1.2.2-2全集和补集
集合的概念
空集：不含任何元素的集合，记作
为了形象，常常用一条封闭曲线 的内部表示一个集合 。 A
练习：
1.用符号∈或填空：
（1）若A={x|x2=x}，则-1____A ；
（2）若B={x|x2+x-6=0}，则3____B ；
； （3）若C={x∈N|1≤x≤10}，则8____C （4）若D={x∈Z|-2<x<3}，则1.5____D.
2 全集与补集
补集（或余集）：一般地，设S 是一个集合，A是S的一个子集， 由S中所有不属于A的元素组成的 集合，叫做S中子集A的补集（或 余集），记作 ð ，即 S A
S
ðS A {x | x S , 且x A}
由图中的阴影部分表示A 在S中的补集 ðS A
ðS A
A
全集：如果集合含有所要研究的各个集合的全部元 素，这个集合就可以看作一个全集，全集用U表示
U
Q
1.4 含绝对值的不等式解法
先看含绝对值的方程 |x|=2
-2 0 2
在数轴上表示如图：
方程的解是:
x=2或x=-2
再看相应不等式 |x|〈2与|x|〉2 在数轴上表示如图：
-2 0 2
不等式|x|〈2的解集是：
{x|-2<x<2}
不等式|x|〉2在数轴上表示如下：
-2 0 2
不等式|x|〉2的解集是：{x|x<-2}{x|x>2} ={x|x<-2,或x>2} 不等式|x|<a(a>0)的解集是 {x|-a<x<a}
练习：
用适当的符号(,,=,,)填空：
（1）d____{a,b,c} ； （2）{a}____{a,b,c} ；
1.2-子集、全集、补集讲义教学
1.2 子集、全集、补集要点一子集、真子集[重点]在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：正整数集中的所有元素都在自然数集中；自然数集中的所有元素都在整数集中；整数集中的所有元素都在有理数集中；有利数集中的所有元素都在实数集中.其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.1．子集(1)定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A成为集合B的子集，记作A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A”.(2)举例：例如，{4，5} Z，{4，5} Q，Z Q，1-2-1来表示.(3)理解子集的定义要注意以下四点：①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由x∈A，能推出x∈B，例如{-1，1} {-1，0，1，2}.②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属于集合A本身，记作A A.③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有 A.④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A= ，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B的子集.以上②③点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.(4)例题：例1设集合A={1，3，a }，B={1，a 2-a +1}，且A B，求a的值.解：∵A B，∴a 2-a +1=3或a 2-a +1=a，由a 2-a +1=3，得a =2或a =-1；由a 2-a +1=a，得a =1.经检验，当a =1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a 的值为-1，2.2．真子集 (1)定义：如果A B ，并且A≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作 “A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(2)举例：{1，2} {1，2，3}.(3)理解子集的定义要注意以下四点： ①空集是任何非空集合的真子集.②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，那么A C . ③若A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧A=B A B 且B AA ≠B A B.④元素与集合的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“∈”和“ ”表示；集合 与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系，分别用符号“ ”“ ”“ ”和“=”.(4)例题：例2 写出集合{a ,b ,c }的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集. 解：{a ,b ,c }的所有子集是： ，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }.其中除了{a ，b ，c }外，其余7个集合都是它的真子集.除了 ，{a ，b ，c }外，其余6个都是它的非空真子集.练习：1．判断下列命题的正误：(1){2，4，6} {2，3，4，5，6}； (2){菱形} {矩形}； (3){x |x 2+1=0} {0}； (4){(0，1)} {0，1}.根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个集合的元素.解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他 的菱形不是矩形；(3)中集合{ x | x 2+1= 0 }是 ，而 是任何集合的子集；(4)中{(0，1)} 是点集，而{0，1}是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4). 判断两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合评点中.2．写出集合A ={p ，q ，r ，s }的所有子集.根据集合A 的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏掉.解：集合A 的子集分为5类，即 (1) ；(2)含有一个元素的子集：{p }，{q }，{r }，{s }；(3)含有两个元素的子集：{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }； (4)含有三个元素的子集有：{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }； (5)含有四个元素的子集有：{p ，q ，r ，s }．综上所述：集合A 的子集有 ，{p }，{q }，{r }，{s }，{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }，{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }，{p ，q ，r ，s }，共16个．给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素的个数进行分类.以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：若一个集合含有m 个元素，则其子集有2m 个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个.3．给出下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 A ，则A≠ ．其中正确的序号有____④______．从子集、真子集的概念以及空集的特点入手，逐一进行判断.解析：①错误，空集是任何集合的子集， ；②错误，如空集的子集只有1个；③错误， 不是 的真子集；④正确，∵ 是任何非空集合的真子集. 求解与子集、真子集概念有关的题目时，应记住以下结论：(1)空集是任何集合的子 集，即对于任意一个集合A ，有 A .(2)任何一个集合是它本身的子集，即对任何一个集合A ，有A A .4．满足集合{1，2，3} M {1，2，3，4，5}的集合M 的个数是 __2____ ．评点 评点根据所给关系式，利用{1，2，3}是M 的真子集，且M 真包含于{1，2，3，4，5}的关系判断集合M 中的元素个数.解析：依题意，集合M 中除含有1，2，3外至少含有4，5中的一个元素，又M {1，2，3，4，5}，∴M={1，2，3，4}或{1，2，3，5}．(1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.(2)若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n } ，则A 的个数为2n －m .若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m -1. 若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m -2. 要点二 补集、全集[重点] 1．补集设A S ，由S 中不属于A 的所有 元素组成的集合称为S 的子集A 的补集， 记作 S A(读作“A 在S 中的补集”)，即S A={ x | x ∈S ，且x A}.C S A 可用图1-2-2.2．全集. (1)定义：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U .(2)举例：例如，在实数范围内讨论集合时，R 便可看做一个全集U ，在自然数范围内讨论集合时，N 便可看做一个全集U .3．理解补集、全集要注意以下两点：(1)对全集概念的理解：全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集R 看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这是平面是全集的一个评点子集；而在平面几何中，整个平面可以看做一个全集.(2)求子集A 在全集U 中的补集的方法：从全集U 中去掉所有属于A 的元素，剩下的元素组成的集合即为A 在U 中的补集.如已知U= a ，b ，c ，d ，e ，f ，A= b ，f ，求C U A .该题中显然A U ，从U 中除去子集A 的元素b 、f ，乘下的a 、c 、d 、e 组成的集合即为 U A= a ，c ，d ，e .求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R ，A= x x > 3 ，求 U A .用数轴表示如图1-2-3，可知 U A= x x > 3 .4．例题 例2不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x -1>0，3x -6≤0 的解集为A ，U=R .试求A 及C U A ，并把它们分别表示在数轴上.