2014年上海市普通高中学业水平考试(春考)数学试卷

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上海市2014届普通高中学生学业水平考试数学模拟试卷 1--6 排版打印稿题目部分

11. 过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成角是 60º，则该截面的面积是_____________. 12. 已知集合 A
A
1 100
是结束
x , y
x a y 1 1 , B

x , y x 1
1 2 1
）
B． y x
3
C． y x 2
D． y x
2
15. 下列命题中正确的是： A．若 ac bc ，则 a b ． C．若 B．若 a b ，则 a b ．
2 2
………（
）
1 1 ，则 a b． a b
D．若
a b ，则 a b ． 2a ,则
．

5
二、选择题（本大题满分 36 分，每小题有且只有一个正确答案．选对得 3 分，否则一律得 0 分．） 13．在空间， “两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 A．充分不必要条件. B．必要不充分条件.

………（ D．既不充分也不必要条件 ………（
）
C．充要条件.
14．下列函数中，值域为 R 的是 A． y x
x2 y2 1 的焦点坐标是__________________. 10 6 2x 1 3. 不等式 . 0 的解集为 x
2. 双曲线 4. 计算： lim
3n 1 _________. n n 3
.
5. 函数 y arccos( x 1) 的定义域为
6. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆、6000 辆和 2000 辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取、、 . 7. 计算行列式：

2014年上海高考文科数学试题及参考答案

2014年普通高等学校招生统一考试上海市一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数212cos (2)y x =-的最小正周期是． 2．若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭． 3．设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-．若(2)1f =，则(1)f = ．4．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．5．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为．6．若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为．7．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．9．设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为．10．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若)(431lim n n a a aa +++=∞→ ，则q = ．11．若2132()f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是．12．方程sin 3cos 1x x +=在区间[0,2]π上的所有的解的和等于．13．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．14．已知曲线24:y x C --=，直线:6l x =．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l上的Q 使得0=+AQ AP ，则m 的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既非充分又非必要条件16．已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=（）(A) 2(B) 1 (C) 0 (D) 1-17．如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，)7,,2,1( =i P i 是小正方形的其余顶点，则)7,,2,1( =⋅i AP AB i 的不同值的个数为（）(A) 7 (B) 5 (C) 3 (D) 118．已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解 (B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解 (C) 存在12,,k P P ，使之恰有两解(D) 存在12,,k P P ，使之有无穷多解三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V ．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(．（1）若4a =，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米．设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和．（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.1218.45αβ==,，求CD 的长（结果精确到0.01米）．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++．若0η<，则称点12,P P 被直线l 分隔．若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．（1）求证；点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔；（2）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ．求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =．（1）若1342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；（3）若10021,,,a a a 成等差数列，求数列10021,,,a a a 的公差的取值范围．参考答案一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．2π2．6 3．3 4．2x =- 5．70 6．22 7．1arcsin 3 8．24 9．(],2-∞ 10．512- 11．(0,1) 12．73π 13．11514．[2,3]二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．B 16．D 17．C 18．B三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题满分12分）解：在123PP P ∆中，13PA P A =，23PC PC =，所以AC 是中位线，故1224PP AC ==．同理，234P P =，314P P =．所以123PP P ∆是等边三角形，各边长均为4．设Q 是ABC ∆的中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以233AQ =，22263PQ AP AQ =-=．从而，12233ABC V S PQ ∆=⋅=．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）因为2424x x y +=-，所以()4121x y y +=-，得1y <-或1y >，且()241log 1y x y +=-．因此，所求反函数为()1241()log 1x f x x -+=-，()(),11,x ∈-∞-+∞．（2）当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数；当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为()(),00,-∞+∞，2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数；当0a >且1a ≠时，定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）记CD h =．根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan 35h α=，tan 80hβ=，所以2280035180hh h ⨯≥>⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得20228.28h ≤≈．因此，CD 的长至多约为28.28米．（2）在ABD ∆中，由已知，56.57αβ+=，115AB =，由正弦定理得()sin sin BD ABααβ=+ ，解得85.064BD ≈．在BCD ∆中，有余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅，解得26.93CD ≈．所以，CD 的长约为26.93米．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．（1）证：因为40η=-<，所以点,A B 被直线10x y +-=分隔．（2）解：直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组2241x y y kx⎧-=⎨=⎩有解，即12k <．因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，故它们没有公共点，即12k ≥．当12k <时，对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点()1,0-和()1,0满足20k η=-<，即点()1,0-和()1,0被y kx =分隔．故实数k 的取值范围是11(,][,)22-∞-+∞．（3）证：设M 的坐标为(,)x y ，则曲线E 的方程为22(2)1x y x +-⋅=，即22[(2)]1x y x +-⋅=．对任意的0y ，()00,y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的点()1,2-和()1,2对于y 轴满足0η<，即点()1,2-和()1,2被y 轴分隔．所以y 轴为曲线E 的分隔线．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．解：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈．（2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >．因为1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．从而111111()10003m m m a q q ---==≥，131000m -≥，解得8m ≥．8m =时，711[,3]10003q =∈．所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a 的公比为741010．（3）设数列10021,,,a a a 的公差为d ．由133n n na a d a ≤+≤，223n n a d a -≤≤，99,,2,1 =n ． ① 当0d >时，129899a a a a >>>> ，所以102d a <≤，即02d <≤． ② 当0d =时，129899a a a a ==== ，符合条件． ③ 当0d <时，129899a a a a <<<< ，所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+，又0d <，所以20199d -≤<．综上，10021,,,a a a 的公差的取值范围为2[,2]199-．。

2014年上海市普通高中学业水平考试

2014年上海市普通高中学业水平考试物理试卷考生注意：1、试卷满分100分，考试时间90分钟。

2、本考试分设试卷和答题纸。

试卷包括四大题，第一大题和第二大题均为单项选择题，第三大题为填空题，第四大题为综合应用题。

3、答题前，务必在答题纸上填写姓名、报名号、考场号和座位号，并将核对后的条形码贴在指定位置上。

作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。

4、第一大题和第二大题的作答必须用2B铅笔涂在答题纸上相应的区域，第三大题和第四大题的作答必须用黑色的钢笔或圆珠笔写在答题纸上与试卷题号对应的位置（作图可用铅笔）。

5、第24、25、26题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。

一、单项选择题（共18分，每小题2分。

每小题只有一个正确选项）1．国际单位制中，属于基本单位的是（）（A）千克（B）特斯拉（C）牛顿（D）库仑2．下列各种射线中，属于电磁波的是（）（A）α射线（B）β射线（C）γ射线（D）阴极射线3．如图，质量为m的物体沿倾角为α的固定光滑斜面下滑，则物体对斜面压力的大小为（）（A）mg sinα（B）mg cosα（C）mg tanα（D）mg cotα4．静电场的电场线（）（A）可以相交（B）是闭合的曲线（C）起始于正电荷，终止于负电荷（D）是点电荷在电场中运动的轨迹5．如图，O点为弹簧振子的平衡位置，小球在B、C间做无摩擦的往复运动。

若小球从C点第一次运动到O点历时0.ls，则小球振动的周期为（）（A）0.1s （B）0.2s（C）0.3s （D）0.4s6．如图，一固定光滑斜面高为H，质量为m的小物体沿斜面从顶端滑到底端。

在此过程（）（A）物体的重力势能增加了mgH（B）物体的重力势能减少了mgH（C）重力对物体做的功大于mgH（D）重力对物体做的功小于mgH7．质量为2kg的质点仅受两个力作用，两个力的大小分别为16N和20N。

则该质点加速度的最大值为（）（A）2m/s2（B）4m/s2（C）18m/s2（D）36m/s28．右图为一物体运动的s-t图像，在0到4s的时间内，该物体的位移为（）（A）1m （B）2m（C）5m （D）6m9．某种气体在不同温度下的分子速率分布曲线如图所示，f(v)表示分子速率v附近单位速率区间内的分子数百分率。

2014年高考试题(上海卷)文数(word参考答案)

