2018年上海春考数学试卷

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2018年上海卷春季高考真题数学试卷-学生用卷

2018年上海卷春季高考真题数学试卷-学生用卷一、填空题（1~6每小题4分，7~12每小题5分，共54分）1、【来源】 2018~2019学年10月上海闵行区上海市七宝中学高一上学期月考第1题2018年1月高考真题上海卷第1题4分不等式|x|>1的解集为．2、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第2题4分计算：limn→∞3n−1n+2=．3、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第3题4分设集合A={x|0<x<2}，B={x|−1<x<1}，则A∩B=．4、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第4题4分若复数z=1+i（i是虚数单位），则z+2z=．5、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第5题4分已知{a n}是等差数列，若a2+a8=10，则a3+a5+a7=．6、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第6题4分已知平面上动点P到两个定点(1,0)和(−1,0)的距离之和等于4，则动点P的轨迹方程为．7、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第7题5分如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，AA1=5，O是A1C1的中点，则三棱锥A−A1OB1的体积为．8、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第8题5分某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩．若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为．9、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第9题5分设a∈R，若(x2+2x )9与(x+ax2)9的二项展开式中的常数项相等，则a=．10、【来源】 2020~2021学年上海徐汇区高一下学期期末第9题2018年1月高考真题上海卷第10题5分设m∈R，若z是关于x的方程x2+mx+m2−1=0的一个虚根，则|z|的取值范围是．11、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第11题5分设a>0，函数f(x)=x+2(1−x)sin⁡(ax)，x∈(0,1)，若函数y=2x−1与y=f(x)的图象有且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是．12、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第12题5分2019~2020学年12月上海闵行区上海市七宝中学高二上学期月考第12题5分如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中．已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约为秒．（精确到0.1）二、选择题（每小题5分，共20分）13、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第13题5分下列函数中，为偶函数的是（）．A. y=x−2B. y=x13C. y=x−12D. y=x314、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第14题5分2019~2020学年广东深圳罗湖区深圳市美术学校高一下学期开学考试第7题5分如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线条数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 415、【来源】 2018~2019学年10月上海宝山区上海市吴淞中学高三上学期月考第15题5分 2018年1月高考真题上海卷第15题5分记S n 为数列{a n }的前n 项和．“{a n }是递增数列”是“{S n }为递增数列”的（）．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第16题5分已知A 、B 为平面上的两个定点，且|AB →|=2．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足|AP →|⩽5，AP →⋅AB →=6，AQ →=−2AP →，则动线段PQ 所形成图形的面积为（）．A. 36B. 60C. 81D. 108三、解答题（第17题14分，第18题14分，第19题14分，第20题16分，第21题18分）17、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第17题14分2017~2018学年上海嘉定区高一下学期期末第18题8分已知y =cos⁡x ．(1) 若f(α)=13，且α∈[0,π]，求f(α−π3)的值． (2) 求函数y =f(2x)−2f(x)的最小值．18、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第18题14分已知a ∈R ，双曲线Γ:x 2a 2−y 2=1．(1) 若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标．(2) 若a=1，直线y=kx+1与Γ相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，求实数k的值．19、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第19题14分利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB=3米，OC=4.5米．(1) 求抛物线的焦点到准线的距离．(2) 在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）．20、【来源】 2020~2021学年上海杨浦区上海复旦大学附属中学高一上学期期末第20题16分2018年1月高考真题上海卷第20题16分设a>0，函数f(x)=11+a⋅2x．(1) 若a=1，求f(x)的反函数f−1(x)．(2) 求函数y=f(x)⋅f(−x)的最大值（用a表示）．(3) 设g(x)=f(x)−f(x−1)．若对任意x∈(−∞,0]，g(x)⩾g(0)恒成立，求a的取值范围．21、【来源】 2018年1月高考真题上海卷第21题18分若{c n}是递增数列，数列{a n}满足：对任意n∈N∗，存在m∈N∗，使得a m−c na m−c n+1⩽0，则称{an}是{c n}的“分隔数列”．(1) 设c n=2n，a n=n+1，证明：数列{a n}是{c n}的“分隔数列”．(2) 设c n=n−4，S n是{c n}的前n项和，d n=c3n−2，判断数列{S n}是否是数列{d n}的分隔数列，并说明理由．(3) 设c n=aq n−1，T n是{c n}的前n项和，若数列{T n}是{c n}的分隔数列，求实数a、q的取值范围．1 、【答案】(−∞,−1)∪(1,+∞);2 、【答案】3;3 、【答案】(0,1);4 、【答案】2;5 、【答案】15;6 、【答案】x24+y23=1;7 、【答案】5;8 、【答案】180;9 、【答案】4;10 、【答案】(√33,+∞) ;11 、【答案】(11π6,19π6];12 、【答案】4.4;13 、【答案】 A;14 、【答案】 C;15 、【答案】 D;16 、【答案】 B;17 、【答案】 (1) 1+2√66．;(2) −32．;18 、【答案】 (1) (±√3,0)．;(2) √5−1．2;19 、【答案】 (1) 1米．4;(2) 9.59°．;(0<x<1)．20 、【答案】 (1) f−1(x)=log21−xx;(2) 1．1+2a+a2;(3) (0,√2]．;21 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 不是，理由见解析．;(3) a>0且q⩾2．;。

2018届上海春季高考数学试卷(附解析)