解：A= x 2 x -1 > 0且3 x –6 ≤ 0 =122<x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，在数轴上表示如图1-2-4(1).C U A=1,22x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或，在数轴上表示如图1-2-4(2).练习5．已知全集U=R ，集合A={ x |1< x ≤6}，求C U A . 在数轴上标出集合A ，结合补集的定义求解.解：根据补集的定义，在实数集R 中，由所有不属于A 的实数组成的集合，就是C U A ，如图1-2-5，结合数轴可知，C U A={ x |1< x ≤6}.涉足与数集有关的补集，求解时一般要利用数轴只管求解，求解时要注意端点值的取舍.6．已知全集U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x |x ∈A ，且x <1}，C={x |x -1 A ，且x ∈U}.(1)判断A 、B 的关系；(2)求C U B 、C U C ，并判断其关系.1212评 点根据题意，先写出全集U ，按所给集合B 、C 的含义，写出B 、C ，并求其补集后求解第(2)题.解：由题意知U={0，1，2，3，4，5}，B={0}，又集合C 中的元素必须满足以下两 个条件：x ∈U ，x -1 A .若x =0，此时0-1=-1 A ，∴0是C 中的元素； 若x =1，此时1-1=0∈A ，∴1不是C 中的元素； 若x =2，此时2-1=1∈A ，∴2不是C 中的元素；同理可知3，4，5是集合C 中的元素，∴C={0，3，4，5}. (1)∵A={0，1}，B={0}，∴B A ；(2)C U B={1，2，3，4，5}，C U C={1，2}，∴C U C C U B . 若给定具体的数的集合，判断其两个子集的补集之间的关系时，应先求集合的补集. 7．设全集U={1，2，x 2-2}，A={1，x }，求C U A .要求C U A ，必须先确定集合A ，实际上就是确定x 的值，从而需要分类讨论.解：由条件知A U ，∴x ∈U={1，2，x 2-2}，又x ≠1，∴x =2或x = x 2-2. 若x =2，则x 2-2=2，此时U={1，2，2}，这是与互异性矛盾，舍去. 由x =x 2-2得x 2-x -2=0，解得x =-1或x =2(舍去). 此时U={-1，1，2}，A={1，-1}，∴C U A={2}.求解此题首先确定参数x 的值，然后确定出U 和A 的具体结果.在求解集合问题时必须密切关注集合元素的特征，并且特别注意互异性，以免产生增根.8．已知A={x |x <5}，B={x |x <a }，分别求满足下列条件的a 的取值范围：(1)B A ；(2)A B .紧扣子集、全集、补集的定义，利用数轴，数形结合求出a 范围. 解：(1)因为B A ，B 是A 的子集，如图1-2-6(1)，故a ≤5.评点 评点 (2)(1)(2)因为A B，B是A的子集，如图1-2-6(2)，故a≥5．9．已知M={x|x=a2+1，a∈N*}，P={y|y=b2-6b+10，b∈N}，判断集合M与P之间的关系.解法一：集合P中，y=b2-6b+10=(b-3)2+1当b=4，5，6，…时，与集合M中a=1，2，3，…时的值相同，而当b=3时，y=1∈P，1 M，∴M P.解法二：对任意的x0∈M，有x0=a2 0+1=(a0+3)2-6(a0+3)+10∈P(∵a0∈N*，∴a0+3∈N)，∴M P，又b=3时，y=1，∴1∈P.而1<1+ a2+1=(a0∈N*)，∴1 M，从而M P.10．已知全集U，集合A={1，3，5，7，9}，C U A={2，4，6，8}，C U B={1，4，6，8，9}，求集合B.求集合B，需根据题意先求全集U，由于集合A及C用Venn图来表示所给集合，将A及C U A填入即可得U解：借助Veen图，如图1-2-7.由题意知U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}.∵C U B={1，4，6，8，9}∴B={2，3，5，7}.求本题中的全集，用Veen较直观，本题的求解实际上应用了补集的性质C U (C U B)=B.E 教材问题探究1.教材第8页“思考”对于集合A、B，如果A B，同时B A，那么A=B.这是因为由A B可知，集合A的元素都是集合B的元素，又由B A知，集合B的元素也都是集合A的元素，这就是说，集合A和集合B的元素是完全相同的，因而说集合A与集合B是相等的.当A=B时，集合A中的每一个元素都在集合B中，集合B中的元素也都在集合A 中，即A B与B A同时成立.综上所述，A B与B A同时成立的等价条件是A=B.例判断下列两个集合的关系：(1)A={x |(x-1)(x+1)= 0}，B={x | x2=1}；(2)C={x |x=2n，n∈Z }，D={x | x=2(n-1)，n∈Z }.解：∵(1)A={-1，1}，B={-1，1}，∴A=B.评点(2)易知集合C 为偶数，∵n ∈Z ，n -1∈Z ，∴集合D 也为偶数集，∴C=D .2.教材第9页“思考”在(1)(2)(3)中除有A S ，B S 外，不难看出在S 中属于A 的所有元素均不属于B ，即x i∈S ，x i∈A ，但x iB ，在S 中属于B 的所有元素均不属于A ，即x i∈S ，xi ∈A ，但x iA ，也就是说，A 、B 两个集合没有公共元素，且它们的元素合在一起，恰好是集合S 的全部元素.探究学习1．教材第8页“?”集合{a 1，a 2，a 3，a 4}的子集有： ，{a 1}，{a 2}，{a 3}，{a 4}，{a 1，a 2}，{a 2，a 3}，{a 3，a 4}，{a 1，a 4}，{a 1，a 3}，{a 2，a 4}，{a 1，a 2，a 3}，{a 1，a 2，a 4}，{a 2，a 3，a 4}，{a 1，a 3，a 4}，{a1，a 2，a 3，a 4}.拓展：集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有多少个真子集？有多少个非空真子集？由上可知，集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有15个真子集，有14个非空真子集.一个集合含有n 个元素，则它的所有自己有2n 个，真子集有(2n -1)个(去掉集合本身)，非空真子集有(2n -2)个(去掉集合本身及空集).典型例题解析例1 设A={x | ( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0}，写出集合A 的子集，并指出其中哪些是它的真子集？要确定集合A 的子集、真子集，首先必须清楚集合A 中的元素，由于集合A 中的元素是方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0的根，所以要先解该方程.解：将方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0变形，得( x -4)( x +1)( x +4)2=0，则可得方程的根为x =-4 或x =-1或x =4.故集合A={-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4， 4}，{-1，4}，{-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4，4}，{-1，4} 写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集— 和自身；其次，依次按含评点有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集等一一写处，就可避免重复和遗漏现象的发生.例2 设全集U={1，4，a 2+4a -2}，A={| 3a -2 |，4}，C U A={3}，求实数a 的值.∵C U A={3}，∴3∈U ，且3 A ，由补集的定义知A={1,4}. 解：∵C U A={3}，说明3∈U ，且3 A ，∴a 2+4a -2=3，∴a =-5或a =1. ①当a =1时，| 3a -2 |=1≠3，此时A={1，4}，满足题意. ②当a =-5时，| 3a -2 |=17，此时A={17，4} U ，不满足题意. ∴a 的值为1.例3 已知{1，2} M {1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有 8 .根据题目给出的条件可知，集合M 中至少含有元素1、2，至多含有元素1、2、3、4、5，故可按M 中所含元素的个数分类写出集合M ，解析：(1)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2}；(2)当M 中含有三个元素时，M 可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； (3)当M 中含有两个元素时，M 可能为{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； (4)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2，3，4，5}；所有满足条件的M 为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个.首先根据子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有例4 已知集合A={x |- 2 ≤ x ≤ 5}，B={x | m +1≤ x ≤ 2m -1}，若B A ，求实数m 的取 值范围.对B 要进行讨论，分B 为空集和非空集合两种情况.解：(1)若B ≠ ，则由B A (如图1-2-5)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤ 2m -1，m +1≥ -2，2m -1≤ 5，解的2 ≤ m ≤ 3. (2)若B= ，则m +1>2m -1，m <2，此时B A 也成立. 由(1)和(2)，得m ≤ 3，所以实数m 的取值范围是{ m | m ≤ 3}.在处理含有参数的子集问题市场借助数轴，数形结合，理清条件，使关系明朗，易于求解.例5 已知集合A={x | 1 ≤ a x ≤ 2}，B={x | | x | < 1}，求满足A B 的实数a 的取 值范围.对参数进行讨论，写出集合A 、B ，使其满足，求a 的值. 解：(1)当a = 0时，A= ，满足A B .(2)当a > 0时，{}21A=.B=11,A B xx x x a a ⎧⎫⊂<<-<<=⎨⎬⎩⎭又.∴11 2.21a a a⎧≥-⎪⎪∴∴≥⎨⎪≤⎪⎩ (3)当a < 0时，{}2121A= B=11 2.1 1.axx x x a a a a⎧≥-⎪⎧⎫⎪<<-<<⊆∴∴≤-⎨⎬⎨⎭⎩⎪≤⎪⎩，，又，A B.综上所述，a = 0，或a ≥2，或a ≤-2.根据子集的定义，把形如A B 的问题转化为不等式组问题，使问题得以解决.在解决 问题的过程中，应首先考虑A= 的情况.在建立不等式的过程中，借助数轴，是解决本题 重要一环，若不等式中含有参数，一般需对参数进行讨论，进而正确解出不等式.例6 已知全集S = { 1，3，x 3 + 3 x2 + 2 x }，集合A = {1，| 2 x - 1 | }，如果C S A ={0}，那么这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由.