2016届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

【考点】函数与导数．
【一题多解】∵，∴，即，
当时，，即，故，所以，一定出错，故选：C．
13．
．
【答案】
【解析】试题分析： ．
【考点】三角恒等变换．
14．在的展开式中，项的系数为
（结果用数值表示）．
【答案】45
【解析】试题分析：因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为
【考点】二项式定理．
15．如图所示，，O为△ABC的内心，则的值为
义算出，再根据向量数量积的定义加以计算，可得的值．
16．如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）
按如下规则标上数字标签：原点处标数字，点处标数字，点处标数字，
点处标数字，点处标数字，点处标数字，点处标数字，点处标数字，…
以此类推：记格点坐标为的点（均为正整数）处所标的数字为，若，则
2016届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第三次
月考
数学（理）试题及解析
一、选择题
1．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】试题分析：根据全称命题和特称命题互为否定可知，命
题“，”的否定为“，”．
【考点】命题的否定．
2．雅礼中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1000名学
【考点】归纳推理． 【思路点睛】本题考查归纳推理，归纳推理是由特殊到一般的推理，求 解本题的关键是从特殊数据下手，找出规律，总结出所要的表达式；本 题在解答时，由图形，格点的连线呈周期性过横轴，研究每一周的格点 数及每一行每一列格点数的变化，得出规律即可． 三、解答题 17．在△ABC中，内角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）若，求边的长及的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】试题分析：（1）因为，利用同角的基本关系可得，再利用三 角形内角之间的关系，可得即可求出的值； （2）由（1）可知，又由 正弦定理知：，故，再对对角A运用余弦定理：，解得，再根据三角形 的面积公式即可求出结果． 试题解析：（1）∵，∴， 又． 整理得：． （2）由（1）可知． 又由正弦定理知：，故． ① 对角A运用余弦定理：．② 解①②得：或（舍去）． ∴△ABC的面积为：． 【考点】1．同角的基本关系；2．正弦定理；3．余弦定理． 18．某校教务处要对高三上学期期中数学试卷进行调研，考察试卷中某 道填空题的得分情况．已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不 答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分．第一空答对与否与第 二空答对与否是相互独立的．从该校1468份试卷中随机抽取1000份试 卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：
．
【答案】 【解析】试题分析：从横轴上的点开始点开始计数，从开始计数第一周 共个格点，除了四个顶点外每一行第一列各有一个格点，外加一个延伸 点，第二周从开始计，除了四个顶点的四个格点外，每一行每一列有三 个格点，外加一个延伸点共个，拐弯向下到达横轴前的格点补开始点的 上面以补足起始点所在列的个数，设周数为，由此其规律是后一周是前 一周的格点数加上，各周的点数和为，每一行（或列）除了端点外的点 数与周数的关系是，由于， ，∴当时，．故答案为．
则，设是平面的法向量，，则取，得，…9分 设直线上的点满足，则，则，∵ ，解得， ∴在直线上存在点，使得直线与平面所成角为． 【考点】1．线面垂直的判定定理；2．面面垂直的判定定理；3．空间 向量在立体几何中的应用． 【方法点睛】求直线与平面所成的角 的向量法：设为直线与平面所成 的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有（图1）或
变成了1101101，①若，则，从而由校验方程组，得，故；②若，则，
从而由校验方程组，得，故；③若，则，从而由校验方程组，得，故；
④若，则，从而由校验方程组，得，故；⑤若，则，从而由校验方程
组，得，故符合题意；⑥若，则，从而由校验方程组，得，故；⑦若，
则，从而由校验方程组，得，故；综上，等于．
二、填空题
生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行
编号，求得间隔数k=20，即分50组每组20人．在第一组中随机抽取一个
号，如果抽到的是17号，则第8组中应取的号码是（ ）
A．177
B．157
C．417 D．367
【答案】B
【解析】试题分析：根据系统抽样法的特点，可知抽取出的编号成首先
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【方法点睛】古典概型的一般解题技巧：第一步：判明问题的性质；这
类随机试验中只有有限种不同的结果，即只可能出现有限个基本事件不
妨设为；且它们具有以下三条性质:（1）等可能性:：；（2）完备性： 在任一次试验中至少发生一个；（3）互不相容性：在任一次试验 中，，中至多有一个出现，每个基本事件的概率为，即；第二步：掌握 古典概率的计算公式； 如果样本空间包含的样本点的总数，事件包含 的样本点数为，则事件的概率． 5．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额 进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2． 5万元，则11时至12时的销售额为（ ）
【考点】排列组合．
8．函数的部分图象如图所示，其中A ，B两点之间的距离为5，则的递
增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】试题分析：由勾股定理可得，点的横坐标为，所以周期；将点
的坐标代入得：．
由得：，所以选B．
【考点】正弦型函数的图象及其单调性．
9．已知是等差数列，公差d不为零，前n项和是，若成等比数列，则（
．
【答案】
【解析】试题分析： ∵中，，∴根据余弦定理，得．面积为，设内切
圆的半径为，可得，即，解得，设内切圆与的切点为，连结，∵平分，
∴，中，，因此，
．故选：B．
【考点】1．平面向量数量积的运算；2．向量在几何中的应用．
【思路点睛】根据题中数据，在中利用余弦定理算出，面积为．算出内
切圆的半径．设内切圆与的切点为，连结，可得．中利用三角函数的定
和半个圆柱组合而成，由此可知该几何体的体积为，故选A．
【考点】空间几何体的三视图．
7．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000
大的偶数共有（ ）
A．144个
B．120个
C．96个
D．72个
【答案】B
【解析】试题分析：据题意，万位上只能排4、5．若万位上排4，则有
个；若万位上排5，则有个．所以共有个．选B．
【考点】1．函数的奇偶性；2．零点的概念．
4．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-2为公比的等比数列，若
从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是（ ）
