湖北省武汉市2018届高三四月调研测试数学理试题精品解析含答案
湖北省武汉市2018年高三四月调研测试数学理试卷及答案
武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数52i -的共轭复数是（ ） A ．2i +B ．2i -+ C ．2i --D ．2i -2.已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．{1,1}-C ．{1,0}D ．{1,1,0}-3.执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ ）A ．[4,2]-B ．[2,2]-C ．[2,4]-D ．[4,0]-4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）A ．．5.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ） A ．25B ．310 C ．15D ．1106.若实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（ ）A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >>7.已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个交点，则k 的取值范围为（ ） A． B． C．( D． 8.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：2b c a +≤，条件q ：2B CA +≤，那么条件p 是条件q 成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9.在61(1)x x+-的展开式中，含5x 项的系数为（ ） A ．6B ．6- C ．24D ．24-10.若x ，y 满足1212x y -++≤，则2222M x y x =+-的最小值为（ ） A ．2-B ．211 C ．4D ．49- 11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2,4]ππB ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12.过点(2,1)P -作抛物线24x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则PEF ∆与OAB ∆的面积之比为（ ）A．12 D ．34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα=．14.已知向量a ，b ，c 满足20a b c ++=，且1a =，3b =，2c =，则22a b a c b c ⋅+⋅+⋅=． 15.已知(,)22x ππ∈-，()1y f x =-为奇函数，'()()tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为． 16.在四面体ABCD 中，1AD DB AC CB ====，则四面体体积最大时，它的外接球半径R =． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知正数数列{}n a 满足：12a =，11212n n n n n a a a a ---+=+-(2)n ≥.（1）求2a ，3a ；（2）设数列{}n b 满足22(1)n n b a n =--，证明：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项n a .18.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别在棱AB ，CD 上，且1AE CF ==.（1）已知M 为棱1DD 上一点，且11D M =，求证：1B M ⊥平面11A EC . （2）求直线1FC 与平面11A EC 所成角的正弦值.19.已知椭圆Γ：22142x y +=，过点(1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线1l ，2l ，设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点，2l 与椭圆Γ交于C ，D 两点.（1）若(1,1)P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程； （2）记AB CDλ=，求λ的取值范围.20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =14.31=；②2(,)zN μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.21.已知函数()(ln )x f x xe a x x =-+，a R ∈. （1）当a e =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）. （1）写出l 和C 的普通方程；（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()22f x ax x =--+.（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12：CC 二、填空题 13.25 14. 13- 15. (0,)2π三、解答题17.（1）由已知212132a a a a +=+-，而12a =，∴2222232(2)a a -=+-，即222230a a --=. 而20a >，则23a =. 又由323252a a a a +=+-，23a =，∴233952(3)a a -=+-，即233280a a --=. 而30a >，则34a =. ∴23a =，34a =.（2）由已知条件可知：22112()21n n n n a a a a n ---=-+-，∴22221(1)(1)(1)n n a a n n ----=--， 则22221(1)(1)(1)n n a n a n ---=---223(1)2a =⋅⋅⋅=-- 222(1)1a =--0=，而22(1)n n b a n =--，∴0n b =，数列{}n b 为等差数列. ∴22(1)n a n -=.而0n a >， 故1n a n =+.18.解：（1）过M 作1MT AA ⊥于点T ，连1B T ，则11AT =. 易证：111AA E A BT ∆≅∆，于是111AA E A BT ∠=∠. 由111190A BT ATB ∠+∠=，知11190AA E ATB ∠+∠=， ∴11A E BT ⊥.显然MT ⊥面11AA B B ，而1A E ⊂面11AA B B ， ∴1MT A E ⊥，又1BT MT T =，∴1A E ⊥面MTB ，∴11A E MB ⊥. 连11B D ，则1111B D AC ⊥. 又111D M AC ⊥，1111B D D M D =，∴11AC ⊥面11MD B ， ∴111AC MB ⊥.由11A E MB ⊥，111AC MB ⊥，1111A E AC A =，∴1B M ⊥面11A EC .（2）在11D C 上取一点N ，使11ND =，连接EF . 易知1//A E FN .∴1111A EFC N EFC E NFC V V V ---==11113(23)33332NFC S ∆=⋅⨯=⨯⨯⨯=.对于11A EC ∆，11AC =，1A E =而1EC ，由余弦定理可知11cos EAC ∠==∴11A EC ∆的面积11111sin 2S A C A E EA C =⋅∠12=⨯=由等体积法可知F 到平面11A EC 之距离h 满足111113A EC A EFC S h V ∆-⋅=，则133h =，∴h =，又1FC =1FC 与平面1AEC 所成角为θ，∴sinθ===. 19.解：（1）设直线AB 的斜率为tan k α=，方程为1(1)y k x -=-，代入2224x y +=中，∴222[(1)]40x kx k +---=.∴222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +--+--=.判别式222[4(1)]4(21)[2(1)4]k k k k ∆=--+--28(321)k k =++. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221224(1)212(1)421k k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩. ∵AB 中点为(1,1)， ∴12212(1)()1221k k x x k -+==+，则12k =. ∴直线的AB 方程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=. （2）由（1）知12AB x =-==. 设直线的CD 方程为1(1)(0)y k x k -=--≠.同理可得CD =∴0)ABk CD λ==≠. ∴2241312kk k λ=++-41132k k=++-. 令13t k k=+， 则4()12g t t =+-，(,[23,)t ∈-∞-+∞. ()g t 在(,-∞-，)+∞分别单调递减，∴2()1gt ≤<或1()2g t <≤故221λ≤<或212λ<≤.即6(1,λ+∈. 20.解：（1）由题意知：∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分.（2）依题意z 服从正态分布2(,)N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布22(,)(70.5,14.31)N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=， ∴10.6826(84.81)0.15872P z -≥==. ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人. （3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=. 而(4,0.8413)B ξ，∴444(3)1(4)10.8413P P C ξξ≤=-==-⋅10.5010.499=-=.21.解：（1）定义域为：(0,)+∞，当a e =时，(1)()'()x x xe e f x x+-=.∴()f x 在(0,1)时为减函数；在(1,)+∞时为增函数.（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单增，且t R ∈. ∴()(ln )x f x xe a x x =-+()t e at g t =-=.∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()t g t e at =-在t R ∈上有两个零点. ①在0a =时，()t g t e =在R 上单增，且()0g t >，故()g t 无零点； ②在0a <时，'()tg t e a =-在R 上单增，又(0)10g =>，11()10a g e a=-<，故()g t 在R 上只有一个零点； ③在0a >时，由'()0t g t e a =-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的一个极小值(ln )(1ln )g a a a =-. 若0a e <<，(1ln )0g a a =->最小，()g t 无零点； 若a e =，0g =最小，()g t 只有一个零点；若a e >时，(1ln )0g a a =-<最小，而(0)10g =>， 由于ln ()x f x x=在x e >时为减函数，可知：a e >时，2a e e a a >>. 从而2()0ag a e a =->，∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点.综上讨论可知：a e >时()f x 有两个零点，即所求a 的取值范围是(,)e +∞. 22.解：（1）由l ：cos sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=. ∴l 的方程为2100x y +-=.由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=. （2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，则d=05cos()10ϕϕ=--. 其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当0ϕϕ=时，d此时093sin 3cos 5ϕϕ==，0082sin 2cos 5ϕϕ==，98(,)55M . 23.解：（1）在2a =时，2221x x --+≤. 在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤，∴15x ≤≤； 在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x 无解； 在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤. 综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤. （2）∵224x ax +--≤恒成立， 而22(1)x ax a x +--≤+， 或22(1)4x ax a x +--≤-+，故只需(1)4a x +≤恒成立，或(1)44a x -+≤恒成立， ∴1a =-或1a =. ∴a 的取值为1或1-.。
2018武汉四调理科数学
bc b c 2 2 2 bc b c a 2 若a ≤ , 则 cos A ≥ 2 2bc 2bc 2 2 3b 3c 2bc 6bc 2bc 1 ≥ , 则A 0, 8bc 8bc 2 3
2 2
2
8. 在△ABC中, 角A、B、C的对应边分别为a、b、c , 条件 bc BC p:a , 条件q : A , 那么条件p是条件q成立的 2 2 ( A ) A. 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶 点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ B ）
A. 3
B. 6
C. 2 3
D. 2 6
任意两顶点之间距离的最大值为A1 D 12 12 22 6
C1
D1
B1 C D
A1
A
B
5．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从 0~9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记 了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过 2次就按对的概率为（ C ）
