2018年上海市春考数学试卷含解析答案
2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷
2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式||1x >的解集为__________．2．计算：31lim 2n n n →∞-=+__________． 3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．4．若复数z i i =+（i 是虚数单位），则2z z+=__________． 5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为 __________．7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11A C 的 中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．第7题图 第12题图8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．9．设a R ∈，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =__________． 10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围是__________．11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x = 的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________． 12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲 区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度 从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．下列函数中，为偶函数的是（ ）（A ）2y x -= （B ）13y x =（C ）12y x -= （D ）3y x = 14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱虽在的直线中，与直线1BC异面的直线条数为（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）415．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且|2|AB =．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤，6AB AP ⋅=，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）（A ）36 （B ）60 （C ）81 （D ）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知cos y x =．（1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值； （2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=．（1）若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标； （2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2图320．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 设0a >，函数1()12x f x a =+⋅． （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分） 若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m n m n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq -=，n T {}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．。
上海春考
2018年上海市春季高考数学试卷一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 不等式||1x >的解集为2. 计算：31lim2n n n →∞-=+3. 设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =I4. 若复数1i z =+（i 是虚数单位），则2z z+=5. 已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=6. 已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为7. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4BC =，15AA =，O 是11AC 的中点，则三棱锥11A AOB -的体积为8. 某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 （结果用数值表示）9. 设a ∈R ，若292()x x +与92()a x x+的二项展开式中的常数项相等，则a =10. 设m ∈R ，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则||z 的取值范围是11. 设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是12. 如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为 秒（精确到）二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）A. 2y x -=B. 13y x = C. 12y x -= D. 3y x =14. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 415. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件16. 已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB =u u u r，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤u u u r ，6AP AB ⋅=u u u r u u u r ，2AQ AP =-u u u r u u u r，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）A. 36B. 60C. 72D. 108三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知cos y x =.（1）若1()3f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值； （2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值.18. 已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=.（1）若点(2,1)在上，求Γ的焦点坐标；（2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值.19. 利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到°）.（图1） （图2） （图3）20. 设0a >，函数1()12xf x a =+⋅. （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--，若对任意(,0]x ∈-∞，()(0)g x g ≥恒成立，求a 取值范围.21. 若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”.（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的分隔数列；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，32n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq -=，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围.参考答案一. 填空题1. (,1)(1,)-∞-+∞U2. 33. (0,1)4. 25. 156.22143x y += 7. 5 8. 180 9. 