2008-2009年第二学期高数(较高要求层次)B卷答案
2008-2009年第二学期高数(经管类)B卷答案
中国矿业大学徐海学院2008－2009学年第二学期《高等数学(经管)》试卷（B ）卷 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷班级： 姓名： 学号：一、 填空题（本题共15分，每小题3分）1、已知三向量)0,2,1(),3,1,1(),1,3,2(c b a --，则c b a⋅⨯)(= 22、(,)(0,0)limx y →= 1/43、已知223z x xy y =++，则(1,2)dz = 8dx +7dy4、曲面221z x y =+-在点（2，1，4）处的切平面方程为 4x+2y-z-6=05、级数nnn 1)1(1∑∞=- 条件收敛 （选填“条件收敛”，“发散”，“绝对收敛”） 二、选择题（每小题3分，共计15分）1.函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，下面说法正确的是____________. AA .处处连续B .处处有极限，但不连续C .仅在（0,0）点连续D .除（0,0）点外处处连续2. 曲线x t y t z t ===,,42在点(,,)4816处的法平面方程为_____________. BA .x y z --=-8132B .x y z ++=8140C .1248=+-z y xD .x y z +-=81163. 已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）AA .x e x 2sin -B .)2cos 2(sin x x e x -C .)2sin 2(cos x x e x -D .x e x 2sin4. 若区域D 为222x y x +≤，则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为__________. DA. 2cos 22(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰;B.2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰;C. 2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰;D.2cos 322(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰.5、幂级数2(2)!(!)nn n x n ∞=∑的收敛半径为（ ）C A .1； B .2；C .1/4；D .1/2。
2009-2010学年第二学期高等数学B试卷(E卷答案)
2008 — 2009学年第二学期《高等数学B 》期末试题（A ）答案及评分标准一、单选题(每题3分，共15分)CCDDD二、填空(每题3分，共18分)1．3222．''2'20y y y -+= 3．1 4.ln 2 5．23cos 4()d f d πϕπϕρρρ⎰⎰6． (4,6)三、解答题(每题8分，共40分)1.求解微分方程3"2'3cos xy y y ex --=+的通解解：先求齐次化方程 03'2"=--y y y则特征方程为 0322=--r r ---- ------------------------ (2分) 得特征根 1,321-==r r ，于是齐次化微分方程的通解为x x e C e C y -+=231------------------------（4分）分别求得非齐次项 xe 3属x m e x P λ)(型）（3,0==λm ，由于3=λ是特征方程0322=--r r 的单根，所以设特解为3x*1bxe =y代人解得 41=b ， 即特解 3x41*1xe =y -----------------（6分） 类似对于非齐次项x cos 属)sin B cos (x x A e x ωωλ+型)0,1,1,0(====B A ωλ，由于0=λ不是特征方程0322=--r r 的特征根，所以可设特解为x c x a y sin cos *2+=，代入解得10151,-=-=c a ，即特解为xx y sin cos 10151*2--= 故原方程的通解为xx e C e C y x x sin cos xe 10151x 341231--++=-------------(8分) 2. 求函数(sin ,cos ,)x yz f x y e +=的二阶偏导数2zx y∂∂∂，其中函数f 具有二阶连续的偏导数解：''13cos x y zxf e f x +∂=+∂ -------------------------------------------------------------（4分） 2"""22"'121332333cos sin cos sin x y x y x y x y z x yf xe f e yf e f e f x y++++∂=-+-++∂∂ --------------------------------------（8分） 3. 计算二重积分22(1())Dy xf x y dxdy ++⎰⎰,其中D 是由曲线2y x =与1y =所围成的闭区域.解：积分区域 D 如图令22(,)()g x y xf x y =+，因为D 是关于y 轴对称且(,)(,)g x y g x y -=-，所以22()0Dxf x y dxdy +=⎰⎰-------------------------（3分）从而2112214(1())5xDDy xf x y dxdy ydxdy dx ydy -++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------（8分） 4. 求原点到曲面22()1x y z --=的最短距离.解：设曲面22()1x y z --=上任一点为(,,)x y z ，则根据两点距离公式 222l x y z =++，要求 l 最小，等价要求2l 最小.