2016上海春考数学试卷(含答案解析)详解

合集下载

2016年高考数学上海卷理数(解析版)

已知 a∈R,函数 f(x)=log2 1 + .
(1)当 a=5 时,解不等式 f(x)>0; (2)若关于 x 的方程 f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0 的解集中恰好有一个元素,求 a 的取值范围;
(3)设
a>0,若对任意
t∈
1 2
,1
,函数
f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过
13.(2016 上海,理 13)设 a,b∈R,c∈[0,2π),若对任意实数 x 都有 2sin
3
-
π 3
=asin(bx+c),则满足条件的
有序实数组(a,b,c)的组数为
.
答案 4 a=±2,b=±3,当 a,b 确定时,c 唯一,故有 4 种组合.
14.
(2016 上海,理 14)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,O 为正八边形 A1A2…An 的中心,A(1,0),任取不同的
3
(2016 上海,理 16)下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是( ) A.ρ=6+5cos θ B.ρ=6+5sin θ C.ρ=6-5cos θ D.ρ=6-5sin θ
答案 D 依次取θ=0,π2,π,32π,
结合图形可知只有ρ=6-5sin θ满足,选 D. 17.(2016 上海,理 17)已知无穷等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,且 lim Sn=S,下列条件中,使得
当 a1<0 时,qn<12,从而 q2<12,选 B.
18.(2016 上海,理 18)设 f(x)、g(x)、h(x)是定义域为 R 的三个函数,对于命题:①若 f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、 g(x)+h(x)均为增函数,则 f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数;②若 f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以 T 为周期的函数,则 f(x)、g(x)、h(x)均是以 T 为周期的函数,下列判断正确的是( ) A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题,②为假命题 D.①为假命题,②为真命题答案 D 因为 f(x)=

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,参考版解析)

高考提醒一轮看功夫，二轮看水平，三轮看士气梳理考纲，进一步明确高考考什么！梳理高考题，进一步明确怎么考！梳理教材和笔记，进一步明确重难点！梳理错题本，进一步明确薄弱点！抓住中低档试题。

既可以突出重点又可以提高复习信心，效率和效益也会双丰收。

少做、不做难题，努力避免“心理饱和”现象的加剧。

保持平常心，顺其自然2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________25【解析】22112521d +==+4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米）【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3，则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】2【解析】32BD =12223DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r r C x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC V 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =则BP BA ⋅u u u r u u u r的取值范围是____________【答案】[0,1+【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =u u u r , (cos ,sin 1)BP αα=+u u u rπcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈+u u u r u u u r13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =；若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A L 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=u u u r u u u r u u u u r r，则点P 落在第一象限的概率是_______________ 【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )A. 65cos ρθ=+B. 65sin ρθ=+C. 65cos ρθ=-D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q -=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ) A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩ ②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则¼111113AO A B B π∠==∴111O A B V 为正三角形∴1113O A B S =V ∴1111111133C O A B O A B V OO S -=⋅=V(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角） 111BB AA == 连,,BC BO OC»¼113AB A B π==, »23AC π= ∴»3BCπ=∴3BOC π∠=∴BOC V 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016春季高考数学真题

xx2016年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项：1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分。

满分120分，考试时间120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01。

卷一（选择题，共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）1.已知集合，，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为,,所以.2.已知集合A，B，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】又，“”是“”的必要不充分条件.3.不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，即不等式的解集为.4.若奇函数在上的图像如图所示，则该函数在上的图像可能是（）第4题图GD21GD22GD23GD24GD25【答案】D【解析】因为已知是奇函数，根据奇函数的性质是关于原点对称，根据选项只能选D.5.若实数a>0，则下列等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】Axx，Bxx，Cxx，故D选项正确.6.已知数列是等比数列，其中，，则该数列的公比q等于（）A.B.4D.8【答案】 B【解析】，，，则q=2.7.某职业学校的一个数学兴趣小组有4名男生和3名女生，若从这7名学生中任选3名参加数学竞赛，要求既有男生又有女生，则不同选法的种数是（）A.60B.30 D.10【答案】C【解析】由题知，有两种选法①两名男生一名女生种，②两名女生一名男生种，所以一共有种.8.下列说法正确的是( )A.函数的图像经过点（a,b）B.函数（a>0且a≠1）的图像经过点（1,0）C.函数（a>0且a≠1）的图像经过点（0,1）D.函数（）的图像经过点（1,1）【答案】D【解析】Axx，函数的图像经过点（-a,b）；Bxx，函数（a>0且a≠1）的图像经过点（0,1）；Cxx，函数（a>0且a≠1）的图像经过点（1,0）；Dxx，把点代入，可知图象必经过点.9.如图所示，在平行四边形OABCxx，点A（1，－2），C（3,1），则向量的坐标是（）第9题图GD26A.（4，－1）B.（4,1）C.（1，－4）D.（1,4）【答案】A【解析】A（1，－2），C（3,1），，又，.10.过点P（1,2）与圆相切的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】将点代入圆方程，可知点在圆上，又因为将点代入C,D等式不成立，可排除C,D，又因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，又圆心为（0,0），半径为，即圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，则只有B符合.11.表中数据是我国各种能源消费量占当年能源消费总量的百分率，由表可知，从2011年到2014年，消费量占比增长率最大的能源是（）A.天然气B.核能C.水利发电D.再生能源表我国各种能源消费的百分率【答案】D【解析】根据表1可知，从2011年到2014年，天然气：，核能：，水力发电：，再生能源：，则消费量占比增长率最大的能源是再生能源.12.若角的终边过点，则角的终边与圆的交点坐标是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，所以xx为，设交点为，又因为圆的半径为，因此有，，又因为终边在第二象限，所以选A.13.关于x，y的方程和在同一坐标系中的图象大致是（）GD27GD28GD29GD30【答案】D【解析】当的图象为椭圆时，，则的图象单调递增，且与y轴的截距大于0，A、B均不符；当的图象为双曲线时，当时，双曲线的焦点在y轴上，的图象单调递减，且与y轴的截距大于0；当时，双曲线的焦点在x轴上，的图象单调递增，且与y轴的截距小于0，综上所述，选项D正确.14.已知的二项xx有7项，则xx中二项式系数最大的项的系数是（）A.－280B.－.160D.560【答案】B【解析】的二项xx有7项，，，又xx中二项式系数最大的项为第4项，则，则其系数为.15.若有7名同学排成一排照相，恰好甲、乙两名同学相邻，并且丙、xx两名同学不相邻的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】先利用捆绑法将甲乙进行捆绑并全排列，有种排列方法，将甲乙作为一个整体，除去丙丁将其他人进行全排列，有种排列方法，再利用插空法将丙丁进行插空，有种排列方法；总共有种排列方法，所以概率为.16.函数在一个周期内的图像可能是（）GD31GD34GD32GD33【答案】A【解析】B选项中当，C选项中当时，，D选项中，当.17.在xx，若,则等于（）A.B.C.－2D.2【答案】C【解析】因为，所以是等边三角形，所以各个角均为，.18.如图所示，若满足约束条件则目标函数的最大值是（）第18题图 GD35A.7B.3D.1【答案】B【解析】由图可知，目标函数在点（2,2）处取得最大值，即.19.已知表示平面，表示直线，下列结论正确的是（）A.若则B.若C.若D.若16.D【解析】A,B,C选项,直线l与m相交、平行、异面都有可能；D选项，∵，∴存在一个平面，使得且，∵∴，.20.已知椭圆的焦点分别是,点在椭圆上，如果,那么点到轴的距离是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】椭圆，即，设点的坐标为，又，点又在以原点为圆心，半径为2的圆上，圆方程为，即①，又②，联立①②得，点到轴的距离是.卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.已知，则的值是.【答案】【解析】分式上下同除以得，把代入得原式=2.22.若表面积为6的正方体内接于球，则该球的表面积等于.【答案】【解析】设正方体的边长为，，则边长为，所以正方体上下两个面的斜线长为，则圆的直径为，.23.如果抛物线上的点M到y轴的距离是3，那么点M到该抛物线焦点F的距离是.【答案】【解析】因为抛物线上的点M到y轴的距离是3，所以点的横坐标为3，再将代入得到，所以点，又因为，准线，则点M到该抛物线焦点F的距离是5.24.某职业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有350名，若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.32.现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出名.【答案】33【解析】恰好选到二年级学生的概率是0.32，恰好选到一年级学生的概率是0.35，则选到三年级学生的概率是1-0.35-0.32=0.33，那么需要从三年级抽取100×0.33=33人.25.设命题p；函数在上是减函数；命题q：.若是真命题，是假命题，则实数a的取值范围是.【答案】或【解析】是真命题，是假命题，pq同为真或pq同为假，当pq同为真时，函数在上是减函数，函数的对称轴为，即，，即xx成立，设，即，则；同理，当pq同为假时，或，综上所述得，实数a的取值范围为或.三、解答题（本大题5小题，共40分）26.（本小题6分）已知某xx2015年底的人口总数为200万，假设此后该xx人口的年增长率为1%（不考虑其他因素）.（1）若经过x年该xx人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；（2）如果该xx人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年（精确到1年）？【解】（1）由题意可得；（2）如果该xx人口总数达到210万，则，那么至少需要经过5年.27.（本小题8分）已知数列的前n项和.求：（1）第二项；（2）通项公式.【解】（1）因为，所以，，，所以.（ 2 ），.28.（本小题8分）如图所示，已知四边形ABCD是圆柱的轴截面，是下底面圆周上不与点重合的点.（1）求证：平面DMB平面DAM；（2）若是等腰三角形，求该圆柱与三棱锥D-AMB体积的比值.GD36第28题图【解】（1）∵是下底面圆周上不与点重合的点,∴在一个平面上，又∵四边形是圆柱的轴截面，∴边过圆心，平面,,根据定理以直径为斜边的三角形为直角三角形，所以,∵平面,且,∴平面,又∵平面，∴平面平面.（2）设底面圆的半径为，圆柱的高为，又∵是等腰直角三角形，所以两个直角边长为，所以，所以，所以.29.（本小题8分）如图所示，要测量xx两岸P，Q两点之间的距离，在与点P同侧的岸边选取了A,B两点（A,B,P,Q四点在同一平面内），并测得AP=，BP=，，，.试求P，Q两点之间的距离.SH17第29题图【解】连接AB，又，AP=，BP=，则，则，又，，，在xx，由正弦定理得，，即，在中，由余弦定理得，，，P，Q两点之间的距离为米.30.（本小题10分）如图所示，已知双曲线的中心在坐标原点O，焦点分别是，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2.（1）求该双曲线的标准方程、离心率及渐近线方程；（2）若直线l经过双曲线的右焦点，并与双曲线交于M,N两点，向量是直线l的法向量，点P是双曲线左支上的一个动点.求面积的最小值.GD39第30题图【解】（1）根据题意设双曲线的标准方程为，双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2，，即，则该双曲线的标准方程为，离心率，渐近线方程为；（2）向量是直线l的法向量，直线的斜率，又直线l经过双曲线的右焦点，即直线l的方程为，设，又双曲线的方程为，即，，则，要使面积的最小值，即点P到直线l的距离最小，则点P坐标为，，则.。

