函数的基本性质最大小值高中数学必修一
人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课复习(第2课时函数的最大值、最小值)
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x=5 时,有最大值 f(5).
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
x2-x(0≤x≤2),
2.已知函数 f(x)=x-2 1(x>2),
求函数 f(x)的最大值和
最小值.
解:作出 f(x)的图象如图.由图象可知,当 x=2 时,f(x)取最 大值为 2; 当 x=12时,f(x)取最小值为-14. 所以 f(x)的最大值为 2,最小值为-14.
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第三章 函数的概念与性质
函数 y=2x2+2,x∈N*的最小值是________. 解析:函数 y=2x2+2 在(0,+∞)上是增函数, 又因为 x∈N*,所以当 x=1 时, ymin=2×12+2=4. 答案:4
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第三章 函数的概念与性质
图象法求函数的最值 已知函数 f(x)=-2x,x∈(-∞,0),
本部分内容讲解结束
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3.2 函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
第3课时 函数奇偶性的概念
课件
第三章 函数的概念与性质
考点
学习目标
结合具体函数,了解函数奇偶 函数奇偶性的
性的含义,掌握判断函数奇偶 判断
性的方法
奇、偶函数的 了解函数奇偶性与函数图象对
图象
称性之间的关系
奇、偶函数的 会利用函数的奇偶性解决简单
3.若函数 f(x)=1x在[1,b](b>1)上的最小值是14,则 b=________. 解析:因为 f(x)在[1,b]上是减函数, 所以 f(x)在[1,b]上的最小值为 f(b)=1b=14, 所以 b=4. 答案:4
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第三章 函数的概念与性质
4.已知函数 f(x)=4x2-mx+1 在(-∞,-2)上递减,在[-2, +∞)上递增,求 f(x)在[1,2]上的值域. 解:因为 f(x)在(-∞,-2)上递减,在[-2,+∞)上递增,所 以函数 f(x)=4x2-mx+1 的对称轴方程为 x=m8 =-2,即 m= -16. 又[1,2]⊆[-2,+∞),且 f(x)在[-2,+∞)上递增.
高中数学必修一 《3 2 函数的基本性质》多媒体精品课件
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(× )
(2)在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为
“存在两个自变量”.
(× )
(3)任何函数都有最大值或最小值.
( × )
(4)函数的最小值一定比最大值小.
( √ )
2.函数 y=f(x)的图象如图所示,其增区间是
A.[-4,4]
B.[-4,-3]∪[1,4]
2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的
单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变
量的限制条件,以防出错.
[跟踪训练五]
1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
题型二
利用函数的图象求函数的最值
例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的
最值情况,并写出值域.
3-, ≥ 1,
解:y=-|x-1|+2=
函数图象如图所示.
+
+11,
, < 1,
1,
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域
为(-∞,2].
称 M 是函数 y=f(x)
结论
称 M 是函数 y=f(x)的最小值
的最大值
几何 f(x)图象上最 高 点
意义
的纵坐标
f(x)图象上最低 点的纵坐标
[点睛] 最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素,如函数y
=x2(x∈R)的最小值是0,有f(0)=0.
小试身手
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.1.2 函数的单调性与最值
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f-32;当
x=12时,有最大值
1 f2.
答案 C
2.函数 f(x)=x12在区间12,2上的最大值是
1 A.4
B.-1
C.4
D.-4
( ).
解析 由 t=x2 在12,2上是增函数,易知 f(x)=x12在12,2上 是减函数.
∴f(x)max=f12=4. 答案 C
(2)∵f(x)的最小值为 f(2)=121,
∴f(x)>a
恒成立,只须
f(x)min>a,即
11 a< 2 .
类型三 函数最值的实际应用 【例 3】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元, 每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数:
R(x)=400x-12x2,0≤x≤400, 其中 x 是仪器的月产量. 80 000,x>400.
课堂小结 1.函数最值定义中两个条件缺一不可,若只有(1),M不是
最大(小)值,如f(x)=-x2(x∈R), 对任 意x∈R, 都有 f(x)≤1成立,但1不是最大值,否则大于0的任意实数都是 最 大 值 了 . 最 大 ( 小 ) 值 的 核 心 就 是 不 等 式 f(x)≤M( 或 f(x)≥M),故也不能只有(2).
2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(x)的图象连续不间断,
则函数f(x)的最值必在
区间端点处取得.
互动探究 探究点1 函数f(x)=x2≥-1总成立,f(x)的最小值是-1吗? 提示 不是.因为对x∈R,找不到使f(x)=-1成立的实数x. 探究点2 函数最大值或最小值的几何意义是什么? 提示 函数的最大值或最小值是函数的整体性质,从图象上 看,函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐 标.
函数的基本性质(单元教学设计)-高中数学新教材必修第一册
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《函数的基本性质》单元教学设计一、内容和及其解析(一)内容函数的单调性;函数的最大值、最小值;函数的奇偶性.(二)内容解析1. 内容本质变化中的不变性是性质,变化中的规律性也是性质.函数是刻画客观世界中运动变化的重要数学模型,因此,我们可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物变化的规律.高中阶段研究的函数性质有:单调性、最大(小)值、奇偶性、周期性、函数的零点、增减的快慢等.本节研究函数的单调性、最大(小)值、奇偶性.单调性是函数最重要的性质,刻画了函数值y随自变量x增大而增大或减小的变化趋势,绝大多数函数都具有单调性.函数的最大(小)值与函数的单调性有着密切的联系.通常,知道了函数的单调性,就能较方便地确定函数的最大(小)值,因此,求解函数的最大(小)值一般需要先判断函数的单调性.函数的奇偶性是一种特殊的对称性.如果函数具有奇偶性就能将研究函数的“工作量”减半.函数的单调性是函数的局部性质,函数的奇偶性和最大(小)值都是函数的整体性质.函数的单调性、最大(小)值、奇偶性的定义,都是在分析函数图象特征的基础上,利用代数运算对其进行定量刻画,进而用严格的数学符号语言精确刻画函数的性质.2.蕴含的思想方法在函数性质概念形成的过程中,从图象特征到形式化定义,从形到数,蕴含着数形结合的思想.