4 10. )+∞11. 1119(,]66ππ12.二. 选择题13. A 14. C 15. D 16. B三. 解答题 17.（1；（2）32-. 18.（1），(；（219.（1）14；（2）°. 20、解析：（1）()()1,011log )(11log 112212∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=-x x x f y x y x ； （2）()()xx x x x a a a a y 2122211211⋅++=⋅+⋅⋅+=-，设02>=t x， 则()111222+++=+++=a taat at a at ty ，因为0>a ，所以a taat 2≥+，当且仅当1=t 时取等号，所以12122++≥+++a a a t a at ，即()⎥⎦⎤ ⎝⎛+∈211,0a y ； （3）()223222221122+⋅+⋅-=⋅+-⋅+=xx x x a t a a a a x g ，设t x=2，因为()0,∞-∈x ， 所以()1,0∈t ，则()att a a t g 322++-=，若a t t t a 222=⇒=，1°当12≥a 时，即20≤<a ，a t t a y 322++=单调递减，所以()+∞++∈,232a a y ， 则()⎪⎭⎫⎝⎛++-∈0,232a a a a g ，且()2302++-=a a a g ，故满足()()0g x g ≥，符合题意； 2°当120<<a 时，即2>a ，则a a a aa t t a y 322322322+=+⋅≥++=， 则()()0,322-∈a g ，因为()()02log 2min g a g x g ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，故不符合题意，舍去； 综上：(]2,0∈a 。
2018年上海春季招生统一文化考试数学(含答案)
C9k x9k
a2k x2k
C9k ak x93k ,k
3,
常数项为C93a3 a 4
10．设 m R ，若 z 是关于 x 的方程 x2 mx m2 1 0 的一个虚根，则 | z | 的取值范围
是__________．
答案：（ 3 ，+） 3
解析：
法一：设z a bi,(b 0)代入方程得：（a bi）2 +m(a bi) m2 1 0,即 a2 b2 ma m2 1 0, 2ab mb 0
（B）60
（C）81
（D）108
本题考查向量的投影，因为 AP 5,所以P点在以A为圆心半径为5的圆面上， 又AP AB 6= AB AP cos ,所以 AP cos =3,根据题意作图如下：
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分，第 17~19 题每题 14 分，20 题 16 分， 21 题 18 分）
3/7
仅供学习交流、勿做商用！
答案：A
14．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 的棱虽在的直线中，与直线 BC1
异面的直线条数为（ ）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
答案：C
15．记 Sn 为数列{an}的前 n 项和．“{an}是递增数列”是“ Sn 为递增数列”的（ ）
（A）充分非必要条件
答案： C31C53P33 180
9．设 a R
，若
x2
2 x
9
与
x
a x2
9
的二项展开式中的常数项相等，则 a
2018年上海春考数学试卷
2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每 题5分）1.不等式 lxl>1的解集为3n -1 2.计算： lim -------- =.n—厂 n 23.设集合 A={xl0cx£2}，B={xl —1cxc1}，则 AC B = .4.若复数2Z =1 • i （ i 是虚数单位），则z ■z5•已知｛a .｝是等差数列，若a 2 a^ 10，则a 3 a s a 7 =6 .已知平面上动点P 到两个定点（1,0）和（-1,0）的距离之和等于 4，则动点P 的轨迹为7•如图，在长方形 ABCD —ABQU 中，AB=3，BC =4，AA =5， O 是 A 1C 1 的中点，则三棱锥A-AOB 1的体积为 ______________10.设m • R ，若z 是关于x 的方程x 2 mx m 20的一个虚根, 是 __________ .11.设 a 0，函数 f (x) =x 2(1 -x)sin( ax)，x (0,1)，若函数 y =2x T 与 y = f (x)四辩.若其中学生{ 229.设 a R ，若 I x< x与X •刍 的二项展开式中的常数项相等, x 2则|z|的取值范围第12题图的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是 ___________ .12•如图，正方形 ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段 AD 、CB 上，若线段PQ 与圆0有公共点，则称点Q 在点P 的盲区”中•已知点P 以1. 5米/秒的速度从 A 出发向D 移动，同时，点 Q 以1米/秒的速 度 从C 出发向B 移动，则在点 P 从A 移动到D 的过程中，点 Q 在点P 的盲区中的时长约为 _____________ 秒（精确到0. 1）15.记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和.｛a n ｝是递增数列"是 S 为递增数列"的（）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件T16.已知A 、B 为平面上的两个定点， 且| AB | =2 .该平面上的动线段 PQ 的端点P 、Q ,满足| AP F 5, AP A^ 6, AQ = -2AP ,则动线段PQ 所形成图形的面积为（）(A) 36 (B) 60 (C) 81三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~佃题每题14分，20题16分,21题18分）17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）二、选择题（本大题共有 4题，满分20分，母题5分）13•下列函数中，为偶函数的是（）2(A ) y =x1(B ) y = x 3 1(C ) y=x^3(D ) y =x14•如图，在直三棱柱 ABC-ABG 的棱所在的直线中，与直线 BG异面的直线条数为（ )(A ) 1(B ) 2 (C ) 3(D ) 4(D) 108已知y =cosx .⑴若f(»3，且一[°C，求(巧)的值;(2)求函数y二f (2x)-2f(x)的最小值.18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)2X 2已知a • R，双曲线-I, -讨=1.a(1)若点(2,1)在丨上，求-的焦点坐标；(2)若a =1，直线y =kx • 1与丨相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1, 求实数k 的值.19.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)利用平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射出的光锥视为圆锥) 在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC_AB于C , AB=3米，0C =4.5米.(1)求抛物线的焦点到准线的距离;圆锥的母线与轴的夹角的大小(精确到0. 01°.(2)在图3中，已知0C平行于圆锥的母线SD , AB、DE是圆锥底面的直径，求图3设a -0,函数f(x)二20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)(1) 若a =1，求f (x)的反函数f J (x);(2) 求函数y 二f(x) ・f(-x)的最大值(用a 表示)；(3) 设 g(x) =f (x) -f (x -1).若对任意 x (-：：,0] , g(x)_g(O)恒成立，求 a 的 取值范围.21. (本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分)若｛C n ｝是递增数列，数列｛a n ｝满足：对任意n • N *，存在m • N *，使得 為一 C n< 0 ,am -C n 卅则称｛a n ｝是｛q ｝的分隔数列”(1) 设C n =2n , a n = n ，1，证明：数列 佝｝是G ｝的分隔数列”(2) 设c n = n- 4 , S n 是｛c n ｝的前n 项和，d n =务」,判断数列｛S n ｝是否是数列｛d n ｝ 的分隔数列，并说明理由；n_ ________________________________________(3)设C n =aq , T n 是｛C n ｝的前n 项和，若数列｛人｝是｛q ｝的分隔数列，求实数a 、 q 的取值范围.、填空题；0 :: ax :: a 11 二12. 