7. 已知直线y kx 1与双曲线x y 4的右支有两个
2 2
交点, 则k的取值范围为( D ) 5 A. (0, ) 2 5 B. [1, ] 2 5 5 C . ( , ) 2 2
6 5 4
5 D. (1, ) 2
解法 2：如图, 双曲线的渐近线方程为y x , y kx 1过定点(0, 1), 要使得直线与双曲线的 右支有两个不同的交点, 必须满足k 1
2. 已知集合M { x | x 1}, N { x | ax 1}, 若N M , 则 实数a的取值集合为( D ) A. {1} B. {1,1} C . {1, 0} D. {1, 1, 0}
武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科试题及答案world版
武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数52i -的共轭复数是（ ）A ．2i +B ．2i -+C ．2i --D ．2i -2.已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．{1,1}-C ．{1,0}D ．{1,1,0}-3.执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ ）A ．[4,2]-B ．[2,2]-C ．[2,4]-D ．[4,0]-4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）A C ．． 5.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ） A ．25 B ．310 C ．15 D ．1106.若实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（ ）A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >> 7.已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个交点，则k 的取值范围为（ ）A ．(0,2 B ．[1,]2C ．(22-D ．(1,2 8.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：2b c a +≤，条件q ：2B CA +≤，那么条件p 是条件q 成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9.在61(1)x x+-的展开式中，含5x 项的系数为（ ）A ．6B ．6-C ．24D ．24- 10.若x ，y 满足1212x y -++≤，则2222M x y x =+-的最小值为（ ）A ．2-B ．211 C ．4 D ．49- 11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2,4]ππB ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12.过点(2,1)P -作抛物线24x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则PEF ∆与OAB ∆的面积之比为（ ）AC ．12D ．34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα= ．14.已知向量a ，b ，c 满足20a b c ++=，且1a =，3b =，2c =，则22a b a c b c ⋅+⋅+⋅= ．15.已知(,)22x ππ∈-，()1y f x =-为奇函数，'()()tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为 ．16.在四面体ABCD 中，1AD DB AC CB ====，则四面体体积最大时，它的外接球半径R = ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知正数数列{}n a 满足：12a =，11212n n n n n a a a a ---+=+-(2)n ≥.（1）求2a ，3a ；（2）设数列{}n b 满足22(1)n n b a n =--，证明：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项n a .18.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别在棱AB ，CD 上，且1AE CF ==.（1）已知M 为棱1DD 上一点，且11D M =，求证：1B M ⊥平面11A EC .（2）求直线1FC 与平面11A EC 所成角的正弦值.19.已知椭圆Γ：22142x y +=，过点(1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线1l ，2l ，设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点，2l 与椭圆Γ交于C ，D 两点.（1）若(1,1)P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）记ABCDλ=，求λ的取值范围.20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =14.31=；②2(,)zN μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.21.已知函数()(ln )xf x xe a x x =-+，a R ∈.（1）当a e =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）. （1）写出l 和C 的普通方程；（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()22f x ax x =--+.（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12：CC二、填空题13.25 14. 13- 15. (0,)2π三、解答题17.（1）由已知212132a a a a +=+-，而12a =，∴2222232(2)a a -=+-，即222230a a --=.而20a >，则23a =.又由323252a a a a +=+-，23a =，∴233952(3)a a -=+-，即233280a a --=.而30a >，则34a =.∴23a =，34a =.（2）由已知条件可知：22112()21n n n n a a a a n ---=-+-，∴22221(1)(1)(1)n n a a n n ----=--，则22221(1)(1)(1)n n a n a n ---=---223(1)2a =⋅⋅⋅=--222(1)1a =--0=，而22(1)n n b a n =--，∴0n b =，数列{}n b 为等差数列.∴22(1)n a n -=.而0n a >，故1n a n =+.18.解：（1）过M 作1MT AA ⊥于点T ，连1B T ，则11AT =.易证：111AA E A B T ∆≅∆，于是111AA E A B T ∠=∠.由111190A B T ATB ∠+∠=，知11190AAE ATB ∠+∠=，∴11A E B T ⊥.显然MT ⊥面11AA B B ，而1AE ⊂面11AA B B ，∴1M T A E ⊥，又1B T MT T =，∴1A E ⊥面MTB ，∴11A E MB ⊥.连11B D ，则1111B D AC ⊥.又111D M A C ⊥，1111B D D M D =，∴11A C ⊥面11MD B ，∴111AC MB ⊥.由11A E MB ⊥，111AC MB ⊥，1111A E A C A =，∴1B M ⊥面11A EC .（2）在11D C 上取一点N ，使11ND =，连接EF .易知1//A E FN .∴1111A EFC N EFC E NFC V V V ---==11113(23)33332NFC S ∆=⋅⨯=⨯⨯⨯=.对于11A EC ∆，11AC =，1A E =1EC =，由余弦定理可知11cos EAC ∠==.∴11A EC ∆的面积11111sin 2S AC A E EAC =⋅∠12=⨯=.由等体积法可知F 到平面11A EC 之距离h 满足111113A EC A EFC S h V ∆-⋅=，则133h =，∴h =，又1FC =，设1FC 与平面1AEC 所成角为θ，∴sin 95θ===. 19.解：（1）设直线AB 的斜率为tan k α=，方程为1(1)y k x -=-，代入2224x y +=中，∴222[(1)]40x kx k +---=.∴222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +--+--=.判别式222[4(1)]4(21)[2(1)4]k k k k ∆=--+--28(321)k k =++.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221224(1)212(1)421k k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩.∵AB 中点为(1,1)，∴12212(1)()1221k k x x k -+==+，则12k =. ∴直线的AB 方程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=. （2）由（1）知12AB x =-==. 设直线的CD 方程为1(1)(0)y k x k -=--≠.同理可得CD =.∴0)ABk CD λ==≠.∴2241312k k k λ=++-41132k k=++-.令13t k k =+，则4()12g t t =+-，(,[23,)t ∈-∞-+∞.()g t 在(,-∞-，)+∞分别单调递减，∴2()1gt ≤<或1()2g t<≤+故221λ≤<或212λ<≤.即6(1,λ+∈. 20.解：（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯850.15950.170.5+⨯+⨯=，∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分.（2）依题意z 服从正态分布2(,)N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布22(,)(70.5,14.31)N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴10.6826(84.81)0.15872P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而(4,0.8413)B ξ，∴444(3)1(4)10.8413P P C ξξ≤=-==-⋅10.5010.499=-=.21.解：（1）定义域为：(0,)+∞，当a e =时，(1)()'()x x xe e f x x+-=.∴()f x 在(0,1)时为减函数；在(1,)+∞时为增函数.（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单增，且t R ∈.∴()(ln )x f x xe a x x =-+()t e at g t =-=.∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()t g t e at =-在t R ∈上有两个零点.①在0a =时，()t g t e =在R 上单增，且()0g t >，故()g t 无零点；②在0a <时，'()tg t e a =-在R 上单增，又(0)10g =>，11()10a g e a =-<，故()g t 在R 上只有一个零点； ③在0a >时，由'()0tg t e a =-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的一个极小值(ln )(1ln )g a a a =-. 若0a e <<，(1ln )0g a a =->最小，()g t 无零点；若a e =，0g =最小，()g t 只有一个零点；若a e >时，(1ln )0g a a =-<最小，而(0)10g =>，由于ln ()x f x x =在x e >时为减函数，可知：a e >时，2a e e a a >>.从而2()0a g a e a =->，∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点.综上讨论可知：a e >时()f x 有两个零点，即所求a 的取值范围是(,)e +∞.22.解：（1）由l ：cos sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=.∴l 的方程为2100x y +-=.由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=. （2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，则d=05cos()10ϕϕ=--. 其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当0ϕϕ=时，d此时093sin 3cos 5ϕϕ==，0082sin 2cos 5ϕϕ==，98(,)55M . 23.解：（1）在2a =时，2221x x --+≤.在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤，∴15x ≤≤；在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x 无解；在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤.综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤.（2）∵224x ax +--≤恒成立，而22(1)x ax a x +--≤+，或22(1)4x ax a x +--≤-+， 故只需(1)4a x +≤恒成立，或(1)44a x -+≤恒成立，∴1a =-或1a =.∴a 的取值为1或1-.。
湖北省武汉市2018届高三毕业生四月调研测试数学(理)(答案打印版)
S (0) 0, S (1) 2, S (2) 2 ，所以当 0 t 2 时， S (t ) [2, 2] ；
综上，输入的 t [ 2, 2] ，则输出的 S [ 4, 2] . 4．答案：B
C1 A1 B1 C A
D1
解析：该几何体为如图所示的四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 ， 任取两个顶点，它们之间距离最大的为线段 A1 D ，
D B
A1 D 12 12 2 2 6 .