从几个特殊函数出发,归纳出共同特征,再概括形成函数的一般性质,这是特殊到一般的研究方法.利用定义证明具体函数性质的过程,最后形成标准化的求解步骤,蕴含着算法思想.3.知识的上下位关系函数的“集合——对应说”,并用抽象符号f(x)表示函数,为用严格的数学符号语言精确刻画函数的性质奠定了基础.函数的概念与性质这部分内容,先从一般性角度研究函数概念及其性质,使学生在宏观上了解函数的内容和方法,起到先行组织者的作用.为后续研究基本初等函数、数列、导数及其应用、概率的基本性质、随机变量等内容提供了依据.4. 育人价值在函数性质概念形成的过程中,从特殊到一般,从直观到抽象,有利于发展学生的数学抽象、直观想象的核心素养;在利用定义判断或证明具体函数性质的过程中,有利于发展学生逻辑推理、数学运算的核心素养.5.教学重点用符号语言表示函数的单调性、奇偶性,用定义法证明函数的单调性、用定义法判断函数的奇偶性.二、目标及其解析(一)目标1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.2.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.(二)目标解析达成上述目标的标志是:1.在从图象直观到自然文字语言描述再到符号语言表达函数单调性的过程中,能感悟引入符号表示“12,x x D ∀∈”的作用和力量,把一个含有“无限”的问题转化为一种“有限”的方式进行表达.2.会用符号语言正确表达函数的单调性、最大(小)值,并能说出“任意”“都有”“存在”等关键词的含义,知道函数单调性和最大(小)值的现实意义.能说出判断函数单调性的基本步骤,会用函数单调性的定义证明函数的单调性.能说出求函数最大、最小值的基本步骤,会用函数最大值、最小值的定义求最值,能说明最值与单调性之间的关系.3.能类比单调性的定义的学习过程,用符号语言表达函数的奇偶性,并说明偶(奇)函数的定义与函数图象关于y 轴(原点)对称之间是等价的.知道判断函数奇偶性的基本步骤,会用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.三、教学问题诊断分析1.问题诊断及破解方法(1)函数单调性的符号语言描述的构建.学生在初中学习一次函数、反比例函数、二次函数时已经会从图象的角度观察“从左到右图象上升”“从左到右图象下将”的变化趋势,并且会用文字语言“y 随x 的增大而增大或减小”描述这种变化规律,而本单元需要将自然语言转化为符号语言:12,x x D ∀∈,当12x x <,都有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),则称函数()f x 在区间D 上的单调递增(或递减),这样的语言学习是学生第一次接触,对学生而言是一个很大的难点.破解方法:从某种意义上来讲,这也属于语言的学习,可以遵循“示范—模仿—熟练运用”的学习规律.在教学中,以初中学习过的具体函数为载体,老师示范如何完成图形语言——自然语言——符号语言的转化,进而用符号语言完整表达函数的单调性,再让学生模仿.在具体函数中熟练掌握符号语言的表达方式的基础上,再给出函数单调性严格的定义.最后,在用定义证明具体函数单调性的过程中,进一步让学生理解符号语言.(2)利用定义证明函数的单调性.学生刚开始证明函数单调性时,会出现不作差,直接写出函数值大小关系或者变形不充分就做判断的情况,这是因为学生对证明的每一步依据的“大前提”模糊导致的,经常出现依据函数单调性证明函数单调性的状况.破解方法:教学中先利用简单的具体函数的单调性证明问题,帮助学生理解代数变形的必要性,然后进一步梳理证明的步骤,总结变形的基本方法,逐步学会函数单调性的代数证明.(3)最大(小)值概念的理解.对于最大(小)值的概念,学生往往对条件“0x I ∃∈,使得()0f x M =”的必要性的理解会存在一些困难.破解方法:在教学中,可以给出丰富而典型的数学情境,给出正例和反例,让学生归纳最值的本质特征,体会“∀”和“∃”这两方面的条件缺一不可.也可以结合基本不等式求最值的问题进行解释.2.教学难点用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值;利用定义证明函数的单调性.四、教学支持条件函数的性质指的是在变化过程中的不变性和规律性,所以要借助信息技术绘制函数图象,将静态的图象进行动态演示,展示函数值随自变量变化而变化的情况.五、课时分配本单元分3课时.第1课时,函数的单调性;第2课,函数的最大值、最小值;第3课时,函数的奇偶性.。
高中数学必修一知识点归纳
![高中数学必修一知识点归纳](https://img.taocdn.com/s3/m/ae0a487d443610661ed9ad51f01dc281e53a562a.png)
高中数学必修一知识点归纳一、函数的概念与性质1. 函数的定义- 函数:从一个数集A(定义域)到另一个数集B(值域)的映射。
- 函数的表示:f(x) = y,其中x∈A,y∈B。
2. 函数的性质- 单调性:函数值随自变量增加而增加或减少。
- 奇偶性:f(-x) = f(x)(偶函数),f(-x) = -f(x)(奇函数)。
- 周期性:存在最小正数T,使得f(x+T) = f(x)。
- 有界性:函数的值在某个范围内。
3. 函数的图像- 坐标轴:x轴和y轴。
- 函数图像:表示函数关系的图形。
二、基本初等函数1. 幂函数- 定义:f(x) = x^n,n为实数。
- 性质:正整数幂、负整数幂、分数幂。
2. 指数函数- 定义:f(x) = a^x,a>0且a≠1。
- 性质:增长速度、指数律。
3. 对数函数- 定义:f(x) = log_a(x),a>0且a≠1。
- 性质:对数律、换底公式。
4. 三角函数- 正弦、余弦、正切函数:sin(x), cos(x), tan(x)。
- 性质:周期性、奇偶性、最值。
三、函数的运算1. 函数的四则运算- 加法、减法、乘法、除法。
2. 复合函数- 定义:f(g(x))。
- 性质:复合函数的值域。
3. 反函数- 定义:f(x)的反函数为g(x),满足f(g(x)) = x。
- 求法:通过解方程。
四、方程与不等式1. 一元一次方程- 解法:移项、合并同类项、系数化为1。
2. 一元二次方程- 解法:因式分解、配方法、公式法、图像法。
3. 不等式- 解法:移项、合并同类项、系数化为1。
- 性质:不等式的基本性质。
五、数列的概念与表示1. 数列的定义- 数列:按照一定顺序排列的一列数。
2. 等差数列- 定义:相邻两项之差为常数的数列。
- 通项公式:an = a1 + (n-1)d。
3. 等比数列- 定义:相邻两项之比为常数的数列。
- 通项公式:an = a1 * q^(n-1)。
新教材高中数学3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册
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答案
题型四 复合函数的单调性 例 4 求函数 f(x)=8-21x-x2的单调区间.
[证明] (1)根据题意,令 m=0,可得 f(0+n)=f(0)·f(n). ∵f(n)≠0,∴f(0)=1. (2)由题意知 x>0 时,0<f(x)<1, 当 x=0 时,f(0)=1>0, 当 x<0 时,-x>0,∴0<f(-x)<1. ∵f[x+(-x)]=f(x)·f(-x), ∴f(x)·f(-x)=1, ∴f(x)=f-1 x>0. ∴∀x∈R,恒有 f(x)>0.
数(decreasing function).
知识点三
单调区间
如果函数 y=f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___,那么就说
函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____,__□0_4__区__间__D____叫做 y
7.图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间,即 y=f(x)和 y=f(x)+b 的单调区间相同. (2)左右平移影响单调区间.如 y=x2 的单调递减区间为(-∞,0];y=(x +1)2 的单调递减区间为(-∞,-1]. (3)y=k·f(x),当 k>0 时单调区间与 f(x)相同,当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反.
