2017-2018学年甘肃省天水一中高一(上)期中数学试卷

2017-2018学年甘肃省天水一中高一（上）期中数学试卷一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）设a=logπ3，b=20.3，c=log2，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c2．（4分）函数f（x）=e x+x﹣3在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（4分）某商品进货价格为30元，按40元一个销售，能卖40个；若销售价格每涨1元，销量减少1个，要获得最大利润，此商品的售价应是（）A．55 B．50 C．56 D．484．（4分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．（4分）已知函数是定义域上的单调增函数，则a的取值范围是（）A．[3﹣，2）B．C．D．6．（4分）已知lga+lgb=0，则函数f（x）=a﹣x与函数g（x）=log b x在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．7．（4分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2正整数为零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f（1）=﹣2，f（1.5）=0.625，f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260，f（1.4375）=0.162．f（1.40625）=﹣0.054．则方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似值（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.58．（4分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+129．（4分）已知f（x）=log a（ax2﹣x）（a＞0且a≠1）且a≠1在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1） C．（0，1]D．[2，+∞）10．（4分）已知函数f（x）=|ln|x﹣1||+x2与g（x）=2x有n个交点，它们的横坐标之和为（）A．0 B．2 C．4 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.11．（4分）函数y=的定义域是．12．（4分）计算：log3+4﹣log3=．13．（4分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为．14．（4分）给出下列四个命题：（1）函数f（x）=log a（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；（2）函数y=log2x与函数y=2x互为反函数；（3）若，则a的取值范围是；（4）函数y=log a（5﹣ax）在区间[﹣1，3）上单调递减，则a的范围是；其中所有正确命题的序号是．三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出必要的文字说明.15．（10分）已知指数函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的反函数g（x）的解析式；（2）解不等式：g（x）≤log a（2﹣3x）16．（10分）已知函数f（x）=lg（3﹣4x+x2）定义域为M（1）求定义域M；（2）当x∈M时，求g（x）=2x+2﹣3×4x的最值及相应的x的值．17．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值范围；（2）确定m的取值范围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．18．（12分）已知g（x）=x2﹣2ax+1在区间[1，3]上的值域[0，4]．（1）求a的值；（2）若不等式g（2x）﹣k•4x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数k的取值范围．2017-2018学年甘肃省天水一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）设a=logπ3，b=20.3，c=log2，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得到．【解答】解：∵0＜a=logπ3＜1，b=20.3＞1，c=log2＜0，∴c＜a＜b．故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．2．（4分）函数f（x）=e x+x﹣3在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据函数f（x）=e x+x﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点【解答】解：∵函数f（x）=e x+x﹣2在区间（0，1）内单调递增，∵f（0）=1+1﹣3=﹣1＜0，且f（1）=e+1﹣3＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函数f（x）=e x+x﹣3在区间（0，1）内有唯一的零点，故选：B．