2016上海春考数学试卷(含答案解析)详解

2016年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．复数3+4i（i为虚数单位）的实部是．2．若log2（x+1）=3，则x=．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．4．函数的定义域为．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．6．函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=．7．在△ABC中，若A=30°，B=45°，，则AC=．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为（结果用数值表示）．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为．10．若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为．二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．半径为1的球的表面积为（）A．πB．C．2πD．4π15．在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（）A．2 B．6 C．15 D．2016．幂函数y=x﹣2的大致图象是（）A．B．C． D．17．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．2 C．（1，0）D．（0，2）18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同21．设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件22．下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若x1y2﹣x2y1=0，则；②若x1x2+y1y2=0，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立C．①成立，②成立D．①不成立，②不成立24．对于椭圆．若点（x0，y0）满足．则称该点在椭圆C（a，b）内，在平面直角坐标系中，若点A在过点（2，1）的任意椭圆C（a，b）内或椭圆C（a，b）上，则满足条件的点A构成的图形为（）A．三角形及其内部B．矩形及其内部C．圆及其内部D．椭圆及其内部三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC1与AC所成的角的大小．26．已知函数，求f（x）的最小正周期及最大值，并指出f（x）取得最大值时x的值．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．已知灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离．28．已知数列{a n}是公差为2的等差数列．（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；（2）设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即对任意n∈N*成立）．={x|f（x）＞g（x）}．29．对于函数f（x），g（x），记集合D f＞g；（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求D f＞g（2）设f1（x）=x﹣1，，h（x）=0，如果．求实数a的取值范围．二卷一.选择题：30．若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A．0 B．C．πD．2π31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是（）A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆32．已知函数y=f（x）的图象是折线ABCDE，如图，其中A（1，2），B（2，1），C（3，2），D（4，1），E（5，2），若直线y=kx+b与y=f（x）的图象恰有四个不同的公共点，则k 的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．C．（0，1]D．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为．34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为．35．小明用数列{a n}记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1（1≤k≤31），他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，若对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，则称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”．（1）设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，若{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列”求所有可能的有序数组（c1，c2，c3）；（2）已知数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”，求t的值所构成的集合．2016年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3．【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3，故答案为：3．2．若log2（x+1）=3，则x=7．【考点】对数的运算性质；函数的零点．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：log2（x+1）=3，可得x+1=8，解得x=7．故答案为：7．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．【解答】解：∵直线y=x﹣1的斜率为1，故倾斜角为，又∵直线y=2的倾斜角为0，故直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为，故答案为：．4．函数的定义域为[2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可．【解答】解：由x﹣2≥0得，x≥2．∴原函数的定义域为[2，+∞）．故答案为[2，+∞）．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为8．【考点】高阶矩阵．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第1行第3列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j，求出其表达式的值即可．【解答】解：元素5的代数余子式为：（﹣1）1+3||=（4×2+1×0）=8．∴元素5的代数余子式的值为8．故答案为：8．6．函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=1．【考点】反函数．【分析】由于函数的反函数的图象经过点（2，1），可得函数的图象经过点（1，2），即可得出．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点（2，1），∴函数的图象经过点（1，2），∴2=+a，解得a=1．故答案为：1．7．在△ABC中，若A=30°，B=45°，，则AC=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：∵A=30°，B=45°，，∴由正弦定理，可得：AC===2．故答案为：2．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为24（结果用数值表示）．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．【解答】解：4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为A44=24种，故答案为：24．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】{a n}的各项的和=，即可得出．【解答】解：{a n}的各项的和为：==3．故答案为：3．10．若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=﹣4．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则2﹣i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2﹣i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2+i+（2﹣i）=﹣a，解得a=﹣4．则a=﹣4．故答案为：﹣4．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是[1，2]．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的性质得出，求解即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴对称轴x=1，∴f（1）=0，f（2）=1，f（0）=1，∵f（x）=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为1，最小值为0，∴，∴1≤m≤2，故答案为：1≤m≤2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为4．【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法则．【分析】本题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据AB=2，得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到本题答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x′，y′）．∵x′=，y′=，∴=（x1+x2，y1+y2）=2，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0，∴（x﹣3）2+y2=4，圆心C（3，0），半径CA=2．∵点A，B在圆C上，AB=2，∴CA2﹣CM2=（AB）2，即CM=1．点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．∴OM≥OC﹣r=3﹣1=2．∴||≥2，∴≥4，∴的最小值为4．故答案为：4．二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择B．14．半径为1的球的表面积为（）A．πB．C．2πD．4π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用球的表面积公式S=4πR2解答即可求得答案．【解答】解：半径为1的球的表面积为4π×12=4π，故选：D．15．在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（）A．2 B．6 C．15 D．20【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．【解答】解：（1+x）6的二项展开式中，通项公式为：T r+1=•16﹣r•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为：=15．故选：C．16．幂函数y=x﹣2的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．【解答】解：幂函数y=x﹣2=，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），可排除A，B；值域为（0，+∞）可排除D，故选：C．17．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．2 C．（1，0）D．（0，2）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的投影公式计算．【解答】解：=1，=1，||=，∴向量在向量方向上的投影=1．故选：A．18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由已知中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线l与平面α平行，直线m在平面α上，∴直线l与直线m异面或平行，即直线l与直线m没有公共点，故选：C．19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），∴从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2（k+1），∴1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）．故选：D．20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，可得焦点为（±，0），即为（±2，0），渐近线方程为y=±x；的焦点在y轴上，可得焦点为（0，±2），渐近线方程为y=±2x．可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．故选：B．21．设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2．即可判断出结论．【解答】解：函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2．∴“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件．故选：B．22．下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于A：a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，故A恒成立；对于B：a2+b2+2ab=（a+b）2≥0，故B恒成立；对于C：﹣ab=≥0，故C恒成立；D不恒成立；故选：D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若x1y2﹣x2y1=0，则；②若x1x2+y1y2=0，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立C．①成立，②成立D．①不成立，②不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①假设存在实数λ使得=，则=λ，由于向量与既不平行也不垂直，可得x1=λx2，y1=λy2，即可判断出结论．②若x1x2+y1y2=0，则=（）•=x1x2+y1y2+（x2y1+x1y2）=（x2y1+x1y2），无法得到=0，因此不一定正确．【解答】解：①假设存在实数λ使得=，则=λ，∵向量与既不平行也不垂直，∴x1=λx2，y1=λy2，满足x1y2﹣x2y1=0，因此．②若x1x2+y1y2=0，则=（）•=x 1x 2+y 1y 2+（x 2y 1+x 1y 2）=（x 2y 1+x 1y 2），无法得到=0，因此不一定正确．故选：A ．24．对于椭圆．若点（x 0，y 0）满足．则称该点在椭圆C （a ，b ）内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则满足条件的点A 构成的图形为（） A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部【考点】椭圆的简单性质．【分析】点A （x 0，y 0）在过点P （2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，可得=1，+≤1．由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，即可得出．【解答】解：设点A （x 0，y 0）在过点P （2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则=1，+≤1．∴+≤=1，由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，可知：满足条件的点A 构成的图形为矩形PBCD 及其内部．故选：B ．三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC 所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积求出高，由A1C1与AC平行，得∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BC1与AC所成的角的大小．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，∴，解得h=4，∵A1C1与AC平行，∴∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，在△A1BC1中，A1C1=3，BC1=BA1=5，∴cos∠BC1A1==．∴∠BC1A1=arccos．∴异面直线BC1与AC所成的角的大小为arccos．26．已知函数，求f（x）的最小正周期及最大值，并指出f（x）取得最大值时x的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．【解答】解：∵，∴函数的周期为T=2π，函数的最大值为2，且函数取得最大值时，x+=2kπ+，即x=2kπ+，k∈Z．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．已知灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的标准方程y2=2px（p＞0），点（10，12）代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图所示：则：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），点（10，12）在抛物线y2=2px上，∴144=2p×10．∴=3.6．∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm．28．已知数列{a n}是公差为2的等差数列．（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；（2）设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即对任意n∈N*成立）．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值．=2n﹣19+2n，由此能（2）由已知利用累加法能求出b n=2﹣（）n﹣1．从而能求出c n﹣c n﹣1求出数列{c n}的最小项．【解答】解：（1）∵数列{a n}是公差为2的等差数列．a1，a3，a4成等比数列，∴．解得d=2，a1=﹣8）（2）b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1=1+==2﹣（）n﹣1．，，=2n ﹣19+2n由题意n ≥9，上式大于零，即c 9＜c 10＜…＜c n ，进一步，2n+2n 是关于n 的增函数， ∵2×4+24=24＞19，2×3+23=14＜19，∴c 1＞c 2＞c 3＞c 4＜c 5＜…＜c 9＜c 10＜…＜c n ，∴．29．对于函数f （x ），g （x ），记集合D f ＞g ={x|f （x ）＞g （x ）}．（1）设f （x ）=2|x|，g （x ）=x+3，求D f ＞g ；（2）设f 1（x ）=x ﹣1，，h （x ）=0，如果．求实数a 的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法．【分析】（1）直接根据新定义解不等式即可，（2）方法一：由题意可得则在R 上恒成立，分类讨论，即可求出a 的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出a 的取值范围．【解答】解：（1）由2|x|＞x+3，得D f ＞g ={x|x ＜﹣1或x ＞3}；（2）方法一：，，由，则在R 上恒成立，令，a ＞﹣t 2﹣t ，，∴a ≥0时成立．以下只讨论a ＜0的情况对于，=t ＞0，t 2+t+a ＞0，解得t ＜或t ＞，（a ＜0）又t ＞0，所以，∴=综上所述：方法二（2），，由a≥0．显然恒成立，即x∈Ra＜0时，，在x≤1上恒成立令，，所以，综上所述：．二卷一.选择题：30．若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A．0 B．C．πD．2π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即sin（﹣x+φ）=sin（x+φ），∴（﹣x+φ）=x+φ+2kπ或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ，k∈Z，当（﹣x+φ）=x+φ+2kπ时，可得x=﹣kπ，不满足函数定义；当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+，k∈Z，结合选项可得B为正确答案．故选：B．31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是（）A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi，得到|x+yi﹣1|==4，从而求出其运动轨迹．【解答】解：设z=x+yi，则|x+yi﹣1|==4，∴（x﹣1）2+y2=16，∴运动轨迹是圆，故选：D．32．已知函数y=f（x）的图象是折线ABCDE，如图，其中A（1，2），B（2，1），C（3，2），D（4，1），E（5，2），若直线y=kx+b与y=f（x）的图象恰有四个不同的公共点，则k 的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．C．（0，1]D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．【解答】解；当k=0，1＜b＜2时，显然直线y=b与f（x）图象交于四点，故k可以取0，排除A，C；作直线BE，则k BE=，直线BE与f（x）图象交于三点，平行移动直线BD可发现直线与f（x）图象最多交于三点，即直线y=与f（x）图象最多交于三点，∴k≠．排除D．故选B．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为5．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆中，a=5，∴椭圆的长半轴长a=5．故答案为：5．34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为50π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，∴圆锥的底面半径为5，∴圆锥的侧面积为π×5×10=50π．故答案为：50π．35．小明用数列{a n}记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1（1≤k≤31），他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为28．【考点】数列的应用．【分析】由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，根据a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，即可得出结论．【解答】解：由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，∴该月气象台预报准确的总天数为28．故答案为：28．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，若对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，则称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”．（1）设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，若{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列”求所有可能的有序数组（c1，c2，c3）；（2）已知数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”，求t的值所构成的集合．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（1）利用“并数列”的定义即可得出．（2）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，公差d，c n，通过分类讨论即可得出．【解答】解：（1）（1，2，3），（1，2，5），（1，3，3），（1，3，5）；（2）a n=t+n﹣1，设{c n}的前10项和为T n，T10=﹣30，T20=﹣260，得d=﹣2，c1=6，所以c n=8﹣2n；c k=a k或c k=b k．，∴k=1，t=6；或k=2，t=3，所以k≥3．k∈N*时，c k=b k，∵数列{b n}唯一，所以只要b1，b2唯一确定即可．显然，t=6，或t=3时，b1，b2不唯一，．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(上海卷,含解析)

