高考理科数学模拟试题
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∴ ，即 ①，∵ ，∴ ，即 ②，
∴由①②得 ，又 ， ，∴椭圆 的方程为 ．
（2）设直线 方程为： ，
由 得 ，∴ ，
∵ 为重心，∴ ，
∵ 点在椭圆 上，故有 ，可得 ，
而 ，
点 到直线 的距离 （ 是原点到 距离的3倍得到），
∴ ，
当直线 斜率不存在时， ， ， ，∴ 的面积为定值 ．
21.【解析】（1）当 时，有 .
试求实数 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的方程为 ，以 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
（1）求曲线 和直线 的极坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 两点，求 .
高三上期第二次周练
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 ， ，则
A. B. C. D.
2．已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部是（ ）
A. B. C. D.1
3．在等比数列 中， ， ，
则数列 的前9项的和 （ ）
A.255B.256C.511D.512
4．如图所示的阴影部分是由 轴，直线 以及曲线 围成，
现向矩形区域 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ）
A. B.
C. D.
5．在 的展开式中，含 的项的系数是（ ）
A.10B.20
C.30D.60
6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的
13．已知平面向量 ，且 ，则 __________.
14．若变量 满足 ，且 恒成立，则 的最大值为______________.
15．若双曲线 上存在一点 满足以 为边长的正方形的面积等于
（其中 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是__________．
16．若曲线 与曲线 存在公共切线，则 的取值范围为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知向量 .
（1）求 的最大值及 取最大值时 的取值集合 ；
（2）在△ 中， 是角 的对边,若 且 ，求△ 的周长的取值范围.
18．如图，已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， ， ，且 ， ， 是 的中点。
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值。
19．从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方图.
（Ⅰ）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过 的概率；
（Ⅱ）假设该市高一学生的体重 服从正态分布 .
（ⅰ）估计该高一某个学生体重介于 之间的概率；
（ⅱ）从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于 之间的人数为 ，利用（ⅰ）的结论，
19．（Ⅰ）这400名学生中，体重超过 的频率为 ，
由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过 的概率为 .
（Ⅱ）（ⅰ）∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ .
（ⅱ）因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复实验，
其中体重介于 之间的人数 ， ， .
所以 的分布列为
.
20．（1）设 ， ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴过点 的切线方程为： ，即 .
（2）∵ 的定义域为： .
令 . 又∵函数 有两个极值点 ，
∴ 有两个不等实数根 ，
∴ ，且 ，从而 .
由不等式 恒成立 恒成立，
∵ ，
令 ，∴ ，当 时恒成立，
∴函数 在 上单调递减，∴ ，
故实数 的取值范围是： .
22.（1）曲线 的普通方程为 ，
则 的极坐标方程为 ，
18．证明：（Ⅰ）以 为坐标原点 长为单位长度，如图，建立空间直角坐标系，则各点为 ， ， ， ， ， ，则 ， ，故 ，所以 ，由题设知 ，且 与 是平面 内的两条相交直线，由此得 ,又 在平面 内,故平面 。
（Ⅱ）在 上取一点 ，则存在 ，使 ，连接 ， ， ，所以 ， ， 。要使 ，只要 ，即 ，解得 。可知当 时， 点坐标为 ，能使 ，此时， ， ，所以 。由 ， ， ，所以 ，故所求二面角的余弦值为 。
体积为( )
A. B.
C. D.
7．已知函数 在 上单调递减，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 ，则输入的正整数的
可能取值的集合是（ ）
B.
D.
9． 上的偶函数 满足 ，当 时， ，则
的零点个数为（）
A. 4B. 8C. 5D. 10
10．如图，已知抛物线 的焦点为 ，直线 过 且依次交
求 的分布列及 .
20．已知右焦点为 的椭圆 与直线 相交于 、 两点，
且 ．（1）求椭圆 的方程；
（2） 为坐标原点， ， ， 是椭圆 上不同的三点，并且 为 的重心，
试探究 的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
21. 已知函数 .
（1）当 时，试求函数图像过点 的切线方程；
（2）若函数 有两个极值点 ，且不等式 恒成立，
抛物线及圆 于点 四点，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11．已知函数 在区间 上是增函数，
且在区间 上恰好取得一次最大值，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12．已知数列 中， =1，且对任意的 ,都有 则 （）
A． B．
C．2D．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
由于直线 过原点，且倾斜角为 ，故其极坐标为 （或 ）
（2）由 得： ，故 ， ，
∴ .
23(1) 解集为 或 ；(2) .
（1）当 时， 解得 .
当 时， 无解，当 时， 解得 .
∴ 的解集为 或 .
（2）由已知 恒成立.∴ 恒成立.
又 .∴ ，解得 .
∴ 时，不等式 恒成立
23.【不等式选讲】已知 ， .
（1）解不等式 ；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B2．D3．C4．B5．C6．A，7．A8．A9．C10．C11.D12.D
13． 或 14． 15． 16．
17．ห้องสมุดไป่ตู้1） ，
，
的最大值为 ，此时
即
（2） ， ,
由 得
又 ,故 ，即周长 的范围为 .
