2008-2009年第二学期高数(较高要求层次)B卷答案
2008-2009年第二学期高数(经管类)B卷答案
中国矿业大学徐海学院2008－2009学年第二学期《高等数学(经管)》试卷（B ）卷 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷班级： 姓名： 学号：一、 填空题（本题共15分，每小题3分）1、已知三向量)0,2,1(),3,1,1(),1,3,2(c b a --，则c b a⋅⨯)(= 22、(,)(0,0)limx y →= 1/43、已知223z x xy y =++，则(1,2)dz = 8dx +7dy4、曲面221z x y =+-在点（2，1，4）处的切平面方程为 4x+2y-z-6=05、级数nnn 1)1(1∑∞=- 条件收敛 （选填“条件收敛”，“发散”，“绝对收敛”） 二、选择题（每小题3分，共计15分）1.函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，下面说法正确的是____________. AA .处处连续B .处处有极限，但不连续C .仅在（0,0）点连续D .除（0,0）点外处处连续2. 曲线x t y t z t ===,,42在点(,,)4816处的法平面方程为_____________. BA .x y z --=-8132B .x y z ++=8140C .1248=+-z y xD .x y z +-=81163. 已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）AA .x e x 2sin -B .)2cos 2(sin x x e x -C .)2sin 2(cos x x e x -D .x e x 2sin4. 若区域D 为222x y x +≤，则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为__________. DA. 2cos 22(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰;B.2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰;C. 2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰;D.2cos 322(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰.5、幂级数2(2)!(!)nn n x n ∞=∑的收敛半径为（ ）C A .1； B .2；C .1/4；D .1/2。
2009-2010学年第二学期高等数学B试卷(E卷答案)
2008 — 2009学年第二学期《高等数学B 》期末试题（A ）答案及评分标准一、单选题(每题3分，共15分)CCDDD二、填空(每题3分，共18分)1．3222．''2'20y y y -+= 3．1 4.ln 2 5．23cos 4()d f d πϕπϕρρρ⎰⎰6． (4,6)三、解答题(每题8分，共40分)1.求解微分方程3"2'3cos xy y y ex --=+的通解解：先求齐次化方程 03'2"=--y y y则特征方程为 0322=--r r ---- ------------------------ (2分) 得特征根 1,321-==r r ，于是齐次化微分方程的通解为x x e C e C y -+=231------------------------（4分）分别求得非齐次项 xe 3属x m e x P λ)(型）（3,0==λm ，由于3=λ是特征方程0322=--r r 的单根，所以设特解为3x*1bxe =y代人解得 41=b ， 即特解 3x41*1xe =y -----------------（6分） 类似对于非齐次项x cos 属)sin B cos (x x A e x ωωλ+型)0,1,1,0(====B A ωλ，由于0=λ不是特征方程0322=--r r 的特征根，所以可设特解为x c x a y sin cos *2+=，代入解得10151,-=-=c a ，即特解为xx y sin cos 10151*2--= 故原方程的通解为xx e C e C y x x sin cos xe 10151x 341231--++=-------------(8分) 2. 求函数(sin ,cos ,)x yz f x y e +=的二阶偏导数2zx y∂∂∂，其中函数f 具有二阶连续的偏导数解：''13cos x y zxf e f x +∂=+∂ -------------------------------------------------------------（4分） 2"""22"'121332333cos sin cos sin x y x y x y x y z x yf xe f e yf e f e f x y++++∂=-+-++∂∂ --------------------------------------（8分） 3. 计算二重积分22(1())Dy xf x y dxdy ++⎰⎰,其中D 是由曲线2y x =与1y =所围成的闭区域.解：积分区域 D 如图令22(,)()g x y xf x y =+，因为D 是关于y 轴对称且(,)(,)g x y g x y -=-，所以22()0Dxf x y dxdy +=⎰⎰-------------------------（3分）从而2112214(1())5xDDy xf x y dxdy ydxdy dx ydy -++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------（8分） 4. 求原点到曲面22()1x y z --=的最短距离.解：设曲面22()1x y z --=上任一点为(,,)x y z ，则根据两点距离公式 222l x y z =++，要求 l 最小，等价要求2l 最小.--------------(2分)记 2222S l x y z ==++，根据拉格郎日乘数法令22222(,,,)(()1)G x y z x y z x y z λλ=+++------------------(3分)()()()()2222()0122()022203()104Gx x y x G y x y yG z z z G x y z λλλλ∂⎧=+-=-------⎪∂⎪∂⎪=--=-------⎪∂⎪⎨∂⎪=-=--------⎪∂⎪∂⎪=---=-------⎪∂⎩-------------------------（4分） 由(3)可得 1λ=或0z =,若1λ=,代入(1),(2)可得4242x y y x =⎧⎨=⎩,易得00x y =⎧⎨=⎩结合(4)可知矛盾,故舍去.------------(6分) 从而取0z =,以及由(1),(2)可得1xy=-,代入(4)易得 12120x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,或者12120x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,结合实际情况可知这两点到原点距离最小且相等, 故2min 2l =---------------------------------------------(8分)5. 判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散.解：由于1111sin()sin cos cos sin (1)sin ln ln ln ln n n n n n n n nπππ+=+=-----（2分） 当3n ≥时,易得1sin 0ln n>且单调递减趋于零,根据莱布尼茨判别法 可得 2211sin (1)sin ln ln nn n n n n π∞∞=-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑∑收敛.---------------(4分)又因为11ln ln 22sin()sin nn n n n π∞∞==+=∑∑ -------------------------（6分）根据比较判别法可得(对任意0δ>)1ln 1sin limlim ln nn n n n n δδ→∞→∞==+∞,由于21(01)n n δδ∞=<<∑发散,故21sinln n n ∞-∑也发散. 综上所述, 可知级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是条件收敛.