2014年上海卷文科数学试题一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1.函数()21cos2y x=-的最小正周期是 .2.若复数12z i=+，其中i是虚数单位，则1z zz⎛⎫+=⎪⎝⎭.3.设常数a R∈，函数()21f x x x a=-++，若()21f=，则()1f= .4.若抛物线22y px=的焦点与椭圆22195x y+=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名.为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样.若高三抽出20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 .6.若实数,x y满足1xy=，则222x y+的最小值为 .7.若圆锥的侧面积是地面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）.8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .9.设(),01,0x a xf xx xx-+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若()0f是()f x的最小值，则a的取值范围为 .10.设无穷等比数列{}n a的公比为q，若()134l i mnna a a a→∞=+++…，在q= .P 62P 1A5711.若()2132f x x x -=-，则满足()0f x <的x 取值范围是 . 12.方程sin 1x x =在区间[]0,2π上的所有解的和等于 . 13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表表示）.14.已知曲线:C x =，直线:6l x =.若对于点(),0A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=,则m 的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.设,a b R ∈，则 “4a b +>”是“22a b >>且”的（）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件16.已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=（）()A 2 ()B 1 ()C 0 ()D 1-17.如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一边，()1,2,,7i P i =是小正方形的其余顶点，则()1,2,,7i AB AP i =的不同值的个数为（）()A 7 ()B 5 ()C 3 ()D 118.是直线1y k x =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x y 和的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）P 12()A 无论12,,k P P 如何，总是无解 ()B 无论12,,k P P 如何，总有唯一解 ()C 存在12,,k P P ，使之恰有两解 ()D 存在12,,k P P 如何，使之有无穷多解解三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分.设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)(.（1）若4a =，求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，， 45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？ABD22.（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点()111,P x y ，()222,P x y ，记1122)().ax by c ax by c η=++++（若0η<，则称点21,P P 被直线l 分隔。

2014年高考文科数学上海卷-答案

x2 y2 1的右焦点重合，故 p 2 得 p 4 ，∴抛物线的准线方程为 x p 2 .故答案为： x 2 .
95
2
2
【提示】由题设中的条件 y2 2 px (p 0)的焦点与椭圆 x2 y2 1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右 95
焦点坐标，根据两曲线的关系求出 p，再由抛物线的性质求出它的准线方程.
即可. 【考点】一次函数的性质与图象. 三、解答题 19.【答案】 2 2
3 【解析】依题意：△P1P2P3 是边长为 4 的正三角形，折叠后是棱长为 2 的正四面体 y f (x) （如图）.
设顶点 A、B 在底面 C 内的投影为 CD ，连接 D ，
则 B 为△ABC 的重心，和底面 CD . BO 3 , AB 2 3 ,
【提示】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标分别求出数量积，由结果可得答案.
【考点】平面向量数量积的运算.
18.【答案】B
【解析】解：P(a1,b1) 与 P2 (a1,b1) 是直线 y kx 1（k 为常数）上两个不同的点，直线 y kx 1 的斜率存在，
∴
k
b2 a2
b1 a1
，即
a1
a2
a b
a2 b2
①或
a b
b2 a2
②，由①得
a b
0或a 0或b
1 ，
1
∵ ab 0 ，∴ a 0 且 b 0 ，即 a 1， b 1，此时集合{1,1}不满足条件. 由②得，若 b a2 ， a b2 ，则两式相减得 a2 b2 b a ，即 (a b)(a b) (a b) ， ∵互异的复数 a，b，∴ a b 0 ，即 a b 1 ，故选：D. 【提示】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论. 【考点】集合的相等. 17.【答案】C 【解析】解：如图建立平面直角坐标系，则 A(0,0) ，B(0,2) ，P1(0,1) ，P2 (1,0) ，P3 (1,1) ，P4 (1,2) ，P5 (2,0) ，

上海市2014届普通高中学生学业水平考试数学模拟试卷 1--.

上海市 2014 届普通高中学生学业水平考试数学模拟试卷（六）（考试时间100 分钟，试卷满分 120 分）班级 ___________姓名___________ 学号___________得分___________ 一．填空题（本大题满分 36 分，共有 12 题，答案直接填写在空格内，每题填对得 3 分，否则一律得 0 分．） 1．计算： lim 2n 2 3n 1 = n n2 2 ； 2．已知 sin( 3 ，且为第四象限的角，则 cos( 2 的值是 5 ；； 3．直线 l1 : y mx 1 ，直线 l 2 的方向向量为 a (1,2 ，且l1 l 2 ，则 m 4．若函数 f x 的反函数 f 1 x x 2 x 0 ，则 f 4 ________； 8 9 15 5．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的： x lg x 3 5 2a b a c 3 3a 3c 4a 2b； 3a b c 1 请将错误的一个改正为： lg 6．已知过点 P ( 2, 0 的双曲线 C 与椭圆 x2 y 2 1 有相同的焦点，则双曲线 C 的渐近线方程是 25 9 ； 7．张．王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，同时两位小孩一定要排在一起，则这 6 人的入园顺序共有种不同的排法；； 8．过半径为2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60°，则该截面的面积是 9．设函数 y f ( x 满足 f (2 x f (2 x ，又 f ( x 在 [2, 是减函数，且 f ( a f (0 ，则实数 a 的取值范围是； 1 2 5 10 4 3 6 11 9 8 7 1210．将正整数按右表排列： 16 15 14 13 25 24 23 22 17 18 19 20 21 ，位于对角线位置的正整数 1，3，7，13，21，……，；构成数列{a n } ，则数列 {a n } 的一个通项公式 a n 11．给出如下四个命题：①有三个角是直角的四边形一定是矩形；②不共面的四点可以确定四个平面；③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线；④若点 A．B．C 平面 M ，且点A．B．C 平面 N ，则平面 M 和平面 N 重合．其中真命题的序号是 21 (请将所有真命题的序号都填上；12．对任意 x R ，若关于 x 的不等式 ax x 2a 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是 2 ．二．选择题（本大题满分 36 分，每小题有且只有一个正确答案．选对得 3 分，否则一律得 0 分．） 13．计算： A．1 2 2 sin x cos x = （ cos x sin x B． 1 ） C． cos 2 x 2 2 D． cos 2 x ） 14．圆 x y 8 x 6 y 16 0 与圆 x y 64 的位置关系是（ A．相交 B．相离 C．内切 D．外切），则 M N 中元素的个数是15．若集合 M y y x 1 , N ( x, y x y 1（ 2 2 A．0 B．1 C．2 D．多个 16．若 A．B．C 为△ABC 的三个内角，且 A B C (C A． sin A sin C B． cot A cot C 2 2 ，则下列结论正确的是（ D． cos A cos C ） C． tan A tan C 17．已知命题 P ：“存在 xR ，使得 x (1 m x 1 0 成立” ，命题Q :“函数 f ( x (10 3m 为 x 减函数” ，则 P 是 Q 成立的（ A．充分不必要条件） C．充分且必要条件） D．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 18．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ A． 9 19．若 M B．10 C．11 D．12 ） D． [ 4, 4] a24 (a R, a 0 ，则 M 的取值范围为（ a B． ( , 4] C． [4 A． ( , 4] [4 20．已知函数 f x cos x sin x x R ，给出下列四个命题：①若 f ( x1 f ( x 2 ，则 x1 x2 ；③ f x 在区间 , 上是增函数； 4 4 其中真命题的序号是（ A．①②④） B．①③ C．②③ 22 学科网② f x 的最小正周期是 2 ；④ f x 的图像关于直线 x3 对称．4 D．③④学科网21．若 p a 1 2 ( a 0 ， q arccos t ( 1 t 1 ，则下列不等式恒成立的是（ a A． p q B． p q 0 C． 4 p q D． p q 0 ）22．正方体的 8 个顶点中，由 4 个恰好为一个正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积的比值为 ( 6 A． 2 B． 3 C． D． 6 2 23．已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b ( a b 0 ，则 b 的取值范围是（ A． [0,1] 24．给出下列四个结论：①函数 y a ( a 0 且 a 1 ）与函数 y log a a ( a 0 且 a 1 ）的定义域相同； x x ） B． [ 1,1] C． [0,2] D． (0,1 ②函数 y 1 1 3 x ( x 0 是奇函数；③函数 y sin( x 在区间 , 上是减函数； 2 2 1 2 2 其中正确命题的个数是（ C． 3 ） D．4 ④函数 y cos | x | 是周期函数。