函数的基本性质-1.3.1单调性与最大(小)值-学生用
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三人行学堂学科老师个性化教案教师 陈永福学生姓名上课日期 上课时段 年 月 日 到 学科数学年级高一(上) 必修一类型新课讲解□ 复习课讲解□教学目标教学内容 单调性与最大(小)值学习问题解决1、函数单调性的证明及判断方法2、由函数的单调性求参数的取值范围3、由函数的单调性解不等式4、求函数的最大(小)值知识清单1、增函数与减函数的定义 条件 一般地,设函数f (x )的定义域为I :如果对于定义域I 内某个区间D 上的 两个自变量的值x 1,x 2,当x 1 <x 2时结论 那么就说函数f(x)在区间D 上是 函数 那么就说函数f(x)在区间D 上是函数图示2、如果函数)(x f y =在区间D 上是 函数或 函数,那么就说函数)(x f y =在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做函数)(x f y =的 。
3、函数的最大(小)值一般地,设函数)(x f y =的定义域为I ,如果存在实数M 满足 (1)对于任意的I x ∈,都有 (1)对于任意的I x ∈,都有 (2)存在I x ∈0,使得 (2)存在I x ∈0,使得 那么就称M 是函数)(x f y =的最大值 那么就称M 是函数)(x f y =的最小值方法探究一、函数单调性的证明及判断方法 方法点拨1、函数单调性的证明:现阶段只能用定义证明,其步骤为(1)取值:设x 1,x 2为该区间内任意两个自变量的值,且x 1 <x 2;(2)作差变形:作差f(x 1)-f(x 2),并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差值符号的方向变形;(3)定号:确定差值的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨论; (4)作结论:根据定义作出结论;其中最关键的步骤为作差变形,在变形时一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方式,直到符号判断水到渠成。
2、函数单调性的判断方法(1)图像法:先作出函数图象,利用图象直观判断函数单调性;(2)直接法:就是对于我们所熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,直接判断它们单调性。
高中数学必修1函数的基本性质
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高中数学必修1函数的基本性质1.奇偶性(1)定义:如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=-f (x ),则称f (x )为奇函数;如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=f (x ),则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质,则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f (x )既是奇函数,又是偶函数。
注意:○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x ,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○2 确定f (-x )与f (x )的关系; ○3 作出相应结论: 若f (-x ) = f (x ) 或 f (-x )-f (x ) = 0,则f (x )是偶函数;若f (-x ) =-f (x ) 或 f (-x )+f (x ) = 0,则f (x )是奇函数。
(3)简单性质:①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称;②设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇2.单调性(1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2)),那么就说f (x )在区间D 上是增函数(减函数);注意:○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1<x 2时,总有f (x 1)<f (x 2) (2)如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
函数的基本性质(课时2 函数的最大(小)值)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
![函数的基本性质(课时2 函数的最大(小)值)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)](https://img.taocdn.com/s3/m/67b1710ecd7931b765ce0508763231126edb77b6.png)
[答案] 求解二次函数最值问题的方法:
(1)确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.
(2)在图象上标出定义域的位置.
(3)观察函数图象,通过函数的单调性写出最值.
新知生成
二次函数 具有对称性、增减性、最值等性质,即对于 ,①其图象是抛物线,关于直线 成轴对称图形;②若 ,则函数在区间 上单调递减,在区间 上单调递增;③若 ,则函数在区间 上单调递增,在区间 上单调递减;④若 ,则当 时, 有最小值,为 ,若 ,则当 时, 有最大值,为 .
A. , B. , C. , D. ,
C
[解析] 由图可得,函数 在 处取得最小值,最小值为 ,在 处取得最大值,最大值为2,故选C.
3.函数 在区间 上的最大值、最小值分别是( ).A. , B. , C. , D.以上都不对
B
[解析] 因为 ,且 ,所以当 时, ;当 时, .故选B.
(2) 求函数 的最大值.
[解析] 当 时, , ;当 时, , ;当 时, , .综上所述, .
1.函数 在 上的图象如图所示,则此函数在 上的最大值、最小值分别为( ).
A. , B. , C. ,无最小值 D. ,
C
[解析] 观察图象可知,图象的最高点坐标是 ,故其最大值是3;无最低点,即该函数不存在最小值.故选C.
×
(2) 若函数有最值,则最值一定是其值域中的一个元素.( )
√
(3) 若函数的值域是确定的,则它一定有最值.( )
×
(4) 函数调递减,则函数 在区间 上的最大值为 .( )
√
自学检测
2.函数 在 上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( ).
高中必修第一册《3.2 函数的基本性质》优质课教案教学设计
![高中必修第一册《3.2 函数的基本性质》优质课教案教学设计](https://img.taocdn.com/s3/m/4d60df4633d4b14e84246879.png)
3.2.1 单调性与最大(小)值《函数的单调性与最大(小)值}》系人教A版高中数学必修第一册第三章第二节的内容,本节包括函数的单调性的定义与判断及其证明、函数最大(小)值的求法。
在初中学习函数时,借助图像的直观性研究了一些函数的增减性,这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续,它和后面的函数奇偶性,合称为函数的简单性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问需用到函数的单调性;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的救开结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
A.理解增函数、减函数、单调区间、单调性概念;B.掌握增(减)函数的证明与判断;C.能利用单调性求函数的最大(小)值;D.学会运用函数图象理解和研究函数的性质;1.教学重点:函数单调性的概念,函数的最值;2.教学难点:证明函数的单调性,求函数的最值。
多媒体教学过程教学设计意图 核心素养目标 一、情景引入1. 观察这些函数图像,你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗?2、它们分别反映了相应函数有什么变化规律?二、探索新知 探究一 单调性1、思考:如何利用函数解析式2)(x x f =描述“随着x 的增大,相应的f(x)随着增大?”【答案】图象在区间 )+∞,0(上 逐渐上升, 在)+∞,0(内随着x 的增大,y 也增大。
对于区间)+∞,0(内任意21,x x ,当21x x <时,都有)()(21x f x f <。
这是,就说函数2)(x x f =在区间 )+∞,0(上是增函数.2、你能类似地描述2)(x x f =在区间)0,(-∞上是减函数吗? 【答案】在区间)0,(-∞内任取21,x x ,得到211)(x x f =,222)(x x f =,当21x x <时,都有)()(21x f x f >。
1.3 函数的基本性质(人教版高中数学必修1 第1章集合与函数概念)
![1.3 函数的基本性质(人教版高中数学必修1 第1章集合与函数概念)](https://img.taocdn.com/s3/m/95893201ad02de80d5d84010.png)
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f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时,有 f(0) = -f(0),因此有f(0)=0
函数的奇偶性
2. f(x)为奇函数 f(-x)=-f(x)
f(x)为偶函数 f(-x)=f(x)
定义域
x≠0
3. f(x)为奇函数,且f(x)在 x=0 处有定义 f(0)=0
f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时,有 f(0) = -f(0),因此有f(0)=0
函数的奇偶性
5. 根据函数奇偶性的特征,可以简化函数图象的画法.
偶函数图象关于 y轴 对称. 奇函数图象关于 原点 对称.
例3、已知函数 y=f(x) 是偶函数,它在 y 轴右边的图象如下 图,画出在 y 轴左边的图象.
y
相等
0
x
例3、已知函数 y=f(x) 是奇函数,它在 y 轴右边的图象如下 图,画出在 y 轴左边的图象.
