1初三二次函数提优班辅导讲义

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初三二次函数辅导讲义

一、基础知识讲解+中考考点、例题分析考点1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数．2．二次函数的图象及性质： ⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0）；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。

⑵ 二次函数c bx ax y ++=2，顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2ba，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2ba，y 随x 的增大而增大．解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（y x ,1），（y x ,2），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线221x x x +=。

3．图象的平移：二次函数y=ax 2 与y =－ax 2 的图像关于x 轴对称。

平移的简记口诀是“上加下减，左加右减”。

一、经典考题剖析：【考题1】在平面直角坐标系内，如果将抛物线22x y =向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后二次函数的关系式是（）Ａ．3)2(22+-=x y Ｂ．3)2(22++=x y Ｃ．3)2(22-+=x y Ｄ．3)2(22--=x y2．二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（） A ． 4=x B. 3=x C. 5-=x D. 1-=x4．已知二次函数c bx ax y ++=21(a ≠0）与一次函数y 2=kx+m(k ≠0）的图象相交于点A （－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y 1＞y 2成立的x 取值范围是_______5．已知直线y=x 与二次函数y=ax 2 －2x －1的图象的一个交点 M 的横标为1，则a 的值为（） A 、2 B 、1 C 、3 D 、 4 6．已知反比例函数y= kx 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，则二次函数y=2kx 2 －x+k 2的图象大致为图1－2－3中的（）7、读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线22221y x mx m m =-++-①，有y=2()21x m m -+-②，所以抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即⎩⎨⎧-==12,m y m x ③④。

初三数学-二次函数讲义-详细

二次函数一、二次函数的解析式1. 二次函数解析式有三种：(1)一般式：y ax bx c a =++≠20()(2)顶点式：()y a x h k =-+2顶点为()h k ，(3)交点式：()()y a x x x x =--12 ()()x x 120，，是图象与x 轴交点坐标。

2.根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式. 二、二次函数与一元二次方程1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠与一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的关系。

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况。

2.图像与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()()1212,0,,0A x B x x x ≠，其中12,x x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根；②当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点； ③当0∆<时，图像与x 轴没有交点。

1’ 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y > 2’ 当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。

板块一二次函数解析式 1.(1)把函数23212++=x x y 化成它的顶点式的形式为_______________________； (2)把函数6422++-=x x y 化成它的交点式形式为____________________________； (3)把函数()2324y x =-+化为它的一般式的形式为__________________________； (4)把函数12)1(32--=x y 化成它的交点式为__________________________;(5)把函数的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的二次函数解析式是；(6)把抛物线322-+=x x y 向左平移3个单位,然后向下平移2个单位,则所得的抛物线的解析式为 .2.(1) 抛物线了y=a(x+1)(x-3)(a ≠0)的对称轴是直线 ( )22x y =A ．x=1B ．x=－1C ．x=－3D ．x=3(2)二次函数y=(x+1)2+2的最小值是 ( )A ．2B ．1C ．－3D ．233.(1)已知一个二次函数过(0 ，0)，(-1 ，11)，(1， 9)三点，求二次函数的解析式。

初三数学上册《二次函数》讲义第1讲二次函数的概念图象和性质（1）（有答案）

初三数学上册《⼆次函数》讲义第1讲⼆次函数的概念图象和性质（1）（有答案）第1讲⼆次函数的概念、图象和性质⼀般地如果y= （a 、b 、c 是常数a≠0）那么y 叫做x 的⼆次函数注意：⼆次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是关于⾃变量x 的⼆次式，x 的最⾼次数是，按、、依次排列2、强调⼆次项系数a 01、⼆次函数基本形式：（1）.2y ax =的性质：a 的绝对值越⼤，抛物线的开⼝越⼩。