2014年普通高等学校招生全国统一考试上海卷文科数学pdf版

= 0 或 ∆=
1− 4k 2 ≠ 0 ，∴ k ∈ (−∞, − 1] [1 , +∞)
4(1− 4k 2 ) < 0
22
证明：（理科）（3）由题得，设 M (x, y) ，∴ x2 + ( y − 2)2 ⋅ x = 1，
化简得，点 M 的轨迹方程为 E : x2 + ( y − 2)=2
1 x2
23.（本题满分 18 分）本题共 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题
满分 9 分.
已知数列 {an } 满足
1 3
an
≤
an+1
≤
3an , n
∈
N*, a1
= 1 .
（1）若= a2 2= , a3 x= , a4 9 ，求 x 的取值范围；
（2）若{an}是等比数列，且 am
{ ③当 a ≠ 0 且 a ≠ 1时，定义域为 x x ≠ log2 a, x ∈ R}，
∴定义域不关于原定对称，∴ y = f (x) 为非奇非偶函数
21.解：（1）由题得，∵α ≥ 2β ，且 0 < 2β ≤ α < π ，∴ tanα ≥ tan 2β 2
CD
CD 即≥
35
40 CD 2
，解得， CD
的方程组
aa12xx
+
b1
y
= 1
的解的情况是（
+ b2 y = 1
）
（A）无论 k， P1, P2 如何，总是无解
（B)无论 k， P1, P2 如何，总有唯一解
（C）存在 k， P1, P2 ，使之恰有两解
（D）存在 k， P1, P2 ，使之有无穷多解

2014年上海卷高考数学试题详解

2014年上海卷高考数学试题详解一、填空题【1】（A ，上海，理1）函数212cos (2)y x =-的最小正周期是______. 考点名称：三角恒等变形【1】（A ，上海，理1）2π解析：因212cos (2)1(1cos 4)y x x =-=-+=cos4x -，所以2T π=.【2】（A ，上海，理2）若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭=________. 考点名称：复数【2】（A ，上海，理2）6 解析：11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭.【3】（A ，上海，理3）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_______.考点名称：圆锥曲线及其标准方程【3】（A ，上海，理3）2x =-解析：因椭圆 22195x y +=的2c =，所以22p=，所以抛物线的准线方程为2x =-.【4】（A ，上海，理4）设2,(,),(),[,.x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =，则a 的取值范围为_____.考点名称：函数的概念及其性质【4】（A ，上海，理4）2a ≤解析：因2(2)42f ==，所以2[,)a ∈+∞，即2a ≤.【5】（A ，上海，理5）若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为_____. 考点名称：不等式及其性质【5】（A ，上海，理5）解析：2222122x y y y+=+≥【6】（A ，上海，理6）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为_______（结果用反三角函数值表示）. 考点名称：空间几何体【6】（A ，上海，理6）1arccos3解析：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，母线与底面所成的角为θ，由已知得21232r l r ππ⋅⋅=，1cos 3r l θ==，1arccos 3θ=.【7】（A ，上海，理6）已知曲线C 的极坐标方程为(3cos ρθ-4sin )1θ=，则C 与极轴的交点到极点的距离是_____.考点名称：极坐标系与参数方程【7】（A ，上海，理6）13解析：法1把极坐标方程化成直角坐标方程得341x y -=，令0y =得13x =，所以C 与极轴的交点到极点的距离是13. 法2 令0θ=得13ρ=，所以C 与极轴的交点到极点的距离是13.【8】（B ，上海，理8）设无穷数列{}n a 的公比是q .若134lim()n n a a a a →∞=+++，则q =______.考点名称：数列极限【8】（B ，上海，理8解析：2334(1)lim()lim 1n n n n a q a a a q -→∞→∞-+++=-221111lim .11n n a q a q a q a q q →∞-===--解得q =.【9】（B ，上海，理9）若2132()f x x x -=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是_________。

2014年上海高考数学及答案

(C) 存在 k
，使之恰有两解. ,P 1 ,P 2
(D) 存在 k
，使之有无穷多解. ,P 1 ,P 2 ）
⎧( x − a) 2 , x ≤ 0, ⎪ 18. 设 f ( x) = ⎨ 若 f (0) 是 f ( x) 的最小值，则 a 的取值范围为 [答（ ] 1 ⎪ x + + a, x > 0. x ⎩
x2 y 2 + = 1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 9 5
x ∈ (−∞ , a),
2
⎩ x , x ∈ [a , + ∞).
若 f (2) = 4 ，则 a 的取值范围为____________.
5. 若实数 x , y 满足 xy = 1，则 x
+ 2 y 2 的最小值为____________.

3
,所以 P 3 AC P 1 AB

3
;
又因为 P ABC 是正三棱锥, 所以 P 3 AC 为等边三角形,所以 P 3 A AC 2 ; 3A P 3C ,所以 △P 同理可得 P 1 A 2 ,所以 P 1P 3 4, 因为 P ABC 是正三棱锥,所以 △P 1P 2P 3 是正三角形, 所以 △P 1P 2 P 1P 3 P 2P 3 4. 1P 2P 3 各边长为 P (2) 过 P 作正三棱锥高 PH ,则 H 为 △ABC 的中心. 易求得高 PH 所以体积为 V
A
P3
C
P1
B
P2
20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 设常数 a ≥ 0 ，函数 f ( x) =

2014年上海春季高考数学试卷详细答案版(最新)

2014年上海市普通高等学校春季招生统一考试（暨上海市普通高中学业水平考试）数学试卷考生注意：1．本试卷两考合一，春季高考=学业水平考+附加题；春季高考，共32道试题，满分150分．考试时间120分钟（学业水平考，共29道试题，满分120分．考试时间90分钟；其中第30-32题为附加题，满分30分．考试时间30分钟）．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．若416x=，则x = ．2．计算：(1)=i i + （i 为虚数单位）． 3．1、1、2、2、5这五个数的中位数是． 4．若函数3()f x x a =+为奇函数，则实数a = ．5．点(0,0)O 到直线40x y +-=的距离是． 6．函数11y x =+的反函数为． 7．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S = ． 8．已知1cos 3α=，则cos 2α= ． 9．已知a 、b R +∈。