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（上海卷，含解析）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______.【答案】)4,2(【解析】试题分析：421311|3|<<⇔<-<-⇔<-x x x ，故不等式1|3|<-x 的解集为)4,2(.考点：绝对值不等式的基本解法.2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________【答案】-3【解析】试题分析：32i23,Imz=-3.iz i +==-考点：1.复数的运算；2.复数的概念.3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d ===考点：主要考查两平行线间距离公式.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）【答案】1.76【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76.考点：主要考查了中位数的概念.5、若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______.【答案】3±【解析】试题分析：)sin(16)(2ϕ++=x a x f ，其中4tan a=ϕ，故函数)(x f 的最大值为216a +，由已知，5162=+a ，解得3±=a .考点：三角函数sin()y A x ωϕ=+ 的图象和性质.6、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数【答案】2log (x 1)-考点：反函数的概念以及指对数式的转化.7、若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-【解析】试题分析：由不等式组画出可行域，如图，令y x z 2-=，当直线z x y 2121-=经过点)1,0(P 时，z 取得最大值，且为2-..x 在区间[]π2,0上的解为___________ 【解析】试题分析：化简3sinx 1cos 2x =+得：23sinx 22sin x =-，所以22sin x 3sinx 20+-=，解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去），所以在区间[0，2π]上的解为566ππA .考点：二倍角公式及三角函数求值.9、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________【答案】112【解析】试题分析：由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为n2，由题意得n 2256=，所以n 8=，考点：中二项式的通项为84r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C xx --+=-=-，求常数项则令84r 033-=，所以r 2=，所以3T 112=.考点：二项式定理.10、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________【解析】试题分析：利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为22235712352+-=-⨯⨯，所以此角的正弦值为2R =,所以R =考点：正弦、余弦定理.11、某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.【答案】16【解析】试题分析：将4种水果每两种分为一组，有24C 6=种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为16.考点：.古典概型12.如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线y =OP BA ×u u u r u u r的取值范围是 .【答案】[-【解析】试题分析：由题意，设(cos ,sin )P αα,[0,π]α∈，则(cos ,sin )OP αα=，又(1,1)BA = , 所以cos sin [4OP BA αααπ⋅=+=+∈-.考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.13.设a >0,b >0. 若关于x ,y 的方程组1,1ax y x by ì+=ïïíï+=ïî无解，则a b +的取值范围是 .【答案】(2,)+∞考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.14.无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的*n ÎN ，{23}n S Î，则k 的最大值为 .【答案】4【解析】试题分析：当1n =时，12a =或13a =；当2n …时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k …时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1，-1,0,0，……满足条件，所以max 4k =.考点：数列的项与和.2、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析：2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以是充分非必要条件，选A.考点：充要条件16.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（）(A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1(C)直线A 1D 1(D)直线B 1C 1【答案】D【解析】试题分析：只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A ，B ，C 中直线与EF 都是异面直线，故选D ．考点：异面直线17.设a ÎR ，[0,2π]b Î.若对任意实数x 都有πsin(3)3x ax b -+，则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】B【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3333πππx x πx -=-+=+，5(,)(3,)3πa b =，又4sin(3)sin[(3sin(3333πππx πx x -=--=-+，4(,)(3,)3πa b =-，注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ．考点：三角函数18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题【答案】D 【解析】试题分析：因为[()g(x)][()(x)][g()(x)]()2f x f x h x h f x +++-+=必为周期为π的函数，所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数，因此①不一定.选D.函数性质考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.三、解答题（74分）19. （本题满分12分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为56π， 11A B 长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.【答案】（1；（2）4π．圆柱的侧面积22112S rl =π=π⨯⨯=π．考点：1.几何体的体积；2.空间的角.20.（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,参考版解析)

2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________25【解析】22112521d +==+4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米）【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3，则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】2【解析】32BD =12223DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r r C x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =则BP BA ⋅的取值范围是____________【答案】[0,1+【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =, (cos ,sin 1)BP αα=+πcos [0,12]sin 12)14BP BA ααα⋅=+++∈+13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =；若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )A. 65cos ρθ=+B. 65sin ρθ=+C. 65cos ρθ=-D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ) A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩ ②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则111113AO A B B π∠==∴111O A B 为正三角形 ∴1113O A B S=∴1111111133C O A B O A B V OO S -=⋅=(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角） 111BB AA == 连,,BC BO OC113AB A B π==, 23AC π=∴3BC π=∴3BOC π∠=∴BOC 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016上海学春考数学模拟试卷【附加卷】【解答】

2016 上海市普通高校春季招生统一考试
数学 II 卷模拟试卷解答
考生注意： 1 ．本试卷共 2 页 , 7 道试题 , 满分 30 分．考试时间 40 分钟． 2 ．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括三大题 , 第一大题为选择题 , 第二大题为填空题 , 第三大题为解答题． 3．答题前 , 务必在答题纸上填写姓名、报名号、考场号和座位号 , 并将核对后的条形码贴在指定位置上． 4 ．作答必须涂或写在答题纸上 , 在试卷上作答一律不得分．第一大题的作答必须涂在答题纸上相应区域, 第二、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置．
2m x 2 2x m 2 设 P ( x, y ) , 则 , 故m , 代入下式得 P 的轨迹方程为 2 x 2 y 2 2 y 0( y 0) . 4 y y m2 2
三、解答题（本大题满分 12 分）本大题共有 1 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
π π , 得 {xn } 是以为公差的等差数列, 2 2 20 19 π T20 x1 x2 x20 20 x1 20 x1 95π , 2 2 tπ 下考虑 f ( x) 2sin 2 x 在 [0, ) 的第一个零点, 2 tπ π tπ π 当平移的量 0 t 1 时, x1 , 2 2 2 2
一、选择题（本大题满分 9 分）本大题共有 3 题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 3 分，否则一律得 0 分．

[上海卷]2016年上海卷文科数学(全解析)

2
下,三个函数必为周期为T 的函数,所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数,因此①不一定.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(本小题满分 14 分)
将边长为1的正方形 AA1O1O (及其内部)绕的 OO1 旋转一周形成圆柱,
如图,
» AC
66
2
为 p 或 5p . 66
9.
在
æ ç
3
è
x-
2 x
n
ö ÷ ø
的二项式中,所有项的二项式系数之和为
256
,则常数项等于_______.
( ) ( ) 【解析】112 ；由题意得 2n = 256 ,所以 n = 8 ,故Tr+1 = C8r
3
x
8-r
æ çè
-
2 x
r
ö ÷ ø
=
-2
r
C8r
的中位数是1.75 与1.77 的平均数,显然为1.76 .
5. 若函数 f ( x) = 4 sin x + a cos x 的最大值为 5 ,则常数 a = ______.
【解析】 ±3 ；依题意可得 16 + a2 = 5 ,解得 a = ±3 .
6. 已知点 (3, 9) 在函数 f ( x) = 1+ ax 的图像上,则 f ( x) 的反函数 f -1 ( x) = ___________.
【解析】 (2, 4) ；由题意得 -1 < x - 3 < 1 ,解得 2 < x < 4 .
2. 设 z = 3 + 2i ,其中 i 为虚数单位,则 Im z = _______. i

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,含解析)

高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________25【解析】22112521d +==+4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米）【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3，则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】2【解析】32BD =12223DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在32n x x ⎫⎪⎭-的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r rC x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC V 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =BP BA ⋅u u u r u u u r的取值范围是____________【答案】[0,1+【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =u u u r, (cos ,sin 1)BP αα=+u u u rπcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈+u u u r u u u r13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =；若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A L 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=u u u r u u u r u u u u r r ，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<-【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则¼111113AO A B B π∠== ∴111O A B V 为正三角形∴1113O A B S =V ∴1111111133C O A B O A B V OO S -=⋅=V(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA == 连,,BC BO OC»¼113AB A B π==, »23AC π= ∴»3BCπ=∴3BOC π∠=∴BOC V 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

上海市春季高考数学试卷(含答案).doc

上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一•填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。

1.函数y = log2(x + 2)的定义域是 _________________2.方程2v = 8的解是_________________3.抛物线/=8x的准线方程是___________________4.函数y = 2sin x的最小正周期是_________________5.已知向量5 = (1, k),方= (9M —6)。

若万〃方，则实数k= _______________6.函数j = 4sinx + 3cosx的最大值是__________________7.复数2 + 3/ (d是虚数单位)的模是__________________8.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c ,若a = 5,/? = & 3 = 60°,贝ijb二—9.在如图所示的正方体ABCD_A、B\C\D\中，异面直线A/与所成角的大小为 ____________________________ 110.从4名男同学和6名女同学屮随机选取3人参加某社团活动，选岀的3人屮男女同学都有的概率为________ (结果用数值表示)。

11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前"项和»二_________________ o12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________________________________二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