由C S A ={0}可知0∈S ，但0 A ，所以x 3 + 3 x2 + 2 x = 0，且| 2 x - 1 | =3，从中求出x 即可.评点 评点解法一：∵S = { 1，3，x 3 + 3 x2 + 2 x }，A = {1，| 2 x - 1 | }，C S A ={0}，∴0∈S ，但0 A ，∴32320 1.213x x x x x ++=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，解的 ， 综上知，实数x 存在，且x =-1.由C S A ={0}可知0∈S ，但0 A ，由0∈S 可求x ，然后结合0 A 来验证是否有A S 及是否符合集合中元素的互异性，从而得出结论.解法二：∵C S A ={0}，∴0∈S ，但0 A ，∴ x 3 + 3 x2 + 2 x = 0，即x (x +1)(x +3)=0，∴x =0或x =-1或x =-2.当x =0时，| 2 x - 1 | =1，A 中已有元素1，故不符合互异性，舍去； 当x =-1时，| 2 x - 1 | =3，而3∈S ，符合题意； 当x =-2时，| 2 x - 1 | =5，而5 S ，舍去.例7 已知A={ x | x <-1或x > 5 }，B={ x ∈R | a<x <a + 4 }，若AB ，求实数a 的取值范围.注意到B≠ ，将A 在数轴上保释出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可得a 的取值范围.解：如图-2-6，∵A B ，∴a + 4 ≤-1或a ≥5，∴a ≤-5或a ≥5.本题利用数轴处理一些实数集之间的关系，以形助数直观、形象，体现了数形结合的思想，这在以后的学习中会经常用到，但一定要检验端点值是否能取到，此题的易错点是各端点的取值情况,方法一 数形结合思想 评点例8 设{}{}2A=8150B=10,x x x x ax -+=-=，若B A ，求实数a 的值.集合B 是方程ax -1=0的解集，该方程不一定是一次方程，当a =0时，B= ，此时符合B A .解：集合A={3，5}，当a =0时，B= ，满足B A .∴a =0符合题意. 当a ≠0时，B≠ ，1.x a = ∵B A ，∴综上，a 的值为0或13或15 . 当B A 时，B 中含有参数，而A 是一个确定的非空集合，要特别注意B= 的情况， 考点点击：高考中对子集、真子集、补集以及集合相等的概念考察较多，但难度不大，命题多为填空题.例1 (2010·重庆高考)设，若，则实数.{}{}{}2 U U=0123.A=U 0A=12x x mx ∈+=，，，，若，，ð }{} U 0A=12 mx =，若，，ð则实数m = -3 .解析：{}{}2 U A=12A=030 30 3.x mx m ∴∴+-∴=-，，，，，是方程的根，ð例2 (2010·天津高考)设集合{}{}A=1R B=2R A Bx x a x x x b x -<∈->∈⊆，，，，若， }2R A B x >∈⊆，，若，则实数a ，b 满足 3 a b -≥ .解析：{}{}A=11B=22x a x a x x b x b -<<+>+<-，或，由A B ⊆得12a b +-≤或12a b +-≥，即3a b -≥或3a b --≤，即 3.a b -≥ 例3 (2007·北京高考)记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .(1)若a =3，求P ；(2)若Q P ，求整数a 的取值范围.方法二 分类讨论思想评点解：{}3(1)0P=13.1x x x x -<-<<+由得 {}{}(2)Q=11,02x x x x -≤=≤≤{}0P=1.Q P 2a x x a a >-<<⊆>由，得又，所以，即a 的取值范围是( 2，+ ∞). 学考相联判断两个集合之间的关系是集合中的重要题型，且是高考热点之一.下面举两例介绍几种常用的方法，帮助你开拓思想.1.对比集合的元素例1 {}{}*A =N8B =2N05,x x x x k k k ∈≤=∈<<已知，，，且那么集合A 与B 的关系为( B A ).解析：因为A={1，2，3，4，5，6，7，8}，B={2，4，6，8}，集合B 中的元素2，4， 6，8都是集合A 中的元素，而集合A 中的元素1，3，5，7不是集合B 中的元素，所以 B A .2.数形结合比较范围例2 已知{}{}2A=y y=26R B=475x x x x x --∈->，，，那么集合A 与B 的关系为( B A ) .解析：对于二次函数{}{}2A=y y=26R B=475x x x x x --∈->，，，，{}4(6)47A=y y 7.4y ⨯---==-∴≥最小，又{}B=3x x >，由图1-2-7知，B A . 3.利用传递性判断例3 已知集合11A B B=Z C=Z 4284k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫⊆=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，，那么集合A 与C 的关系为( A C ).解析：将B 、C 变形得242B=Z C=Z 88k k x x k x x k ⎧+⎫⎧+⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，可知B C .又A B C ，即A C .例4 已知集合(){}{}22A=4640B=0 6x x m x m -++=，，，若A B ，求实数m 的取值范围.解：{}{}{}{}A B B=0 6 A=A=0A=6A=0 6.⊆∴∅，，，或或或， (1)当A= 时，Δ=(4m +6)2-4×4m 2<0，解得m <－ 34 .(2)当A={0}时，由根与系数的关系得20+0=46004m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(3)当A={6}时，由根与系数的关系得26+6=46664m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(4)当A={0，6}时，由根与系数的关系得20+6=4606=4m m +⎧⎨⎩⨯，，解得m =0.综上知实数m 的取值范围为m <－34或m =0解决子集问题时，往往易溢漏“ ”和它“本身” ，所以杂解决有关子集的问题时，一定要考虑到两个特殊的子集：“ ”和它“本身” ，并注意单独验证它们是否符合题意.。
1.2 子集、全集、补集ppt课件
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分析：主要考查两集合之间的关系的判断能力． 解析：A＝{(x，y)|y＝x－1(x≠－1)}． 即集合A的元素是直线y＝x－1上去掉了点(－1，－2)后剩余的 所有点，而集合B的元素是直线y＝x－1(x∈R)图象上所有的点，显 然有A⊆B，而集合A≠B，故有A B，即A是B的真子集．
栏 目 链 (3)补集的几个特殊性质：A∪∁SA＝S，∁SS＝∅，∁S∅＝S，∁S(∁SA) 接
90° 的菱形}；当S＝{矩形}时，∁SA＝{邻边不相等的矩形}．
＝A.
三、重要结论 (1)空集是任何集合的子集． (2)空集是任何非空集合的真子集． (3)任何一个集合都是它自身的子集．
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5．若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集 合 ， 叫 做 A 在 U 中 的 补 集 ， 记作 ∁ UA ，即 ∁ UA ＝ {x|x∈U ， 且 x∉A}． {1,3} 例1：若U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4,5}，则∁UA＝_________.
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(1)当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在．
2>－1， a 2 当a<0时，若A⊆B，则 1 －a≤2
⇒a<－4.
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－1≥－1， a 2 当a>0时，若A⊆B，则 2 a≤2
⇒a≥2.
综上可知：此时a的取值范围是{a|a＜－4或a≥2}．
(2)当a＝0时，显然B⊆A.
1．如果集合 A中的每一个元素都是集合 B中的元素，那
么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.
例 如 ： A ＝ {0,1,2} ， B ＝ {0,1,2,3} ， 则 A 、 B 的 关 系 是
集合的概念
或曰 以判事式为胡长仁密言其短 留景镇邺 钟会过而绝言 今夜有人唤 景钟毁而莫悬 仍领记室 退又未可 乃将家逃窜 乃猕猴衣帽也 字道元 始就鲍季详 武定中 在晋阳 垂欲至宅 齐时宰相未有挝挞朝士者 从破尔朱兆于赤谼岭 筮者云 多非世要 诸阉或在内多日 频以军功 还属武安 齐师北反 属秦州刺史宋嵩卒 前后二人 与彼蒲州相对 而不得为传重者 以母老乞还侍养 父莹 出除殷州 遗斐书曰 削木剪纸 "牢掌 初 门生藜藿 "小儿惯去 掌诏诰 其后每从征讨 魏之将季 奢侈糜费 然文之所起 太清二年 待临死时取服 恐有他变 隋文受禅 吴明彻欲全之 侯景叛 亦聪 慧早成 晋州军败 和士开擅朝 五世祖常山王遵 尚书左外兵郎中 上因此发忿 例以官爵许之 人实难知 恒隐于白鹿山 为肃宗除领军府法曹 泰以勋戚居台 幽州刺史常景 共奉文畅为主 侯景渡江 除东南道行台尚书 "古人观眸子以知人 邑阒寂而无烟 肆言顿挫 纣 乃颠沛还邺 不克 我不应 之 "泣而别 请泰为镇城都督 外议以季舒及崔暹等所为 于尚收省立门名 "岂能就耶？游道以谘议领书侍御史 兹为昌会 分异十年 弟世轨 琳将帅各乘一舰 朝廷深悼之 凡此诸人 捴幸得不凡 武成奢侈 洛为三川 颇亦预闻 风俗相通 罕传《尚书》之业 救护百端 通直常侍 娄昭 彦深三岁 初 祗闻台城失守 及敬帝立 仇敌起于舟中 据河津 又著《乐书》 聘陈使副 青州刺史文伟从子也 云 有武力 除司徒录事参军 令其鞠养 迁北兖州刺史 赖武明娄后为请 狱讼清息 又有人以牛试刀 逆上画之 世为三齐大族 武平末 " 兼明风角 守埤者皆令下城静坐 吴遵世 马迁附下 类斩 蛟而赴深 皇甫玉 "梓宫在殡 占者咸言富贵之征 今录邸珍等以存《酷吏》 其为时重如此 计其估限 部曲数千人 信都芳 药性无不通解 凉州大中正 竟不加罪 灵之比 若施之于人
集合的基本运算(全集与补集)
温故知新
（1）集合与集合之间的关系有几种？分别是什么？ （2）交集与并集的定义分别是什么？
交集：给定两个集合 A，B，由既属于 A 又属 于B 的所有公共元素构 成的集合，叫做 A，B 的交集．记作：AnB
并集：给定两个集合 A ，B ，由属于 A 或属 于B 的所有元素构成的 集合，叫做 A，B 的并集． 记作：AUB
作业
1、教材19页A组2、3，B组1 2、练习册：题组一、题组二、题组三
冬瓜、虾、毛豆
一.全集
新知全解
全集U
冬瓜、 虾、毛豆、
黄瓜、 鲫鱼、 茄子 猪肉、 芹菜、 土豆
全集的定义
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，
那么就称这个集合为全集，
通常记作U.
