2018年(衡水金卷)普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(四)(附答案)

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河北衡水金卷2018届高三理数高考一模试卷及解析

河北衡水金卷2018届高三理数高考一模试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合 A ={x|−x 2+4x ≥0} ， B ={x|181<3x <27} ， C ={x|x =2n,n ∈N} ，则 (A ∪B)∩C = （）A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x =2n,n ∈N}2.设 i 是虚数单位，若 i(x +yi)=5i 2−i， x ， y ∈R ，则复数 x +yi 的共轭复数是（） A.2−i B.−2−i C.2+i D.−2+i3.已知等差数列 {a n } 的前 n 项和是 S n ，且 a 4+a 5+a 6+a 7=18 ，则下列命题正确的是（） A.a 5 是常数 B.S 5 是常数 C.a 10 是常数 D.S 10 是常数4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）答案第2页，总19页订…………○…………线…………○内※※答※※题※※订…………○…………线…………○A.316 B.38 C.14 D.185.已知点 F 为双曲线 C ： x 2a 2−y 2b 2=1 （ a >0 ， b >0 ）的右焦点，直线 x =a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 A ，若 AF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（） A.√5 B.1+√2 C.1+√5 D.−1+√5 6.已知函数 f(x)={sinx,x ∈[−π,0],√1−x 2,x ∈(0,1],则 ∫1−πf(x)dx = （） A.2+π B.π2 C.−2+π2D.π4−2………○…………线…………○…__________………○…………线…………○…7.执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为（）A.√2021B.√2019C.2√505D.2√505−18.已知函数 f(x)=sinωxcosωx −√3cos 2ωx +√32（ ω>0 ）的相邻两个零点差的绝对值为 π4 ，则函数 f(x) 的图象（）A.可由函数 g(x)=cos4x 的图象向左平移 5π24 个单位而得 B.可由函数 g(x)=cos4x 的图象向右平移 5π24 个单位而得 C.可由函数 g(x)=cos4x 的图象向右平移 7π24 个单位而得 D.可由函数 g(x)=cos4x 的图象向右平移 5π6 个单位而得 9.(2x −3)(1+1x )6 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A.−73B.−61C.−55D.−6310.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形 ABCDEF 是边长为1的正六边形，点 G 为 AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）答案第4页，总19页…订…………○…………线…………○※※内※※答※※题※※…订…………○…………线…………○A.31π6 B.31π8 C.481π64 D.31√31π4811.已知抛物线 C ： y 2=4x 的焦点为 F ，过点 F 分别作两条直线 l 1 ， l 2 ，直线 l 1 与抛物线 C 交于 A 、 B 两点，直线 l 2 与抛物线 C 交于 D 、 E 两点，若 l 1 与 l 2 的斜率的平方和为1，则 |AB|+|DE| 的最小值为（） A.16 B.20 C.24 D.3212.若函数 y =f(x) ， x ∈M ，对于给定的非零实数 a ，总存在非零常数 T ，使得定义域 M 内的任意实数 x ，都有 af(x)=f(x +T) 恒成立，此时 T 为 f(x) 的类周期，函数 y =f(x) 是 M 上的 a 级类周期函数．若函数 y =f(x) 是定义在区间 [0,+∞)内的2级类周期函数，且 T =2 ，当 x ∈[0,2) 时， f(x)={12−2x 2,0≤x ≤1,f(2−x),1<x <2,函数 g(x)=−2lnx +12x 2+x +m ．若 ∃x 1∈[6,8] ， ∃x 2∈(0,+∞) ，使 g(x 2)−f(x 1)≤0 成立，则实数 m 的取值范围是（）A.(−∞,52]B.(−∞,132]…………外……………………装…………○…………订校:___________姓名：___________班级：___________考…………内……………………装…………○…………订 C.(−∞,−32]D.[132,+∞)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.已知向量 a ⇀=(2sinα,cosα) ， b ⇀=(1,−1) ，且 a ⇀⊥b ⇀，则 (a ⇀−b ⇀)2= ．14.已知 x ， y 满足约束条件 {x −2y ≤0,2x −y ≥0,x +4y −18≤0,则目标函数 z =32x8y 的最小值为．15.在等比数列 {a n } 中， a 2⋅a 3=2a 1 ，且 a 4 与 2a 7 的等差中项为17，设 b n =a 2n−1−a 2n ， n ∈N ∗ ，则数列 {b n } 的前 2n 项和为．16.如图，在直角梯形 ABCD 中， AB ⊥BC ， AD//BC ， AB =BC =12AD =1 ，点 E 是线段 CD 上异于点 C ， D 的动点， EF ⊥AD 于点 F ，将 ΔDEF 沿 EF 折起到 Δ PEF 的位置，并使 PF ⊥AF ，则五棱锥 P −ABCEF 的体积的取值范围为．三、解答题（题型注释）17.已知 ΔABC 的内角 A ， B ， C 的对边 a ， b ， c 分别满足 c =2b =2 ，2bcosA +acosC +ccosA =0 ，又点 D 满足 AD ⇀=13AB ⇀+23AC ⇀．答案第6页，总19页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…（1）求 a 及角 A 的大小；（2）求 |AD ⇀| 的值．18.在四棱柱 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 是正方形，且 BC =BB 1=√2 ，∠A 1AB =∠A 1AD =60° ．（1）求证： BD ⊥CC 1 ；（2）若动点 E 在棱 C 1D 1 上，试确定点 E 的位置，使得直线 DE 与平面 BDB 1 所成角的正弦值为 √714 ．19.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕， A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 x ¯（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ,σ2) ，利用该正态分布，求 Z 落在 (14.55,38.45) 内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于 (10,30) 内的包数为 X ，求 X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ=√142.75≈11.95；②若Z~N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z≤μ+2σ)=0.9544．20.已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21.已知函数f(x)=e x−2(a−1)x−b，其中e为自然对数的底数.（1）若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g(x)=e x−(a−1)x2−bx−1，且g(1)=0，若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为{x=−1+acosθ,y=−1+asinθ,（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ−π4)．（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；（2）分别记直线l：θ=π12，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．23.选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x+1|．（1）求不等式f(x)≤10−|x−3|的解集；（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f(m)+f(−2n)≥16．答案第8页，总19页…装…………○…………不※※要※※在※※装※※订※※线※※…装…………○…………参数答案1.C【解析】1.集合 A ={x|0≤x ≤4},B ={x|−4<x <3} ，故 A ∪B ={x|−4<x ≤4} ，集合 C 表示非负的偶数，故 (A ∪B)∩C ={0,2,4} ，故答案为：C.先解二次不等式和指数不等式求出集合，再进行交并运算. 2.A【解析】2. i(x +yi)=−y +xi,5i 2−i=5i(2+i)5=−1+2i ，根据两复数相等的充要条件得 x =2,y =1 ，即 x +yi =2+i ，其共轭复数为 x −yi =2−i .故答案为：A.对于复数方程，根据两复数相等的充要条件求出复数，再求共轭复数. 3.D【解析】3. ∵a 4+a 5+a 6+a 7=2(a 5+a 6)=18,∴a 5+a 6=9 ， ∴S 10=10(a 2+a 10)2=5(a 5+a 6)=45 为常数，所以答案是：D.【考点精析】利用等差数列的通项公式（及其变式）和等差数列的前n 项和公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知通项公式：或；前n 项和公式：．4.A【解析】4.由七巧板的构造可知， ΔBIC ≅ΔGOH ，故黑色部分的面积与梯形 EFOH 的面积相等，则 S EFOH =34S ΔDOF =34×14S ABDF =316S ABDF ,∴ 所求的概率为 P =S EFOH S ABDF=316.所以答案是：A.【考点精析】根据题目的已知条件，利用几何概型的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 5.D………装…………○……__________姓名：___________班级：__………装…………○……【解析】5.由 {x =a y =b ax ，解得点 A(a,b) ，又 F(c,0) ，则 AF 的中点坐标为 (a+c 2,b2) ，于是 (a+c)24a 2−b 24b2=1,(a +c)2=5a 2 ， c 2+2ac −4a 2=0 ，则 e 2+2e −4=0 ，解得 e =−1+√5 或 e =−1−√5 （舍去）。

2018年高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学试卷(四)含答案

x2 y 2 12．设双曲线 C : 2 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ， F1 F2 2c ，过 a b
3a F2 作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 A ，已知 Q c, ， F2Q F2 A ，点 P 是双 2
9．已知偶函数 f x 在 0, 单调递减，若 f 2 0 ，则满足 xf x 1 0 的的取值范围是（） B． 1, 0 3, D． 1, 0 1,3
曲线 C 右支上的动点，且 PF1 PQ A． , 1 0,3 C． , 1 1,3 ）
B．
5 2
C．
3 2
D．
1 2
4．已知等差数列 an 的前项和为 S n ，且 S9 6 ，则 tan a5 （
3 3
）
★ 祝考试顺利 ★
注意事项： 1 、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2 、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
第 Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 (13)~(21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 (22)~(23) 题为选考题，考生根据要求作答。
则坐标原点与点（x, y ) 连线倾斜角小于
1 16
的概率为（ 3
）
A．
B．
3 16
C．
3 3 16
D．
3 3 32
二、填空题：本大题共 4 视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的侧面积是________ cm 2 ．

(衡水金卷)2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题二理(扫描版)