（2）. 2y ax c =+的性质：上加下减。

（3）. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

（4）. ()2y a x h k =-+的性质：2、⼀般式：2y ax bx c =++ 3、顶点式：2()y a x h k =-+ 4、交点式：12()()y a x x x x =--5、平移：将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成⼋个字“左加右减，上加下减”1.⼆次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象是⼀条，其顶点坐标为，对称轴式2.在抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)中： 1.当a>0时，y ⼝向，当x<-2ba时，y 随x 的增⼤⽽，当x 时，y 随x 的增⼤⽽增⼤2、当a<0时，开⼝向，当x<-2ba时，y 随x 增⼤⽽，当x 时，y 随x 增⼤⽽减⼩注意：注意⼏个特殊形式的抛物线的特点1.y=ax 2 ,对称轴；顶点坐标2.y= ax 2 +k ，对称轴；顶点坐标3.y=a(x －h) 2对称轴；顶点坐标4.y=a(x －h) 2 +k 对称轴；顶点坐标考点1、⼆次函数定义例1、如果y=（a-1）x2-ax+6是关于x的⼆次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0 B．a≠1 C．a≠1且a≠0 D．⽆法确定例2、在下列关系式中，y是x的⼆次函数的关系式是（）A．2xy+x2=1 B．y2-ax+2=0 C．y+x2-2=0 D．x2-y2+4=0例3、下列函数关系中，可以看作⼆次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（）A．在⼀定距离内，汽车⾏驶的速度与⾏驶的时间的关系B．我国⼈⼝的⾃然增长率为1%，这样我国总⼈⼝数随年份变化的关系C．矩形周长⼀定时，矩形⾯积和矩形边长之间的关系D．圆的周长与半径之间的关系例4、若是⼆次函数，则m的值是．例5、已知正⽅形的⾯积为y（cm2），周长为x（cm）．（1）请写出y与x的函数关系式．（2）判断y是否为x的⼆次函数．例6、已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1．（1）若这个函数是⼀次函数，求m的值；（2）若这个函数是⼆次函数，则m的值应怎样？1、下列各式中，y 是x 的⼆次函数的是（） A ．21xyB ．y=2x+1C ．y=x 2+x-2D ．y 2=x 2+3 2、⼆次函数y=2x （x-3）的⼆次项系数与⼀次项系数的和为（） A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．－4 3、下列函数关系中，是⼆次函数的是（）A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系B ．当距离⼀定时，⽕车⾏驶的时间t 与速度v 之间的关系C ．等边三⾓形的周长C 与边长a 之间的关系D ．圆⼼⾓为120°的扇形⾯积S 与半径R 之间的关系4、已知抛物线y=（m-1）x 2，且直线y=3x+3-m 经过⼀、⼆、三象限，则m 的范围是．5、已知y=（m+1）是⼆次函数，求m 的值．考点2、⼆次函数图象例1、在平⾯直⾓坐标系中，与抛物线y=x 2关于直线y=x 对称的图象是（）A ．B ．C ．D ．例2、如图，平⾯直⾓坐标系中的⼆次函数图象所对应的函数解析式可能为（）例3、如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象，根据图象回答，当ax2+bx+c＜1时，x的取值范围是（）A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3C．x＜－1 D．x＞3例4、当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图像⼤致是（）例5、如图所⽰四个⼆次函数的图象中，分别对应的是①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的⼤⼩关系为．例6、如表给出了⼀个⼆次函数的⼀些取值情况：请在坐标系中画出这个⼆次函数的图象，并根据图象说明：（1）当y随x的增⼤⽽增⼤时⾃变量x的取值范围；（2）当0≤y＜3时x的取值范围．1、下列为四个⼆次函数的图形，哪⼀个函数在x=2时有最⼤值3（）A ．B ．C ．D ．2、苹果熟了，从树上落下所经过的路程s 与下落的时间t 满⾜s=2gt 2（g 是不为0的常数），则s 与t 的函数图象⼤致是（）A ．B ．C ．D ．3、已知函数y=-x 2+2x+c 的部分图象如图所⽰，若y≤0，则x 的取值范围是（） A ．－1＜x ＜3 B ．－1≤x≤3 C ．x ＜－1或x ＞3 D ．x≤－1或x≥34、已知函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所⽰，则函数y=ax+b 的图象是（）5、在同⼀直⾓坐标系中，函数y=mx+m 和y=﹣mx 2+2x+2（m 是常数，且m≠0）的图象可能是（）6、在正⽅形的⽹格中，抛物线y 1=x 2+bx+c 与直线y 2=kx+m 的图象如图所⽰，请你观察图象并回答：当－1＜x ＜2时，y 1 y 2（填“＞”或“＜”或“=”号）．考点3、⼆次函数的性质例1、若是⼆次函数且图象开⼝向下，则m 的值是（）A ．－2B ．1C ．1或－2D ．2或－1 例2、下列函数中，在全体实数范围内，y 随x 的增⼤⽽增⼤的是（）A ．y=2x 2B ．x-= C ．y=-2 D ．y=-2+例3、已知⼀个函数具有以下条件：①该函数图象经过第⼆象限；②当x ＜0时，y 随x 的增⼤⽽增⼤；③该函数图象不过原点，请写出⼀个符合上述条件的函数关系式：．例4、有⼀次函数y 1=kx+m 和⼆次函数y 2=ax 2+bx+c 的⼤致图象如图，请根据图中信息回答问题（在横线上直接写上答案）（1）不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是______；kx+m ＞ax 2+bx+c 的解集是______．（2）当x=______时，y 1=y 2．（3）要使y 2随x 的增⼤⽽增⼤，x 的取值范围应是______．例5、已知⼆次函数y=x 2+2x-3，解答下列问题：（1）⽤配⽅法将该函数解析式化为y=a （x+m ）2+k 的形式；（2）指出该函数图象的开⼝⽅向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况．例6、将⼆次函数y=2x2的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的图象解析式为y=a（x-h）2+k．（1）求出a，h，k的值．（2）对于函数y=a（x-h）2+k，当x取何值时，y随x的增⼤⽽减⼩？该函数的顶点是什么？1、下列说法正确的是（）A．函数y=ax2+bx+c的图象⼀定是抛物线B．抛物线y=ax2⼀定在x轴上⽅（顶点在x轴上）C．⼆次函数图象的对称轴是y轴D．