2008-2009年第二学期高数(较高要求层次)B卷答案

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拉格朗日中值定理与高考数学.doc

拉格朗日中值定理与高考数学

[1]

拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件：

（ i ） f 在闭区间 [ a, b] 上连续；

（ ii ） f 在开区间 (a,b) 内可导；

则在 a,b 内至少存在一点

，使得 f

f b

f a b

1、证明

f x f x a 成立（其中 x

0 ）

a 或

[2]

例：（ 2007年高考全国卷 I 第 20题）

设函数 f

e x e x .

（Ⅰ）证明：

f x 的导数 f ' x

2 ；

（Ⅱ）证明：若对所有 x 0 ，都有 f x

ax ，则 a 的取值范围是 (

, 2] .

（Ⅰ）略 .

（Ⅱ）证明：（ i ）当 x

0 时，对任意的 a ，都有 f

x ax

(ii) 当 x

0时，问题即转化为 e x e x

对所有 x

0 恒成立 .

令 G x

e x

f x f 0

，由拉格朗日中值定理知

0,x 内至少存在一点

（从

x 0

而

0），使得 f

f x

f 0

，即 G

f '

，由于

f ''

e e

e 0 e 0 0

，故 f ' 在 0,x 上是增函数，让 x 0 得

min

f '

e e

f ' 0

2 ，所以 a 的取值范围是 (

, 2] .

评注：第 (2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法

.即令 g

x f x ax ，再分

a 2 和 a 2 两种情况讨论 .其中， a 2

又要去解方程 g ' x 0 .但这有两个缺点：首

先，为什么 a 的取值范围要以

2 为分界展开 .其次，方程 g ' x

0 求解较为麻烦 .但用拉格

朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦

二、证明 g a

2008年高考全国二卷理科数学题及其答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2数学）

理科数学(必修+选修Ⅱ)

第Ⅰ卷

一、选择题

1．设集合{|32}M m m =∈-<

B ．{}101-，，

C ．{}012，，

D ．{}1012-，，，

2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3

()a bi +是实数，则（） A ．2

3b a = B ．22

3a b =

C ．22

9b a =

D ．22

9a b =

3．函数1

()f x x x

-的图像关于（） A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称 C ．坐标原点对称 D ．直线x y =对称

4．若1

(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，

，，，则（） A ．a

B ．c

C ． b

D ． b

5．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪

+⎨⎪-⎩

，

，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（）

A ．2-

B ．4-

C ．6-

D ．8-

6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（） A ．

929

B ．

1029

C ．

1929

D ．

2029

．64(1(1的展开式中x 的系数是（）

A ．4-

B ．3-

C ．3

D ．4

8．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（） A ．1

D ．2

9．设1a >，则双曲线22

1(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（） A

2009—数二真题、标准答案及解析

⎛1 1 0⎞ ⎟ ( B) . ⎜ ⎜1 2 0⎟ ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠
⎛2 0 0⎞ ⎟ (C ) . ⎜ ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠
⎛1 0 0⎞ ⎟ ( D) . ⎜ ⎜0 2 0⎟ ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
1-t − u 2 ⎧ ⎪ x= ∫ e du 在（0，0）处的切线方程为（9）曲线 ⎨ 0 ⎪ y = t 2 ln(2 − t 2 ) ⎩
（10）已知
.
∫ −∞e
1
+∞
kx
dx = 1 ,则 k =
.
y
.
（11） lim
n →∞ 0
∫e
−x
sin nxdx =
∂2 y （12）设 y = y ( x) 是由方程 xy + e = x + 1 确定的隐函数，则 2 ∂x
1 1 . ( D ) a = −1, b = . 6 6
【解析】 f ( x) = x − sin ax, g ( x) = x ln(1 − bx) 为等价无穷小，则
f ( x) x − sin ax x − sin ax 1 − a cos ax a 2 sin ax lim = lim 2 = lim 2 洛 lim 洛 lim x →0 g ( x ) x → 0 x ln(1 − bx ) x → 0 x ⋅ ( −bx ) x →0 x →0 −3bx 2 −6bx