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2018年河北省衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷分科综合卷理科数学(一)(解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得集合，，则，，故选D.2. 已知为虚数单位，为实数，复数满足，若复数是纯虚数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，又∵复数是纯虚数，∴，解得，故选B.3. 我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾和股分别表示直角三角形的两条直角边，用弦来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设直角三角形的长直角边为，短直角边为，由题意，∵大方形的边长为，小方形的边长为，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，∴满足题意的概率值为：，故选B.4. 已知等差数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差数列的性质可得：，∴，则，故选C.5. 已知函数，则下列结论正确的是（）A. 在区间内单调递增B. 在区间内单调递减C. 是偶函数D. 是奇函数，且在区间内单调递增【答案】D 【解析】当时，函数在区间内单调递增，当时，函数在区间上单调递减，在内单调递增，故，均错误，，均成立，故是奇函数，故错误，故选.6.的展开式中项的系数为（）A. -16B. 16C. 48D. -48 【答案】A 【解析】∵展开式的通项公式为，∴的展开式中项的系数为，故选A.7. 如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体，其直观图如下所示：其表面积，故选B.8. 若，则下列不等式不正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据对数函数的单调性可得正确，正确，∵，，∴，，∴，故C不正确，∵，∴正确，故选C.9. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为11，则判断框中的条件可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第1次执行循环体，，应不满足输出的条件，n=2，第2次执行循环体，S=7，应不满足输出的条件，n=3，第3次执行循环体，S=15，应不满足输出的条件，n=4，第4次执行循环体，S=31，应不满足输出的条件，n=5，第5次执行循环体，S=63，应不满足输出的条件，n=6，第6次执行循环体，S=127，应不满足输出的条件，n=7，第7次执行循环体，S=255，应不满足输出的条件，n=8，第8次执行循环体，S=511，应不满足输出的条件，n=9，第9次执行循环体，S=1023，应不满足输出的条件，n=10，第10次执行循环体，S=2047，应不满足输出的条件，n=11第11次执行循环体，S=4095，应满足输出的条件，故判断框中的条件可以是S＜4095？，故选：C点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题；由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.10. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，则（）B．C. D．【答案】A【解析】根据函数（，）的部分图象，可得，∴，根据，∴，故，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，故，故选A.点睛：题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.11. 已知抛物线的焦点为，过点作斜率为1的直线交抛物线于两点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线：，可得，消去可得：，可得，，，，，则，故选C.12. 已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，数列中，，即，则有，则有，，即，∵对于任意的，，不等式恒成立，∴，化为：，设，，可得且，即有，即，可得或，则实数的取值范围是，故选A.点睛：本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对的变形，即运用裂项相消求和可得，再由不等式恒成立问题可得，设，，运用一次函函数的性质，可得的不等式，解不等式即可得到所求的范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，若向量与共线，则向量在向量放心上的投影为__________．【答案】0【解析】向量，，向量，∵向量与共线，∴，即，∴向量，∴向量在向量方向上的投影为，故答案为0. 14. 若实数满足则的最大值是__________．【答案】【解析】实数，满足，对应的可行域如图：线段，化为：，如果最大，则直线在轴上的截距最小，作直线：，平移直线至点时，取得最大值，联立，解得，所以的最大值是：，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于，两点，则，以为直径的圆恰好过其上焦点，可得：，∴，可得，解得，舍去，故答案为.16. 一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为__________．【答案】【解析】设该项长方体底面边长为米，由题意知其高是：，（），则长方体的体积，（），，由，得，且当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴体积函数在处取得唯一的极大值，即为最大值，此时长方体的高为，∴其外接球的直径，∴，∴其外接球的体积，故答案为.点睛：本题主要考查了正方体和球的组合体问题，解决该题的关键是准确寻找直径与正方体的关系是解题的关键，常见的形式有：1、当正方体的各个顶点均在球面上时，正方体的体对角线为球的直径；2、当球与正方体的各条棱相切时，球的直径即为面的对角线；3、当球与正方体的的各面相切时，正方体的棱长即为球的直径.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在中，角所对的边分别为，若.(1)求角的大小；(2)若点在边上，且是的平分线，，求的长.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出，从而得出的大小；（2）利用余弦定理求出，根据是的平分线，可得，故而可求得结果.试题解析：(1)在中，∵,∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴.(2)在中，由余弦定理得，即,解得,或（负值，舍去）∵是的平分线，，∴,∴.18. 如图，在三棱柱中，侧棱底面,且,是棱的中点，点在侧棱上运动.(1)当是棱的中点时，求证：平面；(2)当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）取线段的中点，连结．可得四边形是平行四边形，，即可证明平面；（2）以为原点，，，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量法二面角的余弦值.试题解析：(1)取线段的中点，连结.∵,∴，且.又为的中点，∴,且.∴,且.∴四边形是平行四边形.∴.又平面平面,∴平面.(2)∵两两垂直，∴以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图,∵三棱柱中，平面，∴即为直线与平面所成的角.设，则由，得.∴.∴,设平面的一个法向量为，则令，得，即.又平面的一个法向量为,∴,又二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为.19. 第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；(2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人.①记表示选取4人的成绩的平均数,求；②记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望.【答案】(1)答案见解析；(2)①.；②.答案见解析.【解析】试题分析：（1）众数为，中位数为，抽取的人中，分以下的有人，不低于分的有人，从而求出从该校学生中任选人，这个人测试成绩在分以上的概率，由此能求出该校这次测试成绩在分以上的人数；（2）①由题意知分以上的有，，，，，，，，当所选取的四个人的成绩的平均分大于分时，有两类：一类是：，，，，共1种；另一类是：，，，，共3种．由此能求出；②由题意得的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．... ... ... ... ...试题解析：(1)众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为，故该校这次测试成绩在70分以上的约有（人）(2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94.当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类.一类是82，88，93，94，共1种；另一类是76，88，93，94，共3种.所以.②由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4,,,,.的分别列为.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出椭圆方程；（2）联立方程组，利用根与系数的关系求出的中点的坐标，根据得出点横坐标的表达式，利用基本不等式得出的取值范围.试题解析：(1)由已知得，解得，∴椭圆的方程为.(2)设，的中点为，点，使得,则.由得，由，得.∴，∴.∵∴，即，∴.当时，（当且仅当，即时，取等号），∴；当时，（当且仅当，即时，取等号），∴，∴点的横坐标的取值范围为.21. 设函数为自然对数的底数.(1)若,且函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；(2)若，试判断函数的零点个数.【答案】(1)；(2)函数没有零点.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为在恒成立，记，根据函数的单调性求出的范围即可；（2）求出，记，根据函数的单调性得到在区间递增，从而求出的最小值大于0，判断出函数无零点即可. 试题解析：(1)∵函数在区间内单调递增，页11第∴在区间内恒成立.即在区间内恒成立.记，则恒成立，∴在区间内单调递减,∴，∴，即实数的取值范围为.(2)∵，，记，则，知在区间内单调递增.又∵，，∴在区间内存在唯一的零点，即，于是，.当时，单调递减；当时，单调递增.∴，当且仅当时，取等号.由，得，∴，即函数没有零点.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)求直线的直角坐标方程和椭圆的参数方程；(2)设为椭圆上任意一点，求的最大值.【答案】(1)直线的直角坐标方程为，椭圆的参数方程为为参数）；(2)9. 【解析】试题分析：（1）根据题意，由参数方程的定义可得椭圆的参数方程，对直线的极坐标方程利用两角和的正弦展开，将，代入可得直线的普通方程；（2）根据题意，设，进页12第而分析可得，由三角函数的性质分析可得答案.试题解析：(1)由，得，将代入，得直线的直角坐标方程为.椭圆的参数方程为为参数）.(2)因为点在椭圆上，所以设，则，当且仅当时，取等号，所以.23. 已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若的最大值为，对任意不想等的正实数，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）原不等式即为，分当时，当时，当时去绝对值，解不等式，最后求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质可得，再由绝对值不等式的性质，化简变形即可得证.试题解析：(1)不等式，即，此不等式等价于或或解得，或，或.所以不等式的解集为.(2)，因为，当且仅当时，取等号，所以，即，因为为正实数，所以，当且仅当时，取等号.即.点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．页13第。

(衡水金卷)2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题二文(含答案)