即f ( x 1 ) < f ( x 2 ) 所以,函数 f ( x ) = 3x+2 在 R上是单调增函数。
练习1 证明:函数 f ( x ) = x2+3 在 (0,+∞)上是单调增函数.
练习2 证明函数 y 1 在 (0,+∞)上是单调性. x
证明:设x1, x2是(0,+∞)上任意两个实数,且x1<x2,则
若函数在此区间上是增函数,则区间为单调递增区间
高一数学必修1-函数的概念及基本性质
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§1·函数的概念(一)函数的有关概念设A ,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个x ,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数,记作)(x f y =, x ∈A其中x 叫自变量,x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{}A x x f ∈|)((⊆B )叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”,有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.(2)A :定义域,原象的集合;{}A x x f ∈|)(:值域,象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ;f :对应法则 ,x ∈A , y ∈B(3)函数符号:)(x f y = ↔y 是 x 的函数,简记 )(x f (二)已学函数的定义域和值域1.一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2.反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3.二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域:当0>a 时,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2;当0<a 时,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2(三)函数的值:关于函数值 )(a f例:)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意:1︒在)(x f y =中f 表示对应法则,不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式,有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的,前者为变数,后者为常数(四)函数的三要素: 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数(五)区间的概念和记号:在研究函数时,常常用到区间的概念,它是数学中常用的述语和符号.设a,b ∈R ,且a<b.我们规定:①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间,表示为[a,b]; ②满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间,表示为(a,b );③满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a ,b) ,(a ,b]. 这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.这样实数集R 也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ,x>a ,x ≤b ,x<b 的实数x 的集合分别表示为[a ,+∞),(a ,+∞),(- ∞,b ],(- ∞,b). 【例题解析】例1 判断下列各式,哪个能确定y 是x 的函数?为什么?(1)x 2+y =1 (2)x +y 2=1 (3)1x x 1y --= (4)y=x -1x +-例2 求下列函数的定义域: (1)()f x = (2)xx x x f -+=0)1()(例3 已知函数)(x f =32x -5x+2,求f(3), f(-2), f(a+1).例4 已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ,求)1(f ,)1(-f ,)0(f ,)]}1([{-f f f讨论:函数y=x 、y=(x )2、y=23xx 、y=44x 、y=2x 有何关系?例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数? ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ⑵111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y练习:下列各组中的两个函数是否为相同的函数? ① ()f x = 0(1)x -;()g x = 1.② ()f x = x ; ()g x ③ ()f x = x 2;()g x = 2(1)x +.④ ()f x = | x | ;()g x 例6 已知函数)(x f =4x+3,g(x)=x 2,求f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)].复合函数:设 f (x )=2x -3,g (x )=x 2+2,则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1(或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11)为复合函数例7求下列函数的值域(用区间表示):(1)y =x 2-3x +4; (2)()f x =(3)y =53x -+; (4)2()3x f x x -=+.例8 ※ 动手试试1. 若2(1)21f x x +=+,求()f x .2. 一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+,求()f x .练习 已知二次函数f (x )=ax 2+bx (a ,b 为常数,且a ≠0)满足条件f (x -1)=f (3-x )且方程f (x )=2x 有等根,求f (x )的解析式.函数的概念习题:1.如下图可作为函数)(x f =的图像的是( )(D )2.对于函数()y f x =,以下说法正确的有 ( )①y 是x 的函数;②对于不同的,x y 的值也不同;③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值,是一个常量;④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。
高一数学必修一 教案 3.2 函数的基本性质
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3.2 函数的基本性质3.2.1 单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间,判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.知识点一增函数与减函数的定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I:(1)如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们称它是增函数.(2)如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们称它是减函数.思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗?(2)在增函数和减函数定义中,能否把“任意x1,x2∈D”改为“存在x1,x2∈D”?答案(1)不是;(2)不能.知识点二函数的单调区间如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.特别提醒:(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题,所以单调区间的端点若属于定义域,则该点处区间可开可闭,若区间端点不属于定义域则只能开.(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则,单调区间应尽可能大.1.如果f (x )在区间[a ,b ]和(b ,c ]上都是增函数,则f (x )在区间[a ,c ]上是增函数.( × ) 2.函数f (x )为R 上的减函数,则f (-3)>f (3).( √ )3.若函数y =f (x )在定义域上有f (1)<f (2),则函数y =f (x )是增函数.( × )4.若函数y =f (x )在区间D 上是增函数,则函数y =-f (x )在区间D 上是减函数.( √ )一、函数单调性的判定与证明 例1 根据定义,研究函数f (x )=axx -1在x ∈(-1,1)上的单调性. 解 当a =0时,f (x )=0,在(-1,1)上不具有单调性, 当a ≠0时,设x 1,x 2为(-1,1)上的任意两个数,且x 1<x 2, 所以f (x 1)-f (x 2)=ax 1x 1-1-ax 2x 2-1=ax 1x 2-1-ax 2x 1-1x 1-1x 2-1=a x 2-x 1x 1-1x 2-1因为x 1,x 2∈(-1,1)且x 1<x 2, 所以x 2-x 1>0,x 1-1<0,x 2-1<0, 所以x 2-x 1x 1-1x 2-1>0,当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以f (x )在(-1,1)上单调递减, 当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0, 即f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(-1,1)上单调递增.