2018年上海市春季高考数学试卷2018.01一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.不等式||1x >的解集为2.计算：31lim 2n n n →∞-=+3.设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B = 4.若复数1i z =+（i 是虚数单位），则2z z+=5.已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=6.已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为7.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4BC =，15AA =，O 是11A C 的中点，则三棱锥11A A OB -的体积为（第7题）（第12题）8.某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（结果用数值表示）9.设a ∈R ，若292()x x +与92()a x x+的二项展开式中的常数项相等，则a =10.设m ∈R ，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则||z 的取值范围是11.设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是12.如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为秒（精确到0.1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列函数中，为偶函数的是（）A.2y x -= B.13y x =C.12y x -= D.3y x =14.如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.415.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB = ，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤ ，6AP AB ⋅= ，2AQ AP =- ，则动线段PQ 所形成图形的面积为（）A.36B.60C.72D.108三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知cos y x =.（1）若1()3f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值；（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值.18.已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=.（1）若点(2,1)在上，求Γ的焦点坐标；（2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值.19.利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）.（图1）（图2）（图3）20.设0a >，函数1()12xf x a =+⋅.（1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--，若对任意(,0]x ∈-∞，()(0)g x g ≥恒成立，求a 取值范围.21.若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m n m n a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”.（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的分隔数列；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，32n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq -=，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围.参考答案一.填空题1.(,1)(1,)-∞-+∞2.33.(0,1)4.25.156.22143x y +=7.58.1809.410.3,)3+∞11.1119(,]66ππ12.4.4二.选择题13.A14.C 15.D 16.B 三.解答题17.（1）1266+；（2）32-.18.（1），(；（2）12.19.（1）14；（2）9.59°.20.（1）121()log x f x x --=（01x <<）；（2）max 2112y a a =++（0x =时取最值）；（3）.21.（1）证明略；（2）不是，反例：4n =时，m 无解；（3）02a q >⎧⎨≥⎩.。

2018年上海春季招生统一文化考试数学(含答案)

C9k x9k
a2k x2k
C9k ak x93k ,k
3,
常数项为C93a3 a 4
10．设 m R ，若 z 是关于 x 的方程 x2 mx m2 1 0 的一个虚根，则 | z | 的取值范围
是__________．
答案：（ 3 ，+） 3
解析：
法一：设z a bi,(b 0)代入方程得：（a bi）2 +m(a bi) m2 1 0,即 a2 b2 ma m2 1 0, 2ab mb 0
（B）60
（C）81
（D）108
本题考查向量的投影，因为 AP 5,所以P点在以A为圆心半径为5的圆面上，又AP AB 6= AB AP cos ,所以 AP cos =3,根据题意作图如下：
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分，第 17~19 题每题 14 分，20 题 16 分， 21 题 18 分）
3/7
仅供学习交流、勿做商用！
答案：A
14．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 的棱虽在的直线中，与直线 BC1
异面的直线条数为（）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
答案：C
15．记 Sn 为数列{an}的前 n 项和．“{an}是递增数列”是“ Sn 为递增数列”的（）
（A）充分非必要条件
答案： C31C53P33 180
9．设 a R
，若