5．答案：C 解析：所求概率 P
1 9 1 1 . 10 10 9 5
6．答案：B 解析：不妨取 a 4, b 2 ，则
m log 4 (log 4 2) log 4
1 1 1 1 , n (log 4 2)2 , l log 4 22 1 ，所以 l n m 2 2 4 2
所以 M 的最小值为 2d
2
1 1 1 4 ． 2 18 2 9
P0 O A
B
C
D
11． 答案： C 解析： 当 0 时， x
3
3
， 令x
3
2
， 得x
5 13 ， 令x ， 得x ， 6 3 2 6
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1 a
2．答案：D 解析： M {x | x 2 1} {1,1} ，当 a 0 时， N ，满足 N M ，当 a 0 时， N ， 因为 N M ，可得
1 1 或 1 ，解得 a 1 或 1 ，所以实数 a 的取值集合是 {1, 1, 0} . a
1 1 5 (1) 6 x ． x
湖北省武汉市2018届高三4月调研测试试题(数学理)
湖北省武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学2018.4、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的A- [-4,2]B . [-2,2]C • [-4. 某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，A. 2 iB .-2 i C . -2-iD.2-i2.已知集合 2M 二{x|x =1}，N={x| ax =1}，若N M ，则实数a 的取值集合为（)A. {1} B{-1,1}C . {1,0}D.{1,-1,0}取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过 106.若实数a ，b 满足 a b 1，m Hog a (log a b)，= (log a b)2，l Tog a b 2， 则m ，n ，l 的大小关系为（）A. m l n B . I n m7.已知直线y =kx -1与双曲线2 2x -y的取值范围为（）A (0,于)B. [1,£2 25 55（-丁三）D.（1三）51.复数一二的共轭复数是（）i —23. 执行如图所示的程序框图，如果输入的[-2,2]，则输出的S 属于（）止视图 侧视图=4的右支有两个交点，则kK —1—H俯视图它们之间距离的最大值为（）A. .3 B . 、、6 C . 2 .3 D . 2.65. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0L 9中任选一个，某人在银行自动提款机上2次就按对的概率为（）丄10b + cB + C8.在 ABC 中，角A 、B 、C 的对应边分别为a , b , c ,条件p : a 岂仝上，条件q : A 空B-C 2 2那么条件p 是条件q 成立的（ ） A.充分而不必要条件B•必要而不充分条件16 59.在（X ，—-1）的展开式中，含x 项的系数为（）x A. 6B.-6C.24D. -2410.若 x ,y 满足 X —+2 y+1 兰 2, 则M 2 2=2x + y -2x 的最小值为（）H 兀15.已知 x ，(, ) , y = f(x)-1 为奇函数，f'(x)，f(x)ta nx • 0 ,则不等式 f (x) cosx 的2 2解集为 __________ .16.在四面体 ABCD 中，AD 二DB 二AC =CB =1,则四面体体积最大时，它的外接球半径R = ________ .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题〜第21题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.C.充要条件 •既不充分也不必要条件11.函数f （x ） =2sin （ •，x0）的图象在［0,1］上恰有两个最大值点,3则」的取值范围为（）A. [2 二，4二]9兀13兀25兀.5 C UT )25兀.[2r )B , PA , PB 分别交x 轴于E , F两点，0为坐标原点，贝y PEF 与丄OAB 的面积之比为（)A.乜BVC1 D23• 213. 已知 sin ： =2cos ：，贝U sin ： cos ：二 ____ . 14. 已知向量 a , b , c 满足 a +b +2c =0 ,且 a =1, b =3 ,c -2，则A12.过点P （2, -1）作抛物线x 2 =4y 的两条切线,切点分别为A ,、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.a b 2a c 2b c =2n —117.已知正数数列｛a n｝满足：a^i =2, a n■ a nJ2(n_2).a n _a nj_(1)求a2, a3 ；（2）设数列｛b n｝满足b n =（a n -1）2 3- n2，证明：数列｛b n｝是等差数列，并求数列｛a.｝的通项a n.18.如图，在棱长为3的正方体ABCD - A1B1C1D1中，E , F分别在棱AB , CD（2）求直线FC1与平面AEC1所成角的正弦值上，且AE = CF = 1.（1）已知M为棱DD1上一点，且D1M =1，求证：BM _平面A1EC1.2 219. 已知椭圆:::•才“，过点P（1,1）作倾斜角互补的两条不同直线h , J，设h与椭圆丨交于A、B两点，J与椭圆丨交于C，D 两点.（1）若P（1,1）为线段AB的中点，求直线AB的方程；、AB（2）记扎=----- ，求丸的取值范围.CD20. 在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示1 求这4000名考生的竞赛平均成绩X （同一组中数据用该组区间中点作代表）；2 由直方图可认为考生竞赛成绩z服正态分布N（」f2），其中」，二2分别取考生的平均成绩x和考生成绩的方差s2，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？3 如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过.84.81分的考生人数为©，求P（©兰3）.（精确到0.001）附：① s2=204.75，204.75 =14.31 ；②z|_ N（・\ 二2），则P（」一；「：：：z ：：：」；「）=0.6826，P（」一2二：:：z ：：」2二）=0.9544 ；③0.84134 =0.501 .21.已知函数f（x）=xe x-a（ln x x），a R.（1）当a =e时，求f （x）的单调区间；（2）若f （x）有两个零点，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22. ［选修4-4 :坐标系与参数方程］在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，I的极坐标方、x =3cos J程为r（cosr 2sin R =10，C的参数方程为（二为参数，“ R）.』=2si n日（1）写出I和C的普通方程；（2）在C上求点M，使点M到I的距离最小，并求出最小值.23. ［选修4-5 :不等式选讲］已知f （x） = ax -2 - x +2 .（1）在a = 2时，解不等式f （x）乞1 ；（2）若关于x的不等式-4 <f（x）空4对R恒成立，求实数a的取值范围.理科数学参考答案、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11 、12: CC二 _ 、填空题13. 214. -13 15. (0,) 16. 155 26 三、解答题17. (1)由已知a2 - a1 = 32，而a1 = 2,2 o2• • a?2二3 2(a? - 2),即a? - 2a? - 3 = 0a2 _ a1而a i2• 0 ,则a2=3 .又由a + a - 5—2, a2 = 3 ,•a3 —'9 = 5 ■ 2@3 —3),即a3 一a22 a3 -2a3 -8=0.而a3贝U a3 =4. •'• a2 =3 , a3 = 4.(2)由已知条件可知: a：-a；」=2(a n-a n」)2n -1 (a n-1)4-(a n」-1)2二n2-(n-1)2,2 2 2 2 2 2 2 24 2 2 2而b n =(a n -1) -n ,••• b n =0，数列｛b n｝为等差数列.••• (a n -1) = n •而a n• 0 ,故a n= n T .18.解：(1 )过M 作MT _ AA 于点T，连BJ，则AT =1.易证：「：AAE 二A1B1T，于是AAE =/A B1T.由ABT ATB1 = 90；，知AA1E ATB^ 90 , • AE _ B1T .显然MT _ 面AA1B1B，而A,E 面AA1B1B , • MT JAE1，又BT (MlT T 二，•A,E _ 面MTB ,• AE _ MB1.连B1D1,则BD1 SG .又DM _ A1C1, B1D^1 D1M = D1,• AG _ 面MD^ , •- AC^ MB1.由AE _ MB1, AC^ MB1, A E PI AG = A , • B1^ _ 面AEC「(2)在DQ1 上取一点N，使ND1 =1，连接EF .易知AjEgFN . •. V A^_EFC1二V N^EF G -V^NFC11 1弓1 2 3) 3 ".对于• AEG ,则(a n -1) -n =(a n 」-1) -(n-1)「=皑-1) -2 =@-1) -1 =0，1 -S NFC 1 3AE=V10，而 EG =辰,由余弦定理可知cos 匕 EAC10 18 222 103 21 .——.•- -A 1EC 1的面积 ' 201 i /ip 3 S AC , AEsin EAC3^2 1019.2220 2由等体积法可知 F 到平面AEC i 之距离h 满足19.解：(1)设直线AB 的斜率为k = tan ：•，方程为y -1 = k(x -1)，代入x 2 2y 2 = 4中,•- x 2 2[kx -(k -1)]2 -4 =0. • (1 2k 2)x 2 -4k(k -1)x - 2(k -1)2 -4 =0.判别式厶=[4( k —1)k]2 _4(2k 21)[2(k -1)2 -4] =8(3k 2 2k 1).设 A(x 1,y 1), B(x 2, y 2)，则1•直线的AB 方程为y -1(x -1)，即x-2y • 1 = 0. 2(2)由(1)知 |AB =A ^7|X _X2 =J (X1+X 2)2-4X 1X 2 J 8严+2k+1).2k +1则g (t )"‘，t (「ZUzWwt)在(」o 3], M r 分别单调递减,• 2 mg(t) ：：1 或 1 < g(t)乞2 X.故 2 — G 「2 ：： 1 或 1 < .3.即「[乜 2,1)u (1込!].2 21 _3S 4EC 1 h 二V “ _EF5，贝U 1 3 .19 h =3 ,••• h 二一6「, 3 2 、、19又FG — 10，设FC 1与平面AEC 1所sin^6J9 .10.1903预954k(k -1) 22k 211.••• AB 中点为(1,1)?(x 1x 2)二 2k(k -1)2k 21=1 , 设直线的CD 方程为y-1二-k(x-1)(k =0).同理可得AB CDCD 移21心).• 2=1亠1 k2 .8(3k 2 -2k 1)2k 2 +1=13k - - 2kx 2 -22(k -1) -42k 2 120.解：(1)由题意知:••• x =45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.1 = 70.5,•••4000名考生的竞赛平均成绩X为70.5分•(2)依题意z 服从正态分布N(~；「2)，其中- X =70.5 ,匚2 = D = 204.75，二=14.31 ,•z服从正态分布N(叫二2) = N(70.5,14.312)，而P(」z =P(56.19 ：：：z ：：84.81) =0.6826 , • P(z _ 84.81)」一0.6826 =0.1587.2•竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.1587 4000 = 634.8人” 634人.(3)全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率1 -0.1587=0.8413.而LI B(4,0.8413),•P(乞3) =1 -P( =4) =1 -C： 0.84134=1 -0.501=0.499.21.解：(1)定义域为：(0, •：：)，当a = e时，f'(x)二(1 x)(xe Y).x•f (x)在(0,1)时为减函数；在(1,：：)时为增函数.(2)记t =1 n x • x，则t = In x • x 在(0,=)上单增，且L R .(3)「. f (x) = xe X—a(ln x x) = e t—at = g(t).•f (x)在x 0上有两个零点等价于g(t)二at在t R上有两个零点.①在a =0时，g(t) =£在R上单增，且g(t) 0，故g(t)无零点；②在a ：：：0时，g'(t)二J-a在R上单增，又g(0) =1 0 ,1 ag(_)二e a -1 ：：：0，故g(t)在R上只有一个零点；a③在a 0时，由g'(t)=et-a=0可知g(t)在t=l na时有唯一的一个极小值g(l na)=a(1-l n a). 若0 a ：e, g 最小=a(1-ln a) 0 , g(t)无零点；若a二e, g最小=0, g(t)只有一个零点;若a e时，g最小工a(1 -1na) ：：：0，而g(0) =1 .0 ,ln x由于f(x) 在x e时为减函数，可知：a e时，e a a e a2.x从而g(a) =e a -a20，二g(x)在(0,ln a)和(In a,二)上各有一个零点综上讨论可知：a - e时f (x)有两个零点，即所求a的取值范围是(e, •：：).22.解：(1)由I :『cos v 『sin f0 = 0，及x=『cosv，y =『sin v .2 2••• I 的方程为x 2y -10 =0.由x=3cos r , y =2sin v，消去二得—•匕=1.9 43cos ® +4sin 申_10 1(2)在C 上取点M(3cos®,2sin 申)，则d =------------------- 严------- =〒，5cos(® —%) —10 .V5 V5① 3cos 0 : 其中5，当二0时，d取最小值.5.sin °=4L 59 8 9 8此时3sin = 3cos 0二一 ,2sin 0 = 2cos 0二一 ,M (-,-).5 5 5 523.解：(1 )在a=2 时，2x—2 —x + 2 兰1.在x -1 时，(2x -2) —(x 2)乞1,.・.1 < 5;在x 一-2时，-(2x -2) • (x• 2) _1 , x _3 , • x无解;1 1在-2 一x 一1 时，一(2 X—'2)—'(x 2)-1 , X-- —,•• - — _x_1.3 31 综上可知：不等式f (x)乞1的解集为{x| x乞5}.3(2)v 収+2 —ax—2| 兰4恒成立，而||x+2 - ax-马兰|(1+ a)x , 或|x +2 — ax —2||勻(1—a)x+4，故只需(1+a)x兰4恒成立，或(1 — a)x + 4兰4恒成立,• a - -1或a =1. • a的取值为1或-1.第一页共一页。