2016年高考上海卷文数试题解析(正式版)(解析版).doc.pdf

2016年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.考点：主要考查两平行线间距离公式.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）【答案】1.76【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76.考点：主要考查了中位数的概念.【解析】试题分析：考点：正弦、余弦定理.11、某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.【答案】1/6【解析】试题分析：考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.【答案】4考点：充要条件16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）(A)直线AA1(B)直线A1B1(C)直线A1D1(D)直线B1C1【答案】D【解析】试题分析：不一定为增函数，因此①不一定.选D.函数性质考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.三、解答题（74分）19.（本题满分12分）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为5π/6 ，A1B1长为π/3，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.考点：1.几何体的体积；2.空间的角.20.（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。

于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图求菜地内的分界线C的方程菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值”为8/3。

2016年上海市春季高考数学试卷(解析版)

2016年上海市春季高考数学试卷一填空题（本大题共题，每题分，共分）．复数 ♓（♓为虚数单位）的实部是．．若●☐♑（⌧ ） ，则⌧．．直线⍓⌧﹣ 与直线⍓的夹角为．．函数的定义域为．．三阶行列式中，元素的代数余子式的值为．．函数的反函数的图象经过点（，），则实数♋．．在△✌中，若✌ °，  °，，则✌．．个人排成一排照相，不同排列方式的种数为（结果用数值表示）．．无穷等比数列 ♋⏹❝的首项为，公比为，则 ♋⏹❝的各项的和为．．若 ♓（♓为虚数单位）是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，则♋．．函数⍓⌧﹣ ⌧在区间☯，❍上的最小值为，最大值为，则实数❍的取值范围是．．在平面直角坐标系⌧⍓中，点✌，是圆⌧⍓﹣ ⌧上的两个动点，且满足，则的最小值为．二选择题（本大题共题，每题分，共分）．若♦♓⏹α＞，且♦♋⏹α＜，则角α的终边位于（）✌．第一象限．第二象限 ．第三象限 ．第四象限．半径为的球的表面积为（）✌．π ．． π ． π．在（ ⌧）的二项展开式中，⌧项的系数为（）✌． ． ．． ．幂函数⍓⌧﹣ 的大致图象是（）✌．．．．．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）✌． ． ．（，） ．（，）．设直线●与平面α平行，直线❍在平面α上，那么（）✌．直线●平行于直线❍ ．直线●与直线❍异面．直线●与直线❍没有公共点．直线●与直线❍不垂直．在用数学归纳法证明等式  … ⏹⏹⏹（⏹∈☠✉）的第（♓♓）步中，假设⏹时原等式成立，那么在⏹ 时需要证明的等式为（）✌．  … （  ） （ ） （  ）．  … （  ） （  ） （  ）．  …  （  ） （  ） （  ）．  …  （  ） （  ） （  ）．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）✌．焦距相等，渐近线相同．焦距相等，渐近线不相同．焦距不相等，渐近线相同．焦距不相等，渐近线不相同．设函数⍓♐（⌧）的定义域为，则“♐（） ”是“函数♐（⌧）为奇函数”的（）✌．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件．下列关于实数♋，♌的不等式中，不恒成立的是（）✌．♋♌≥ ♋♌ ．♋♌≥﹣ ♋♌ ．．．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若⌧ ⍓﹣⌧⍓ ，则；②若⌧ ⌧⍓ ⍓，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）✌．①成立，②不成立．①不成立，②成立．①成立，②成立．①不成立，②不成立．对于椭圆．若点（⌧，⍓）满足．则称该点在椭圆（♋，♌）内，在平面直角坐标系中，若点✌在过点（，）的任意椭圆（♋，♌）内或椭圆（♋，♌）上，则满足条件的点✌构成的图形为（）✌．三角形及其内部．矩形及其内部．圆及其内部．椭圆及其内部三解答题（本大题共题，共   分）．如图，已知正三棱柱✌﹣✌ 的体积为，底面边长为，求异面直线  与✌所成的角的大小．．已知函数，求♐（⌧）的最小正周期及最大值，并指出♐（⌧）取得最大值时⌧的值．．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点☞处．已知灯口直径是 ♍❍，灯深 ♍❍，求灯泡与反射镜的顶点的距离．．已知数列 ♋⏹❝是公差为的等差数列．（）♋ ，♋ ，♋ 成等比数列，求♋ 的值；（）设♋ ﹣ ，数列 ♋⏹❝的前⏹项和为 ⏹．数列 ♌⏹❝满足，记（⏹∈☠✉），求数列 ♍⏹❝的最小项（即对任意⏹∈☠✉成立）．．对于函数♐（⌧），♑（⌧），记集合 ♐＞♑⌧♐（⌧）＞♑（⌧）❝．（）设♐（⌧） ⌧，♑（⌧） ⌧ ，求 ♐＞♑；（）设♐ （⌧） ⌧﹣ ，，♒（⌧） ，如果．求实数♋的取值范围．二卷一选择题：．若函数♐（⌧） ♦♓⏹（⌧φ）是偶函数，则⌫的一个值是（）✌． ．．π ． π．在复平面上，满足 ﹣  的复数的所对应的轨迹是（）✌．两个点．一条线段 ．两条直线 ．一个圆．已知函数⍓♐（⌧）的图象是折线✌☜，如图，其中✌（，），（，），（，），（，），☜（，），若直线⍓⌧♌与⍓♐（⌧）的图象恰有四个不同的公共点，则的取值范围是（）✌．（﹣ ，）∪（，）．．（， ．二填空题：．椭圆的长半轴的长为．．已知圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为 °，则该圆锥的侧面积为．．小明用数列 ♋⏹❝记录某地区  年月份 天中每天是否下过雨，方法为：当第天下过雨时，记♋ ，当第天没下过雨时，记♋﹣ （ ≤≤ ），他用数列 ♌⏹❝记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第天有雨时，记♌⏹ ，当预报第天没有雨时，记♌⏹﹣ 记录完毕后，小明计算出♋ ♌ ♋♌♋ ♌ … ♋♌  ，那么该月气象台预报准确的总天数为．三解答题：．对于数列 ♋⏹❝与 ♌⏹❝，若对数列 ♍⏹❝的每一项♍⏹，均有♍♋或♍♌，则称数列 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的一个“并数列”．（）设数列 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的前三项分别为♋ ，♋ ，♋ ，♌ ，♌，♌ ，若 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝一个“并数列”求所有可能的有序数组（♍ ，♍，♍）；（）已知数列 ♋⏹❝， ♍⏹❝均为等差数列， ♋⏹❝的公差为，首项为正整数♦； ♍⏹❝的前项和为﹣ ，前 项的和为﹣ ，若存在唯一的数列 ♌⏹❝，使得 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的一个“并数列”，求♦的值所构成的集合． 年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一填空题（本大题共题，每题分，共分）．复数 ♓（♓为虚数单位）的实部是．【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数 ♓（♓为虚数单位）的实部是，故答案为：．．若●☐♑（⌧ ） ，则⌧ ．【考点】对数的运算性质；函数的零点．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：●☐♑（⌧ ），可得⌧ ，解得⌧ ．故答案为：．．直线⍓⌧﹣ 与直线⍓的夹角为．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．【解答】解：∵直线⍓⌧﹣ 的斜率为，故倾斜角为，又∵直线⍓的倾斜角为，故直线⍓⌧﹣ 与直线⍓的夹角为，故答案为：．．函数的定义域为☯， ∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于求解即可．【解答】解：由⌧﹣ ≥ 得，⌧≥ ．∴原函数的定义域为☯， ∞）．故答案为☯， ∞）．．三阶行列式中，元素的代数余子式的值为．【考点】高阶矩阵．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第行第列后所余下的阶行列式带上符号（﹣ ）♓，求出其表达式的值即可．【解答】解：元素的代数余子式为：（﹣ ） （ ×  × ）．∴元素的代数余子式的值为．故答案为：．．函数的反函数的图象经过点（，），则实数♋ ．【考点】反函数．【分析】由于函数的反函数的图象经过点（，），可得函数的图象经过点（，），即可得出．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点（，），∴函数的图象经过点（，），∴  ♋，解得♋ ．故答案为：．．在△✌中，若✌ °，  °，，则✌．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：∵✌ °，  °，，∴由正弦定理，可得：✌ ．故答案为：．．个人排成一排照相，不同排列方式的种数为（结果用数值表示）．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．【解答】解：个人排成一排照相，不同排列方式的种数为✌   种，故答案为：．．无穷等比数列 ♋⏹❝的首项为，公比为，则 ♋⏹❝的各项的和为．【考点】等比数列的前⏹项和．【分析】 ♋⏹❝的各项的和，即可得出．【解答】解： ♋⏹❝的各项的和为：  ．故答案为：．．若 ♓（♓为虚数单位）是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，则♋﹣ ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】 ♓（♓为虚数单位）是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，则 ﹣♓（♓为虚数单位）也是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵ ♓（♓为虚数单位）是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，∴ ﹣♓（♓为虚数单位）也是关于⌧的实系数一元二次方程⌧♋⌧的一个虚根，∴ ♓（ ﹣♓） ﹣♋，解得♋﹣ ．则♋﹣ ．故答案为：﹣ ．．函数⍓⌧﹣ ⌧在区间☯，❍上的最小值为，最大值为，则实数❍的取值范围是☯ ， ．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的性质得出，求解即可．【解答】解：∵♐（⌧） ⌧﹣ ⌧ （⌧﹣ ），∴对称轴⌧ ，∴♐（） ，♐（），♐（） ，∵♐（⌧） ⌧﹣ ⌧在区间☯，❍上的最大值为，最小值为，∴，∴ ≤❍≤ ，故答案为： ≤❍≤ ．．在平面直角坐标系⌧⍓中，点✌，是圆⌧⍓﹣ ⌧上的两个动点，且满足，则的最小值为．【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法则．【分析】本题可利用✌中点去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据✌，得到点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到本题答案．【解答】解：设✌（⌧ ，⍓ ），（⌧，⍓），✌中点（⌧′，⍓′）．∵⌧′ ，⍓′ ，∴ （⌧ ⌧，⍓ ⍓） ，∵圆：⌧⍓﹣ ⌧，∴（⌧﹣ ） ⍓ ，圆心（，），半径 ✌．∵点✌，在圆上，✌，∴ ✌﹣ （✌），即  ．点在以为圆心，半径❒ 的圆上．∴ ≥ ﹣❒ ﹣ ．∴ ≥ ，∴≥ ，∴的最小值为．故答案为：．二选择题（本大题共题，每题分，共分）．若♦♓⏹α＞，且♦♋⏹α＜，则角α的终边位于（）✌．第一象限．第二象限 ．第三象限 ．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由♦♓⏹α＞，则角α的终边位于一二象限，由♦♋⏹α＜，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵♦♓⏹α＞，则角α的终边位于一二象限，∵由♦♋⏹α＜，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择．．半径为的球的表面积为（）✌．π ．． π ． π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用球的表面积公式  π 解答即可求得答案．【解答】解：半径为的球的表面积为 π×  π，故选：．．在（ ⌧）的二项展开式中，⌧项的系数为（）✌． ． ．． 