【点评】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．3．（4分）某商品进货价格为30元，按40元一个销售，能卖40个；若销售价格每涨1元，销量减少1个，要获得最大利润，此商品的售价应是（）A．55 B．50 C．56 D．48【分析】根据题意，总利润=销售量×每个利润，设售价为x元，总利润为W元，则销售量为40﹣1×（x﹣40），每个利润为（x﹣30），据此表示总利润，利用配方法可求最值．【解答】解：设售价为x元，总利润为W元，则W=（x﹣30）[40﹣1×（x﹣40）]=﹣x2+110x﹣2400=﹣（x﹣55）2+625，∴x=55时，获得最大利润为625元，故选：A．【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，考查配方法求最值，属于中档题．4．（4分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】连接B1G，EG，先利用长方形的特点，证明四边形A1B1GE为平行四边形，从而A1E∥B1G，所以∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角，再在三角形B1GF中，分别计算三边的长度，利用勾股定理即可得此角的大小【解答】解：如图：连接B1G，EG∵E，G分别是DD1，CC1的中点，∴A1B1∥EG，A1B1=EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角在三角形B1GF中，B1G===FG===B1F===∵B1G2+FG2=B1F2∴∠B1GF=90°∴异面直线A1E与GF所成角为90°故选：D．【点评】本题考查了空间异面直线所成的角的作法、证法、算法，长方体的性质及其中的数量关系的应用，将空间问题转化为平面问题的思想方法5．（4分）已知函数是定义域上的单调增函数，则a 的取值范围是（）A．[3﹣，2）B．C．D．【分析】利用分段函数以及指数函数与对数函数的性质，列出不等式组求解即可．【解答】解：函数是定义域上的单调增函数，可得，解得：a∈[3﹣，2）．故选：A．【点评】本题考查分段函数的单调性的应用，指数函数以及对数函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6．（4分）已知lga+lgb=0，则函数f（x）=a﹣x与函数g（x）=log b x在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由对数的运算性质可得ab=1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图象，即可得到答案．【解答】解：lga+lgb=0，即为lg（ab）=0，即有ab=1，当a＞1时，0＜b＜1，函数f（x）=a﹣x与函数g（x）=log b x在同一坐标系中的图象不可能是C，而A显然不成立，对数函数图象不可能在y轴的左边；D是0＜a＜1，0＜b＜1；当0＜a＜1时，b＞1，函数f（x）=a﹣x与函数g（x）=log b x在同一坐标系中的图象可能是B，故选：B．【点评】本题考查指数函数和对数函数的图象的画法，考查对数的运算性质，属于基础题．7．（4分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2正整数为零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f（1）=﹣2，f（1.5）=0.625，f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260，f（1.4375）=0.162．f（1.40625）=﹣0.054．则方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似值（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【分析】由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项【解答】解：由表中数据f（1）=﹣2，f（1.5）=0.625，f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260，f（1.4375）=0.162．f（1.40625）=﹣0.054．中结合二分法的定义得f（1.375）•f（1.4375）＜0，零点应该存在于区间（1.375，1.4375）中，观察四个选项，方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似值（精确到0.1）为1.4，与其最接近的是C，故选：C．【点评】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．属于基本概念的运用题8．（4分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+12【分析】由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，V==6π+12，故选：A．