⼆次函数图象的顶点⼀定在其对称轴上2、已知函数y=-ax+b（a≠0）的图象经过⼀、三、四象限，则函数y=-ax2+bx的图象不经过的象限是（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限3、⼆次函数y=2（x+2）2的开⼝向，顶点坐标为，对称轴为，当x 时，y随x的增⼤⽽增⼤．4、已知⼆次函数y=ax2+bx+c（其中a＞0，b＞0，c＞0），关于这个⼆次函数的图象有如下说法：①图象的开⼝⼀定向上；②图象的顶点⼀定在第四象限；③图象与x轴的交点⾄少有⼀个在y轴的右侧．以上说法正确的是．5、已知函数y=3x 2-6x-24．（1）通过配⽅，写出抛物线的开⼝⽅向、对称轴和顶点坐标；（2）利⽤对称性作出这个函数的图象；（3）分别求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标．1、下列函数中，是⼆次函数的为（） A ．y=2x+1 B ．y=（x-2）2-x 2 C ．22x yD ．y=2x （x+1） 2、⼆次函数y=x 2+2x-7的函数值是8，那么对应的x 的值是（） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－53、已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所⽰，根据图象提供的信息，可得y≤1时，x 的取值范围是（）A ．x≥－3B ．－3≤x≤1C ．－1≤x≤3D ．x≤－1或x≥34、抛物线y=x 2与y=-x 2的图象的关系是（） A ．开⼝⽅向不同，顶点相同，对称轴相同 B ．开⼝⽅向不同，顶点不同，对称轴相同 C ．开⼝⽅向相同，顶点相同，对称轴相同 D ．开⼝⽅向相同，顶点不同，对称轴不同5、如图，⼆次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此⼆次函数的说法正确的是（）A ．y 的最⼤值⼩于0B ．当x=0时，y 的值⼤于1C ．当x=-1时，y 的值⼤于1D ．当x=-3时，y 的值⼩于06、函数y=ax和y=ax2+b同⼀坐标系中的⼤致图象是（）A．B．C．D．7、如图，⼆次函数y1=ax2+bx+c与⼀次函数y2=kx+b的交点A，B的坐标分别为（1，-3），（6，1），当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．-3＜x＜1 D．x＜-3或x＞1第7题第8题8、已知⼆次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所⽰，给出以下结论：①a＞0．②该函数的图象关于直线x=1对称．③⽅程ax2+bx+c=0的两根是－1和3．④x ＜1时，y随x的增⼤⽽增⼤．其中正确结论的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．09、当a 时，函数y=（a－1）x2+bx+c是⼆次函数．10、已知y=是y关于x的⼆次函数，则m= ，此函数图象与x轴的交点坐标是，其图象的对称轴是．11、如图是⼆次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和⼀次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是．12、把函数y=3-4x-2x2写成y=a（x+m）2+k的形式，并写出函数图象的开⼝⽅向、顶点坐标和对称轴．13、抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）点．（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上⽅？（4）x取什么值时，y的值随x值的增⼤⽽减⼩？14、函数y=（m+2）是关于x的⼆次函数，求：（1）满⾜条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x 的增⼤⽽增⼤？（3）m为何值时，函数有最⼤值？最⼤值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增⼤⽽减⼩．1、如图，是⼀次函数y=kx+b与⼆次函数y=的图象，则关于x的⽅程kx+b=的解为（）A．x l=-1，x2=2 B．x l=1，x2=-2C．x l=0，x2=2 D．x l=0，x2=-22、如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三⾓形所得阴影部分的⾯积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）1、若y=（m-1）+mx+3是⼆次函数，则m的值是（）A．1 B．－1 C．±1 D．22、在平⾯直⾓坐标系中，函数y=-x+1与y=－（x-1）2的图象⼤致是（）A．B．C．D．3、根据图象判断下列说法错误的是（）A．函数y2的最⼤值等于4 B．x＞2时，y1＞y2C．当-1＜x＜2，y2＞y1 D．当x为-1或2时，y1≠y24、已知y=（a+1）x2+ax是⼆次函数，那么a的取值范围是．5、⼆次函数y=ax2+bx+c的图象如图所⽰，则当y＞0时x的取值范围是．6、⼆次函数y=x2-2x-3的开⼝⽅向向，对称轴为，顶点坐标为，与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．7、根据下⾯的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为⼆次函数：（1）如果两个数中，⼀个⽐另⼀个⼤5，那么，这两个数的乘积p是较⼤的数m的函数；（2）⼀个半径为10cm的圆上，挖掉4个⼤⼩相同的正⽅形孔，剩余的⾯积S（cm2）是⽅孔边长x（cm）的函数；（3）有⼀块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁⾦⾹，那么郁⾦⾹的种植⾯积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数．8、已知函数y=21x 2+2x+1，解答下列问题：（1）写出抛物线的开⼝⽅向，顶点坐标及对称轴；（2）作出函数图象，并观察图象，写出x 为何值时，y 随x 的增⼤⽽增⼤？x 为何值时，y 随x 的增⼤⽽减⼩？（3）函数的最值是多少？参考答案第1讲⼆次函数的概念图象和性质考点1、⼆次函数定义例1、B例2、C例3、C例4、例5、例6、1、C2、D3、D4、5、考点2、⼆次函数图象例1、B例2、D例3、A例4、B例5、例6、解：（1）如图所⽰，y随x的增⼤⽽增⼤时⾃变量x的取值范围为x＞2；（2）如图，当0≤y＜3时0＜x≤1或3≤x＜4．1、A5、D6、考点3、⼆次函数的性质例1、A例2、D例3、例4、例5、例6、解：（1）因为⼆次函数y=2x2的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到⼆次函数y=2（x+2）2-3，所以a=2，h=2，k=-3；（2）对于y=2（x+2）2－3，抛物线的对称轴为直线x=-2，因为a=2＞0，所以当x＜－2时，y随x的增⼤⽽减⼩；抛物线的顶点坐标为（-2，3）．4、5、。