高数下试卷1+答案

海南师范大学

高等数学（A ）下册试卷B 卷

注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚 2. 所有答案请直接答在试卷上 3．考试形式：闭卷

4. 本试卷共四大题，满分100分，考试时间100分钟

一、单项选择题（本题共4小题，每小题3分，共12 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。

1. 设{1,1,2}, {2,0,1}a b =-=

，则向量a 与向量b 的夹角为（ D ）

A. 0

π C.

π D.

π 2.

y xy y x )

tan(lim

)0,2(),(→=（ B ）

A ．-2

B ．2

C ．1

D ． 0 3．设点)3,1(是曲线123++=bx ax y 的拐点,则b a ,的值为( C ).

A. 3,1-==b a

B. 1,31

=-=b a

C. 3,1=-=b a

D. 1,3

-==b a

4. 若幂级数∑∞

n n n x a 在2-=x 处收敛,则该级数在1=x 处（ A ）

A ．绝对收敛

B ．条件收敛

C ．发散

D ．敛散性无法判定

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）

1.设平面π过点(1,0,1)-，且与平面4280x y z -+-=程为 4220x y z -+-= 。

2.将xOz 坐标面上的双曲线122

22=-c z a x 绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为

______12

222=+-

c z y a x ________。 3.积分⎰⎰y dx y x f dy 0

),(交换积分顺序后为 ⎰⎰1

2009—数二真题、标准答案及解析

81
=
x =0
32
.
1
β Tα =
.
研
（15）（本题满分 9 分）求极限 lim （16）（本题满分 10 分）计算不定积分 ln(1 +
工
三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
作
翔考
x →0
(1 − cos x ) [ x − ln(1 + tan x)] .
x →0
（Ⅰ）求满足 Aξ 2 = ξ1 , A
2
ξ3 = ξ1 的所有向量 ξ 2 , ξ3 ；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量 ξ 2 , ξ3 ，证明： ξ1 , ξ 2 , ξ3 线性无关. （23）（本题满分 11 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = ax1 + ax2 + ( a − 1) x3 + 2 x1 x3 − 2 x2 x3
59
( A ) 1.
( B ) 2.
( C ) 3.
( D ) 无穷多个.
梦飞翔考研工作室友情提供 QQ：81321659
1 − a cos ax 存在，蕴含了 1 − a cos ax → 0 ( x → 0 ) 故 a = 1. 排除 D . x →0 −3bx 2

2008-2009第二学期线性代数试卷及标答(B卷)

12n n n b b b ；

12312⎛⎫ ⎪，2⎛

武汉理工大学教务处

试题标准答案及评分标准用纸

课程名称:线性代数（ A 卷）

一、填空题（每小题3分，共15分）

1、2A E +；

2、1；

3、4；

4、3；

5、 0.

二、选择题（每小题3分，共15分）

1、C

2、C

3、A

4、D 5 、B

三、解答题（每小题7分，共35分）

1、 2212

111n

n n

n i i n b b a b b D a b b a b =+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦+∑ ………………………………………………………（3分） 11

n i i

a b a =⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑ ………………………………………………………………（6分）

11n n i i a b a -=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦

∑…………………………………………………………………………………（7分） 2、因为

()123240,312402231024A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

……………………………………………………………（2分） 553100444333010444131001222r r ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪−−→−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

………………………………………………（6分）

所以 X=55313334262-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭

………………………………………………………………（7分） 3、因 22|3|3||T AA A =

29||A = ……………………………………………………（5分）

2229()a b =+。 ……………………………………………………（7分）

高等数学考试题库(附答案)

《高数》试卷1〔上〕

一．选择题〔将答案代号填入括号内，每题3分，共30分〕.

1．以下各组函数中，是相同的函数的是〔〕.