精品解析：【市级联考】湖北省武汉市2018年四月调考模拟题数学试题(解析版)
2018年武汉市四月调考数学模拟题（一）一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1.今年春节某一天早7:00，室内温度是6℃，室外温度是－2℃，则室内温度比室外温度高( )A. －4℃B. 4℃C. 8℃D. －8℃【答案】C【解析】【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：6-（-2）=6+2=8，则室内温度比室外温度高8℃，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．2.分式有意义，的取值范围是( )A. x＞2B. x＝2C. x≠2D. x＜2【答案】C【解析】【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．【详解】解：根据题意得：x-2≠0，解得：x≠2．故选：C．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键．3.下列计算正确的是()A. 2x2－3x2＝x2B. x＋x＝x2C. －(x－1)＝－x＋1D. 3＋x＝3x 【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项法则和去括号法则逐一判断即可得．【详解】解：A．2x2-3x2=-x2，故此选项错误；B．x+x=2x，故此选项错误；C．-（x-1）=-x+1，故此选项正确；D．3与x不能合并，此选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．4.在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( )A. 16个B. 15个C. 13个D. 12个【答案】D【解析】【分析】由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．【详解】解：设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%，∴，解得：x=12，经检验x=12是原方程的根，故白球的个数为12个．故选：D．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题的关键．5.下列计算正确的是( )A. (a－3)2＝a2－6a－9B. (a＋3)(a－3)＝a2－9C. (a－b)2＝a2－b2D. (a＋b)2＝a2＋a2【答案】B【解析】【分析】利用完全平方公式及平方差公式计算即可．【详解】解：A、原式=a2-6a+9，本选项错误；B、原式=a2-9，本选项正确；C、原式=a2-2ab+b2，本选项错误；D、原式=a2+2ab+b2，本选项错误，故选：B．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．6.矩形ABCD的顶点坐标分别为A(1，4)、B(1，1)、C(5，1)，则点D的坐标为( )A. (5，5)B. (5，4)C. (6，4)D. (6，5)【答案】B【解析】【分析】由矩形的性质可得AB∥CD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，即可求点D坐标．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∵A（1，4）、B（1，1）、C（5，1），∴AB∥CD∥y轴，AD∥BC∥x轴∴点D坐标为（5，4）故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，关键是熟练掌握这些性质.7.如图所示的几何体的俯视图是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】解：从上往下看，得一个长方形，由3个小正方形组成．故选：B．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．8.在武汉市举办的“读好书、讲礼仪”活动中，某学校积极行动，各班图书角的新书、好书不断增多，除学校购买外，还有师生捐献的图书．下面是七年级(1)班全体同学捐献图书的情况统计图，根据图中信息，该班平均每人捐书的册数是（）A. 3B. 3.2C. 4D. 4.5【答案】B【解析】七年级(1)班捐献图书的同学人数为9÷18%=50人，捐献4册的人数为50×30%=15人，捐献3册的人数为50-6-9-15-8=12人，所以该班平均每人捐书的册数为（6+9×2+12×3+15×4+8×5）÷50=3.2册，故选B.9.在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．对于一条直线，当它与一个圆的公共点都是整点时，我们把这条直线称为这个圆的“整点直线”．已知⊙O是以原点为圆心，半径为圆，则⊙O的“整点直线”共有（）条A. 7B. 8C. 9D. 10【解析】试题分析：根据圆的半径可知：在圆上的整数点为(2，2)、(2，-2)，(-2，-2)，(-2，2)这四个点，经过任意两点的“整点直线”有6条，经过其中的任意一点且圆相切的“整点直线”有4条，则合计共有10条. 10.如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．则sin∠AFG的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如图：过点E作HE⊥AD于点H，连接AE交GF于点N，连接BD，BE．由题意可得：DE=2，∠HDE=60°，△BCD是等边三角形，即可求DH的长，HE的长，AE的长，NE的长，EF的长，则可求sin∠AFG的值．【详解】解：如图：过点E作HE⊥AD于点H，连接AE交GF于点N，连接BD，BE．∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠DAB=60°，∴AB=BC=CD=AD=4，∠DAB=∠DCB=60°，DC∥AB∴∠HDE=∠DAB=60°，∵点E是CD中点在Rt△DEH中，DE=2，∠HDE=60°∴DH=1，HE=∴AH=AD+DH=5在Rt△AHE中，AE==2∴AN=NE=，AE⊥GF，AF=EF∵CD=BC，∠DCB=60°∴△BCD是等边三角形，且E是CD中点∴BE⊥CD，∵BC=4，EC=2∴BE=2∵CD∥AB∴∠ABE=∠BEC=90°在Rt△BEF中，EF2=BE2+BF2=12+（AB-EF）2．∴EF=由折叠性质可得∠AFG=∠EFG，∴sin∠EFG= sin∠AFG = ，故选B.【点睛】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度是本题的关键．二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)11.计算：＝____．【答案】5【解析】【分析】根据算术平方根的定义进行化简，再根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：∵52=25，∴=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了算术平方根的定义，先把化简是解题的关键．12.计算的结果为．【答案】【解析】【分析】直接把分子相加减即可.【详解】=,故答案为：.【点睛】本题考查了分式的加减法，关键是要注意通分及约分的灵活应用．13.一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出2个球，都是黄球的概率为．【答案】【解析】【分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．【详解】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出2个球是黄球的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查了概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．14.如图，直线a∥b，正方形ABCD的顶点A、B分别在直线a、b上．若∠2＝73°，则∠1＝．【答案】107°【解析】【分析】过C作d∥a, 得到a∥b∥d，构造内错角，根据两直线平行，内错角相等，及平角的定义，即可得到∠1的度数．【详解】过C作d∥a, ∴a∥b, ∴a∥b∥d,∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°, ∵∠2=73°，∴∠6=90°-∠2=17°,∵b∥d, ∴∠3=∠6=17°, ∴∠4=90°-∠3=73°, ∴∠5=180°-∠4=107°,∵a∥d, ∴∠1=∠5=107°,故答案为：107°.【点睛】本题考查了平行线的性质以及正方形性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作辅助线构造内错角．15.如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠B＝2∠D＝120°，∠C＝75°．则＝【答案】【解析】【分析】连接AC,过点C作CE⊥AB的延长线于点E,，如图，先在Rt△BEC中根据含30度的直角三角形三边的关系计算出BC、CE，判断△AEC为等腰直角三角形，所以∠BAC=45°，AC=，利用即可求解．【详解】连接AC,过点C作CE⊥AB的延长线于点E,∵∠ABC=2∠D=120°, ∴∠D=60°, ∵AD＝CD, ∴△ADC是等边三角形，∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB=360°, ∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=75°-60°=15°,∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-120°-15°=45°, ∴AE=CE,∠EBC=45°+15°=60°, ∴∠BCE=90°-60°=30°,设BE=x,则BC=2x,CE=,在RT△AEC中，AC=，∴，故答案为：.【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．合理作辅助线是解题的关键．16.已知关于x的二次函数y＝x2－2x－2，当a≤x≤a＋2时，函数有最大值1，则a的值为________．【答案】－1或1【解析】【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+2时函数有最大值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：当y=1时，x2-2x-2=1，解得：x1=-1，x2=3，∵当a≤x≤a+2时，函数有最大值1，∴a=-1或a+2=3，即a=1．故答案为：-1或1．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．三、解答题(共8题，共72分)17.解方程组：【答案】【解析】【分析】把第一个方程乘以2，然后利用加减消元法求解即可．【详解】解：，①×2得，4x+2y=12③，③-②得，3x=3，解得x=1，把x=1代入①得，2×1+y=6，解得y=4，所以方程组的解是．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．18.如图，点E，F在AB上，DF＝BC，∠DFA＝∠B，AE＝BF．求证：AD∥EC．【答案】见解析【解析】【分析】根据全等三角形的判定SAS，即可求证：△ADF≌△BCE，进而得出结论．【详解】证明：∵AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，∴AF=BE，在△ADF与△BCE中，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴∠A=∠CEB,∴AD∥EC【点睛】本题考查全等三角形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．19.为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩(得分数取正整数，满分为100分)进行统计，绘制统计图如下(未完成)，解答下列问题：(1)若A组的频数比B组小24，求频数分布直方图中a＝，b＝；(2)扇形统计图中n＝，并补全频数分布直方图；(3)若成绩在80分以上优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？【答案】(1)a＝16，b＝40；(2)n＝126°；(3) 940人．【解析】【分析】（1）根据若A组的频数比B组小24，且已知两个组的百分比，据此即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得a、b的值；（2）利用360°乘以对应的比例即可求解；（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．【详解】解：（1）学生总数是24÷（20%-8%）=200（人），则a=200×8%=16，b=200×20%=40；（2）n=360×=126°．C组的人数是：200×25%=50．；（3）样本D、E两组的百分数的和为1-25%-20%-8%=47%，∴2000×47%=940（名）答估计成绩优秀的学生有940名．【点睛】本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．20.某文具店在一段时间销售了A、B两种文具共100件．若销售A种文具8件，B种文具3件，获利100元；若销售A种文具5件，B种文具6件，获利112元．(1)求A、B两种文具每件各获利多少元？(2)若要求销售完100件文具，至少获利1081元，问：A文具至多销售多少件？(3)为减少库存，文具店决定降价销售A、B两种文具，其中A种文具每件降价a元，B种文具每件降价2a元(a≥1)，文具店通过销售记录发现：销售利润随A文具销售量的增大而减小，直接写出a的取值范围．【答案】(1)A种文具每件获利8元；B种文具每件获利12元；(2) A种文具至多销售29件；(3)1≤a＜4 . 【解析】【分析】(1)设A，B两种文具每件分别获利m元和n元，根据题中的等量关系列出方程组求解即可;(2) 设A种文具销售x件，B种文具销售(100－x)件,根据题意列出不等式求解即可;(3) 设销售总利润为w元,根据题意得出w＝(a－4)x＋1200－200a，再依据一次函数的性质解答即可.【详解】解：(1)设A，B两种文具每件分别获利m元和n元，根据题意：解得：，即：A种文具每件获利8元；B种文具每件获利12元；(2)设A种文具销售x件，B种文具销售(100－x)件，根据题意：8x＋12(100－x)≥1081，解得：x≤，∵x为正整数，∴x≤29 即：A种文具至多销售29件；(3)1≤a＜4 理由如下：设销售总利润为w元，根据题意：w＝(8－a)x＋(12－a)(100－x)＝(a－4)x＋1200－200a∵w随x的增大而减小∴a－4＜0 解得：a＜4，又a≥1∴1≤a＜4【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及一次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．．