4.4提示：以A 为原点建立坐标系，设时刻为t ，则P(0,1.5t),Q(20, 20-t),0岂t 乞403，化简得(8—t)x —8y+12t=020-020—t —1.5t、选择题16. BP(x, y)的轨迹为线段 x =3,-4乞y 空4 , AP 扫过的三角形面积为12,则利用相似三角形可知AQ 扫过的面积为48，因此和为60参考答案1. (」：，-1)U(1,2. 33.(0,1)4. 25. 156.2 2x y ‘ 1437. 5 8. 180 9. 411.11二 19二提示：2x -1—X = 2(1-x)sin( ax)—1 x -1 二 2(1 -x)sin( ax) = sin(ax)二 27 二 11二 7二11■:11 ■:ax , , 2-, 2二，4二，4 二，||( 6 6 6 6 6 6 x -0y —1.5t 则 I PQ :点0(10,10)到直线PQ 的距离|(8-t)10-80 创胡，化简得 3t 2 愀-128_0 .(8 -1)2 83即于『3，则0十邑旦1=心二J:4.413. A 14. C15. D提示：建系 A(0,0), B(2,0)，则三、解答题32a —,(t =2X (0,1]) 22 a t 3at因为-a<0，所以当X=0,t=1时，分母取到最小值从而分式值取到最小值,(3)a 0q _2【a A 0 ②当q .1时，G18.(1) (_ .3,0) ； (2)19.(1) 1 1 ; (2) 9.59 420.(1) 1 1 f —(x)Jog ? —.x(0 ::： X ：：： 1) ；( 2)y1 2 ( x = 0时取最值)；1 2a a 2提示：g(X )=1 y 2X「1 a 2X」-a=__X__2a 2 2X X . 3a2X21. (1)证明：存在m = 2n ，此时一 n N ,c n = 2n ：： a m = 2n 1 ：： c n2n 2 证毕(2)不是•反例:n =4时，m 无解;提示：因为｛aq n4｝为递增数列，因此a 0或者…q 10 ：：①当a 0时,0 cq v1~n N *,c n <0，因此 IH ::: T2 ：：：可=q ：：： 9C 3111因此不存在C 2 ^T m ::.C3，不合题意。
2018年上海市春考数学试卷
上海市教育考试院保留版权2018年春考数学第1页（共4页）2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名．将核对后的条形码贴在指定位置．3．所有作答必须涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．不等式||1x >的解集为．2．计算：31lim 2n n n →∞-=+．3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B = ．4．若复数1i z =+（i 是虚数单位），则2z z +=．5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为．7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4BC =，15AA =，O 是11A C 的中点，则三棱锥11A A OB -的体积为．8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为．（结果用数值表示）9．设a ∈R ，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =．10．设m ∈R ，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则||z 的取值范围是．2018年春考数学第2页（共4页）11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是．12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．下列函数中，为偶函数的是（）．(A)2y x -=(B)13y x =(C)12y x -=(D)3y x =14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（）．(A)1(B)2(C)3(D)415．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（）．(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB = ，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤，6AP AB ⋅= ，2AQ AP =- ，则动线段PQ 所形成图形的面积为（）．(A)36(B)60(C)72(D)108三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()cos f x x =．(1)若1()3f α=，且[0,π]α∈，求π3f α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．2018年春考数学第3页（共4页）18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知a ∈R ，双曲线222:1x y aΓ-=．(1)若点(2,1)在上，求Γ的焦点坐标；(2)若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．(1)求抛物线的焦点到准线的距离；(2)在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0a >，函数1()12x f x a =+⋅．(1)若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；(2)求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；(3)设()()(1)g x f x f x =--，若对任意(,0]x ∈-∞，()(0)g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．图1图3图22018年春考数学第4页（共4页）21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n ∈N ，存在*m ∈N ，使得10m n m n a c a c +--≤，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．(1)设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的分隔数列；(2)设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，32n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；(3)设1n n c aq -=，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．。
上海市春考数学试卷(含答案)教学提纲
2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（54分）1、不等式1>x 的解集为______________；2、计算：_________213lim=+-∞→n n n ；3、设集合{}20<<=x x A ，{}11<<-=x x B ，则________=B A ；4、若复数i z +=1（i 是虚数单位），则______2=+zz ； 5、已知{}n a 是等差数列，若1082=+a a ，则______753=++a a a ；6、已知平面上动点P 到两个定点()0,1和()0,1-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为_________；7、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，4=BC ，51=AA ，O 是11C A 的中点，则三棱锥11OB A A -的体积为_________；第7题图 第12题图8、某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_____________（结果用数值表示）。