〔A 〕()()2ln 2ln f x x g x x == 和〔B 〕()||f x x = 和 (

)g x =〔C 〕()f x x = 和 (

g x =

〔D 〕()||

x f x x

= 和 ()g x =1 2．函数(

)()2

0ln 10x f x x a x ≠⎪

=+⎨⎪

=⎩ 在0x =处连续，则a =〔〕.

〔A 〕0 〔B 〕1

〔C 〕1 〔D 〕2

3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为〔〕.

〔A 〕1y x =- 〔B 〕(1)y x =-+ 〔C 〕()()ln 11y x x =-- 〔D 〕y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处〔〕.

〔A 〕连续且可导〔B 〕连续且可微〔C 〕连续不可导〔D 〕不连续不可微

5．点0x =是函数4

y x =的〔〕.

〔A 〕驻点但非极值点〔B 〕拐点〔C 〕驻点且是拐点〔D 〕驻点且是极值点

6．曲线1

y x =

的渐近线情况是〔〕. 〔A 〕只有水平渐近线〔B 〕只有垂直渐近线〔C 〕既有水平渐近线又有垂直渐近线〔D 〕既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．

211

f dx x x

⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰

的结果是〔〕. 〔A 〕1f C x ⎛⎫

-+ ⎪⎝⎭

〔B 〕1f C x ⎛⎫

--+ ⎪⎝⎭

〔C 〕1f C x ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

2009-2010学年第二学期高等数学B试卷

3. 求球体 x 2 y 2 z 2 4a 2 被圆柱面 x 2 y 2 2ax (a 0) 所截得的(含在圆
柱面内的部分)立体的体积. 解由对称性，有 V 4 4a 2 x 2 y 2 dxdy ,
D
其中 D 为半圆周 y 2ax x 2 , 及 x 轴所围成的闭区域. --------------2 分在极坐标中，积分区域 D : 0 2 ,0 r 2a cos .
2 z 求 . x y
解：
z ( x, xy ) yg 2 ( x, xy ) ---4 分 2 f (2 x y ) g1 x
2 z ( x, xy) g 2 ( x, xy) xyg 21 ( x, xy) ----8 分 2 f (2 x y) xg12 xy
0
x 1
f ( x y)dy ——（3 分）
令 x y u ， dx
1
1 1
0
1 2 x
1
f (u)du dx
0
u 1 1 1
1
1
2 x 1
f (u)du
2 = f (u)du u 1 dx f (u )du -----------------（4 分） 2

4. 某厂要用铁板做成一个体积为 2m3 的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取

高数(上)B-09B(经管学院、中德学院相关专业)

2008~2009

一高等数学B （上）B 卷

数理学院彭翠英经管学院、中德学院相关专业彭翠英

（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）

一填空题：（每小题

3分，共15分）

1. 设3lim(1)x x k

e x →∞+=，则 =k .

2. 设)(x f 在点0x 处可导，则 ___________)

()(lim 000

=∆∆--→∆x

x x f x f x .

3. 已知函数sin x y x =，则y '=.

4. 若ln x 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )(.

5.定积分⎰20

3sin π

xdx .

二单项选择题：（每小题3分，共15分）

1．设函数()f x 为偶函数，且(0)f '存在，则(0)f '=（）.

A . 1

B . 0

C . 2

D . 随()f x 而定

2．当0x +→时，与x 等价的无穷小量是（）.

A .()31x x +.

B 2.sin

C x .ln(1)

D x + 3. 函数3()3f x x x =-在区间[0,2]上的最大值为（）.

A .0

B .2

C .-2

D . 1

4. 设由方程0y e xy e +-=所确定的隐函数为)(x y y =，则dy = （）.

A .y y dx x e -

+B .y y dx x e +C .y y dx x e -D .

dy x e -- 5. 3

cos (

)x d t dt dx =⎰.