--------------(2分)记 2222S l x y z ==++，根据拉格郎日乘数法令22222(,,,)(()1)G x y z x y z x y z λλ=+++------------------(3分)()()()()2222()0122()022203()104Gx x y x G y x y yG z z z G x y z λλλλ∂⎧=+-=-------⎪∂⎪∂⎪=--=-------⎪∂⎪⎨∂⎪=-=--------⎪∂⎪∂⎪=---=-------⎪∂⎩-------------------------（4分） 由(3)可得 1λ=或0z =,若1λ=,代入(1),(2)可得4242x y y x =⎧⎨=⎩,易得00x y =⎧⎨=⎩结合(4)可知矛盾,故舍去.------------(6分) 从而取0z =,以及由(1),(2)可得1xy=-,代入(4)易得 12120x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,或者12120x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,结合实际情况可知这两点到原点距离最小且相等, 故2min 2l =---------------------------------------------(8分)5. 判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散.解：由于1111sin()sin cos cos sin (1)sin ln ln ln ln n n n n n n n nπππ+=+=-----（2分） 当3n ≥时,易得1sin 0ln n>且单调递减趋于零,根据莱布尼茨判别法 可得 2211sin (1)sin ln ln nn n n n n π∞∞=-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑∑收敛.---------------(4分)又因为11ln ln 22sin()sin nn n n n π∞∞==+=∑∑ -------------------------（6分）根据比较判别法可得(对任意0δ>)1ln 1sin limlim ln nn n n n n δδ→∞→∞==+∞,由于21(01)n n δδ∞=<<∑发散,故21sinln n n ∞-∑也发散. 综上所述, 可知级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是条件收敛.---------(8分)四（共10分）判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222263y x y x y x yx y x f 在（0，0）点连续性，并求),(),,(y x f y x f y x .解： 分别取路径 3,0x y x ==,可得,0lim 26300=+=→y x y x x y 21lim lim 66330263033=+=+=→=→x x x x y x y x xy x xy x , 可得函数),(y x f 在)0,0(不连续.-------------------------------------------(4分)2382262222330(,)()00x x y x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩93222622220(,)()00y x x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩-------------（10分）五（10分）求幂级数41141n n x n ∞+=+∑的收敛区间，并求在收敛区间内的和函数()s x . 解：收敛区间为(1,1)------------------------------------------------------------------------（3分）令：4101()41n n s x x n ∞+==+∑, 441()1n n s x x x ∞='==-∑---------------------（7分） 111()ln arctan (1,1)412x s x x x x +=+∈-------------------------------（10分）六（7分）设()f u 连续，试证：111()()x y f x y dxdy f u du -+≤+=⎰⎰⎰证11111011()()()xxxx x y f x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy +-----+≤+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰——（3分）令x y u +=，012111121()()xx dx f u du dx f u du +--+⎰⎰⎰⎰=11121112()()u u f u du dx f u du +---=⎰⎰⎰-----------------（7分）。
08-09(2)二级学院高数参考答案
二级学院高等数学Ⅱ（参考答案及评分标准）2009. 7. 1 一、填空题（每空3分，共15分）1、函数)ln(),(y x y x f +=的定义域为 {(x , y ) | x +y > 0} .2、函数xy x z +=2在点(1, 1)处的梯度为 (3, 1) .3、过原点且与平面0123=-+-z y x 平行的平面方程为 3x -2y +z =0 .4、设)(x f 是以π2为周期的周期函数，它在),(ππ-上表达式为1)(+=x x f ，)(x s 为)(x f 的Fourier 级数的和函数，则=)0(s 1 ，=)(πs 1 .二、选择题（每题3分，共15分）1、 二元函数),(y x f 在),(00y x 处的两个偏导数),(y x f x '，),(y x f y '连续，是),(y x f 在),(00y x 处可微的（ B ）A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2、下列等式中不正确的是（ D ） A.⎰⎰⎰⎰≥≤++≤++=011222222222y y x y x y x y x d e d e σσ B.