9、设R a ∈，若922⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 与92⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的二项展开式中的常数项相等，则_______=a ；10、设R m ∈，若z 是关于x 的方程0122=-++m mx x 的一个虚根，则-z 的取值范围是________；11、设0>a ，函数()()1,0),sin()1(2∈-+=x ax x x x f ，若函数12-=x y 与()x f y =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________；12、如图，在正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长均为_____秒（精确到0.1）. 二．选择题（20分）13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）A 2-=x y B 31x y = C 21-=xy D 3x y =14. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 415. 若数列}{n a 的前n 项和，“}{n a 是递增数列”是“}{n S 是递增数列”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件16、已知A 、B 是平面内两个定点，且2=→AB ，该平面上的动线段PQ 的两个端点P 、Q 满足：5≤→AP ，6=⋅→→AB AP ，→→-=AP AQ 2，则动线段PQ 所围成的面积为（ ）A 、50B 、60C 、72D 、108三、解答题（14+14+14+16+18=76分） 17、已知x x f cos )(=（1）.若31)(=αf ，且],0[πα∈，求)3(πα-f 的值； （2）.求函数)(2)2(x f x f y -=的最小值；18、已知R a ∈，双曲线1:222=-Γy ax（1）.若点)1,2(在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）.若1=a ，直线1+=kx y 与Γ相交于B A ,两点，若线段AB 中点的横坐标为1，求k 的值；19.利用“平行与圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理；某公司用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，AB OC ⊥于C ，3=AB 米，5.4=OC 米.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到01.0）.20.20.设0>a ，函数xa x f 211)(⋅+=（1）.若1=a ，求)(x f 的反函数)(1x f -（2）求函数)()(x f x f y -⋅=的最大值，（用a 表示）（3）设=)(x g )1()(--x f x f ，若对任意)0()(],0,(g x g x ≥-∞∈恒成立，求a 的取值范围？21.若}{n c 是递增数列，数列}{n a 满足：对任意*,N m R n ∈∃∈，使得01≤--+n m nm c a a a ，则称}{n a 是}{n c 的“分隔数列”（1）设1,2+==n a n c n n ，证明：数列}{n a 是}{n c 的分隔数列；（2）设n n S n c ,4-=是}{n c 的前n 项和，23-=n n c d ，判断数列}{n S 是否是数列}{n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设n n n T aq c ,1-=是}{n c 的前n 项和，若数列}{n T 是}{n C 的分隔数列，求实数q a ,的取值范围？2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷参考答案：一、填空题：1、()()+∞-∞-,11, ；2、3；3、()1,0；4、2；5、15；6、13422=+y x ；7、5；8、180； 9、4；10、⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，33；11、⎥⎦⎤⎝⎛619611ππ，；12、4.4； 二、选择题：13、A ；14、C ；15、D ；16、B ； 三、解答题：17、（1）6621+；（2）23-； 18、（1）()()0,30,3-，；（2）215-； 19、（1）41；（2）59.9； 20、解析：（1）()()1,011log )(11log 112212∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=-x x x f y x y x ； （2）()()xx x x x a a a a y 2122211211⋅++=⋅+⋅⋅+=-，设02>=t x， 则()111222+++=+++=a taat at a at ty ，因为0>a ，所以a taat 2≥+，当且仅当1=t 时取等号，所以12122++≥+++a a a t a at ，即()⎥⎦⎤ ⎝⎛+∈211,0a y ； （3）()223222221122+⋅+⋅-=⋅+-⋅+=xx x x a t a a a a x g ，设t x=2，因为()0,∞-∈x ， 所以()1,0∈t ，则()att a a t g 322++-=，若a t t t a 222=⇒=，1°当12≥a 时，即20≤<a ，a t t a y 322++=单调递减，所以()+∞++∈,232a a y ， 则()⎪⎭⎫⎝⎛++-∈0,232a a a a g ，且()2302++-=a a a g ，故满足()()0g x g ≥，符合题意；2°当120<<a 时，即2>a ，则a a a aa t t a y 322322322+=+⋅≥++=，则()()0,322-∈a g ，因为()()02log 2min g a g x g ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，故不符合题意，舍去；综上：(]2,0∈a 。
2018年上海市高考数学试卷真题及答案(春考+夏考)
2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式||1x >的解集为__________． 2．计算：31lim2n n n →∞-=+__________．3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．4．若复数z i i =+（i 是虚数单位），则2z z+=__________． 5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为__________．7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11AC 的 中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．第7题图 第12题图8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．9．设a R ∈，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =__________．10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围是__________．11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________．12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲 区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．下列函数中，为偶函数的是（ ） （A ）2y x -= （B ）13y x =（C ）12y x-=（D ）3y x =14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱虽在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（ ） （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）415．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且|2|AB =．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ， 满足||5AP ≤，6AB AP ⋅=，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ） （A ）36（B ）60（C ）81（D ）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知cos y x =．（1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值； （2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=．（1）若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米． （1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2 图3 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅．（1）若1a =，求()f x 的反函数1()fx -；（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”． （1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq-=，n T {}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．参考答案一、填空题1．(,1)(1,)-∞-+∞2．33．(0,1)4．2 5．156．22143x y += 7．5 8．180 9．410．)3+∞ 11．1119(,]66ππ12．4.4二、选择题13．A14．C15．D16．B三、解答题17．（1）16+；（2）32-18．（1）(1,0)，(1,0)-；（2． 19．（1）14；（2）9.59︒． 20．（1）121()log (01)x f x x x --=<<；（2）2112max y a a =++（0x =时取最值）；（3）21．（1）证明略；（2）不是．反例：4n =时，m 无解；（3）02a q ≥>⎧⎨⎩．2018年上海市高考数学试卷2018.06一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 行列式4125的值为 2. 双曲线2214x y -=的渐近线方程为3. 在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）4. 设常数a ∈R ，函数2()log ()f x x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =5. 已知复数z 满足(1i)17i z +=-（i 是虚数单位），则||z =6. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =7. 已知11{2,1,,,1,2,3}22a ∈---，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则a =8. 在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为9. 有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随 机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 （结果用最简分数表示） 10. 设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q -=（n ∈*N ），前n 项和为n S ，若11lim 2n n n S a →∞+=，则q =11. 已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6(,)5P p 、1(,)5Q q -，若236p q pq +=，则a =12. 已知常数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A.B.C.D. 14. 已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件15. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若 阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边， 则这样的阳马的个数是（ ）A. 4B. 8C. 12D. 1616. 设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图像绕原点逆时 针旋转6π后与原图像重合，则在以下各项中，(1)f 的可能取值只能是（ ）A. B.C. D. 0三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知椭圆的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为 线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.18. 设常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+. （1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若()14f π=，求方程()1f x =-[,]ππ-上的解.19. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30030()180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟） 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式，讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义.20. 设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)F ，直线:l x t =，曲线2:8y x Γ=（0x t ≤≤，0y ≥），l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，||2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP 的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.21. 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意n ∈*N ，都有||1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”.（1）设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，n ∈*N ，判断数列{}n b 是 否与{}n a 接近，并说明理由；（2）设数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{|,1,2,3,4}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b -，32b b -，⋅⋅⋅，201200b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围.2018年上海市高考数学试卷答案一. 填空题1. 18，452118⨯-⨯=2. 2x y =±，22220442x x x y y y -=⇒=⇒=±3. 21，2721C = 4. 7，根据题意，(1)3f =，即2log (1)3a +=，∴7a = 5. 5，|17i |||5|1i |z -==+，或17i34i 1iz -==--+，∴||5z =6. 14，6732714a a a d +=+=，∴2d =，432a a d =+=，∴74714S a ==7. 1-，根据题意，a 与奇数相关，且0a <，∴1a =-8. 3-， 不妨设(0,)E t ，(0,2)F t +，∴(1,)AE t =，(2,2)BF t =-+，2(1)3AE BF t ⋅=+-， 即最小值为3- 9.15，总的情况为35C 种，符合题意的有5、2、2和5、3、1两种情况，∴概率为35215C =10. 3，011a q ==，1(1)1n n a q S q -=-，∴11(1)11lim lim (1)12n n n n n n S a q a q q q →∞→∞+-===--，∴3q = 11. 6，根据题意，61()()155f p f q +=-=，即22122p q pq ap aq +=++，去分母化简得， 2236p q a pq pq +==，∴236a =，∵0a >，∴6a =12.23+，构造单位圆如图所示，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，cos ||||OA OBAOB OA OB ⋅∠==⋅121212x x y y +=，∴3AOB π∠=，所求的112222+的几何意义即A 、B 两点 到直线10x y +-=的距离之和，再设(cos ,sin )A θθ，则(cos(),sin())33B ππθθ++，∴112222+[1cos sin 1cos()sin()]332ππθθθθ≤--+-+-+=3333[2()cos ()sin ][26sin()](26)2322222θθθϕ-+--=++≤+=+∴最大值为23+. 或根据对称性，A 、B 两点关于y x =对称时，可取最大值二. 选择题13. 选C ，255a a =⇒=，∴P 到该椭圆的两个焦点的距离之和225a =14. 选A ，11(,0)(1,)a a <⇔∈-∞+∞，∴“1a >”是“11a<” 的充分非必要条件，故选A15. 选D ，如图所示，符合条件的面有4个，每个面对应 符合条件的顶点有4个，∴阳马的个数是4416⨯= 16. 