2018年高考数学热点题型和提分秘籍专题17正弦定理和余弦定理及解三角形文

专题17 正弦定理和余弦定理及解三角形

1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题

2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等

3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合

热点题型一 应用正弦、余弦定理解三角形

例1、【2017山东】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是

（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A

【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.

【变式探究】 (1)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b 。若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4 C.π

6

(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C ＝________。 【答案】 （1）A （2）45

所以sin C ＝

c ²sin B

b

＝42³

22

5

＝45

。 【提分秘籍】解三角形的方法技巧

已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

【举一反三】

在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2

－b 2

＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( ) A ．30° B．60° C ．120° D．150° 【答案】A

【解析】∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理， 得c ＝23b ，

∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝3

2

，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°。

热点题型二 判断三角形的形状

例2、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C 。 (1)求角A 的大小；

(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状。

【提分秘籍】 判断三角形形状的方法技巧

解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得

出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系。另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响。

【举一反三】

在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2

＝2a 2

＋2b 2

＋ab ，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 【答案】A

热点题型三 与三角形面积有关的问题

例3．【2017浙江，14】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos∠BDC =_______．

【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，

△ABE 中，1

cos 4BE ABC AB ∠=

=，1cos ,sin 4DBC DBC ∴∠=-∠==，

BC 1sin 22

D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=

△

又21

cos 12sin ,sin 44

DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=

，

cos sin BDC DBF ∴∠=∠=

综上可得，△BCD cos BDC ∠=．

【变式探究】在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b 。 (1)求角A 的大小；

(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积。 【解析】(1)由2a sin B ＝3b ，得2a ＝3b

sin B

，

又由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin A ＝2a 3

，所以sin A ＝32，因为A 为锐角，所以A ＝π

3。

(2)由(1)及a 2

＝b 2

＋c 2

－2bc cos A ，得b 2

＋c 2

－bc ＝(b ＋c )2

－3bc ＝36， 又b ＋c ＝8，所以bc ＝283，由S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为73

3。

【提分秘籍】

三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1

2bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式。

(2)已知三角形的面积解三角形。与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化。

【举一反三】

在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π

3，则△ABC 的面积是( )

A ．3 B.932 C.33

2 D ．

3 3

【答案】C

＝12³6³32＝33

2

。

1.【2017浙江，14】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos∠BDC =_______．

【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，