x2

2 x
9

与

x

a x2
9

的二项展开式中的常数项相等，则 a

高考最新-2018年上海市普通高等学校春季招生考试数学(附答案)001 精品

2018年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1. 方程2lg lg(2)0x x-+=的解集是.2. =++++∞→nnn212lim.3. 若3cos5α=，且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，则=2tgα.4. 函数2()f x x=-)]2,((-∞-∈x的反函数=-)(1xf.5. 在△ABC中，若90C∠=，4AC BC==，则BA BC⋅=.6. 某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是(结果用最简分数表示).7. 双曲线116922=-yx的焦距是.8. 若()()3,2223≥∈+++++=+nnxcxbxaxx nnn且N，且2:3:=ba，则=n.9. 设数列{}n a的前n项和为n S（N∈n）. 关于数列{}n a有下列三个命题：（1）若{}n a既是等差数列又是等比数列，则)(1N∈=+naann；（2）若()R∈+=banbnaSn、2，则{}na是等差数列；（3）若()nnS11--=，则{}n a是等比数列.这些命题中，真命题的序号是.10. 若集合{}R∈==xxxA x,32cos3π，{}R∈==yyyB,12，则BA = .11. 函数xxy arcsinsin+=的值域是.12. 已知函数2()2log x f x x =+，数列{}n a 的通项公式是n a n 1.0=（N ∈n ），当 |()2005n f a -取得最小值时，n = . 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.13. 已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是（A ）若//l m ，//m n ，则//l n . （B ）若l α⊥，//n α，则l n ⊥. （C ）若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥. （D ）若//l α，//n α，则//l n .[答] ( ) 14. 在△ABC 中，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形.[答] ( ) 15. 若c b a 、、是常数，则“0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ，有02>++c x b x a ” 的（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.[答] ( ) 16. 设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意R ∈x ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值；（2）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，且0x x ≠，有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数()f x 的最大值；（3）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，有)()(0x f x f ≤，则)(0x f 是函数()f x 的最大值. 这些命题中，真命题的个数是（A ）0个. （B ）1个. （C ）2个. （D ）3个.[答] ( )三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.已知z 是复数，izi z -+22、均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(i a z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.[解] 18. (本题满分12分) 已知αtg 是方程01sec 22=++αx x 的两个根中较小的根，求α的值. [解]19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60. （1）证明：BC PA ⊥；（2）求底面中心O 到侧面的距离. [证明]（1）[解]（2）某市2018年底有住房面积1200万平方米，计划从2018年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2018年底和2018年底的住房面积；（2）求2184年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） [解]（1）（2）21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分. 已知函数xax x f +=)(的定义域为),0(∞+，且222)2(+=f . 设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、. （1）求a 的值；（2）问：||||PN PM ⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值. [解]（1）（2）（3）（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程是12222=+b y a x )0(>>b a . 设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、两点，AB 的中点为M . 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心. [解]（1）[证明]（2）[解]（3）2018年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.3.第17题至第22题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数.4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1. }2,1{-.2. 0.3.21. 4. ]4,(,--∞∈--x x . 5. 16. 6.2601. 7. 65. 8. 11. 9. （1）、（2）、（3）. 10. {}1.11. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--21sin ,21sin ππ. 12. 110二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第17至22题）17. [解] 设R)∈+=y x yi x z 、(，i y x i z )2(2++=+ ，由题意得 2-=y . …… 2分i x x i i x i i x i z )4(51)22(51)2)(2(51222-++=+-=--=-由题意得 4=x . …… 6分 ∴ i z 24-=.∵ 2)(ai z +i a a a )2(8)412(2-+-+=， …… 9分根据条件，可知⎩⎨⎧>->-+0)2(804122a a a ，解得 62<<a ，∴ 实数a 的取值范围是)6,2(. …… 12分 18. [解] ∵ αtg 是方程01sec 22=++αx x 的较小根， ∴ 方程的较大根是αctg . ∵ αtg +αctg =αsec 2-，即αααcos 2cos sin 1-= ∴ 21sin -=α. …… 5分解得 672ππα+=k ，或Z ∈-=k k ,62ππα. …… 8分当)(672Z ∈+=k k ππα时，αtg 33=，αctg 3=；当)(62Z ∈-=k k ππα时，αtg 33-=，αctg 3-=，不合题意. ∴ Z ∈+=k k ,672ππα. …… 12分19. [证明]（1）取BC 边的中点D ，连接AD 、PD ，则BC AD ⊥，BC PD ⊥，故⊥BC 平面APD . …… 4分 ∴ BC PA ⊥. …… 6分 [解]（2）如图，由（1）可知平面⊥PBC 平面APD ，则PDA ∠是侧面与底面所成二面角的平面角.过点O 作E PD OE ,⊥为垂足，则OE 就是点O 到侧面的距离. …… 9分设OE 为h ，由题意可知点O 在AD 上， ∴ 60=∠PDO ，h OP 2=.h BC h OD 4,32=∴=, …… 11分∴ 2234)4(43h h S ABC ==∆， ∵ 3233823431372h h h =⋅⋅=，∴ 3=h . 即底面中心O 到侧面的距离为3. …… 14分 20. [解]（1）2018年底的住房面积为124020%)51(1200=-+（万平方米）, 2018年底的住房面积为128220%)51(20%)51(12002=-+-+（万平方米）∴ 2018年底的住房面积为1240万平方米，2018年底的住房面积约为1282万平方米. …… 6分（2）2184年底的住房面积为20%)51(20%)51(20%)51(20%)51(1200181920-+--+-+-+ …… 10分 64.252205.0105.120%)51(12002020≈-⨯-+=（万平方米）∴ 2184年底的住房面积约为2522.64万平方米. …… 14分 21. [解]（1）∵ 22222)2(+=+=a f ，∴ 2=a . …… 3分（2）设点P 的坐标为),(00y x ，则有0002x x y +=，00>x ，由点到直线的距离公式可知：0000||,12||||x PN x y x PM ==-=，故有1||||=⋅PN PM ，即||||PN PM ⋅为定值，这个值为1. …… 9分（3）由题意可设),(t t M ，可知),0(0y N .∵ PM 与直线x y =垂直，∴ 11-=⋅PM k ，即100-=--tx ty ，解得 )(2100y x t +=，又0002x x y +=，∴ 0022x x t +=. ∴22212+=∆x S OPM ，222120+=∆x S OPN ， ∴ 212)1(212020+≥++=+=∆∆x x S S S OPN OPM OMPN ，当且仅当10=x 时，等号成立.∴ 此时四边形OMPN 面积有最小值21+. …… 16分22. [解]（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x ，0>>b a ，∴ 422+=b a ，即椭圆的方程为142222=++b y b x ， ∵ 点（2,2--）在椭圆上，∴ 124422=++b b ，解得 42=b 或22-=b （舍），由此得82=a ，即椭圆的标准方程为14822=+y x . …… 5分（2）设直线l 的方程为m kx y +=， …… 6分与椭圆C 的交点A (11,y x )、B (22,y x )，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y a x m kx y ，解得 02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ，∵ 0>∆，∴ 2222k a b m +<，即 222222k a b m k a b +<<+-.则 222221212222212,2ka b mb m kx m kx y y k a b kma x x +=+++=++-=+， ∴ AB 中点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22222222,k a b m b k a b km a . …… 11分∴ 线段AB 的中点M 在过原点的直线 022=+y k a x b 上. …… 13分（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和D C 、，并分别取AB 、CD 的中点N M 、，连接直线MN ；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于1A 、1B 和11D C 、，并分别取11B A 、11D C 的中点11N M 、，连接直线11N M ，那么直线MN 和11N M 的交点O 即为椭圆中心. …… 18分。

2018--2019年上海市春季高考数学试卷(含答案)

2019年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一.填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分1 •函数y =log2(x 2)的定义域是 __________________2•方程2x=8的解是____________________3 •抛物线y2 =8x的准线方程是_________________4•函数y=2sin x的最小正周期是__________________5•已知向量a =(1,k) , b =(9, k-6)。

若a//b，则实数k 二__________________6.函数y =4sinx 3cos x的最大值是____________________7•复数2 3i ( i是虚数单位)的模是 _____________________&在ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b c，若a =5, b =8, B =60 •，则b= _9•在如图所示的正方体ABCD-ABQ1D1中，异面直线A,B与B|C所成角的大小为 _________10•从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为________________ (结果用数值表示)。

