2018年高考数学热点题型和提分秘籍专题17正弦定理和余弦定理及解三角形文

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高考数学_正、余弦定理及解三角形-备战高考数学(文)之高频考点解密

解密08 正、余弦定理及解三角形解密高考,高考考点命题分析三年高考探源考查频率利用正、余弦定理解三角形解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．2018课标全国Ⅲ112018课标全国Ⅰ162017课标全国Ⅲ152016课标全国Ⅰ42016课标全国Ⅲ9★★★★★解三角形的实际应用无★解三角形与其他知识的交汇问题2018课标全国Ⅱ72017课标全国Ⅰ11★★★对点解密考点1 利用正、余弦定理解三角形题组一利用正、余弦定理解三角形调研1 在ABC△中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，且，则A=A．π6B．π4C．π3D．2π3【答案】C【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.由已知及正弦定理可得，结合余弦定理可得，由余弦定理解得cos A ，结合A 的范围，即可求得A 的值.【名师点睛】由题意结合正弦定理边化角，然后结合三角函数的性质整理计算即可确定三角形的形状.解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．调研6 ABC △中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且.(1)求A ; (2)若的面积为3,试判断此三角形的形状.【答案】(1)60°；(2)等边三角形. 【解析】(1)由正弦定理及得,，即,∵sin 0C , ∴, ∵,∴,∴.(2),由余弦定理得: =,∵60A =︒,∴,故ABC △是等边三角形.☆技巧点拨☆判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”；（2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.考点2 解三角形的实际应用题组解三角形的实际应用调研1 如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C D 、两观测点，且在C D、两点测得塔顶的仰角分别为4530、．在水平面上测得，C D 、两地相距600m ，则铁塔AB的高度是A ．1202mB ．480mC ．2402mD ．600m【答案】D【解析】设铁塔AB 的高度是h ,因为C D 、两点测得塔顶的仰角分别为4530、，所以,因为C D 、两地相距600m ，所以,解得600h =（舍负）,故选D.【名师点睛】先根据直角三角形用高表示BC ,BD ,再根据余弦定理解方程得高.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.☆技巧点拨☆高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．调研2 如图，,,A B C 三个警亭有直道相通，已知A 在B 的正北方向6千米处，C 在B 的正东方向63千米处.（1）警员甲从C 出发，沿CA 行至点P 处，此时，求PB 的距离；（2）警员甲从C 出发沿CA 前往A ，警员乙从A 出发沿AB 前往B ，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B 后原地等待，直到甲到达A 时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？【答案】（1）926-；（2）15207+. 【解析】（1）在ABC △中，6AB =，60A ∠=︒，，由正弦定理，，即，故PB 的距离是9236-千米．（2）甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为()f t ，要保持通话则需要()9f t ≤．1︒当01t ≤≤时，，即，解得，又[]0,1t ∈，所以，时长为1517-小时． 2︒当14t <≤时，，即，解得，又(]1,4t ∈，所以14t <≤，时长为3小时．综上，3＋1517-＝15207+（小时）．答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是15207+小时．【名师点睛】本题考查解三角形的应用以及对实际应用的分析问题和解决问题的能力，属于中档题. （1）在ABC △中，6AB =，60A ∠=︒，，然后由正弦定理可得BP ；（2）甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为()f t ，要保持通话则需要()9f t ≤，然后分1︒当01t ≤≤时，2︒当14t <≤时，分别求得对应的时长再求和即得到结论.☆技巧点拨☆解决此类问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．解题时应认真审题，结合图形去选择正、余弦定理，这是最重要的一步．考点3 解三角形与其他知识的交汇问题题组一解三角形与三角恒等变换相结合调研1 在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为2b c +=，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】)3,2⎡⎣.【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得3a ≥，又，所以a 的范围是)3,2⎡⎣.【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 调研2 在ABC △中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,已知的面积为33,2又tan tan A B+(1)求角C 的大小; (2)求a b +的值. 【答案】(1)π3；(2)11.2【解析】(1)因为所以()tan A B +=又因为,,A B C 为ABC △的内角,所以所以π.3C =(2)由及π,3C =得6,ab = 又,7,2c =所以11.2a b +=题组二解三角形与平面向量相结合调研3 在ABC △中，90C ∠=，2CM MB =．若，则_________．【答案】62【解析】根据题意，设，则，根据，得，由勾股定理可得，根据余弦定理可得，化简整理得，即，解得6m n =，所以，故答案是62. 【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果. 调研4 如图,在ABC △中,已知点D 在边BC 上,且,,32AB =,3BD =．(1)求AD 的长; (2)求cos C ．【答案】(1)3；(2)63. 【解析】(1)因为所以,AD AC ⊥所以即．在ABD △中,由余弦定理,可知，即解得5,AD =或3AD =．因为,AB AD >所以3AD =．(2)在ABD △中,由正弦定理,可知又由可知所以．因为所以6cos 3C =. 强化集训1．（安徽省合肥市2018届高三调研性检测数学试题）在ABC △中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，，则b =A ．1B ．2C ．3D ．13【答案】A【解析】由余弦定理有，代入已知值有解得1b =.故选A.2．（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学试题）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若b =1，c =3，且，则a =A ．1或2B ．1或3C ．1或2D ．2或3【答案】C【名师点睛】解三角形常利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．3．（贵州省黔东南州2018届高三下学期第二次模拟考试数学试题）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知，且4c =，则ABC △面积的最大值为 A ．83 B ．43 C ．23D ．3【答案】B【解析】由已知有，，由于()0,πC ∈，3sin 2C =，又，则16ab ≤，，当且仅当4a b ==时等号成立. 故选B.4．（【衡水金卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试高三模拟研卷卷四数学试题）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，，7c =，且ABC △的面积为332，则ABC △的周长为A ．17+B ．27+C ．47+D ．57+【答案】D【解析】在ABC △中，，则，即，sin 0C ≠，1cos 2C ∴=，π3C =，由余弦定理可得：，即，又，6ab ∴=，，5a b +=，△ABC 的周长为.本题选择D 选项.【名师点睛】由题意利用正弦定理边化角求得π3C =，然后结合余弦定理和面积公式可得5a b +=，则ABC △的周长为57+.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．5．（黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三上学期第三次月考数学试题）ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足4a =，，则ABC △面积的最大值是A ．43B ．23C ．83D ．4【答案】A【解析】由题意可知，由正弦定理得，又由在ABC △中，sin 0B >，即，即tan 3A =，因为0πA <<，所以π3A =，在ABC △中，由余弦定理可知，且4a =，即，当且仅当b c =时，等号成立，即16bc ≤，所以ABC △的最大面积为.故选A.【名师点睛】本题主要考查了正、余弦定理和三角形的面积公式，及基本不等式的应用，其中解答中利用正弦、余弦定理解决三角形的边角关系，再合理运用基本不等式求最值是解本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.利用正弦定理，求得π3A =，再利用余弦定理和基本不等式，求解bc 的最大值，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案.6．（湖南省湘潭市2018届高三下学期第四次模拟考试数学试题）在ABC △中，，tan 3A =-，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且3DE =，记ADE △，四边形BCED 的面积分别为1S ，2S ，则12S S 的最大值为 A ．14 B ．38 C ．13D ．512【答案】C【解析】设AD x =，，因为tan 3A =-，所以120A =︒，所以，又3DE =，所以3xy ≤，当且仅当3x y ==时等号成立，所以.故选C ．【名师点睛】设AD x =，，又tan 3A =-，所以120A =︒，利用余弦定理和基本不等式求得3xy ≤，再利用三角形的面积公式，即可求解结果．在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．7．（河南省2018届高三最后一次模拟考试数学试题）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2,a =22b =，则sin B =__________．【答案】55【解析】因为sin A c C =，所以.由余弦定理得22=-，又0πC <<，所以3π4C =.所以，所以25c =.由正弦定理得，即，解得5sin 5B =. 【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合正弦定理角化边可得3π4C =，结合余弦定理求得c 的长度，最后利用正弦定理即可求得最终结果.8．（福建省龙岩市 2018届高三下学期教学质量检查(4月)数学试题）在锐角三角形ABC 中，2A B ∠=∠，,A C ∠∠的对边长分别是,a c ，则ca的取值范围为_______. 【答案】【解析】在锐角ABC △中，，所以，所以由正弦定理可知.令2cos t B =，则()2,3是增函数，所以()f t ，故c a.【名师点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解答中注意锐角三角形的范围的确定是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力.确定B 的取值范围，利用正弦定理化为三角函数的表达式，即可求出取值范围.9．（安徽省合肥市2018届高三三模数学试题）在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，.若45A =，，且ABC △的面积等于3，则b =___________.【答案】3 【解析】由，根据正弦定理可得，，①由余弦定理可得，，②由三角形面积公式得，③由①②③得，，故答案为3.【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．由45A =，，且ABC △的面积等于3，分别利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式列方程，解方程即可得结果.10．（2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷调研卷）五）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该三角形沙田外接圆的半径为___________米.【答案】4062.5【解析】由题意画出图象，如图所示，且13AB =里=6500米，14BC =里=7000米，=15AC 里=7500米，在ABC △中，由余弦定理有，则B 为锐角，，设ABC △外接圆的半径为R ，则由正弦定理有2sin bR B=,米.【名师点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.本题关键是阅读理解，在题目中找出对解答本题有用的信息来.11．（四川省棠湖中学2019届高三上学期开学考试数学试题）如图，ABC △是等边三角形，D 是BC 边上的动点（含端点），记.（1）求的最大值；（2）若，求ABD△的面积.【答案】（1）当α＝π6，即D为BC中点时，原式取最大值3；（2）233.【解析】（1）由△ABC是等边三角形，得β＝α＋π3，0≤α≤π3，故2cosα－cosβ=2cosα－cosπ+3α⎛⎫⎪⎝⎭＝3sinπ+3α⎛⎫⎪⎝⎭，故当α＝π6，即D为BC中点时，原式取最大值3.（2）由cos β＝17，得sin β＝437，故sin α＝sinπ3β⎛⎫-⎪⎝⎭＝sin βcosπ3－cos βsinπ3＝3314，由正弦定理，故AB＝sinsinβαBD＝4373314×1＝83，故S△ABD＝12AB·BD·sin B＝.【名师点睛】本题考查了三角函数和差公式、辅助角公式、正弦定理的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题.（1）由题意可得β=α+π3，根据三角函数和差公式及辅助角公式化简即可求出其最大值.（2）根据三角函数差角公式求得sinα，再由正弦定理，求得AB的长度；进而求得三角形面积. 12．（山东省实验中学（中心校区）2019届高三11月模拟考试数学试题）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a ，b ，c ，已知．（1）若b ＝43，C ＝120°，求△ABC 的面积S ；（2）若b ：c ＝2：3，求.【答案】（1）18；（2）1. 【解析】（1）由，得23ac bc =，∴23a b =． ∵43b =， ∴6a =，∴．（2）∵23a b =，:2:3b c =， ∴，故可设3a k =，2b k =，3c k =()0k >，则，∴．【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. （1）由，利用正弦定理，得23a b =，进而求得6a =，利用三角形的面积公式，即可求解．（2）由（1）得，利用余弦定理，求得cos A 的值，即可化简求得结果.13．（青海省西宁四中2018-2019学年高三（上）第二次模拟数学试题）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，且（1）求A ；（2）若53a =，4cos 5B =，求c ．【答案】（1）60A =；（2）343+.【解析】（1），，∴代入已知等式得：，整理得：tan 3A =，A 是三角形内角，60A ∴=.【名师点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．（1）已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出tan A 的值，即可确定出A 的度数；（2）由cos B 的值求出sin B 的值，进而求出sin C 的值，由a ，sin A ，sin C 的值，利用正弦定理即可求出c 的值．14．（山西省吕梁市2019届高三上学期第一次阶段性测试数学试题）已知四边形OACB 中，a 、b 、c 分别为ABC △的内角A 、B 、C 所对的边长，且满足．（1）证明：2b c a +=；（2）若b c =，设，，求四边形OACB 面积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）853+．【解析】（1）∵，∴由正弦定理得，∴， ∴，∴，由正弦定理得：2b c a +=．（2）∵2b c a +=，b c =， ∴a b c ==，∴ABC △为等边三角形．由题意得，∵0πθ<<，∴，∴当ππ32θ-=，即5π6θ=时，OACB S 四边形有最大值，且最大值为853+．【名师点睛】本题考查用三角函数模型解决问题，该类问题主要有两种情形：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，体现了新课标中“数学建模”的本质．解题中的关键是将问题逐步转化成形如的函数的问题求解．（1）由及正弦定理和三角变换可得，再由正弦定理可得结论成立．6．（2017新课标全国Ⅲ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b =6，c =3，则A =_________. 【答案】75°【解析】由正弦定理，得，结合b c <可得45B =，则.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.。