---------(8分)四（共10分）判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222263y x y x y x yx y x f 在（0，0）点连续性，并求),(),,(y x f y x f y x .解： 分别取路径 3,0x y x ==,可得,0lim 26300=+=→y x y x x y 21lim lim 66330263033=+=+=→=→x x x x y x y x xy x xy x , 可得函数),(y x f 在)0,0(不连续.-------------------------------------------(4分)2382262222330(,)()00x x y x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩93222622220(,)()00y x x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩-------------（10分）五（10分）求幂级数41141n n x n ∞+=+∑的收敛区间，并求在收敛区间内的和函数()s x . 解：收敛区间为(1,1)------------------------------------------------------------------------（3分）令：4101()41n n s x x n ∞+==+∑, 441()1n n s x x x ∞='==-∑---------------------（7分） 111()ln arctan (1,1)412x s x x x x +=+∈-------------------------------（10分）六（7分）设()f u 连续，试证：111()()x y f x y dxdy f u du -+≤+=⎰⎰⎰证11111011()()()xxxx x y f x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy +-----+≤+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰——（3分）令x y u +=，012111121()()xx dx f u du dx f u du +--+⎰⎰⎰⎰=11121112()()u u f u du dx f u du +---=⎰⎰⎰-----------------（7分）。
08-09(2)二级学院高数参考答案
二级学院高等数学Ⅱ（参考答案及评分标准）2009. 7. 1 一、填空题（每空3分，共15分）1、函数)ln(),(y x y x f +=的定义域为 {(x , y ) | x +y > 0} .2、函数xy x z +=2在点(1, 1)处的梯度为 (3, 1) .3、过原点且与平面0123=-+-z y x 平行的平面方程为 3x -2y +z =0 .4、设)(x f 是以π2为周期的周期函数，它在),(ππ-上表达式为1)(+=x x f ，)(x s 为)(x f 的Fourier 级数的和函数，则=)0(s 1 ，=)(πs 1 .二、选择题（每题3分，共15分）1、 二元函数),(y x f 在),(00y x 处的两个偏导数),(y x f x '，),(y x f y '连续，是),(y x f 在),(00y x 处可微的（ B ）A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2、下列等式中不正确的是（ D ） A.⎰⎰⎰⎰≥≤++≤++=011222222222y y x y x y x y x d e d e σσ B.⎰⎰⎰⎰≤+≤+=112222cos cos y x y x yd x xd y σσC.012322=⎰⎰≤+y x d x y σ D.⎰⎰⎰⎰≥≤++≤++=01122222y y x y x y x yx d e d e σσ3、曲线t x =，2t y =，3t z =在1=t 处的切线为（ C ）A. 111-=-=-z y xB. 321-=-=-z y xC. 312111-=-=-z y x D. 321zy x ==√√4、幂级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛域是（ A ）A. ]1,1(-B. )1,1[-C. ]1,1[-D. )1,1(-5、级数∑∞=11n pn收敛，则（ B ）A. 1≥pB. 1>pC. 1≤pD. 1<p三、计算题（第1小题8分，其它每小题9分，共62分）1、已知y e v y e u uv z x x sin ,cos ,===，求yz x z ∂∂∂∂,. 解：y ue y ve xv v z x u u z x z x x sin cos +=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ ……………………………..……………..….. 4分 y ue y ve yv v z y u u z y z x x cos sin +-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ …………………………………..………….. 4分2、求通过点)2,3,1(-且与平面13=+z x 和25=-z y 平行的直线方程.解：（法一）平面13=+z x 和25=-z y 的法向量分别为)3,0,1(1=n ，)5,1,0(2-=n………… 4分 则所求直线方向向量)1,5,3()5,1,0()3,0,1(21-=-⨯=⨯=n n n……………………... 7分从而所求直线方程为125331-=+=--z y x ………………………………………….... 9分 （法二）设所求直线方向向量为),,(c b a n =平面13=+z x 和25=-z y 的法向量分别为)3,0,1(1=n ，)5,1,0(2-=n………… 4分 则1n n ⊥及2n n ⊥，于是得031=+=⋅c a n n 及052=-=⋅c b n n从而c a 3-=且c b 5=)1,5,3(-=⇒c n………………………….…………………… 7分 因此所求直线方程为125331-=+=--z y x ……………………………….…………... 9分3、计算⎰⎰+Ddxdy y x )(2，其中D 是由直线x y =，x y -=及1=y 围成的闭区域. 解：（法一）积分区域D 关于y 轴对称，从而=+⎰⎰D dxdy y x )(2⎰⎰=122D dxdy y ………….….... 3分 ⎰⎰=10122x dy y dx ……………..… 6分⎰-=103)1(312dx x ………….…. 8分 21=………………………….…. 9分 （法二）⎰⎰⎰⎰-+=+122)()(dx y x dy dxdy yx yyD……...…. 6分⎰=132dy y 21=…………….… 9分 4、计算三重积分⎰⎰⎰ΩdV z 2，其中Ω是由曲面22y xz +=及平面1=z 所围成的闭区域.解：（法一）⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω=102222zy x dxdy z dz dV z ………….. 5分⎰⋅=12dz z z π4π=……….….. 9分（法二）⎰⎰⎰⎰⎰⎰+≤+Ω=12122222yx y x dz z dxdy dV z …….... 5分⎰⎰≤++-=132222])(1[31y x dxdy y x 4)1(3120106πθπ=-=⎰⎰rdr r d …………….….. 9分 5、求曲线积分⎰+-Lxdy ydx ，其中L 是抛物线2y x =上从点)0,0(到点)1,1(的一段弧.解：（法一）⎰⎰+⋅-=+-12]2)[(dy y y y xdy ydx L…...... 6分3112-=-=⎰dy y ……….….. 9分（法二）添加直线AB ：)01:(1→=y x 及B0：)01:(0→=x y ，则⎰⎰⎰⎰⎰+--+---=+-≤≤≥y y x Lxdy ydx xdy ydx dxdy xdy ydx 1022…………..…. 6分3102011012-=---=⎰⎰⎰dy dx dyy ………….……………………..... 9分1 xyD 1 11yzAOxyB6、求曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是曲面221y x z +-=(0≥z )的上侧. 解：（法一）添加平面)1(0221≤+=∑y x z ：，取下侧⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ⎰⎰⎰⎰⎰∑+-≤≤++-=122103zdxdy ydzdx xdydz dxdydz y x z ……… 5分0311222-=⎰⎰⎰-≤+）（z y x dxdy dz………. 