(完整word版)九年级数学上册二次函数讲义

初三数学二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

九年级数学上册二次函数讲义

初三数学二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

2. 2y ax c=+的性质：上加下减。

()2x h -4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；0a >二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）y y y y 1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

初三-第02讲-二次函数(培优)-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级（下）课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲-----二次函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标熟练掌握二次函数的定义、图像与性质、三种表达式及最值等综合应用问题。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建一、知识概念(一) 二次函数的定义一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．注意：1、二次项系数a ≠0；y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)叫做二次函数的一般式；2、ax 2＋bx ＋c 必须是整式；3、一次项、常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零； x 的取值范围是全体实数．(二) 二次函数的图像与性质1、二次函数图像的基本性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)图象(a ＞0)(a ＜0) 开口方向开口向上开口向下对称轴直线x ＝－b2a直线x ＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a增减性当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－b2a 时，y 随x 的增大而增大当x ＜－b2a 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－b2a 时，y 随x 的增大而减小最值当x ＝－b2a 时，y 有最小值4ac －b 24a当x ＝－b2a 时，y 有最大值4ac －b 24a2、二次函数图像的平移 ➢ 方法一：总结：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． ➢ 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）总结：概括成八个字“左加右减，上加下减”．3、二次函数的图象与各项系数之间的关系（1）二次项系数a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．（2）一次项系数b ：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置， “左同右异”。

九年级数学(下)提高班讲义(三) 二次函数的实际应用

九年级数学（下）提高班讲义（三）二次函数的实际应用九年级数学（下）提高班讲义（三）-二次函数的实际应用九年级数学改进课堂讲义（III）第1页，共8页九年级数学（下）提高班讲义（三）二次函数的实际应用班级：姓名：例1：一家公司生产的健身产品在市场上普遍很受欢迎，每年都能在国内外市场上销售一空。

该公司年产量为6000件。

如果在国内市场销售，每个产品的平均利润Y1（元）与国内销售数量x（1000件）之间的关系如下：（1）用x的代数式表示t为：t＝；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为y2＝；什么时候≤ x＜y2=100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内的销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）公司在国内外的年销售额是多少，这能使公司每年的总利润最大化？最大值是多少？同步练习：某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．（1）找出Y和X之间的函数关系，直接写出自变量X的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?（3）当每种商品的价格定在多少元时，每月的利润只有2200元？根据以上结论，请直接写下销售价格范围，每月利润不低于2200元？例2：知识迁移：当a?0且x?0时，因为(x?aa2)≥0,所以x?2a?≥0,从而xxx？AA≥ 2A（x？A时取等号）还记得函数y吗？十、（a？0，x？0）。

从以上结论可以看出，当XXX？A、该函数的最小值为2A直接应用：已知函数Y1？X（X？0）和函数Y2？最小值为____变形应用：已知函数y1?x?1(x??1)与函数y2?(x?1)2?4(x??1),求指出取得该最小值时相应的x的值.实际应用：据了解，一辆车的一次性运输成本包括以下三部分：一是固定成本，共计360元；第二，燃料成本为每公里1.6元；第三个是折旧成本，它与距离的平方成正比，假设一次运输的车辆距离为x公里，比例系数为0.001。