【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．【解答】解：（ ⌧）的二项展开式中，通项公式为：❆❒ • ﹣❒•⌧❒，令❒，得展开式中⌧的系数为：．故选：．．幂函数⍓⌧﹣ 的大致图象是（）✌．．．．【考点】函数的图象．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．【解答】解：幂函数⍓⌧﹣ ，定义域为（﹣∞，）∪（， ∞），可排除✌，；值域为（， ∞）可排除，故选：．．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）✌． ． ．（，） ．（，）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的投影公式计算．【解答】解：  ，  ， ，∴向量在向量方向上的投影．故选：✌．．设直线●与平面α平行，直线❍在平面α上，那么（）✌．直线●平行于直线❍ ．直线●与直线❍异面．直线●与直线❍没有公共点．直线●与直线❍不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由已知中直线●与平面α平行，直线❍在平面α上，可得直线●与直线❍异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线●与平面α平行，直线❍在平面α上，∴直线●与直线❍异面或平行，即直线●与直线❍没有公共点，故选：．．在用数学归纳法证明等式  … ⏹⏹⏹（⏹∈☠✉）的第（♓♓）步中，假设⏹时原等式成立，那么在⏹ 时需要证明的等式为（）✌．  … （  ） （ ） （  ）．  … （  ） （  ） （  ）．  …  （  ） （  ） （  ）．  …  （  ） （  ） （  ）【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知⏹时，  … ，到⏹ 时，左端为  …  （  ），从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式  … ⏹⏹⏹时，当⏹ 左边所得的项是 ；假设⏹时，命题成立，  … ，则当⏹ 时，左端为  …  （  ），∴从“ →  ”需增添的项是  （ ），∴  …  （  ） （  ） （  ）．故选：．．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）✌．焦距相等，渐近线相同．焦距相等，渐近线不相同．焦距不相等，渐近线相同．焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．【解答】解：双曲线的焦点在⌧轴上，可得焦点为（±，），即为（± ，），渐近线方程为⍓±⌧；的焦点在⍓轴上，可得焦点为（，± ），渐近线方程为⍓± ⌧．可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．故选：．．设函数⍓♐（⌧）的定义域为，则“♐（） ”是“函数♐（⌧）为奇函数”的（）✌．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数⍓♐（⌧）的定义域为，若函数♐（⌧）为奇函数，则♐（） ，反之不成立，例如♐（⌧） ⌧．即可判断出结论．【解答】解：函数⍓♐（⌧）的定义域为，若函数♐（⌧）为奇函数，则♐（） ，反之不成立，例如♐（⌧） ⌧．∴“♐（） ”是“函数♐（⌧）为奇函数”的必要不充分条件．故选：．．下列关于实数♋，♌的不等式中，不恒成立的是（）✌．♋♌≥ ♋♌ ．♋♌≥﹣ ♋♌ ．．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于✌：♋♌﹣ ♋♌（♋﹣♌） ≥ ，故✌恒成立；对于：♋♌♋♌（♋♌） ≥ ，故恒成立；对于：﹣♋♌≥ ，故恒成立；不恒成立；故选：．．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若⌧ ⍓﹣⌧⍓ ，则；②若⌧ ⌧⍓ ⍓，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）✌．①成立，②不成立．①不成立，②成立．①成立，②成立．①不成立，②不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①假设存在实数λ使得，则 λ，由于向量与既不平行也不垂直，可得⌧ λ⌧，⍓ λ⍓，即可判断出结论．②若⌧ ⌧⍓ ⍓，则（）•⌧ ⌧⍓ ⍓（⌧⍓ ⌧ ⍓）（⌧⍓ ⌧ ⍓），无法得到 ，因此不一定正确．【解答】解：①假设存在实数λ使得，则 λ，∵向量与既不平行也不垂直，∴⌧ λ⌧，⍓ λ⍓，满足⌧ ⍓﹣⌧⍓ ，因此．②若⌧ ⌧⍓ ⍓，则（）• ⌧ ⌧⍓ ⍓（⌧⍓ ⌧ ⍓）（⌧⍓ ⌧ ⍓），无法得到 ，因此不一定正确．故选：✌．．对于椭圆．若点（⌧，⍓）满足．则称该点在椭圆（♋，♌）内，在平面直角坐标系中，若点✌在过点（，）的任意椭圆（♋，♌）内或椭圆（♋，♌）上，则满足条件的点✌构成的图形为（）✌．三角形及其内部．矩形及其内部．圆及其内部．椭圆及其内部【考点】椭圆的简单性质．【分析】点✌（⌧，⍓）在过点（，）的任意椭圆（♋，♌）内或椭圆（♋，♌）上，可得， ≤ ．由椭圆的对称性可知：点（﹣ ，），点（﹣ ，﹣ ），点（，﹣ ），都在任意椭圆上，即可得出．【解答】解：设点✌（⌧，⍓）在过点（，）的任意椭圆（♋，♌）内或椭圆（♋，♌）上，则， ≤ ．∴ ≤ ，由椭圆的对称性可知：点（﹣ ，），点（﹣ ，﹣ ），点（，﹣ ），都在任意椭圆上，可知：满足条件的点✌构成的图形为矩形 及其内部．故选：．三解答题（本大题共题，共   分）．如图，已知正三棱柱✌﹣✌ 的体积为，底面边长为，求异面直线  与✌所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正三棱柱✌﹣✌ 的体积求出高，由✌ 与✌平行，得∠  ✌ 是异面直线  与✌所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线  与✌所成的角的大小．【解答】解：∵正三棱柱✌﹣✌ 的体积为，底面边长为，∴，解得♒ ，∵✌ 与✌平行，∴∠  ✌ 是异面直线  与✌所成的角，在△✌  中，✌ ，  ✌ ，∴♍☐♦∠  ✌ ．∴∠  ✌ ♋❒♍♍☐♦．∴异面直线  与✌所成的角的大小为♋❒♍♍☐♦．．已知函数，求♐（⌧）的最小正周期及最大值，并指出♐（⌧）取得最大值时⌧的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简♐（⌧）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．【解答】解：∵，∴函数的周期为❆π，函数的最大值为，且函数取得最大值时，⌧ π ，即⌧π ， ∈☪．．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点☞处．已知灯口直径是 ♍❍，灯深 ♍❍，求灯泡与反射镜的顶点的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的标准方程⍓☐⌧（☐＞），点（，）代入抛物线方程求得☐，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以为坐标原点，水平方向为⌧轴，竖直方向为⍓轴，如图所示：则：设抛物线方程为⍓☐⌧（☐＞），点（，）在抛物线⍓☐⌧上，∴  ☐× ．∴ ．∴灯泡与反射镜的顶点的距离 ♍❍．．已知数列 ♋⏹❝是公差为的等差数列．（）♋ ，♋ ，♋ 成等比数列，求♋ 的值；（）设♋ ﹣ ，数列 ♋⏹❝的前⏹项和为 ⏹．数列 ♌⏹❝满足，记（⏹∈☠✉），求数列 ♍⏹❝的最小项（即对任意⏹∈☠✉成立）．【考点】等差数列的前⏹项和；等比数列的通项公式．【分析】（）利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项♋的值．（）由已知利用累加法能求出♌⏹﹣（）⏹﹣ ．从而能求出♍⏹﹣♍⏹﹣ ⏹﹣  ⏹，由此能求出数列 ♍⏹❝的最小项．【解答】解：（）∵数列 ♋⏹❝是公差为的等差数列．♋ ，♋ ，♋ 成等比数列，∴．解得♎，♋ ﹣（）♌⏹♌ （♌﹣♌ ）（♌ ﹣♌） … （♌⏹﹣♌⏹﹣ ）﹣（）⏹﹣ ．，，⏹﹣  ⏹由题意⏹≥ ，上式大于零，即♍ ＜♍ ＜…＜♍⏹，进一步， ⏹⏹是关于⏹的增函数，∵ ×   ＞ ， ×  ＜ ，∴♍ ＞♍＞♍ ＞♍ ＜♍＜…＜♍ ＜♍ ＜…＜♍⏹，∴．．对于函数♐（⌧），♑（⌧），记集合 ♐＞♑⌧♐（⌧）＞♑（⌧）❝．（）设♐（⌧） ⌧，♑（⌧） ⌧ ，求 ♐＞♑；（）设♐ （⌧） ⌧﹣ ，，♒（⌧） ，如果．求实数♋的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法．【分析】（）直接根据新定义解不等式即可，（）方法一：由题意可得则在上恒成立，分类讨论，即可求出♋的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出♋的取值范围．【解答】解：（）由 ⌧＞⌧ ，得 ♐＞♑⌧⌧＜﹣ 或⌧＞ ❝；（）方法一：，，由，则在上恒成立，令，♋＞﹣♦﹣♦，，∴♋≥ 时成立．以下只讨论♋＜的情况对于，♦＞，♦♦♋＞，解得♦＜或♦＞，（♋＜）又♦＞，所以，∴综上所述：方法二（），，由♋≥ ．显然恒成立，即⌧∈ ♋＜时，，在⌧≤ 上恒成立令，，所以，综上所述：．二卷一选择题：．若函数♐（⌧） ♦♓⏹（⌧φ）是偶函数，则⌫的一个值是（）✌． ．．π ． π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数♐（⌧） ♦♓⏹（⌧φ）是偶函数，∴♐（﹣⌧） ♐（⌧），即♦♓⏹（﹣⌧φ） ♦♓⏹（⌧φ），∴（﹣⌧φ） ⌧φ π或﹣⌧φ ⌧φ π π， ∈☪，当（﹣⌧φ） ⌧φ π时，可得⌧﹣ π，不满足函数定义；当﹣⌧φ ⌧φ π π时，φ π ， ∈☪，结合选项可得为正确答案．故选：．．在复平面上，满足 ﹣  的复数的所对应的轨迹是（）✌．两个点．一条线段 ．两条直线 ．一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设 ⌧⍓♓，得到 ⌧⍓♓﹣  ，从而求出其运动轨迹．【解答】解：设 ⌧⍓♓，则 ⌧⍓♓﹣  ，∴（⌧﹣ ） ⍓ ，∴运动轨迹是圆，故选：．．已知函数⍓♐（⌧）的图象是折线✌☜，如图，其中✌（，），（，），（，），（，），☜（，），若直线⍓⌧♌与⍓♐（⌧）的图象恰有四个不同的公共点，则的取值范围是（）✌．（﹣ ，）∪（，）．．（， ．【考点】函数的图象．【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．【解答】解；当 ，＜♌＜时，显然直线⍓♌与♐（⌧）图象交于四点，故可以取，排除✌，；作直线 ☜，则 ☜，直线 ☜与♐（⌧）图象交于三点，平行移动直线 可发现直线与♐（⌧）图象最多交于三点，即直线⍓与♐（⌧）图象最多交于三点，∴ ≠．排除．故选．二填空题：．椭圆的长半轴的长为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆中，♋，∴椭圆的长半轴长♋．故答案为：．．已知圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为 °，则该圆锥的侧面积为 π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为 °，∴圆锥的底面半径为，∴圆锥的侧面积为π× × π．故答案为： π．．小明用数列 ♋⏹❝记录某地区  年月份 天中每天是否下过雨，方法为：当第天下过雨时，记♋ ，当第天没下过雨时，记♋﹣ （ ≤ ≤ ），他用数列 ♌⏹❝记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第天有雨时，记♌⏹ ，当预报第天没有雨时，记♌⏹﹣ 记录完毕后，小明计算出♋ ♌ ♋♌♋ ♌ … ♋♌  ，那么该月气象台预报准确的总天数为．【考点】数列的应用．【分析】由题意，气象台预报准确时♋♌，不准确时♋♌﹣ ，根据♋ ♌ ♋♌♋♌ … ♋ ♌   ﹣ ，即可得出结论．【解答】解：由题意，气象台预报准确时♋♌ ，不准确时♋♌﹣ ，∵♋ ♌ ♋♌♋ ♌ … ♋ ♌   ﹣ ，∴该月气象台预报准确的总天数为．故答案为：．三解答题：．对于数列 ♋⏹❝与 ♌⏹❝，若对数列 ♍⏹❝的每一项♍⏹，均有♍♋或♍♌，则称数列 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的一个“并数列”．（）设数列 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的前三项分别为♋ ，♋ ，♋ ，♌ ，♌，♌ ，若 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝一个“并数列”求所有可能的有序数组（♍ ，♍，♍）；（）已知数列 ♋⏹❝， ♍⏹❝均为等差数列， ♋⏹❝的公差为，首项为正整数♦； ♍⏹❝的前项和为﹣ ，前 项的和为﹣ ，若存在唯一的数列 ♌⏹❝，使得 ♍⏹❝是 ♋⏹❝与 ♌⏹❝的一个“并数列”，求♦的值所构成的集合．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（）利用“并数列”的定义即可得出．（）利用等差数列的通项公式及其前⏹项和公式可得♋⏹，公差♎，♍⏹，通过分类讨论即可得出．【解答】解：（）（，，），（，，），（，，），（，，）；（）♋⏹♦⏹﹣ ，设 ♍⏹❝的前项和为❆⏹，❆ ﹣ ，❆﹣ ，得♎﹣ ，♍ ，所以♍⏹ ﹣ ⏹；♍♋或♍♌．，∴  ，♦；或 ，♦ ，所以 ≥ ． ∈☠✉时，♍♌，∵数列 ♌⏹❝唯一，所以只要♌ ，♌唯一确定即可．显然，♦，或♦ 时，♌ ，♌不唯一，．年月 日。