⎰⎰⎰⎰≤+≤+=112222cos cos y x y x yd x xd y σσC.012322=⎰⎰≤+y x d x y σ D.⎰⎰⎰⎰≥≤++≤++=01122222y y x y x y x yx d e d e σσ3、曲线t x =，2t y =，3t z =在1=t 处的切线为（ C ）A. 111-=-=-z y xB. 321-=-=-z y xC. 312111-=-=-z y x D. 321zy x ==√√4、幂级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛域是（ A ）A. ]1,1(-B. )1,1[-C. ]1,1[-D. )1,1(-5、级数∑∞=11n pn收敛，则（ B ）A. 1≥pB. 1>pC. 1≤pD. 1<p三、计算题（第1小题8分，其它每小题9分，共62分）1、已知y e v y e u uv z x x sin ,cos ,===，求yz x z ∂∂∂∂,. 解：y ue y ve xv v z x u u z x z x x sin cos +=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ ……………………………..……………..….. 4分 y ue y ve yv v z y u u z y z x x cos sin +-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ …………………………………..………….. 4分2、求通过点)2,3,1(-且与平面13=+z x 和25=-z y 平行的直线方程.解：（法一）平面13=+z x 和25=-z y 的法向量分别为)3,0,1(1=n ，)5,1,0(2-=n………… 4分 则所求直线方向向量)1,5,3()5,1,0()3,0,1(21-=-⨯=⨯=n n n……………………... 7分从而所求直线方程为125331-=+=--z y x ………………………………………….... 9分 （法二）设所求直线方向向量为),,(c b a n =平面13=+z x 和25=-z y 的法向量分别为)3,0,1(1=n ，)5,1,0(2-=n………… 4分 则1n n ⊥及2n n ⊥，于是得031=+=⋅c a n n 及052=-=⋅c b n n从而c a 3-=且c b 5=)1,5,3(-=⇒c n………………………….…………………… 7分 因此所求直线方程为125331-=+=--z y x ……………………………….…………... 9分3、计算⎰⎰+Ddxdy y x )(2，其中D 是由直线x y =，x y -=及1=y 围成的闭区域. 解：（法一）积分区域D 关于y 轴对称，从而=+⎰⎰D dxdy y x )(2⎰⎰=122D dxdy y ………….….... 3分 ⎰⎰=10122x dy y dx ……………..… 6分⎰-=103)1(312dx x ………….…. 8分 21=………………………….…. 9分 （法二）⎰⎰⎰⎰-+=+122)()(dx y x dy dxdy yx yyD……...…. 6分⎰=132dy y 21=…………….… 9分 4、计算三重积分⎰⎰⎰ΩdV z 2，其中Ω是由曲面22y xz +=及平面1=z 所围成的闭区域.解：（法一）⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω=102222zy x dxdy z dz dV z ………….. 5分⎰⋅=12dz z z π4π=……….….. 9分（法二）⎰⎰⎰⎰⎰⎰+≤+Ω=12122222yx y x dz z dxdy dV z …….... 5分⎰⎰≤++-=132222])(1[31y x dxdy y x 4)1(3120106πθπ=-=⎰⎰rdr r d …………….….. 9分 5、求曲线积分⎰+-Lxdy ydx ，其中L 是抛物线2y x =上从点)0,0(到点)1,1(的一段弧.解：（法一）⎰⎰+⋅-=+-12]2)[(dy y y y xdy ydx L…...... 6分3112-=-=⎰dy y ……….….. 9分（法二）添加直线AB ：)01:(1→=y x 及B0：)01:(0→=x y ，则⎰⎰⎰⎰⎰+--+---=+-≤≤≥y y x Lxdy ydx xdy ydx dxdy xdy ydx 1022…………..…. 6分3102011012-=---=⎰⎰⎰dy dx dyy ………….……………………..... 9分1 xyD 1 11yzAOxyB6、求曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是曲面221y x z +-=(0≥z )的上侧. 解：（法一）添加平面)1(0221≤+=∑y x z ：，取下侧⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ⎰⎰⎰⎰⎰∑+-≤≤++-=122103zdxdy ydzdx xdydz dxdydz y x z ……… 5分0311222-=⎰⎰⎰-≤+）（z y x dxdy dz………. 7分ππ=-=⎰12)1(3dz z ………….. 9分（法二）⎰⎰⎰⎰≤+∑+-++⋅++⋅=++122222222)1(y x dxdy y x y x y y y x x x zdxdy ydzdx xdydz ….. 6分⎰⎰≤+=122y x dxdy π=………………..…………………………………. 9分7、将函数321)(2--=x x x f 展开成x 的幂级数.解：)1131(41)1(31)(+--=+-=x x x x x f ）（)(1141311121x x --⋅--⋅-=………………………………………………………………..…… 4分 ∑∑∞=∞=----=00)(41)3(121n nn n x x （1||1|3|<-<-x x 且）……………………….………….. 8分∑∞=+--=01)311(4)1(n n n n x （1||<x ）……………………………………………….…………. 9分四、（8分）求点)2,8(到抛物线24x y =的距离.解：设点(8, 2) 到抛物线上任一点(x , y )的距离为d ，则所求问题等价于22224..)2()8(min xy t s y x d =-+-=………………………………………………………………...…… 2分令)4()2()8(222y x y x L -+-+-=λ…………………………………………………..….…….. 4分则 ⎪⎩⎪⎨⎧==--==+-=2404)2(202)8(2xy y L x x L y x λλ ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⇒4444y x y x 或……………...………………………… 6分 148)4,4(=-d ，20)4,4(=d ，从而所求距离为148)4,4(=-d …………….………...………. 8分y。