二次函数专题讲座九年级培优讲义

分析、探究、发展一、内容概述：本题为试卷的第25题，难度较大，知识点涉及初三的主要内容：相似、全等、函数、圆等内容.命题形式灵活：二选一，具有相当的的选拔功能.考察学生分析、观察、探究的能力，也具有一定的地域特色，是武汉市中考数学试卷的一大“亮点”. 二、结论形式：1、线段不变，角的大小不变，点不变；2、线段（角）和，差不变；3、线段比、积不变；4、比例式证明；5、位置关系判定；6、四边形的判定；7、其它. 三、题目来源：1、经典题的转移；2、传统题的改编；3、题目的迭加；4、创新题. 四、题型变化：一、题型特征：(1)、条件具有隐蔽性； (2)、结论具有探究性.引例：（1）已知二次函数y =x 2-2x -3, 与x 轴交于A 、B ,与y 轴交于C 点, 过C 的直线：y =kx -3（k ＞0），过B 作BE ⊥CE ，垂足为E ，不论k （k ＞0）取何值，在 ①OECE +，②BECE+中有一个为定值.请判断哪一个为定值，求出这个定值,并证明你的结论.OC =OB ）方法（1）如图：作OM ⊥OE 方法（2）如图：截取CM =BE(2) 已知二次函数y =12x 2-2x -2，与x 轴交于A 、B ,与y 轴交于C 点，顶点为P ,则直线PC 为过A 、B 、C 三点⊙O 1的切线.易得：OC 2=OA ·OB==>∠ACB =90º==> 点C 在以AB 为直径的⊙O 1上可求直线PC ：y =-x -2 ==> PC 为⊙O 1 的切线.（隐含条件：OC 2=OA ·OB ）二、方法概括：(1)方程==>坐标==>线段==>三角形==>圆； (2)以形导教==>以数入形==>数形结合； (3)观察==>猜想==>分析==>证明==>小结==>反思. 三、分类研究： 1、相似与圆：例1、已知y =ax 2+bx -3过（2,-3）,与x 轴交于A （-1,0）,B （x 2,0），与y 轴交于C 点. （1）、求二次函数的解析式：（2）、以OB 为直径作⊙O 1 ，连O 1 C 交⊙O 1于F ，连BF 交OC 于E ，则：①CE =EF ②CF =OE 选择正确的结论，并证明. 思路点拔： 1、易得：OB =OC =3；2、由∠1=∠2=∠3=∠4 ==> △CEF ∽△COF ==>3CF EFOF==> tan ∠4=tan ∠3=3OE==> CF =OE分析小结：1、关键之一：发现二次函数中隐含条件：OB =OC ；2、发现相似，运用中间比.说明：此题还有其它方法.对照训练：1、已知y =ax 2-ax-1，x 轴交于A （-1，0）,B （x 2,0）与y 轴交于C 点（1）、求二次函数的解析式；（2）、以OB 为直径⊙O 1 ， P 在⊙O 1上，连CP ，PF ⊥CP ，连BP 交y 轴于E ,则 ①OE ·BF 不变； ②OEBF 不变,选择正确的结论，并证明2、已知y =ax 2-4ax ，顶点为C ，且C 在第一象限，与x 轴交于A （x 1，0），x 1≠0，且AOC S ∆=8, （1）、求二次函数的解析式；(2)以OA 为直径作⊙O 1 ，P 为y 轴负半轴上一动点，连PA 交⊙O1 于M ，过M 、A 分别作⊙O 1的切线相交于E ，① OP EM g 不变； ② OPEM 不变,选择正确的结论，并证明.3、已知y =-x 2+mx +n 的顶点为（1，4），与y 轴交于C 点，交x 轴于A （x 1 ,o ），B （x 2 ，o ）x 1 >x 2 (1)求二次函数的解析式； (2)以OA 为直径作⊙O 1 ，P （12-，a ）在抛物线上， PA 交⊙O 1于E ，交y 轴于F 点,则 ①∠FCE =∠COE ； ②∠FCE =∠EOG ,选择正确的结论，并证明.4、已知y =x 2+bx +c 与x 轴交于A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于C 点，（1）求二次函数的解析式；（2）以OC 为直径作⊙O 1 ， P 为⊙O 1上一动点，连AP ，PE ⊥AP ，OP 交切线CM 不变；② CM 不变，选择正确的结论，并证明.2、相似与共圆例2、已知y =ax 2+5ax +4a 交x 轴于A ，B （ A 点在B 的右边），与y 轴负半轴交于C 点，过C 点作x 轴平行线交抛物线于D 点，DE ⊥x 轴，CDEO S 四=5, (1)求二次函数的解析式；(2)如图:直线1y x k k=-+ (k ＞0)与坐标轴交于F 、H ，点G 在y 轴上,且OH =HG ,连BG 、AH 分别与FH 、FG 相交于MB 、N ,则：①∠GMN =∠MFB ② ∠GMN =∠GFM ，选择正确的结论，并证明. （07年四月调考题改编）思路点拨：（1）易求：A （-1，0）， B （-4，0）.（2）由（1）知：F （k 2,0），H （0，k ）, G （又知： OH 2=OA ·OF , OG 2=OB ·OF ==> AH ⊥HF , BG ⊥FG ==> M 、G 、N 、H 四点共圆 ==> ∠1=∠2=∠3=∠4 分析小结：1、此题关键条件是有隐蔽性:二个垂直的发现是证题的关键；2、四点共圆的证明，实现角的转换，是此题的第二个难点. 对照训练:1、已知二次函数：y =x 2-(m -2)x -23m 与x 轴交于A 、B 两点，（A 左B 右）与y 轴交于C ，对称轴与x 轴交于（12，0）， (1)求二次函数的解析式；(2)直线y =12x +12与直线y =12-kx +12k 2相交于H ，D 、E 为y =-12kx +12k 2与y 轴、x 轴的交点，则:①EH CE 不变 ②EHAH不变,选择正确的结论，并证明.E2、已知二次函数y =12x2+32mx -2m与直线y =-mx + m交于x轴上一点B ，直线交抛物线的对称轴于E点，C为抛物线与y轴的交点,C、D两点关于原点对称，则:①DE=1,②tan∠EDA=1,选择正确的结论，并证明.3、全等与圆例3：已知Rt△AOB , A（0，1）, B（ 3，0）抛物线y =ax2+bx+c的顶点为A，经过B点交x轴于另一点C ，(1)求抛物线的解析式；(2)如图：经过A、C二点作动圆交BA、OA的延长线M、N, 则：①AM -AN不变②AMAN不变，选择正确的结论，并证明.思路点拔：(1)由（1）知∠OAB=60º=∠CAO； (2)易证△MCN为正三角形；(3)取MH =AN易证△MHC≌△CAN ==>AM –AN = AH = AC = 2.分析小结：(1)此题关键:图中等边三角形具有隐蔽性；(2)常规辅助线的运用； (3)经典题的改编.对照训练：1、已知抛物线y =ax2-2ax +m交x轴于A（-1，0），B（x2，0），交y轴于C点，函数有最小值为-4，(1) 求抛物线的解析式；(2)过B、C二点作作⊙O1 ,交x轴于另一点E点，过E作EF⊥x轴交⊙O1于F,则：①BE EFOE-不变,②BE EFOE+不变, 选择正确的结论，并证明.4、函数与圆:运用函数，解析法的思想方法：例4：已知y =14x2向上平移1个单位得y =ax2+bx+c(1)求抛物线的解析式；(2)C（0，2）过C点作直线交抛物线于E 、F ；E、F在x轴正投影分别从M、N ,则：以MN为直径的圆是否一定过C点，试说明理由.思路点拔：(1)证FC=FN (2)证∠MCN =90º (3)取MN的中点O′，则C O′= M O′= N O分析小结：此题关键:运用计算的方法证出FC = FN5、勾股定理与圆例5：已知等腰直角三角形△ABC，斜边AB=4，如图，抛物线y=ax2+bx+c过A、B二点，顶点为C.(1) 求抛物线的解析式；(2)过A、B、C三点作⊙O，且»CN=¼AM，则：①MF2+NF2不变②MF2-NF2不变思路点拔：(1)∠MOC=∠NOC , 作OH⊥MN(2)MF2=（MH -FH）2(3)MF2+NF2=2(MH2+FH2）=2R2。