7分ππ=-=⎰12)1(3dz z ………….. 9分（法二）⎰⎰⎰⎰≤+∑+-++⋅++⋅=++122222222)1(y x dxdy y x y x y y y x x x zdxdy ydzdx xdydz ….. 6分⎰⎰≤+=122y x dxdy π=………………..…………………………………. 9分7、将函数321)(2--=x x x f 展开成x 的幂级数.解：)1131(41)1(31)(+--=+-=x x x x x f ）（)(1141311121x x --⋅--⋅-=………………………………………………………………..…… 4分 ∑∑∞=∞=----=00)(41)3(121n nn n x x （1||1|3|<-<-x x 且）……………………….………….. 8分∑∞=+--=01)311(4)1(n n n n x （1||<x ）……………………………………………….…………. 9分四、（8分）求点)2,8(到抛物线24x y =的距离.解：设点(8, 2) 到抛物线上任一点(x , y )的距离为d ，则所求问题等价于22224..)2()8(min xy t s y x d =-+-=………………………………………………………………...…… 2分令)4()2()8(222y x y x L -+-+-=λ…………………………………………………..….…….. 4分则 ⎪⎩⎪⎨⎧==--==+-=2404)2(202)8(2xy y L x x L y x λλ ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⇒4444y x y x 或……………...………………………… 6分 148)4,4(=-d ，20)4,4(=d ，从而所求距离为148)4,4(=-d …………….………...………. 8分y。
2008-2009第二学期线性代数试卷及标答(B卷)
12n n n b b b ；12312⎛⎫ ⎪，2⎛武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、2A E +；2、1；3、4；4、3；5、 0.二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、C3、A4、D 5 、B三、解答题（每小题7分，共35分）1、 2212111nn nn i i n b b a b b D a b b a b =+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦+∑ ………………………………………………………（3分） 11n i iaa b a =⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑ ………………………………………………………………（6分）11n n i i a b a -=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑…………………………………………………………………………………（7分） 2、 因为()123240,312402231024A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………………（2分） 553100444333010444131001222r r ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪−−→−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………………………………………………（6分）所以 X=55313334262-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（7分） 3、 因 22|3|3||T AA A =29||A = ……………………………………………………（5分）2229()a b =+。
……………………………………………………（7分）4、设10,T X α= 即123220x x x ++= ……………………………………… （2分）解得基础解系12221,001ηη--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
……………………………………… （4分）Schmidt 正交化12,ηη，得到222132222252[,]41,[,]501ηααηαηααα⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭即为所求。
08-09-2工科本高数 B答案
------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容试卷类型：B 试卷形式：闭卷 满分：100 分 考试时间：110 分钟 考试科目：高等数学（二） 专业：08级工科本 班级：一、填空题 （每空 2分，共 10 分）1. 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 处可微且0),(,0),(00/00/==y x f y x f y x ,该条件是 ),(y x f 在),(00y x 处取得极值的 _____________条件。
必要2..设D 为矩形区域：a x ≤≤0，b y ≤≤0，则⎰⎰σDd y x f ),(的累次积分为_________________。
⎰⎰abdx y x f dy 0),(3．.如果xoy 平面上的简单闭曲线L 所围区域的面积为S ，那么用曲线积分表示该面积就是S ＝____________________。
⎰-L ydx xdy 214．设)(x f 具有任意阶导数，则)(x f 的麦克劳林级数为________________。
∑∞=0)(!)0(n n n x n f 5. 微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数个数为（ ） 3二、单项选择题 （每空 2分，共 10 分）1．点()3,2,1M 到平面23160x y z -+-=的距离是( B )2． 函数222311z x y =+-在点（1，2）处全微分dz = ( C )(A) 16dx (B) 16dy (C) 4dx +12dy (D) 163．如果Ω是由平面63260x y z ++-=及三个坐标面围成的空间闭区域，(),,f x y z 在Ω上连续，则(),,f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰( B )(A) ()321 2 33 0 0,,xx y dx dy f x y z dz ---⎰⎰⎰(B) ()123311 22 0 0,,z x z dz dx f x yz dy ---⎰⎰⎰(C) ()11231 32 1,,yy z dy dz f x y z dx ---⎰⎰⎰(D) ()1113231 2 1 0,,z y z dz dy f x y z dx ---⎰⎰⎰4. 设1lim2n n na a +→∞=，则级数210n n n a x ∞+=∑的收敛半径R 为( D ) (A) 2R = (B) 21=R (C) R = (D) R =5.以下级数中，收敛的是( D ) (A) 1n ∞=1511n n ∞=∑ (C) 0.511n n ∞=∑ (D) 115n n ∞=∑分）1. 求过点()1,1,1-且通过z 轴的平面方程。
2008-2009学年(第二学期)高数试题B