2008-2009第二学期线性代数试卷及标答(B卷)
12n n n b b b ；12312⎛⎫ ⎪，2⎛武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、2A E +；2、1；3、4；4、3；5、 0.二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、C3、A4、D 5 、B三、解答题（每小题7分，共35分）1、 2212111nn nn i i n b b a b b D a b b a b =+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦+∑ ………………………………………………………（3分） 11n i iaa b a =⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑ ………………………………………………………………（6分）11n n i i a b a -=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑…………………………………………………………………………………（7分） 2、 因为()123240,312402231024A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………………（2分） 553100444333010444131001222r r ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪−−→−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………………………………………………（6分）所以 X=55313334262-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（7分） 3、 因 22|3|3||T AA A =29||A = ……………………………………………………（5分）2229()a b =+。
……………………………………………………（7分）4、设10,T X α= 即123220x x x ++= ……………………………………… （2分）解得基础解系12221,001ηη--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
……………………………………… （4分）Schmidt 正交化12,ηη，得到222132222252[,]41,[,]501ηααηαηααα⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭即为所求。
08-09-2工科本高数 B答案
------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容试卷类型：B 试卷形式：闭卷 满分：100 分 考试时间：110 分钟 考试科目：高等数学（二） 专业：08级工科本 班级：一、填空题 （每空 2分，共 10 分）1. 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 处可微且0),(,0),(00/00/==y x f y x f y x ,该条件是 ),(y x f 在),(00y x 处取得极值的 _____________条件。
必要2..设D 为矩形区域：a x ≤≤0，b y ≤≤0，则⎰⎰σDd y x f ),(的累次积分为_________________。
⎰⎰abdx y x f dy 0),(3．.如果xoy 平面上的简单闭曲线L 所围区域的面积为S ，那么用曲线积分表示该面积就是S ＝____________________。
⎰-L ydx xdy 214．设)(x f 具有任意阶导数，则)(x f 的麦克劳林级数为________________。
∑∞=0)(!)0(n n n x n f 5. 微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数个数为（ ） 3二、单项选择题 （每空 2分，共 10 分）1．点()3,2,1M 到平面23160x y z -+-=的距离是( B )2． 函数222311z x y =+-在点（1，2）处全微分dz = ( C )(A) 16dx (B) 16dy (C) 4dx +12dy (D) 163．如果Ω是由平面63260x y z ++-=及三个坐标面围成的空间闭区域，(),,f x y z 在Ω上连续，则(),,f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰( B )(A) ()321 2 33 0 0,,xx y dx dy f x y z dz ---⎰⎰⎰(B) ()123311 22 0 0,,z x z dz dx f x yz dy ---⎰⎰⎰(C) ()11231 32 1,,yy z dy dz f x y z dx ---⎰⎰⎰(D) ()1113231 2 1 0,,z y z dz dy f x y z dx ---⎰⎰⎰4. 设1lim2n n na a +→∞=，则级数210n n n a x ∞+=∑的收敛半径R 为( D ) (A) 2R = (B) 21=R (C) R = (D) R =5.以下级数中，收敛的是( D ) (A) 1n ∞=1511n n ∞=∑ (C) 0.511n n ∞=∑ (D) 115n n ∞=∑分）1. 求过点()1,1,1-且通过z 轴的平面方程。
