2021版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.7正弦定理、余弦定理的应用举例练习理北师大版

4.7 正弦定理、余弦定理的应用举例

核心考点·精准研析

考点一测量距离问题

1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC= ( )

A.240(-1)m

B.180(-1)m

C.120(-1)m

D.30(+1)m

2.一船以每小时15km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°,行驶4小时后,船到达C 处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离

为( )

A.60km

B.60km

C.30km

D.30km

3.(2019·衡阳模拟)如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为( )

A.7km

B.8km

C.9km

D.6km

4.如图,海中有一小岛C,一小船从A地出发由西向东航行,望见小岛C在北偏东60°,航行8海里到达B处,望见小岛C在北偏东15°,若此小船不改变航行的方向继续前行2(-1)海里,则离小岛C的距离为( )

A.8(+2)海里

B.2(-1)海里

C.2(+1)海里

D.4(+1)海里

【解析】1.选C.记气球在地面的投影为D,在Rt△ABD中,cos15°=,又

cos15°=cos(60°-45°)=,所以AB=.在△ABC中,由正弦定理得

=,所以BC==AB=120(-1)(m).

2.选A.画出图形如图所示,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=4×15=60,

∠B=45°,由正弦定理得=,

所以BC===60,

所以船与灯塔的距离为60km.

3.选A.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即AC2=25+64-2×5×8cosB=89-80cosB.在△ADC 中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosD,即AC2=25+9-2×5×3cosD=34-30cosD.因为∠B与∠D互补,所

以cosB=-cosD,所以-=,解得AC=7(km).

4.选C.BC===4,

所以离小岛C的距离为

=

=2(+1)海里.

距离问题的常见类型及解法

1.类型:测量距离问题常分为三种类型:山两侧、河两岸、河对岸.

2.解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将实际问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.

【秒杀绝招】

直角三角形解T1,记气球在地面的投影为D,在Rt△ACD中,tan60°=,所以CD=60,在Rt△ABD中,因为tan15°=,tan15°=tan(60°-45°)

==2-,所以BD=120-60,所以BC=CD-BD=120(-1)(m).

考点二测量高度问题

【典例】1.一架直升飞机在200m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为( )

A.m

B.m

C.m

D.m

2.如图,在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为;塔BB1的高为m.

【解题导思】

序号联想解题

1 由“测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°”,想到作图,建立数学模型

由“60m”“从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍”

2

“从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角”,想到△A1AC∽△CBB1

【解析】1.选A.如图所示.

在Rt△ACD中,CD==BE,

在△ABE中,由正弦定理得=,所以AB=,DE=BC=200-=(m).

2.设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α,则AA1=60tanαm,BB1=60tan2αm.因为从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角,所以△A1AC∽

△CBB1,所以=,所以AA1·BB1=900,所以3600tanαtan2α=900,所以tanα=(负值舍去),所以tan2α=,BB1=60tan2α=45m.

答案:45

求解高度问题的关注点

1.在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键.

2.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.

1.(2019·宜春模拟)某工厂实施煤改电工程防治雾霾,欲拆除高为AB的烟囱,

测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=75°,

∠BDC=60°,CD=40米,并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°,且CE=1米,则烟囱高AB=

米.

【解析】∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=45°,

在△CBD中,由正弦定理得BC==20,

所以AB=1+tan30°·CB=1+20(米).

答案:(1+20)

2.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.

【解析】在△ABC中,∠CAB=30°,∠ACB=75°-30°=45°,根据正弦定理知,=,

即BC=×sin∠BAC=×=300(m),

所以CD=BC×tan∠DBC=300×=100(m).

答案:100

考点三测量角度问题

命 1.考什么:航行方向问题,航行时间、速度问题等等.