若1a b +=，则ab 的最大值是．10．在10件产品中，有3件次品，从中随机取出5件，则恰含1件次品的概率是（结果用数值表示）． 11．某货船在O 处看灯塔M 在北偏东30︒方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达B 处，看到灯塔M 在北偏东75︒方向，此时货船到灯塔M 的距离为海里．12．已知函数2()1x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于A 、B 两点.若动点P 满足2PA PB += ，则P 的轨迹方程为．二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分． 13．两条异面直线所成的角的范围是（）()A (0,)2π； ()B (0,]2π； ()C [0,)2π； ()D [0,]2π14．复数2i +（i 为虚数单位）的共轭复数为（）()A 2i -； ()B 2i -+； ()C 2i --； ()D 12i +15．右图是下列函数中某个函数的部分图像，则该函数是（）()A sin y x =；()B sin 2y x =；()C cos y x =；()D cos 2y x =16．在4(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（）()A 6； ()B 4； ()C 2； ()D 117．下列函数中，在R 上为增函数的是（）()A 2y x =； ()B y x =； ()C s i n y x =； ()D 3y x =18．cos sin sin cos θθθθ-=（）()A cos 2θ； ()B s i n 2θ； ()C 1； ()D 1- 19．设0x 为函数()22x f x x =+-的零点，则0x ∈（）()A (2,1)--； ()B (1,0)-； ()C (0,1)； ()D (1,2)20．若a b >，c R ∈，则下列不等式中恒成立的是（）()A 11a b <； ()B 22a b >； ()C a c b c >； ()D 2211a bc c >++ 21．若两个球的体积之比为8:27，则它们的表面积之比为（）()A 2:3 ()B 4:9 ()C 8:27 ()D 22:3322．已知数列{}n a 是以q 为公比的等比数列．若2nn b a =-，则数列{}n b 是（）()A 以q 为公比的等比数列； ()B 以q -为公比的等比数列；()C 以2q 为公比的等比数列； ()D 以2q -为公比的等比数列23．若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y =，则“(,)0F a b =”是“点P 在曲线C 上”的( )()A 充分非必要条件； ()B 必要非充分条件； ()C 充分必要条件； ()D 既非充分又非必要条件24．如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点．已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离为（）()A 1 ()B 32 ()C 62 ()D 104三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 25．（本题满分7分）已知不等式201x x -<+的解集为A ，函数lg(1)y x =-的定义域为集合B ，求A B ．26．（本题满分7分）已知函数2()4,[3,3]f x x x a x =-+∈-.若(1)2f =，求()y f x =的最大值和最小值.27．（本题满分8分）如图，在体积为13的三棱锥P ABC -中，PA 与平面ABC 垂直，1AP AB ==，2BAC π∠=， E 、F 分别是PB 、AB 的中点.求异面直线EF 与PC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.28．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分．已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左焦点为F ，上顶点为B .（1）若直线FB 的一个方向向量为3(1,)3，求实数a 的值；（2）若2a =，直线:2l y kx =-与椭圆C 相交于M 、N 两点，且3FM FN ⋅=，求实数k 的值．29．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.已知数列{}n a 满足0n a >，双曲线221:1()n n n x y C n N a a *+-=∈.（1）若121,2a a ==，双曲线n C 的焦距为2n c ，41n c n =-，求{}n a 的通项公式；（2）如图，在双曲线n C 的右支上取点(,)nn P P x n ，过n P 作y 轴的垂线，在第一象限内交n C 的渐近线于点n Q ，联结n OP ，记n n OP Q ∆的面积为n S .若lim 2n n a →∞=，求lim n n S →∞.（关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若lim (0)nn n u A u →∞=≥，则lim n n u A →∞=）B i ............A 2A iB 1B 2A 1CB A30．（本题满分8分）已知直角三角形ABC 的两直角边AC 、BC 的边长分别为,b a ，如图，过AC 边的n 等分点iA作AC 边的垂线i d ，过BC 边的n 等分点i B 和顶点A 作直线i l ，记i d 与i l 的交点为(1,2,,1)i P i n =- ．是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数2n ≥，点(1,2,,1)i P i n =- 都在这条曲线上？说明理由．31．（本题满分8分）某人造卫星在地球赤道平面绕地球飞行，甲、乙两个监测点分别位于赤道上东经131º和147º，在某时刻测得甲监测点到卫星的距离为1537.45千米，乙监测点到卫星的距离为887.64千米。

上海市2014届普通高中学生学业水平考试数学模拟试卷1--.

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上海市2014届普通高中学生学业水平考试数学模拟试卷 1--6 排版打印稿答案部分

高中数学学业水平模拟考试训练试卷（二）参考答案
1． 1, 8. 2.
1 i 2
3．
2 3
4． x 1
5． ,

6. 1
7．
3 4
2
4 15
9.
x 1 5 （向量表示也可）； 10． 2, 2 y 1
15.(D) 21(D) 16,(A) 22(A) 17.(C) 23(A)
② S nm nS m -------8 分
n(n 1) 2 2 2 ． -------9 分 m d （或写成 S nm nS m Cn m d ， n≥ 2 ） 2 m(m 1) 证明： S m ma1 d， 2 nm(nm 1) nm(m 1) nm(nm 1) S nm nma1 d nS m d d 2 2 2 nm nm n(n 1) 2 nS m d (nm 1 m 1) nS m d (nm m) nS m m d ． ----------12 分 2 2 2
高中数学学业水平模拟考试训练试卷（一）参考答案
1.2 7.1 2. 4,0 , 4,0 8.15 3. ,0 , 9.
1 2

4. 3
5. 0, 2
6. 6，30，10 12. [ 1,3]
1 2 11. 3 3 13.B 14.D 15.D 16.B 17.B 18.C 19.D 20.A 21.D 22.C 23.B 24.A
解得 a1 证明： am1 m2 am2 m1d ，
-------4 分 -------5 分 -------6 分
S m1 m2 S m1 am1 1 am1 2 am1 m2 S m1 (a1 m1d ) (a2 m1d ) (am2 m1d ) S m1 S m2 m1m2 d ．

2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题(文科)解析版

2 0 1 4年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

2、本考试分设试卷和答题纸。

试卷包括试题与答题要求。

作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上。

在试卷上作答一律不得分。

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=1【答案】 2π【解析】2π4π2∴4cos -)2(cos 2-12====T x x y 周期Θ2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛_z 1 +z z ⋅=___________.2【答案】 6 【解析】61)41(1)1(∴21=++=+=•++=z z z zz i z Θ3.设常数a ∈R ，函数2()1f x x x a =-+-。

若(2)1f =,则(1)f =___________. 3【答案】 3 【解析】3.3|4-1|0)1(∴4,1|-4|1)2(∴|-||1-|)(2所以，是解得=+===+=+=f a a f a x x x f Θ4.若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 4【答案】 x=-2【解析】2-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为ΘΘ5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名。

为了了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样。

若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为___________. 5【答案】 70【解析】按比例进行抽样，设高一高二共抽n 个学生，则(1600+1200):800=n:20,解得n=706.若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 6【答案】 22 【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以，是=•+=+=x x x x x xy Θ7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）。

2014年上海市普通高等学校招收应届中等职业学校毕业生统一文化考试数学试卷(解析版)