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A．
B．
C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：由题意成等比数列的个数为：，其中小于的项有：
共个数，这个数中随机抽取一个数，则它小于的概率是．
（图2），
即直线与平面所成的角可看成是向量与平面的法向量所成的锐角的余 角，所以有．特别地 时，，；时，，或． 20．已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点
（1）求椭圆的方程； （2）设不过原点的直线与该椭圆交于两点，满足直线的斜率依次成等 比数列，求面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】试题分析：（1）先设出椭圆方程为，再根据条件离心率为及 椭圆上的点，代入即可得到椭圆方程；（2）先设出直线方程及，然后 联立椭圆方程得到及．再由直线的斜率依次成等比数列得到，由得到． 代入中及直线的斜率存在得到，且，然后由点到直线的距离公式及两点 间距离公式得到面积．最后由基本不等式得到，从而得到面积的取值范 围． 试题解析：（1）由题意可设椭圆方程为，则（其中，），且，故． 所以椭圆的方程为． （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0．故可设直线：， 设， 由，消去得， 则， 且， 故， 因为直线的斜率依次成等比数列， 所以，即．
12．若定义在R上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】试题分析：由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递
增，且，故，所以，，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构
造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，，选项A，B无法
判断，故选C．
为17，公差为20的等差数列，所以低8组的编号是，故选B．
【考点】系统抽样法．
3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：选项A：是偶函数，且，，故D项正确；选项B：是
偶函数，但无解，即不存在零点，故B错误；选项C：是奇函数，故C
错；选项D：的定义域为（0，+∞），故不具备奇偶性，故A错误．
∴，∵，∴．故选：D．
【考点】双曲线的简单性质．
11．一个二元码是由0和1组成的数字串，其中称为第k位码元，二元码
是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0
变为1，或者由1变为0）
已知某种二元码的码元满足如下校验方程组：，其中运算⊕定义为：．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了
（1）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计该校高三学生该题的平 均分． （2）该校的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，
以样本中各种得分情况的频率（精确到0．1）作为该同学相应的各种得 分情况的概率．试求该同学这道题得分ζ的分布列及数学期望． 【答案】（1）3．01分；（2）3 【解析】试题分析：（1）由平均数公式和表中数据，即可估计该校高 三学生该题的平均分；（2）依题意，第一空答对的概率为0．8，第二 空答对的概率为0．3，然后再利用独立事件的概率公式和期望公式即可 求出结果． 试题解析：（1）设样本试卷中该题的平均分为，则由表中数据可得： ， 据此可估计该校高三学生该题的平均分为3．01分． （2）依题意，第一空答对的概率为0．8，第二空答对的概率为0．3，
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】试题分析：∵等差数列，，，成等比数列，∴，
∴，∴，，故选C．
【考点】1．等差数列的通项公式及其前项和；2．等比数列的概念．
10．设是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，若（c为半焦距），则双曲
线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2 D．
【答案】D
【解析】试题分析：由题意得，是直角三角形，由勾股定理得，∴，
A．6万元
B．8万元
C．10万元
D．12万元
【答案】C
【解析】试题分析：由频率分布直方图可知，9时至10时的销售额与11
时至12时的销售额的比是，所以11时至12时的销售额为万元．
【考点】频率分布直方图．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：由该几何体的三视图可知该几何体是由一个三棱锥
（1）求证：平面PBC⊥平面PAC； （2）若PA=1，AB=2，BC=，在直线AC上是否存在一点D，使得直线BD与 平面PBC所成角为30°？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）在直线上存在点，使得直线与平面所成 角为． 【解析】试题分析：（1）由题意可知，因为，可得平面，进而可得， 再利用面面垂直的判定定理可得，平面平面； （2）由已知及（1）所 证可知，平面，．以为原点，建立如图的空间直角坐标系，则，可求得 平面的法向量为，设直线上的点满足，则，则，根据，即可解得得值． 试题解析：（1）∵，∴PA⊥AB，PA⊥AC． ∵平面． ∵平面． ∵，∴平面． ∵平面，∴平面平面． （2）由已知及（1）所证可知，平面．以为原点，建立如图的空间直角 坐标系，
1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】试题分析：由题意得相同数字经过运算后为，不同数字运算后
为．由可判断后个数字出错；由可判断后个数字没错，即出错的是第个
或第个；由可判断出错的是第个，综上，第位发生码元错误．
【考点】推理证明和新定义．
【一题多解】依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后
则该同学这道题得分ζ的分布列如下：
所以． 【考点】1．平均数；2．数学期望． 【方法点睛】1、互斥事件与相互独立事件的区别：互斥事件与相互独 立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系；互斥事件是指两个 事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个 事件发生的概率没有影响．一般地，两个事件不可能即互斥又相互独 立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够 同时发生为前提的。相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的 概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的． 2、概率与的联系与区别 联系：事件都发生了； 区别：①在中，事件发生有时间上的差异，事件先发生事件后发生；在 中，事件同时发生；②基本事件空间不同在中，事件成为基本事件空 间；在中，基本事件空间仍为原基本事件空间． 19．如图，在三棱锥P-ABC中，．