2018高考总复习数学(理科)课件：第三章第7讲正弦定理和余弦定理

基础诊断
考点突破
课堂总结
4．(2016 年天津)在△ABC 中，若 AB＝ 13，BC＝3，∠C
＝120°，则 AC＝( A )(导学号 58940061) A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由余弦定理，得 13＝9＋AC2＋3AC⇒AC＝1(AC＝－4，舍去)．故选 A.
基础诊断
考点突破
课堂总结
基础诊断
考情风向标
三角函数与解三角形交汇命题，是近几年高考的热点，复习时应注意： 1．强化正、余弦定理的记忆，突出一些推论和变形公式的应用． 2．本节复习时，应充分利用向量方法推导正弦定理和余弦定理． 3．重视三角形中的边角互化，以及解三角形与平面向量和三角函数的综合应用，能够解答一些综合问题
基础诊断考点突破课堂总结
(3)(2013 年新课标Ⅱ)已知△ABC 的内角 A， B， C 的对边分 π π 别为 a，b，c，b＝2，B＝6，C＝4，则△ABC 的面积为( (导学号 58940063) A．2 3＋2 B. 3＋1 C．2 3 b c 解析：sin B＝sin C⇒1＝ ⇒c＝2 2， 2 2 2 1 1 S△ABC＝2bcsin A＝2×2×2 2×sin 105° ＝2 3＋1.
A 为锐角
图形
关系式解的个数
A 为钝角或直角
a＝bsin A
一解
bsin A<a<b
两解
a≥b
一解
a>b
一解
基础诊断
考点突破
课堂总结
1．(2014 年江西)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边 2sin2B－sin2A 分别为 a，b，c，若 3a＝2b，则的值为( D ) sin2A 1 A．－9 1 B.3 C．1 7 D.2

高考数学专题讲解：正余弦定理

高考数学专题讲解：正余弦定理第一章：正余弦定理知识点与推导【知识点一】：正弦定理。

内容：在三角形中，每一条边与对角正弦的比值相等，相等的比值等于三角形外接圆直径。

关系式：ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,。

满足：r CcB b A a 2sin sin sin ===，其中r 2为三角形外接圆直径。

证明：①BbA a sin sin =。

过点C 作AB 的垂线，垂足为D 。

如下图所示：在ACD Rt ∆中：A b CD b CD A sin sin =⇒=；在BCD Rt ∆中：B a CD a CDB sin sin =⇒=。

AaB b B a A b CD sin sin sin sin =⇒==。

证明：②r Aa2sin =，其中r 2为三角形外接圆直径。

如下图所示：根据直径所对的圆周角等于009090=∠⇒BCD 。

在BCD Rt ∆中：r Dar a D BD BC D 2sin 2sin sin =⇒=⇒=。

根据所对弧长相同的两个圆周角相等D A D A sin sin =⇒=⇒，r Aar D a 2sin 2sin =⇒=。

【知识点二】：余弦定理。

内容：在三角形中，一条边的平方等于另外两条边的平方和减去二倍两边乘积再乘以夹角余弦。

关系式：ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,。

满足：①A bc c b a cos 2222-+=；②B ac c a b cos 2222-+=；③C ab b a c cos 2222-+=。

证明：A bc c b a cos 2222-+=。

过点C 作AB 的垂线，垂足为D 。

如下图所示：在ACD Rt ∆中：A b CD b CD A sin sin =⇒=；A b c AD AB BD A b AD bADA cos cos cos -=-=⇒=⇒=。

在BCD Rt ∆中：根据勾股定理得到：A b A bc c A b A b c A b BD CD a 2222222222cos cos 2sin )cos ()sin (+-+=-+=+=A bc c b A bc c A A b cos 2cos 2)cos (sin 222222-+=-++=。

2017年高考数学(文)热点题型和提分秘籍专题17正弦定理和余弦定理及解三角形Word版含解析

1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合热点题型一应用正弦、余弦定理解三角形例1、 (1)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b 。

若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π3B.π4C.π6(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。

若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C ＝________。

【答案】（1）A （2）45【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A ·sin B ＝3sin B ， ∵B 为△ABC 的内角，∴sin B ≠0。

∴sin A ＝32.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A ＝π3。

【提分秘籍】解三角形的方法技巧已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

【举一反三】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A热点题型二判断三角形的形状例2、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C 。