2014年上海市普通高等学校招收应届中等职业学校毕业生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上.】 1.若集合{2,3,6}A =-，{|3}B x x =≤，则AB = .1. {2,3}-【分析】因为{2,3,6}A =-，{|3}B x x =≤，所以A B ={2,3}-.2.不等式|34|2x -≤的解集为 .2. 23x ≤≤2【分析】|34|22342x x -⇒--⇒≤≤≤23x ≤≤2. 3.函数12421x y x =++-的定义域为 .3.[)()200-+，，∞【分析】由题意得242210x x x +⎧⇒-⎨-≠⎩≥0≥且0x ≠. 4.图1是某算法的程序框图，若输入a 的值为5，则输出b 的值为 .图14.25【分析】5a =不大于5，否，225b a ==.5.某校6支球队之间进行单循环赛（每两支球队之间只进行一场比赛），共需进行场比赛（结果用数值表示）.5.15【分析】以分布计数原理得5432115++++=.6.某班两位同学上学期的数学期中、期末、平时成绩分别用矩阵7080A ⎛⎫=⎪⎝⎭、7090B ⎛⎫= ⎪⎝⎭、8080C ⎛⎫= ⎪⎝⎭表示，学期总评成绩为期中成绩的30%、期末成绩的40%、平时成绩的30%之和，则这两位同学该学期的数学总评成绩用矩阵表示为 .6.7384⎛⎫⎪⎝⎭【分析】依题意有 707080304030809080⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭％％％7384⎛⎫⎪⎝⎭.7.已知a 、b 、c 分别是ABC △的三个内角A 、B 、C 所对的边，若75C =，60B =，b =则a = .依题意有 π45A B C A ++=⇒=,又正弦定理sin sin b aa B A=⇒=8.已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为2，侧棱长为2，则侧棱与底面所成角的大小为 .8.π4【分析】联结AC ,在面P AC 中，PA PC =且222PA PC AC +=，所以侧棱与底面所成角即π4PCA ∠=.9.在直角坐标平面内，已知定(0,0)O ，点(6,2)A ，点(2,6)C ，四边形OABC 是平行四边形，若向量12OD OB =，则点D 的坐标为 . 9.(4,4)【分析】设B 点为(),x y ，因为()()6,2,2,6OA CB x y ==--，又OABC 是平行四边形，所以OA CB =，求得88x y =⎧⎨=⎩，所以()14,42OD OB ==.10.20y +-=与圆224x y +=相交所得弦的长为 .10.圆心到直线的距离1d ==，弦长===11.已知α为钝角，若sin 5α=，则cos(2)2απ-= .11.45-【分析】cos(2)sin 22sin cos 2ααααπ-==,因为sin 5α=且α为钝角，所以cos α=，4cos(2)225α⎛π-==- ⎝⎭. 12.已知有穷数列{}n a 共有10项，记 123101a a a a T ++++=…， 23102a a a T +++=…，……9109a a T +=，1010a T =.若(110)n T n ≤≤又是首项为1、公差为2的等差数列前n 项和，则3a = . 12.-7【分析】由题意得34103a a a T ++⋯+=1359=++=,45104a a a T ++⋯+=13516=+++，所以3347a T T =-=-.二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】13.已知a b ∈R 、，命题甲：0ab >，命题乙：0ab>，则命题甲是命题乙的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 13.C 【分析】因为00aab b>⇔>，故选C. 14.某天半夜，小鹏同学因病开始发烧，清晨服药后，逐渐退烧，中午测得体温为37.0℃，午后体温又开始上升，傍晚再次服药，半夜基本退烧.下面大致能反映小鹏这一天（0时~24时）体温T 随时间t 变化趋势的图只可能是（）A BC D14.C 【分析】由题意只有选项C 符合题意.15.学校选派6位学生前往德国A 、B 、C 、D 、E 、F 六所不同的学校交流学习，每所学校安排1名学生.假设每位学生被安排到各校的可能性相同，则学生甲没被安排到B 校且学生乙被安排到C 校的概率为（）A.144466P P P B.145466P P P C.155566P P P D.154566P P P15.A 【分析】基本事件为66P ，从除甲、乙同学外的4个中选出一个安排到B 校 14P ，乙被安排到C 校，对其余四个全排44P ，故学生甲没被安排到B 校且学生乙被安排到C 校的概率为144466P P P .16.设x y 、满足不等式组21028030x y x y x y a -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥，其中a 为常数，当且仅当1x y ==时，目标函数2z x y =+取得最小值，则目标函数z 的最大值为（）A.12B.10C.7D.3 16.B 【分析】由210280x y x y -+⎧⎨+-⎩≤≤得到一个交点为()3,2，又1x y ==时，目标函数2z x y=+取得最小值，故30x y a -+=过()11，，得2a =-，则求出另外一个交点为()24，，所以目标函数z 的最大值为10.三、解答题（本大题共6题，满分52分）【解答下列各题必须在答题纸的相应位置上写出必要的步骤.】17.(本题满分7分)第（1）小题满分为3分，第（2）小题满分为4分.设复数i z x y =+（x y ∈R 、，i 为虚数单位）.(1)若2(3)i 12i x y -+=+，且复数z 在复平面内对应的点在第二象限，求复数z ；（2）若1y =，且1iz-是实数，求||z . 17.（本题满分7分）【解】（1）由已知得2,y =231x -=，…………………………………………………….1分解得2x =±，…………………………………………………………………………………...2分又0x <，故22i z =-+………………………………………………………………………3分 (2)1(1)i 1i (2)z x x -++=-,……………………………………………………………………...2分由已知得1x =-，1i z =-+，………………………………………………………………3分故||z =...4分18.(本题满分7分)第（1）小题满分为3分，第（2）小题满分为4分.图2是一个圆柱钻去一个同轴小圆柱得到的工件的实物图.图3为该工件的直观图，底面在水平面上，大圆柱的底面半径为8，小圆柱的底面半径为4，它们的高都是5.(1)画出图3所示的几何体的主视图；（2）求图3所示的几何体的体积.图2 图318.（本题满分7分）【解】(1)A………………………………………………3分（2）设大、小圆柱的体积分别为12V V 、，几何体的体积为V ，21=π85320π,V ⨯⨯=22π4580π,V =⨯⨯=…………………………………………………………………………3分12=240π.V V V -=……………………………………………………………………………4分19.(本题满分8分)每小题满分为4分.毕达哥拉斯树的生长方式如图4所示：以边长为1的正方形的一条边为斜边向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边各向外作一个正方形，得到2个新的小正方形，实现了一次生长；再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去.设n a 为第n 次生长得到的新小正方形的个数，n b 为第n 次生长得到的新小正方形中的一个正方形的面积.当1n =和2n =时，n n a b 、的值见表1.(1) 请在答题纸上的表1中填写3n =时，相应的n n a b 、的值；n1 2 3 … n a24…n b12 14…图4判断数列{}n b 是否为等比数列，若是，写出公比的值；若不是，举反例说明； (2) 若经过n 次生长，累计得到了1022个新的正方形，求其中最小正方形的个数. 19.（本题满分8分）【解】（1）表1n1 2 3 … n a 248…n b12 1418 …数列{}n b 是等比数列，公比为2.……………………………………………………………4分（2）因为{}n a 是以首项为2、公比为2的等比数列，故2(21)102221n ⨯-=-，………………………………………………………………………2分得2512n=，即最小正方形个数为512. ……………………………………………………………………4分20.(本题满分10分)每小题满分各为5分.设函数()sin cos f x a x b x =+（a 、b 为常数）. （1）若π()0,(π)24f f ==，求()f x 的解析式，并化为()sin()f x A x ωϕ=+π(0,0,||)2A ωϕ>><的形式；（2）若2,0,a b ==π()()6g x f x =+，写出()g x 的解析式；当π11π,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，按照“五点法”作图步骤，在答题纸上完成表2的填空，并画出函数()g x 的图像；写出一个区间D ，π11π,66D ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得在区间D 上，()0g x ，且()g x 单调递减.20.（本题满分10分）【解】（1）由π()04,(π)2f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2()0,22a b b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得2,2a b ==-，………………………………………………………………………2分()2sin 2cos ,f x x x =-故π()2sin().4f x x =-……………………………………………………………………….5分（2）π()2sin(),6g x x =+……………………………………………………………………1分表2π6x +π2 π2π3 2πxπ6- π35π64π311π6()g x2-2……………………....4分π5π[,]36（或其子区间）……………………………………………………………………...5分 21. (本题满分10分)第（1）小题满分为3分. 第（2）小题满分为2分，第（3）小题满分为5分.在直角坐标平面xOy 内，抛物线C 的方程为2y x =.图5（1）某水杯内壁与其轴截面的交线为抛物线C 的一段弧AOB ，如图5所示.若杯口的直径AB 与杯深之比为2:3，求杯口直径的大小（坐标轴的单位长度为1厘米）；（2）在平面xOy 内存在唯一的点F 和唯一的直线l ,满足抛物线C 上任意一点到直线l 的距离相等，写出点F 的坐标和直线l 的方程；（3）过原点O 且斜率为k 的直线与抛物线C 交于另外一点Q ，线段OQ 的垂直平分线与y 轴交于点P （0，m ）,若1m ，求k 的取值范围. 21.（本题满分10分）【解】（1）设点B 的坐标为（x ,y ）(x >0),依题意得，223x y =，…………........................1分与2y x =联立，解得x =3,……………………………………………………………………..2分故杯口的直径为6厘米. ……………………………………………………………………….3分（2）1(0,),4F 1:4l y =..………………………………………………………………….....2分（3）设(0)y kx k =≠，由2y kxy x=⎧⎨=⎩，解得x =k , 故点Q 的坐标为2(,)k k ，…………………………………………………………………….1分线段OQ 的中点坐标为2(,)22k k ，…………………………………………………………….2分线段OQ 的中垂线方程为21()22k ky x k -=--，………………………………………. …3分得2122k m =+，又由1m ≥，解得21k ≥，……………………………………………….. ……… ………..4分故(][),11,+.k ∈--∞∞.…………………………………………….. ……… …………….5分22. (本题满分10分)第（1）小题满分为2分. 第（2）小题满分为8分.设函数2()f x x ax b =+-（a 、b 为常数）.（1）如果函数()f x 是区间[]2,b b -上偶函数，求a 、b 的值；（2）设函数2()log g x x =.① 判断g (x )在区间[1,4]上的单调性，并写出g (x )在区间[1,4]上的最小值和最大值； ② 阅读下面题目及解法：题目：对任意[1,4]x ∈，2xm +恒大于1，求实数m 的取值范围. 解：设()2xh x m =+则对任意[1,4]x ∈，2xm +恒大于1⇔当[1,4]x ∈时，min ()1h x >.由()h x 在区间[1,4]上递增，知min ()(1)21h x h m ==+>，所以1m >-. 学习上面题目的解法，是解决下面的问题：当()f x 中的4a =时，若对任意12[1,4]x x ∈、，1()f x 恒大于2()g x ，求b 的取值范围. 22. （本题满分10分）【解】（1）由已知得2,b b -=-且()()f x f x -=，解得0,1a b ==……………………………………………….. ………………… …………...2分（2）①g (x )在区间[1,4]上的单调递增，…………………….. ………………… …………..1分 g (x )的最小值为0，最大值为2. …………………….. …………………………… ………….3分 ②由题意知：对任意12[1,4]x x ∈、，1()f x 恒大于2()g x ⇔当[1,4]x ∈时,min max ()()f x g x >, …………… …………………5分 2()4f x x x b =-+,因为[1,4]x ∈，所以min ()(2)4f x f b ==-，…………………….7分又g (x )在[1,4]上的最大值为2，所以42b ->，得6b >……………………………………………………………………….8分。