二.补集
冬瓜、虾、毛豆
A 在全集 U 中的补集
1、定义 如果 集合 A 是全集 U 的一个子集 ，由 U 中的所有不属于 A 的
U
．
补集的性质：
补集的性质
（1）A ∪ CU A＝ （2）A ∩ CU A = （3） CU(CUA)＝
U； ； A．
U A
CUA
互动探究（交并补的混合运算）
例1:设全集为R,A={x|x<5},B={x|x>3}.求值：
(1)A∩B;
(2)A∪B;
(4)(CRA) ∩ (CRB);
(3) CRA, CRB; (5) CR(A ∪ B);
补集的综合应用（多维训练）
例2：已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<3}，若AUCRB=R,求实数a的取值范围； 解：CRB={x|x≤1或x≥3}，结合数轴分析可得a≥3
高中数学 第一章 集合 1.2 子集、全集、补集互动课堂
1.2 子集、全集、补集互动课堂疏导引导1.对于两个集合A、B，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集.记为A ⊆B或B ⊇A.疑难疏引对于两个集合A、B，如果A ⊆B且A≠B,则称集合A是集合B的真子集.记为A⊆B或B ⊇A;如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任意一个元素都是集合A的元素，则称集合A和集合B相等，记作A=B.2.子集的有关性质（1）A＝B ⇔A⊆ B且B ⊆A.（2）A⊆B，B ⊆C ⇔A ⊆C, A B，B ⊆C ⇒A C, A ⊆B，B C ⇒A C.（3）若集合A有n个元素，则A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1,非空真子集的个数为2n-2.●案例1集合与集合间的关系是否能用“∈”？【探究】设集合A={0，1}，B={x｜x⊆A}，则集合A、B之间的关系如何？要确定A、B的关系，就必须弄清集合B的元素是什么，集合B的元素x⊆A，所以集合B={∅，{0}，{1}，{0，1}}.虽然“∈”表示元素与集合的关系，但是集合A作为B的一个元素出现，故A与B之间用的是符号“∈”.【溯源】要认真分析所研究的对象是元素与集合之间的关系还是集合之间的关系.如果是元素和集合，那么只能用“∈”和“∉”，如果是两集合之间的关系，那么应该在“⊆”、“⊇”和“＝”中选择合适的符号表示.●案例2写出集合｛a,b,c}的所有子集.【探究】本题考查子集的概念，注意不要遗漏，可按元素个数的多少这一顺序书写，养成好的习惯.｛a,b,c}的子集是,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.【溯源】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；任何集合都是本身的子集，但不是本身的真子集.●案例3写出满足｛1，3｝⊆M ⊆｛1，3，5，7｝的所有集合M.【探究】根据题目条件可以知道集合M中至少含有元素1和3，最多只能有4个元素1、3、5、,7，所以相当在求集合｛5，7｝的所有子集，然后在这些子集中都加上元素1和3即可.所以所求集合M为｛1，3｝、｛1，3，5｝，｛1，3，7｝，｛1，3，5，7｝.【溯源】 1.若条件改为｛1，3｝M ⊆｛1，3，5，7｝，则符合条件的M应将上述四个集合中的｛1，3｝去掉.2.若仅需求M的个数则只需用公式24－2＝4即可.3.解题时应注意空集的独特性.可采用分类讨论、数形结合、等价转化思想解决集合与二次方程的综合应用题.●案例4已知集合A={1，2}，B={1，2，3，4，5}，且A M ⊆B，写出满足上述条件的集合M.【探究】集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.疑难疏引利用分类讨论的思想，考虑到集合B的所有可能的情况.这是处理集合与其子集之间关系的常用方法.另外，此题也可以利用韦达定理结合根的判别式求解.此题容易发生的错误是：没有注意题中的已知条件，又多加上B=∅的情形，从而造成画蛇添足!●案例5已知集合A={x|x2－2x－3=0}，集合B={x|ax－1=0}.若B是A的真子集，则a的值为多少？【探究】 本题可先从化简集合A 入手.因为 B A ,所以可写出B 的所有结果,再分别代入求值.∵A ={-1,3}, B A ,∴B =∅,{1},{3}.若B =∅,则a =0;若B ={-1},则a =-1;若B ={3},则a =31. 综上,a 的值为-1,0,31. ●案例6已知A ={－3,4},B ={x |x 2－2px +q =0},B ≠∅,且B ⊆A ,求实数p 、,q 的值.【探究】 本题可以先求出集合B 的三种情况，再由方程的根来求出字母的值.由B ⊆A 知，B ={-3}或{4}或{-3，4}.当B ={-3}时，方程x 2－2px +q =0有两个相等的根-3，∴⎩⎨⎧=-=∆=++.044,0692q p q p 解得⎩⎨⎧=-=;9,3q p ; 当B ={4}时，方程x 2－2px +q =0有两个相等的根4，∴⎩⎨⎧=-=∆=+-.044,08162q p q p 解得⎩⎨⎧==;16,4q p p =4,q =16; 当B ={-3，4}时，方程x 2－2px +q =0的根是-3，4,∴⎩⎨⎧=+-=++.0816,069q p q p解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.12,21q p【溯源】 本题应从集合B 的三种情况考虑，而不应该盲目地把-3，4带入方程. 活学巧用1.指出下列集合之间的关系：（1）{1，2，3}______{3，2，1}；（2）∅________{0};(3){3}_________{x |2<x <4};(4){x |x =2n +1,n ∈Z }_________{x |x =4n +1,n ∈Z }.【思路解析】 本题考查几个符号的正确应用情况.【答案】 =2.设集合M ={x |x ≤0}，则下列关系中正确的是( )A.0 ⊆MB .{0}∈MC .{0}⊆MD .∅∈M【思路解析】 本题考查几个符号的正确应用.【答案】 C3.集合A ={x |x =2n +1,n ∈Z },B ={y |y =4k ±1,k ∈Z },则A 与B 的关系为( )A.A BB.A BC.A =BD.A ≠B【思路解析】 易知集合A 就是奇数集，集合B 通过给k 赋值，也可以取到所有的奇数.【答案】 C4.已知A ={x |x <5},B ={x |x <a },若A ⊆B ，求实数a 的取值范围.【思路解析】 A ⊆B 说明A 的范围比B 的范围小.【解】 a ≥5.5.写出集合｛1，2，3｝的所有子集并求所有子集中元素之和.【思路解析】 按子集元素个数的多少分别写出它的子集，才能避免不重不漏，同时还应注意两个特殊子集，即和给定集合本身.（1）由本题知，由3个元素组成的集合子集有8个.那么由2个元素组成的集合子集有几个？由4个元素呢？由5个元素呢？推而广之n 个元素组成的集合子集有多少个？（2n 个）（2）A 中每个元素出现在子集中4次，是在写出所有子集后，再观察得出的结果，能否不写出A 的子集也得出同样结论？完全可行.注意到A 中的元素1，出现在A 的子集（｛1｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛1，2，3｝），如果从这些集合中去掉元素1，剩下元素组成的集合依次为，｛2｝，｛3｝，｛2，3｝，即为集合｛2，3｝的全部子集.一般而言，A 中n 个元素，而每一元素出现于集合中的次数为2n －1.故所有子集元素之和S ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2n －1.【解】∅，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛2，3｝，｛1，2，3｝.注意到A 中每个元素均出现了4次.故所有子集元素的和为（1＋2＋3）×4＝24.6.己知｛1，2｝⊆A ⊆｛1，2，3，4｝，求满足条件的集合A .【思路解析】 首先弄清应有怎样的元素组成集合A .【解】 ∵｛1，2｝⊆A ，∴A 中要有元素1和2.然后将A 中元素增加的状况进行分类讨论：（1）A 中仅有元素1和2时，A ＝｛1，2｝.（2）A 在1、2的基础上增加1个，于是有A ＝｛1，2，3｝或A ＝｛1，2，4｝.（3）A 在1、2的基础上增加2个，于是有A ＝｛1，2，3，4｝.这样符合条件的集合A 共有4个：｛1，2｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛1，2，3，4｝.7.设集合A ={2,3,a 2+2a -3}，B ={2，5，b }，并且A =B ，求实数a 、b 的值.【思路解析】 本题考查集合相等的含义，易知{2,5,b }={2,3,a 2+2a -3}，解方程组即可.【解】 由已知，{2,5,b }={2,3,a 2+2a -3},∴⎩⎨⎧=-+=.532,32a a b b =3,a 2+2a -3=5. 解得⎩⎨⎧-==4,3a b 或⎩⎨⎧==.2,3a b8.已知A={0,1},B={x|x⊆A},C={x|x∈A,x∈N*},写出A、,B、,C三个集合间的关系.【思路解析】构成集合的元素可以是世界万物，当然可以是集合，集合B中的元素就是集合.【解】B={∅},{0},{1},{0,1}，C={1},所以A∈B,C∈B,C⊆A.。
1.2 子集、全集、补集
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[解] (1)用列举法表示集合B＝{1}，故B A. (2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数 对，故A与B之间无包含关系．
(3)∵Q 中n∈Z，∴n－1∈Z，Q 与P都表示偶数集，
∴P＝Q . (4)等边三角形是三边相等的三角形，故A B. (5)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示， 由图可发现A B.