[上海卷]2016年上海卷理科数学(全解析)

D 1C 1 B 1A 1D CB A2016年上海卷理科数学试题逐题详解考试时间:2016年 6月 7日(星期二)15:00～17:00 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.1. 设x ÎR ,则不等式 1 3 < - x 的解集为_______. 【解析】( ) 2,4 ；由题意得 131 x -<-< ,解得24 x << .2. 设 32iiz + =,其中i 为虚数单位,则Im z = _______. 【解析】 3 - ； 32i23i iz + ==- ,Imz 3 =- .3. 已知平行直线 1 l :210 x y +-= , 2 l :210 x y ++= ,则 2 1 ,l l 的距离为________.【解析】255 ；利用两平行线间距离公式得 22 11 255 21d -- ==+ . 4. 某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是______(米)【解析】1.76；将这6位同学的身高按照从矮到高排列为:1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数,显然为1.76.5. 已知点( ) 3,9 在函数 ( ) 1 xf x a =+ 的图像上,则 ( ) f x 的反函数 ( ) 1fx - =___________.【解析】 ( ) 2 log 1 x - ；依题意 ( ) 339 1 f a =+ = ,解得 2 a = ,所以 ( ) 12 x f x =+ ,所以 ( ) 2 log 1 x y =- ,所以 ( ) ( ) 12 log 1 f x x - =- .6. 如图,在正四棱柱 1111 ABCD A B C D - 中,底面 ABCD 的边长为3, 1 BD 与底面所成角的大小为 2arctan 3,则该正四棱柱的高等于______. 【解析】22 ；依题意得 11 2 tan 3 DD DBD BD Ð== ,即 1 2 3 32DD = ,解得 1 22 DD = . 7. 方程3sin 1cos 2 x x =+ 在区间[ ] 0,2p 上的解为________. 【解析】 6 p或5 6 p ；依题意得 23sin 22sin x x =- ,解得 1 sin 2x = 或 2 - (舍去),所以在区间[ ] 0,2p 上的解为 6 p或5 6p . 8. 在 3 2 nx x æö - ç÷ èø 的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_______.【解析】 112；由题意得2256 n = ,所以 8 n = ,故 ( )( ) 848 333188 2 2 rrr r rr r T C x C x x - - + æö =-=- ç÷ èø,令 84 0 33 r -= , 所以 2 r = ,所以常数项 3 112 T = .9. 已知 ABC D 的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________.【解析】 733 ；利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为 222 35712352+- =- ´´ ,所以此角的正弦值详解提供: 南海中学钱耀周y xA 8A 7A 6A 5A 4 A 3A 2A 1 O 为3 2 ,由正弦定理得 7 2 32R = ,所以该三角形的外接圆半径 733 R = . 10.设 0,0 a b >> ,若关于 , x y 的方程组 1 1 ax y x by += ìí += î无解,则a b + 的取值范围是_________.【解析】( ) 2,+¥ ；将方程组中的(1)式化简得 1 y ax =- ,代入(2)式整理得( ) 11 ab x b -=- ,方程组无解应该满足10 ab -= 且10 b -¹ ,所以 1 ab = 且 1 b ¹ ,所以由基本不等式得 22 a b ab +>= . 11.无穷数列{ } n a 由k 个不同的数组成, n S 为{ } n a 的前n 项和.若对任意n *ÎN , { } 2,3 n S Î,则k 的最大值为________.【解析】4；当 1 n = 时, 1 2 a = 或 1 3 a = ；当 2 n ³ 时,若 2 n S = ,则 1 2 n S - = ,于是 0 n a = ,若 3n S = ,则 1 3 n S - = ,于是 0 n a = .从而存在k *ÎN ,当n k ³ 时, 0 k a = ,其中数列{ }n a :2,1, 1 - ,0,0 ,…,满足条件,所以 max 4 k = .12.在平面直角坐标系中,已知 ( ) 1,0 A , ( ) 0,1 B - ,P 是曲线 21 y x =- 上一个动点,则BP BA × uuu r uuu r 的取值范围是 ____ .【解析】 0,12 éù + ëû；依题意知 21 y x =- 表示以原点为圆心,半径为1的上半圆,设 ( ) cos ,sin P a a ,[ ] 0, a p Î , ( ) 1,1 BA = uuu r , ( ) cos ,sin 1 BA a a =+ uuu r ,所以BP BA × uuu r uuu r cos sin 12sin 1 4 p a a a æö =++=++ ç÷ èø ,又 [ ] 0, a p Î ,所以 4 p a +Î 5,44 p p éù êú ëû ,故 2 sin ,1 42 p a éùæö +Î- êú ç÷ èø ëû,所以 2sin 10,12 4 p a æö éù ++Î+ ç÷ ëû èø . 13.设 , a b ÎR , [ ) 0,2 c p Î ,若对任意实数x 都有 ( ) c bx a x + = ÷ øöç èæ- sin 3 3sin 2 p ,则满足条件的有序实数组( ) c b a , , 的组数为.【解析】4；因为对于任意实数x 都有 ( ) c bx a x + = ÷ øöç èæ- sin 3 3sin 2 p ,故函数的最值相等,所以 2 a =± ；且周期相同,所以 3 b =± .若 2 a = , 3 b = ,此时 ( ) sin 3sin 3 3 x x c p æö -=+ ç÷ èø ,故 5 2 33 c p p p =-+= ；同理可知满足题意的实数组共有4组( 2 a =± , 3 b =± ,当 , a b 确定时,c 唯一确定!).14.如图,在平面直角坐标系xOy 中,O 为正八边形 8 2 1 A A A L 的中心, () 0 , 1 1 A . 任取不同的两点 j i A A , ,点P 满足 i j OP OA OA ++=0uuu r uuur uuuu r ,则点P 落在第一象限的概率是_______.【解析】 5 28；共有 2 8 28 C = 种基本事件,其中使点P 落在第一象限共有 2 3 2C + 5 = 种基本事件,故概率为 528.二、选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.15.设a ÎR ,则“ 1 > a ”是“ 1 2 > a ”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件OxCB 1OO 1AA 1BA 1AO 1O B 1C【解析】A ； 21 a >Û 1 a <- 或 1 a > ,所以“ 1 > a ”是“ 12 > a ”的充分非必要条件. 16.下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是()A ． 65cos r q =+B ． 65sin r q =+C ． 65cos r q=- D ． 65sin r q=- 【解析】D ；依次取 0 q = , 2 p,p ,3 2p,结合图形可知只有 65sin r q =- 满足. 17.已知无穷等比数列{ } n a 的公比为q ,前n 项和为 n S ,且lim n n S S ®¥= .下列条件中,使得2 n S S < (n *ÎN ) 恒成立的是()A ． 1 0 a > ,0.60.7 q <<B ． 1 0 a < , 0.70.6 q -<<-C ． 1 0 a > ,0.70.8 q <<D ． 1 0 a < , 0.80.7q -<<- 【解析】B ；依题意,() 1 12111 na q a qq - <-- (01 q << )对一切正整数恒成立,当 1 0 a > 时, 1 2n q > 不恒成立, 舍去；当 1 0 a < 时, 1 2 nq < ,所以 21 2q < ,因此选B .18.设 ( ) f x 、 ( ) g x 、 ( ) h x 是定义域为R 的三个函数,对于命题:①若 ( ) ( ) f x g x + 、 ( ) ( ) f x h x + 、( ) ( ) g x h x + 均为增函数,则 ( ) f x 、 ( ) g x 、 ( ) h x 中至少有一个增函数；②若 ( ) ( ) f x g x + 、 ( ) f x + ( ) h x 、 ( ) ( ) g x h x + 均是以T 为周期的函数,则 ( ) f x 、 ( ) g x 、 ( ) h x 均是以T 为周期的函数,下列判断正确的是()A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题,②为假命题D ．①为假命题,②为真命题【解析】D ；因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g g 2f x x f x h x x h x f x +++-+ éùéùéù ëûëûëû =,同理可得其它,在②的条件下,三个函数必为周期为T 的函数,所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数,因此①不一定. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.(本小题满分 14分)将边长为1的正方形 11 AA O O (及其内部)绕的 1 OO 旋转一周形成圆柱,如图, » AC 长为 23 p , ¼ 11 A B 长为 3p ,其中 1 B 与C 在平面 11 AA O O 的同侧.(Ⅰ) 求三棱锥 111 C O A B - 的体积；(Ⅱ) 求异面直线 1 B C 与 1 AA 所成的角的大小.【解析】(Ⅰ)由题意可知,圆柱的高 1 h = ,底面半径 1 r = ,由 ¼ 11 A B 的长为 3p,可知 1113A OB pÐ= ,1111111111 13sin 24O A B S O A O B A O B D =××Ð= , 11111113312C O A B O A B V S h -D =×= . (Ⅱ)设过点 1 B 的母线与下底面交于点B ,则 11 // BB AA ,所以 1 CB B Ð 或其补角为直线 1 B C 与 1 AA 所成的角.由 » AC 长为2 3 p ,可知 2 3AOC pÐ= ,S 2M HyFGE OxS 1又 111 3AOB A O B pÐ=Ð=,所以 3COB pÐ=,从而 COB D 为等边三角形,得 1 CB = ．因为 1 B B ^平面 AOC ,所以 1 B B CB ^ ,在 1 CB B D 中,因为 1 2B BC pÐ= , 1 CB = , 1 1 B B = ,所以 1 4CB B pÐ=,从而直线 1 B C 与 1 AA 所成的角的大小为4p. 20.(本小题满分 14分)有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是,菜地分为两个区域 1 S 和 2 S ,其中 1 S 中的蔬菜运到河边较近, 2 S 中的蔬菜运到F 点较近,而菜地内 1 S 和 2 S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O 为EF 的中点,点F 的坐标为( ) 1,0 ,如图.(Ⅰ) 求菜地内的分界线C 的方程(Ⅱ) 菜农从蔬菜运量估计出 1 S 面积是 2 S 面积的两倍,由此得到 1 S 面积的 “经验值”为 83.设M 是C 上纵坐标为1的点,请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积,及五边形EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于 1 S 面积的经验值.【解析】(Ⅰ)因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等,所以C 是以F 为焦点、以EH 为准线的抛物线在正方形EFGH 内的部分,其方程为 2 4 y x = (02 y << ). (Ⅱ)依题意,点M 的坐标为 1 ,1 4 æöç÷ èø,所求的矩形面积为 5 2 ,而所求的五边形面积为 11 4 . 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236-= ,而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为 11814312-= ,所以五边形面积更接近于 1 S 面积的“经验值”. 21.(本小题满分 14分)本题共有 2个小题,第 1 小题满分 6 分,第2 小题满分 8 分.双曲线 222 1 y x b-= ( 0 b > )的左、右焦点分别为 1 F 、 2 F ,直线l 过 2 F 且与双曲线交于A 、B 两点.(Ⅰ) 若l 的倾斜角为 2p, 1 F AB D 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程；(Ⅱ) 设 3 b = ,若l 的斜率存在,且( )11 0 F A F B AB +×= uuu r uuu r uuu r,求l 的斜率.【解析】(Ⅰ)依题意l ^ x 轴,令x c = ,得 ( ) 2224 1 y bcb =-= ,故 24A y b = ,因为 1 F AB D 是等边三角形,所以23 c y A = ,即 () 24413 b b+= ,解得 22 b = ．故双曲线的渐近线方程为 2 y x =± .(Ⅱ)由已知, ( ) 1 2,0 F - , ( ) 2 2,0 F ,设 ( ) 11 , A x y , ( ) 22 , B x y ,直线: l ( ) 2 y k x =- ,显然 0 k ¹ . 由 ( ) 22 1 32 y x y k x ì -= ï í ï =- î,得( ) 222234430 k x k x k --++= ,因为l 与双曲线交于两点,所以 2 30 k -¹ ,且 ( ) 23610 k D =+> ,设 AB 的中点为 ( ) 00 , M x y ,由( )11 0 F A F B AB +×= uuu r uuu r uuu r 即 10 F M AB ×= uuuu r uuu r ,知 1 F M AB ^ ,故 11 F M k k ×=- ,而2 120 2 2 23 x x k x k + == - , ( ) 00 2 6 2 3 k y k x k =-= - , 12 3 23F Mk k k = - , 所以23 1 23 k k k ×=- - ,得 23 5 k = ,故l 的斜率为 155± . 