第 1 页 共 2 页2008-2009学年第二学期 期末考试试卷(B)一、填空题（每小题3分，共15分） 1、函数321lg-+-=x x y 的定义域为 ； 2、=+∞→x x x)11(lim ;3、计算()'x = ;4、设 u = u (x )，v = v (x ) 均可导，则d (uv ) = ;5、⎰-dx x211= .二、选择题（每小题3分，共15分）1、函数x y cos =与x y arcsin =都是 ( )A ．有界函数B ．周期函数C ．奇函数D ．单调函数 2、复合函数 y=sin 2x 复合结构为（ ）A y=sin 2 u ， u=xB y=u 2， u=sin xC y=sin u ， u=x 2D y=sin u ，u=v 2，v=x 3、已知函数y=sinx ，则dy =( )A cosx d xB cos xC sin xD sinx d x4、若 xdx x f d 2)]([=，则 )(x f 为（ ）A xB 2xC x 2D x 2+C ，(C 为常数) 5、计算dx x ⎰α=（ ），其中α≠－1A 11++ααxB 11++ααx +C C (α+1)x α+1 D (α+1)x α+1+C 三、解答题（共60分）1、计算.112lim 2231+++→x x x x2、计算.21lim 231-+-→x x x x3、计算)].25)(13[(lim 2+-∞→xx x4、计算.357243lim 233-++-∞→x x x x x第 2 页 共 2 页5、设',4sin cos 2sin y 3y x x x 求π++=6、已知函数．求xx d dy ,tan ln y =7、设．求y ,165y 23'''-+-=x x x8、求函数x x sin e y =的微分dy9、求()dx e x x ⎰-+12410、求曲线3y x =在x =2处的切线方程和法线方程．四、（10分）讨论函数 y = | x | 在 x = 0 处的连续性与可导性.。
2008年专升本(高等数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2008年专升本（高等数学二）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．A．B．C．D．正确答案：C解析：2．A．B．C．D．正确答案：C解析：3．A．B．C．D．正确答案：A解析：4．A．B．C．D．正确答案：B解析：5．A．B．C．D．正确答案：D解析：6．A．B．C．D．正确答案：A解析：7．A．B．C．D．正确答案：C解析：8．A．B．C．D．正确答案：B解析：9．A．B．C．D．正确答案：A解析：10．A．B．C．D．正确答案：D解析：填空题11．正确答案：解析：12．正确答案：解析：13．正确答案：cosx-xsinx解析：14．正确答案：20x3解析：15．正确答案：解析：16．正确答案：解析：17．正确答案：x3+x解析：18．正确答案：解析：19．正确答案：x2+y2≤1解析：20．正确答案：解析：解答题21．正确答案：22．正确答案：23．正确答案：24．正确答案：25．正确答案：26．正确答案：27．正确答案：28．正确答案：。
吉林大学 2008-2009高数BII试题答案
吉林大学2008~2009学年第二学期《高等数学B Ⅱ》试卷参考答案（注：可根据实际情况对评分标准进行调整）一、单项选择题：1． 2．d x y . 3．1a <． 4．32． 5．8π． 6．12． 三、按要求解答下列各题1．求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程．解：设222239F x y z =++-，则4,6,2x y z F x F y F z '''=== ………2分于是椭球面222239x y z ++=上过点(,,)x y z 的切平面的法线向量{}2,3,n k x y z =平面23210x y z -++=的法向量{}12,3,2n =- ，且1//n n所以112,,x y z k k k==-= …………….4分 又点(,,)x y z 在椭球面上，代入得切点为(1,1,2),(1,1,2)---……………6分 从而所求切平面方程为2329x y z -+=± …………………………………8分2．设函数2(,)x z y f x y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求zx ∂∂和2z x y∂∂∂.解：121z f f x y∂''=+∂ ………………………………………………………4分 2212222231z x xf f f x y y y y∂'''''=---∂∂ ………………………………………8分 3．计算二重积分2222I [sin()e ]d d ,yDx x y x x y -=++⎰⎰其中D 是以(0,0)，(1,1)，(1,1)-为顶点的三角形闭区域．解：222222I sin()d d e d d 0e d d y yDDDx x y x y x x y x x y --=++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ …4分 22122012I e d d d e d 13e y y y y Dx x y y x x ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ……………………….8分4．将d e 1,0d ()1,02x x x x f x x ⎧⎛⎫-≠⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪=⎪⎩展开成x 的幂级数，并求数项级数1(1)!n nn ∞=+∑的和．解：22111e 1112!12!3!xx x x x xx +++--==+++ ……………..4分所以d e 1d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2123,(,)2!3!4!x x x +++∈-∞+∞ ………………..6分 1121d e 1e e 11(1)!d x x x x x n n x n x x x ∞===⎛-⎫-+=== ⎪+⎝⎭∑ ……………..……….8分5．计算曲面积分()333I c o s c o s c o s d xy z S αβγ∑=++⎰⎰ ，其中∑是球面2221x y z ++=，,,αβγ是∑在点(,,)x y z 处的外向法线的方向角.解法1：直接利用高斯公式222I 3()d x y z v Ω=++⎰⎰⎰ ………………………………………4分2403d d sin d ar r ππθϕϕ=⎰⎰⎰ ………………………….………6分512.5a π=…………………………………………8分 解法2：利用对面积的曲面积分的计算球面上任一点(,,)x y z 的外法线通过原点，故有{},,n x y z =….2分{}cos ,cos ,cos ,,n x y z a a a n αβγ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭………………………..4分4441I ()d x y z S a ∑=++⎰⎰ 512.5a π= ……………………………8分 6. 求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域，并求其和函数.解：1lim1nn n a R a →∞+==，当1x =±时，发散，收敛域为(1,1)- ………..4分 和函数()0(21)2nnn n n n S x n xnx x ∞∞∞====+=+∑∑∑21,(1,1)(1)xx x +=∈-- …………………………………….8分 7. 求微分方程2e xy y y x '''++=的通解.解：特征方程为2210r r ++=，121r r ==- …………………………..2分对应的齐次方程的通解为12()e xy C C x -=+ ……………………………4分 因为1不是特征根，设特解的形式为*()e xy ax b =+ 代入原方程得*111,,(1)e 444x a b y x ==-=- ………………….6分 所求通解为121()e (1)e 4xx y C C x x -=++- ……………………8分 8. （1）确定函数()f x ，使曲线积分()(),0,0e (1)()d ()d 1x y x nn x f x y x f x y x ⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦⎰与路径无关；（2）如果(0)0f =，计算此曲线积分.解：（1）(1)()()1x n P Q ne xf x f x y x n ∂∂'=⇒++=∂∂+ ………………………..2分 解此一阶线性非齐次方程得()(1)(e )nxf x x C =++ ………………………4分 （2）(0)0f =⇒()(1)(e 1)nxf x x =+- ………………………………………6分 所求曲线积分(1)(e 1)nxx y =+- ………………………………….8分。
2008年专升本高数二考试真题及参考答案
2008年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案
一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
第1题
参考答案：C
第2题
参考答案：C
第3题
参考答案：A
第4题
参考答案：B
第5题
参考答案：D 第6题
参考答案：A 第7题
参考答案：C 第8题
参考答案：B 第9题