∴由①②得 ，又 ， ，∴椭圆 的方程为 ．
（2）设直线 方程为： ，
由 得 ，∴ ，
∵ 为重心，∴ ，
∵ 点在椭圆 上，故有 ，可得 ，
而 ，
点 到直线 的距离 （ 是原点到 距离的3倍得到），
∴ ，
当直线 斜率不存在时， ， ， ，∴ 的面积为定值 ．
21.【解析】（1）当 时，有 .
试求实数 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的方程为 ，以 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
（1）求曲线 和直线 的极坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 两点，求 .
高三上期第二次周练
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 ， ，则
A. B. C. D.
2．已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部是（ ）
A. B. C. D.1
3．在等比数列 中， ， ，
则数列 的前9项的和 （ ）
A.255B.256C.511D.512
4．如图所示的阴影部分是由 轴，直线 以及曲线 围成，
现向矩形区域 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ）
A. B.
C. D.
5．在 的展开式中，含 的项的系数是（ ）
A.10B.20
C.30D.60
6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的
13．已知平面向量 ，且 ，则 __________.
14．若变量 满足 ，且 恒成立，则 的最大值为______________.
15．若双曲线 上存在一点 满足以 为边长的正方形的面积等于
（其中 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是__________．
16．若曲线 与曲线 存在公共切线，则 的取值范围为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知向量 .
（1）求 的最大值及 取最大值时 的取值集合 ；
（2）在△ 中， 是角 的对边,若 且 ，求△ 的周长的取值范围.
18．如图，已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， ， ，且 ， ， 是 的中点。
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值。
19．从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方图.
（Ⅰ）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过 的概率；
（Ⅱ）假设该市高一学生的体重 服从正态分布 .
（ⅰ）估计该高一某个学生体重介于 之间的概率；
（ⅱ）从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于 之间的人数为 ，利用（ⅰ）的结论，
19．（Ⅰ）这400名学生中，体重超过 的频率为 ，
由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过 的概率为 .
（Ⅱ）（ⅰ）∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ .
（ⅱ）因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复实验，
其中体重介于 之间的人数 ， ， .
所以 的分布列为
.
20．（1）设 ， ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴过点 的切线方程为： ，即 .
（2）∵ 的定义域为： .
令 . 又∵函数 有两个极值点 ，
∴ 有两个不等实数根 ，
∴ ，且 ，从而 .
由不等式 恒成立 恒成立，
∵ ，
令 ，∴ ，当 时恒成立，
∴函数 在 上单调递减，∴ ，
故实数 的取值范围是： .
22.（1）曲线 的普通方程为 ，
则 的极坐标方程为 ，
18．证明：（Ⅰ）以 为坐标原点 长为单位长度，如图，建立空间直角坐标系，则各点为 ， ， ， ， ， ，则 ， ，故 ，所以 ，由题设知 ，且 与 是平面 内的两条相交直线，由此得 ,又 在平面 内,故平面 。
（Ⅱ）在 上取一点 ，则存在 ，使 ，连接 ， ， ，所以 ， ， 。要使 ，只要 ，即 ，解得 。可知当 时， 点坐标为 ，能使 ，此时， ， ，所以 。由 ， ， ，所以 ，故所求二面角的余弦值为 。
体积为( )
A. B.
C. D.
7．已知函数 在 上单调递减，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 ，则输入的正整数的
可能取值的集合是（ ）
B.
D.
9． 上的偶函数 满足 ，当 时， ，则
的零点个数为（）
A. 4B. 8C. 5D. 10
10．如图，已知抛物线 的焦点为 ，直线 过 且依次交
求 的分布列及 .
20．已知右焦点为 的椭圆 与直线 相交于 、 两点，
且 ．（1）求椭圆 的方程；
（2） 为坐标原点， ， ， 是椭圆 上不同的三点，并且 为 的重心，
试探究 的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
21. 已知函数 .
（1）当 时，试求函数图像过点 的切线方程；
（2）若函数 有两个极值点 ，且不等式 恒成立，
抛物线及圆 于点 四点，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11．已知函数 在区间 上是增函数，
且在区间 上恰好取得一次最大值，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12．已知数列 中， =1，且对任意的 ,都有 则 （）
A． B．
C．2D．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
由于直线 过原点，且倾斜角为 ，故其极坐标为 （或 ）
（2）由 得： ，故 ， ，
∴ .
23(1) 解集为 或 ；(2) .
（1）当 时， 解得 .
当 时， 无解，当 时， 解得 .
∴ 的解集为 或 .
（2）由已知 恒成立.∴ 恒成立.
又 .∴ ，解得 .
∴ 时，不等式 恒成立
23.【不等式选讲】已知 ， .
（1）解不等式 ；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B2．D3．C4．B5．C6．A，7．A8．A9．C10．C11.D12.D
13． 或 14． 15． 16．
17．ห้องสมุดไป่ตู้1） ，
，
的最大值为 ，此时
即
（2） ， ,
由 得
又 ,故 ，即周长 的范围为 .