（衡水金卷）2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟考试数学试题二文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3,2,1,0,1,2,3A =---，集合{}1,0,1,3A =-，集合{}3,2,1,3B =---，则()U C A B ⋃=（）A ．{}3,2,1--B ．{}2,1,1--C ．{}2D ．{}1,2,3-2. 已知复数z 满足()20181z i i +=（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在象限为（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函数()()ln 21f x x =+的定义域为（）A ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭4.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现项园中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（）A B C5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线4310x y ++=垂直，且焦点在圆()22126x y +-=上，则该双曲线的标准方程为（）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=6.执行如图所示的程序框图，若输入的0.05t =，则输出的n 为（）A ．3B ．4C ．5D ．67.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1133,2n n a a S ++==，则5a =（） A ．33 B ．43 C ．53 D ．638.已知将函数()()sin 206f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 图象的两条相邻的对称轴间的距离为2π，则函数()g x 的—个对称中心为（）A ．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭9.榫卯是在两个木构件上所采用的一中凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）A ．812π+B ．816π+C ．912π+D ．916π+10.已知实数,x y 满足约束条件0,20,3,x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩当且仅当1x y ==时，目标函数z kx y =+取大值，则实数k 的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()1,-+∞D ．()1,+∞11.已知0a >，命题:p 函数()()2lg 23f x ax x =++的值域为R ，命题:q 函数()ag x x x=+在区间()1,+∞内单调递增.若p q ⌝∧是真命题，则实数a 的取值范围是（） A ．(],0-∞ B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,13⎛⎤⎥⎝⎦12.若函数()ln ,0x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩与()1g x x a =++的图像上存在关于y 轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A ．RB ．(],e -∞-C ．[),e +∞D ．∅第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，20BD CD +=，若(),AD mAB nAC m n R =+∈，则n = ．14.已知焦点在x 轴上的椭圆222121x y m m +=+20y -+=上，则椭圆的离心率为．15.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()sin cos sin 1cos C A B C =-，且,3A b π=，则c = ．16.如图，在矩形ABCD 中，2AD =，E 为AB 边上的点，项将ADE ∆沿DE 翻折至A DE '∆，使得点A '在平面EBCD 上的投影在CD 上，且直线A D '与平面EBCD 所成角为30︒，则线段AE 的长为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，15965,3a a a S =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11n n n b a a ++=，且16b a =，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是PD 的中点，棱PA 与平面BCE 交于点F .（1）求证://AD EF ；（2）若PAB ∆是正三角形，求三棱锥P BEF -的体积.19.某市统计局就某地居民的收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)1000,1500）.（1）求居民收入在[)3000,3500的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收人与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[)2500,3000内应抽取多少人？20.已知点F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的直线l 交抛物线于,A B 两点. （1）若直线l 的斜率为1，8AB =，求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 的准线与x 轴交于点()1,0P -，(:2:1APF BPF S S ∆∆=，求PA PB ⋅的值. 21.已知函数()2ln ,f x x x ax a R =++∈.（1）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()1212,x x x x <是函数()f x 的导函数()f x '的两个零点，当(),3a ∈-∞-时，求证：()()123ln 24f x f x ->-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为2143x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求曲线1C 的普通方程与2C 的直角坐标方程；（2）判断曲线12,C C 是否相交，若相交，求出相交弦长. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()212f x x x =-++. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若对任意的[),x m ∈+∞，都有()f x x m ≤-成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBDAB 6-10: CCDBB 11、12：DC 二、填空题13.1314. 23三、解答题17. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由15965,3a a a S =+=, 得 ()()6535458652d d d ⨯+++=⨯+，解得2d =.所以()()()*1152123n a a n d n n n N =+-=+-=+∈. （2）由（1）得，1626315b a ==⨯+=. 又因为11n n n b a a ++=，所以当2n ≥时，()()12321n n n b a a n n -==++ 当1n =时，15315b =⨯=，符合上式，所以()()2321n b n n =++. 所以()()11111232122123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭. 所以1111111235572123n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭()1112323323nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 18. 解：（1）因为底面ABCD 是边长为2的正方形，所以//BC AD .又因为BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BC 平面PAD .又因为,,,B C E F 四点共面，且平面BCEF ⋂平面PAD EF =，所以//BC EF .又因为//BC AD ，所以//AD EF . （2）因为//AD EF ，点E 是PD 的中点，所以点F 为PA 的中点，112EF AD ==. 又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB AD AB =⊥，所以AD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB . 又因为PAB ∆是正三角形，所以2PA PB AB ===，所以12PBF PBA S S ∆∆=又1EF =，所以113P BEF B PEF V V --===故三棱锥P BEF -. 19.解：（1）由题知，月收入在[)3000,3500的频率为0.00035000.15⨯=.（2）从左数第一组的频率为0.00025000.1⨯=，第二组的频率为0.00045000.2⨯=，第三组的频率为0.00055000.25⨯=， ∴中位数在第三组，设中位数为2000x +，则0.00050.50.10.2x ⨯=--，解得400x =， ∴中位数为2400.由12500.117500.222500.2527500.2532500.1537500.052400⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，得样本数据的平均数为2400.（3）月收入在[)2500,3000的频数为0.25100002500⨯=（人）， ∵抽取的样本容量为100， ∴抽取的比例为100110000100=， ∴月收入在[)2500,3000内应抽取的人数为1250025100⨯=（人）. 20.解：（1）由题意知，直线l 的方程为2p y x =-.联立2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=. 设,A B 两点的坐标分别为()(),,,A A B B x y x y ，则3A B x x p +=.由抛物线的性质，可得4822A B A B p pAB FA FB x x x x p p =+=+++=++==，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题意，得()1,0F ，抛物线2:4C y x =，设直线l 的方程为1x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=.所以12124,4,y y m y y +=⎧⎨=-⎩①因为(:2:1APF BPF S S ∆∆=，所以2AF BF=-因为,,A F B 三点共线，且,AF FB 方向相同，所以()23AF FB =-，所以()(()11221,21,x y x y --=-，所以)122y y=，代入①，得))22214,2 4.y m y⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得212m =，又因为()1,0P -，所以()()11221,,1,PA x y PB x y =+=+，所以()()11221,1,PA PB x y x y ⋅=+⋅+ ()1212121x x x x y y =++++()()()1212111114my my my my =+++++++- ()212122m y y m y y =++2224842m m m =-+==.21.解：（1）当1a =-时，()2ln f x x x x =+-，()121f x x x'=+-，所以()1ln1110f =+-=，()11212f '=+-=. 所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()21y x =-，即220x y --=.（2）由题得，()()212120x ax f x x a x x x ++'=++=>.因为12,x x 是导函数()f x '的两个零点，所以12,x x 是方程210ax ax ++=的两根，故121210,22a x x x x +=->=. 令()221g x x ax =++，因为(),3a ∈-∞-，所以13022a g +⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()130g a =+<，所以()1210,,1,2x x ⎛⎫∈∈+∞ ⎪⎝⎭，且22112221,21ax x ax x =--=--，所以()()()()()2222111212121222ln ln x x f x f x x x ax ax x x x x -=+-+-=--+，又因为1212x x =，所以1212x x =，所以()()()()2212121221ln 2,1,4f x f x x x x x -=--∈+∞，令()2222,t x =∈+∞，()()()121ln 22t h t f x f x t t=-=--. 因为()()22211110222t h t t t t -'=+-=>，所以()h t 在区间()2,+∞内单调递增，所以()()32ln 24h t h >=-，即()()123ln 24f x f x ->-. 22.解：（1）由题知，将曲线1C 的参数方程消去参数t ，可得曲线1C 的普通方程为210x y +-=.由4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得()22cos sin ρρθρθ=+.将222x y ρ=+，cos ,sin x y ρθρθ==代入上式，得2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=.故曲线2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=.（2）由（1）知，圆2C 的圆心为()1,1，半径R =，因为圆心到直线1C 的距离d ==< 所以曲线12,C C 相交，所以相交弦长为==. 23.解：（1）当2x ≤-时，不等式转化为()()2120x x --++>，解得2x ≤-；当122x -<<时，不等式转化为()()2120x x ---+>，解得123x -<<-；当12x ≥时，不等式转化为()()2120x x --+>，解得3x >.11 综上所述，不等式()0f x >的解集为{13x x <-或}3x >.（2）由（1）得，()3,2,131,2,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩作出其函数图象如图所示：令y x m =-，若对任意的[),x m ∈+∞，都有()f x x m ≤-成立，即函数()f x 的图象在直线y x m =-的下方或在直线y x m =-上. 当2m ≤-时，30m -+≤，无解；当122m -<<时，310m --≤，解得1132m -≤<；当12m ≥时，30m -≤，解得132m ≤≤. 综上可知，当133m -≤≤时满足条件，故实数m 的取值范围是1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题有答案-(高三)