【点评】本题考查了常见几何体的三视图与体积计算，属于基础题．9．（4分）已知f（x）=log a（ax2﹣x）（a＞0且a≠1）且a≠1在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1） C．（0，1]D．[2，+∞）【分析】令z=ax2﹣x（z＞0），则y=log a z，讨论a＞1，0＜a＜1，运用对数函数和二次函数的单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：f（x）=log a（ax2﹣x）（a＞0且a≠1）且a≠1在[2，4]上是增函数，若0＜a＜1，则y=log a z在（0，+∞）递减，可得z=ax2﹣x（z＞0）在[2，4]递减，即有16a﹣4＞0，且≥4，解得a＞且a≤，可得a∈∅；若a＞1，则y=log a z在（0，+∞）递增，可得z=ax2﹣x（z＞0）在[2，4]递增，即有4a﹣2＞0，且≤2，解得a＞且a≥，可得a＞1．综上可得，a＞1．故选：A．【点评】本题考查对数函数的图象和性质，注意运用复合函数的单调性：同增异减，考查运算能力，属于中档题．10．（4分）已知函数f（x）=|ln|x﹣1||+x2与g（x）=2x有n个交点，它们的横坐标之和为（）A．0 B．2 C．4 D．8【分析】令f（x）=g（x）得出|ln|x﹣1||=﹣x2+2x，作出y=|ln|x﹣1||和y=﹣x2+2x 的函数图象，根据函数图象的对称性得出零点的和．【解答】解：令f（x）=g（x），即|ln|x﹣1||+x2=2x，∴|ln|x﹣1||=﹣x2+2x，分别作出y=|ln|x﹣1||和y=﹣x2+2x的函数图象，如图所示：显然函数图象有4个交点，设横坐标依次为x1，x2，x3，x4，∵y=|ln|x﹣1||的图象关于直线x=1对称，y=﹣x2+2x的图象关于直线x=1对称，∴x1+x4=2，x2+x3=2，∴x1+x2+x3+x4=4．故选：C．【点评】本题考查了函数的零点与函数图象的关系，对数函数的图象，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.11．（4分）函数y=的定义域是1＜x＜2．【分析】真数要大于0，负数不能开偶次方根，分母不能为0．【解答】解：要使函数有意义则：∴1＜x＜2故答案是：1＜x＜2【点评】本题主要考查函数定义域及求法．12．（4分）计算：log3+4﹣log3=11．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log3+4﹣log3=log3+9+log3=log3（×）+9=log39+9=2+9=11．给答案为：11．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．13．（4分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO1上，记为O，如图．求出AO1，OO1，解出球的半径，求出球的体积．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=4，OO1=4﹣R，在Rt△AO1O中，AO1=，由勾股定理R2=2+（4﹣R）2得R=，∴球的体积为．故答案为：．【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．14．（4分）给出下列四个命题：（1）函数f（x）=log a（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；（2）函数y=log2x与函数y=2x互为反函数；（3）若，则a的取值范围是；（4）函数y=log a（5﹣ax）在区间[﹣1，3）上单调递减，则a的范围是；其中所有正确命题的序号是（2）（4）．【分析】根据对数的性质及反函数的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：（1）当x=1时，f（1）=﹣1恒成立，故函数f（x）=log a（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1），错误；（2）函数y=log2x与函数y=2x互为反函数，正确；（3）若，则a的取值范围是，错误；（4）函数y=log a（5﹣ax）在区间[﹣1，3）上单调递减，则，解得a 的范围是，正确；故答案为：（2）（4）【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题目综合性较强，难度中档．三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出必要的文字说明.15．（10分）已知指数函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的反函数g（x）的解析式；（2）解不等式：g（x）≤log a（2﹣3x）【分析】（1）由指数式求解x，把x，y互换，即可求得函数f（x）的反函数；（2）把g（x）代入g（x）≤log a（2﹣3x），对a分类，化对数不等式为一元一次不等式组求解．【解答】解：（1）由f（x）=a x，得x=log a y，∴函数f（x）的反函数g（x）=log a x（a＞0且a≠1）；（2）由g（x）≤log a（2﹣3x），得log a x≤log a（2﹣3x），当a＞1时，得，解得0，不等式的解集为（0，]；当0＜a＜1时，得，解得，不等式的解集为[，）．