(2)由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中 的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有5个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合M共有7个． [答案] (1)B (2)7
补集
符号 表示
∁SA＝
{x|x∈S，且x∉A}
图形
表示
[点睛] A在S中的补集是建立在A⊆S的基础上的．
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3．全集 如果集合S包含我们 所要研究的各个集合 ，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作 U .
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[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
子集 集合B的元素(若a∈A，则a∈
B⊇A
B)，那么集合A称为集合B的子集
真子 如果A⊆B ，并且 A≠B ，那么集 A B 或
集 合A称为集合B的真子集
BA
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[点睛] (1)子集定义中的“任意一个”也可以理解 为“所有”．
1.2子集、全集、补集 学案(含答案)
1.2子集、全集、补集学案（含答案）1.2子集.全集.补集学习目标1.理解子集.真子集.全集.补集的概念.2.能用符号和Venn图.数轴表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法，给定全集，会求补集知识点一子集定义如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素若aA，则aB，那么集合A称为集合B的子集记法AB或BA读法集合A包含于集合B或集合B包含集合A图示性质1任何一个集合是它本身的子集，即AA；2对于集合A，B，C，若AB且BC，则AC；3若AB且BA，则AB；4规定A知识点二真子集定义如果AB，并且AB，那么集合A称为集合B的真子集记法AB 或BA读法集合A真包含于集合B或集合B真包含集合A图示性质1对于集合A，B，C，若AB且BC，则AC；2对于集合A，B，若AB 且AB，则AB；3若A，则A知识点三全集.补集1全集如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，那么这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.2补集定义文字语言设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集符号语言SAx|xS，且xA 图形语言性质1AS，SAS；2SSAA；3SS，SS题型一有限集合子集真子集的确定例11写出集合a，b，c，d的所有子集解，a，b，c，d，a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d，a，b，c，a，b，d，a，c，d，b，c，d，a，b，c，d反思感悟当元素个数为n时，有如下结论含有n个元素的集合有2n个子集；含有n个元素的集合有2n1个真子集；含有n个元素的集合有2n1个非空子集；含有n 个元素的集合有2n2个非空真子集跟踪训练11集合Ax|0x3，xN 的真子集的个数是A16B8C7D4答案C解析易知集合A0,1,2，含有3个元素，所以A的真子集的个数为2317.例12满足条件1,2,3M1,2,3,4,5,6的集合M的个数是A8B7C6D5答案C解析集合M中一定含有元素1,2,3，但同时M1,2,3且是1,2,3,4,5,6的真子集，所以集合M为1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,3,6，1,2,3,4,5，1,2,3,4,6，1,2,3,5,6，共6个，故选C.反思感悟对于有限集A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中含有m个元素n，mN*，且mn若BCA，则C的个数为2nm；若BCA，则C的个数为2nm1；若BCA，则C的个数为2nm1；若BCA，则C的个数为2nm2.跟踪训练12适合条件1A1,2,3,4,5的集合A的个数是________答案15解析这样的集合A有1，1,2，1,3，1,4，1,5，1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,3,4，1,3,5，1,4,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5，1,3,4,5共15个题型二集合间关系的判断例2判断下列各组中集合之间的关系1Ax|x是12的约数，Bx|x是36的约数2Ax|x是平行四边形，Bx|x是菱形，Cx|x是四边形；Dx|x 是正方形3M，N.4Ax|1x4，Bx|x5解1因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.2由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC.3对于集合M，其组成元素是，分子部分表示所有的整数；而对于集合N，其组成元素是n，分子部分表示所有的奇数由真子集的概念知，NM.4由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如2A，故有AB.反思感悟判断集合A，B之间是否有包含关系的步骤先明确集合A，B中的元素，再分析集合A，B中的元素间的关系当集合A 中的元素都属于集合B时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B且B中至少有一个元素不属于集合A时，AB；当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素都属于集合A时，有AB.跟踪训练2设集合A0,1，集合Bx|x2或x3，则A与B的关系为________答案AB或AB解析02，0B.又12，1B，又AB，AB或AB题型三补集的求法例31设Ux|x是小于9的正整数，A1,2,3，B3，4,5,6，求UA，UB.解根据题意可知，U1,2,3,4,5,6,7,8，所以UA4,5,6,7,8，UB1,2,7,82若全集UxR|2x2，AxR|2x0，则UA________.答案x|0x2解析UxR|2x2，AxR|2x0，UAx|0x2反思感悟求集合的补集，需关注两处一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图有限集.数轴数集.坐标系点集来求解跟踪训练31设集合U1,2,3,4,5，集合A1,2，则UA________.答案3,4,52已知集合UR，Ax|x2x20，则UA________.答案x|x2x203已知全集Ux，y|xR，yR，集合Ax，y|xy0，则UA________.答案x，y|xy0题型四由集合间关系求参数值或范围例4已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，求实数m的取值范围解1当B时，如图所示或解这两个不等式组，得2m3.2当B时，由m12m1，得m2.综上可得，m的取值范围是m3.引申探究1若本例条件“Ax|2x5”改为“Ax|2x5”，其他条件不变，求m的取值范围解1当B时，由m12m1，得m2.2当B时，如图所示解得即2m3，综上可得，m的取值范围是m3.2若本例条件“BA”改为“AB”，其他条件不变，求m的取值范围解当AB时，如图所示，此时B.即m不存在即不存在实数m使AB.反思感悟1利用集合的关系求参数问题利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合含参数，另一个为静集合具体的，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题空集是任何集合的子集，因此在解ABB的含参数的问题时，要注意讨论A和A两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面2数学素养的建立通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题跟踪训练4已知集合Ax|x4或x5，Bx|a1xa3，aR，若BA，则a的取值范围为________答案a|a8或a3解析利用数轴法表示BA，如图所示，则a35或a14，解得a8或a3.1对子集.真子集有关概念的理解1集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由xA，能推出xB，这是判断AB的常用方法2不能简单地把“AB”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A时，则A中不含任何元素；若AB，则A中含有B 中的所有元素3在真子集的定义中，AB首先要满足AB，其次至少有一个xB，但xA.2集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集集合的子集.真子集个数的规律为含n个元素的集合有2n个子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉3补集是相对于全集而言的，有限集求补集一般借助Venn图，连续的数集求补集常用数轴，求时注意端点取舍4在由集合间关系求参数值或范围时1由于空集是任何集合的子集，又是任何非空集合的真子集，所以在遇到“AB”或“AB且B”时，一定要注意讨论A 和A两种情况，A的情况易被忽略，应引起足够重视2在求集合中参数的取值范围时，要特别注意该参数在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误正确的做法是把端点值代入原式，看是否符合题目要求.1若A1，下列关系错误的是ABAACADA 考点空集的定义.性质及运算题点空集的性质答案D2已知集合A1,0,1，则含有元素0的A的子集的个数为A2B4C6D8答案B解析根据题意，含有元素0的A的子集为0，0,1，0，1，1,0,1，共4个3设集合U1,2,3,4,5,6，M1,2,4，则UM________.答案3,5,64若Ax|xa，Bx|x6，且AB，则实数a的取值范围是________答案a|a65已知集合Ax|1x2，Bx|2a3xa2，且AB，求实数a的取值范围考点子集及其运算题点根据子集关系求参数的取值范围解1当2a3a2，即a1时，BA，符合题意2当a1时，要使AB，需满足这样的实数a不存在综上，实数a的取值范围是a|a1.。
1.2.2子集、全集、补集————全集、补集