选B ，A 选项，若(1)3f =，将点(1,3)依次旋转6π后可得到函数图像上的一些点， 由图可知，当1x =±、3±、0时，对应了两个y 值，不符合函数定义，∴(1)3f ≠. 同理，结合图像分析B 、C 、D 选项，只有B 选项符合函数定义，故选B三. 解答题17.（1）4PB =，2OB =，∴23PO =，……2分 底面积4S π=，∴体积1834233V ππ=⨯⨯=……6分 （2）取OA 中点N ，∴MN ∥OB ，∴异面直线PM 与OB 所成角大小即∠PMN ，……8分1MN =，4PO =，1ON =，PO ⊥ON ，∴17PN =，……11分∴tan 17PNPMN MN∠==，即arctan 17PMN ∠=，……13分 ∴异面直线PM 与OB 所成角大小为arctan 17……14分法二：以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，……7分 ∴(0,2,0)OB =，(1,1,0)M ，(0,0,4)P ，∴(1,1,4)PM =-，……10分 ∴2cos 6||||232OB PM OB PM θ⋅===⋅⨯，∴2arccos 6θ=，……13分 ∴异面直线PM 与OB 所成角大小为2arccos . ……14分18.（1）由()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，……2分 即22sin 22cos sin 22cos a x x a x x -+=+，∴0a =；……4分 （2）2()sin2cos 11424f a a πππ=+=+=，即a =……6分∴2()22cos 112cos212sin(2)16f x x x x x x π=+-+=++=++，……8分∴()1f x =-⇒sin(2)6x π+=……10分 ∴2264x k πππ+=-+或524k ππ+，k ∈Z ，……12分在区间[,]ππ-上解得1124x π=-，524x π=-，1324x π=，1924x π=……14分19.（1）根据题意，即()40f x >，……2分当030x <≤时，()3040f x =<，不满足题意；……3分当30100x <<时，180029040x x+->，化简得2659000x x -+>， 即(20)(45)0x x -->，∴45x >或20x <（舍），∴45100x <<，……5分综上，当45100x <<时，公交群体人均通勤时间少于自驾群体人均通勤时间；……6分 （2）由题意，()%()(1%)40g x x f x x =⋅+-⋅，……7分 当030x <≤时，()%30(1%)40g x x x =⋅+-⋅=14010x -， 由一次函数图像性质可知，()g x 在030x <≤时单调递减；……9分当30100x <<时，1800()%(290)(1%)40g x x x x x =⋅+-+-⋅=2113585010x x -+， 由二次函数图像性质可知，当(30,32.5)x ∈时，()g x 单调递减，当[32.5,100)x ∈时，()g x 单调递增；……11分综上，2140,03010()11358,301005010x x g x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩，在(0,32.5)上单调递减，在[32.5,100)上单调递增，……12分说明当自驾群体范围小于32.5%时，人均通勤时间随自驾群体的增加而减少； 当自驾群体占比为32.5%时，人均通勤时间最少；当自驾群体范围超过32.5%时，人均通勤时间随自驾群体的增加而增加. ……14分20.（1）曲线2:8y x Γ=的焦点即(2,0)F ，准线为2x =-，……2分 ∴根据抛物线性质，点B 到点F 的距离22BF B d x t =+=+；……4分（2）当3t =，∴(3,0)A ，∴1AF =，∵2FQ =，∴QA =Q ，……5分∴线段OQ 的中点为3(2，∵(2,0)F ，∴直线FP 方程为2)y x =-……6分 联立28y x =，∴23(2)8x x -=，整理得，2320120x x -+=，解得23P x =，……7分∴AQP 的面积112(3)(3)223AQP P S AQ x =⋅-=-=……8分（3）存在，已知(2,0)F ，设2(,)8n P n ，0n ≥，① 若228n =，则(2,4)P ，∵矩形FPEQ 中，FP FQ ⊥，FP FQ FE +=，∴(8,0)Q ，(8,4)E ，不在曲线2:8y x Γ=上，∴此情况不成立；……10分② 若228n ≠，则PF 的斜率2816PF n k n =-， ∵矩形FPEQ 中，FP FQ ⊥，∴1PF QF k k =-，即2168QF n k n-=，∴直线QF 为216(2)8n y x n -=-，当8t =时，Q 点纵坐标2216483(82)84Q n n y n n --=-=，∴2483(8,)4n Q n -，∴2(2,)8n FP n =-，2483(6,)4n FQ n-=，……12分 ∵矩形FPEQ 中，FP FQ FE +=，设(,)E E E x y ，∴(2,)E E FE x y =-，∴2248(4,)(2,)84E E n n FP FQ x y n++=+=-，得到2248(6,)84n n E n ++，……14分 ∵要使得点E 在Γ上，∴代入28y x =，22248()8(6)48n n n +=+，解得2165n =，∵0n ≥，∴5n =，即2(,55P . ……16分21.（1）数列{}n b 与{}n a 接近，由题意，11()2n n a -=，111()12n n n b a +=+=+，……2分 ∴1111()1()1()222n n n n n b a --=+-=-，∵n ∈*N 时，110()22n <≤，∴111()122n ≤-< 满足对任意n ∈*N ，||1n n b a -≤，∴数列{}n b 与{}n a 接近；……4分（2）∵11a =，22a =，34a =，48a =，又{}n b 与{}n a 接近，∴||1n n b a -≤， ∴[1,1]n n n b a a ∈-+，则1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，……6分 ∴当12[1,2]b b =∈时，M 中有12()b b 、3b 、4b 三个元素； 或233b b ==时，M 中有1b 、23()b b 、4b 三个元素； 当12b b ≠，23b b ≠时，M 中有1b 、2b 、3b 、4b 四个元素； ∴M 中元素的个数m 为3或4；……8分（3）∵||1n n b a -≤，∴[1,1]n n n b a a ∈-+，111[1,1]n n n b a a +++∈-+，∴111[2,2]n n n n n n b b a a a a +++-∈---+，即1[2,2]n n b b d d +-∈-+，n ∈*N ，……10分 ① 若2d ≤-，则10n n b b +-≤恒成立，不满足“至少有100个为正数”，不符；……12分② 若2d >-，令(1)nn n b a =+-，n ∈*N ，∴|||(1)|1n n n b a -=-=，……14分满足||1n n b a -≤，数列{}n b 与{}n a 接近，此时12(1)n n n b b d +-=--， 当n 为奇数时，12(1)20n n n b b d d +-=--=+>，……16分 ∴在21b b -、32b b -、⋅⋅⋅、201200b b -这200个数中， 至少存在21b b -、43b b -、⋅⋅⋅、200199b b -这100个数为正，故2d >-时，存在数列(1)nn n b a =+-()n ∈*N 满足题意，∴d 的取值范围即2d >-. ……18分。
2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷
2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式||1x >的解集为__________．2．计算：31lim 2n n n →∞-=+__________． 3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．4．若复数z i i =+（i 是虚数单位），则2z z+=__________． 5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为 __________．7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11AC 的 中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．第7题图 第12题图8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．9．设a R ∈，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =__________．10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围是__________．