2014年12月上海市徐汇区高三数学学业水平考(春考)模拟考

2014年12月上海市徐汇区高三数学学业水平考（春考）模拟考（考试时间：90分钟，满分120分） 2014.12一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1、设全集{}{}1,2,3,4,5,6,7=2,4,6U A =，，则=U C A __________.2、已知i 是虚数单位，则复数1i -的虚部是___________.3、函数()()3log 1f x x =-的定义域为___________.4、函数()f x =的反函数()1f x -=_________.5、已知双曲线2216x y m-=的焦距为14，则实数m =_________.6、函数2sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像中两条相邻对称轴之间的距离是_________.7、若等差数列{}n a 的公差为2，且124,,a a a 成等比数列，则1a =_________.8、直线3x =30y -+=的夹角是________.9、已知圆锥的母线长为2_________. 10、若1sin cos ,,82παααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=_________.11、点(),P x y 是直线20x y +-=上任意一点，则22x y +的取值范围是__________.12、已知ABC ∆得顶点()()4,0,4,0A B -，顶点B 在椭圆221259x y +=上，且B 点不在长轴上，则sin sin sin A CB +=__________.二、选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得0分. 13.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（）A.异面B.相交C.平行D.以上都有可能14.在数列{}n a 中，若2*(1)()n n a n N =-∈，则数列{}n a 的极限值是（）A.-1B.1C.1或-1D.不存在 15.抛物线24y x =的准线方程是（）A. 2x =B. 1x =C. 2x =-D. 1x =-16.“ a b a c ⋅=⋅”是“b c =”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 17.函数()2x f x x =+的零点所在的区间是（） A. 1(1,)2-- B. 1(,0)2- C. 1(0,)2 D. 1(,1)218.从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，所取的3个球中至少有一个白球的取法种数是（） A.10 B.3 C.6 D.919、已知方程()20x x m m R ++=∈有两个虚根,αβ，若3αβ-=，则m 的值是（） A. 2-或52B. 2-C.52D. 52-20、设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（）A.直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定 21、某算法如右图所示，若输入27,12A B ==，则输出的结果是（）A.27B. 3C. 0D. 1222、若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（）A.10B. 20C. 30D. 3523、若长方体的一个顶点上三条棱的长度分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）A.B.C. 50πD.200π224、已知函数()()=1xf x x R x∈+，则下列结论中不正确．．．的是（） A.对任意x R ∈，等式()()0f x f x -+=恒成立B. 函数()f x 的值域为()1,1-C. 对任意12,x x R ∈，若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠D. 方程()0f x x -=在R 上有三个根三、解答题（本大题满分48分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 25、（本题满分6分）已知集合{{}{}2230,12A x xx B x x =+-<=-≥，求AB .26、（本题满分7分）如图：在长方体1111ABCD A B C D -中，11AC 的中点为1O ，12,3AB BC AA ===，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值. 27、（本题满分9分）已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且()22f x x x =+.若函数()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围.A 128、（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分已知椭圆221123x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 做垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P .（1）求2PF ；（2）过右焦点2F 的直线l ，它的一个方向向量()1,1d =，与椭圆相交于A B 、两点，求1F AB 的面积 29、（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量()()()2*,,1,1N n n AB S p a CD p n =-=-∈，满足//AB CD ，（其中p 为正常数，且1p ≠）（1）求数列{}n a 的通项公式（2）若87p =，数列{}n b 对任意*N n ∈，都有 ()12121321718n n n n n b a b a b a b a n n +--⎛⎫++++=-+⋅ ⎪⎝⎭成立，问数列{}n b 中是否存在最大项？若存在，最大项是第几项；若不存在，说明理由.2014学年徐汇区学业水平（春考）模拟卷高三数学学科（附加卷）（考试时间：40分钟，满分30分） 2014.12本大题共有3题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学理

