高考数学(一轮复习)最基础考点：函数的周期性

专题6 函数的周期性

函数的周期性

★★★

○○○○

1．周期函数

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．周期函数y＝f(x)满足：

(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；

(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；

(3)若f(x＋a)＝－1

f x，则函数的周期为2

a；

(4)若f(x＋a)＝1

f x，则函数的周期为2

a；

(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；

(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b, 0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；

(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；

(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；

(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.

函数周期性的判定与应用

(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x ＋T)＝f(x)(T≠0)即可．

(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT(k ∈Z 且k≠0)也是函数的周期．

[典例] (1)(·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨

⎧

21－x ，0≤x ≤1，

x －1，1

如果对任意的n ∈N *

，定义f n (x )＝

，那么f 2 016(2)的值为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2

，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝________.

[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 016(2)＝f 3×672(2)＝f 3(2)＝2，故选C.

1．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3

a ＋1，则实数a 的取值范围为

________．

解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，

∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4

a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4.

答案：(－1,4)

2．奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2

，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．

3．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，

f (x )＝2x －1.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫52

＝________.

解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20

－1＝ 2.

答案：2

1．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎨

⎧

4x 2

－2，－2≤x ≤0，

x ，0＜x ＜1，

则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫52＝( )

A ．0

B ．1 C.1

2

D ．－1

解析：选D 因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－122

－2＝－1，故选

D.

2．(·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫52的值为( )

A.12

B.14 C ．－14

D ．－1

2

解析：选A ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＋2

＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12. 3．(·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝

⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫92，则f (5a )的值是________．

4．若对任意x ∈R ，函数f (x )满足f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，且f (2 018)＝－2 017，则f (－1)＝________.

解析：由f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，得f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 017＋1)，令x ＋2 017＝t ，即f (t ＋1)＝－f (t )，所以f (t ＋2)＝f (t )，即函数f (x )的周期是2.令x ＝0，得f (2 017)＝－f (2 018)＝2 017，即f (2 017)＝2 017，又f (2 017)＝f (1)＝f (－1)，所以f (－1)＝2 017. 答案：2 017

5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2

；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值． 解：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2

； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，

∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，

∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)

＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝f (2 011)＋f (2 012)＋…＋f (2 016)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1×2 016

6＝336.

而f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝1＋2＝3.