参考答案：A 第10题
参考答案：D
二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。
第11题
参考答案：1
第12题
参考答案：2
第13题
参考答案：cos x-xsin x
第14题
参考答案：20x3
第15题
参考答案：(1,1/3) 第16题
参考答案：
第17题
参考答案：x3+ x 第18题
参考答案：2
第19题
参考答案：x2+y2≤1第20题
参考答案：
三、解答题：共70分。
解答应写出推理、演算步骤。
第21题
第22题
第23题
第24题
第25题
第26题
第27题
第28题。
2008至2009年江苏专转本高数真题附答案
2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，下列函数中必为奇函数的是 （ ） A 、)(x f y -= B 、)(43x f x y = C 、)(x f y --= D 、)()(x f x f y -+=2、设函数)(x f 可导，则下列式子中正确的是（ ） A 、)0()()0(lim'0f xx f f x -=-→B 、)()()2(lim0'00x f xx f x x f x =-+→C 、)()()(lim 0'000x f xx x f x x f x =∆∆--∆+→∆D、)(2)()(lim 0'000x f xx x f x x f x =∆∆+-∆-→∆3、设函数)(x f ⎰=122sin xdtt t ，则)('x f 等于（ ） A 、x x 2sin 42B 、x x 2sin 82C 、x x 2sin 42-D 、x x 2sin 82-4、设向量)3,2,1(=→a ，)4,2,3(=→b ，则→→⨯b a 等于 （ ）A 、（2，5，4）B 、（2，－5，－4）C 、（2，5，－4）D 、（－2，－5，4） 5、函数xyz ln=在点（2，2）处的全微分dz 为 （ ）A 、dy dx 2121+-B 、dy dx 2121+ C 、dy dx 2121- D 、dy dx 2121-- 6、微分方程123'''=++y y y 的通解为（ ）A 、1221++=--x x e c e c yB 、21221++=--x xe c ec y C 、1221++=-x x e c e c yD 、21221++=-xxec e c y 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数)1(1)(2--=x x x x f ，则其第一类间断点为 .8、设函数{=)(x f ,0,3tan ,0,<≥+x xxx x a 在点0=x 处连续，则a ＝ . 9、已知曲线543223++-=x x x y ，则其拐点为 . 10、设函数)(x f 的导数为x cos ，且21)0(=f ，则不定积分⎰dx x f )(＝ . 11、定积分dx x x⎰-++1121sin 2的值为 .12、幂函数∑∞=⋅12n nnn x 的收敛域为 . 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限：xx xx 3)2(lim -∞→ 14、设函数)(x y y =由参数方程Z n n t t y t t x ∈≠⎩⎨⎧-=-=,2,cos 1,sin π所决定，求22,dx yd dx dy15、求不定积分：⎰+dx x x 13. 16、求定积分：⎰1dx e x .17、设平面π经过点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，5），求经过点P （1，2，1）且与平面π垂直的直线方程.18、设函数),(x y y x f z +=，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求yx z ∂∂∂2.19、计算二重积分⎰⎰Ddxdy x 2，其中D 是由曲线xy 1=，直线2,==x x y 及0=y 所围成的平面区域.20、求微分方程2'2x y xy +=的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、求曲线)0(1>=x xy 的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值.22、设平面图形由曲线2x y =，22x y =与直线1=x 所围成.（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、设函数)(x f 在闭区间[]a 2,0)0(>a 上连续，且)()2()0(a f a f f ≠=，证明：在开区间),0(a 上至少存在一点ξ，使得)()(a f f +=ξξ.24、对任意实数x ，证明不等式：1)1(≤-x e x .2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、已知32l i m 22=-++→x b ax x x ，则常数b a ,的取值分别为（ ）A 、2,1-=-=b aB 、0,2=-=b aC 、0,1=-=b aD 、1,2-=-=b a2、已知函数423)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的 A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、震荡间断点3、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,1s i n 0,0)(x x x x x f α在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为（ ） A 、10<<αB 、10≤<αC 、1>αD 、1≥α4、曲线2)1(12-+=x x y 的渐近线的条数为（ ） A 、1B 、2C 、3D 、45、设)13l n ()(+=xx F 是函数)(x f 的一个原函数，则=+⎰dx x f )12('（ ） A 、C x ++461B 、C x ++463C 、C x ++8121D 、C x ++81236、设α为非零常数，则数项级数∑∞=+12n nn α（ ） A 、条件收敛 B 、绝对收敛 C 、发散 D 、敛散性与α有关二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7、已知2)(lim =-∞→xx Cx x ，则常数=C . 8、设函数dt te x x t ⎰=20)(ϕ，则)('x ϕ＝ .9、已知向量)1,0,1(-=→a ，)1,2,1(-=→b ，则→→+b a 与→a 的夹角为 .10、设函数),(y x z z =由方程12=+yz xz 所确定，则xz∂∂＝ . 11、若幂函数)0(12>∑∞=a x na nn n 的收敛半径为21，则常数=a .12、微分方程0)2()1(2=--+xdy y ydx x 的通解为 .三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限：xx x x sin lim 30-→14、设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-+=+=32)1ln(2t t y t x 所确定，，求22,dx yd dx dy .15、求不定积分：⎰+dx x 12sin .16、求定积分：⎰-10222dx xx .17、求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程.18、计算二重积分⎰⎰Dyd σ，其中}2,2,20),{(22≥+≤≤≤≤=y x y x x y x D .19、设函数),(sin xy x f z =，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2.20、求微分方程x y y =-''的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、已知函数13)(3+-=x x x f ，试求： （1）函数)(x f 的单调区间与极值； （2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；（3）函数)(x f 在闭区间]3,2[-上的最大值与最小值.22、设1D 是由抛物线22x y =和直线0,==y a x 所围成的平面区域，2D 是由抛物线22x y =和直线2,==x a x 及0=y 所围成的平面区域，其中20<<a .