2008-2009学年(第二学期)高数试题B
第 1 页 共 2 页2008-2009学年第二学期 期末考试试卷(B)一、填空题（每小题3分，共15分） 1、函数321lg-+-=x x y 的定义域为 ； 2、=+∞→x x x)11(lim ;3、计算()'x = ;4、设 u = u (x )，v = v (x ) 均可导，则d (uv ) = ;5、⎰-dx x211= .二、选择题（每小题3分，共15分）1、函数x y cos =与x y arcsin =都是 ( )A ．有界函数B ．周期函数C ．奇函数D ．单调函数 2、复合函数 y=sin 2x 复合结构为（ ）A y=sin 2 u ， u=xB y=u 2， u=sin xC y=sin u ， u=x 2D y=sin u ，u=v 2，v=x 3、已知函数y=sinx ，则dy =( )A cosx d xB cos xC sin xD sinx d x4、若 xdx x f d 2)]([=，则 )(x f 为（ ）A xB 2xC x 2D x 2+C ，(C 为常数) 5、计算dx x ⎰α=（ ），其中α≠－1A 11++ααxB 11++ααx +C C (α+1)x α+1 D (α+1)x α+1+C 三、解答题（共60分）1、计算.112lim 2231+++→x x x x2、计算.21lim 231-+-→x x x x3、计算)].25)(13[(lim 2+-∞→xx x4、计算.357243lim 233-++-∞→x x x x x第 2 页 共 2 页5、设',4sin cos 2sin y 3y x x x 求π++=6、已知函数．求xx d dy ,tan ln y =7、设．求y ,165y 23'''-+-=x x x8、求函数x x sin e y =的微分dy9、求()dx e x x ⎰-+12410、求曲线3y x =在x =2处的切线方程和法线方程．四、（10分）讨论函数 y = | x | 在 x = 0 处的连续性与可导性.。
2008年专升本(高等数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2008年专升本（高等数学二）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．A．B．C．D．正确答案：C解析：2．A．B．C．D．正确答案：C解析：3．A．B．C．D．正确答案：A解析：4．A．B．C．D．正确答案：B解析：5．A．B．C．D．正确答案：D解析：6．A．B．C．D．正确答案：A解析：7．A．B．C．D．正确答案：C解析：8．A．B．C．D．正确答案：B解析：9．A．B．C．D．正确答案：A解析：10．A．B．C．D．正确答案：D解析：填空题11．正确答案：解析：12．正确答案：解析：13．正确答案：cosx-xsinx解析：14．正确答案：20x3解析：15．正确答案：解析：16．正确答案：解析：17．正确答案：x3+x解析：18．正确答案：解析：19．正确答案：x2+y2≤1解析：20．正确答案：解析：解答题21．正确答案：22．正确答案：23．正确答案：24．正确答案：25．正确答案：26．正确答案：27．正确答案：28．正确答案：。
吉林大学 2008-2009高数BII试题答案
吉林大学2008~2009学年第二学期《高等数学B Ⅱ》试卷参考答案（注：可根据实际情况对评分标准进行调整）一、单项选择题：1． 2．d x y . 3．1a <． 4．32． 5．8π． 6．12． 三、按要求解答下列各题1．求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程．解：设222239F x y z =++-，则4,6,2x y z F x F y F z '''=== ………2分于是椭球面222239x y z ++=上过点(,,)x y z 的切平面的法线向量{}2,3,n k x y z =平面23210x y z -++=的法向量{}12,3,2n =- ，且1//n n所以112,,x y z k k k==-= …………….4分 又点(,,)x y z 在椭球面上，代入得切点为(1,1,2),(1,1,2)---……………6分 从而所求切平面方程为2329x y z -+=± …………………………………8分2．设函数2(,)x z y f x y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求zx ∂∂和2z x y∂∂∂.解：121z f f x y∂''=+∂ ………………………………………………………4分 2212222231z x xf f f x y y y y∂'''''=---∂∂ ………………………………………8分 3．计算二重积分2222I [sin()e ]d d ,yDx x y x x y -=++⎰⎰其中D 是以(0,0)，(1,1)，(1,1)-为顶点的三角形闭区域．解：222222I sin()d d e d d 0e d d y yDDDx x y x y x x y x x y --=++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ …4分 22122012I e d d d e d 13e y y y y Dx x y y x x ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ……………………….8分4．将d e 1,0d ()1,02x x x x f x x ⎧⎛⎫-≠⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪=⎪⎩展开成x 的幂级数，并求数项级数1(1)!n nn ∞=+∑的和．