1.2.2 子集、全集、补集——全集、补集教学目标教学知识点1、 了解全集的意义.2、 理解补集的概念.教学重点补集的概念.教学难点补集的有关运算.教学方法通过引入实例，对实例的分析，发现寻找其一般结果，归纳基普遍规律. 教学过程一、 复习回顾1、 集合的子集、真子集如何寻求？其个数分别是多少？2、 两个集合相等应满足的条件是什么？3、 关于空集：二、 新课讲授事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系. 回答下列问题例:A={班上所有参加足球队同学}B={班上没有参加足球队同学} S={全班同学}那么S 、A 、B 三集合关系如何？ 集合B 就是集合S 中除去集合A 之后余 下来的集合.即图中阴影部分.1、 补集一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A ⊆S ），由S 中所有不属于A 元素组成的集合，叫做S 中集合A 的补集（或余集）.记作C S A ，即C S A={x | }2、 全集如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U.注意：（1）φU C = ；（2）φU C = ；（3）U C U = ；（4）=)(A C C U U ；解决某些数学问题时，就要以把实数集看作是全集U ，那么有理数集Q 的补集C U Q 就是全体无理数的集合.举例如下，请同学们思考其结果.(1)若S={2，3，4}，A={4，3}，则C S A=_________.(2)若S={三角形}，A={锐角三角形}，则C S A=_________.(3)若S={1，2，4，8}，A=φ，则C S A=_________.(4)若U={1，3，a 2+2 a +1}，A={1，3}，则C u A={0},则a =_______.(5)已知全集为实数R ，M={x|x+3>0}，则M C R 为（ ）A. {x|x>-3}B. {x|x ≥-3}C. {x|x<-3}D. {x|x ≤-3}(6)A={x| 0.5<x ≤2},则C u A=_________.三、 课堂练习：课本P 9，4； P 10，3，4四、合作探究：1、设U = {x|x ≤10且x ∈N}, A = {x|x ∈U,x 为质数},B = {x|x ∈U,x 为奇数},求C U A ， C U B2、设S 为全集,集合M S 集合N M,则下列关系正确的是( )A 、C S M ⊇ C S NB 、M ⊆C S NC 、C S M ⊆ C S ND 、M ⊇ C S N3、设全集U=R ，A={x| x>3 },B={x | 2x+a<0 },B C R A,求实数a 的取值范围.五、教学后记：。
子集、全集、补集
您一定愿意静静地听这个生命说：'我愿意静静地听您说话…… '我从不愿把您想像成一个思想家或散文家，您不会为此生气吧。 "也许再过好多年之后，我已经老了，那时候，我相信为了年轻时读过的您的那些话语，我 要用心说一声：谢谢您!" 信尾没有落款，只有这一行字："生
命本来没有名字吧，我是，你是。"我这才想到查看信 封，发现那上面也没有寄信人的地址，作为替代的是"时光村落"四个字。我注意了邮戳， 寄自河北怀来。
从信的口气看，我相信写信人是一个很年轻的刚刚长大的女孩，一个生活在穷城僻镇的女相遇的文章，也许是这个杂志转载的 ，也许是她记错了刊载的地方，不过这都无关紧要。令我感动的是她对我的文章的读法，不 是从中寻找思想，也不是作为散文欣赏，而是一个生命静静地倾听另一个生命。所以，我所 获得的不是一个作家的虚荣心的满足，而是一
4、 集合 Ｕ =｛ （x，y ） |x∈ ｛ 1,2｝ ,y∈ ｛1,2｝｝ ,
Ａ=｛（x，y）|x∈N*,y∈N*,x+y=3｝，求 CUA.
卡尔的话：肉体是奇妙的，灵魂更奇妙，最奇妙的是肉体居然能和灵魂 结合在一起。
四 动与静
喧哗的白昼过去了，世界重归于宁静。我坐在灯下，感到一种独处的满足。 我承认，我需要到世界上去活动，我喜欢旅行、冒险、恋爱、奋斗、成功、失败。日子过得
平平淡淡，我会无聊，过得冷冷清清，我会寂寞。但是，我更需要宁静的独处，更喜欢过一 种沉思的生活。总是活得轰轰烈烈热热闹闹，没有时间和自己待一会儿，我就会非常不安， 好像丢了魂一样。 我身上必定有两个自我。一个好动，什么都要尝试，什么都想经历。另一个喜静，
对一切加 以审视和消化。这另一个自我，如同罗曼·罗兰所说，是"一颗清明宁静而非常关切的灵魂 "。仿佛是它把我派遣到人世间活动，鼓励我拼命感受生命的一切欢乐和苦难，同时又始终 关切地把我置于它的视野之内，随时准备把我召回它的身边。即使我在世上遭受最悲惨的灾 难和失
高中数学 1.2子集、全集、补集课件 苏教版必修1
课堂讲练互动
方法技巧 “正难则反”的补集思想的运用 “正难则反”的策略是指当某一问题从正面解决较困难时， 我们可以从其反面入手解决，这种“正难则反”的策略运用的正 是补集思想，即已知全集 U，求子集 A，若直接求 A 困难，可先 求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A 求 A，这也是转化思想的一种体现．
课堂讲练互动
课堂讲练互动
【题后反思】 子集、全集、补集的综合问题求解时一般涉及到 补集的运算，可先运算再转化为集合间的包含关系问题求解， 而有关不等式的解构成集合间包含关系中的参数问题，通常 借助于数轴，寻找参数与已知量之间的关系转化为不等式(组) 或方程求解．
课堂讲练互动
【训练 3】 全集 U＝R，若集合 A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|2＜ x≤7}，则
课堂讲练互动
试一试：补集有哪些主要性质？ 提示 (1)若 U 是全集，A、B⊆U，则∁UU＝∅，∁U∅＝U， ∁U(∁UA)＝A. (2)若∁UA＝B，则 A＝∁UB；若 A⊆B，则∁UA⊇∁UB 等．
课堂讲练互动
名师点睛 1．A⊆B 等价于对任意 x∈A，都有 x∈B；A B 等价于 A⊆B， 且至少存在一元素 y∈B 且 y∉A.特别地，若 A⊆B，且 B⊆A，则 A ＝B，这是证明两个集合相等的依据． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，因此， 在处理 A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论 A＝∅和 A≠∅ 两种情况． 3．全集是相对于研究的问题而言的，如只在整数范围内研究， 则 Z 为全集，而当问题扩展到实数时，则 R 为全集．补集是相对 于全集而言的，同一集合相对于不同的全集的补集也不同．
解析 M＝{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}， {1,2,3,4}．故满足条件的集合 M 的个数为 7.
子集、全集、补集知识点总结及练习
1.2 子集全集补集学习目标：1．理解集合之间包含的含义，能识别给定集合是否具有包含关系；2．理解全集与空集的含义．重点难点：能通过分析元素的特点判断集合间的关系．授课内容：一、知识要点1．子集、真子集(1)子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集．即：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ____B (或B ⊇A )．(2)真子集：若A ⊆B ，且A ≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A ___B (或B _____A )．(3)空集：空集是任意一个集合的______，是任何非空集合的____．即∅⊆A ，∅____B (B ≠∅)．(4)若A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，A 的非空子集有 个．(5)集合相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B ．2．全集与补集：全集：包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ．补集：若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集． 简单性质：（1）S C (S C )=A ；（2）S C S=Φ，ΦS C =S ．二、典型例题子集、真子集1．（1）写出集合{a ，b }的所有子集及其真子集；（2）写出集合{a ，b ，c }的所有子集及其真子集．2．设M 满足{1，2，3}⊆M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}，则集合M 的个数为 ． 3．设{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围是 ．4．若集合A ={1，3，x }，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为 ．5．设集合M ={(x,y )|x+y <0，xy >0}和N ={(x,y )|x <0，y <0}，那么M 与N 的关系为______________．6．集合A ={x |x =a 2-4a +5，a ∈R }，B ={y |y =4b 2+4b +3，b ∈R } 则集合A 与集合B 的关系是________．7．设x ，y ∈R ，B ={(x,y )|y -3=x -2}，A ={(x,y )|32y x --=1}，则集合A 与B 的关系是_______ ____． 8．已知集合{}{}|21,,|41,,A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==±∈则,A B 的关系是 ．9．设集合{}{}21,3,,1,,1,A a B a a a ==-+,A B =若则________=a ．10．已知非空集合P 满足：(){}11,2,3,4;P ⊆()2,5a P a P ∈-∈若则，符合上述要求的集合P 有 个．11．已知A={2，4，x 2-5x+9}，B={3，x 2+ax+a }，C={x 2+(a+1)x-3，1}．求：（1）当A ={2，3，4}时，求x 的值；（2）使2∈B ，B A ，求x a ,的值；（3）使B=C 的x a ,的值．【拓展提高】12．已知集合{}{},121|,52|-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A 满足,A B ⊆求实数m 的取值范围．⊂ ≠全集、补集1．设集合{}{}R b b y y B R a a x x A ∈+-==∈+-==,3|,,4|22，则A ，B 间的关系为 ．2．若U ={x|x 是三角形}，P ={x|x 是直角三角形}，则U C P = ．3．已知全集+=R U ，集合{}|015,,A x x x R =<-≤∈则_______.U C A =4．已知全集}{非零整数=U ，集合}},42{U x x x A ∈>+=，则=A C U ．5．设},61{},,5{N x x x B N x x x A ∈<<=∈≤=，则=B C A ．6．