试求：（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V . （2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、已知函数⎩⎨⎧≥+<=-0,10,)(x x x e x f x ，证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导.24、证明：当21<<x 时，32ln 42-+>x x x x .2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B2、A3、D4、C5、A6、B7、08、39、（2，17） 10、c x x ++-21cos 11、π 12、[]2,2- 13、6233)21(lim )21(lim )2(lim ⋅∞→∞→∞→-=-=-xx x x x x xx x x ，令2x y -=，那么 6631)11(lim )2(lim ey x x y x x x =+=-⋅-∞→∞→.14、.sin )(cos )(cos 1)(sin )(t t x t t y t t x t t y ==-==‘’‘’’‘，，，[].)cos 1(1)()()()()(cos 1sin )()(2322t t x t x t y t x t y dx y d t t t x t y dx dy --=-=-==‘’‘，，，，，’，15、⎰⎰⎰⎰++-+-=++-++=+C x dx x x dx x x d dx x x dx x x 1ln )1(1)1(111233 .1ln 2323C x x x x ++-+-= 16、⎰⎰⎰⎰⎰-==⋅==1121121211212112211)(222)(212121212121dx e ex de e dx x ex d e dx ex x x x x x＝.22222222101212121=+-=-=-⎰e e ee dx ee x x17、由题意得：，，，－)032(=→AB )5,0,2(-=→AC ，那么法向量为 ).6,10,15(032250225003=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⨯=→，－－，－AC AB n 18、.221，‘f x y f x z -=∂∂)1(212221212112‘’‘’，，，，－＋f x f xy f f y x z +=∂∂∂ ''223''212'22''12''1111f xy f x y f x f x f --+－＝ 19、⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=1211222xx Ddy x dx dy x dx dxdy x ⎰⎰=+=+=+=121212104347234124x x xdx dx x 20、积分因子为.1)(2ln 22xeex xdx x==⎰=--μ 化简原方程22x y xy +=，为.2x x y dx dy =- 在方程两边同乘以积分因子21x ，得到.1232x xy dx x dy =- 化简得：.1)(2xdx y x d =- 等式两边积分得到通解⎰⎰=-.1)(2dx xdx y x d 故通解为C x x x y 22ln +=21、令y x y x F -=1),(，那么x 和y 的偏导分别为20001),(x y x F x -=，.1),(00-=y x F y 所以过曲线上任一点),(00y x 的切线方程为：.01020=-+-y y x x x 当X ＝0时，y 轴上的截距为001y x y +=. 当y ＝o 时，x 轴上的截距为.0020x y x x +=令002000001),(x y x y x y x F +++=，那么即是求),(00y x F 的最小值. 而4)1(211),(00000000≥+=+++=x x x x x x y x F ，故当100==y x 时，取到最小值4. 22、（1）⎰==-=1015445353)4(πππx dx x x V . （2）由题意得到等式：⎰⎰-=-122022)2()2(aadx x x dx x x化简得：⎰⎰=aa dx x dx x 0122.解出a ，得到：213=a ，故.2131=a 23、令)()()(x f a x f x g -+=，那么)()2()(a f a f a g -=，).0()()0(f a f g -= 由于0)0()(<g a g ，并且)(x g 在[]a ，0上连续.故存在)0(a ，∈ξ，使得0)(=ξg ，即)()(a f f +=ξξ.24、将xe 用泰勒公式展开得到：⋅⋅⋅+++=2!21!111x x e x代入不等式左边：131211)!21!111)(1()1(322≤⋅⋅⋅---=⋅⋅⋅+++-=-x x x x x e x x2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A2、B3、C4、B5、D6、C7、2ln8、xxe 249、3π 10、yxz z +-22 11、2 12、C y y x x +-=+ln 221ln 213、6cos 13lim sin lim2030=-=-→→xx x x x x x ，. 14、dt t dy dt tdx )22(,11+=+=，2)1(211)22(+=++=t dt tdt t dx dy ， 222)1(411)1(4+=++==t dt tdt t dx dx dyddx y d .15、令21,122-==+t x t x ，dt t t t t td tdt t dx x ⎰⎰⎰⎰+-=-=⋅=+cos cos cos sin 12sinC x x x C t t t +++++-=++-=12sin 12cos 12sin cos16、令θsin 2=x ，当0,0==θx ；当4,1πθ==x .21404)2sin 21()2cos 1(cos 2cos 2sin 224421022-=-=-==-⎰⎰⎰ππθθθθθθθθππd d dx x x17、已知直线的方向向量为)1,2,3(0=s ，平面的法向量为)1,1,1(0=n .由题意，所求平面的法向量可取为)1,2,1(111123)1,1,1()1,2,3(00-==⨯=⨯=kj in s n .又显然点)2,1,0(在所求平面上，故所求平面方程为0)2(1)1)(2()1(1=-+--+-z y x ，即02=+-z y x . 18、⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-===242cos 222242)sin 22csc 8(31sin sin ππθππθθθρρθθθρθρσd d d d d yd DD242)cos 22cot 8(31=+-=ππθθ19、y f x f x z ⋅+⋅=∂∂'2'1cos ；''22''12'22cos xyf f x x f yx z +⋅+=∂∂∂20、积分因子为.1)(2ln 22xe e x x dx x ==⎰=--μ 化简原方程22x y xy +=，为.2x xy dx dy =- 在方程两边同乘以积分因子21x ，得到.1232x x y dx x dy =- 化简得：.1)(2xdx y x d =- 等式两边积分得到通解⎰⎰=-.1)(2dx xdx y x d 故通解为C x x x y 22ln +=21、（1）函数)(x f 的定义域为R ，33)(2'-=x x f ，令0)('=x f 得1±=x ，函数)(x f 的单调增区间为),1[,]1,(∞+--∞，单调减区间为]1,1[-，极大值为3)1(=-f ，极小值为1)1(-=f .（2）x x f 6)(''=，令0)(''=x f ，得0=x ，曲线)(x f y =在]0,(-∞上是凸的，在),0[∞+上是凹的，点)1,0(为拐点.（3）由于3)1(=-f ，1)1(-=f ，19)3(=f ，故函数)(x f 在闭区间]3,2[-上的最大值为19)3(=f ，最小值为1)2()1(-=-=f f .22、（1）420222122a dy x a a V a πππ=-⋅=⎰. )32(54)2(52222a dy x V a -==⎰ππ. （2）).8(322.32232223021a dx x A a dx x A a a-====⎰⎰由21A A =得34=a . 23、证（1）因为1lim )(lim 00==-→→--x x x e x f ，1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ，且1)0(=f ，所以函数)(x f 在0=x 处连续。
2008级《高等数学》(11)期末试题B4new.