(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状。

【解析】(1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°。

2018届高三文科数学三角函数与解三角形解题方法规律技巧详细总结版

2018届高三文科数学三角函数与解三角形解题方法规律技巧详细总结版高考考纲对于解三角形的要求为：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 综合近两年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点．不仅选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视．【3年高考试题分析】正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1．边和角的计算．2．面积的计算．【必备基础知识融合】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理222a=b+c-2bccos A; abc ===2R 222b=a+c-2accos B; 内容??????A??????B??????C(其中R是△ABC外接圆的半径) 222c=a+b-2abcos C a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; abc222b+c -a sin A=,sin B=,sin C=; 公式 cos A=; 2R2R2R2bc 的变∶∶∶∶abc=sin Asin Bsin C; 222a+c-b cos B=; asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin 形应 2ac222a+b-cC=csin A; 用 cos C= 2aba+b+c=2R ??????A+??????B+??????C 2.三角形中的常用公式及变式 abc1111SbcAacBabC=abcr．Rr(1)三角形面积公式＝sin ＝sin ＝sin =(＋＋)其中，分别为三角形外R22242．接圆、内切圆半径ABCπ＋ABCABCABCABCA(2)＋＋＝π，则＝π－(＋)，＝－，从而sin＝sin(＋)，cos＝－cos(＋)，tan222ABCABCA＋＋1BCABCABC＝－tan(＋)；sin＝cos，cos＝sin，tan＝.tan＋tan＋tan＝tantantan. BC22222＋tan2BACAC－＋⇔2cosabcbacBAC(3)若三角形三边，，成等差数列，则2＝＋⇔2sin＝sin＋sin ⇔2sin＝cos222ACAC－1⇔tan＝costan＝. 2223ABCabCcBbaCcAcaBbA(4)在△中，＝cos＋cos，＝cos＋cos，＝cos＋cos.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)【解题方法规律技巧】Bb cos ABCabcABC典例1：在△中，，，分别是角，，的对边，且＝－. Cac cos2＋B(1)求的大小；bacABC．(2)若＝13，＋＝4，求△的面积222222acbabcBb＋－＋－cos BC解：(1)由余弦定理知，cos＝，cos＝，将上式代入＝－得acabCac22cos2＋222acbabb＋－2·，＝－222acabcac2＋－2＋222acbac整理得＋－＝－. 222acbac＋－－1B∴cos＝＝＝－. acac2222BB∵为三角形的内角，∴＝π. 322 2222bacBbacacBacacac(2)将＝13，＋＝4，＝π代入＝＋－2cos，得13＝4－2－2cosπ，解得＝3. 33133SacB∴＝sin＝. ABC△24【规律总结】在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注ABC意应用＋＋＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，．注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状同时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．如： (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°. 222典例2：在△ABC中，A、B、C是三角形的三个内角，a、b、c是三个内角对应的三边，已知b＋c ＝a＋bc. ①求角A的大小；3②若sinBsinC＝，试判断△ABC 的形状，并说明理由．432π3由sinBsinC＝，得sinBsin(－B)＝. 4342π2π3即sinB(sincosB－cossinB)＝. 3343132sinBcosB＋sinB＝，224 313sin2B＋(1－cos2B)＝，44431πsin2B－cos2B＝1，∴sin(2B －)＝1. 226ππ7ππππ又∵－<2B－<，∴2B－＝，即B＝. 666623π∴C＝，也就是△ABC为等边三角形．3【规律总结】应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；．(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际，从而得出实际问题的解典例3：设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC. (1)求角A的大小； (2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．→→π77AB＋AC11→→→→→→2222(2)方法一：因为AD＝()＝(AB＋AC＋2AB·AC)＝(1＋4＋2×1×2×cos)＝，所以|AD|＝，2443427从而AD＝. 21222方法二：因为a＝b＋c－2bccosA＝4＋1－2×2×1×＝3，2π222所以a＋c＝b，B＝. 2337，AB＝1，所以AD＝1＋＝. 因为BD＝242【规律总结】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也．是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用．．初等几何法注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想典例4：已知，，分别为三个内角，，的对边，. A（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若为锐角三角形，且，求的取值范围.（Ⅱ）由正弦定理：，又，得，；32所以，.典例5：在，，（1）若，求的长（2）若点在边上，，，为垂足，，求角的值. 2【规律总结】（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理. （2）如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理. （3）以上特征都不明显时,要考虑两个定理都有可能用到. （4）解题中一定要注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制. （5）遇见中点时要想到与向量的加法运算结合；（6）遇见角平分线时要想到角平分线定理. （7）在三角形中，大边对大角，正线大则边大，自然角就大. （8）解三角形的实际应用问题的求解关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中,然后利用正、余弦定理求解.O．O典例6：某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口北A．偏西30°且与该港口相距20 n mile的处，并以30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该vnt．小艇沿直线方向以mile/h的航行速度匀速行驶，经过 h与轮船相遇 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大．小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向C．设小艇与轮船在处相遇RtOACOCAC在△中，＝20cos30°＝103，＝20sin30°＝10. ACtOCvt又＝30，＝，101103tv此时，轮船航行时间＝＝，＝＝303. 30313nmileh．即小艇以303 /的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小10＋103tanθ2t于是，当θ＝30°时，＝取得最小值，且最小值为. 303【规律总结】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供．的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解②解三角形的方法在实际问题中，有广．．泛的应用在物理学中，有关向量的计算也常用到解三角形的方法近年的高考中我们发现以解三角形为．背景的应用题开始成为热点问题之一③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，．将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形④本题用．几何方法求解也较简便【归纳常用万能模板】ABCABCabcCaBbA【引例】(2016·全国Ⅰ卷)△的内角，，的对边分别为，，，已知2cos (cos ＋cos )。

高考数学浙江版5.3 正弦、余弦定理及解三角形

答案 A 本题考查三角公式的运用和正弦定理、余弦定理. 解法一:因为sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, 所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C), 所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B, 即cos C(2sin B-sin A)=0, 所以cos C=0或2sin B=sin A, 即C=90°或2b=a, 又△ABC为锐角三角形,所以0°<C<90°,故2b=a.故选A. 解法二:由正弦定理和余弦定理得
(1)求 sin 2sAin2cAos2 A 的值; (2)若B= ,a=3,求△ABC的面积.
4
解析
(1)由tan 4
A

=2,得tan
A= 13 ,
所以 sin 2A
sin 2A cos
2
A
= 2 tan A
2 tan A
1
= 2 .
5
(2)由tan A= 1 ,A∈(0,π),得
答案 A 在△ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcos C,得13=9+b2-2×3b×
12

,即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A.
评析本题考查了余弦定理的应用和方程思想,属容易题.
5.(2018课标全国Ⅰ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=
5
5
又因为sin
B=sin(A+C)=sin 4