解：22111e 1112!12!3!xx x x x xx +++--==+++ ……………..4分所以d e 1d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2123,(,)2!3!4!x x x +++∈-∞+∞ ………………..6分 1121d e 1e e 11(1)!d x x x x x n n x n x x x ∞===⎛-⎫-+=== ⎪+⎝⎭∑ ……………..……….8分5．计算曲面积分()333I c o s c o s c o s d xy z S αβγ∑=++⎰⎰ ，其中∑是球面2221x y z ++=，,,αβγ是∑在点(,,)x y z 处的外向法线的方向角.解法1：直接利用高斯公式222I 3()d x y z v Ω=++⎰⎰⎰ ………………………………………4分2403d d sin d ar r ππθϕϕ=⎰⎰⎰ ………………………….………6分512.5a π=…………………………………………8分 解法2：利用对面积的曲面积分的计算球面上任一点(,,)x y z 的外法线通过原点，故有{},,n x y z =….2分{}cos ,cos ,cos ,,n x y z a a a n αβγ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭………………………..4分4441I ()d x y z S a ∑=++⎰⎰ 512.5a π= ……………………………8分 6. 求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域，并求其和函数.解：1lim1nn n a R a →∞+==，当1x =±时，发散，收敛域为(1,1)- ………..4分 和函数()0(21)2nnn n n n S x n xnx x ∞∞∞====+=+∑∑∑21,(1,1)(1)xx x +=∈-- …………………………………….8分 7. 求微分方程2e xy y y x '''++=的通解.解：特征方程为2210r r ++=，121r r ==- …………………………..2分对应的齐次方程的通解为12()e xy C C x -=+ ……………………………4分 因为1不是特征根，设特解的形式为*()e xy ax b =+ 代入原方程得*111,,(1)e 444x a b y x ==-=- ………………….6分 所求通解为121()e (1)e 4xx y C C x x -=++- ……………………8分 8. （1）确定函数()f x ，使曲线积分()(),0,0e (1)()d ()d 1x y x nn x f x y x f x y x ⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦⎰与路径无关；（2）如果(0)0f =，计算此曲线积分.解：（1）(1)()()1x n P Q ne xf x f x y x n ∂∂'=⇒++=∂∂+ ………………………..2分 解此一阶线性非齐次方程得()(1)(e )nxf x x C =++ ………………………4分 （2）(0)0f =⇒()(1)(e 1)nxf x x =+- ………………………………………6分 所求曲线积分(1)(e 1)nxx y =+- ………………………………….8分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中国矿业大学徐海学院2008－2009学年第二学期 《高等数学》试卷（B ）卷（较高要求层次） 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷班级： 姓名： 学号：一、选择题（每小题3分，共计15分）1.函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，下面说法正确的是____________.AA .处处连续B .处处有极限，但不连续C .仅在（0,0）点连续D .除（0,0）点外处处连续2. 曲线x t y t z t ===,,42在点(,,)4816处的法平面方程为_____________. BA .x y z --=-8132B .x y z ++=8140C .1248=+-z y xD .x y z +-=81163. 已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y，则曲线的方程为=y _____________.AA .x e x 2sin -B .)2cos 2(sin x x e x -C .)2sin 2(cos x x e x -D .x e x 2sin4. 若区域D 为222x y x +≤，则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为__________. DA.2cos 202(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰;B.2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰;C. 2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰;D.2cos 3202(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰.5、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n n u _____________.CA .收敛；B .发散；C .不一定；D .绝对收敛。
二、填空题（每小题3分，共计15分）1．设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01=____________ .12．设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