2008-2009 学年第二学期《高等数学》(Ⅱ) 期末考试试卷 (B)
3. 设线性无关函数 y1, y2 , y3都是二阶非齐次线性微 分方程 y′′ + p(x) y′ + q(x) y = f (x)的解, C1, C2是任 意常数,则该非齐次方程的通解是( C )
（A） C1y1 + C2 y2 + y3
∫= 2 (x3 − x)dx 1
=9 4
四、(本题 10 分)
------------------------------------------------------------5 分
(1) 设 z = f (2x − y) + g(x, xy),其中f (t)二阶可导, g(u,v)具有二阶偏导数,求 ∂2 z ∂x∂y
(B) C1 y1 + C2 y2 − (C1 + C2 ) y3
(C) C1 y1 + C2 y2 + (1 − C1 − C2 ) y3
(D) C1 y1 + C2 y2 − (1 − C1 − C2 ) y3
4. 设D是xoy平面上以（1，1），（− 1，1）和（− 1，− 1）为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则
----------------------------------------------------1 分
= 1 −1 x − 2 x −1
=
−1 2
⋅
1
1 −
x
+1 1− x
2
∑ ∑ = − 1 ⋅ ∞ ⎜⎛ x ⎟⎞n + ∞ xn 2 n=0 ⎝ 2 ⎠ n=0
--------------------------------------------------------3 分
2008-2009年第二学期高数(较高要求层次)B卷汇总
中国矿业大学徐海学院2008－2009学年第二学期《高等数学》试卷（B）卷（较高要求层次）考试时间：120分钟考试方式：闭卷班级：姓名：学号：题号一二三四总分合分人题分15 15 46 24 100得分一、选择题（每小题3分，共计15分）1.函数，下面说法正确的是____________..处处连续.处处有极限，但不连续.仅在（0,0）点连续.除（0,0）点外处处连续2. 曲线在点处的法平面方程为_____________.....3. 已知曲线经过原点，且在原点处的切线与直线平行，而满足微分方程，则曲线的方程为____________.....4. 若区域D为，则二重积分化成累次积分为__________.A. ;B. ;C. ;D. .5、设 , 则____________..收敛；.发散；.不一定；.绝对收敛。
二、填空题（每小题3分，共计15分）1．设，则=____________2．设，交换积分次序后，3. 曲线在对应于点处的切线方程是____________4. 若区域为, 则__________5.设函数由方程所确定，则= ____________三、计算题（共46分）1.（6分）设具有一阶连续偏导数，求2. （8分）判别下列级数的敛散性.3. （8分）计算,其中曲线是半径为的圆在第一象限部分.4. （8分）计算二重积分，其中D为直线与抛物线所围成的区域。
5. （8分）计算二重积分其中6.（8分）求微分方程的通解.四、综合题（共24分）1.（12分）在第一卦限内作椭球面的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.2.（12分）设为连续函数且，其中D：所围闭区域，证明：。
2009(2)高等数学B2试卷参考答案
2009(2)高等数学B2试卷参考答案D装订线（A ）绝对收敛。
（B ）条件收敛。
（C ）发散。
（D ）收敛性不能确定。
3．二元函数()()()()22,,0,0(,)0,0,0xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点()0,0处 （C ）（A ）连续，偏导数存在。
（B ）连续，偏导数不存在。
（C ）不连续，偏导数存在。
（D ）不连续，偏导数不存在。
4. 设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，{(,)01,D x y x y =≤≤≤≤，则以下结论正确的是（ A ）。
（A ） ()()0Df yg x d σ=⎰⎰。
（B ） ()()0Df xg y d σ=⎰⎰ 。
（C ）()()0D f y g x d σ+=⎰⎰。
（A ）()()0Df xg y d σ+=⎰⎰。
5. 微分方程cos 1y y x ''+=+的一个特解应具有形式（A,B,C 是待定常数）（ B ）。
（A ）cos y A x C *=+。
（B ）(cos sin )y x A x B x C *=++。
（C ）(cos sin )y A x B x C *=++。
（D ）sin y B x C *=+。
三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）（1）设1()()z f x y x xy yϕ=++，其中f 和ϕ具有连续导数，求2z x y ∂∂∂。
【解】1()()()z f x y xy xy xy x yϕϕ∂''=+++∂22211()()2()()z f x y f x y x xy x y xy x y y yϕϕ∂''''''=-+++++∂∂（2）求由方程22ln()0xz xyz xyz -+=所确定的函数(,)z z x y =的全微分。
【解】方程两边求微分得111222220xdz zdx yzdx zxdy xydz dx dy dz x y z+---+++=整理得11222(21)11(221)2222zx yz z z z xyz y x dz dx dy dx dy x y xz xyz x xy x xy z z ----=+=-+-+-+-+（3）交换积分次序111422104d (,)d d (,)d yyy f x y x y f x y x +⎰⎰⎰。
2008-2009(2)BD
则得到 的傅立叶级数展开式为
得分
评卷人
四、证明题（共6分，每小题6分）
1.讨论函数 连续性；偏导数存在性；可微性。
证明： 为初等函数,故连续
又 由夹逼准则得 故函数在全平面连续
易知 故偏导数都存在。
又因此,函数在点(0,0)不可微.
得分
评卷人
四、应用题（共8分，每小题8分）
1.求表面积为 而体积为最大的长方体的体积。
(A) (B) (C) (D)
4.球面 与柱面 所围成的立体体积V=（B）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D） 。
5.设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数 在D上具有一阶连续偏导数，则 =（D）
（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。
6.极限 是级数 收敛的（A）；
（A）必要条件；(B)充分条件；(C)充要条件；(D)上述都不对。
得分
评卷人
三、计算题（共56分，每小题8分）
1.求过直线 且与平面 夹成 角的平面方程
解：过直线L的平面方程 其法向量为
已知平面的法向量为 选择 使 得 从而得所求平面方程
2.设
解：
3.计算三重积分
解：
4.计算 其中L为上半圆周 从O(0, 0)到A(4, 0).
解：添加辅助线段 它与L所围区域为D ,则原式
得分
评卷人
二、选择题（共18分，每小题3分）
1.求以下两直线的夹角 ; 为：（A）
(A) (B) (C) (D)
2..二元函数 在点 处连续，且两个偏导数 都存在，是 在该点可微的（B）。
充分条件，但非必要条件 必要条件，但非充分条件
充分必要条件 即非充分条件，也非必要条件
2008-2009-7高数试题
数 ) ， 试 证 : 曲 面 F ( x, y , z ) = 0 上 任 意 一 点 的 切 平 面 相 交 于 一 定 点 ( 设 在 任 意 点 处
Fx2 + Fy2 + Fz2 ≠ 0 ).
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四 、 (8 分 ) 设 曲 线 积 分
∫ [e
B A
x
+ f ( x) ydx − f ( x)dy 与 路 径 无 关 ， 且
(A) 当 x < 8 时收敛； (C) 当 x >
(B) 当 x < 2 时收敛； (D) 当 x >
1 时发散； 8
2 2
1 时发散. 2
4. 设 Ω 是由球面 x + y + z = a 所围成的闭区域，则
2 2
∫∫∫ x
Ω
2
+ y 2 + z 2 dv = [
].