21.如图，AB是半圆O的直径，D为弦BC的中点，延长OD交弧BC于点E，点F为OD的延长线上一点且满足∠OBC＝∠OFC．(1)求证：CF为⊙O的切线；(2)若四边形ACFD是平行四边形，求sin∠BAD的值．【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠B，∠OCB=∠F，根据垂径定理得到OF⊥BC，根据余角的性质得到∠OCF=90°，于是得到结论；（2）过D作DH⊥AB于H，根据三角形的中位线的想知道的OD=AC，根据平行四边形的性质得到DF=AC，设OD=x，得到AC=DF=2x，根据射影定理得到CD=x，求得BD=x，根据勾股定理得到AD=x，于是得到结论．【详解】解：（1）连接OC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∵∠B=∠F，∴∠OCB=∠F，∵D为BC的中点，∴OF⊥BC，∴∠F+∠FCD=90°，∴∠OCB+∠FCD=90°，∴∠OCF=90°，∴CF为⊙O的切线；（2）过D作DH⊥AB于H，∵AO=OB，CD=DB，∴OD=AC，∵四边形ACFD是平行四边形，∴DF=AC，设OD=x，∴AC=DF=2x，∵∠OCF=90°，CD⊥OF，∴CD2=OD•DF=2x2，∴CD=x，∴BD=x，∴AD=x，∵OD=x，BD=x，∴OB=x，∴DH=x，∴sin∠BAD==．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，射影定理，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．22.反比例函数：y＝(x≥1)的图象经过点A(1，6)．(1)求k的值；(2)将沿y轴翻折，得到曲线．①请在图中画出曲线、；②若直线y＝－x＋n与、一共只有三个公共点，求n的取值范围；(3)点B是反比例函数上任一点，点B关于原点的对称点为C，以BC为边作等边△BCP(点B、P、C顺时针摆放)，直接写出点P所在图象的解析式．【答案】(1)k＝6；(2)①见解析；②2＜n≤7 ；(3)y＝－(0＜x≤6).【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）①根据要求画出函数图象即可．②求出直线与C1相切时n的值，以及直线经过（1，6）时D的n的值，即可判断．（3）如图2中，连接OP，作BM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N．设P（m，n）．B（a，b）．根据相似三角形，利用相似三角形的性质求出mn的值即可解决问题．【详解】解：（1）把A（1，6）代入y=中，k=6．（2）①图象如图所示：②由，消去y得到：x2-nx+6=0，当△=0时，n2-24=0，∵n＞0，∴n=2，当x=1，y=6时，6=-1+n∴n=7，∴2＜n≤7时，直线y=-x+n与C1、C2一共只有三个公共点．（3）如图2中，连接OP，作BM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N．设P（m，n）．B（a，b）．∵△PBC是等边三角形，OB=OC，∴PO⊥BC，∵∠POB=∠BMO=∠PNO=90°，∴∠PON+∠OPN=90°，∠PON+∠BOM=90°，∴∠BOM=∠OPN，∴△BMO∽△ONP，∴，∴，∴m=b，n=-a，∴mn=-3ab=-18，∴点P所在的函数解析式为：y=-（0＜x≤6）．【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法，二元二次方程组，根的判别式，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．23.如图1，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，D是腰AC上的一个动点，CE⊥BD于E．(1)求证：AD·CD＝BD·DE；(2)如图2，①若BD是AC的中线，则的值为；②若AB＝4，则的最小值为(直接写出结果)；(3)如图3，连接AE．若AE＝EC，求的值．【答案】(1)见解析;(2)①；②2+;(3) +1.【解析】【分析】（1）由题意可证△ADB∽△EDC，可得，即AD•DC=BD•DE；（2）①设AD=DC=a，则AB=2a，BD=a，由勾股定理可求CE的长，即可求的值；②过点E作EF⊥AC于点F，由题意可得△ABD∽△FED，可得，则当EF最大时，的值最小，由垂径定理和三角形中位线定理可得EF的最大值，即可得的值．（3）过点D作DF⊥BC于点F，过点D作DG⊥CD，交BC于点G，由题意可证点A，点B，点C，点E四点共圆，可得∠ABE=∠ACE=∠CBE=∠CAE=22.5°，由解直角三角形的应用，可求DG=CD=DF，BC=BG+GF+FC=DF+2DF，即可得的值．【详解】证明：（1）∵∠A=∠E，∠ADB=∠EDC，∴△ADB∽△EDC∴∴AD•DC=BD•DE（2）①设AD=DC=a，则AB=2a，BD=a，∵AD•CD=BD•DE∴a2=a•DE，∴DE=a，∴CE=a，∴=故答案为：；②如图，过点E作EF⊥AC于点F，∵∠BAC=∠AFE=90°∴AB∥EF∴△ABD∽△FED∴∴=∴当EF最大时，的值最小∵AB=AC=4，∠BAC=90°∴BC=4∵∠BAC=∠BEC=90°，∴点A，点B，点C，点E在以BC为直径的圆上，如图，取BC中点O，连接OE，当点F在OE上时，EF值最大∵OF⊥AC∴AF=CF，且BO=CO=2，∴OF=2，∴EF=OE-OF=2-2∴的最小值==2+2故答案为：2+2；（3）如图，过点D作DF⊥BC于点F，过点D作DG⊥CD，交BC于点G，∵△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°∵AE=CE，∴∠EAC=∠ECA∵∠BAC=∠BEC=90°，∴点A，点B，点C，点E四点共圆，∴∠ABE=∠ACE，∠CBE=∠CAE∴∠ABD=∠EBC=22.5°，∵DF⊥BC，DG⊥CD，∠ACB=45°∴∠DGC=∠ACB=∠CDF=∠GDF=45°∴DF=CF=GF，DG=CD=DF∵∠DGC=∠DBC+∠BDG=45°∴∠DBG=∠BDG=22.5°∴BG=DG=DF∴BC=BG+GF+FC=DF+2DF∴【点睛】本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的应用，添加恰当的辅助线构造相似三角形和直角三角形是本题的关键．24.如图1，抛物线y＝ax2－3ax－4a(a＜0)，与x轴交于A、B两点(A在B左边)，与y轴交于C点，且tan∠CAO＝2．(1)求抛物线的解析式；(2)D为抛物线上一动点，且D在B、C两点之间．若四边形ACDB的面积为S，求S的最大值；(3)如图2，已知直线l：y＝kx＋b(b≠0)与抛物线交于M、N两点，P为BC中点，Q为线段MN的中点，若PQ∥y轴，求证：MN∥BC．【答案】(1) y＝－x2＋x＋2；(2)见解析；(3)见解析..【解析】【分析】（1）先求出抛物线与x轴的交点坐标，从而得出OA=1，再由tan∠CAO=2可求得OC=2，据此将点C坐标代入解析式可得答案；（2）连接OD，设D（t，-t2+t+2），由S=S△AOC+S△COD+S△BOD=-（t-2）2+9，利用二次函数的性质可得答案；（3）由题意知P（2，1），联立整理得x2+（2k-3）x+2b-4=0，据此得+=3-2k，=2b-4，根据PQ∥y轴知点Q的横坐标为2，由点Q为MN的中点知+=3-2k=4，求得k的值可得证．【详解】解：（1）令y=0，则ax2-3ax-4a=0，解得x1=-1，x2=4，∴A（-1，0），B（4，0），∴OA=1，OB=4，∵tan∠CAO=2，∴OC=2，∴C（0，2），令x=0，得y=-4a，∴-4a=2，解得a=-，∴抛物线解析式为y=-x2+x+2；（2）连接OD，设D（t，-t2+t+2），则S=S△AOC+S△COD+S△BOD=×1×2+×2×t+×4×（-t2+t+2）=-（t-2）2+9，当t=2时，S有最大值为9，此时点D的坐标为（2，3）．（3）∵P为BC的中点，∴P（2，1），设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理，得：x2+（2k-3）x+2b-4=0，∴x1+x2=3-2k，x1x2=2b-4，∵PQ∥y轴，∴点Q的横坐标为2，∵点Q为MN的中点，∴x1+x2=3-2k=4，解得k=-，∴直线MN的解析式为y=-x+b，又直线BC的解析式为y=-x+2，∴MN∥BC．【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、割补法求不规则图形的面积、二次函数的性质及直线与抛物线交点问题．。
武汉2018届高三四月调研测试数学理精选
武汉2018届高中毕业生四月调研考理科数学一、选择题1.已知复数()23z i i =-，则复数z 在复平面内的点位于 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限2.已知集合{}()11,3,|0lg 1,2A B x x x Z ⎧⎫==<+<-∈⎨⎬⎩⎭，则AB = A. {}1,3 B. {}1,2,3 C. {}1,3,4 D.{}1,2,3,43.若等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足，484,12S S ==，则2S =A. -1B. 0C. 1D. 34.在长为16cm 的线段MN 上任取一点P,以MP,NP 为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于260cm 为 A.14 B. 12 C.13 D. 345.执行如图所示的程序框图，则输出的k = A.7 B. 8 C.9 D. 106.如图所示，某地一天614-时的温度变化曲线近似满足函数()()sin y A x b ωϕϕπ=++<，则这段曲线的函数解析式可以为 A.[]310sin 20,6,1484y x t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭B.[]510sin 20,6,1484y x t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭C. []310sin 20,6,1484y x t ππ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭D. []510sin 20,6,1488y x t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭7.已知数列{}n a 满足1211,3a a ==，若()()1111232,n n n n n a a a a a n n N *-+-++=⋅≥∈，则实数{}n a 的通项为n a =A. 112n -B. 121n -C. 113n -D. 1121n -+ 8.已知实数,x y 满足约束条件02422x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若果目标函z x ay =+数的最大值为163，则实数a 的值为 A. 3 B.143 C.3或143 D. 3或113- 9.四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为 A. 815π B. 8120π C. 815π1015π D.8120π 10.已知圆()()22:1410C x y -+-=和点()5,M t ，若圆C上存在两点A,B ，使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是A. []2,6-B. []3,5-C.[]2,6D. []3,511.已知函数()2x x f x e a e -=+⋅+（a R ∈，e 为自然对数的底数）若()()(),y f x y f f x ==的值域相同，则a 的取值范围是A. 0a <B. 1a ≤-C. 04a <≤D. 0a <或04a <≤12.记{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，则11min 2,,M x y y x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最大值为A. 12二、填空题： 13.821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 14.在四面体P ABC -中，1PA PB PC BC ====则该四面体体积的最大值为 . 15.已知直线MN 过椭圆2212x y +=的左焦点1F 与椭圆交于M,N 两点，直线PQ 过原点O 与MN 平行，且PQ 与椭圆交于P,Q 两点，则2PQ MN= . 16.已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，且60A ∠=，若(),AO AB AC R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值为 .三、解答题：17. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足27,60.a b c A =-==（1）求b 的值；（2）若AD 平分BAC ∠交BC 于点D,求线段AD 的长.18. 某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来的连续4天，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；（2）用ξ表示在未来4天日销售量不低于100枝的天数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面,2,ABC AB BC ==11130,120,,ABC C CB BC AC E ∠=∠=⊥为AC 的中点. （1）求证：1AC ⊥平面1C EB ； （2）求二面角1A AB C --的余弦值.20. 已知圆22:1O x y +=和抛物线2:2,E y x O =-为坐标原点.（1）已知直线l 和圆O 相切，与抛物线E 交于M,N 两点，且满足OM ON ⊥，求直线l 的方程；（2）过抛物线E 上一点()00,P x y 作两直线,PQ PR 和圆O 相切，且分别交抛物线E 于,Q R 两点，若直线QR 的斜率为P 的坐标.21.（本题满分12分）已知函数()()2ln ,.f x x a x a R =-∈（1）若a e =为自然对数的底数，求函数()()f x g x x=的单调区间； （2）若函数()f x 既有极大值，又有极小值，求实数a 的取值范围.22.选修4-4：参数方程与极坐标系已知曲线C 的参数方程为()22281:211k x k C k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），直线l 的参数方程为2cos :1sin x t l y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）. （1）将曲线C 的方程化为普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A.B 两点，且()2,1P 为弦AB 的中点，求弦AB 所在直线方程.23.选修4-5：不等式选讲（1）求不等式5231x x --+≥的解集；（2）若正实数,a b 满足12a b +≥1.。