22.(本小题满分 16分)本题共有 3个小题,第 1 小题满分 4 分,第2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.已知a ÎR ,函数 ( ) 2 1 log f x a x æö=+ ç÷ èø. (Ⅰ) 当 5 a = 时,解不等式 ( ) 0 f x > ；(Ⅱ) 若关于x 的方程 ( ) ( ) 2 log 4250 f x a x a --+-= éù ëû 的解集中恰好有一个元素,求a 的取值范围；(Ⅲ) 设 0 a > ,若对任意 1 ,1 2 t éù Î êú ëû,函数 ( ) f x 在区间[ ] ,1 t t + 上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围. 【解析】(Ⅰ)由 2 1 log 50 x æö+> ç÷ èø,得 1 51 x +> ,即 41 0 x x + > ,解得 1 4 x <- 或 0 x > ,所以原不等式的解集为 ( ) 1 ,0, 4 æö-¥-+¥ ç÷ èøU . (Ⅱ)依题意得 ( ) 1 425 a a x a x+=-+- ,整理得( ) ( ) 2 4510 a x a x -+--= ,当 4 a = 时, 1 x =- ,经检验,满足题意；当 3 a = 时, 12 1 x x ==-,经检验,满足题意；当 3 a ¹ 且 4 a ¹ 时, 1 1 4 x a =- , 2 1 x =- , 12 x x ¹ , 1x 是原方程的解当且仅当 1 10 a x+> ,即 2 a > ； 2 x 是原方程的解当且仅当210 a x +> ,即 1 a > ,于是满足题意的 ( ] 1,2 a Î ．综上,a 的取值范围为( ] { } 1,23,4 U . (Ⅲ)当 12 0 x x << 时,12 11a a x x +>+ , 22 12 11 log log a a x x æöæö +>+ ç÷ç÷ èøèø,所以 ( ) f x 在( ) 0,+¥ 上递减. 函数 ( ) f x 在区间[ ] ,1 t t + 上的最大值与最小值分别为 ( ) f t , ( ) 1 f t + .( ) ( ) 22 11 1log log 1 1 f t f t a a t t æöæö -+=+-+£ ç÷ç÷ + èøèø 即 ( ) 2 110 at a t ++-³ ,对任意 1 ,1 2 t éùÎ êú ëû成立. 因为 0 a > ,所以函数 ( ) 211 y at a t =++- 在区间 1 ,1 2 éùêú ëû上单调递增, 1 2 t = 时, y 有最小值 31 42a - ,由 31 0 42 a -³ ,得 2 3 a ³ ,故a 的取值范围为 2 ,3 éö +¥ ÷ ê ëø. 23.(本小题满分 18分)本题共有 3个小题,第 1 小题满分 4 分,第2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.若无穷数列{ } n a 满足:只要 p q a a = ( *, p q ÎN ),必有 11 p q a a ++ = ,则称{ }n a 具有性质P . (Ⅰ) 若{ } n a 具有性质P ,且 1245 1,2,3,2 a a a a ==== , 678 21 a a a ++= ,求 3 a ；(Ⅱ) 若无穷数列{ } n b 是等差数列,无穷数列{ }n c 是公比为正数的等比数列, 15 1 b c == , 51 81 b c == , n n n a b c =+ 判断{ }n a 是否具有性质P ,并说明理由； (Ⅲ) 设{ } n b 是无穷数列,已知 1 sin n n n a b a + =+ ( * n ÎN ).求证:“对任意 1 a ,{ }n a 都具有性质P ”的充要条件为“{ }n b 是常数列”. 【解析】(Ⅰ)因为 52 a a = ,所以 63a a = , 74 3 a a == , 85 2 a a == ,于是 6783 32 a a a a ++=++ , 又因为 678 21 a a a ++= ,解得 3 16 a = ．(Ⅱ){ } n b 的公差为20,{ } n c 的公比为 1 3 ,所以 ( ) 12012019 n b n n =+-=- , 15 1 813 3 n n n c - - æö =×= ç÷ èø ．5 20193 n n n n a b c n - =+=-+ , 15 82 a a == ,但 2 48 a = ,6 3043a =, 26 a a ¹ ,所以{ } n a 不具有性质P . (Ⅲ)证充分性:当{ } n b 为常数列时, 11 sin n n a b a + =+ ,对任意给定的 1 a ,只要 p q a a = , 则由 11 sin sin p q b a b a +=+ ,必有 11 p q a a ++ = ,充分性得证.证必要性:用反证法证明.假设{ }n b 不是常数列,则存在 *k ÎN ,使得 12 k b b b b ==×××== ,而 1 k b b + ¹ ．下面证明存在满足 1 sin n n n a b a + =+ 的{ } n a ,使得 121 k a a a + ==×××= ,但 21 k k a a ++ ¹ ．设 ( ) sin f x x x b =-- ,取 *m ÎN ,使得m b p > ,则 ( ) 0 f m m b p p =-> , ( ) 0 f m m b p p -=--< ,故存在c 使得 ( ) 0 f c = .取 1 a c = ,因为 1 sin n n a b a + =+ (1 n k ££ ),所以 21 sin a b c c a =+== , 依此类推,得 121 k a a a c + ==×××== ,但 2111 sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++ =+=+¹+ ,即 21 k k a a ++ ¹ . 所以{ }n a 不具有性质P ,矛盾.必要性得证．综上,“对任意 1 a ,{ } n a 都具有性质P ”的充要条件为“{ }n b 是常数列”.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2016年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．复数3+4i（i为虚数单位）的实部是．2．若log2（x+1）=3，则x=．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．4．函数的定义域为．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．6．函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=．7．在△ABC中，若A=30°，B=45°，，则AC=．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为（结果用数值表示）．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为．10．若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为．二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．半径为1的球的表面积为（）A．πB．C．2πD．4π15．在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（）A．2 B．6 C．15 D．2016．幂函数y=x﹣2的大致图象是（）A．B．C． D．17．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．2 C．（1，0）D．（0，2）18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同21．设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件22．下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若x1y2﹣x2y1=0，则；②若x1x2+y1y2=0，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立C．①成立，②成立D．①不成立，②不成立24．对于椭圆．若点（x0，y0）满足．则称该点在椭圆C（a，b）内，在平面直角坐标系中，若点A在过点（2，1）的任意椭圆C（a，b）内或椭圆C（a，b）上，则满足条件的点A构成的图形为（）A．三角形及其内部B．矩形及其内部C．圆及其内部D．椭圆及其内部三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC1与AC所成的角的大小．26．已知函数，求f（x）的最小正周期及最大值，并指出f（x）取得最大值时x的值．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．已知灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离．28．已知数列{a n}是公差为2的等差数列．（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；（2）设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即对任意n∈N*成立）．={x|f（x）＞g（x）}．29．对于函数f（x），g（x），记集合D f＞g；（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求D f＞g（2）设f1（x）=x﹣1，，h（x）=0，如果．求实数a的取值范围．二卷一.选择题：30．若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A．0 B．C．πD．2π31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是（）A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆32．已知函数y=f（x）的图象是折线ABCDE，如图，其中A（1，2），B（2，1），C（3，2），D（4，1），E（5，2），若直线y=kx+b与y=f（x）的图象恰有四个不同的公共点，则k 的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．C．（0，1]D．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为．34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为．35．小明用数列{a n}记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1（1≤k≤31），他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，若对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，则称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”．（1）设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，若{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列”求所有可能的有序数组（c1，c2，c3）；（2）已知数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”，求t的值所构成的集合．2016年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3．【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3，故答案为：3．2．若log2（x+1）=3，则x=7．【考点】对数的运算性质；函数的零点．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：log2（x+1）=3，可得x+1=8，解得x=7．故答案为：7．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．【解答】解：∵直线y=x﹣1的斜率为1，故倾斜角为，又∵直线y=2的倾斜角为0，故直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为，故答案为：．4．函数的定义域为[2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可．【解答】解：由x﹣2≥0得，x≥2．∴原函数的定义域为[2，+∞）．故答案为[2，+∞）．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为8．【考点】高阶矩阵．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第1行第3列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j，求出其表达式的值即可．【解答】解：元素5的代数余子式为：（﹣1）1+3||=（4×2+1×0）=8．∴元素5的代数余子式的值为8．故答案为：8．6．函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=1．【考点】反函数．【分析】由于函数的反函数的图象经过点（2，1），可得函数的图象经过点（1，2），即可得出．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点（2，1），∴函数的图象经过点（1，2），∴2=+a，解得a=1．故答案为：1．7．在△ABC中，若A=30°，B=45°，，则AC=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：∵A=30°，B=45°，，∴由正弦定理，可得：AC===2．故答案为：2．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为24（结果用数值表示）．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．【解答】解：4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为A44=24种，故答案为：24．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】{a n}的各项的和=，即可得出．【解答】解：{a n}的各项的和为：==3．故答案为：3．10．若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=﹣4．