初中数学中考复习二次函数专题讲义(含解析)

二次函数专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。

(完整)二次函数讲义-详细

第一讲二次函数的定义知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。

二次函数具备三个条件，缺一不可：(1）是整式方程;（2）是一个自变量的二次式;（3）二次项系数不为0考点：二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式例1、函数y=（m ＋2）x22-m＋2x －1是二次函数，则m= ．例2、下列函数中是二次函数的有( )①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2;③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x ＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4,P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x,△ADQ 的面积为y,用含x 的代数式表示y ．训练题:1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b,c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时,是正比例函数．2、若函数y=(m 2+2m －7）x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。

3、已知函数y=(m －1)x2m +1+5x －3是二次函数，求m 的值。

4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍,用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．5、请你分别给a ，b,c 一个值，让c bx ax y ++=2为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限6．下列不是二次函数的是（）A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2C ．y=52-xD ．y=(x ＋1）（x －2）7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 为常数,且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数,且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙,另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．9．如图,在矩形ABCD 中，AB=6cm,BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动,同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．10．已知:如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC,DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F,得四边形DECF ．设DE=x ，DF=y ．（1)AE 用含y 的代数式表示为：AE= ；（2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．第二讲二次函数的图像和性质知识点归纳:1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。

九年级上册二次函数专题讲义

1九年级上册二次函数专题讲义一、二次函数概念1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．例1、下列函数：① 23y x =；② ()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 21y x x=+；⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是，其中a = ，b = ，c = .例2、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数练习1、当m = 时，函数()2221m m y m m x--=+是关于x 的二次函数练习2、当m = 时，函数()2564mm y m x -+=-+3x 是关于x 的二次函数练习3、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿二、二次函数的基本形式 1. y=ax ²的图象与性质.画二次函数y=x 2的图象.(1)列表：在x 的取值范围内列出函数对应值表：(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x 2的图象如图所示：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点.像这样的曲线通常叫做抛物线.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．思考：(1)在同一直角坐标系中，画函数y=x 2与y=-x 2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?(2)在同一直角坐标系中，画函数y=2x 2与y=-2x 2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?(3)将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 …2结论：由函数y ＝x 2、y=-x 2、y ＝2x 2、y=-2x 2的图象的共同特点，得到结论.函数y=ax 2的图象是一条________，它关于__________对称，它的顶点坐标是_________.当a ＞0时，抛物线y=ax 2开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；_____是抛物线上位置最低的点.当x=_____时，函数值y ＝ax 2取得最小值，最小值是y ＝______.当a ＜0时，抛物线y=ax 2开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；_____是抛物线上位置最高的点.当x=_____时，函数值y ＝ax 2取得最大值，最大值是y ＝______. a 的绝对值越大，图像的开口________.例1.（1）抛物线221x y =的对称轴是，顶点坐标是，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最值是；（2）抛物线221x y -=的对称轴是，顶点坐标是，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最值是；练习1.对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称.其中正确的是 .练习2.抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点例2.函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．3在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 2－2与函数y ＝2x 2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?结论：函数y=ax 2+c 的图象是一条________，它关于__________对称，它的顶点坐标是_________.当a ＞0时，抛物线y=ax 2+c 开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；_______是抛物线上位置最低的点.当x=_______时，函数值y ＝ax 2+c 取得最小值，最小值是y ＝________.当a ＜0时，抛物线y=ax 2+c 开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；_______是抛物线上位置最高的点.当x=_______时，函数值y ＝ax 2+c 取得最大值，最大值是y ＝________.y=ax ²+c 的图象可以看成是将函数y ＝ax ²的图象向上（c ＞0）或向下（c ＜0）平移c 个单位得到的.例1.抛物线322--=x y 的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.练习1.将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标、 .练习2.任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .练习3.将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是，当x= 时，该抛物线有最（填大或小）值，是 .练习4.已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________.4在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 2与函数y ＝2(x 一1)2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别? 结论：函数y=a(x-h)²的图象是一条________，它关于__________对称，它的顶点坐标是_________.当a ＞0时，抛物线y=a(x-h)²开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；______是抛物线上位置最低的点.当x=_____时，函数值y=a(x-h)²取得最小值，最小值是y ＝________.当a ＜0时，抛物线y=a(x-h)²开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；______是抛物线上位置最高的点.当x=_____时，函数值y ＝y=a(x-h)²取得最大值，最大值是y ＝______.y=a(x-h)²的图象可以看成是将函数y ＝ax ²的图象向左（h ＞0）或向右（h ＜0）平移h 个单位得到的.例1.抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是，当x 时,y 随x 的增大而减小，函数有最值 .练习1.函数y=3(x-2)2的对称轴是，顶点坐标是，图像开口向，当x 时y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最值，是 .练习2.抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x 轴上D. y 轴上练习3.将抛物线y=3x 2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（）A ．y=3(x+2)2+4B ．y=3(x-2)2+4C ．y=3(x-2)2-4D ．y=3(x+2)2-454. y=a(x-h)²+k （顶点式）的图象与性质在同一直角坐标系中画出函数y=2(x －1)2＋1与函数y ＝y=2x 2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?结论：函数y=a(x-h)²+k 的图象是一条________，它关于__________对称，它的顶点坐标是_________.当a ＞0时，抛物线y=a(x-h)²+k 开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；_____是抛物线上位置最低的点.当x=_____时，函数值y=a(x-h)²+k 取得最小值，最小值是y ＝________.当a ＜0时，抛物线y=a(x-h)²+k 开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；______是抛物线上位置最高的点.当x=_____时，函数值y=a(x-h)²+k 取得最大值，最大值是y ＝______.y=a(x-h)²+k 的图象可以看成是将函数y ＝ax ²的图象向左（h ＞0）或向右（h ＜0）平移h 个单位，向上（k ＞0）或向下（k ＜0）平移k 个单位得到的.例1.请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上:练习1.二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝时，y 有最小值.练习2.函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大.练习3.已知函数()9232+--=x y（1）当x= 时，抛物线有最值，是 .（2）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小.例2.二次函数有最小值为－1，当0x =时，1y =，它的图象的对称轴为1x =，则函数的关系式为65. 二次函数图象的平移 ①. 平移步骤：保持抛物线y=ax ²的形状不变，将其顶点平移到（ h , k ）处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位②. 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．6. 二次函数y=a(x-h)²+k 与y ＝ax 2＋bx ＋c 的比较从解析式上看，y=a(x-h)²+k 与y ＝ax 2＋bx ＋c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a ，当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下.对称轴是x ＝－b 2a ，顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b 24a )例1.抛物线942++=x x y 的对称轴是 .练习1.抛物线251222+-=x x y 的开口方向是，顶点坐标是 .练习2.写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=－2，与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解式 .练习3.函数x x y +-=22有最________值，最值为_________.练习4.抛物线2y ax bx c =++过点A (0,2)，它的对称轴是1x =-，那么acb=例2.将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝ .例3.把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是 .7中考链接：（2009昆明，15 , 3分）如图，四边形ABCD 是矩形，A 、B 两点在x 轴的正半轴上，C 、D 两点在抛物线y ＝－x 2＋6x 上．设OA ＝m (0＜m ＜3)，矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为．7. 二次函数解析式的求法（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，0a ≠）；（2）顶点式：y=a(x-h)²+k （a ，h ，k 为常数，0a ≠）；（3）两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.例1.求下列函数解析式（1）抛物线过点A ( 0 , 2 ) , B ( 1 , 2 ) , C ( 2 , 4 )三点（2）已知抛物线的顶点为A （ 1 , 2 ），过点B （ 3 , 4 ）（3）抛物线y=ax 2+bx+c 经过A ( -1 , 0 ), B ( 3 , 0 ) , C ( 0 , 1 )三点8三、二次函数与一元二次方程（1）二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 当函数值y ＝0时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当Δ=b ²－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点； ② 当Δ=b ²－4ac =0时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当Δ=b ²－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点.（2）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为（0，c ）.例1.已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .练习1.抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（）A 、0B 、1C 、2D 、以上都不对例2.关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_________象限；例3.二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（）A 、0,0>∆>aB 、0,0<∆>aC 、0,0>∆<aD 、0,0<∆<a例4.12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 为（）A 、0B 、-1C 、2D 、419四、二次函数图像题① 当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下；b 的符号的判定：对称轴x ＝－b2a 在y 轴左边则ab ＞0，在y 轴的右侧则ab ＜0，概括的说就是“左同右异”当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．② 当Δ=b ²－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当Δ=b ²－4ac =0时，图象与x 轴只有一个交点；当Δ=b ²－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点.③ a+b+c_____0，当x=1时；a-b+c_____0，当x=－1时.例1.满足a ﹤O ，b ＞0，c=0的函数y=ax 2+bx+c 的图象是图中的（）练习1.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，其中正确结论的个数为（）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个练习2.二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),(acb M 在（） A. 第一象限 B. 第二象限O xy10C. 第三象限D. 第四象限例2.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A ．y= -（x+1）2+2B ．y= -（x-1）2+4C ．y= -（x-1）2+2D ．y= -（x+1）2+4中考链接：（2011昆明，8,3分）抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A 、b 2﹣4ac ＜0B 、abc ＜0C 、12ba-<-错误!未找到引用源。

九年级数学(下)提高班讲义(一)——二次函数

九年级数学（下）提高班讲义（一）——二次函数图像与性质班级：姓名：例题讲解：例1：函数24(2)m m y m x +-=+是关于的二次函数，求（1）满足条件的m 值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点，求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？同步练习：已知是二次函数()2261m m y m x --=+，在此函数对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大。

（1）求m 的值；（2）画出该函数的图像例2：二次函数2y x bx c =++的图像向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到二次函数221y x x =-+的图像，求b 与c同步练习：抛物线()2257y x =--+向平移单位后，再向平移单位，可得抛物线221y x =--例3：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式：（1）已知二次函数的图像经过点(0,1)A -，(1,0)B ，(1,2)C -（2）已知抛物线的顶点为(1,3)-，且与y 轴交于点(0,1)（3）已知抛物线与x 轴交于点(3,0)-，(5,0)且与y 轴交于点(0,3)-（4）已知抛物线的顶点为(3,2)-，且与x 轴两交点间距离为4同步练习：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式。

（1）已知二次函数的图像经过点()()()0,21,13,5，，；（2）已知抛物线顶点为()1,2-且过点()2,1；（3）已知抛物线与x 轴交于点()()1,02,0-，，且经过点()1,2（4）已知二次函数2y ax bx c =++，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图像在x 轴上截得的弦长为4.例5：如图，抛物线E ：243y x x =++:交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点，抛物线E 关于y 轴对称的抛物线F 交x 轴于C 、D 两点。