湖北省武汉市2018届高三毕业生四月调研测试理科数学试题(精编含解析)
武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简复数，再求其共轭复数.【详解】由题得，所以其共轭复数为2-i.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查复数的计算和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 复数的共轭复数2.已知集合，，若，则实数的取值集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，由N⊆M，得或=1．由此能求出实数a的取值集合．【详解】∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M，∴当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，∵N⊆M，∴或=1．解得a=﹣1或a=1，综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}．故选：D．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据程序框图的功能进行求解即可．【详解】本程序为条件结果对应的表达式为S=，则当输入的t∈[﹣2，2]，则当t∈[﹣2，0）时，S=2t∈[﹣4，0），当t∈[0，2]时，如右图，S=﹣3t+t3=t（t﹣）（t）∈[﹣2，2]，综上S∈[﹣4，2]，故选：A．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件结构，结合分段函数的表达式是解决本题的关键．4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当于一个长宽高分别为2，1，1的长方体的体对角线，进而得到答案．【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以侧视图为底面的直四棱柱，在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当于一个长宽高分别为2，1，1的长方体的体对角线，故d==，故选：B．【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.5.一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过次就按对的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式直接求解．【详解】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为：p==．故选：C．【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.若实数，满足，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出0=log a1＜log a b＜log a a=1，由此利用对数函数的单调性能比较m，n，l的大小．【详解】∵实数a，b满足a＞b＞1，m=log a（log a b），，，∴0=log a1＜log a b＜log a a=1，∴m=log a（log a b）＜log a1=0，0＜＜1，1＞=2log a b＞．∴m，n，l的大小关系为l＞n＞m．故选：B．【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线和切线的方程得出k的范围．【详解】双曲线的渐近线方程为y=±x，∴当﹣1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点，当k≤﹣1时，直线与双曲线右支没有交点，把y=kx﹣1代入x2﹣y2=4得：（1﹣k2）x+2kx﹣5=0，令△=4k2+20（1﹣k2）=0，解得k=或k=﹣（舍）．∴1＜k＜．故选：D．【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，直线与双曲线相切的等价条件，属于中档题．8.在中，角、、的对应边分别为，，，条件：，条件：，那么条件是条件成立的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由条件p：a≤，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：cosA=≥，当且仅当b=c=a时取等号．又A∈（0，π），可得．由条件q：A，B，C∈（0，π），A≤．取，C=，B=满足上述条件，但是a．即可判断出结论．【详解】由条件p：a≤，则cosA=≥=≥=，当且仅当b=c=a时取等号．又A∈（0，π），∴．由条件q：A，B，C∈（0，π），A≤．取，C=，B=满足上述条件，但是a．∴条件p是条件q成立的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了余弦定理与基本不等式的性质、倍角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.在的展开式中，含项的系数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把x+看作一项，写出的展开式的通项，再写出的展开式的通项，由x的指数为5求得r、s的值，则答案可求．【详解】的展开式的通项为．的展开式的通项为=．由6﹣r﹣2s=5，得r+2s=1，∵r，s∈N，∴r=1，s=0．∴在的展开式中，含x5项的系数为．故选：B．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.10.若，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，求出表达式的最小值．【详解】令，，作出可行域，如图所示：，表示可行域上的动点到定点距离的平方，然后减去，故其最小值为定点到直线AB的距离的平方减去。
湖北省武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学试题(精编含解析)
∴S△PEF= 解方程①可得 x=2k， ∴A（2+2 ，3+2 ），B（2﹣2 ，3﹣2 ）， ∴直线 AB 方程为 y=x+1，|AB|=8，
原点 O 到直线 AB 的距离 d= ，
∴S△OAB=
，
∴△PEF 与△OAB 的面积之比为 ． 故答案为：C
【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查三角形的面积，意在考查学生对这些知识的掌握水
A.
B.
【答案】D
【解析】
C.
D.
【分析】 画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，求出表达式的最小值．
【详解】令
，
，
，作出可行域，如图所示：
表示可行域上的动点到定点
距离的平方，然后减去 ，故其最小值为
定点
到直线 AB 的距离的平方减去 。
AB：
定点
到直线 AB 的距离：
∴ 故选： 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次 确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等， 最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
15. 已知
，
【答案】 【解析】 【分析】
为奇函数，
，则不等式
的解集为_________．
令 g（x）= ，
，根据函数的单调性求出 g（x）＞g（0），从而求出不等式的解集即可．
【详解】∵y=f（x）﹣1 为奇函数，
∴f（0）﹣1=0，即 f（0）=1，
令 g（x）= ，
，
则 g′（x）=
＞0，
故 g（x）在 f（x）＞cosx，
【答案】 【解析】 【分析】
2018届湖北省高三4月调研考试理科数学试题(解析版)
2018年湖北省高三4月调考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：现根据指数函数与对数函数的图象与性质，求得集合，即可求解.详解：由题意，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的运算，对于集合的基本运算，要注意三个方面：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 欧拉公式为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的，她将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将表示的复数记为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据题意，现求得，则根据复数的四则运算，即可求解.详解：由题意的，所以，故选A.点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为．3. 记不等式组的解集为，若,则实数的最小值是( )A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】分析：由约束条件作出可行域，结合直线，求出过点的直线的斜率得到答案. 详解：作出约束条件所表示的可行域，如图所示，直线经过点，而经过两点的直线的斜率为，所以要使得，成立，则，所以实数的最小值是，故选C.点睛：线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.4. 已知,则的值等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由已知求得，结合，展开两角差的正弦求解.详解：因为，所以，由，得，则，故选C.点睛：本题考查了三角函数的化简求证，考查了同角三角函数基本关系式的应用，关键是“拆角配角”思想的应用，属于基础题.5. 函数的图像大致为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：研究的函数的基本性质，和利用特殊点的函数值，即可作出选择.详解：由函数，满足且，所以排除A、D；又，排除D，故选C.点睛：函数图像问题首先关注定义域，从图象的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择支，从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等确定图象．6. 已知双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且,则( )A. 1B. 3C. 1或9D. 3或7【答案】C【解析】分析：由双曲线的方程，渐近线的方程求出，由双曲线的定义求出即可.详解：由双曲线的方程，渐近线方程可得，因为，所以，所以，由双曲线的定义可得，所以或，故选C.点睛：本题考查了双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单的几何性质的应用，其中由双曲线的方程、渐近线的方程求出的解题的关键.7. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为6，且判断框内填入的条件是,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：程序运行的，根据输出的值，从而可得判断框的条件.详解：由程序框图知，程序运行的，当，所以，因为输出的，所以，所以实数满足，故选C.点睛：利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.8. 党的十九打报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展.现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教.将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业至少安排一名的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意求得基本事件的总数为种，每所学校毕业至少安排一名包含的基本事件的个数为种，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.详解：由题意，将这六名毕业生全部进行安排，每所学校至少名毕业生，基本事件的总数为种，每所学校那女毕业生至少安排一名共有：一是其中一个学校安排一女一男，另一个学校有一女三男，有种，二是其中一个学校安排一女二男，另一个学校有一女两男，有种，共有种，所以概率为，故选C.点睛：本题考查了古典概型及概率的计算，排列组合的综合应用，对于排列组合问题：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).9. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设，得，利用导数研究其单调性可得的大小关系，又由，即可得出结论.详解：设，则，可得函数在内单调递增，所以，即，可化为，即，又，所以，故选B.点睛：本题考查了指数函数与对数函数基本性质的应用，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性比较大小是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题.10. 锐角中，角所对的边为的面积,给出以下结论：①；②；③；④有最小值8.其中正确结论的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】分析：由三角形的面积公式得，结合正弦定理证得①正确；把①中的用表示，化弦为切证得②正确；由，展开两角和的正切证得③正确；由，结合②转化为关于的代数式，换元即可求得最值，证得④正确.详解：由，得，又，得，故①正确；由，得，两边同时除以，可得，故②正确；由且，所以，整理移项得，故③正确；由，，且都是正数，得，设，则，，当且仅当，即时取“=”，此时，，所以的最小值是，故④正确，故选D.点睛：本题考查了命题的真假判定与应用，其中解答中涉及到两家和与差的正切函数，以及基本不等式的应用等知识点的综合运用，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中等试题.11. 已知正三棱锥的顶点均在球的球面上，过侧棱及球心的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为，则球的表面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据图示，这个截面三角图形和球的体积，求得正三棱锥的底面边长，进而求得球的半径，求的球的表面积.详解：设正三棱锥的底面边长为，外接球的半径为，因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为，则，则，所以，即，又因为三棱锥的体积为，所以，解得，所以球的表面积为，故选A.