan α=±205，-tan α=±205. 答案:A黑色陷阱:解答此题容易出错的地方有两处，一是在解方程6x=1-x 时，忽视了x 的定义域，错误地把得到的负值也保留；二是对各诱导公式掌握不熟练，在化简所求关系式的过程中出错.变式训练 1已知sin(π-α)-cos(π+α)=32(2π<α<π)，则sin α-cos α等于___________. 思路解析:将已知平方，得sin αcos α,然后利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α求解.易知sin(π-α)-cos(π+α)=sin α+cos α=32. 两边平方，得1+2sin αcos α=92， ∴2sin αcos α=97-. ∵2π<α<π，∴sin α>0>cos α. 故有sin α-cos α=971cos sin 21)cos (sin 2+=-=-αααα=34. 答案:34 变式训练 2如图1-2-6，已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1).一质点从AB 的中点P 0出发,沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3、P 4(入射角等于反射角).设P 4的坐标(x 4,0),若1<x 4<2,则tan θ的范围是( )图1-2-6 A.(31,1) B.(31,32) C.(52,21) D.(52,32) 思路解析:可以把tan θ表示为x 4的函数,即得到tan θ=f(x 4),再根据1<x 4<2求解;或得到x 4=f(tan θ)，然后根据1<f(tan θ)<2解tan θ;也可用淘汰法.设P 1(2,y 1),P 2(x 2,1),P 3(0,y 3),其中P 0(1,0),根据反射角与入射角相等的关系，得到关系式tan θ=43232111211x y x y x y y =-=--=. ∴y 1=tan θ，x 2=2-θθtan 13tan 11-=-y ， y 3=1-x 2tan θ=2-3tan θ,x 4=θθθθtan 2tan tan 32tan 3=-=y -3. ∵θ∈(0，2π),x 4∈(1,2)，∴1<θtan 2-3<2.解得52<tan θ<21. 答案:C例6 已知cos(6π-α)=33，求cos(65π+α)-sin 2(α-6π)的值. 思路分析:注意到6π-α+65π+α=π，可以把65π+α化成π-(6π-α)，α-6π=-(6π-α)，利用诱导公式化简即可.解:cos(65π+α)=cos ［π-(6π-α)］=-cos(6π-α)=33-， sin 2(α-6π)=sin 2［-(6π-α)］=1-cos 2(6π-α)=1-(33)2=32， ∴cos(65π+α)-sin 2(α-6π)=33--32=332+-. 绿色通道:此类题目要灵活运用诱导公式，在做题时要注意观察角与角之间的关系，例如65π+α=π-(6π-α)，利用诱导公式把未知三角函数值用已知三角函数表示出来. 变式训练求函数y=lgsin(630°-2x)的最大值.思路分析:将sin(630°-2x)化简为-cos2x ，然后利用对数函数单调性及余弦函数的有界性,求得y=lgsin(630°-2x)的最大值.解:sin(630°-2x)=sin(360°+180°+90°-2x)=sin(180°+90°-2x)=-sin(90°-2x)=-cos2x ，∴y=lgsin(630°-2x)=lg(-cos2x).其中-cos2x>0，∴cos2x<0.又cos2x≥-1，∴当且仅当cos2x=-1时，y max =lg1=0.例7 若f(sinx)=cos17x ，求f(21)的值. 思路分析:此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算，在运算的过程中，要理解函数表达式的意义，灵活运用诱导公式.解:f(21)=f(sin 6π)=cos 617π=cos(2π+65π)=cos 65π=cos(π-6π)=-cos 6π=23-. 绿色通道:此类题目在运算过程中要注意选取恰当的角，在运用诱导公式时，要注意角的合理拆分.解答三角函数问题 的时候，除了掌握特殊角的三角函数值，还要能够把某些数值恰当地转化成某个特殊角的三角函数的形式，以达到简化问题 的目的.变式训练设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中a 、b 、α、β都是非零实数，若f(2 002)=-1，则f(2 003)等于____________.思路解析:用诱导公式寻求f(2 002)和f(2 003)的关系.f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β)=asin ［π+(2 002π+α)］+bcos ［π+(2 002π+β)］=-asin(2 002π+α)-bcos(2 002π+β)=-f(2 002)=1.答案:1问题 探究问题 1 你能找到三角函数值在各个象限的符号记忆规律吗?导思:三角函数的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号导出的，从原点到角的终边上任意一点的距离r 总是正值，根据三角函数的定义可知正弦的符号取决于纵坐标y 的符号，余弦的符号取决于横坐标x 的符号，正切当x 、y 同号时为正，异号时为负. 探究:方法一:利用口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,也可简写为“全,S,T,C”来记忆.上述口诀表示:第一象限全是正值,第二象限正弦(S)是正值,第三象限正切(T)是正值,第四象限余弦(C)是正值.至于正割、余割和余切函数值在各象限的符号,只需记住它们与余弦、正弦、正切在各象限内的符号相同就可以了.方法二:利用图1-2-7记忆,口诀在图下方:图1-2-7问题 2 诱导公式六:sin(2π+α)=cos α,cos(2π+α)=-sin α课本中已经给出了推导方法，你还能有其他的方法推导出这两个公式吗？导思:思路一:借助诱导公式五实现正弦函数与余弦函数的相互转化，再借助公式三判断出函数值的符号；思路二:借助单位圆，根据三角函数值去找角的终边，从而得出公式的推导.探究:∵2π+α=2π-(-α)， 由公式五和公式三，得sin(2π+α)=sin ［2π-(-α)］=cos(-α)=cos α. cos(2π+α)=cos ［2π-(-α)］=sin(-α)=-sin α. 此外，如果是角α的终边与单位圆的交点为P(x,y)，则2π-α的终边与单位圆的交点为P 1(y,x)(原因是角α与角2π-α的终边关于y=x 对称)，又2π+α的终边与2π-α的终边关于y 轴对称，所以2π+α的终边与单位圆的交点为P 2(-y,x).于是有 cos(2π+α)=-y=-sin α，sin(2π+α)=x=cos α.。