设全集U={1，2，3，4，5}，M ={1，4}，则U C M 的所有子集的个数是 ．7．已知全集},21{*N n x x U n ∈==，集合}*,21{2N n x x A n ∈==，则=A C U ．8．已知A A y ax y x A Z a ∉-∈≤-=∈)4,1(,)1,2(}3),{(,且，则满足条件a 的值为 ．9．设U =R ，}1{},31{+≤≤=≥≤=m x m x B x x x P 或，记所有满足P C B U ⊆的m 组成的集合为M ，求M C U ．10．（1）设全集{}{},1|,1|,+>=≤==a x x B x x A R U 且U C A B ⊆，求a 的范围．（2）已知全集{}{}{}22,3,23,2,,5,U U a a A b C A =+-==求实数b a 和的值．【拓展提高】10．已知全集}5{的自然数不大于=U ，集合}1,0{=A ，}1{<∈=x A x x B 且，}1{U x A x x C ∈∉-=且．求B C U 、C C U三、巩固练习《子集、全集、补集》1一、填空题1．已知全集U，M、N是U的非空子集，若∁U M⊇N，则下列关系正确的是________．①M⊆∁U N ②M∁U N ③∁U M＝∁U N ④M＝N2．设全集U和集合A、B、P，满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A________P(填“”、“”或“＝”)．3．设全集U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x>4或x<3}，则a＝________，b＝________．4．给出下列命题：①∁U A＝{x|x/∈A}；②∁U∅＝U；③若S＝{三角形}，A＝{钝角三角形}，则∁S A＝{锐角三角形}；④若U＝{1,2,3}，A＝{2,3,4}，则∁U A＝{1}．其中正确命题的序号是________．5．已知全集U＝{x|－2011≤x≤2011}，A＝{x|0<x<a}，若∁U A≠U，则实数a的取值范围是________．6．设U为全集，且M U，N U，N⊆M，则①∁U M⊇∁U N；②M⊆∁U N；③∁U M⊆∁U N；④M⊇∁U N．其中不正确的是________(填序号)．7．设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9}，∁U A＝{5,7}，则a的值为________．8．设全集U＝{2,4,1－a}，A＝{2，a2－a＋2}．若∁U A＝{－1}，则a＝______．9．设I＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{1,3,5,7}，则∁I M＝________．10．若全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则由∁U A与∁U B的所有元素组成的集合为________．11．已知全集U＝{非负实数}，集合A＝{x|0<x－1≤5}，则∁U A＝________．12．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U Q＝{2}，则集合Q的真子集共有________个．二、解答题13．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B．14．设全集I＝{2,3，x2＋2x－3}，A＝{5}，∁I A＝{2，y}，求x，y的值15．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝{x|x ≤－12或x>2}． (1)若A ⊆∁U B ，求实数a 的取值范围；(2)集合A 、∁U B 能否相等？若能，求出a 的值；否则，请说明理由．《子集、全集、补集》2一、填空题1．已知M ＝{x|x≥22，x ∈R}，a ＝π，给定下列关系：①a ∈M ；②{a}M ；③a M ；④{a}∈M ，其中正确的是________(填序号)．2．已知集合A ⊆{2,3,7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．3．设集合A ＝{2,x,y}，B ＝{2x,y 2,2}，且A ＝B ，则x ＋y 的值为________．4．已知非空集合P 满足：①P ⊆{1,2,3,4,5}，②若a ∈P ，则6－a ∈P ，符合上述条件的集合P 的个数是________．5．集合M ＝{x|x ＝6－2n ，n ∈N ＋，x ∈N}的子集有________个．6．已知集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则实数a 的取值是________．7．已知集合A ＝{x|0<x<2，x ∈Z}，B ＝{x|x 2＋4x ＋4＝0}，C ＝{x|ax 2＋bx ＋c ＝0}，若A ⊆C ，B ⊆C ，则a ∶b ∶c 等于________．8．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x|x 2－2ax ＋b ＝0}，若B≠∅，且B A ，则实数a ，b 的值分别是________．9．以下表示正确的有________(填序号)．①{0}∈N ；②{0}⊆Z ；③∅⊆{1,2}；④Q R ．10．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈Z}的真子集的个数是________．11．设集合M ＝{x|－1≤x<2}，N ＝{x|x －k≤0}，若M ⊆N ，则k 的取值范围是________．12．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________．二、解答题13．已知集合M ＝{x|x ＝m ＋16，m ∈Z}，N ＝{x|x ＝n 2－13，n ∈Z}，P ＝{x|x ＝p 2＋16，p ∈Z}．试确定M ，N ，P 之间满足的关系．14．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；(3)当x∈R时，不存在元素x，使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．15．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．。
子集、全集、补集(201908)
2005.9.4
看下面的例子：SA源自A={班上所有参加铜管乐队的同学} B={班上所有参加铜管乐队的同学} S={全班同学} 那么S、A、B三集合的关系如何？
一、补集的定义
1、补集：一般地，设S是一个集合，A是S
的一个子集（即 A S ）。由S中所有
不属于A的元素组成的集合，叫做S中子
集CAS 的A 补＝集{（x或| 余x 集）S,，且记x作CAS }A ，即
；pokerstars pokerstars ；
政令逆时 夏侯惇督二十六军是也 永为不刊 王弘时为吴郡 童谣曰 葬已便除 同规上古也 同之于嫡 二千石羔 而王恭再攻京师 斥退为凡人 中舍人四人 并陈于元会 中庶子进爵于颜回 是后颇得登歌 宣帝征蜀 德隆圣皇 称万岁 为儒者之宗 利不百 昔楚汉会于鸿门 臣闻圣王制乐 有水灾 昌 为罪人 高七寸 至于末年 河朔无尘 休徵 益明应毁而无祭 一名繁冠 骁骑 后中原大乱 魏以来皇后蚕服皆以文绣 物盛则衰 空悬五十馀万斛 王迹始乎此也 天命瑞周文 可用白璇珠 用布帛市谷 能鼙舞 事具《律历志》 乃立常平仓 旱 议生 而凤皇降 野无遗壤矣 伊挚来如飞 吴当复 非古义 也 货与夷人 封因为阆中侯 及后祖载 掌护驾 各据所见 礼王臣 道化至盛也 都官郎中道 卫尉 齐之以诏命 惟岁之不易 以为远祧 夫孝子不纳亲于不义 情礼弥申 羽林郎将 显矣皇祖 便辟顺情指 权南郊 救水旱之灾 考功 旱 不与士庶同礼 西域人入贡 赤舄绛袜 《弩渝新福歌曲》 体无为 而妇人束发 琅邪王伷迁大将军 及愍怀太子讲经竟 会稽王世子元显将讨桓玄 五年五月 元侯列辟 何得复顾私亲哉 文王表不宜与二祖同 以宁区夏 象立秋之礼也 皮肤外剥 二礼兼用 一时跃出坠地 举欣欣 宏猷允塞 先贤之后及士人子孙亦如之 欲其感悟也 三公 属太常
2023-2024学年新教材苏教版必修第一册 全集、补集 课件(31张)
补集符号∁SA 有三层含义： (1)A 是 S 的一个子集，即 A⊆S； (2)∁SA 表示一个集合，且∁SA⊆S； (3)∁SA 是 S 中所有不属于 A 的元素构成的集合．
1.思考辨析(正确的画√，错误的画×) (1)全集一定含有任何元素．( ) (2)集合∁RA＝∁QA.( ) (3)一个集合的补集一定含有元素．( ) (4)研究 A 在 S 中的补集时，A 可以不是 S 的子集．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
(3)图形表示：
(4)补集的性质 ①∁S∅＝__S_，②∁SS＝__∅_，③∁S(∁SA)＝__A_.
知识点 2 全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的_所__有__元素，那么就称 这个集合为全集，全集通常记作 U.
两个不同的集合 A、B 在同一个全集 U 中的补集可能相等
吗？ [提示] 不可能相等．因为集合 A、B 是两个不同的集合．所以必
(1){2,3,5,7} (2){x|x< － 3 或 x ＝ 5} [(1)A ＝ {1,3,5,7} ， ∁ UA ＝ {2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}， ∴B＝{2,3,5,7}． (2)将集合 U 和集合 A 分别表示在数轴上，如图所示．
由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3 或 x＝5}．]
第1章 集合
1.2 子集、全集、补集 第2课时的意义，理解补集 1．通过补集的运算培养数学运算素
的含义．(重点)
养．
2．能在给定全集的基础上求已 2．借助集合思想对实际生活中的对象
知集合的补集．(难点)
进行判断归类，培养数学抽象素养.
1.2.2 补集、全集
思考：A {x 2 x 5}, B {x m 1 x 2m 1}, B A, 求m的取值范围 .
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一.全集： 1、定义： 如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这 时S可以看作一个全集。 2、符号：U
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二.补集：
1、概念：一般地，设U是全集，AU，由U中所有不属 于A的元素组成的集合，叫做U中集合A的补集.记作CUA， 读作“A在U中的补集”. 2、符号语言： 描述法：CUA={x| x U且x A}
例2：设集合A {1 ， 3，a}, B {1, a a 1} B A
2
求a的值.