11 •若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和S n = _____________ 。

12・36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=2 232,所以36的所有正约数之和为(1 3 32) (2 2 3 2 32) (2222 3 2232) =(1 2 22)(1 3 32) =91 参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 ______________________________二•选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分13•展开式为ad-bc的行列式是()a ba ca db a(A)d c(B)b d (C)b c(D)d c14•设f -1(x)为函数f(X )—、.X 的反函数，下列结论正确的是( )1 1(A) f (2) =2 (B) f (2)=4(C) f ，⑷=2(D)f 」⑷=415.直线2x -3y -1 =0的一个方向向量是()116.函数f(x)的大致图像是()(A )1 1 (B)a bab :: b 2(C)_ab ：：-a 2(D)1 118. 若复数召、z ,满足Z | =Z2，则召、z 2在复数平面上对应的点 Z1、Z2()(A) 关于x 轴对称(B) 关于y 轴对称(C 关于原点对称 (D) 关于直线y - x 对称19. (1 X)10的二项展开式中的一项是 ()(A ) 45x(B ) 90x 2 (C ) 120x 3 (D ) 252x 420•既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的函数是( )(A ) y 二 sin x ( B ) y 二 cos x (C ) y = sin 2 x (D ) y = cos 2 x21. 若两个球的表面积之比为 1: 4，则这两个球的体积之比为( ) (A ) 1: 2(B ) 1: 4(C ) 1:8( D ) 1:1622. 设全集U 二R ，下列集合运算结果为 R 的是( ) (A )Z e u N (B ) N e u N(C )痧(u -)(D ) q{0}(A)(2, -3)(B) (2,3) (C) (-3, 2)(D)(3, 2)17.如果a ::: b ：：：0,那么下列不等式成立的是( )23.已知a、b c己R , “ b2—4ac < 0 ”是“函数f (x) = ax2 +bx + c的图像恒在x轴上方” 的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件24 .已知A、B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N .若■ ■—2MN = AN NB，其中■为常数，则动点M的轨迹不可能是（）（A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤25. （本题满分7分）如图，在正三棱锥ABC-AB J G中，AA =6，异面直线BG与AA所成角的大小为,626. （本题满分7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中.B为直角，AB长40米，BC长50 米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。

上海普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷

11．设，函数，，若函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是__________．
12．如图，正方形的边长为20米，圆的半径为1米，圆心是正方形的中心，点、分别在线段、上，若线段与圆有公共点，则称点在点的“盲区”中．已知点以1．5米/秒的速度从出发向移动，同时，点以1米/秒的速度从出发向移动，则在点从移动到的过程中，点在点的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）
（3）设，的前项和，若数列是的分隔数列，求实数、的取值范围．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13．下列函数中，为偶函数的是（）
（A）（B）
（C）（D）
14．如图，在直三棱柱的棱虽在的直线中，与直线
异面的直线条数为（）
（A）1（B）2
（C）3（D）4
15．记为数列的前项和．“ 是递增数列”是“ 为递增数列”的（）
（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件
上海普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷
2018年上海市普通高等学校春季招生统一，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．不等式的解集为__________．
2．计算： __________．
3．设集合，，则 __________．
（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件
16．已知、为平面上的两个定点，且．该平面上的动线段的端点、，满足，，，则动线段所形成图形的面积为（）
（A）36（B）60（C）81（D）108
三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）

上海市春考数学试卷(含答案)教学提纲

2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（54分）1、不等式1>x 的解集为______________；2、计算：_________213lim=+-∞→n n n ；3、设集合{}20<<=x x A ，{}11<<-=x x B ，则________=B A ；4、若复数i z +=1（i 是虚数单位），则______2=+zz ； 5、已知{}n a 是等差数列，若1082=+a a ，则______753=++a a a ；6、已知平面上动点P 到两个定点()0,1和()0,1-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为_________；7、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，4=BC ，51=AA ，O 是11C A 的中点，则三棱锥11OB A A -的体积为_________；第7题图第12题图8、某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_____________（结果用数值表示）。