【点评】本题考查函数的反函数的求法，考查对数不等式的解法，是基础题．16．（10分）已知函数f（x）=lg（3﹣4x+x2）定义域为M（1）求定义域M；（2）当x∈M时，求g（x）=2x+2﹣3×4x的最值及相应的x的值．【分析】（1）由题意可知3﹣4x+x2＞0，从而解出集合M；（2）由题意，利用换元法求函数的最大值及最大值点；【解答】解：（1）∵y=lg（3﹣4x+x2），∴3﹣4x+x2＞0，解得：M={x＜1或x＞3}，∴M={x＜1或x＞3}．（2）由f（x）=2x+2﹣3×4x=4×2x﹣3×（2x）2令2x=t，∵M={x＜t或x＞3}，∴t＞8或0＜t＜2．∴f（x）=y=4t﹣3t2=﹣3（t﹣）2+，（t＞8或0＜t＜2）由二次函数性质可知：当0＜t＜2时，f（x）∈（﹣4，]，当t＞8时，f（x）∈（﹣∞，﹣160）；当2x=t=，即x=log2时，f（x）=．综上可知：当x=log2时，f（x）取到最大值为，无最小值．【点评】本题考查对数函数的定义域，考查求函数的最值，正确运用配方法求最值是关键．17．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值范围；（2）确定m的取值范围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．【分析】（1）由基本不等式可得g（x）=x+≥2=2e，从而求m的取值范围；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，求导F′（x）=1﹣+2x ﹣2e=（x﹣e）（+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值范围．【解答】解：（1）∵g（x）=x+≥2=2e；（当且仅当x=，即x=e时，等号成立）∴若使函数y=g（x）﹣m有零点，则m≥2e；故m的取值范围为[2e，+∞）；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，故只需使F（e）＜0，即e+e+e2﹣2e2﹣m+1＜0；故m＞2e﹣e2+1．【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．18．（12分）已知g（x）=x2﹣2ax+1在区间[1，3]上的值域[0，4]．（1）求a的值；（2）若不等式g（2x）﹣k•4x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数k的取值范围．【分析】（1）对g（x）配方，求出对称轴x=a，讨论若1≤a≤3时，若a＞3时，若a＜1，由单调性可得最小值，解方程，即可得到所求a的值；（2）由题意可得（2x）2﹣2•2x+1﹣k•4x≥0，化为k≤（2﹣x）2﹣2•2﹣x+1，令t=2﹣x，求出t的范围，求得右边函数的最小值即可得到k的范围；（3）令y=0，可化为|2x﹣1|2﹣2•|2x﹣1|+1+2k﹣3k•|2x﹣1|=0（|2x﹣1|≠0）有3个不同的实根．令t=|2x﹣1|，讨论t的范围和单调性，t2﹣（3k+2）t+1+2k=0有两个不同的实数解t1，t2，已知函数有3个零点等价为0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2=1，记m（t）=t2﹣（3k+2）t+1+2k，由二次函数图象可得不等式组，解不等式可得k的范围．【解答】解：（1）g（x）=x2﹣2ax+1=（x﹣a）2+1﹣a2在区间[1，3]上的值域[0，4]．若1≤a≤3时，g（x）的最小值为g（a）=1﹣a2，由1﹣a2=0，可得a=1（﹣1舍去），g（x）=（x﹣1）2满足在区间[1，3]上的值域[0，4]；若a＞3时，g（x）在[1，3]递减，g（x）的最小值为g（3），由g（3）=10﹣6a=0，解得a=（舍去）；若a＜1，则g（x）在[1，3]递增，g（x）的最小值为g（1），由g（1）=2﹣2a=0，解得a=1．综上可得，a=1；（2）由g（2x）﹣k•4x≥0即（2x）2﹣2•2x+1﹣k•4x≥0，化为k≤（2﹣x）2﹣2•2﹣x+1，令t=2﹣x，由x≥1可得0＜t≤，则k≤t2﹣2t+1，0＜t≤，记h（t）=t2﹣2t+1，0＜t≤，由单调递减，可得h（t）的最小值为（﹣1）2=，则k的取值范围是k≤；（3）令y=0，可化为|2x﹣1|2﹣2•|2x﹣1|+1+2k﹣3k•|2x﹣1|=0（|2x﹣1|≠0）有3个不同的实根．令t=|2x﹣1|，则t＞0，由2x﹣1＞﹣1，当x＜0时，t=|2x﹣1|=1﹣2x，t∈（0，1]且递减，当0＜x＜1时，t=|2x﹣1|=2x﹣1，t∈（0，1）且递增，当x=1时，t=1．当x＞1时，t=|2x﹣1|=2x﹣1，t∈（1，+∞）且递增，t2﹣（3k+2）t+1+2k=0有两个不同的实数解t1，t2，已知函数有3个零点等价为0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2=1，记m（t）=t2﹣（3k+2）t+1+2k，则或，解得k＞0或k无实数解，综上可得，k的取值范围是（0，+∞）．【点评】本题考查二次函数在闭区间上最值问题，注意对称轴和区间的关系，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查函数零点问题，注意转化思想运用，考查分类讨论思想方法运用，以及运算化简能力，属于难题．。