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}02|>-=x x A ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛=121|xx B ，则（）A ．{}20|≤<=x xB A I B ．{}0|<=x x B A IC ．{}2|<=x x B A YD ．R B A =Y2.已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足ai a i z +=+3，若复数z 是纯虚数，则（） A ．3=a B ．0=a C ．0≠a D ．0<a3.我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾()a 和股()b 分别表示直角三角形的两条直角边，用弦()c 来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A ．4925 B ．4924 C ．74 D ．754.已知等差数列()n a 的前n 项和为n S ，且π=69S ，则=5tan a （） A ．33 B ．3 C.3- D ．33- 5.已知函数())(R a xax x f ∈+=，则下列结论正确的是（） A ．)(,x f R a ∈∀在区间()∞+，0内单调递增 B ．)(,x f R a ∈∃在区间()∞+，0内单调递减 C.)(,x f R a ∈∃是偶函数D ．)(,x f R a ∈∃是奇函数，且()x f 在区间()∞+，0内单调递增 6.()()421x x -+的展开式中x 项的系数为（）A ．-16B ．16 C. 48 D ．-487.如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A ．424++πB ．4242++π C. 2242++π D ．4222++π 8.若10,1<<<>b c a ，则下列不等式不正确的是（） A ．b a 20182018log log > B ．a a c b log log < C.bca c a a c a )()(->- D ．()()bca b c a b c ->-9.执行如图所示的程序框图，若输出的n 值为11，则判断框中的条件可以是（）A ．?1022<SB ．?2018<S C. ?4095<S D ．?4095>S 10.已知函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π≤ϕ>ϕϕ+ϖ=20)sin(2，x x f 的部分图象如图所示，将函数()x f 的图象向左平移12π个单位长度后，所得图象与函数)(x g y =的图象重合，则（）A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=32sin 2x x g B ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=62sin 2x x g B ．C.()x x g 2sin 2= D ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=32sin 2x x g 11.已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点F 作斜率为1的直线l 交抛物线C 于Q P ,两点，则QFPF 11+的值为（） A ．21 B ．87C. 1 D ．2 12.已知数列{}n a 中，()*+∈+=-=N n a a a n a n n n ,1,211，若对于任意的[]*∈-∈N n a ,2,2，不等式12121-+<++at t n a n 恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．(][)+∞-∞-,22,Y B ．(][)+∞-∞-,12,Y C. (][)+∞-∞-,21,Y D ．[]2,2-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()()1,3,,1=λ=b a ，若向量b a -2与()2,1=c 共线，则向量a 在向量c 放心上的投影为．14.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=+,1,2,4x y x y x 则13+-=y x z 的最大值是．15.过双曲线()0,012222>>=-b a bx a y 的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于B A ,两点，若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ,则双曲线的离心率为．16.一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若B c C b A a cos cos cos 2+=. (1)求角A 的大小；(2)若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线，4,2==BC AB ，求AD 的长.18. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1CC 底面ABC ,且BC AC BC AC CC ⊥==,221,D 是棱AB 的中点，点M 在侧棱1CC 上运动.(1)当M 是棱1CC 的中点时，求证：//CD 平面1MAB ； (2)当直线AM 与平面ABC 所成的角的正切值为23时，求二面角11C MB A --的余弦值.19. 第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数； (2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人. ①记X 表示选取4人的成绩的平均数,求)87(≥X P ；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布列和数学期望.20.已知椭圆 )0(12222>>=+b a b y a x C ：的左、右焦点分别为21,F F ,离心率为31，点P 在椭圆C 上，且21F PF ∆的面积的最大值为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线)0(2:≠+=k kx y l 与椭圆C 交于不同的两点N M ,，若在x 轴上存在点G ，使得GN GM =，求点G 的横坐标的取值范围.21. 设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.(1)若0>a ,且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若320<<a ，试判断函数)(x f 的零点个数. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为141622=+x y ，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3)3sin(=π+θρ. (1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的参数方程；(2)设),(y x M 为椭圆C 上任意一点，求132-+y x 的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数|2|)(-=x x f .(1)求不等式4)2()(≤++x f x f 的解集；(2)若)2()()(x f x f x g +-=的最大值为m ，对任意不想等的正实数b a ,，证明：||)()(b a m a bf b af -≥+.试卷答案一、选择题1-5: DBBCD 6-10: ABCCA 11、12：CA二、填空题13.0 14.31-15.21+ 16.π34 三、解答题17.解：(1)在ABC ∆中，∵B c C b A a cos cos cos 2+=, ∴由正弦定理，得B C C B A cos sin cos sin cos sin 2+=A CB sin )sin(=+=，∵0sin ≠A ，∴21cos =A ， ∵()π∈，0A ， ∴3π=A . (2)在ABC ∆中，由余弦定理得A AC AB AC AB BC cos 2222⋅-+=，即AC AC 24162-+=,解得131+=AC , 或131-=AC （负值，舍去）∵BD 是ABC ∠的平分线，4,2==BC AB ， ∴21==BC AB DC AD ,∴313131+==AC AD . 18.解：(1)取线段1AB 的中点E ，连结EM DE ,. ∵1,EB AE DB AD ==, ∴1//BB DE ，且121BB DE =. 又M 为1CC 的中点， ∴1//BB CM ,且121BB CM =. ∴DE CM //,且DE CM =. ∴四边形CDEM 是平行四边形.∴EM CD //.又⊂EM 平面⊄CD M AB ,1平面M AB 1, ∴//CD 平面1MAB .(2)∵1,,CC CB CA 两两垂直，∴以C 为原点，1,,CC CB CA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz ，如图,∵三棱柱111C B A ABC -中，⊥1CC 平面ABC ， ∴MAC ∠即为直线AM 与平面ABC 所成的角. 设1=AC ，则由23tan =∠MAC ，得23=CM . ∴()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,0,2,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,01M B B A C . ∴()2,1,1,23,0,11-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB , 设平面1AMB 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,02,0231z y x n AB z x n AM 令2=z ，得1,3-==y x ，即)2,1,3(-=n . 又平面11B BCC 的一个法向量为)0,0,1(=, ∴14143|cos |=⋅=nCA n CA n CA , 又二面角11C MB A --的平面角为钝角， ∴二面角11C MB A --的余弦值为14143-. 19.解：(1)众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为32128=，故该校这次测试成绩在70分以上的约有2000323000=⨯（人） (2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94. 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类. 一类是82，88，93，94，共1种；另一类是76，88，93，94，共3种. 所以 3524087(48==≥C X p . ②由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3，4701)0(484404===ξC C C P , ()35870161483414====ξC C C P , 35187036)2(482424====ξC C C P ,()35870163481434====ξC C C P , 701)4(480444===ξC C C P . ξ的分别列为ξ1234P701358 3518 358 701 ()27043533523517010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E 20.解：(1)由已知得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==⨯⨯=,,22221,31222b a c b c a c解得1,8,9222===c b a ，∴椭圆C 的方程为18922=+y x . (2)设()()2211,,,y x N y x M ，MN 的中点为()00,y x E ，点()0,m G ，使得GN GM =, 则MN GE ⊥.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,189,222y x kx y 得()036369822=-++kx x k ，由0>∆，得R k ∈. ∴8936221+-=+k kx x ，∴89162,891820020+=+=+-=k kx y k k x . ∵,MN GE ⊥∴kk GE 1-=，即k k k k 189180891622-=+--+，∴kk k k m 8928922+-=+-=. 当0>k 时，21289289=⨯≥+k k （当且仅当kk 89=，即322=k 时，取等号）， ∴0122<≤-m ；当0>k 时，21289-≤+k k （当且仅当kk 89=，即322-=k 时，取等号），∴1220≤<m ， ∴点G 的横坐标的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-122,00,122U . 21.解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x 在区间[)∞+，0内恒成立. 即x e a x -≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1. (2)∵320<<a ，ax e x f x +-=1)('，记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x，知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，01)1('>+-=aa e f ， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ，即01)('000=+-=ax e x f x，于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减；当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增. ∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=，当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. 22.解：(1)由33sin =⎪⎭⎫⎝⎛π+θρ，得3cos 23sin 21=θρ+θρ，将θρ=θρ=sin ,cos y x 代入，得直线l 的直角坐标方程为063=-+y x . 椭圆C 的参数方程为ϕ⎩⎨⎧ϕ=ϕ=(sin 4,cos 2y x 为参数）.(2)因为点M 在椭圆C 上，所以设)sin 4,cos 2(ϕϕM ，则1sin 4cos 34132-ϕ+ϕ=-+y x913sin 8≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ=，当且仅当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛π+ϕ时，取等号，所以9132max=-+y x .23.解：(1)不等式()4)2(≤++x f x f ，即42≤+-x x ，此不等式等价于⎩⎨⎧≤--≤,42,0x x x或⎩⎨⎧≤+-≤<,42,20x x x 或⎩⎨⎧≤+->.42,2x x x解得01≤≤-x ，或20≤<x ，或32≤<x .所以不等式()4)2(≤++x f x f 的解集为{}31|≤≤-x x . (2)()|||2|)2()(x x x f x f x f --=+-=，因为()2|2|2=--≤--x x x x ，当且仅当0≤x 时，取等号，所以()2≤x g ，即2=m ，因为b a ,为正实数，所以()()22-+-=+a b b a a bf b af()()b ab a ab b ab a ab 2222---≥-+-= b a m b a -=-=2，当且仅当()()022≤--a b 时，取等号. 即()()()||b a m a bf b af -≥+.。

【高三数学试题精选】2018年高考数学(理)模拟试题四(衡水金卷有答案)

可知直线的普通方程为
由得，，
故，
所以的长度
（2）由直线的参数方程为（为参数，为实数），
可知直线过定点，
经验证该点在椭圆上，
不妨设为点，则直线的方程为
设，点到直线的距离为，
则
若要面积取得最大值，
则，
得，，，
此时或
将代入直线的参数方程为，解得
将代入直线的参数方程为，解得不存在
所以
23解（1）
，
即或或
解得
则经计算得，，，，
因为，
所以，
所以，，
设平面一个法向量为，
由
令，得
设直线与平面所成的角为，
则
20解（1）由题意，，故。
所以抛物线的方程为
将代入抛物线方程，解得，
因此，
故，
的方程为，
故，
同理
则由
解得
因直线，
则由
得，
则
因此
21（1）由题意，，则，
由题意，若在上有极值点，
2018年高考数学（理）模拟试题四（衡水金卷有答案）
5 c 5不等式选讲
已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若证明不等式恒成立
试卷答案
一、选择题
1-5DDDAA 6-10cBADB 11、12cB
二、填空题
13-1 14 1512 163
三、解答题
17解（1）因为，由正弦定理，得
又，
所以，
即
因为，故
所以
（2）由的面积，得
又为边的中点，故，
因此，
故，
即，
故
所以
18解（1）由题意，，
，
故，，
由得，
则

【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(一)理科数学(原卷版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）理数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，，则（）A. B. C. D.2. 设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）A. B. C. D.3. 已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（）A. 是常数B. 是常数C. 是常数D. 是常数4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）......A. B. C. D.5. 已知点为双曲线：（，）的右焦点，点到渐近线的距离是点到左顶点的距离的一半，则双曲线的离心率为（）A. 或B.C.D.6. 已知函数则（）A. B. C. D.7. 执行如图程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D.8. 已知函数的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. B. C. D.10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一个正六边形及其三条对角线，则该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.11. 设为坐标原点，点为抛物线：上异于原点的任意一点，过点作斜率为的直线交轴于点，点是线段的中点，连接并延长交抛物线于点，则的值为（）A. B. C. D.12. 若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数，若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数，若，，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，且，则__________．14. 已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．15. 在等比数列中，，且与的等差中项为，设，，则数列的前项和为__________．16. 有一个容器，下部是高为的圆柱体，上部是与圆柱共底面且母线长为的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．（1）求及角的大小；（2）求的值．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．（1）求证：；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．20. 已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，点的坐标为，问直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由．21. 已知函数，其中为自然对数的底数．（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（是参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的交点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．选修4-5：不等式选讲23. 已知函数．（1）求不等式；（2）若正数，满足，求证：．。