9、设R a ∈，若922⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 与92⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的二项展开式中的常数项相等，则_______=a ；10、设R m ∈，若z 是关于x 的方程0122=-++m mx x 的一个虚根，则-z 的取值范围是________；11、设0>a ，函数()()1,0),sin()1(2∈-+=x ax x x x f ，若函数12-=x y 与()x f y =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________；12、如图，在正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长均为_____秒（精确到0.1）. 二．选择题（20分）13. 下列函数中，为偶函数的是（）A 2-=x y B 31x y = C 21-=xy D 3x y =14. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（） A 1 B 2 C 3 D 415. 若数列}{n a 的前n 项和，“}{n a 是递增数列”是“}{n S 是递增数列”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件16、已知A 、B 是平面内两个定点，且2=→AB ，该平面上的动线段PQ 的两个端点P 、Q 满足：5≤→AP ，6=⋅→→AB AP ，→→-=AP AQ 2，则动线段PQ 所围成的面积为（）A 、50B 、60C 、72D 、108三、解答题（14+14+14+16+18=76分） 17、已知x x f cos )(=（1）.若31)(=αf ，且],0[πα∈，求)3(πα-f 的值；（2）.求函数)(2)2(x f x f y -=的最小值；18、已知R a ∈，双曲线1:222=-Γy ax（1）.若点)1,2(在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）.若1=a ，直线1+=kx y 与Γ相交于B A ,两点，若线段AB 中点的横坐标为1，求k 的值；19.利用“平行与圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理；某公司用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，AB OC ⊥于C ，3=AB 米，5.4=OC 米.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到01.0）.20.20.设0>a ，函数xa x f 211)(⋅+=（1）.若1=a ，求)(x f 的反函数)(1x f -（2）求函数)()(x f x f y -⋅=的最大值，（用a 表示）（3）设=)(x g )1()(--x f x f ，若对任意)0()(],0,(g x g x ≥-∞∈恒成立，求a 的取值范围？21.若}{n c 是递增数列，数列}{n a 满足：对任意*,N m R n ∈∃∈，使得01≤--+n m nm c a a a ，则称}{n a 是}{n c 的“分隔数列”（1）设1,2+==n a n c n n ，证明：数列}{n a 是}{n c 的分隔数列；（2）设n n S n c ,4-=是}{n c 的前n 项和，23-=n n c d ，判断数列}{n S 是否是数列}{n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设n n n T aq c ,1-=是}{n c 的前n 项和，若数列}{n T 是}{n C 的分隔数列，求实数q a ,的取值范围？2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷参考答案：一、填空题：1、()()+∞-∞-,11, ；2、3；3、()1,0；4、2；5、15；6、13422=+y x ；7、5；8、180； 9、4；10、⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，33；11、⎥⎦⎤⎝⎛619611ππ，；12、4.4；二、选择题：13、A ；14、C ；15、D ；16、B ；三、解答题：17、（1）6621+；（2）23-； 18、（1）()()0,30,3-，；（2）215-； 19、（1）41；（2）59.9； 20、解析：（1）()()1,011log )(11log 112212∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=-x x x f y x y x ；（2）()()xx x x x a a a a y 2122211211⋅++=⋅+⋅⋅+=-，设02>=t x，则()111222+++=+++=a taat at a at ty ，因为0>a ，所以a taat 2≥+，当且仅当1=t 时取等号，所以12122++≥+++a a a t a at ，即()⎥⎦⎤ ⎝⎛+∈211,0a y ；（3）()223222221122+⋅+⋅-=⋅+-⋅+=xx x x a t a a a a x g ，设t x=2，因为()0,∞-∈x ，所以()1,0∈t ，则()att a a t g 322++-=，若a t t t a 222=⇒=，1°当12≥a 时，即20≤<a ，a t t a y 322++=单调递减，所以()+∞++∈,232a a y ，则()⎪⎭⎫⎝⎛++-∈0,232a a a a g ，且()2302++-=a a a g ，故满足()()0g x g ≥，符合题意；2°当120<<a 时，即2>a ，则a a a aa t t a y 322322322+=+⋅≥++=，则()()0,322-∈a g ，因为()()02log 2min g a g x g ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，故不符合题意，舍去；综上：(]2,0∈a 。

高三数学-2018年上海市普通高等学校春季招生考试精品

2018年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一. 填空题（本大题满分48分）1. 计算：＿＿＿＿＿2. 方程的解＿＿＿＿＿.3. 函数的反函数为＿＿＿＿＿.4. 不等式的解集是＿＿＿＿＿.5. 已知圆和直线. 若圆与直线没有公共点，则的取值范围是＿＿＿＿＿.6.已知函数是定义在上的偶函数.当时，，则当时，＿＿＿＿＿.7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有＿＿＿＿＿种不同的播放方式（结果用数值表示）.8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为＿＿＿＿＿.9. 在△中，已知，三角形面积为12，则＿＿＿＿＿.10. 若向量的夹角为，，则＿＿＿＿＿.11. 已知直线过点，且与x轴、y轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为＿＿＿＿＿.12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列满足，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（结论用数学式子表示）.二．选择题（本大题满分16分）13. 抛物线的焦点坐标为( )（A）. （B）. （C）. （D）.14. 若，则下列不等式成立的是( )（A）. （B）. （C）.（D）.15. 若，则“”是“方程表示双曲线”的( )（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.16. 若集合，则A∩B等于( )（A）. （B）. （C）. （D）.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. (本题满分12分)在长方体中，已知，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18. (本题满分12分) 已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.已知函数.（1）若，求函数的值；（2）求函数的值域.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？2018年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1. .2. 2.3.. 4. .5. .6. .7.48. 8. .9. . 10. 2. 11. 4.12. 和二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第17至22题）17. [解法一] 连接，为异面直线与所成的角. ……4分连接，在△中，，……6分则. ……10分异面直线与所成角的大小为. (12)分[解法二] 以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.……2分则，得.……6分设与的夹角为，则，……10分与的夹角大小为，即异面直线与所成角的大小为. ……12分18. [解法一]，……4分.……8分若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.，所求的一个一元二次方程可以是. ……12分[解法二] 设，得，……4分以下解法同[解法一].19. [解]（1），……2分……4分.……8分（2），……10分，，，函数的值域为.……14分20. [解]（1）设曲线方程为，由题意可知，. .……4分曲线方程为.……6分（2）设变轨点为，根据题意可知得，或（不合题意，舍去）..……9分得或（不合题意，舍去）. 点的坐标为，……11分.答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令.……14分21. [解]（1）……4分（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此.……8分由于.……10分（3）[解法一] 当时，.，……12分. 又，①当，即时，取，.，则.……14分②当，即时，取，＝.由①、②可知，当时，，.因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. (16)分[解法二] 当时，.由得，令，解得或，……12分在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点；当时，的图像与函数的图像没有交点. ……14分如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.……16分22. [解]（1）.…… 4分（2），…… 8分，当时，. …… 12分（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. ……14分研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.…… 16分研究的结论可以是：由，依次类推可得当时，的取值范围为等. …… 18分。

2018年上海市高考数学试卷真题及答案(春考+夏考)