2018年高考数学总复习教师用书：第4章第6讲正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )(2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形.( ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( ) 解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边.(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 不一定为锐角三角形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2B. 3C.2D.3解析由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去，故选D. 答案 D3.(2017·湖州预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B＝asin A ，则cos B ＝( ) A.－12 B.12 C.－32D.32解析由正弦定理知sin B 3cos B＝sin Asin A ＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝12，故选B. 答案 B4.在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3C.2 3D.2解析因为S ＝12×AB ×AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3. 答案 B5.(必修5P10B2改编)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________.解析由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案等腰三角形或直角三角形6.(2017·绍兴调研)已知钝角△ABC 的面积为12，AB ＝1，BC ＝2，则角B ＝________，AC ＝________.解析 ∵钝角△ABC 的面积为12，AB ＝1，BC ＝2， ∴12＝12×1×2×sin B ，解得sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4， ∵当B ＝π4时，由余弦定理可得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2－2×1×2×22＝1，此时，AB 2＋AC 2＝BC 2，可得A ＝π2，此△ABC 为直角三角形，与已知矛盾，舍去.∴B ＝3π4，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2＋2×1×2×22＝ 5.答案3π45考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A.1个 B.2个 C.0个D.无法确定(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________.(3)(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.解析 (1)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个.(2)由题意知a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又c 2＝b 2＋2bc ，∴cos A ＝22，∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝45°，sin B ＝12，又B ∈(0°，180°)，b ＜a ，∴B ＝30°，∴C ＝105°.(3)因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6. 又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3. 又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝bsin π6，解得b ＝1.答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 规律方法 (1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.【训练1】 (1)(2017·金华模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( ) A.1B.2C.4D.6(2)(2016·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.解析 (1)a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ⇒13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去).(2)在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 答案 (1)C (2)2113考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(典例迁移)【例2】 (经典母题)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定解析由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2. 答案 B【迁移探究1】将本例条件变为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC 一定是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析法一由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B .法二由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b . 答案 B【迁移探究2】将本例条件变为“若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13”，则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13， ∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，故设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理可得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k 2＝－23110<0，又∵C ∈(0，π)，∴C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴△ABC 为钝角三角形.答案 C【迁移探究3】将本例条件变为“若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ”，试确定△ABC 的形状.解法一利用边的关系来判断：由正弦定理得sin C sin B ＝cb ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b . 又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.又∵a2＋b2－c2＝ab.∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，∴b＝c，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形.法二利用角的关系来判断：∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)，又∵2cos A sin B＝sin C，∴2cos A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B，∴sin(A－B)＝0，又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.又由a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又0°<C<180°，所以C＝60°，∴△ABC为等边三角形.规律方法(1)判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.(2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 考点三和三角形面积有关的问题【例3】(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长.解(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin A cos B＋sin B·cos A)＝sin C，2cos C sin(A ＋B)＝sin C，故2sin C cos C＝sin C.由C∈(0，π)知sin C≠0，可得cos C＝12，所以C＝π3.(2)由已知，12ab sin C＝332，又C＝π3，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2ab cos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7. 规律方法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【训练2】(2017·日照模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2a－b)cos C－c cos B＝0.(1)求角C的值；(2)若三边a，b，c满足a＋b＝13，c＝7，求△ABC的面积.解(1)根据正弦定理，(2a－b)cos C－c cos B＝0可化为(2sin A－sin B)cos C－sin C cos B＝0.整理得2sin A cos C＝sin B cos C＋sin C cos B＝sin(B＋C)＝sin A.∵0<A<π，∴sin A≠0，∴cos C＝1 2.又∵0<C<π，∴C＝π3.(2)由(1)知cos C＝12，又a＋b＝13，c＝7，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab＝169－3ab＝49，解得ab＝40.∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×40×sinπ3＝10 3.[思想方法]1.应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，A2＋B2＋C2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数.2.解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要化到只含角或只含边.[易错防范]1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解).2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·宁波模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝( ) A.30°B.45°C.60°D.75°解析法一 ∵S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1，由A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°， ∴C ＝60°.故选C. 法二由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C3， sin C ＝32，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝34≠32(舍去).而当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝32，符合条件，故C ＝60°.故选C. 答案 C2.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，则B 等于( ) A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6解析 ∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，∴由正弦定理a sin A ＝bsin B 可得， sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12. ∵A ＝2π3，∴B ＝π6. 答案 D3.(2017·成都诊断)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析因为cos 2B 2＝a ＋c 2c ，所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝ac ，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ，所以c 2＝a 2＋b 2. 所以△ABC 为直角三角形. 答案 B4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＞b ”是“cos 2A ＜cos 2B ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为在△ABC 中，a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔sin 2A ＞sin 2B ⇔2sin 2A ＞2sin 2B ⇔1－2sin 2A ＜1－2sin 2B ⇔cos 2A ＜cos 2B .所以“a ＞b ”是“cos 2A ＜cos 2B ”的充分必要条件. 答案 C5.(2016·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6解析在△ABC 中，由b ＝c ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－a 22b 2，又a 2＝2b 2(1－sin A )，所以cos A ＝sin A ，即tan A ＝1，又知A ∈(0，π)，所以A ＝π4，故选C. 答案 C 二、填空题6.(2015·重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，又a ＝2，所以b ＝3，故c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，所以c ＝4.答案 47.(2017·江西九校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝________.解析因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin 60°，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜180°，所以A ＝30°或150°(舍去)，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32. 答案 328.(2016·北京卷)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________.解析在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，将A ＝2π3，a ＝3c 代入，可得(3c )2＝b 2＋c 2－2bc ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，整理得2c 2＝b 2＋bc .∵c ≠0，∴等式两边同时除以c 2，得2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋bc ，可解得b c ＝1.答案 1 三、解答题9.(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14. (1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值.解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154. 由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316.10.(2015·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求sin B sin C ；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 解 (1)由正弦定理得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DCsin ∠CAD .因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以 sin B sin C ＝DC BD ＝12.(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos B ＋12sin B . 由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33，即∠B ＝30°.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.(2017·广州调研)已知锐角三角形的边长分别为1，3，x ，则x 的取值范围是( ) A.(8，10) B.(22，10) C.(22，10)D.(10，8)解析因为3>1，所以只需使边长为3及x 的对角都为锐角即可，故⎩⎨⎧12＋x 2>32，12＋32>x 2，即8<x 2<10.又因为x >0，所以22<x <10. 答案 B12.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C ，则c ＝( )A.27B.4C.2 3D.3 3解析 ∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0＜C ＜π，sin C ≠0， ∴cos C ＝12，∴C ＝π3.∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝2，c2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝23，故选C. 答案 C13.(2017·宁波调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，则A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则a ＝________；sin A ∶sin B ∶sin C ＝________.解析因为a ，b ，c 为连续的三个正整数，且A >B >C ，可得a >b >c ，所以a ＝c ＋2，b ＝c ＋1.①又因为3b ＝20a cos A .所以cos A ＝3b20a .② 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .③由②③，得3b 20a ＝b 2＋c 2－a 22bc，④联立①④，得7c 2－13c －60＝0，解得c ＝4或c＝－157(舍去).∴a ＝6，b ＝5，又由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.答案 6 6∶5∶414.设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC面积的最大值.解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立.因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝2，2cos 2B ＋C2＋sin A ＝45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，求b 的取值范围； (2)当△ABC 的周长取最大值时，求b 的值.解由2cos 2B ＋C 2＋sin A ＝45，得1＋cos(B ＋C )＋sin A ＝45，即sin A －cos A ＝－15，又0<A <π，且sin 2A ＋cos 2A ＝1，有cos A ＝45，sin A ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，结合满足条件的△ABC 有且只有一个，所以a ＝b sin A ，即2＝35b ，即b ＝103；或a ≥b ，即0<b ≤2.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，则有a ＝b sin A 或a ≥b ，则b的取值范围为(0，2]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫103；(2)设△ABC 的周长为l ，由正弦定理得 l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋asin A (sin B ＋sin C ) ＝2＋103[sin B ＋sin(A ＋B )]＝2＋103[sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ]＝2＋2(3sin B ＋cos B ) ＝2＋210sin(B ＋θ)，其中θ为锐角，且⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1010，cos θ＝31010，l max ＝2＋210，当cos B ＝1010，sin B ＝31010时取到. 此时b ＝asin A sin B ＝10.。