综上,当a=0时,f(x)在(-1,1)上不具有单调性;当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.反思感悟利用定义判断或证明函数单调性的步骤跟踪训练1 求证:函数f(x)=1x2在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是增函数.证明对于任意的x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,有f(x1)-f(x2)=1x21-1x22=x22-x21x21x22=x2-x1x2+x1x21x22.∵x1<x2<0,∴x2-x1>0,x1+x2<0,x21x22>0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴函数f(x)=1x2在(-∞,0)上是增函数.对于任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,有f(x1)-f(x2)=x2-x1x2+x1x21x22.∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,x2+x1>0,x21x22>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴函数f(x)=1x2在(0,+∞)上是减函数.二、求单调区间并判断单调性例2 (1)如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间解 y =f (x )的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中y =f (x )在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.(2)作出函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x -3,x ≤1,x -22+3,x >1的图象,并指出函数f (x )的单调区间.解 f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x -3,x ≤1,x -22+3,x >1的图象如图所示,由图可知,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x -3,x ≤1,x -22+3,x >1的单调递减区间为(-∞,1]和(1,2),单调递增区间为[2,+∞).反思感悟 (1)函数单调区间的两种求法①图象法.即先画出图象,根据图象求单调区间. ②定义法.即先求出定义域,再利用定义法进行判断求解.(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的子集;当函数出现两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开,不能用“∪”,可以用“和”来表示;在单调区间D 上函数要么是增函数,要么是减函数,不能二者兼有. 跟踪训练2 (1)函数y =1x -1的单调递减区间是________. 答案 (-∞,1),(1,+∞)解析 方法一 y =1x -1的图象可由y =1x的图象向右平移一个单位得到,如图,所以单调减区间是(-∞,1),(1,+∞). 方法二 函数f (x )=1x -1的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞), 设x 1,x 2∈(-∞,1),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=1x 1-1-1x 2-1=x 2-x 1x 1-1x 2-1.因为x 1<x 2<1,所以x 2-x 1>0,x 1-1<0,x 2-1<0, 所以f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2).所以函数f (x )在(-∞,1)上单调递减,同理函数f (x )在(1,+∞)上单调递减. 综上,函数f (x )的单调递减区间是(-∞,1),(1,+∞).(2)函数y =|x 2-2x -3|的图象如图所示,试写出它的单调区间,并指出单调性.考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间解 y =|x 2-2x -3|的单调区间有(-∞,-1],[-1,1],[1,3],[3,+∞),其中单调递减区间是(-∞,-1],[1,3];单调递增区间是[-1,1],[3,+∞). 三、单调性的应用例3 (1)已知函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a 的取值范围为________. 答案 (-∞,-3]解析 f (x )=x 2+2(a -1)x +2的开口方向向上,对称轴为x =1-a , ∵f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,4]上是减函数, ∴4≤1-a , ∴a ≤-3,∴a 的取值范围是(-∞,-3].(2)若函数y =f (x )的定义域为R ,且为增函数,f (1-a )<f (2a -1),则a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23,+∞ 解析 因为y =f (x )的定义域为R ,且为增函数,f (1-a )<f (2a -1),所以1-a <2a -1,即a >23,所以所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23,+∞. 延伸探究在本例(2)中,若将定义域R 改为(-1,1),其他条件不变,则a 的范围又是什么?解 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧-1<1-a <1,-1<2a -1<1.解得0<a <1.①因为f (x )在(-1,1)上是增函数, 且f (1-a )<f (2a -1), 所以1-a <2a -1, 即a >23.②由①②可知,23<a <1,即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23,1.反思感悟 函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ,b ]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的. 跟踪训练3 已知函数f (x )=x 2-2ax -3在区间[1,2]上具有单调性,求实数a 的取值范围. 解 函数f (x )=x 2-2ax -3的图象开口向上, 对称轴为直线x =a ,画出草图如图所示.由图象可知函数在(-∞,a ]和[a ,+∞)上都具有单调性, 因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性,只需a ≤1或a ≥2, 从而a ∈(-∞,1]∪[2,+∞).1.函数y =6x的减区间是( )A .[0,+∞)B .(-∞,0]C .(-∞,0),(0,+∞)D .(-∞,0)∪(0,+∞)答案 C2.函数f (x )在R 上是减函数,则有( ) A .f (3)<f (5) B .f (3)≤f (5) C .f (3)>f (5) D .f (3)≥f (5)答案 C解析 因为函数f (x )在R 上是减函数,3<5,所以f (3)>f (5). 3.函数y =|x +2|在区间[-3,0]上( )A .递减B .递增C .先减后增D .先增后减答案 C解析 因为y =|x +2|=⎩⎪⎨⎪⎧x +2,x ≥-2,-x -2,x <-2.作出y =|x +2|的图象,如图所示,易知函数在[-3,-2)上为减函数,在[-2,0]上为增函数.4.若f (x )=x 2+2(a -2)x +2的单调增区间为[3,+∞),则a 的值是________. 答案 -1解析 ∵f (x )=x 2+2(a -2)x +2的单调增区间为[2-a ,+∞), ∴2-a =3,∴a =-1.5.已知函数f (x )为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,12 解析 由题设得⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x ≤1,x <12,解得-1≤x <12.1.知识清单:(1)增函数、减函数的定义. (2)函数的单调区间. 2.方法归纳:数形结合法.3.常见误区:函数的单调区间不能用并集.1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y =f (x ),则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A .函数在区间[-5,-3]上单调递增B .函数在区间[1,4]上单调递增C .函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减D .函数在区间[-5,5]上没有单调性 答案 C解析 单调区间不能用“∪”连接.2.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( ) A .y =3-x B .y =x 2+1 C .y =1xD .y =-|x +1|答案 B解析 y =x 2+1在(0,2)上是增函数.3.若y =(2k -1)x +b 是R 上的减函数,则有( ) A .k >12B .k >-12C .k <12D .k <-12答案 C4.若函数f (x )在区间(-∞,+∞)上是减函数,则下列关系式一定成立的是( ) A .f (a )>f (2a )B .f (a 2)<f (a )C .f (a 2+a )<f (a ) D .f (a 2+1)<f (a 2)答案 D解析 因为f (x )是区间(-∞,+∞)上的减函数, 且a 2+1>a 2,所以f (a 2+1)<f (a 2).故选D.5.