2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式||1x >的解集为__________． 2．计算：31lim2n n n →∞-=+__________．3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．4．若复数z i i =+（i 是虚数单位），则2z z+=__________． 5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为__________．7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11AC 的中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．第7题图第12题图8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩．若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．9．设a R ∈，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =__________．10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围是__________．11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________．12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．下列函数中，为偶函数的是（）（A ）2y x -= （B ）13y x =（C ）12y x-=（D ）3y x =14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱虽在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（）（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）415．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且|2|AB =．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤，6AB AP ⋅=，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（）（A ）36（B ）60（C ）81（D ）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知cos y x =．（1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值；（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=．（1）若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2 图3 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅．（1）若1a =，求()f x 的反函数1()fx -；（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq-=，n T {}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．参考答案一、填空题1．(,1)(1,)-∞-+∞2．33．(0,1)4．2 5．156．22143x y += 7．5 8．180 9．410．)3+∞ 11．1119(,]66ππ12．4.4二、选择题13．A14．C15．D16．B三、解答题17．（1）16+；（2）32-18．（1）(1,0)，(1,0)-；（2． 19．（1）14；（2）9.59︒． 20．（1）121()log (01)x f x x x --=<<；（2）2112max y a a =++（0x =时取最值）；（3）21．（1）证明略；（2）不是．反例：4n =时，m 无解；（3）02a q ≥>⎧⎨⎩．2018年上海市高考数学试卷2018.06一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 行列式4125的值为 2. 双曲线2214x y -=的渐近线方程为3. 在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（结果用数值表示）4. 设常数a ∈R ，函数2()log ()f x x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =5. 已知复数z 满足(1i)17i z +=-（i 是虚数单位），则||z =6. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =7. 已知11{2,1,,,1,2,3}22a ∈---，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则a =8. 在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为9. 有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示） 10. 设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q -=（n ∈*N ），前n 项和为n S ，若11lim 2n n n S a →∞+=，则q =11. 已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6(,)5P p 、1(,)5Q q -，若236p q pq +=，则a =12. 已知常数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A.B.C.D. 14. 已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件15. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A. 4B. 8C. 12D. 1616. 设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图像绕原点逆时针旋转6π后与原图像重合，则在以下各项中，(1)f 的可能取值只能是（）A. B.C. D. 0三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知椭圆的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.18. 设常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+. （1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若()14f π=，求方程()1f x =-[,]ππ-上的解.19. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30030()180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式，讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义.20. 设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)F ，直线:l x t =，曲线2:8y x Γ=（0x t ≤≤，0y ≥），l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，||2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP 的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.21. 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意n ∈*N ，都有||1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”.（1）设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，n ∈*N ，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；（2）设数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{|,1,2,3,4}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b -，32b b -，⋅⋅⋅，201200b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围.2018年上海市高考数学试卷答案一. 填空题1. 18，452118⨯-⨯=2. 2x y =±，22220442x x x y y y -=⇒=⇒=±3. 21，2721C = 4. 7，根据题意，(1)3f =，即2log (1)3a +=，∴7a = 5. 5，|17i |||5|1i |z -==+，或17i34i 1iz -==--+，∴||5z =6. 