11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x = 的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________．12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点 P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲 区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度 从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．下列函数中，为偶函数的是（ ）（A ）2y x -=（B ）13y x = （C ）12y x -= （D ）3y x =14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱虽在的直线中，与直线1BC异面的直线条数为（ ）（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）415．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且|2|AB =．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ， 满足||5AP ≤，6AB AP ⋅=，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）（A ）36（B ）60 （C ）81 （D ）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知cos y x =．（1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值；（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=． （1）若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC=米．AB=米， 4.5⊥于C，3OC是抛物线的对称轴，OC AB（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2 图320．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 设0a >，函数1()12x f x a =+⋅． （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分） 若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m n m n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”． （1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4n c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n n d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq -=，n T {}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．。
最新上海市春考数学试卷(含答案)
2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（54分）1、不等式1>x 的解集为______________；2、计算：_________213lim=+-∞→n n n ；3、设集合{}20<<=x x A ，{}11<<-=x x B ，则________=B A ；4、若复数i z +=1（i 是虚数单位），则______2=+zz ； 5、已知{}n a 是等差数列，若1082=+a a ，则______753=++a a a ；6、已知平面上动点P 到两个定点()0,1和()0,1-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为_________；7、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，4=BC ，51=AA ，O 是11C A 的中点，则三棱锥11OB A A -的体积为_________；第7题图 第12题图8、某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_____________（结果用数值表示）。
9、设R a ∈，若922⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 与92⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的二项展开式中的常数项相等，则_______=a ；10、设R m ∈，若z 是关于x 的方程0122=-++m mx x 的一个虚根，则-z 的取值范围是________；11、设0>a ，函数()()1,0),sin()1(2∈-+=x ax x x x f ，若函数12-=x y 与()x f y =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________；12、如图，在正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长均为_____秒（精确到0.1）. 二．选择题（20分）13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）A 2-=x y B 31x y = C 21-=xy D 3x y =14. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 415. 若数列}{n a 的前n 项和，“}{n a 是递增数列”是“}{n S 是递增数列”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件16、已知A 、B 是平面内两个定点，且2=→AB ，该平面上的动线段PQ 的两个端点P 、Q 满足：5≤→AP ，6=⋅→→AB AP ，→→-=AP AQ 2，则动线段PQ 所围成的面积为（ ）A 、50B 、60C 、72D 、108三、解答题（14+14+14+16+18=76分） 17、已知x x f cos )(=（1）.若31)(=αf ，且],0[πα∈，求)3(πα-f 的值； （2）.求函数)(2)2(x f x f y -=的最小值；18、已知R a ∈，双曲线1:222=-Γy ax（1）.若点)1,2(在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）.若1=a ，直线1+=kx y 与Γ相交于B A ,两点，若线段AB 中点的横坐标为1，求k 的值；19.利用“平行与圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理；某公司用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，AB OC ⊥于C ，3=AB 米，5.4=OC 米.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到01.0）.20.设0>a ，函数xa x f 211)(⋅+=（1）.若1=a ，求)(x f 的反函数)(1x f -（2）求函数)()(x f x f y -⋅=的最大值，（用a 表示）（3）设=)(x g )1()(--x f x f ，若对任意)0()(],0,(g x g x ≥-∞∈恒成立，求a 的取值范围？21.若}{n c 是递增数列，数列}{n a 满足：对任意*,N m R n ∈∃∈，使得01≤--+n m nm c a a a ，则称}{n a 是}{n c 的“分隔数列”（1）设1,2+==n a n c n n ，证明：数列}{n a 是}{n c 的分隔数列；（2）设n n S n c ,4-=是}{n c 的前n 项和，23-=n n c d ，判断数列}{n S 是否是数列}{n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设n n n T aq c ,1-=是}{n c 的前n 项和，若数列}{n T 是}{n C 的分隔数列，求实数q a ,的取值范围？