衡水金卷2018届全国高三大联考理科数学试题含答案

金卷 2018 届全国高三大联考理科第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 ( )A.B.C.D.【答案】C【解析】.所以,.故选 C.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为( )A. 2 B. -3 C. D. 3【答案】B【解析】.故的虚部为-3，即.故选 B.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】由，得，故.故选 C.4. 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 22mm，面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗，据此可估计军旗的面积大约是( )A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是. 故选 B.5. 已知双曲线：的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为( )A.B.C. 2 D.【答案】A【解析】圆：的圆心为，双曲线的渐近线为 .依题意得 .故其离心率为.故选 A.6. 已知数列为等比数列，且，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意，得，所以 .由 ,得，或（由于与同号，故舍去）.所以..故选 A.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为-10，则①中应填()A.B.C.D.【答案】C【解析】由图，可知.故①中应填 .故选 C.8. 已知函数为的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意得，令.则为的偶函数，当时，.所以在单调递减.又，，.故，选 D.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体积.故选 A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 已知函数的部分图象如图所示，其中 .记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是()A. 为真 B. 为假 C.为真 D.为真【答案】D【解析】由，可得因为，所以.解得 . ，故为真命题；将图象所有点向右平移个单位，.............................. 所以为假，为真，为假，为真.故选 D.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为 ( )A.B.C.D.【答案】B【解析】令，得，即 .由抛物线的光学性质可知经过焦点，设直线的方程为，代入 .消去，得.则，所以..将代入得，故 .故.故的周长为.故选 B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值是( )A. B. C. 49 D.【答案】B【解析】当时，，解得由得 .由，得两式相减得.所以.因为，所以.或. .即数列是以 3 为首项，3 为公差的等差数列，所以 .所以.所以.要使恒成立，只需 .故选 B.点睛：由和求通项公式的一般方法为.数列求和的常用方法有：公式法；分组求和；错位相减法；倒序相加法；裂项相消法；并项求和.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分.13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则 __________．【答案】1【解析】依题意，得，故是以为底边的等腰三角形，故，所以.所以 .14. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为，，则的最小值为__________．【答案】16【解析】显然 .令，得 .所以.当且仅当 .即时，取等号，此时的最小值为 16.15. 已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值围为__________．【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值 .即，当或时，.当时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与切球的表面积之和为 __________．【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得.由等体积法，知.即，解得 .故该鳖臑的外接球与切球的表面积之和为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数，.（Ⅰ）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为；（2） .【解析】试题分析：（1）化简函数得，其最小正周期，令即可解得对称轴；（2）由，解得，由正弦定理及，得，利用即可得解.试题解析：（1）原式可化为，，，，故其最小正周期，令，解得，即函数图象的对称轴方程为，.（2）由（1），知，因为，所以.又，故得，解得 .由正弦定理及，得.故.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接通过证得，即可证得平面；（2）取的中点 ,连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，则，为平面的一个法向量.试题解析：（1）当时，平面 .证明如下：连接交于点，连接 .∵，∴.∵，∴.∴.又∵ 平面，平面，∴ 平面 .（2）取的中点 ,连接 .则.∵平面平面，平面平面，且，∴ 平面 .∵ ，且，∴四边形为平行四边形，∴ .又∵，∴ .由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 .则，，，，，.当时，有，∴可得 .∴，，.设平面的一个法向量为，则有即令，得， .即.设与平面所成的角为，则.∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为 .点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了 200 人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5 人，再从这 5 人中随机选出 3 人赠送外卖优惠卷，求选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10 人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）见解析；（2）① ，②见解析. 【解析】试题分析：（1）计算的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取 1 人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知的观测值，.所以不能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的 5 名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率为.②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取 1 人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为 .由题意得，所以；.20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为点，，其离心率为，短轴长为 .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得，，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形是平行四边形.若是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式在恒成立，求证： .【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）函数求导得，讨论和演技单调性及极值即可；（2）当时，在单调递增，可知在不恒成立，当时，，即，所以.令，进而通过求导即可得最值.试题解析：（1）由题意得.当，即时，，在单调递增，没有极值.当，即，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，取得最小值，无极大值.综上所述，当时，在单调递增，没有极值；当时，在区间单调递减，在区间单调递增，的极小值为，无极大值.（2）由（1），知当时，在单调递增，当时，成立.当时，令为和中较小的数，所以，且 .则，.所以，与恒成立矛盾，应舍去.当时，，即，所以.令，则.令，得，令，得，故在区间单调递增，在区间单调递减.故，即当时，.所以.所以 .而，所以 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，数的取值围.【答案】（1）；（2） .【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程化为普通方程，进而由圆的参数方程得曲线上的点到直线的距离，，利用三角函数求最值即可；（2）曲线上的所有点均在直线的下方，即为对，有恒成立，即（其中）恒成立，进而得.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线上的点到直线的距离，，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为 .（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立，即（其中）恒成立，∴.又，∴解得，∴实数的取值围为 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）记函数的值域为，若，证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式得 ..用作差法比较大小得到，即可证得.试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2），当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于，. ∵，∴，.∴.∴.。

河北衡水金卷2018届高三理数高考一模试卷

河北衡水金卷2018届高三理数高考一模试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知集合A={x|−x2+4x≥0}，B={x|181<3x<27}，C={x|x=2n,n∈N}，则(A∪B)∩C=（）A．{2,4}B．{0,2}C．{0,2,4}D．{x|x=2n,n∈N}2．（2分）设i是虚数单位，若i(x+yi)=5i2−i，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2−i B．−2−i C．2+i D．−2+i3．（2分）已知等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数4．（2分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．316B．38C．14D．185．（2分）已知点F为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．√5B．1+√2C．1+√5D．−1+√56．（2分）已知函数f(x)={sinx,x∈[−π,0],√1−x2,x∈(0,1],则∫1−πf(x)dx=（）A．2+πB．π2C．−2+π2D．π4−27．（2分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．√2021B．√2019C．2√505D．2√505−18．（2分）已知函数f(x)=sinωxcosωx−√3cos2ωx+√32（ω>0）的相邻两个零点差的绝对值为π4，则函数f(x)的图象（）A．可由函数g(x)=cos4x的图象向左平移5π24个单位而得B．可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移5π24个单位而得C．可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移7π24个单位而得D．可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移5π6个单位而得9．（2分）(2x−3)(1+1x)6的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A．−73B．−61C．−55D．−6310．（2分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A．31π6B．31π8C．481π64D．31√31π4811．（2分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．20C．24D．3212．（2分）若函数y=f(x)，x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af(x)=f(x+T)恒成立，此时T为f(x)的类周期，函数y= f(x)是M上的a级类周期函数．若函数y=f(x)是定义在区间[0,+∞)内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0,2)时，f(x)={12−2x2,0≤x≤1,f(2−x),1<x<2,函数g(x)=−2lnx+12x2+x+m．若∃x1∈[6,8]，∃x2∈(0,+∞)，使g(x2)−f(x1)≤0成立，则实数m的取值范围是（）A．(−∞,52]B．(−∞,132]C．(−∞,−32]D．[132,+∞)二、填空题 (共4题；共8分)13．（2分）已知向量a⇀=(2sinα,cosα)，b⇀=(1,−1)，且a⇀⊥b⇀，则(a⇀−b⇀)2=．14．（2分）已知x，y满足约束条件{x−2y≤0, 2x−y≥0,x+4y−18≤0,则目标函数z=32x8y的最小值为．15．（2分）在等比数列{a n}中，a2⋅a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n=a2n−1−a2n，n∈N∗，则数列{b n}的前2n项和为．16．（2分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD//BC，AB=BC=12AD=1，点E 是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将ΔDEF沿EF折起到ΔPEF 的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P−ABCEF的体积的取值范围为．三、解答题 (共7题；共70分)17．（10分）已知ΔABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足AD⇀=13AB⇀+23AC⇀．（1）（5分）求a及角A的大小；⇀|的值．（2）（5分）求|AD18．（10分）在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且BC=BB1=√2，∠A1AB=∠A1AD=60°．（1）（5分）求证：BD⊥CC1；（2）（5分）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成．角的正弦值为√71419．（10分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）（5分）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x̅（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）（5分）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55，38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10，30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ=√142.75≈11.95；②若Z~N(μ，σ2)，则P(μ−σ<Z≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z≤μ+2σ)=0.9544．20．（10分）已知椭圆 C ： x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的离心率为 √22 ，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）（5分）求椭圆 C 的标准方程；（2）（5分）若直线 l ： y =kx +2 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，在 y 轴上是否存在点 D ，使直线 AD 与 BD 的斜率之和 k AD +k BD 为定值？若存在，求出点 D 坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21．（10分）已知函数 f(x)=e x −2(a −1)x −b ，其中 e 为自然对数的底数.（1）（5分）若函数 f(x) 在区间 [0,1] 上是单调函数，试求实数 a 的取值范围；（2）（5分）已知函数 g(x)=e x −(a −1)x 2−bx −1 ，且 g(1)=0 ，若函数 g(x) 在区间 [0,1] 上恰有3个零点，求实数 a 的取值范围．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 1 的参数方程为 {x =−1+acosθ,y =−1+asinθ, （ θ 为参数， a 是大于0的常数）．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 2 的极坐标方程为 ρ=2√2cos(θ−π4) ．（1）（5分）求圆 C 1 的极坐标方程和圆 C 2 的直角坐标方程；（2）（5分）分别记直线 l ： θ=π12 ， ρ∈R 与圆 C 1 、圆 C 2 的异于原点的焦点为 A ，B ，若圆C 1 与圆 C 2 外切，试求实数 a 的值及线段 AB 的长．23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数 f(x)=|2x +1| ．（1）（5分）求不等式 f(x)≤10−|x −3| 的解集；（2）（5分）若正数 m ， n 满足 m +2n =mn ，求证： f(m)+f(−2n)≥16 ．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】集合 A ={x|0≤x ≤4},B ={x|−4<x <3} ，故 A ∪B ={x|−4<x ≤4} ，集合 C 表示非负的偶数，故 (A ∪B)∩C ={0,2,4} ，故答案为：C.【分析】先解二次不等式和指数不等式求出集合，再进行交并运算.2．【答案】A【解析】【解答】 i(x +yi)=−y +xi,5i 2−i =5i(2+i)5=−1+2i ，根据两复数相等的充要条件得 x =2,y =1 ，即 x +yi =2+i ，其共轭复数为 x −yi =2−i . 故答案为：A.【分析】对于复数方程，根据两复数相等的充要条件求出复数，再求共轭复数.3．【答案】D【解析】【解答】 ∵a 4+a 5+a 6+a 7=2(a 5+a 6)=18,∴a 5+a 6=9 ， ∴S 10=10(a 2+a 10)2=5(a 5+a 6)=45 为常数，故答案为：D.【分析】根据数列的性质，由已知条件求出a 5+a 6，再用前n 项和公式求解.4．【答案】A【解析】【解答】由七巧板的构造可知， ΔBIC ≅ΔGOH ，故黑色部分的面积与梯形 EFOH 的面积相等，则 S EFOH =34S ΔDOF =34×14S ABDF =316S ABDF ,∴ 所求的概率为 P =S EFOH S ABDF=316 .故答案为：A.【分析】几何概型，选择面积作为测度，面积比就是概率,5．【答案】D【解析】【解答】由 {x =ay =b ax ，解得点 A(a,b) ，又 F(c,0) ，则 AF 的中点坐标为 (a+c 2,b 2) ，于是 (a+c)24a 2−b 24b2=1,(a +c)2=5a 2 ， c 2+2ac −4a 2=0 ，则 e 2+2e −4=0 ，解得 e =−1+√5 或 e =−1−√5 （舍去）。

衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试分科综合卷理科数学模拟试题2

2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(二)第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵,∴故选：B2. 已知，且是虚数单位，，则（）A. 4 B.C.D.【答案】C【解析】，由题意知：，解得：故选：C3. 已知为直线的倾斜角，若，则直线的斜率为( )A. 3 B. -4 C.D.【答案】D第1页/共22页【解析】由题意知：，故选：D4. 双曲线的渐近线与抛物线（）A.B.【答案】DC.D.【解析】由题意，知双曲线的一条渐近线为. 相切，则双曲线的离心率为联立，得到：，由相切，得,解得：，∴ .故选：D 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a， b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 5. 袋中装有 4 个红球、3 个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】用 A 表示甲摸到白球，B 表示乙摸到白球，则∴.故选：B，，第2页/共22页6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由程大位所著，其中记载这样一首诗：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！其含义为：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？现有如图所示的程序框图，输入分别代表钱数和果子个数，则符合输出值的为（）A. 为甜果数 343 B. 为苦果数 343C. 为甜果数 657 D. 为苦果数 657【答案】B【解析】由题意知，，，即若按全是甜果来算钱超出文，一个苦果和一个甜果差价位，则 p 为苦果数，.故选：B7.在区间内的所有零点之和为（）A.B.C.D.【答案】C第3页/共22页【解析】函数零点即与图象交点的横坐标，在区间象有两个交点，由得：，取于对称，故两个零点的和为,.故选：C内，与图，可知两个交点关8. 已知恒成立，若为真命题，则实数的最小值为（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A【解析】化为，即有，又时，的最小值为 2，故由存在性的意义知 .故实数的最小值为 2. 故选：A 9. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由三视图，可知该几何体为一个半圆柱与一个三棱锥结合而成的（如图第4页/共22页所示）.半圆柱的底面半径为 1，侧棱长为 2，三棱锥的底面为半圆柱的底面的内接直角三角形，直角边长为，两个侧面是全等的等腰三角形，腰长为 2，底边为，另一个侧面是边长为 2 的等边三角形，因此.故选：B点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．10. 如图为正方体，动点从点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到，运动过程种，点与平面的距离保持不变，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图象大致是（）A.B.C.D.第5页/共22页【答案】C【解析】取线段中点为 N，计算得：.同理，当 N 为线段 AC 或 C 的中点时，计算得.符合 C 项的图象特征.故选：C11. 抛物线的准线交轴于点，过点的直线交抛物线于两点，为抛物线的焦点，若，则直线的斜率为（）A. 2 B.C.D.【答案】D【解析】易知直线的斜率存在，且不为零.设得，即，带入，由得：，设，，由韦达定理得，由题知，得，,把，带入整理，得故选：D12. 已知函数，其中为自然对数的底数，若有两个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】画出与的大致图象，如图，第6页/共22页①先求时，与相切时的 a 值：设切点为，则,解得：，，把，得 ;②再求时，与有唯一公共点，且在此点有公切线时的 a 值：，解得：，而显然是增函数，故是唯一的解，此时，把，得，函数的图象是由的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 a 个单位（或向下平移-a 个单位），由图象可知：时，仅在上与有两个公共点；③把代入得，可知时，与在区间和内各有一个交点综上，实数的取值范围是故选：C点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）第7页/共22页13. 若向量, 是椭圆上的动点，则的最小值为_________．【答案】【解析】设，则，当时，取最小值为 .故答案为：14. 已知满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】如图，阴影部分即为不等式表示的区域，的几何意义是：可行域中的点与点连线的斜率，且点在直线上，由图形可得最小值为 1，最大值为过点且与抛物线相切的直线的斜率.设切点为，则，把代入，解得或 5，由图可知不合题意，舍去，故切线斜率为，∴ 的取值范围为故答案为：点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.第8页/共22页15. 中，角的对边分别为，当最大时，__________．【答案】【解析】,当且仅当，取等号，∴∠C 的最大值为 75°，此时 sinC= ,，∴.故答案为： 16. 3 位逻辑学家分配 10 枚金币，因为都对自己的逻辑能力很自信，决定按以下方案分配： (1)抽签确定各人序号：1，2，3； (2)1 号提出分配方案，然后其余各人进行表决，如果方案得到不少于半数的人同意（提出方案的人默认同意自己方案），就按照他的方案进行分配，否则 1 好只得到 2 枚金币，然后退出分配与表决； (3)再由 2 号提出方案，剩余各人进行表决，当且仅当不少于半数的人同意时(提出方案的人默认同意自己方案），才会按照他的提案进行分配，否则也将得到 2 枚金币，然后退出分配与表决； (4)最后剩的金币都给 3 号. 每一位逻辑学家都能够进行严密的逻辑推理，并能很理智的判断自身的得失，1 号为得到最多的金币，提出的分配方案中 1 号、2 号、3 号所得金币的数量分别为__________．第9页/共22页【答案】9,0,1【解析】先看一下个人的利益最大化：①3 号：如果 1 号的方案被否定，此时剩余金币有 8 枚，那么 2 号的方案必然是 2 号 8 枚，3 号 0 枚，然后 2 号方案不低于半数通过，②由①的分析可知，只要 1 号的分配方案分配给 3 号的金币数量多于 0，3 号就会同意，方案就会通过，所以 1 号的利益最大化的分配方案是 1 号，2 号，3 号所得金币数量分别是 9，0，1.故答案为：9，0，1三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列满足，且 .(1)求数列的通项公式；(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）由，作差易得：差数列，即可得到数列的通项公式；（2）利用错位相减法求出的值.试题解析：(1)当时，由，得，，为等第10页/共22页两式相减得.由，得，故为等差数列，公差为 2.当时，由，所以.(2)易知，，两式相减得，，所以.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.18. 某校高三年级有 1000 人，某次考试不同成绩段的人数,且所有得分都是整数.(1)求全班平均成绩；(2)计算得分超过 141 的人数；（精确到整数）(3)甲同学每次考试进入年级前 100 名的概率是，若本学期有 4 次考试，表示进第11页/共22页入前 100 名的次数，写出的分布列，并求期望与方差.参考数据：.【答案】(1);(2)23 人；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）由易知全班平均成绩；（2）由正太分布曲线的对称性易得，从而计算出得分超过 141 的人数；(3) 的取值为 0，1，2，3，4，计算出相应的概率值，利用公式即可算得期望与方差.试题解析：(1)由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩 .(2),故 141 分以上的人数为人.(3) 的取值为 0，1，2，3，4，,,,,, 故的分布列为01234第12页/共22页期望，方差.19. 已知在直角梯形中，，，使二面角为直角.，将沿折起至(1)求证：平面平面；(2)若点满足,，当二面角为 45°时，求的值.【答案】（1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）要证平面平面，转证平面即可；（2）建立空间直角坐标系计算平面的法向量，利用二面角为 45°建立等量关系求出的值............................试题解析：(1)梯形中，∵∴.又∵,∴,∴.∴.折起后，∵二面角为直角，∴平面平面 .又平面平面,第13页/共22页∴ 平面 .又平面，∴.又∵,∴ 平面 .又∵ 平面，∴平面平面 .(2)由(1)知，平面，∴以为原点，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .方向分别为轴、轴、则,设，由,得，得.取线段的中点，连结，则,∵,∴.又∵,∴ 平面 .∴平面的一个法向量为.第14页/共22页设平面的一个法向量为，则取，则.∴，即或.∵ ，∴ .20. 如图，矩形中，且点.,交于(1)若点的轨迹是曲线的一部分，曲线关于轴、轴、原点都对称，求曲线的轨迹方程； (2)过点作曲线的两条互相垂直的弦，四边形的面积为，探究是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）曲线的轨迹方程为；（2）为定值 .【解析】试题分析：（1）可得 M（﹣2，2λ），N（﹣2+4λ，2），，设 Q（x，y），整理得：，即可得曲线 P 的轨迹方程为；（2）设直线的斜率为，把代入椭圆方程，化简整理得.利用韦达定理易得四边形 GFHE 的面积为第15页/共22页，试题解析：(1)设，由,求得,∵,∴,∴，整理得.，所以，可知点的轨迹为第二象限的椭圆，由对称性可知曲线的轨迹方程为.（2）设，当直线斜率存在且不为零时，设直线的斜率为，把代入椭圆方程，化简整理得.，. ∴.∵,∴把换成，即得.第16页/共22页∴，，，∴.当直线斜率不存在或为零时，.∴为定值 .点睛：求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21. 已知函数，其中为自然对数的底数.(1)若有极值点，求证：必有一个极值点在区间内；(2)求证：对任意，有.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）易知，设，若有极值点，则有两个不相等的实根；（2）对任意，有等价于，记可得：，即证.试题解析：第17页/共22页(1)易知，设，若有极值点，则有两个不相等的实根，∴，∴或，此时，，∴ 有两个零点，且有一个在区间内.即有一个极值点在区间内.(2)由，得，得，.∴只需证.令，则.∴当时，为增函数，∴，即 .∴只需证，即证，令第18页/共22页则，∴当时，为增函数，∴，即.∴原不等式成立.22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程；(2)在平面直角坐标系中，将曲线的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到曲线，过点作直线，交曲线于两点，若，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）线的斜率为 .【解析】试题分析：（1）利用把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数，），代入曲线的方程，整理得，利用韦达定理可得，得同向共线. 由可得直线的斜率.试题解析：(1)由，得，将，代入整理得.(2)把中的换成，即得曲线的直角坐标方程.设直线的参数方程为（为参数，），代入曲线的方程，整理得，,第19页/共22页. 设两点所对应的参数分别为，则为上述方程的两个根.由，得同向共线. 故由.由，得，即直线的斜率为 .23. 已知，且.（1)的最小值；(2)证明：.【答案】（1）最小值为 9；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用柯西不等式求出的最小值；（2）由，得.同理得累加即可得结果. 试题解析：(1)由柯西不等式，得当且仅当时，取等号.，.，第20页/共22页所以的最小值为9.(2)由，得.同理得，.三式相加得，∴，当且仅当时，取等号.。