点睛：本题考查了空间想象能力，关键是抓住这个截面三角形由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和侧面是正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在截面正三角形的重心上，着重考查学生分析问题和解答问题的能力.12. 设,其中，则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由表示两点与点的距离，而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，画出图象，当三点共线时，可求得最小值.详解：由题意，，由表示两点与点的距离，而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，由图象可知三点共线时，且为曲线的垂线，此时取得最小值，即为切点，设，由，可得，设，则递增，且，可得切点，即有，则的最小值为，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在的展开式中，常数项为__________．（用数字填写答案）【答案】112【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为，求出，将的值代入通项求出展开式的常数项.详解：二项式展开式的通项为，令，解得，所以常数项为.点睛：本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．14. 已知向量与的夹角为30°，，则的最大值为_________．【答案】【解析】分析：由题意，利用基本不等式和向量的运算，求的，进而可求得的最大值.详解：由题意，则，所以，即，又因为，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．15. 已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：函数在区间上恰有三个零点，转化为和函数在区间上恰有三个交点，利用余弦函数的图象即可求解.详解：由题意函数在区间上恰有三个零点，转化为和函数在区间上恰有三个交点，当时，，当时，，根据余弦函数的图象，要使的图象有三个交点，则，解得，点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及函数的零点问题的判定问题，属于中档试题，对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．16. 点是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，则三角形面积的最小值为__________．【答案】【解析】分析：由圆的方程求得圆心坐标和半径，在由是圆的两条切线，利用点到直线的距离公式，进而求解三角形面积的最小值.详解：由圆的大风车，可得圆心，半径，则圆心到直线的距离为，设，则，则，所以，所以函数在单调递增，所以.点睛：本题题考查直线与圆的位置关系的应用，解答的关键在于根据题意得到面积的表示，进而求解函数的最值，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列，其中，且满足,.(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】分析：由题意，化简得，且，即可证得数列是首项为4，公比为2的等比数列；由（1）得，进而求得，利用裂项法，即可求解数列的和.详解：(1),又，所以是首项为4，公比为2的等比数列(2)由(1)知，①又又，所以为常数数列，)②联立①②得：,所以点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.18. 如图，在平行四边形中，°，四边形是矩形，，平面平面.（1）若，求证：；（2）若二面角的正弦值为，求的值.【答案】(1)见解析；（2）或.【解析】分析：连接，在中，利用余弦定理和勾股定理，得到，再由四边形为矩形，得到，进而得到，，利用线面垂直的判定定理证得面，即可证得；（2）以为原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，求解平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值，即可求解的值.详解：(1)连接，在中，由，由余弦定理易得，又，则；同理由余弦定理易得：，由四边形是矩形，则，又平面平面，所以平面，所以，同理，由勾股定理易求得，,显然,故；由，所以面，所以，所以面，所以；(2)以点为原点，所在的直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线轴建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为，则,即,取，则，即,同理可求得平面的法向量为设二面角的平面角为，则则，即，解之得或，又,所以或点睛：本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19. 随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：(1) 完成列联表,并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人，用表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求的分布列与数学期望.附:，其中.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】分析：（1）列出列联表，利用公式求得，即可作出判断；（2）把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取人，可以近似看作次独立重复实验，所以的取值依次为，且服从二项分布，即可求解分布列和数学期望.详解：(1)列联表补充如下,故有99%的把握认为支付宝用户与年龄有关系.(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取3人，可以近似看作3次独立重复实验，所以的取值依次为0,1,2,3，且服从二项分布所以的分布列为点睛：本题考查了独立性检验思想的应用，离散型随机变量的分布列与数学期望，求解离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些，当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.20. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当时，内切圆的半径为.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆相较于两点，且，当直线的斜率之和为2时，问：点到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.【答案】(1) 椭圆的方程为;(2)见解析.【解析】分析：（1）依据题意，得到，又由，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆的方程的联立，求得，由，代入整理，求得的值，再由点到直线的距离公式，设，即可求得距离的最大值，得到结论.详解：(1)依题意：,则，即又,联立解得：，故，所以椭圆的方程为(2)设,联立直线和椭圆的方程得：,当时有：由得：,即,整理得：,所以,化简整理得：，代入得：,解之得：或,点到直线的距离,设，易得或，则,当时；当时，,若，则；若，则，当时，综上所述：，故点到直线的距离没有最大值.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21. 已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)求函数的极值.【答案】(1)时，递减；时，递增；(2)见解析.【解析】分析：（1）求得函数，代入，得，设，得，得到函数的单调性，进而求得函数的单调性；（2）由（1），得到，由在区间递减，在递增，得到时，分类讨论即可求得的极值.详解：(1)函数的定义域为，其导数为.当时，设，则，显然时递增；时，递减，故，于是，所以时，递减；时，递增；(2)由(1)知，函数在递增，在递减，所以又当时，,讨论：①当时，，此时：因为时，递增；时，递减；所以，无极小值；②当时，，此时：因为时，递减；时，递增；所以，无极大值；③当时，又在递增，所以在上有唯一零点,且,易证：时，，所以,所以又在递减，所以在上有唯一零点，且，故：当时，递减；当，递增；当时，递减；当，递增；所以，，,.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22. 在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程；(2)已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，求的取值范围.【答案】（1）曲线的极坐标方程为;(2).【解析】分析：（1）先把曲线的参数方程化为直角坐标方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到的极坐标方程；（2）由（1）得，即可得到的取值范围.详解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)由(1)得,，因为，则点睛：本题考查了极坐标方程的求法及应用.重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23. 已知函数的最小值为3.(1)求的值；(2)若，求证：.【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：由绝对值三角不等式，得，即，进而得到的值；（2）由（1），得，进而利用基本不等式，即可作出证明.详解：(1)解：所以,即(2)由，则原式等价为：，即,而,故原不等式成立点睛：本题考查了绝对值不等式的性质，同时考查了基本不等式的应用，绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.。
高考最新-武汉市2018届高三年级四月调考数学试题(理) 精品
武汉市2018届高三年级四月调考数学试题（理科） 2018.4.14一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出四个选项中，中有一项是符合题目要求的。
） 1．函数)1ln(1-=x y 的定义域是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，1）∪（1，+∞）C ．（0，2）∪（2，+∞）D ．（1，2）∪（2，+∞）2．如果复数i a a a a Z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．-2D ．1或-2 3．在n x )21(-的展开式中，各项系数的和是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．1或-1 4．函数x x x x f cos )cos 4sin 3()(⋅-=的最小正周期为（ ）A ．πB ．2π C ．π2 D ．4π5．过点C （6，-8）作圆2522=+y x 的切线于切点A 、B ，那么C 到直线AB 的距离为（ ）A ．15B ．215C ．5D ．10 6．已知函数)0(|1|log )(2≠-=a ax x f 满足关系式)2()2(x f x f --=+-，则实数a 的值是（ ）A ．1B ．21-C ．41D ．-1 7．一个学生通过某种英语测试的概率为21，他连续测试2次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（ ） A ．41 B ．31 C ．21 D ．438．设)(x f 是可导函数，且2)()2(lim000=∆-∆-→∆xx f x x f x ，则)(0x f '=（ ）A ．21B ．-1C ．0D ．-2 9．等轴双曲线122=-y x 上一点P 与两焦点1F 、2F 连线互相垂直，则21F PF ∆的面积为（ ）A ．21B ．2C ．1D ．4 10．函数xax x f 1)(2-=的单调递增区间为（0，+∞），那么实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≥0B ．a >0C ．a ≤0D ．a <011．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元钱，乙每件卖出去后可赚1.8元。
推荐-武汉市2018-2018学年高三年级四月调研考试数学试卷(理科) 精品
武汉市2018－2018学年高三年级四月调研考试数学试卷（理科）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
第 I 卷（选择题，共 50 分）注意事项：1 ．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填在试卷的答题卡上，并认真核对条形码上的准考证号，在规定的位置贴好条形码。
2 ．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如果需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P (A +B )＝P (A )+P (B )如果事件A 、B 互相独立，那么 P (A •B )＝P (A )•P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()kn kk n n p P C k P --=1球的表面积公式 S ＝4πR 2其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数1212)(2--+=x x x x f 的定义域是（A ）｛x |x ≠－21｝（B ）｛x |x >－21｝（C ）｛x |x ≠－21且x ≠1｝（D ）｛x |x >－21且x ≠1｝ 2．复数z =(a ＋i)(3－4i )∈R ，则实数a 的值是（A ）－43 （B ）43 （C ）34 （D ） －34 3．已知曲线)(x f y =过原点，以点P （x 0，f （x 0））为切点的切线的斜率是2 x 0－1，那么曲线)(x f y =的方程是（A ）y ＝x 2－x （B ） y ＝x 2＋x （C ） y ＝2x 2－x （D ）y ＝2x 2＋x4．把一枚硬币掷三次，三次都出现正面的概率为 （A ）41 （B ）21 （C ） 43 （D ）815．设xx x f 11)(-+=，则0lim ()x f x →的值是（A ）21 （B ）1 （C ）－21（D ）∞ 6．若数列｛a n ｝满足a n ＋1＝1－1na ：且1a ＝2，则2006a ＝ （A ）1 （B ）－21 （C ）32 （D ）217．若n －m 表示[m ，n ]（m <n ）的区间长度。
【高三数学试题精选】2018届武汉市高三四月调研测试数学试卷(理)及答案
2018届武汉市高三四月调研测试数学试卷(理)及答案