已知函数y =ax 和y =-bx在(0,+∞)上都是减函数,则函数f (x )=bx +a 在R 上是( ) A .减函数且f (0)<0 B .增函数且f (0)<0 C .减函数且f (0)>0 D .增函数且f (0)>0答案 A解析 因为y =ax 和y =-b x在(0,+∞)上都是减函数, 所以a <0,b <0,f (x )=bx +a 为减函数且f (0)=a <0,故选A.6.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +1,x ≥1,5-x ,x <1,则f (x )的单调递减区间是________.答案 (-∞,1)解析 当x ≥1时,f (x )是增函数,当x <1时,f (x )是减函数, 所以f (x )的单调递减区间为(-∞,1).7.如果二次函数f (x )=x 2-(a -1)x +5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1上是增函数,则实数a 的取值范围为________.答案 (-∞,2]解析 因为二次函数f (x )=x 2-(a -1)x +5的图象的对称轴为直线x =a -12,又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1上是增函数,所以a -12≤12,解得a ≤2. 8.已知f (x )是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f (x -2)<f (1-x ),则x 的取值范围是________. 考点 函数单调性的应用题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1,32 解析 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧ -1≤x -2≤1,-1≤1-x ≤1,x -2<1-x ,解得1≤x <32, 故满足条件的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1,32. 9.已知函数f (x )=2-x x +1,证明:函数f (x )在(-1,+∞)上为减函数. 证明 任取x 1,x 2∈(-1,+∞),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=2-x 1x 1+1-2-x 2x 2+1=3x 2-x 1x 1+1x 2+1. 因为x 2>x 1>-1,所以x 2-x 1>0,(x 1+1)(x 2+1)>0,因此f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),所以f (x )在(-1,+∞)上为减函数.10.画出函数y =-x 2+2|x |+1的图象并写出函数的单调区间.解 y =⎩⎪⎨⎪⎧ -x 2+2x +1,x ≥0,-x 2-2x +1,x <0, 即y =⎩⎪⎨⎪⎧ -x -12+2,x ≥0,-x +12+2,x <0的图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调减区间为(-1,0)和(1,+∞).11.若函数f (x )在区间(a ,b )上是增函数,在区间(b ,c )上也是增函数,则函数f (x )在区间(a ,b )∪(b ,c )上( )A .必是增函数B .必是减函数C .是增函数或减函数D .无法确定单调性 答案 D解析 函数在区间(a ,b )∪(b ,c )上无法确定单调性.如y =-1x在(0,+∞)上是增函数, 在(-∞,0)上也是增函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上并不具有单调性.12.定义在R 上的函数f (x ),对任意x 1,x 2∈R (x 1≠x 2),有f x 2-f x 1x 2-x 1<0,则( ) A .f (3)<f (2)<f (1)B .f (1)<f (2)<f (3)C .f (2)<f (1)<f (3)D .f (3)<f (1)<f (2) 答案 A解析 对任意x 1,x 2∈R (x 1≠x 2),有f x 2-f x 1x 2-x 1<0, 则x 2-x 1与f (x 2)-f (x 1)异号,则f (x )在R 上是减函数.又3>2>1,则f (3)<f (2)<f (1).故选A.13.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x 2,x >1,⎝ ⎛⎭⎪⎫4-a 2x -1,x ≤1.若f (x )是R 上的增函数,则实数a 的取值范围为________.答案 [4,8) 解 因为f (x )是R 上的增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4-a 2>0,4-a 2-1≤1,解得4≤a <8. 14.函数f (x )=ax 2+(a -3)x +1在(-1,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范围是________.答案 [-3,0]解析 ①a =0时,f (x )=-3x +1在R 上单调递减,∴a =0满足条件;②a ≠0时,f (x )=ax 2+(a -3)x +1, 对称轴为x =-a -32a ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0,-a -32a ≤-1,解得-3≤a <0.由①②得-3≤a ≤0,故a 的取值范围是[-3,0].15.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+4x ,x ≥0,4x -x 2,x <0,若f (4-a )>f (a ),则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,2)B .(2,+∞)C .(-∞,-2)D .(-2,+∞)答案 A 解析 画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上单调递增,故f (4-a )>f (a )⇔4-a >a ,解得a <2.16.已知函数f (x )=x -a x +a2在(1,+∞)上是增函数,求实数a 的取值范围. 解 设1<x 1<x 2,所以x 1x 2>1.因为函数f (x )在(1,+∞)上是增函数, 所以f (x 1)-f (x 2)=x 1-a x 1+a 2-⎝⎛⎭⎪⎫x 2-a x 2+a 2 =(x 1-x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1+a x 1x 2<0. 因为x 1-x 2<0,所以1+a x 1x 2>0,即a >-x 1x 2. 因为1<x 1<x 2,x 1x 2>1,所以-x 1x 2<-1,所以a ≥-1.所以a 的取值范围是[-1,+∞).。
高中数学3-2函数的基本性质3-2-1单调性与最大小值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册
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A.f (m)<f (1)
C.f (m)≤f (1)
B
)
B.f (m)>f (1)
√
D.f (m)≥f (1)
∵函数f (x)=(m-1)x+1在R上是增函数,∴m-1>0,解得m>1,
则f (m)> f (1),故选B.
− 2 + 4, ≤ 1,
1
• (1)f (x)=- ;
[解] 函数f
1
(x)=- 的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,
0),(0,+∞)上都是单调递增的.
2 + 1, ≥ 1,
• (2)f (x)=ቊ
5 − , < 1;
[解] 当x≥1时,f (x)是增函数,当x<1时,f (x)是减函数,所以f (x)
(2a-1),求实数a的取值范围.
思路导引: 1 − < 2 − 1
建立的不等关系
在定义域 −1,1 上
是减函数
−1 < 1 − < 1,
2
• [解] 由题意知ቐ−1 < 2 − 1 < 1,解得0<a< ,
3
1 − > 2 − 1,
• 即所求a的取值范围是 0,
• 知识点1 增函数与减函数的定义
函数
增函数
减函数
图示
条件
设函数f (x)的定义域为D,区间I⊆D:如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时,
f (x1)<f (x2)
都有___________
f (x1)>f (x2)
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)