2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷参考答案：一、填空题：1、()()+∞-∞-,11, ；2、3；3、()1,0；4、2；5、15；6、13422=+y x ；7、5；8、180； 9、4；10、⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，33；11、⎥⎦⎤⎝⎛619611ππ，；12、4.4； 二、选择题：13、A ；14、C ；15、D ；16、B ； 三、解答题：17、（1）6621+；（2）23-； 18、（1）()()0,30,3-，；（2）215-； 19、（1）41；（2）59.9； 20、解析：（1）()()1,011log )(11log 112212∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=-x x x f y x y x ； （2）()()xx x x x a a a a y 2122211211⋅++=⋅+⋅⋅+=-，设02>=t x， 则()111222+++=+++=a taat at a at ty ，因为0>a ，所以a taat 2≥+，当且仅当1=t 时取等号，所以12122++≥+++a a a t a at ，即()⎥⎦⎤ ⎝⎛+∈211,0a y ； （3）()223222221122+⋅+⋅-=⋅+-⋅+=xx x x a t a a a a x g ，设t x=2，因为()0,∞-∈x ， 所以()1,0∈t ，则()att a a t g 322++-=，若a t t t a 222=⇒=，1°当12≥a 时，即20≤<a ，a t t a y 322++=单调递减，所以()+∞++∈,232a a y ， 则()⎪⎭⎫⎝⎛++-∈0,232a a a a g ，且()2302++-=a a a g ，故满足()()0g x g ≥，符合题意；2°当120<<a 时，即2>a ，则a a a aa t t a y 322322322+=+⋅≥++=， 则()()0,322-∈a g ，因为()()02log 2ming a g x g ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，故不符合题意，舍去； 综上：(]2,0∈a 。
2018年上海春考数学试题有答案详解
2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式||1x >的解集为__________． 2．计算：31lim 2n n n →∞-=+__________．3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________．4．若复数z i i =+（i 是虚数单位），则2z z+=__________． 5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为__________．7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11A C 的中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．第7题图 第12题图 8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．9．设a R ∈，若922x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项相等，则a =__________．10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210xmx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围是__________．11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________．12．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度 从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．下列函数中，为偶函数的是（ ） （A ）2y x-= （B ）13y x =（C ）12y x-=（D ）3y x =14．如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱虽在的直线中，与直线1BC异面的直线条数为（ ） （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）415．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件16．已知A 、B 为平面上的两个定点，且|2|AB =．该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤，6AB AP ⋅=，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）（A ）36（B ）60（C ）81（D ）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知cos y x =．（1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值；（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知a R ∈，双曲线222:1x y aΓ-=．（1）若点(2,1)在Γ上，求Γ的焦点坐标；（2）若1a =，直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2 图3 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 设0a>，函数1()12xf x a =+⋅．（1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞，)(()0g x g ≥恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；（2）设4nc n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n nd c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n nc aq -=，n T {}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围．参考答案一、填空题1．(,1)(1,)-∞-+∞2．33．(0,1)4．25．156．22143x y +=7．5 8．180 9．410．)+∞ 11．1119(,]66ππ12．4.4二、选择题13．A14．C15．D16．B三、解答题17．（1）16+；（2）32-18．（1）)(；（2． 19．（1）14；（2）9.59︒． 20．（1）121()log (01)x f x x x --=<<；（2）2112max y a a =++（0x =时取最值）；（3）21．（1）证明略；（2）不是．反例：4n=时，m 无解；（3）02a q ≥>⎧⎨⎩．参考答案一、填空题1．(,1)(1,)-∞-+∞2．33．(0,1)4．25．156．22143x y +=7．5 8．180 9．410．)+∞ 11．1119(,]66ππ提示：1212(1)sin()12(1)sin()sin()2x x x ax x x ax ax --=-⇒-=-⇒=-711711711,,2,2,4,4,666666ax ππππππππππ∴=++++0ax a << 117266a πππ∴<≤+ 12．4.4 提示：以A 为原点建立坐标系，设时刻为t ，则40(0,1.5),(20,20),03P t Q t t -≤≤则0 1.5:20020 1.5PQx y tl t t--=---，化简得(8)8120t x y t --+= 点(10,10)O 到直线PQ1≤，化简得23161280t t +-≤即8833t ---+≤≤880 4.433t t -+-+≤≤⇒∆=≈ 二、选择题13．A14．C15．D16．B 提示：建系(0,0),(2,0)A B ，则(,)P x y 的轨迹为线段3,44x y =-≤≤，AP 扫过的三角形面积为12，则利用相似三角形可知AQ 扫过的面积为48，因此和为60三、解答题17．（1；（2）32-18．（1）(；（2． 19．（1）14；（2）9.59︒． 20．（1）121()log (01)x f x x x --=<<；（2）2112max y a a =++（0x =时取最值）； （3）提示：1211()21212232x x x xa g x a a a a --=-=+⋅+⋅⋅++2,(2(0,1])23x at a t at-=∈⋅++ 因为-a <0，所以当x =0,t =1时，分母取到最小值从而分式值取到最小值，此时2210a t t a t =⇒=≥⇒<≤21．（1）证明：存在2m n =,此时*1,22122n m n n c n a n c n +∀∈=<=+<=+N 证毕 （2）不是．反例：4n=时，m 无解；（3）02a q ≥>⎧⎨⎩．提示：因为1{}n aq -为递增数列，因此01a q >⎧⎨>⎩或者001a q <⎧⎨<<⎩①当001a q <⎧⎨<<⎩时，*,0n n c ∈<N ，因此321123T T T c c c <<<=<<<因此不存在23m c T c ≤<，不合题意。