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武汉市1几何证明选讲）
如图，P为圆外一点，由P引圆的切线PA与圆切于A点，引圆的割线PB与圆交于c点．已知AB⊥Ac，PA＝2，Pc＝1，则圆的面积为．
16．（选修4-4坐标系与参数方程）
在极坐标系下，已知直线l的方程为ρcs(θ－π3)＝12，则点（1，π2）到直线l的距离为．
三、解答题本大题共6小题，共75分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△ABc中，角A、B、c的对边分别为a、b、c，已知B＝60°．（Ⅰ）若cs(B＋c)＝－1114，求csc的值；
（Ⅱ）若a＝5，→Ac →cB＝5，求△ABc的面积．
18．（本小题满分12分）
在等差数列{an}中，满足3a5＝5a8，Sn是数列{an}的前n项和．（Ⅰ）若a1＞0，当Sn取得最大值时，求n的值；
（Ⅱ）若a1＝－46，记bn＝Sn－ann，求bn的最小值．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABcD中，PD⊥底面ABcD，底面ABcD为平行四边形，∠ADB＝90°，AB＝2AD．
（Ⅰ）证明PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A-PB-c的余弦值．
PB-c为钝角，
因此二面角A-PB-c的余弦值是－。
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武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数52i -的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i -+ C ．2i -- D ．2i -2.已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1} B ．{1,1}- C ．{1,0} D ．{1,1,0}-3.执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ ）A ．[4,2]-B ．[2,2]-C ．[2,4]-D ．[4,0]-4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）A ．．5.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ） A ．25 B ．310 C ．15 D ．1106.若实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（ ）A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >> 7.已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个交点，则k 的取值范围为（ ）A ．(0,2 B ．[1,2C ．(22-D ．(1,)2 8.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：2b ca +≤，条件q ：2B CA +≤，那么条件p 是条件q 成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.在61(1)x x+-的展开式中，含5x 项的系数为（ ） A ．6 B ．6- C ．24 D ．24- 10.若x ，y 满足1212x y -++≤，则2222M x y x =+-的最小值为（ ） A ．2- B ．211 C ．4 D ．49- 11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2,4]ππB ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12.过点(2,1)P -作抛物线24x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则PEF ∆与OAB ∆的面积之比为（ ）A ．12 D ．34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα= ．14.已知向量a ，b ，c 满足20a b c ++=，且1a =，3b =，2c =，则22a b a c b c ⋅+⋅+⋅= ．15.已知(,)22x ππ∈-，()1y f x =-为奇函数，'()()tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为 ．16.在四面体ABCD 中，1AD DB AC CB ====，则四面体体积最大时，它的外接球半径R = ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知正数数列{}n a 满足：12a =，11212n n n n n a a a a ---+=+-(2)n ≥.（1）求2a ，3a ；（2）设数列{}n b 满足22(1)n n b a n =--，证明：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项n a .18.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别在棱AB ，CD 上，且1AE CF==.（1）已知M 为棱1DD 上一点，且11D M =，求证：1B M ⊥平面11A EC . （2）求直线1FC 与平面11A EC 所成角的正弦值.19.已知椭圆Γ：22142x y +=，过点(1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线1l ，2l ，设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点，2l 与椭圆Γ交于C ，D 两点.（1）若(1,1)P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程； （2）记AB CDλ=，求λ的取值范围.20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =14.31=；②2(,)zN μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.21.已知函数()(ln )xf x xe a x x =-+，a R ∈. （1）当a e =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）.（1）写出l 和C 的普通方程；（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()22f x ax x =--+.（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12：CC 二、填空题 13.25 14. 13- 15. (0,)2π三、解答题17.（1）由已知212132a a a a +=+-，而12a =，∴2222232(2)a a -=+-，即222230a a --=. 而20a >，则23a =. 又由323252a a a a +=+-，23a =，∴233952(3)a a -=+-，即233280a a --=. 而30a >，则34a =. ∴23a =，34a =.（2）由已知条件可知：22112()21n n n n a a a a n ---=-+-，∴22221(1)(1)(1)n n a a n n ----=--， 则22221(1)(1)(1)n n a n a n ---=---223(1)2a =⋅⋅⋅=-- 222(1)1a =-- 0=，而22(1)n n b a n =--，∴0n b =，数列{}n b 为等差数列. ∴22(1)n a n -=.而0n a >，故1n a n =+.18.解：（1）过M 作1MT AA ⊥于点T ，连1B T ，则11AT =. 易证：111AA E A BT ∆≅∆，于是111AA E A BT ∠=∠. 由111190A BT ATB ∠+∠=，知11190AA E ATB ∠+∠=， ∴11A E BT ⊥.显然MT ⊥面11AA B B ，而1A E ⊂面11AA B B ， ∴1MT A E ⊥，又1BT MT T =，∴1A E ⊥面MTB ，∴11A E MB ⊥. 连11B D ，则1111B D AC ⊥. 又111D M AC ⊥，1111B D D M D =，∴11AC ⊥面11MD B ， ∴111AC MB ⊥.由11A E MB ⊥，111AC MB ⊥，1111A E AC A =，∴1B M ⊥面11A EC .（2）在11D C 上取一点N ，使11ND =，连接EF . 易知1//A E FN .∴1111A EFC N EFC E NFC V V V ---==11113(23)33332NFC S ∆=⋅⨯=⨯⨯⨯=.对于11A EC ∆，11AC =，1A E而1EC =由余弦定理可知11cos EAC ∠==.∴11A EC ∆的面积11111sin 2S A C A E EA C =⋅∠12=⨯=由等体积法可知F 到平面11A EC 之距离h 满足111113A EC A EFC S h V ∆-⋅=，则133h =，∴h =，又1FC 1FC 与平面1AEC 所成角为θ，∴sin 95θ===. 19.解：（1）设直线AB 的斜率为tan k α=，方程为1(1)y k x -=-，代入2224x y +=中， ∴222[(1)]40x kx k +---=.∴222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +--+--=.判别式222[4(1)]4(21)[2(1)4]k k k k ∆=--+--28(321)k k =++. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221224(1)212(1)421k k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩. ∵AB 中点为(1,1)，∴12212(1)()1221k k x x k -+==+，则12k =. ∴直线的AB 方程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=.（2）由（1）知12AB x =-==. 设直线的CD 方程为1(1)(0)y k x k -=--≠.同理可得CD =∴0)ABk CD λ==≠. ∴2241312kk kλ=++-41132k k=++-. 令13t k k =+， 则4()12g t t =+-，(,[23,)t ∈-∞-+∞.()g t 在(,-∞-，)+∞分别单调递减，∴2()1gt <或1()2g t<≤. 故221λ≤<或212λ<≤.即6(1,λ+∈. 20.解：（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分.（2）依题意z 服从正态分布2(,)N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布22(,)(70.5,14.31)N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=， ∴10.6826(84.81)0.15872P z -≥==. ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人. （3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=. 而(4,0.8413)B ξ，∴444(3)1(4)10.8413P P C ξξ≤=-==-⋅10.5010.499=-=.21.解：（1）定义域为：(0,)+∞，当a e =时，(1)()'()x x xe e f x x+-=.∴()f x 在(0,1)时为减函数；在(1,)+∞时为增函数.（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单增，且t R ∈. ∴()(ln )x f x xe a x x =-+()t e at g t =-=.∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()t g t e at =-在t R ∈上有两个零点. ①在0a =时，()t g t e =在R 上单增，且()0g t >，故()g t 无零点； ②在0a <时，'()t g t e a =-在R 上单增，又(0)10g =>，11()10a g e a=-<，故()g t 在R 上只有一个零点； ③在0a >时，由'()0t g t e a =-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的一个极小值(ln )(1ln )g a a a =-.若0a e <<，(1ln )0g a a =->最小，()g t 无零点； 若a e =，0g =最小，()g t 只有一个零点；若a e >时，(1ln )0g a a =-<最小，而(0)10g =>， 由于ln ()x f x x=在x e >时为减函数，可知：a e >时，2a e e a a >>. 从而2()0a g a e a =->，∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点.综上讨论可知：a e >时()f x 有两个零点，即所求a 的取值范围是(,)e +∞. 22.解：（1）由l ：cos sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=. ∴l 的方程为2100x y +-=.由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=.（2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，则d=05cos()10ϕϕ=--. 其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 当0ϕϕ=时，d此时093sin 3cos 5ϕϕ==，0082sin 2cos 5ϕϕ==，98(,)55M . 23.解：（1）在2a =时，2221x x --+≤.在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤，∴15x ≤≤；在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x 无解；在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤. 综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤. （2）∵224x ax +--≤恒成立， 而22(1)x ax a x +--≤+， 或22(1)4x ax a x +--≤-+， 故只需(1)4a x +≤恒成立，或(1)44a x -+≤恒成立，∴1a =-或1a =.∴a 的取值为1或1-.。