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新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值教学案新人教A 版必修第一册第2课时 函数的最大(小)值(教师独具内容)课程标准:1.理解函数最大(小)值的含义并会用符号语言表达函数的最大(小)值.2.会求简单函数的最大(小)值.3.会运用函数的图象理解和研究函数的最值.教学重点:1.函数最大(小)值的含义及其几何意义.2.求一些简单函数的最值. 教学难点:求较复杂函数的最值.【知识导学】知识点一 函数的最大值(1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足: ①∀x ∈I ,都有□01f (x )≤M ; ②∃x 0∈I ,使得□02f (x 0)=M . 那么,称M 是函数y =f (x )的最大值.(2)几何意义:函数y =f (x )的最大值是图象□03最高点的纵坐标. 知识点二 函数的最小值(1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足: ①∀x ∈I ,都有□01f (x )≥M ; ②∃x 0∈I ,使得□02f (x 0)=M . 那么,称M 是函数y =f (x )的最小值.(2)几何意义:函数y =f (x )的最小值是图象□03最低点的纵坐标. 【新知拓展】(1)并不是每一个函数都有最值,如函数y =1x,既没有最大值,也没有最小值.(2)有些函数只有最大(小)值,没有最小(大)值,如函数y =-x 2(y =x 2). (3)特别地,对于常函数f (x )=C ,它的最大值和最小值都是C .1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值.( ) (2)函数的最小值一定比最大值小.( )(3)若函数y =f (x )有最大值,则这个最大值唯一.( )(4)若函数y =f (x )的最大值是M ,则使f (x 0)=M 的x 0是唯一的.( )(5)对于函数y =f (x ),如果它的函数值都不小于3,那么该函数的最小值是3.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f (x )=x 2在[0,1]上的最大值是________.(2)函数y =1x在[2,6]上的最大值与最小值之和等于________.(3)函数y =2x 2+2,x ∈N *的最小值是________. 答案 (1)1 (2)23 (3)4题型一 利用图象求函数最值例1 (1)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,-1≤x ≤1,1x,x >1.求f (x )的最大值、最小值;(2)画出函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x,x ∈(-∞,0),x 2+2x -1,x ∈[0,+∞)的图象,并写出函数的单调区间,函数的最小值.[解] (1)作出函数f (x )的图象(如图).由图象可知,当x =±1时,f (x )取最大值为f (±1)=1;当x =0时,f (x )取最小值f (0)=0,故f (x )的最大值为1,最小值为0. (2)f (x )的图象如图所示,f (x )的单调递增区间是(-∞,0)和[0,+∞),函数的最小值为f (0)=-1.金版点睛图象法求最值的一般步骤[跟踪训练1] 求函数y =|x +1|-|x -2|的最大值和最小值.解 y =|x +1|-|x -2| =⎩⎪⎨⎪⎧3,x ≥2,2x -1,-1<x <2,-3,x ≤-1.作出函数的图象,如图所示.由图可知,y ∈[-3,3].所以函数的最大值为3,最小值为-3. 题型二 利用单调性求函数最值例2 求函数f (x )=x +4x在x ∈[1,3]上的最大值与最小值.[解] 设1≤x 1<x 2≤3,则f (x 1)-f (x 2)=x 1-x 2+4x 1-4x 2=(x 1-x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1-4x 1x 2.又因为x 1<x 2,所以x 1-x 2<0. 当1≤x 1<x 2≤2时,1-4x 1x 2<0,所以f (x 1)-f (x 2)>0, 所以f (x )在[1,2]上单调递减.当2<x 1<x 2≤3时,1-4x 1x 2>0,所以f (x 1)-f (x 2)<0.所以f (x )在(2,3]上单调递增. 所以f (x )的最小值为f (2)=2+42=4.又因为f (1)=5,f (3)=3+43=133<f (1),所以f (x )的最大值为5. 金版点睛利用单调性求函数最值(1)利用函数的单调性求函数最值是常用方法,特别是当函数图象不易作出时,单调性几乎成为首选方法.(2)注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析;注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍.[跟踪训练2] 求函数y =x 2x -3在区间[1,2]上的最大值和最小值.解 令f (x )=x 2x -3,∀x 1,x 2∈[1,2],且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 21x 1-3-x 22x 2-3=x 21x 2-3x 21-x 1x 22+3x 22(x 1-3)(x 2-3)=(x 2-x 1)[3(x 1+x 2)-x 1x 2](x 1-3)(x 2-3),因为1≤x 1<x 2≤2, 所以2<x 1+x 2<4,即6<3(x 1+x 2)<12,又1<x 1x 2<4,x 2-x 1>0, 故f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以函数y =x 2x -3在区间[1,2]上单调递减,所以y max =f (1)=-12,y min =f (2)=-4.题型三 求二次函数的最值例3 (1)已知函数f (x )=x 2-2x -3,若x ∈[0,2],求函数f (x )的最值; (2)已知函数f (x )=x 2-2x -3,若x ∈[t ,t +2],求函数f (x )的最值;(3)已知函数f (x )=x 2-2ax +2,x ∈[-1,1],求函数f (x )的最小值; (4)已知函数f (x )=x -2x -3,求函数f (x )的最值.[解] (1)∵函数f (x )=x 2-2x -3图象的开口向上,对称轴x =1, ∴f (x )在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,且f (0)=f (2). ∴f (x )max =f (0)=f (2)=-3,f (x )min =f (1)=-4.(2)由(1)知对称轴x =1, ①当1≥t +2即t ≤-1时,f (x )max =f (t )=t 2-2t -3, f (x )min =f (t +2)=t 2+2t -3.②当t +t +22≤1<t +2,即-1<t ≤0时,f (x )max =f (t )=t 2-2t -3, f (x )min =f (1)=-4.③当t ≤1<t +t +22,即0<t ≤1时,f (x )max =f (t +2)=t 2+2t -3, f (x )min =f (1)=-4.④当1<t ,即t >1时,f (x )max =f (t +2)=t 2+2t -3, f (x )min =f (t )=t 2-2t -3.设函数最大值为g (t ),最小值为φ(t ),则有g (t )=⎩⎪⎨⎪⎧t 2-2t -3,t ≤0,t 2+2t -3,t >0,φ(t )=⎩⎪⎨⎪⎧t 2+2t -3,t ≤-1,-4,-1<t ≤1,t 2-2t -3,t >1.(3)f (x )=x 2-2ax +2=(x -a )2+2-a 2的图象开口向上,且对称轴为直线x =a .当a ≥1时,函数图象如图①所示,函数f (x )在区间[-1,1]上单调递减,最小值为f (1)=3-2a ;当-1<a <1时,函数图象如图②所示,函数f (x )在区间[-1,1]上先单调递减后单调递增,最小值为f (a )=2-a 2;当a ≤-1时,函数图象如图③所示,函数f (x )在区间[-1,1]上单调递增,最小值为f (-1)=3+2a .(4)设x =t (t ≥0),则x -2x -3=t 2-2t -3.∵y =t 2-2t -3(t ≥0)在[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增, ∴当t =1,即x =1时,f (x )min =-4,无最大值. 金版点睛二次函数最值的求法(1)探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y =f (x )的草图,然后根据图象判断函数的单调性.对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况,特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处取得.(2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系:①对称轴在定义域的右侧;②对称轴在定义域的左侧;③对称轴在定义域区间内.(3)对某些函数,可通过换元,转化为二次函数,如函数f (x )=x -2x -3.[跟踪训练3] (1)已知函数f (x )=x 4-2x 2-3,求函数f (x )的最值; (2)求二次函数f (x )=x 2-2ax +2在[2,4]上的最小值; (3)求函数f (x )=x 2-2x +2在区间[t ,t +1]上的最小值g (t ). 解 (1)设x 2=t (t ≥0),则x 4-2x 2-3=t 2-2t -3.令y =t 2-2t -3(t ≥0)在[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. ∴当t =1,即x =±1时,f (x )min =-4,无最大值. (2)∵函数图象的对称轴是x =a , ∴当a <2时,f (x )在[2,4]上单调递增, ∴f (x )min =f (2)=6-4a .当a >4时,f (x )在[2,4]上单调递减, ∴f (x )min =f (4)=18-8a .当2≤a ≤4时,f (x )min =f (a )=2-a 2. ∴f (x )min =⎩⎪⎨⎪⎧6-4a ,a <2,2-a 2,2≤a ≤4,18-8a ,a >4.(3)f (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1,x ∈[t ,t +1],t ∈R ,对称轴为x =1.当t +1<1,即t <0时,函数图象如图①所示,函数f (x )在区间[t ,t +1]上单调递减,∴最小值为g (t )=f (t +1)=t 2+1;当t ≤1≤t +1,即0≤t ≤1时,函数图象如图②所示,最小值为g (t )=f (1)=1; 当t >1时,函数图象如图③所示,函数f (x )在区间[t ,t +1]上单调递增,∴最小值为g (t )=f (t )=t 2-2t +2.综上可得,g (t )=⎩⎪⎨⎪⎧t 2+1,t <0,1,0≤t ≤1,t 2-2t +2,t >1.题型四 应用题中的最值问题例4 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:R (x )=⎩⎪⎨⎪⎧400x -12x 2,0≤x ≤400,80000,x >400,其中x 是仪器的月产量(单位:台).