高考数学母题题源系列专题16应用正弦定理、余弦定理解三角形文

母题十五应用正弦定理、余弦定理解三角形【母题原题1】【2018天津，文16】在ABC △中，内角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,．已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（I ）求角B 的大小；（II ）设23a c ==,，求b 和sin(2)A B -的值．【考点分析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．【答案】（I ）3π；（II ）()sin 2b A B =-=．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．a c <，故cos A =因此sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．()11sin 2sin 2cos cos 2sin 27A B A B A B ∴-=--【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．【母题原题2】【2017天津，文15】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--．（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值．【答案】（I ）；（II ）．试题解析：（Ⅰ）由B b A a sin 4sin =及BbA a sin sin =得b a 2=，由)(5222c b a ac --=及余弦定理得55552cos 222-=-=-+=ac acbcac b A ．【考点】1．正余弦定理；2．三角恒等变换．【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．【母题原题3】【2016天津，文15】在ABC ∆中，内角A B C ,,所对应的边分别为a b c ,,，已知sin 2sin a B A ．（I ）求B ；（II ）若1cos A 3=，求sinC 的值．【答案】（Ⅰ）6π=B ；．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：2sin sin cos A B B A =，再根据三角形内角范围化简得23cos =B ，6π=B ；（Ⅱ）问题为“已知两角，求第三角”，先利用三角形内角和为π，将考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换．角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证．【母题原题4】【2015天津，文16】△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值；（II ）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（I ）a =8，sin C =（II ．（II ）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭，=【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算求解能力．【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换，因此在解三角形问题的处理中，正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用，分析近几年的高考试卷，有关的三角题，大部分以三角形为载体考查三角变换．【命题意图】考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，考查三角函数中同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差三角函数公式、二倍角公式在恒等变形中的应用，考查化简变形能力、数形结合思想、等价转换思想．【命题规律】解三角形是高考的必考内容，重点是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，考题灵活多样，选择题、填空题和解答题都有考到，难度中低中档题均有．以求边长、求角（三角函数值）或研究三角形的面积为目标，往往是利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式进行有效的边角转换，利用和差倍半的三角函数公式，对等式进行恒等变形，有时会结合角的范围，研究三角函数式的取值范围等．【答题模板】(1)通过正弦定理实施边角转换；（II ）通过余弦定理实施边角转换； (3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解．【方法总结】1．三角形中判断边、角关系的具体方法： (1)通过正弦定理实施边角转换；（II ）通过余弦定理实施边角转换； (3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解． 2．三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sinA ＋B2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数． 3．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．已知两角和一边或两边及夹角，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性． 4．在解决三角形的问题中，面积公式B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．1．【2018（I（II【答案】（I （II ）【解析】分析：（I ）根据题意，利用余弦定理和正弦定理，即可求得c 和sinA 的值；（II ）根据同角的三角函数关系和三角恒等变换，计算即可．详解：（I，所以【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．【2018天津河东区二模】角A、B、C所对的边分别为，2．角A为锐角．（I（II【答案】（I；（II．【解析】分析：第一问首先利用题中的条件，A的值，在求边长的时候，就利用正弦定理可以求得结果；第二问结合题中所给的条件，利用余弦定理建立边所满足的等量关系式，求得结果，之后应用面积公式求得三角形的面积．详解：（I）由正弦定理，代入，，，解得，．∵角A为锐角，．（II），代入为，解为，．【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，需要把握正弦定理、余弦定理、倍角公式、3．【2018天津河北区二模】在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B=2C，2b=3c．（I）求cosC的值；（II）求的值．【答案】，．【名师点睛】解三角形的问题和三角变换常常综合在一起考查，解题时要根据所给出的条件利用正弦定理、余弦定理将边角之间进行合理的转化，然后再根据题意进行求解，进行变换时要注意对所用公式的选择．4．【2018【答案】（I【解析】分析：(1)正弦公式以及诱导公式可得，进而可得结果；（２）利用（I），由已知及正弦定理可得，，由余弦定理可得结果，得【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径．5．【2018中，内角【答案】【解析】分析：（Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理代入可得边得解．【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．6．【2018天津滨海新区七校模拟】锐角ABC ∆中， ,,a b c 分别为角,,A B C 的对边， 4sin a B =，（I ）若6,8,a b c =+=求ABC ∆的面积；（II ）求2sin 23A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（I （II【解析】试题分析：（I ）由正弦定理化角，可得sin A =，再由角A 的余弦定理，可求得8bc =，进一步求得三角形面积；（II ）由正弦和角公式和倍角公式可求值．试题解析：（I ）4sin a B = ，4sin sin A B B ∴ ．0B π<<， sin A ∴=A 是锐角，3cos 4A ∴=== ．【名师点睛】（1）一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．7．【2018天津十二校重点模拟一】已知函数()2sin 22cos 26f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．（I ）求()f x 的单调递增区间；（II ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()1c f C ==-，若2sin A sin B =，求ABC ∆的面积．【答案】（I ）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（II 【解析】试题分析：（I ）利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调增区间即可确定()f x 的单调递增区间；（II ）根据()21f C =-，求出C ，利用正弦定理及余弦定理，结合题设条件即可求出a ， b ，从而可求出ABC ∆的面积．试题解析：（I ）()sin2coscos2sin66f x x x ππ=- 1cos22sin 216x x π⎛⎫++-=+- ⎪⎝⎭由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得(),36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴由①②解得1,2a b ==，1sin 2ABC S ab C ∆∴==．8．【2018，（I（II【答案】（I （II【解析】试题分析：（I ，的面积为的值；（II ）利用（I试题解析：（I ）由已知，，，且，在中，，．（II ），又，，，9．【2018天津上学期期末考】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足sin sin sin sin A C A Bb a c--=+．（I ）求C ；（II ）若1cos 7A =，求()cos 2A C -的值．【答案】（I ）3π；（II ）2398-．整理得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又0C π<<，所以3C π=．（II ）由1cos 7A =知A 为锐角，又22sin cos 1A A +=，所以sin A === ，故247cos22cos 149A A =-=-， 1sin22sin cos 27A A A ===，所以()cos 2cos 2cos2cos sin2sin 333A C A A A πππ⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭4712349249298=-⨯+=-． 10．【2018天津红桥区学期期末考】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin 3sin b A c B =，3a =， 2cos 3B =．（I ）求b 的值；（II ）求sin 23B π⎛⎫-⎪⎝⎭的值．【答案】（I ）b =（II ．【解析】试题分析：（I ）由正弦定理可得a=3c ，再由余弦定理可得b ；（II ）由已知得cosB 和sinB ，利用二倍角公式求得cos2B ， sin2B ，将sin 23B π⎛⎫-⎪⎝⎭展开代入求解即可．11．【a ，b ，c A ，B ，C（I（II ）若3【答案】（I （II ）见解析．为等腰三角形．【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，判断三角形形状问题，属于中档题．判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；（II ）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形．12．【2018天津河西模拟】在ABC 中， a ， b ， c 分别是角A ， B ， C 的对边，若23b c =， 120C =︒．（I ）求cos A 的值．（II ）若6c =，求ABC 的面积．【答案】（I ；（II ）42- 【解析】试题分析：（I ）由正弦定理求得sin B ，进而得cos B ，再由诱导公式和两角和的正弦公式可求得cos A ；（II ）由已知计算出b ，再由（I ）计算出sin A ，最后由三角形面积公式可得面积．试题解析：（I ）∵23b c =，∴2sin sin 3B C ==0πB <<，∴cos B =，()cos cos πA B C ⎡⎤=-+⎣⎦()cos B C =-+cos cos sin sin B C B C =-+12⎛⎫=- ⎪⎝⎭=（II ）∵23b c =， 6c =，∴4b =，∵0πA <<， cos A =sin A =，∴1sin 422S bc A ==-13．【2018（I（II ）如图，外一点，若在平面四边形中，，【答案】（II【解析】分析：（I ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出cosB 的值．（II ）利用（I ）的结论，进一步利用余弦定理求出结果．（II，∴由余弦定理可得，化简得【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用．对公式灵活运用与结合是解题关键．14．【2018（I（II，求函数（III）在中，【答案】（I（II【解析】试题分析：（I即．（II）由（I）上单调递增，．上值域为（III，得。