A .6cos x

B .263cos x x

C .263sin x x

D .26cos x x

课程考试试题

学期学年拟题学院（系）

2008-2009学年(第二学期)高数试题B

第 1 页共 2 页

2008-2009学年第二学期期末考试试卷(B)

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、函数32

-+-=x x y 的定义域为； 2、=+∞→x x x

1(lim ;

3、计算

()'

x = ;

4、设 u = u (x )，v = v (x ) 均可导，则d (uv ) = ;

5、⎰

-dx x

= .

二、选择题（每小题3分，共15分）

1、函数x y cos =与x y arcsin =都是 ( )

A ．有界函数

B ．周期函数

C ．奇函数

D ．单调函数 2、复合函数 y=sin 2x 复合结构为（）

A y=sin 2 u ， u=x

B y=u 2， u=sin x

C y=sin u ， u=x 2

D y=sin u ，u=v 2，v=x 3、已知函数y=sinx ，则dy =( )

A cosx d x

B cos x

C sin x

D sinx d x

4、若 xdx x f d 2)]([=，则 )(x f 为（）

A x

B 2x

C x 2

D x 2+C ，(C 为常数) 5、计算dx x ⎰α=（），其中α≠－1

A 11++ααx

B 1

++ααx +C C (α+1)x α+1 D (α+1)x α+1+C 三、解答题（共60分）

1、计算.1

2lim 2231+++→x x x x

2、计算.2

lim 2

31-+-→x x x x

3、计算)].25

)(13[(lim 2+-∞→x

x x

4、计算.3

572

43lim 23

3-++-∞→x x x x x

2009考研数二真题与答案

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析

(1) 函数nx

x x f sin )(3

与)1ln()(2

bx x x g -=是等价无穷小，则（C ）

1)(A 2)(B 3)(C )(D 无穷多个

【解析】由于()3

sin x x

f x x

π-=

,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.

故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故是30x x -=的解

1,2,30,1x =±.

131

lim lim ,sin cos 132

lim

,sin cos 132

lim

sin cos x x x x x x x x x x

x x

x x x x

ππππππππππππ

→→→→→-→---==--==

--==

故可去间断点为3个,即0,1±.

(2) 当0→x 时，ax x x f sin )(-=与)1ln()(2

bx x x g -=是等价无穷小，则（A ）

1,1)(-

==b a A 6

1,1)

=b a B

1,1)

(-=-=b a C 6

1,1)

(=-=b a D

【解析】 2

()sin sin lim

lim

()

ln(1)

()

x x x f x x ax x ax g x x bx x bx →→→--==-⋅-

1cos sin lim

lim

36sin lim

66x x x a ax a ax bx

a ax a

b b

a →→→---==-

=-⋅洛洛

6a b ∴=-,故排除,B C .

2008年考研数学二真题及参考答案

一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设2

()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【】． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3．【答案】应选(D).

【详解】3

()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-．

令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D).

(2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0

()a

xf x dx '⎰

在几何上

表示【】．

(A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积．【答案】应选(C). 【详解】

()()()()a

a a

xf x dx xdf x af a f x dx ==-⎰

⎰⎰，

其中()af a 是矩形面积，0

()a

f x dx ⎰

为曲边梯形的面积，所以'

()a

xf x dx ⎰为曲边三角形ACD

的面积．故应选(C).

(3)在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x

y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通

解的是【】．

(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.

2008年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学(二)试题

2008年成人高等学校专升本招生全国统一考试

高等数学（二）

答案必须答在答题卡上的指定位置，答在试卷上无效。

一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上 1．=-+∞→4

2x x im

l x

【答案】：C

【解析】：属于极限基本题，分子，分母同除x ，即得

，选C 【点评】：曾在安通系统班及强化班高数课上，极限部分有过大量相关题型练习。 A ．4

B. 0

C. 32

D. 1

2. 已知)(x f 在1=x 处可导，且3)1(='f ，则0

(1)(1)

lim h f h f h

→+-=

A. 0

B. 1

C. 3

D. 6 【答案】：C

【解析】：考核导数定义，或用洛必达法则。选C

【点评】：在安通课上导数部分，有详细讲解导数定义及洛必达法则的应用，在串讲篇有重点强调。 3. 设函数='=y nx y 则,1 A.