(衡水金卷)2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题四文

（衡水金卷）2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题四文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1,3A =，()(){}120B x x x =+-<，则A B =I （） A ．{}0 B ．{}0,1,3 C ．{}0,1 D ．{}0,1,2 2．若复数3i12iz -+=-（i 是虚数单位），则4i z +=（）A B ．2 D ．43．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．c c a b >B ．20c a b >-C ．22a b >D ．2211a bc c >++ 4．下列结论中正确的个数是（） ①“3x π=”是“1sin 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭”的充分不必要条件； ②命题“,sin 1x x ∀∈≤R ”的否定是“,sin 1x x ∀∈>R ”；③函数()cos f x x =在区间[)0,+∞内有且仅有两个零点.A ．1B ．2C ．3D ．05．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意的x ∈R 恒成立，若k 的取值范围为区间D ，在区间[]1,3-上随机取一个数k ，则k D ∈的概率是（） A ．12 B ．13 C ．14 D ．156．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，目取其半，万事不竭”，其意思是：一尺长木棍，每天截取一半，永远截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则空白处可填入的是（） A ．S S i =- B ．1S S i =- C ．2S S i =- D ．12S S i=-7．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．163π B ．643 C ．16643π+ D ．1664π+ 8．已知某函数在[],ππ-上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A ．sin 2xy = B ．cos y x x =+ C ．ln cos y x = D ．sin y x x =+9．《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍，如图，四边形ABCD 为正方形，四边形ABFE 、CDEF 为两个全等的等腰梯形，4AB =，12EF AB ∥，若这个刍甍的体积为403，则CF 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a B b A c C +=，c =且ABC ∆，则ABC ∆的周长为（）A ．1+．2+．4．511．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点，过点1F 的直线交椭圆E于,A B 两点，若12AF F ∆的面积是12BF F ∆的三倍，23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为（）A ．12 B ．23C ．212．已知定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，()f x '为其导函数，且()()sin cos 0f x x f x x '->恒成立，则（）A ．226f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 43ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()12sin16f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某乡镇中学有初级职称教师160人，中级职称教师30人，高级职称教师10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数为．14．已知平面向量,a b r r ，4a b ==rr ，且6a b +=r r ，则a r 在b r 方向上的投影是．15．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆(222x y +=相交，则此双曲线的离心率的取值范围是．16．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，4PA =，则球的体积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知数列{}n a 满足11a =，()1n n n na na a n +=-∈*N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，23n n S b =-，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T . 18．在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上. （1）求证：BC ⊥平面1A AB ；（2）若AD =2AB BC ==，P 为AC 的中点，求三棱锥1P A BC -的体积.19．某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市”，现市文明委对甲、乙两地各派10名专家进行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示.（1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数；（2）从乙地所得分数在[)60,80间的成绩中随机抽取2份做进一步分析，求所抽取的成绩中，至少有一份分数在[)75,80间的概率；（3）在甲、乙两地所得分数超过90分的成绩中抽取其中2份分析其合理性，求这2份成绩都是来自甲地的概率.20．已知点()00,M x y 在圆22:4O x y +=上运动，且存在一定点()6,0N ，点(),P x y 为线段MN 的中点.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过()0,1A 且斜率为k 的直线l 与点P 的轨迹C 交于不同的两点,E F ，是否存在实数k使得12OE OF ⋅=uu u r uu u r，并说明理由.21．已知函数()()ln f x x ax a =-∈R . （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，方程()()2f x m m =<-有两个相异实根12,x x ，且12x x <，证明：2122x x ⋅<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）将直线l 的极坐标方程化为普通方程，并求出直线l 的倾斜角；（2）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()()22f x x x a a =++->-，若()7f x ≥的解集是{3x x ≤-或}4x ≥. （1）求实数a 的值；（2）若x ∀∈R ，不等式()()31f x f m ≥+恒成立，求实数m 的取值范围.文数（四）答案一、选择题1-5:CBDAC 6-10:BCACD 11、12：DC 二、填空题 13．1 14．13815．( 16．3三、解答题17．解：（1）∵1n n n na na a +=-， ∴11n n a n a n++=. ∴121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L 121121n n n n n -=⋅⋅⋅⋅=--L ， ∴数列{}n a 的通项公式为n a n =. （2）由23n n S b =-，得13b =，又()11232n n S b n --=-≥， ∴1122n n n n n b S S b b --=-=-，即()122,n n b b n n -=≥∈*N，∴数列{}n b 是以3为首项，2为公比的等比数列， ∴()132n n b n -=⋅∈*N ，∴132n n n b a n -⋅=⋅，∴()012131222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅L ，()123231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅L ，两式相减，得()0121322222n n n T n --=++++-⋅L ()3121nn ⎡⎤=--⎣⎦，∴()3123nn T n =-+.18．解：（1）∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1A A ⊥平面ABC .又BC ⊂平面ABC ，∴1A A BC ⊥. ∵AD ⊥平面1A BC ，且BC ⊂平面1A BC ， ∴AD BC ⊥.又1A A ⊂平面1A AB ，AD ⊂平面1A AB ，1A A AD A =I ， ∴BC ⊥平面1A AB .（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1A A AB ⊥. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥.在Rt ABD ∆中，AD =2AB BC ==，∴sin 2AD ABD AB ∠==，即60ABD ∠=︒，在1Rt ABA ∆中，1tan60A A AB =︒=由（1）知，BC ⊥平面1A AB ，AB ⊂平面1A AB ，从而BC AB ⊥， ∴1122222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=. ∵F 为AC 的中点， ∴112BCF ABC S S ∆==.∴11113P A BC A PBC BCF V V S AA --∆==⋅=113⨯⨯=.19．解：（1）由题得，甲地得分的平均数为()17778838580898892979986.810⨯+++++++++=，乙地得分的平均数为()1657275798280848696918110⨯+++++++++=，乙地得分的中位数为8280812+=. （2）由茎叶图可知，乙地得分中分数在[)60,80间的有65,72,75,79四份成绩，随机抽取2份的情况有：()65,72，()65,75，()65,79，()72,75，()72,79，()75,79，共6种，其中至少有一份分数在[)70,80间的情况有：()65,75，()65,79，()72,75，()72,79，()75,79，共5种.故所求概率56P =. （3）甲、乙两地所得分数中超过90分的一共有5份，记甲地中的三份分别为,,A B C ，乙地中的两份分别为,a b .随机抽取其中2份，所有情况如下：(),A B ，(),A C ，(),B C ，(),a b ，(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，一共10种.其中两份成绩都来自甲地的有3种情况：(),A B ，(),A C ，(),B C ，. 故所求概率310p =. 20．解：（1）由中点坐标公式，得00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即()f x ，()f x .∵点()00,M x y 在圆224x y +=上运动，∴22004x y +=，即()()222624x y -+=，整理，得()2231x y -+=.∴点P 的轨迹C 的方程为()2231x y -+=.（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l 的方程是1y kx =+，代入圆()2231x y -+=.可得()()2212390kxk x +--+=，由232240k k ∆=-->，得304k -<<，且()122231k x x k -+=+，12291x x k =+， ∴()()()2212121212291111k y y kx kx k x x k x x k =++=+++=++()()22222432391111k k k k k k k --+=++++.∴2121228610121k k AB AB x x y y k++⋅=+==+uu u r uu u r ，解得12k =或1，不满足0∆>. ∴不存在实数12k =使得OF .21．解：（1）由题得，()()110axf x a x x x-=-=>.当0a <时，由于0x >，可得10ax ->，即()0f x '>.∴()f x 在区间()0,+∞内单调递增，当0a >时，由()0f x '>，得10x a<<，由()0f x '<，得1x a>， ∴()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减.（2）由（1）可设，方程()()2f x m m =<-的两个相异实根12,x x ，满足ln 0x x m --=，且101x <<，21x >，即1122ln ln 0x x m x x m --=--=. 由题意，可知11ln 2ln 22x x m -=<-<-，又由（1）可知，()ln f x x x =-在区间()1,+∞内单调递减，故22x >.令()ln g x x x m =--，则()1112211223ln ln 2g x g x x x x ⎛⎫-=-++-⎪⎝⎭. 令()()223lnt ln 22h t t t t =-++->，则()()()2221t t h t t -+'=-. 当2t >时，()0h t '<，()h t 是减函数， ∴()()322ln 202h t h <--<. ∴当22x >时，()12220g x g x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，即()1212g x g x ⎛⎫<⎪⎝⎭. ∵()g x 在区间()0,1内单调递增， ∴1222x x <，故2122x x ⋅<.22．解；（1）由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式，化简，得2y x =+.所以直线l 的倾斜角为4π. （2）在曲线C上任取一点),sin Aαα，则点A 到直线l的距离d =当()sin 601α-︒=-时，d取得最大值，且最大值是23．解：（1）∵2a >-，∴()22,2,2,2,22,.x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+->⎩作出函数()f x 的图象，如图所示：由()7f x ≥的解集为{3x x ≤-或4x ≥及函数图象，可得627,827,a a +-=⎧⎨+-=⎩解得3a =.（2）由题知，x ∀∈R ，不等式()()31f x f m ≥+恒成立，即x ∀∈R ，不等式32332x x m m ⎡++-⎤≥++-⎣⎦恒成立，由（1）可知，235x x ++-≥（当且仅当23x -≤≤时取等号）， ∴3235m m ++-≤⨯，当3m ≤-时，3215m m ---+≤，∴8m ≥-，∴83m -≤≤-，当32m -<<时，3215m m +-+≤，成立；当2m ≥时，3215m m ++-≤，∴7m ≤，∴27m ≤≤，综上所述，实数m 的取值范围为[]8,7-.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