2018届高三数学高考总复习课件第三章第七节正弦定理和余弦定理

3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．
课前·双基落实课堂·考点突破
课后·三维演练
正弦定理和余弦定理结束
[小题纠偏]
1．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )
A．无解
B．两解
C．一解
D．解的个数不确定
解析：∵sina A＝sinb B，
＝a2＋2a2×a2－2a4a2＝－ 42，故选 B．
答案：B
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课后·三维演练
正弦定理和余弦定理结束
2．(2016·北京高考)在△ABC 中，∠A＝23π，a＝ 3c，则bc＝______．解析：在△ABC 中，∠A＝23π， ∴a2＝b2＋c2－2bccos23π，即 a2＝b2＋c2＋bc． ∵a＝ 3c，∴3c2＝b2＋c2＋bc， ∴b2＋bc－2c2＝0， ∴(b＋2c)(b－c)＝0，∴b－c＝0， ∴b＝c，∴bc＝1．答案：1
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正弦定理和余弦定理结束
定理
正弦定理
余弦定理
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝
2Rsin C；变形形
cos A＝b2＋2cb2c－a2；
式(边角 sin A＝2aR，sin B＝2bR，转化) sin C＝2cR；
cos B＝c2＋2ac2a－b2； cos C＝ a2＋b2－c2
∴sin B＝basin A＝2148sin 45°＝232．
又∵a<b，∴B 有两个解，
即此三角形有两解．
答案：B
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课后·三维演练
正弦定理和余弦定理结束
2．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a ＝ 3，sin B＝12，C＝π6，则 b＝________．解析：在△ABC 中， ∵sin B＝12，0<B<π，∴B＝π6或 B＝56π．又∵B＋C<π，C＝π6，∴B＝π6，∴A＝23π． ∵sina A＝sinb B，∴b＝assiinnAB＝1．答案：1