x 1 B. x

- C. x ln D. x

【答案】：A

【解析】：容易题。据辅导教材51页导数公式（4）得【点评】：在安通课上导数部分，有过详细讲解。

4. 已知)(x f 在区间（∞+∞-,）内为单调减函数，且)(x f >)1(f ，则x 的取值范围是

A. (1,-∞-)

B. (1,∞-)

C. (∞+,1)

D. (∞+∞-,) 【答案】：D

【解析】：属概念题，

选 D 与)(x f >)1(f 无关

【点评】：在函数部分，有过详细讲解，在串讲篇有重点强调。 5. 设函数=+=dy e y x

2008年全国高中数学联赛二试试题与答案

2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）

试题参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划

分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、（本题满分50分）

如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠

（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；

（Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的»AB 上一点，满足：3AE AB =，31BC

=-，

ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O e 的切线，2AC =，求()f P 的最小值．

[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有

PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅．因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅

PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．

因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当

且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在»

AC 上时， ()()f P PB PD CA =+⋅． (10)

分

又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在

BD 上时取等号．

因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．

故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有

2008-2009年第二学期高数(较高要求层次)B卷汇总

中国矿业大学徐海学院2008－2009学年第二学期

《高等数学》试卷（B）卷（较高要求层次）

考试时间：120分钟考试方式：闭卷

班级：姓名：学号：

题号一二三四总分合分人题分15 15 46 24 100

得分

一、选择题（每小题3分，共计15分）

1.函数，下面说法正确的是____________.

.处处连续.处处有极限，但不连续

.仅在（0,0）点连续.除（0,0）点外处处连续

2. 曲线在点处的法平面方程为_____________.

3. 已知曲线经过原点，且在原点处的切线与直线平行，而

满足微分方程，则曲线的方程为____________.

4. 若区域D为，则二重积分化成累次积分为__________.

A. ;

B. ;

C. ;

D. .

5、设 , 则____________.

.收敛；.发散；

.不一定；.绝对收敛。

二、填空题（每小题3分，共计15分）

1．设，则=____________

2．设，交换积分次序后，

3. 曲线在对应于点处的切线方程是____________

4. 若区域为, 则__________

5.设函数由方程所确定，则= ____________

三、计算题（共46分）

1.（6分）设具有一阶连续偏导数，求

2. （8分）判别下列级数的敛散性.

3. （8分）计算,其中曲线是半径为的圆在第一象限部分.

4. （8分）计算二重积分，其中D为直线与抛物线所围成的区域。

5. （8分）计算二重积分其中

6.（8分）求微分方程的通解.

四、综合题（共24分）

1.（12分）在第一卦限内作椭球面的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.

2008年考研数学二试题答案与解析

−2
−2 1
⎞ ⎟ ⎠
.
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。
( ) （9）已知函数 f ( x) 连续，且 lim 1− cos ⎡⎣xf ( x)⎤⎦ = 1，则 f (0) = 2
( ) x→0 ex2 −1 f x
[D] .
( ) (10)微分方程 ( y + x2e−x )dx − xdy =0 的通解是 y = x C − e−x .
t2 4
π
2 0
−
1 4
π
2 td (sin 2t )
0
∫ = π 2 − t sin 2t
16 4
π
2 0
+
1 4
π
2 sin 2tdt
0
=
π2 16
− 1 cos 2t 8
π
2 0
=π2 +1 16 4
(18)（本题满分 11 分）
计算 ∫∫ max{xy,1} dxdy ,其中 D = {(x, y) 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2}. D
0
0
上式两端对 t 求导,得 f 2 (t ) = f (t ) 1+ f '2 (t )
即
y' = y2 −1
由分离变量法解得
( ) ln y + y2 −1 = t + C1