九年级数学中考复习专题二次函数提优训练讲义

九年级数学二次函数提优训练
1．关于x 的一元二次方程0322
=+-m x x 的一根大于－2且小于－1，另一根大于2且小于3，则m 的取值范围．
2．如图，抛物线y=﹣2x 2+8x ﹣6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y=x+m 与C 1、C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（）
A ． ﹣2＜m ＜
B ． ﹣3＜m ＜﹣
C ． ﹣3＜m ＜﹣2
D ． ﹣3＜m ＜﹣
3．已知抛物线的表达式为2
6y x x c =-++ （1）若抛物线与x 轴有交点，求c 的取值范围；
（2）设抛物线与x 轴两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，若221226x x +=，求c 的值；
（3）若P 、Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA 、QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A 、B ，且△OPA 与△OQB 全等，求证：214c >-
4．在平面直角坐标系中，O 为原点，直线12--=x y 与y 轴交于点A ，与直线x y -=交于点B ，点B 关于原点对称点为点C 。

（1）求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；
（2）P 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q ．
①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；
②若点P 的横坐标为t （-1＜t ＜1），当t 为何值时，四边形PBQC 面积最大？并说明理由．。

二次函数培优讲义

二次函数培优讲义1. 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-2，7）、B （6，7）、C （3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点坐标为。

2. 如图，抛物线C1：y=x 2-4x 的对称轴为直线x=a ，将抛物线C 1向上平移5个单位长度得到抛物线C 2，则图中的两条抛物线、直线x=a 与y 轴所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（2）（4）（6）（9）（10）3. 抛物线1422++-=x x y 在x 轴上截得的线段长度是．4. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则abc ，ac b 42-， c b a ++这3个式子中，值为正数的有（）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个5. 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过原点和第一、二、三象限，那么( ) A.a>0,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c=0 C.a<0,b<0,c>0 D.a>0,b>0,c=06. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为21-=x 。

下列结论中，正确的是【】 A ．0abc > B ．0a b += C ．20b c >+ D ．42a c b +<7. 关于x 的二次函数()()y=x+1x m -，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是【】A. m <1-B. 1<m<0-C. 0<m<1D. m >18. 二次函数y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是【】A ．0＜t ＜1 B ．0＜t ＜2 C ．1＜t ＜2 D ．﹣1＜t ＜19. 二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为【】 A ．3- B ．3 C ．6- D ．910. 如图，抛物线y 1=a （x ＋2）2－3与y 2=12（x －3）2＋1交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y 2－y 1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是【】A ．①② B．②③ C．③④ D ．①④11. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( )O xy-1 112. 已知抛物线y ＝5x 2＋(m －1)x ＋m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧，它们的距离平方等于为4925，则m 的值为( )A.－2 B.12 C.24 D.48 13. 二次函数n x x y +-=62的部分图像如图所示，若关于x 的一元二次方程062=+-n x x 的一个解为11=x ，则另一个解2x =（13）（17）14. 抛物线m x x y +--=22，若其顶点在x 轴上，则=m15. 已知抛物线c x ax y ++=22与x 轴的交点都在原点的右侧，则点M （c a ,）在第象限．16. 已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴的正半轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ．17. 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点。

二次函数-提优

二次函数-提优第第二讲二次函数（提优）模块精讲二次函数增减性的应用二次函数的增加性是以对称轴为分界点，如果开口向上，对称轴左边……1、给出几个点的横坐标x的值，比较函数值y的大小。

可能你会觉得，很简单，把x的值代入解析式，y的值就出来了，研究增减性……看题吧①如果抛物线开口向上，与对称轴距离越大，函数值越大。

具体到图像上，如果两个点都在对称轴左边……右边……一左一右……②如果抛物线开口向下，与对称轴距离越小，函数值越大。

…………Dx=100例1、若A（91，y1），B （102，y2），C（97，y3），D（110，y4）是抛物线y=x2－200x＋65536上的四个点。

则y1，y2，y3，y4按由小到大的顺序排列为_____________________。

A这个题目如果将x的值代入解析式，计算量很大……x1101029791CB我们画一个图像，做出对称轴。

很容易看出A 点和C点函数值的大小，B点和D点……那如果在对称轴的两侧呢？还是要看里对称轴的距离：A：|100－91|=9；B：|100－102|=2；C：|100－97|=3；D：|100－110|=10.根据该点里对称轴的距离，很容易得出：y2＜y3＜y1＜y4.总结：比较函数值大小的问题，先画出函数图像就对称轴，图像中那边增那边减一目了然，在对称轴同侧大小就出来了；如果两个点在对称轴的两侧，就要计算该点与对称轴的距离。

例2、已知0＜m＜3，且点A（0，a），B（m＋1，b），C（3,c）都在二次函数y=－x 2－2x＋－2的图像上，则a、b、c按由小到大的顺序排列为_____________________。

解析式带了根号，横坐标带了参数，函数图像很难画了。

那我们就比较点到对称轴的距离。

先找对称轴，为x=－1.再算距离：A：|0－(－1)|=1；B：|m＋1－(－1)|=|m＋2|C：|3－(－1)|=|2|B和C带有参数怎么办呢？再找已知条件，有0＜m＜3，所以B的距离2＜|m＋2|＜5，C的距离1＜|2|＜2。