衡水金卷2018年高考模拟数学(文)试题(四)有答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（四）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1,3A =，()(){}120B x x x =+-<，则A B =I （） A ．{}0 B ．{}0,1,3 C ．{}0,1 D ．{}0,1,2 2．若复数3i12iz -+=-（i 是虚数单位），则4i z +=（） A 2610．2 D ．43．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．c c a b >B ．20c a b >-C ．22a b >D ．2211a bc c >++ 4．下列结论中正确的个数是（） ①“3x π=”是“1sin 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭”的充分不必要条件； ②命题“,sin 1x x ∀∈≤R ”的否定是“,sin 1x x ∀∈>R ”； ③函数()cos f x x x =在区间[)0,+∞内有且仅有两个零点.A ．1B ．2C ．3D ．05．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意的x ∈R 恒成立，若k 的取值范围为区间D ，在区间[]1,3-上随机取一个数k ，则k D ∈的概率是（）A ．12 B ．13 C ．14 D ．156．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，目取其半，万事不竭”，其意思是：一尺长木棍，每天截取一半，永远截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则空白处可填入的是（）A ．S S i =-B ．1S S i =- C ．2S S i =- D ．12S S i=-7．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．163π B ．643 C ．16643π+ D ．1664π+ 8．已知某函数在[],ππ-上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A ．sin 2xy = B ．cos y x x =+ C ．ln cos y x = D ．sin y x x =+9．《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍，如图，四边形ABCD 为正方形，四边形ABFE 、CDEF 为两个全等的等腰梯形，4AB =，12EF AB ∥，若这个刍甍的体积为403，则CF 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a B b A c C +=，7c =ABC ∆的面积为332，则ABC ∆的周长为（）A ．17．27+．47+．5711．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左，右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，若12AF F ∆的面积是12BF F ∆的三倍，23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为（）A ．12 B ．23C ．32D ．2212．已知定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，()f x '为其导函数，且()()sin cos 0f x x f x x '->恒成立，则（） A ．226f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 3243ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 363f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()12sin16f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某乡镇中学有初级职称教师160人，中级职称教师30人，高级职称教师10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数为．14．已知平面向量,a b r r ，7,4a b ==r r ，且6a b +=r r ，则a r 在b r方向上的投影是．15．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆(2232x y -+=相交，则此双曲线的离心率的取值范围是．16．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，4PA =，则球的体积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{}n a 满足11a =，()1n n n na na a n +=-∈*N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，23n n S b =-，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T . 18．在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上. （1）求证：BC ⊥平面1A AB ；（2）若3AD =2AB BC ==，P 为AC 的中点，求三棱锥1P A BC -的体积.19．某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市”，现市文明委对甲、乙两地各派10名专家进行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示.（1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数；（2）从乙地所得分数在[)60,80间的成绩中随机抽取2份做进一步分析，求所抽取的成绩中，至少有一份分数在[)75,80间的概率；（3）在甲、乙两地所得分数超过90分的成绩中抽取其中2份分析其合理性，求这2份成绩都是来自甲地的概率.20．已知点()00,M x y 在圆22:4O x y +=上运动，且存在一定点()6,0N ，点(),P x y 为线段MN 的中点.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过()0,1A 且斜率为k 的直线l 与点P 的轨迹C 交于不同的两点,E F ，是否存在实数k 使得12OE OF ⋅=uu u r uu u r，并说明理由.21．已知函数()()ln f x x ax a =-∈R . （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，方程()()2f x m m =<-有两个相异实根12,x x ，且12x x <，证明：2122x x ⋅<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3,sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）将直线l 的极坐标方程化为普通方程，并求出直线l 的倾斜角；（2）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()()22f x x x a a =++->-，若()7f x ≥的解集是{3x x ≤-或}4x ≥. （1）求实数a 的值；（2）若x ∀∈R ，不等式()()31f x f m ≥+恒成立，求实数m 的取值范围.文数（四）答案一、选择题1-5:CBDAC 6-10:BCACD 11、12：DC二、填空题13．1 14．13815．(3 16205π三、解答题17．解：（1）∵1n n n na na a +=-， ∴11n n a n a n++=. ∴121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L 121121n n n n n -=⋅⋅⋅⋅=--L ， ∴数列{}n a 的通项公式为n a n =. （2）由23n n S b =-，得13b =，又()11232n n S b n --=-≥， ∴1122n n n n n b S S b b --=-=-，即()122,n n b b n n -=≥∈*N ，∴数列{}n b 是以3为首项，2为公比的等比数列， ∴()132n n b n -=⋅∈*N ，∴132n n n b a n -⋅=⋅，∴()012131222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅L ，()123231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅L ，两式相减，得()0121322222n n n T n --=++++-⋅L ()3121nn ⎡⎤=--⎣⎦，∴()3123nn T n =-+.18．解：（1）∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴1A A ⊥平面ABC .又BC ⊂平面ABC ，∴1A A BC ⊥. ∵AD ⊥平面1A BC ，且BC ⊂平面1A BC ， ∴AD BC ⊥.又1A A ⊂平面1A AB ，AD ⊂平面1A AB ，1A A AD A =I ， ∴BC ⊥平面1A AB .（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1A A AB ⊥. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥. 在Rt ABD ∆中，3AD =2AB BC ==，∴3sin AD ABD AB ∠== 即60ABD ∠=︒，在1Rt ABA ∆中，1tan6023A A AB =︒=由（1）知，BC ⊥平面1A AB ，AB ⊂平面1A AB ，从而BC AB ⊥， ∴1122222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=. ∵F 为AC 的中点， ∴112BCF ABC S S ∆==. ∴11113P A BC A PBC BCF V V S AA --∆==⋅=12312333⨯⨯=. 19．解：（1）由题得，甲地得分的平均数为()17778838580898892979986.810⨯+++++++++=，乙地得分的平均数为()1657275798280848696918110⨯+++++++++=，乙地得分的中位数为8280812+=. （2）由茎叶图可知，乙地得分中分数在[)60,80间的有65,72,75,79四份成绩，随机抽取2份的情况有：()65,72，()65,75，()65,79，()72,75，()72,79，()75,79，共6种，其中至少有一份分数在[)70,80间的情况有：()65,75，()65,79，()72,75，()72,79，()75,79，共5种. 故所求概率56P =. （3）甲、乙两地所得分数中超过90分的一共有5份，记甲地中的三份分别为,,A B C ，乙地中的两份分别为,a b .随机抽取其中2份，所有情况如下：(),A B ，(),A C ，(),B C ，(),a b ，(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，一共10种.其中两份成绩都来自甲地的有3种情况：(),A B ，(),A C ，(),B C ，. 故所求概率310p =. 20．解：（1）由中点坐标公式，得00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即()f x ，()f x .∵点()00,M x y 在圆224x y +=上运动，∴2204x y +=，即()()222624x y -+=，整理，得()2231x y -+=.∴点P 的轨迹C 的方程为()2231x y -+=.（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l 的方程是1y kx =+，代入圆()2231x y -+=.可得()()2212390k x k x +--+=，由232240k k ∆=-->，得304k -<<，且()122231k x x k -+=+，12291x x k =+， ∴()()()2212121212291111k y y kx kx k x x k x x k =++=+++=++()()22222432391111k k k k k k k --+=++++. ∴2121228610121k k AB AB x x y y k++⋅=+==+uu u r uu u r ，解得12k =或1，不满足0∆>.∴不存在实数12k =使得OF . 21．解：（1）由题得，()()110ax f x a x x x-=-=>. 当0a <时，由于0x >，可得10ax ->，即()0f x '>.∴()f x 在区间()0,+∞内单调递增，当0a >时，由()0f x '>，得10x a<<，由()0f x '<，得1x a>， ∴()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减. （2）由（1）可设，方程()()2f x m m =<-的两个相异实根12,x x ，满足ln 0x x m --=，且101x <<，21x >，即1122ln ln 0x x m x x m --=--=. 由题意，可知11ln 2ln 22x x m -=<-<-，又由（1）可知，()ln f x x x =-在区间()1,+∞内单调递减，故22x >. 令()ln g x x x m =--，则()1112211223ln ln 2g x g x x x x ⎛⎫-=-++-⎪⎝⎭. 令()()223lnt ln 22h t t t t=-++->，则()()()2221t t h t t -+'=-. 当2t >时，()0h t '<，()h t 是减函数， ∴()()322ln 202h t h <--<. ∴当22x >时，()12220g x g x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，即()1212g x g x ⎛⎫<⎪⎝⎭. ∵()g x 在区间()0,1内单调递增，∴1222x x <，故2122x x ⋅<. 22．解；（1）由sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式，化简，得2y x =+.所以直线l 的倾斜角为4π. （2）在曲线C 上任取一点()3cos ,sin Aαα，则点A 到直线l 的距离3cos sin 22d αα-+=，当()sin 601α-︒=-时，d 取得最大值，且最大值是22. 23．解：（1）∵2a >-，∴()22,2,2,2,22,.x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+->⎩作出函数()f x 的图象，如图所示：由()7f x ≥的解集为{3x x ≤-或4x ≥及函数图象，可得627,827,a a +-=⎧⎨+-=⎩解得3a =.（2）由题知，x ∀∈R ，不等式()()31f x f m ≥+恒成立，即x ∀∈R ，不等式32332x x m m ⎡++-⎤≥++-⎣⎦恒成立，由（1）可知，235x x ++-≥（当且仅当23x -≤≤时取等号）， ∴3235m m ++-≤⨯，当3m ≤-时，3215m m ---+≤， ∴8m ≥-，∴83m -≤≤-，当32m -<<时，3215m m +-+≤，成立；当2m ≥时，3215m m ++-≤， ∴7m ≤， ∴27m ≤≤，综上所述，实数m 的取值范围为[]8,7-.。