2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学理一、填空题(每题4分，共14题，满分56分)1.函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是 .解析：y=1-2cos2(2x)=-[2cos2(2x)-1]=-cos4x，∴函数的最小正周期为T==答案：2.若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则(z+)·= .解析：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则(z+)·==(1+2i)(1-2i)+1=1-4i2+1=2+4=6. 答案：63.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为.解析：由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是(2，0)，又y2=2px(p＞0)的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故p=4，∴抛物线的准线方程为x=-2.答案：x=-24.设f(x)=，若f(2)=4，则a的取值范围为.解析：当a＞2时，f(2)=2≠4，不合题意；当a=2时，f(2)=22=4，符合题意；当a＜2时，f(2)=22=4，符合题意；∴a≤2，答案：(-∞，2].5.若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 .解析：∵xy=1，∴y=，∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，答案：26.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为(结果用反三角函数值表示).解析：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ==，∴θ=arccos，答案：arccos7.已知曲线C的极坐标方程为ρ(3cosθ-4sinθ)=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 .解析：由题意，θ=0，可得ρ(3cos0-4sin0)=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=. 答案：.8.设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=(a3+a4+…a n)，则q= .解析：∵无穷等比数列{a n}的公比为q，a1=(a3+a4+…a n)=(-a1-a1q)=，∴q2+q-1=0，解得q=或q=(舍).答案：.9.若f(x)=-，则满足f(x)＜0的x的取值范围是.解析：f(x)=-，若满足f(x)＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：(0，1).答案：(0，1).10.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 (结果用最简分数表示).解析：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，答案：.11.已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= .解析：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件.若b=a2，a=b2，则两式相减得a2-b2=b-a，∵互异的复数a，b，∴b-a≠0，即a+b=-1，答案：-1.12.设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= .解析：sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2sin(x+)=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin(x+)=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=.答案：13.某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E(ξ)=4.2，则小白得5分的概率至少为.解析：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1-x，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，E(ξ)=4.2，∴4(1-x)+5x=4.2，解得x=0.2.答案：0.2.14.已知曲线C：x=-，直线l：x=6，若对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为.解析：曲线C：x=-，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x P∈[-2，0]，对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，∴m=∈[2，3].答案：[2，3].二、选择题(共4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15.设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的( )A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C. 充要条件D.既非充分又非必要条件解析：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，答案：B.16.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i(i=1，2，…8)是上底面上其余的八个点，则•(i=1，2，…，8)的不同值的个数为( )A.1B. 2C. 3D. 4解析：如图建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，0，1)，P1(1，0，1)，P2(0，0，1)，P3(2，1，1)，P4(1，1，1)，P5(0，1，1)，P6(2，2，1)，P7(1，2，1)，P8(0，2，1)，，=(-1，0，1)，=(-2，0，1)，=(0，1，1)，=(-1，1，1)，=(-2，1，1)，=(0，2，1)，=(-1，2，1)，=(-2，2，1)，易得•=1(i=1，2，…，8)，∴•(i=1，2，…，8)的不同值的个数为1，答案：A.17.已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是( )A.无论k，P1，P2如何，总是无解B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解C.存在k，P1，P2，使之恰有两解D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解解析：P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+a2-a1=a2-a1，①×b2-②×b1得：(a2b1-a1b2)x=b2-b1，即(a2-a1)x=b2-b1.∴方程组有唯一解.答案：B.18.设f(x)=，若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )A.[-1，2]B. [-1，0]C. [1，2]D. [0，2]解析：当a＜0时，显然f(0)不是f(x)的最小值，当a≥0时，f(0)=a2，由题意得：a2≤x++a≤2+a，解不等式：a2-a-2≤0，得-1≤a≤2，∴0≤a≤2，答案：D.三、解答题(共5题，满分72分)19.(12分)底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.解析：利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积.答案：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P-ABC是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，V P-ABC==20.(14分)设常数a≥0，函数f(x)=.(1)若a=4，求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)；(2)根据a的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由.解析：(1)根据反函数的定义，即可求出，(2)利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决.答案：(1)∵a=4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈(-∞，-1)∪(1，+∞).(2)若f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)对任意x均成立，∴=，整理可得a(2x-2-x)=0.∵2x-2-x不恒为0，∴a=0，此时f(x)=1，x∈R，满足条件；若f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)对任意x均成立，∴=-，整理可得a2-1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，此时f(x)=，满足条件；综上所述，a=0时，f(x)是偶函数，a=1时，f(x)是奇函数.21.(14分)如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长(结果精确到0.01米).解析：(1)设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论.(2)利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论.答案：(1)设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，∵0，∴tanα≥tan2β，∴tan，即=，解得0≈28.28，即CD的长至多为28.28米.(2)设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180°-α-β=123.43°，由正弦定理得，即a=，∴m=≈26.93，答：CD的长为26.93米.22.(16分)在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)，若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l 没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.(1)求证：点A(1，2)，B(-1，0)被直线x+y-1=0分隔；(2)若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；(3)动点M到点Q(0，2)的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.解析：(1)把A、B两点的坐标代入η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)，再根据η＜0，得出结论.(2)联立直线y=kx与曲线x2-4y2=1可得 (1-4k2)x2=1，根据此方程无解，可得1-4k2≤0，从而求得k的范围.(3)设点M(x，y)，与条件求得曲线E的方程为[x2+(y-2)2]x2=1 ①.由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解.把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×(-1)=-1＜0，可得x=0是一条分隔线. 答案：(1)把点(1，2)、(-1，0)分别代入x+y-1 可得(1+2-1)(-1-1)=-4＜0，∴点(1，2)、(-1，0)被直线 x+y-1=0分隔.(2)联立直线y=kx与曲线x2-4y2=1可得 (1-4k2)x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1-4k2≤0，∴k≤-，或k≥.(3)设点M(x，y)，则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+(y-2)2]x2=1 ①.y轴为x=0，显然与方程①联立无解.又P1(1，2)、P2(-1，2)为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×(-1)=-1＜0，故x=0是一条分隔线.若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+(y-2)2]x2=1，可得[x2+(kx-2)2]x2=1，令f(x)=[x2+(kx-2)2]x2-1，∵f(0)f(2)＜0，∴f(x)=0有实数解，即y=kx与E有公共点，∴y=kx不是E的分隔线.∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.23.(16分)已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1.(1)若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；(2)设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围.(3)若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差.解析：(1)依题意：，又将已知代入求出x的范围；(2)先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出S n分别代入不等式S n≤S n+1≤3S n，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围.(3)依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…a k的公差.答案：(1)依题意：，∴；又，∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6，(2)由已知得，，，∴，当q=1时，S n=n，S n≤S n+1≤3S n，即，成立.当1＜q≤3时，，S n≤S n+1≤3S n，即，∴不等式∵q＞1，故3q n+1-q n-2=q n(3q-1)-2＞2q n-2＞0对于不等式q n+1-3q n+2≤0，令n=1，得q2-3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q-3＜0，∴q n+1-3q n+2=q n(q-3)+2≤q(q-3)+2=(q-1)(q-2)≤0成立，∴1＜q≤2，当时，，S n≤S n+1≤3S n，即，∴此不等式即，3q-1＞0，q-3＜0，3q n+1-q n-2=q n(3q-1)-2＜2q n-2＜0，q n+1-3q n+2=q n(q-3)+2≥q(q-3)+2=(q-1)(q-2)＞0，时，不等式恒成立，上，q的取值范围为：.(3)设a1，a2，…a k的公差为d.由，且a1=1，得即当n=1时，-≤d≤2；当n=2，3，…，k-1时，由，得d≥，所以d≥，所以1000=k，即k2-2000k+1000≤0，得k≤1999.所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…a k的公差为-.。

2014年上海高考数学试题

2014年普通高等学校招生统一考试上海市数学试题（理科）满分150分;考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1、函数212cos (2)y x =-的最小正周期是．2、若复数12z i =+，其中i 是虚数单位, 则1z z z ⎛⎫+∙= ⎪⎝⎭ ． 3、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合, 则该抛物线的准线方程为． 4、设2, (,),(), [,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =, 则a 的取值范围为． 5、若实数x ， y 满足1xy =, 则222x y +的最小值为．6、若圆锥的侧面积是底面积的3倍, 则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．7、已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=, 则C 与极轴的交点到极点的距离是．8、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若)(431lim n n a a a a +++=∞→ , 则q = . 9、若2132()f x x x -=-, 则满足()0f x <的x 的取值范围是．10、为强化安全意识, 某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练, 则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．11、已知互异的复数a ， b 满足0ab ≠, 集合22{, }{, }a b a b =, 则a b += ．12、设常数a 使方程a x x =+co s 3sin 在闭区间[0,2π]上恰有三个解123, , x x x , 则123x x x ++= .13、某游戏的得分为1, 2, 3, 4, 5, 随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若() 4.2E ξ=, 则小白得5分的概率至少为．14、已知曲线24:y x C --=, 直线:6l x =．若对于点(,0)A m , 存在C 上的点P 和l 上的Q 使得=+, 则m 的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）．15、设, a b R ∈, 则“4a b +>”是“2a >且2b >”的(A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分又非必要条件 16、如图, 四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条侧棱, )8,,2,1( =i P i 是上底面上其余的八个点, 则)8,,2,1( =⋅i i 的不同值的个数为(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 817、已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点, 则关于x 和y 的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 (A) 无论k , 12, P P 如何, 总是无解 (B) 无论k , 12, P P 如何, 总有唯一解(C) 存在k , 12, P P , 使之恰有两解 (D) 存在k , 12, P P , 使之有无穷多解18、设2(), 0,()1, 0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值, 则a 的取值范围为 (A) [1,2]- (B) [1,0]- (C) [1,2] (D) [0,2]三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形123P P P , 如图．求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V ．20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设常数0a ≥, 函数2()2x x a f x a+=-．（1）若4a =, 求函数()y f x =的反函数1()y f x -=;（2）根据a 的不同取值, 讨论函数()y f x =的奇偶性, 并说明理由。

2014年上海高考文科数学试题详解

2014年上海高考文科数学试题详解2014年普通高等学校招生统一考试上海市数学试题（文科）详解满分150分;考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数212cos (2)y x =-的最小正周期是．考点：三角恒等变形、三角函数的周期解答：因为212cos (2)cos4y x x =-=-，所以2T π=. 难度：容易题 2．若复数12z i=+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭ ．考点：复数的四则运算，共轭运算解答：此题先根据分配律去括号可简化计算，即11516z z z z z⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭难度：容易题3．设常数a R ∈，函数2()1f x x xa=-+-．若(2)1f =，则(1)f =．考点：解方程、求函数值解答：由()(2)1413f a f =⇒=⇒=难度：容易题 4．若抛物线22ypx=的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．考点：圆锥曲线的标准方程解答：知抛物线的焦点坐标为()2,0，则其准线方程为：2x =- 难度：容易题5．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为．考点：分层抽样解答：高一、高二共有学生2800名，按40：1的比例，需抽取学生数为70人。