初三-第03讲-二次函数(提高)-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级（下）课时数：3学员姓名：辅导科目：学科教师：授课主题第03讲---二次函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握二次函数的定义；②掌握二次函数的一般式；③能掌握二次函数的简单应用。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念1、二次函数的概念一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．注意：（1）二次项系数a≠0；y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式；（2）ax2＋bx＋c必须是整式；（3）一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；（4）自变量x的取值范围是全体实数．典例分析体系搭建考点一：二次函数的定义例1、下列函数：y=x（8﹣x），y=1﹣x2，y=，y=x2﹣，其中以x为自变量的二次函数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】B．例2、已知二次函数y=1﹣3x+5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（）A．a=1，b=﹣3，c=5 B．a=1，b=3，c=5C．a=5，b=3，c=1 D．a=5，b=﹣3，c=1【解析】D．例3、若y=（m+2）是二次函数，则m的值是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．不能确定【解析】B．考点二：二次函数数值的相关计算例1、若函数y=4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．【解析】C．例2、已知x是实数，且满足（x﹣2）（x﹣3）=0，则相应的函数y=x2+x+1的值为（）A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3【解析】∵（x﹣2）（x﹣3）=0，∴x≤1，∴x=1，当x=1，y=x2+x+1=1+1+1=3．故选：C．考点三：二次函数的简单应用例1、下列函数关系中，是二次函数的是（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系B．当距离一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系C．矩形的面积S和矩形的宽x之间的关系D．等边三角形的面积S与边长x之间的关系【解析】D．例2、某软件商品销售一种益智游戏软件，如果以每盘50元的售价销售，一个月能售出500盘，根据市场分析，若销售单价每涨价1元，月销售量就减少10盘，试写出当每盘的售价涨x元时，该商店月销售额y （元）与x（元）的函数关系式为y=﹣10x2+25000．【解析】∵原来的价格是每盘50元，∴售价提高了x元后现价为（50+x）元，∵每涨价1元，月销售量就减少10盘，∴现在月销售量为（500﹣10x），∴y=（50+x）（500﹣10x）=﹣10x2+25000．故填空答案：y=﹣10x2+25000．例3、如图所示，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=15cm，下底BC=40cm，垂直于底的腰CD=30cm，现要截成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD边上，求矩形MPCN的面积S关于MN的长x的函数关系式．【解析】如图，过点A作AE⊥BC于E，∵CD是直角梯形垂直于底的腰，∴四边形ADCE是矩形，∴CE=AD=15cm，AE=CD=30cm，∴BE=BC﹣CE=40﹣15=25cm，∵MN=x，四边形MPCN是矩形，∴BP=BC﹣CP=40﹣x，∵MP∥AE∥CD，∴△ABE∽△MBP，∴=，即=，解得MP=﹣x+48，∴矩形MPCN的面积S=（﹣x+48）x=﹣x2+48x．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=2x2﹣7 D．【解析】C．2、对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（）A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC．当a=0时，一次函数是y=bx+c D．以上说法都不对【解析】D．3、若y=2是二次函数，则m等于（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．不能确定【解析】C．4、对于二次函数y=x2+3x﹣2，当x=﹣1时，y的值为﹣4．【解析】﹣45、某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度χ（m）之间满足二次函数y=χ2（χ＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车的速度为10m/s．【解析】当刹车距离为5m时，即y=5，代入二次函数解析式：5=χ2解得x=±10，（x=﹣10舍），故开始刹车时的速度为10m/s．故答案为：10m/s．6、一个二次函数y=（k﹣1）+2x﹣1．（1）求k值．（2）求当x=0.5时y的值？【解析】（1）由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，解得：k=2；（2）把k=2代入y=（k﹣1）+2x﹣1得：y=x2+2x﹣1，当x=0.5时，y=．7、已知函数y=（m+3）．（1）当m为何值时，它是正比例函数？（2）当m为何值时，它是反比例函数？（3）当m为何值时，它是二次函数？【解析】（1）当函数y=（m+3）是正比例函数，∴m2+2m﹣2=1，且m+3≠0，解得：m1=﹣3（舍去），m2=1，则m=1时，它是正比例函数；（2）当函数y=（m+3）是反比例函数，∴m2+2m﹣2=﹣1，且m+3≠0，解得：m1=﹣1+，m2=﹣1﹣，则m=﹣1±时，它是反比例函数；（3）当函数y=（m+3）是二次函数，∴m2+2m﹣2=2，且m+3≠0，解得：m1=﹣1+，m2=﹣1﹣，则m=﹣1±时，它是二次函数．8、某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式；（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？【解析】（1）销售单价为x元，则销售量减少×20，故销售量为y=240﹣×20=﹣4x+480（x≥60）；（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000，解得x1=70，x2=50（不合题意舍去），故当销售价为70元时，月销售额为14000元；（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：w=（x﹣40）（﹣4x+480）=﹣4x2+640x﹣19200=﹣4（x﹣80）2+6400．当x=80时，w的最大值为6400．故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．➢课后反击1、下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+cC．y=2t2+1 D．y=x2+【解析】C．2、下列函数中①y=3x+1；②y=4x2﹣3x；③y=+x2；④y=5﹣2x2，是二次函数的有（）A．②B．②③④C．②③D．②④【解析】D．3、是二次函数，则m的值为（）A．0，﹣2 B．0，2 C．0 D．﹣2【解析】D．4、已知二次函数y=x2+3x﹣5，当x=2时，y的值为（）A．1 B．+1 C．5 D．6【解析】C．5、已知函数y=（m2+m）．（1）当函数是二次函数时，求m的值；m=2；（2）当函数是一次函数时，求m的值．m=1．【解析】（1）依题意，得m2﹣2m+2=2，解得m=2或m=0；又因m2+m≠0，解得m≠0或m≠﹣1；因此m=2．（2）依题意，得m2﹣2m+2=1解得m=1；又因m2+m≠0，解得m≠0或m≠﹣1；因此m=1．6、根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：（1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数；（2）一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数；（3）有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数．【解析】（1）这两个数的乘积p与较大的数m的函数关系为：p=m（m﹣5）=m2﹣5m，是二次函数；（2）剩余的面积S（cm2）与方孔边长x（cm）的函数关系为：S=100π﹣4x2，是二次函数；（3）郁金香的种植面积S（cm2）与草坪宽度a（m）的函数关系为：S=（60﹣2a）（40﹣2a）=4a2﹣200a+2400，是二次函数．直击中考1、【•安徽】某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=a（1+x）2．【解析】∵一月份新产品的研发资金为a元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．故填空答案：a（1+x）2．2、【•泰安】如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为y=x2+4x（0＜x≤6）．【解析】∵AB=8，BC=6，∴CD=8，∴BD=10，∵DM=x，∴BM=10﹣x，如图，过点M作ME⊥BC于点E，∴ME∥DC，∴△BME∽△BDC，∴=，∴ME=8﹣x，而S△MBP=×BP×ME，∴y=x2+4x，P不与B重合，那么x＞0，可与点C重合，那么x≤6．故填空答案：y=x2+4x（0＜x≤6）．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、二次函数的定义2、二次函数的简单应用名师点拨二次函数的解析式中，注意a≠0学霸经验➢本节课我学到了➢我需要努力的地方是。