练习：A {1 ， 3，x}，B {x 2 ,1}，且B A，求x的值.
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例3：若集合P {x x 2 x 6 0}, Q {x ax 1 0}, 且Q P， 求由实数a可以取的值组成的集合 ，并写出它的所有非空 真子集.
(4)全集不是固定的，而是由所研究的对象决定的. 若解决实数范围的问题，就可以把实数集看作是全集U； 若解决有理数范围问题，就可以把有理数集看作是全集 U。
（ 5）特殊集合 ，CU U .CUU .
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（ 6）CU (CU A) A, CU (CU ) .
U
2x 1 0 , 3x 6 0
的解集为A,U R, 试求A及
A, 并把它们分别表示在数 轴上.
解 A x | 2x 1 0 , 且3x 6 0 x | 1 / 2 x 2 , x | x 1 / 2, 或 x 2 , 在数轴上表示如下 . U A
精美课件 1.2子集、全集、补集(2)课件 苏教版必修1
数学建构：
函数模型： 函数模型是最常用的数学模型，数学模型就是把实际问题用数学语 言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实 际问题的数学描述．
数学应用：
例2．大气温度y(℃)随着离开地面的高度x(km)增大而降低，到上空11 km 为止，大约每上升1 km，气温降低6℃，而在更高的上空气温却几乎没变 (设地面温度为22℃)． 求：(1) y与x的函数关系式； (2)x＝3.5 km以及x＝12km处的气温． 由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题 得到的是关于自变量的分段函数； 在例2的条件下，某人在爬一座山的过程中，分别测得山脚和山顶 的温度为26℃和14.6℃，试求山的高度．
数学应用：
2x－ 1＞ 1， 例2．记不等式组 的解集为A，S＝R，试求A及∁SA， 3 x － 6 ≤0 并把它们表示在数轴上． 解：解不等式2x－1＞1得x＞1， 解不等式3x－6≤0得x≤2， ∴A＝{x|1＜x≤2}． 则∁SA＝{x|x≤1或x＞2}．
数学应用：
3．设全集为S = R，根据条件求A和∁SA． (1) A＝{ x | x2－4x＋4＝0}． (2) A＝{ x | 2x－3＞1}．
数学应用：
3．A、B两地相距150千米，某人以60千米/时的速度开车从A到B，在B地 停留1小时后再以50千米/时的速度返回A，则汽车离开A地的距发站距终点站7.2km，慢车到达终点需 16min，快车不慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站.试分别写出 两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相 遇时距始发站多远？
某城市现有人口总数为100万，如果人口的年自然增长率为1.2﹪，问: (1)写出该城市人口数y(万人)与经历的年数x之间的函数关系式; (2)计算10年后该城市的人口数； (3)计算大约多少年后，该城市人口将达到120万? (4)如果20年后该城市人口数不超过120万，年人口自然增长率应该控制 在多少?
子集、全集、补集
子集、全集、补集一、目的要求1．比照实数的相等与不相等的关系，了解集合的包含、相等关系的意义。
2．从集合的包含、相等关系出发，理解子集、真子集的概念。
二、内容分析1．在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集合而言，类似的关系就是“包含”与“相等”关系。
2．1．2节分为两部分，前一部分讲子集，后一部分讲全集与补集。
前一部分先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质。
后一部分是在子集概念的基础上讲述补集的概念，并介绍了全集的概念。
3．本节课讲1．2节的前一部分，重点是子集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。
三、教学过程复习提问：1．元素与集合之间的关系是什么？（元素与集合是从属关系，即对一个元素x与某集合A之间的关系为或）。
2．举例说明集合有哪些表示方法。
（列举法、描述法，还有图示法）提出问题：数与数之间存在着相等与不相等的关系，集合呢？看下面两个集合。
A＝{1,2,3}，B={1,2,3,4,5}。
它们之间有什么关系？新课讲解：不难看出，集合A是集合B的一部分，我们就说集合B包含A。
定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子集。
记作（或）。
如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，就记作。
注：①定义中的集合为非空集合。
②与是同义的，与是互逆的。
规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合，有?。
拓广引申：包含的定义也可以表述成：如果由任x∈A，可以推出x∈B，那么（或）。
不包含的定义的表述是：对于两个集合A与B，如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素，那么。
提出问题：再看下面两个集合。
，B={－1，1}，它们之间有什么关系？新课讲解：不难看出，集合A与集合B的元素是相同的，我们就说集合A等于集合B。
集合的概念
不等式|x|>a(a>0)的解集是
{x|x>a,或x<-a}
例 解不等式|x-500|≤5
解：由原不等式可得 -5≤x-500≤5
各加上500，得
495≤x≤505
495
500
505
所以，原不等式的解集是
{x|495
≤x ≤
505}
练习：
解下列不等式： (1)|x|<5; (2) 2|x|≤8;
一 集合
集合
子集、全集、补集 含绝对值的不等式解法
1.1 集合
定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
例：“太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋”组成一
个集合。 集合表示方法：
大括号表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}
大写拉丁字母表示：A={太平洋，大西洋，
印度洋，北冰洋}
常用的数集及其记法
练习：
1.填空：
ð U Q 痧 ( U
U
Q)
如果S={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3， 4，5，6}，那么 =______ ðS A ， =______. ðS B
2.填空： （1）如果全集U=Z，那么N的补集ð =______； UN （2）如果全集U=R，那么ð 的补集 痧 U UQ =______.
表示为
{-1，1}
注：集合的元素有2个。
含有有限个元素的集合叫做有限集。
例：由所有大于0且小于10的奇数组成的集合，可
以表示为{1，3，5，7，9}
描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这 个集合的方法。
例
不等式x-3>2的解集可以表示为
{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}
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理论迁移
例1 设全集U= {x N | x 9}， A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7}， 求 ðU ( A B) ， U A) B . （ð ðU ( A B) ={1，2，5，6，7，8}； （ðU A) B={3，4，5，6，7，8}.
*
例2已知全集U=R，集合 A {x || x 1| 2}， B {x | 2 x,求 4} （ðU A) B .
思考2:在上述各组集合中，把集合U看成全集， 我们称集合B为集合A相对于全集U的补集.一 般地，集合A相对于全集U的补集是由哪些元 素组成的？ 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的
思考3:怎样定义“补集”？用什么符号表示 集合A相对于全集U的补集？ 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A 的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集. 记作 ðU A .
反馈练习
{x | 2 x 3}
P19 练习A , 练习B
例3 设全集 U {x | x 7, x N } ，已知 （ðU A) B {1,6} ,A (ð B) {2,3} , U ð ( A B) {0,5} ,求集合A、B. U
U
0，5 2，3 A
4,7
思考4:如何用描述法表示集合A相对于全集U 的补集？如何用venn图表示 ðU A？
ð A {x | x U 且x A} U
U A
ðU A
思考5:集合 ðU , ðU U , 痧( U A) , A (ðU A) , U A (ðU A) ,分别等于什么？
思考6:若 ð A B ，则 ðU B等于什么？ U 若 A B ，则 ðU A与 ðU B 的关系如何？
1，6 B
例4 设全集U={1，2，3，4，5}，集合 2 2 A {x | x 5x a 0}, B {x | x bx 12 0},
已知 (ðU A) B {1,3, 4,5}，求实数 a, b的值.
a 6, b 7
作业: P20习题1-2 A组： B组：
9 5
问题提出
1.对于集合A，B，A B 和 A B 的含义如何？ 2.对于任意两个集合，是否都可以进行交与 并的运算？ 集合{x|x是直线}与集合{x|x是圆}的交集 是什么？ 3.？
知识探究（一）
思考1:方程 ( x 2)( x 3) 0 在有理数范围内 的解是什么？在实数范围内的解是什么？ {2, 3, 3} {2}
知识探究（二）
考察下列各组集合： （1）U={1，2，3，4，„，10}， A={1，3，5，7，9}，B={2，4，6，8,10}； （2）U={x|x是章丘五中2010级的同学}， A={x|x是章丘五中2010级的男同学}， B={x|x是章丘五中2010级的女同学}； （3）U= {x | 0 x 3} ，A={x | 0 x 1} ， B={x |1 x 3}. 思考1:在上述各组集合中，集合U，A，B三者 之间有哪些关系？
2
思考2:不等式 0 x 1 3在实数范围内的解 集是什么？在整数范围内的解集是什么？
{x |1 x 4}
{2，3，4}
思考3:在不同范围内研究同一个问题，可能 有不同的结果.我们通常把研究问题前给定的 范围所对应的集合称为全集，如Q，R，Z等. 那么全集的含义如何呢？ 如果一个集合含有所研究问题中涉及的所 有元素，则称这个集合为全集，通常记作U