2018年高考数学(人教A版)一轮复习课件：3.6正弦定理和余弦定理

因为a>b,所以B必为锐角,所以 B .
6
(2)选D.由正弦定理得
3
k 12 , k 8 3sin A, sin A sin 60
因为 0 A 2 ，所以由图象可以知道当且仅当k= 8 3 或0<k≤12时有唯一的k.
【母题变式】 1.在本例(2)中,条件改为“△ABC中,∠ABC=60°, AC=12,BC=k”,讨论k的取值范围对三角形解的个数的影响.
c
答案:1
4.(2017·温州模拟)已知钝角△ABC的面积为
1, 2
AB=1,BC= 2 ,则B=__________,AC=__________.
【解析】因为钝角三角形A1× 2 sinB= 1 , 2 2 解得sinB= 2 ，
3 所以B= 或 . 4 4
2
当B= 时,
4
由余弦定理可得AC= AB2 BC2 2AB BCcos B
2 1 2 2 1 2 1, 2
,△ABC为直角三角形,与已 2
此时AB2+AC2=BC2,可得A= 知矛盾,舍去, 当B= 3 时,
4
由余弦定理得AC=
AB2 BC2 2AB BCcos B
【规范解答】(1)选A.根据正弦定理,设
a b c k， sin A sin B sin C
则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.
1 将它们代入asinBcosC+csinBcosA= b, 2 整理得sinAcosC+cosAsinC= 1 , 即sin(A+C)= 1 , 2 2
第六节
正弦定理和余弦定理
【知识梳理】 1.正弦定理

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1 专题17 正弦定理和余弦定理及解三角形 1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等 3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合

热点题型一应用正弦、余弦定理解三角形例1、【2017山东】在C中，角，，C的对边分别为a，b，c．若C为锐角三角形，且满足sin12cosC2sincosCcossinC，则下列等式成立的是（A）2ab （B）2ba （C）2 （D）2 【答案】A 【解析】sin()2sincos2sincoscossinACBCACAC 所以2sincossincos2sinsin2BCACBAba，选A. 【变式探究】 (1)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b。若2asinB＝3b，则角A等于( ) A.π3 B.π4 C.π6 (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。若a＝1，c＝42，B＝45°，则sinC＝________。【答案】（1）A （2）45 2

所以sinC＝c²sinBb＝42³225＝45。【提分秘籍】解三角形的方法技巧已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。【举一反三】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【解析】∵sinC＝23sinB，由正弦定理，得c＝23b， ∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32，又A为三角形的内角，∴A＝30°。热点题型二判断三角形的形状例2、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC。 (1)求角A的大小； (2)若sinB＋sinC＝3，试判断△ABC的形状。

【提分秘籍】判断三角形形状的方法技巧解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得3

出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系。另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响。【举一反三】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是( ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形【答案】A

热点题型三与三角形面积有关的问题例3．【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．

【答案】1510,24 【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：,AEBCBFCD， △ABE中，1cos4BEABCAB，1115cos,sin14164DBCDBC，

BC115sin22DSBDBCDBC△．又2110cos12sin,sin44DBCDBFDBF， 10cossin4BDCDBF，

综上可得，△BCD面积为152，10cos4BDC．【变式探究】在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝3b。 (1)求角A的大小； 4

(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积。【解析】(1)由2asinB＝3b，得2a＝3bsinB，

又由正弦定理asinA＝bsinB，得asinA＝2a3，所以sinA＝32，因为A为锐角，所以A＝π3。 (2)由(1)及a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝36，又b＋c＝8，所以bc＝283，由S＝12bcsinA，得△ABC的面积为733。【提分秘籍】三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式。 (2)已知三角形的面积解三角形。与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化。【举一反三】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是( ) A．3 B.932 C.332 D．33 【答案】C

＝12³6³32＝332。

1.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．

【答案】1510,24 【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：,AEBCBFCD， 5

△ABE中，1cos4BEABCAB，1115cos,sin14164DBCDBC， BC115sin22DSBDBCDBC△．又2110cos12sin,sin44DBCDBFDBF， 10cossin4BDCDBF，

综上可得，△BCD面积为152，10cos4BDC． 2.【2017课标1】△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为23sinaA （1）求sinBsinC; （2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长. 【答案】（1）23.（2）333. 6

3.【2017课标3】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin3cos0AA ，a=27,b=2. （1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.

【答案】(1)4c ；(2)3 【解析】（1）由已知得 tan3A ，所以23A . 在 △ABC中，由余弦定理得 222844cos3cc ，即22240cc . 解得：6c (舍去)，4c . （2）有题设可得=，所以26CADBADBACCAD

故△ABD面积与△ACD面积的比值为1sin26112ABADACAD 又△ABC的面积为142sin23，所以的面积为3.2BACABD 【考点】余弦定理解三角形；三角形的面积公式 4.【2017天津】在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知ab，5,6ac，3sin5B. （Ⅰ）求b和sinA的值；

（Ⅱ）求πsin(2)4A的值.

【答案】 (1) 13b.(2)7226 7

25cos212sin13AA.故πππ72sin(2)sin2coscos2sin44426AAA.

1.【2016高考新课标3理数】在ABC△中，π4B=，BC边上的高等于13BC,则cosA=（）（A）31010 （B）1010 （C）1010- （D）31010- 【答案】C 【解析】设BC边上的高为AD，则3BCAD，所以225ACADDCAD，2ABAD．由余弦定理，知22222225910cos210225ABACBCADADADAABACADAD，故选C．

2.【2016高考新课标2理数】ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若4cos5A，5cos13C，1a，则b ．

【答案】2113

3.【2016高考天津理数】在△ABC中，若=13AB,BC=3，120C ,则AC= （） 8

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】A 【解析】由余弦定理得213931ACACAC,选A. 4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC中，若sin2sinsinABC，则tantantanABC的最小值是 ▲ . 【答案】8. 【解析】sinsin()2sinsintantan2tantanAB+CBCBCBC，又tantantantantan1B+CA=BC-，因tantantantantantantan2tantan22tantantantantantan8,ABCABCABCABCABC即最小值为8. 【2015高考天津，理13】在ABC 中，内角,,ABC 所对的边分别为,,abc ，已知ABC的面积为315 ，12,cos,4bcA 则a的值为 .

【答案】8

【解析】因为0A，所以215sin1cos4AA，

又115sin315,2428ABCSbcAbcbc，解方程组224bcbc得6,4bc，由余弦定理得2222212cos64264644abcbcA，所以8a. 【2015高考北京，理12】在ABC△中，4a，5b，6c，则sin2sinAC ．【答案】1

【解析】222sin22sincos2sinsin2AAAabcaCCcbc2425361616256 【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 . 【答案】（62，6+2）