(1)将利润表示为关于月产量的函数f (x );(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)[解] (1)月产量为x 台,则总成本为(20000+100x )元, 从而f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-12x 2+300x -20000,0≤x ≤400,60000-100x ,x >400.(2)当0≤x ≤400时,f (x )=-12(x -300)2+25000,当x =300时,f (x )max =25000;当x >400时,f (x )=60000-100x 是减函数,f (x )<60000-100×400=20000<25000. ∴当x =300时,f (x )max =25000.即每月生产300台仪器时公司所获利润最大,最大利润为25000元. 金版点睛解实际应用题的四个步骤(1)审题:解读实际问题,找出已知条件、未知条件,确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模:建立数学模型,列出函数关系式.(3)求解:分析函数性质,利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围). (4)回归:数学问题回归实际问题,写出答案.[跟踪训练4] 某水厂蓄水池有水450吨,水厂每小时向蓄水池注水80吨,同时蓄水池又向居民小区供水,t 小时内供水量为8020t 吨,现在开始向池中注水并同时向居民供水,多少小时后蓄水池中水量最少?解 设t 小时后,池中水量为y 吨,则y =450+80t -8020t =4(20t -10)2+50, 当20t =10,即t =5时,y min =50,所以,5小时后蓄水池中水量最少,只有50吨.1.函数f (x )在[-2,+∞)上的图象如图所示,则此函数的最大、最小值分别为( )A .3,0B .3,1C .3,无最小值D .3,-2答案 C解析 观察图象可以知道,图象的最高点坐标是(0,3),从而其最大值是3;另外从图象看,无最低点,即该函数不存在最小值.故选C.2.已知函数f (x )=x 2-2,其中x ∈[0,2],这个函数的最大值和最小值分别为( ) A .-2和1 B .2和-2 C .2和-1 D .-1和2答案 B解析 ∵f (x )=x 2-2在区间[0,2]上单调递增, ∴y max =f (2)=2,y min =f (0)=-2.3.长为4,宽为3的矩形,当长增加x ,且宽减少x2时,面积S 最大,此时x 的值为( )A.12 B .1 C.32 D .2 答案 B解析 ∵S =(4+x )⎝ ⎛⎭⎪⎫3-x 2=-12x 2+x +12=-12(x -1)2+252,又∵⎩⎪⎨⎪⎧x >0,3-x2>0,即0<x <6,∴当x =1时,S 取最大值252.故选B.4.函数f (x )=6x -2(x ∈[3,5])是________函数(填“增”或“减”),它的最大值是________,最小值是________.答案 减 6 2解析 易知函数是减函数,从而f (x )的最大值是f (3)=6,最小值是f (5)=2. 5.已知二次函数y =x 2-4x +5,分别求下列条件下函数的最小值: (1)x ∈[-1,0];(2)x ∈[a ,a +1].解 (1)∵二次函数y =x 2-4x +5图象的对称轴为x =2且开口向上, ∴二次函数在x ∈[-1,0]上单调递减. ∴y min =02-4×0+5=5.(2)当a ≥2时,函数在x ∈[a ,a +1]上单调递增,y min =a 2-4a +5;当a +1≤2,即a ≤1时,函数在[a ,a +1]上单调递减,y min =(a +1)2-4(a +1)+5=a 2-2a +2;当a <2<a +1,即1<a <2时,y min =22-4×2+5=1.故函数的最小值为⎩⎪⎨⎪⎧a 2-2a +2,a ≤1,1,1<a <2,a 2-4a +5,a ≥2.。
人教版高中数学必修第一册3.2 函数的基本性质 课时6函数的最大(小)值【课件】
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B)
【解】在同一平面直角坐标系中画出函数
如图 根据题意 图中实线部分即为函数
时
故选
的图象
的图象 所以当
【例2】函数y=
x 3, x 1
,的最大值为________.
x 6, x 1
思路点拨:求分段函数的最大值,需要先求出每一段在各自范围上的最大值
,再比较.注意每段上最大值的求解,需要先判断各段的单调性.也可以通
【例3】[2021·广东省广州市增城区高一期末改编题] 已知函数
f(x)=x2+2ax+1在区间[-1,2]上的最大值为4,求a的值.
思路点拨
求解与二次函数的最大值、最小值有关的问题,应先考虑该函
数的定义域,可以采用配方法和图象法求解.
【解】
对称轴为直线
1
1
函数的图象知 当-a≥ 即a≤- 时
2
时内气温随时间变化的曲线图.
观察图象,这一天中什么时候气温最高,什么时候气温最低?
初探新知
【活动1】 概括函数最大值的含义
【问题1】什么是函数的最大值?从函数的图象上如何获得函
数的最大值?
【问题2】函数最值定义中的条件(2)能不能去掉?为什么?
【活动2】由函数最大值的含义类比函数最小值的含义
【问题3】你能仿照函数最大值的定义,给出函数最小
取值范围是(-3,1].
【方法规律】
(1) 若函数f(x)在[a,b]上是单调递增,则
f(x)min=f(a),f(x)max=f(b),得值域为[f(a),f(b)],若函数
f(x)在[a,b]上是减函数,则f(x)min=f(b),f(x)max=f(a),得值
域为[f(b),f(a)].
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课堂小结
1. 最值的概念;
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课堂小结
1. 最值的概念; 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
作业
1. P.39 Ex5、6 B组 Ex1
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思考题:
1.已知函数f (x)对任意x,y∈R,总有 f (x)+f ( y)=f (x+y),且当x>0时, f (x)<0,f (1)= (1)求证f (x)是R上的减函数; (2)求f (x)在[-3, 3]上的最大值和最小值.
讲授新课
函数最大值概念:
一般地,设函数y=f (x)的定义域为I. 如果存在实数M,满足: (1)对于任意x∈I,都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I,使得f (x0)=M. 那么,称M是函数y=f (x)的最大值.
讲授新课
函数最小值概念:
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讲授新课
函数最小值概念:
一般地,设函数y=f (x)的定义域为I. 如果存在实数M,满足:
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讲授新课
函数最小值概念:
一般地,设函数y=f (x)的定义域为I. 如果存在实数M,满足: (1)对于任意x∈I,都有f (x)≥M.
讲授新课
函数最小值概念:
一般地,设函数y=f (x)的定义域为I. 如果存在实数M,满足: (1)对于任意x∈I,都有f (x)≥M. (2)存在x0∈I,使得f (x0)=M.
2、 已知函数f(x)=
x∈[1,+∞).
(Ⅰ)当a= (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞),f (x)>0恒成立, 试求实数a的取值范围.
1.3 函数的基本性质 ——最大(小)值
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复习引入
问题1 函数f (x)=x2. 在(-∞, 0]上是减函数, 在[0, +∞)上是增函数. 当x≤0时,f (x)≥f (0),
x≥0时, f (x)≥f (0). 从而x∈R,都有f (x) ≥f (0). 因此x=0时,f (0)是函数值中的最小值.
在区间[-2, 11]上递增,画出f (x)的一
个大致的图象,从图象上可以发现f(-2)
是函数f (x)的一个
.
例2 已经知函数y=
(x∈[2,6]),
求函数的最大值和最小值.
例2 已经知函数y=
(x∈[2,6]),
求函数的最大值和最小值.
x
2 1
O 1 2 3 4 5 6y
例3.已知函数f (x)=x2-2x-3,若x∈ [t, t +2]时,求函数f(x)的最值.
复习引入
问题2 函数f (x)=-x2+1. 同理可知x∈R, 都有f (x)≤f (0). 即x=0时,f (0)是函数值中的最大值.
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讲授新课
函数最大值概念:
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讲授新课
函数最大值概念:
一般地,设函数y=f (x)的定义域为I. 如果存在实数M,满足:
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讲授新课
函数最小值概念:
一般地,设函数y=f (x)的定义域为I. 如果存在实数M,满足: (1)对于任意x∈I,都有f (x)≥M. (2)存在x0∈I,使得f (x0)=M. 那么,称M是函数y=f (x)的最小值.
例1 设f (x)是定义在区间[-6, 11]上的
பைடு நூலகம்
函数. 如果f (x)在区间[-6, -2]上递减,
讲授新课
函数最大值概念:
一般地,设函数y=f (x)的定义域为I. 如果存在实数M,满足: (1)对于任意x∈I,都有f (x)≤M.
讲授新课
函数最大值概念:
一般地,设函数y=f (x)的定义域为I. 如果存在实数M,满足: (1)对于任意x∈I,都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I,使得f (x0)=M.