14，6732714a a a d +=+=，∴2d =，432a a d =+=，∴74714S a ==7. 1-，根据题意，a 与奇数相关，且0a <，∴1a =-8. 3-，不妨设(0,)E t ，(0,2)F t +，∴(1,)AE t =，(2,2)BF t =-+，2(1)3AE BF t ⋅=+-，即最小值为3- 9.15，总的情况为35C 种，符合题意的有5、2、2和5、3、1两种情况，∴概率为35215C =10. 3，011a q ==，1(1)1n n a q S q -=-，∴11(1)11lim lim (1)12n n n n n n S a q a q q q →∞→∞+-===--，∴3q = 11. 6，根据题意，61()()155f p f q +=-=，即22122p q pq ap aq +=++，去分母化简得， 2236p q a pq pq +==，∴236a =，∵0a >，∴6a =12.23+，构造单位圆如图所示，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，cos ||||OA OBAOB OA OB ⋅∠==⋅121212x x y y +=，∴3AOB π∠=，所求的112222+的几何意义即A 、B 两点到直线10x y +-=的距离之和，再设(cos ,sin )A θθ，则(cos(),sin())33B ππθθ++，∴112222+[1cos sin 1cos()sin()]332ππθθθθ≤--+-+-+=3333[2()cos ()sin ][26sin()](26)2322222θθθϕ-+--=++≤+=+∴最大值为23+. 或根据对称性，A 、B 两点关于y x =对称时，可取最大值二. 选择题13. 选C ，255a a =⇒=，∴P 到该椭圆的两个焦点的距离之和225a =14. 选A ，11(,0)(1,)a a <⇔∈-∞+∞，∴“1a >”是“11a<” 的充分非必要条件，故选A15. 选D ，如图所示，符合条件的面有4个，每个面对应符合条件的顶点有4个，∴阳马的个数是4416⨯= 16. 选B ，A 选项，若(1)3f =，将点(1,3)依次旋转6π后可得到函数图像上的一些点，由图可知，当1x =±、3±、0时，对应了两个y 值，不符合函数定义，∴(1)3f ≠. 同理，结合图像分析B 、C 、D 选项，只有B 选项符合函数定义，故选B三. 解答题17.（1）4PB =，2OB =，∴23PO =，……2分底面积4S π=，∴体积1834233V ππ=⨯⨯=……6分（2）取OA 中点N ，∴MN ∥OB ，∴异面直线PM 与OB 所成角大小即∠PMN ，……8分1MN =，4PO =，1ON =，PO ⊥ON ，∴17PN =，……11分∴tan 17PNPMN MN∠==，即arctan 17PMN ∠=，……13分 ∴异面直线PM 与OB 所成角大小为arctan 17……14分法二：以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，……7分 ∴(0,2,0)OB =，(1,1,0)M ，(0,0,4)P ，∴(1,1,4)PM =-，……10分 ∴2cos 6||||232OB PM OB PM θ⋅===⋅⨯，∴2arccos 6θ=，……13分 ∴异面直线PM 与OB 所成角大小为2arccos . ……14分18.（1）由()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，……2分即22sin 22cos sin 22cos a x x a x x -+=+，∴0a =；……4分（2）2()sin2cos 11424f a a πππ=+=+=，即a =……6分∴2()22cos 112cos212sin(2)16f x x x x x x π=+-+=++=++，……8分∴()1f x =-⇒sin(2)6x π+=……10分 ∴2264x k πππ+=-+或524k ππ+，k ∈Z ，……12分在区间[,]ππ-上解得1124x π=-，524x π=-，1324x π=，1924x π=……14分19.（1）根据题意，即()40f x >，……2分当030x <≤时，()3040f x =<，不满足题意；……3分当30100x <<时，180029040x x+->，化简得2659000x x -+>，即(20)(45)0x x -->，∴45x >或20x <（舍），∴45100x <<，……5分综上，当45100x <<时，公交群体人均通勤时间少于自驾群体人均通勤时间；……6分（2）由题意，()%()(1%)40g x x f x x =⋅+-⋅，……7分当030x <≤时，()%30(1%)40g x x x =⋅+-⋅=14010x -，由一次函数图像性质可知，()g x 在030x <≤时单调递减；……9分当30100x <<时，1800()%(290)(1%)40g x x x x x =⋅+-+-⋅=2113585010x x -+，由二次函数图像性质可知，当(30,32.5)x ∈时，()g x 单调递减，当[32.5,100)x ∈时，()g x 单调递增；……11分综上，2140,03010()11358,301005010x x g x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩，在(0,32.5)上单调递减，在[32.5,100)上单调递增，……12分说明当自驾群体范围小于32.5%时，人均通勤时间随自驾群体的增加而减少；当自驾群体占比为32.5%时，人均通勤时间最少；当自驾群体范围超过32.5%时，人均通勤时间随自驾群体的增加而增加. ……14分20.（1）曲线2:8y x Γ=的焦点即(2,0)F ，准线为2x =-，……2分 ∴根据抛物线性质，点B 到点F 的距离22BF B d x t =+=+；……4分（2）当3t =，∴(3,0)A ，∴1AF =，∵2FQ =，∴QA =Q ，……5分∴线段OQ 的中点为3(2，∵(2,0)F ，∴直线FP 方程为2)y x =-……6分联立28y x =，∴23(2)8x x -=，整理得，2320120x x -+=，解得23P x =，……7分∴AQP 的面积112(3)(3)223AQP P S AQ x =⋅-=-=……8分（3）存在，已知(2,0)F ，设2(,)8n P n ，0n ≥，① 若228n =，则(2,4)P ，∵矩形FPEQ 中，FP FQ ⊥，FP FQ FE +=，∴(8,0)Q ，(8,4)E ，不在曲线2:8y x Γ=上，∴此情况不成立；……10分② 若228n ≠，则PF 的斜率2816PF n k n =-， ∵矩形FPEQ 中，FP FQ ⊥，∴1PF QF k k =-，即2168QF n k n-=，∴直线QF 为216(2)8n y x n -=-，当8t =时，Q 点纵坐标2216483(82)84Q n n y n n --=-=，∴2483(8,)4n Q n -，∴2(2,)8n FP n =-，2483(6,)4n FQ n-=，……12分 ∵矩形FPEQ 中，FP FQ FE +=，设(,)E E E x y ，∴(2,)E E FE x y =-，∴2248(4,)(2,)84E E n n FP FQ x y n++=+=-，得到2248(6,)84n n E n ++，……14分 ∵要使得点E 在Γ上，∴代入28y x =，22248()8(6)48n n n +=+，解得2165n =，∵0n ≥，∴5n =，即2(,55P . ……16分21.（1）数列{}n b 与{}n a 接近，由题意，11()2n n a -=，111()12n n n b a +=+=+，……2分 ∴1111()1()1()222n n n n n b a --=+-=-，∵n ∈*N 时，110()22n <≤，∴111()122n ≤-< 满足对任意n ∈*N ，||1n n b a -≤，∴数列{}n b 与{}n a 接近；……4分（2）∵11a =，22a =，34a =，48a =，又{}n b 与{}n a 接近，∴||1n n b a -≤， ∴[1,1]n n n b a a ∈-+，则1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，……6分 ∴当12[1,2]b b =∈时，M 中有12()b b 、3b 、4b 三个元素；或233b b ==时，M 中有1b 、23()b b 、4b 三个元素；当12b b ≠，23b b ≠时，M 中有1b 、2b 、3b 、4b 四个元素； ∴M 中元素的个数m 为3或4；……8分（3）∵||1n n b a -≤，∴[1,1]n n n b a a ∈-+，111[1,1]n n n b a a +++∈-+，∴111[2,2]n n n n n n b b a a a a +++-∈---+，即1[2,2]n n b b d d +-∈-+，n ∈*N ，……10分 ① 若2d ≤-，则10n n b b +-≤恒成立，不满足“至少有100个为正数”，不符；……12分② 若2d >-，令(1)nn n b a =+-，n ∈*N ，∴|||(1)|1n n n b a -=-=，……14分满足||1n n b a -≤，数列{}n b 与{}n a 接近，此时12(1)n n n b b d +-=--，当n 为奇数时，12(1)20n n n b b d d +-=--=+>，……16分 ∴在21b b -、32b b -、⋅⋅⋅、201200b b -这200个数中，至少存在21b b -、43b b -、⋅⋅⋅、200199b b -这100个数为正，故2d >-时，存在数列(1)nn n b a =+-()n ∈*N 满足题意，∴d 的取值范围即2d >-. ……18分。