(A)
4 5 πa ； 5
(B) 4π a ；
直线 L: ⎨
]
六、(8 分) 3．(10 分)平面通过球面 x2 + y2 +z2 = 4(x − 2y − 2z)的中心, 且垂直于
…………○…………密…………○…………封…………○………线……………………………
学
院
f (0) =
1 ，求 f ( x) ，并求当 A，B 分别为（0，0） ， （1，1）时的曲线积分值. 2
4
(C)
4 5 πa ； 3
(D)
2 5 πa . 5
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…………○…………密…………○…………封…………○………线………………………
4. 计算二重积分 2. 设 z = f (e siny, x + y ), 其中 f 具有二阶连续偏导数，求
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中国矿业大学徐海学院2008－2009学年第二学期 《高等数学》试卷（B ）卷（较高要求层次） 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷班级： 姓名： 学号：一、选择题（每小题3分，共计15分）1.函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，下面说法正确的是____________.AA .处处连续B .处处有极限，但不连续C .仅在（0,0）点连续D .除（0,0）点外处处连续2. 曲线x t y t z t ===,,42在点(,,)4816处的法平面方程为_____________. BA .x y z --=-8132B .x y z ++=8140C .1248=+-z y xD .x y z +-=81163. 已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y，则曲线的方程为=y _____________.AA .x e x 2sin -B .)2cos 2(sin x x e x -C .)2sin 2(cos x x e x -D .x e x 2sin4. 若区域D 为222x y x +≤，则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为__________. DA.2cos 202(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰;B.2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰;C. 2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰;D.2cos 3202(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰.5、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n n u _____________.CA .收敛；B .发散；C .不一定；D .绝对收敛。
二、填空题（每小题3分，共计15分）1．设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01=____________ .12．设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
（⎰⎰⎰⎰+202/4222/),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ）3. 曲线x e y t z t t ===22,ln ,在对应于t =2点处的切线方程是____________.x eey z +=+-=442122124ln4. 若区域D 为20,2y x x ≤≤≤, 则2Dxy dxdy =⎰⎰__________.0 5.设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy = ____________.2112xyz xy -- 三、计算题（共46分）1.（6分）设z f x u v u x y v xy f ==+=(,,),,,2具有一阶连续偏导数，求∂∂∂∂z x z y, ()1232zf f yf x∂'''=++∂……………….（3） ()23zf xf y∂''=+∂……………….（3） 2. 判别下列级数的敛散性.1211(1) (2)(1)(1)!n n n n n ∞∞==+-∑∑解（1）()2341ln ln ln ln123(ln 2ln1)(ln 3ln 2)ln(1)ln ....................ln(1)(..................n n S nn n n n +=++++=-+-+++-=+→∞→∞ （2分））（2分）所以级数发散。
（2）由比值审敛法111!0(..................1(1)!n nu n n u n n +==→→∞-）（4分）所以级数收敛。
3. （8分）计算⎰ABxdy ,其中曲线AB 是半径为r 的圆在第一象限部分.解 引入辅助曲线L , BO AB OA L ++=，……………….（2） 应用格林公式, x Q P ==,0 有⎰⎰⎰=-LDxdy dxdy ,⎰⎰⎰++=BOABOAxdy xdy xdy (3),0,0==⎰⎰BO OAxdy xdy 由于 .412r d x d y x d y DAB π-=-=∴⎰⎰⎰ ……………….（3） 4. （8分）计算二重积分⎰⎰=Dyd x I σ2，其中D 为直线x y =与抛物线2x y =所围成的区域。
解 x y =与2x y =的两个交点是（0，0），（1，1），画出区域D 的图形，区域D 可表示成x y x x ≤≤≤≤2,10， (3)因而⎰⎰⎰==10102222221dx y x ydy x dx I x x x x ……………….（3） 351)7151(21)(2110751064=-=-=⎰x x dx x x ……………….（2） D5. （8分）计算二重积分22d d ,xy De x y --⎰⎰其中222:.D x y a +≤解: 在极坐标系下，0:,02r aD θπ≤≤⎧⎨≤≤⎩故………………（1分） 2d d ...................r De r r θ-=⎰⎰原式（2分）222200d d ...................12.........................2(1)....................ar ar a re r e eπθππ---=-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰（2分）（2分）（1分）6.求微分方程1'''2+=+x y y 的通解.解. 特征方程为 02=+λλ, 1021-==λλ，……………….（2） 齐次方程通解为 21c e c y x +=-非齐次方程特解为 )(*2C Bx Ax x y ++= (1)代入原方程解得3131=-==C B A ，，. (2)所以 x x x y 331*23+-= (2)非齐次方程通解为 *y y y +=21c e c x +=-x x x 33123+-+ (1)四、综合题（共24分）1.（12分）在第一卦限内作椭球面2222221x y z a b c++=的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积. 解：设000(,,)P x y z 为椭, 令222222(,,)1x y z F x y z a b c=++-,则022|x P x F a '=，022|y P y F b '=，022|z P z F c'=………………（2分） 过000(,,)P x y z 的切平面方程为002()x x x a -+002()y y y b -+002()0z z z c-= 化简为 0002221x x y y z z a b c⋅⋅⋅++=……（2分） 该切平面在三个轴上的截距各为 20a x x =，20b y y =，2c z z =,所围四面体的体积 222000166a b cV xyz x y z==…（2分）在条件2220002221x y z a b c++=下求V 的最小值,令 000ln ln ln ,u x y z =++000(,,)G x y z 000ln ln ln x y z =+++222000222(1)x y z a b cλ++-,…（2分）由0002220002220,0,010x y z G G G x y y ab c '''===⎧⎪⎨++-=⎪⎩, 0202002022200022221021021010x x a y y b z z c x y z a b c λλλ⎧+=⎪⎪⎪+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪⎪++-=⎪⎩0x =，0y =，0z =…（3分）当切点坐标为)时,四面体的体积最小min 2V =.…………（1分） 2.（12分）设(),f x y 为连续函数且()(),,Df x y xy f u v d σ=+⎰⎰， 其中D ：20,,1y y x x ===所围闭区域，证明：()1,8Df x y dxdy =⎰⎰ 解：(1)画出积分区域D (3)(2) 二重积分是一个确定常数(,)Df x y dxdy A =⎰⎰f xy A =+故有（x,y ）……………….（4） (3)A ＝21()()x Dxy A d dx xy A dy σσ+=+⎰⎰⎰⎰＝22212x x Dy x dx A ydx σ⋅+⎰⎰⎰＝5311123123x x Adx A +=+⎰⎰移项 得 A ＝18 故()1,8Df x y dxdy =⎰⎰ (5)。