（⎰⎰⎰⎰+202/4222/),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ）3. 曲线x e y t z t t ===22,ln ,在对应于t =2点处的切线方程是____________.x eey z +=+-=442122124ln4. 若区域D 为20,2y x x ≤≤≤, 则2Dxy dxdy =⎰⎰__________.0 5.设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy = ____________.2112xyz xy -- 三、计算题（共46分）1.（6分）设z f x u v u x y v xy f ==+=(,,),,,2具有一阶连续偏导数，求∂∂∂∂z x z y, ()1232zf f yf x∂'''=++∂……………….（3） ()23zf xf y∂''=+∂……………….（3） 2. 判别下列级数的敛散性.1211(1) (2)(1)(1)!n n n n n ∞∞==+-∑∑解（1）()2341ln ln ln ln123(ln 2ln1)(ln 3ln 2)ln(1)ln ....................ln(1)(..................n n S nn n n n +=++++=-+-+++-=+→∞→∞ （2分））（2分）所以级数发散。
（2）由比值审敛法111!0(..................1(1)!n nu n n u n n +==→→∞-）（4分）所以级数收敛。
3. （8分）计算⎰ABxdy ,其中曲线AB 是半径为r 的圆在第一象限部分.解 引入辅助曲线L , BO AB OA L ++=，……………….（2） 应用格林公式, x Q P ==,0 有⎰⎰⎰=-LDxdy dxdy ,⎰⎰⎰++=BOABOAxdy xdy xdy (3),0,0==⎰⎰BO OAxdy xdy 由于 .412r d x d y x d y DAB π-=-=∴⎰⎰⎰ ……………….（3） 4. （8分）计算二重积分⎰⎰=Dyd x I σ2，其中D 为直线x y =与抛物线2x y =所围成的区域。
解 x y =与2x y =的两个交点是（0，0），（1，1），画出区域D 的图形，区域D 可表示成x y x x ≤≤≤≤2,10， (3)因而⎰⎰⎰==10102222221dx y x ydy x dx I x x x x ……………….（3） 351)7151(21)(2110751064=-=-=⎰x x dx x x ……………….（2） D5. （8分）计算二重积分22d d ,xy De x y --⎰⎰其中222:.D x y a +≤解: 在极坐标系下，0:,02r aD θπ≤≤⎧⎨≤≤⎩故………………（1分） 2d d ...................r De r r θ-=⎰⎰原式（2分）222200d d ...................12.........................2(1)....................ar ar a re r e eπθππ---=-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰（2分）（2分）（1分）6.求微分方程1'''2+=+x y y 的通解.解. 特征方程为 02=+λλ, 1021-==λλ，……………….（2） 齐次方程通解为 21c e c y x +=-非齐次方程特解为 )(*2C Bx Ax x y ++= (1)代入原方程解得3131=-==C B A ，，. (2)所以 x x x y 331*23+-= (2)非齐次方程通解为 *y y y +=21c e c x +=-x x x 33123+-+ (1)四、综合题（共24分）1.（12分）在第一卦限内作椭球面2222221x y z a b c++=的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积. 解：设000(,,)P x y z 为椭, 令222222(,,)1x y z F x y z a b c=++-,则022|x P x F a '=，022|y P y F b '=，022|z P z F c'=………………（2分） 过000(,,)P x y z 的切平面方程为002()x x x a -+002()y y y b -+002()0z z z c-= 化简为 0002221x x y y z z a b c⋅⋅⋅++=……（2分） 该切平面在三个轴上的截距各为 20a x x =，20b y y =，2c z z =,所围四面体的体积 222000166a b cV xyz x y z==…（2分）在条件2220002221x y z a b c++=下求V 的最小值,令 000ln ln ln ,u x y z =++000(,,)G x y z 000ln ln ln x y z =+++222000222(1)x y z a b cλ++-,…（2分）由0002220002220,0,010x y z G G G x y y ab c '''===⎧⎪⎨++-=⎪⎩, 0202002022200022221021021010x x a y y b z z c x y z a b c λλλ⎧+=⎪⎪⎪+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪⎪++-=⎪⎩0x =，0y =，0z =…（3分）当切点坐标为)时,四面体的体积最小min 2V =.…………（1分） 2.（12分）设(),f x y 为连续函数且()(),,Df x y xy f u v d σ=+⎰⎰， 其中D ：20,,1y y x x ===所围闭区域，证明：()1,8Df x y dxdy =⎰⎰ 解：(1)画出积分区域D (3)(2) 二重积分是一个确定常数(,)Df x y dxdy A =⎰⎰f xy A =+故有（x,y ）……………….（4） (3)A ＝21()()x Dxy A d dx xy A dy σσ+=+⎰⎰⎰⎰＝22212x x Dy x dx A ydx σ⋅+⎰⎰⎰＝5311123123x x Adx A +=+⎰⎰移项 得 A ＝18 故()1,8Df x y dxdy =⎰⎰ (5)。