高三数学-【数学】上海市普通高等学校2018年高三春季

上海市普通高等学校2018年高三春季招生考试数学试题考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数)2lg(-=x y 的定义域为__________________。

2．若集合}4|{},1|{2≤≥=x x B x x A ，则B A ⋂=_____________。

3．在△ABC 中，32tan =A ，则A sin =_______________。

4．若行列式02142=x，则x =____________。

5．若]2,2[,31sin ππ-∈=x x ，则x =____________。

（结果用反三角函数表示） 6．6)1(xx +的二项展开式的常数项为_______。

7．两条直线023:1=+-y x l 与02:2=+-y x l 的夹角的大小是________。

8．若n S 为等比数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则36S S =_________________。

9．若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线14522=-y x 的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是_____________。

10．若点O 和点F 分别为椭圆1222=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则22||||PF OP +的最小值为___________。

11．根据如图所示的程序框图，输出结果i =___________。

12．2018年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为____________。

13．有一中多面体的饰品，其表面右6个正方形和8各正三角形组成（如图），AB 与CD 所成的角的大小是_______________。

高三数学-2018年春季高考题(上海)02018 精品

2018年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题考试时间：2018.12.21——（15:00—17:00）一、填空题（每小题4分，共48分） 1. 已知函数1)(+=x x f ，则)3(1-f = .2. 直线1=y 与直线33+=x y 的夹角为 .3. 已知点)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在第象限 .4. 直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标是 .5. 已知集合},2{R x x x A ∈≤=，}{a x x B ≥=且B A ⊆，则实数a 的取值范围是 .6. 已知z 为复数，则2>+z z 的一个充要条件是z 满足 .7. 若过两点)0,1(-A 、)2,0(B 的直线l 与圆1)()1(22=-+-a y x 相切，则a = . 8. 不等式)),0((1)20(lg cos 2π∈>x x 的解为 .9. 八名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，则该大师赛共有场比赛 .10. 若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于 . （结果用反三角函数值表示）11. 若函数],[,3)2(2b a x x a x y ∈+++=的图象关于直线1=x 对称，则=b .12. 设221)(+=xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(f f f f f +++++-+- 的值为 .二、选择题（每小题4分，共16分）13. 关于直线l b a ,,以及平面N M ,，下列命题中正确的是( ).(A) 若M b M a //,//,则b a // (B) 若a b M a ⊥,//,则M b ⊥(C) 若M b M a ⊂⊂,,且b l a l ⊥⊥,,则M l ⊥ (D) 若N a M a //,⊥,则N M ⊥14. 复数iim z 212+-=（i R m ,∈为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于( ). (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 15. 把曲线012cos =-+y x y 先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移一个单位，得到的曲线方程是( ).(A) 032sin )1(=-+-y x y (B) 032sin )1(=-+-y x y (C) 012sin )1(=+++y x y (D) 012sin )1(=+++-y x y 16. 关于函数21)32()(sin )(2+-=xx x f ，有下面四个结论： (1) )(x f 是奇函数 (2)当2003>x 时, 21)(>x f 恒成立(3) )(x f 的最大值是23 (4) )(x f 的最小值是21-其中正确结论的个数为( ).(A) 1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个三、解答题（共86分） 17. (本题满分12分)解不等式组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+>+-.213,0862x x x x18. (本题满分12分)已知函数),0,0)(sin()(R x w A wx A x f ∈>>+=φ在一个周期内的图象如图所示，求直线3=y 与函数)(x f 图象的所有交点的坐标.1C 19. (本题满分14分,第一小题满分8分，第二小题满分6分)已知三棱柱111C B A ABC -，在某个空间直角坐标系中， 1A 1B}.,0,0{},0,0,{},0,23,2{1n AA m m m ==-= 其中0,>n m C(1) 证明：三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱； A B (2) 若n m 2=，求直线1CA 与平面11ABB A 所成角的大小.20. (本题满分14分,第一小题满分7分，第二小题满分7分)已知函数.5)(,5)(31313131--+=-=x x x g x x x f(1) 证明)(x f 是奇函数；并求)(x f 的单调区间(2) 分别计算)2()2(5)4(g f f -和)3()3(5)9(g f f -的值，由此概括出涉及函数)(x f 和)(x g 的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明.21. (本题满分16分,第一小题满分4分，第二小题满分6分,第三小题满分6分)设21,F F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右两个焦点.(1) 若椭圆C 上的点)23,1(A 到21,F F 两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程；(2) 设K 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段K F 1的中点的轨迹方程；(3) 已知椭圆具有性质：若N M ,是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为PN PM K K ，时，那么PN PM K K ⋅是与点P 位置无关的定值. 试对双曲线12222=-by a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明.22. (本题满分18分,第一小题满分4分，第二小题满分6分,第三小题满分8分)在一次人才招聘会上，有B A ,两家公司分别开出了它们的工资标准：A 公司允诺第一个月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5％，设某人年初被B A ,两家公司同时录取.试问：(1) 若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？ (2) 该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不记其它因素），该人应该选择哪家公司，为什么？(3) 在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元?（精确到1元），并说明理由.答案：一、1、4 2、3π3、二4、（3,2）5、2a ≤-6、Rez>1 7、4 8、(0,)2π 9、16 10、3arctan 811、6 12、二、13、D 14、A 15、C 16、A 三、17、(1,2)(4,5) 18、2(2(1))32kk k Z πππ+--∈ 19、（2）4π20、（1）在(0,),(,0)+∞-∞上都是增函数；（2）2()5()()0f x f x g x -=。