难度：容易题 6．若实数,x y满足1xy =，则222x y +的最小值为．考点：基本不等式解答：222222112=222x y x x x x ⎛⎫⎛⎫++≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222xy +≥难度：容易题7．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．考点：圆锥的侧面展开图解答：如图：21=,=,3,arcsin 3rl r l r ππα=∴=侧面积底面积可得难度：容易题8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．考点：三视图解答：由三视图知，切割掉的两个小长方体可拼成一个长宽高分别为4、3、2的长方体，所以其体积为24.难度：容易题 9．设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为．考点：函数的单调性及最值解答：()()()()minmin 0,0;0,12;2x f x f a x f x f a ≤==>==∴≤时时即可难度：中等题αlr10．设无穷等比数列{}na 的公比为q ，若134lim()nn a a a a →∞=+++L ，则q = ．考点：无穷等比数列各项的和解答：()22111515101,122a q a q q q q q --=∴+-=∴==>-Q 舍难度：中等题 11．若2132()f x xx-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是．考点：幂函数的单调性解答：212332()=f x xx x x-=-Q -∴其定义域为()0,,+∞又23y x =Q 是增函数，12y x -=是减函数，2132()f x x x-∴=-是增函数，又()10f =，()0f x ∴<，即为()()1f x f <，0 1.x ∴<< 难度：中等题 12．方程sin 31x x +=在区间[0,2]π上的所有的解的和等于．考点：三角方程解答：()sin 31,2sin 1,1336k x x x x k ππππ⎛⎫+=∴+=∴+=+- ⎪⎝⎭Q()1,[0,2],1,263kx k x k ππππ∴=+--∈∴=Q 1212117,,263x x x x πππ∴==∴+=难度：中等题13．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．考点：组合、概率解答：未来的连续10天中随机选择3天的所有情况有310C 种；未来的连续10天中选择的3天恰好为连续3天的所有情况有8种；则所求概率为3108115C =难度：中等题 14．已知曲线24:y x C --=，直线:6l x =．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0=+AQ AP ，则m 的取值范围为．考点：圆的方程、能成立问题解答：∵曲线24:y x C --=，即:C ()2240xy x +=≤，∵=+，∴点(,0)A m 即为P Q 、中点；设()6Q y ，，∵(,0)A m ，则()26,P m y --， ∵点P在曲线C 上，∴()()()()2222264264260260m y m y m m ⎧⎧-+-=-=--⎪⎪⇒⎨⎨-≤-≤⎪⎪⎩⎩()[]202642,3260m m m ⎧≤-≤⎪⇒⇒∈⎨-≤⎪⎩难度：较难题二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（） (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件考点：充分条件、必要条件解答：必要非充分条件，选B 难度：容易题16．已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=（）(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 1-考点：集合的相等、复数范围内1的立方根解答：⑴若22,,a ab b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 则0,1,0,1,a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩0,1,1,0,a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍）；⑵若22,,a b b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩则4a a =，那么0a =（舍）或1a =（舍）或13,213,2ia ib ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或13,213,2ia ib ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩综合上述，1a b +=-.选D 难度：中等题17．如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，)7,,2,1(Λ=i P i是小正方形的其余顶点，则)7,,2,1(Λ=⋅i AP AB i的不同值的个数为（）(A) 7 (B) 5 (C) 3 (D) 1考点：向量的数量积、向量的投影解答：结合图形，观察iAP u u u r 在ABuuu r 上的投影即可：136AP AP AP u u u r u u u r u u u r、、在ABuuu r上的投影相同；47AP AP u u u r u u u r 、在ABuuu r 上的投影相同；25AP AP u u u r u u u r 、在ABuuu r上的投影相同；故)7,,2,1(Λ=⋅i AP AB i的不同值的个数为3，选C难度：中等题 18．已知111(,)P a b 与222(,)P ab 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解 (B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解(C) 存在12,,k P P ，使之恰有两解 (D) 存在12,,k P P ，使之有无穷多解考点：直线的方程、二元一次方程的行列式解法解答：把11(,)P a b 代入直线1y kx =+得111b ka =+，即111ka b -+=.同理可得221kab -+=.则,1x k y =-=是方程组11221,1.a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解. 若,1x k y =-=不是方程组11221,1.a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的唯一解，则方程组11221,1.a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩ 有无数解则1212,a a b b ==，与已知矛盾综上，方程组11221,1.a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解，选B.难度：较难题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求体123PP P ∆的各边长及此三棱锥的积V ．考点：棱锥的体积、空间想象能力解答：依题意：123PP P ∆是边长为4的正三角形，折叠后是棱长为2的正四面体P ABC -（如图）.设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，则O为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC .323,3BO AB ==OBA P284,3PO BO =-=12233P ABC ABC V S PO -∆=⋅⋅=难度：容易题20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设常数0≥a ，函数aax f xx -+=22)(．（1）若4a =，求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由．考点：反函数、函数的奇偶性解答：（1）因为2424x xy +=-，所以()4121xy y +=-，得1y <-或1y >，且212log1y x y +=+-．因此，所求反函数为121()2log ,1x f x x -+=+-()(),11,x ∈-∞-+∞U ．（2）①当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数；②当1a =时，21()21x xf x +=-，定义域为()(),00,-∞+∞U ，2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数； ③当a >且1a ≠时，定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞U 关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数．难度：容易题21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米．设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和．（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.1218.45αβ==oo,，求CD的长（结果精确到0.01米）．考点：解斜三角形解答：（1）设CD h =，则tan ,tan 3580h hαβ==.因2αβ≥，所以22tan tan tan 21tan βαββ≥=-，即2280351()80hh h ⋅≥-，20228.282h ≤=≈（米）（2）在ABD ∆中，由已知，56.57αβ+=o，115AB =，由正弦定理得()sin sin BD ABααβ=+ ，解得85.064BD ≈（米）．在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅，解得26.93CD ≈（米）．所以，CD 的长约为26.93米．难度：中等题22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．在平面直角坐标系xOy中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++．若0η<，则称点12,P P 被直线l 分隔．若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．（1）求证；点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔；（2）若直线y kx =是曲线2241xy -=的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ．求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线．考点：定义法求曲线方程、数形结合思想解答：（1）证明：因为40η=-<，所以点,A B 被直线10x y +-=分隔．（2）解：直线y kx =与曲线2241xy -=没有公共点的充要条件是方程组2241x y y kx⎧-=⎨=⎩无解，即12k ≥．当12k ≥时，对于直线y kx =，曲线2241xy -=上的点()1,0-和()1,0满足20k η=-<，即点()1,0-和()1,0被y kx=分隔．故实数k 的取值范围是11(,][,)22-∞-+∞U ．（3）证明：设M 的坐标为(,)x y ，则曲线E 的方程22(2)1x y x +-=．对任意的0y ，()00,y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的点()1,2-和()1,2对于y 轴满足0η<，即点()1,2-和()1,2被y 轴分隔．所以y 轴为曲线E的分隔线．难度：中等题23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．已知数列{}na 满足1133nn naa a +≤≤，*n N ∈，11a =．（1）若2342,,9aa x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}na 是等比数列，且11000ma=，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}na 的公比；（3）若10021,,,a a a Λ成等差数列，求数列10021,,,a a a Λ的公差的取值范围．考点：等差数列、等比数列与不等式综合解答：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈．（2）设{}na 的公比为q ．由133nnaa ≤，且110n naa q -=≠，得0na>．因为1133nn naa a +≤≤，所以133q ≤≤．从而111111()10003m m m a q q ---==≥，131000m -≥，解得8m ≥．8m =时，711[,3]10003q =．所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a 的公比为741010．（3）设数列10021,,,a a a Λ的公差为d ．由133nn naa d a ≤+≤，得223n n a d a -≤≤，99,,2,1Λ=n ．①当0d >时，129899a a a a>>>>Λ，所以102d a <≤，即02d <≤．②当0d =时，9998211aa a a =====L ，符合条件．③ 当0d <时，129899a a a a<<<<Λ，所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+，又0d <，所以20199d -≤<．综上，10021,,,a a a Λ的公差的取值范围为2[,2]199-．难度：较难题。