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则2﹣i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2﹣i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2+i+（2﹣i）=﹣a，解得a=﹣4．则a=﹣4．故答案为：﹣4．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是[1，2]．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的性质得出，求解即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴对称轴x=1，∴f（1）=0，f（2）=1，f（0）=1，∵f（x）=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为1，最小值为0，∴，∴1≤m≤2，故答案为：1≤m≤2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为4．【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法则．【分析】本题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据AB=2，得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到本题答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x′，y′）．∵x′=，y′=，∴=（x1+x2，y1+y2）=2，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0，∴（x﹣3）2+y2=4，圆心C（3，0），半径CA=2．∵点A，B在圆C上，AB=2，∴CA2﹣CM2=（AB）2，即CM=1．点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．∴OM≥OC﹣r=3﹣1=2．∴||≥2，∴≥4，∴的最小值为4．故答案为：4．二.选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择B．14．半径为1的球的表面积为（）A．πB．C．2πD．4π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用球的表面积公式S=4πR2解答即可求得答案．【解答】解：半径为1的球的表面积为4π×12=4π，故选：D．15．在（1+x）6的二项展开式中，x2项的系数为（）A．2 B．6 C．15 D．20【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．【解答】解：（1+x）6的二项展开式中，通项公式为：T r+1=•16﹣r•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为：=15．故选：C．16．幂函数y=x﹣2的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．【解答】解：幂函数y=x﹣2=，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），可排除A，B；值域为（0，+∞）可排除D，故选：C．17．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．2 C．（1，0）D．（0，2）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的投影公式计算．【解答】解：=1，=1，||=，∴向量在向量方向上的投影=1．故选：A．18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由已知中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线l与平面α平行，直线m在平面α上，∴直线l与直线m异面或平行，即直线l与直线m没有公共点，故选：C．19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），∴从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2（k+1），∴1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）．故选：D．20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，可得焦点为（±，0），即为（±2，0），渐近线方程为y=±x；的焦点在y轴上，可得焦点为（0，±2），渐近线方程为y=±2x．可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．故选：B．21．设函数y=f（x）的定义域为R，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2．即可判断出结论．【解答】解：函数y=f（x）的定义域为R，若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，反之不成立，例如f（x）=x2．∴“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件．故选：B．22．下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于A：a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，故A恒成立；对于B：a2+b2+2ab=（a+b）2≥0，故B恒成立；对于C：﹣ab=≥0，故C恒成立；D不恒成立；故选：D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若x1y2﹣x2y1=0，则；②若x1x2+y1y2=0，则．关于以上两个结论，正确的判断是（）A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立C．①成立，②成立D．①不成立，②不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①假设存在实数λ使得=，则=λ，由于向量与既不平行也不垂直，可得x1=λx2，y1=λy2，即可判断出结论．②若x1x2+y1y2=0，则=（）•=x1x2+y1y2+（x2y1+x1y2）=（x2y1+x1y2），无法得到=0，因此不一定正确．【解答】解：①假设存在实数λ使得=，则=λ，∵向量与既不平行也不垂直，∴x1=λx2，y1=λy2，满足x1y2﹣x2y1=0，因此．②若x1x2+y1y2=0，则=（）•=x 1x 2+y 1y 2+（x 2y 1+x 1y 2）=（x 2y 1+x 1y 2），无法得到=0，因此不一定正确．故选：A ．24．对于椭圆．若点（x 0，y 0）满足．则称该点在椭圆C （a ，b ）内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则满足条件的点A 构成的图形为（） A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部【考点】椭圆的简单性质．【分析】点A （x 0，y 0）在过点P （2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，可得=1， +≤1．由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，即可得出．【解答】解：设点A （x 0，y 0）在过点P （2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则=1，+≤1．∴+≤=1，由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，可知：满足条件的点A 构成的图形为矩形PBCD 及其内部．故选：B ．三.解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分） 25．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC 所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积求出高，由A1C1与AC平行，得∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BC1与AC所成的角的大小．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，∴，解得h=4，∵A1C1与AC平行，∴∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，在△A1BC1中，A1C1=3，BC1=BA1=5，∴cos∠BC1A1==．∴∠BC1A1=arccos．∴异面直线BC1与AC所成的角的大小为arccos．26．已知函数，求f（x）的最小正周期及最大值，并指出f（x）取得最大值时x的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．【解答】解：∵，∴函数的周期为T=2π，函数的最大值为2，且函数取得最大值时，x+=2kπ+，即x=2kπ+，k∈Z．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．已知灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的标准方程y2=2px（p＞0），点（10，12）代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图所示：则：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），点（10，12）在抛物线y2=2px上，∴144=2p×10．∴=3.6．∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm．28．已知数列{a n}是公差为2的等差数列．（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；（2）设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即对任意n∈N*成立）．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值．=2n﹣19+2n，由此能（2）由已知利用累加法能求出b n=2﹣（）n﹣1．从而能求出c n﹣c n﹣1求出数列{c n}的最小项．【解答】解：（1）∵数列{a n}是公差为2的等差数列．a1，a3，a4成等比数列，∴．解得d=2，a1=﹣8）（2）b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1=1+==2﹣（）n﹣1．，，=2n﹣19+2n由题意n≥9，上式大于零，即c9＜c10＜…＜c n，进一步，2n+2n是关于n的增函数，∵2×4+24=24＞19，2×3+23=14＜19，∴c1＞c2＞c3＞c4＜c5＜…＜c9＜c10＜…＜c n，∴．={x|f（x）＞g（x）}．29．对于函数f（x），g（x），记集合D f＞g（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求D f；＞g（2）设f1（x）=x﹣1，，h（x）=0，如果．求实数a的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法．【分析】（1）直接根据新定义解不等式即可，（2）方法一：由题意可得则在R上恒成立，分类讨论，即可求出a的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出a的取值范围．={x|x＜﹣1或x＞3}；【解答】解：（1）由2|x|＞x+3，得D f＞g（2）方法一：，，由，则在R上恒成立，令，a＞﹣t2﹣t，，∴a≥0时成立．以下只讨论a＜0的情况对于，=t＞0，t2+t+a＞0，解得t＜或t＞，（a＜0）又t＞0，所以，∴=综上所述：方法二（2），，由a≥0．显然恒成立，即x∈Ra＜0时，，在x≤1上恒成立令，，所以，综上所述：．二卷一.选择题：30．若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A．0 B．C．πD．2π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即sin（﹣x+φ）=sin（x+φ），∴（﹣x+φ）=x+φ+2kπ或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ，k∈Z，当（﹣x+φ）=x+φ+2kπ时，可得x=﹣kπ，不满足函数定义；当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+，k∈Z，结合选项可得B为正确答案．故选：B．31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是（）A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi，得到|x+yi﹣1|==4，从而求出其运动轨迹．【解答】解：设z=x+yi，则|x+yi﹣1|==4，∴（x﹣1）2+y2=16，∴运动轨迹是圆，故选：D．32．已知函数y=f（x）的图象是折线ABCDE，如图，其中A（1，2），B（2，1），C（3，2），D（4，1），E（5，2），若直线y=kx+b与y=f（x）的图象恰有四个不同的公共点，则k 的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．C．（0，1]D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．【解答】解；当k=0，1＜b＜2时，显然直线y=b与f（x）图象交于四点，故k可以取0，排除A，C；作直线BE，则k BE=，直线BE与f（x）图象交于三点，平行移动直线BD可发现直线与f（x）图象最多交于三点，即直线y=与f（x）图象最多交于三点，∴k≠．排除D．故选B．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为5．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆中，a=5，∴椭圆的长半轴长a=5．故答案为：5．34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为50π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，∴圆锥的底面半径为5，∴圆锥的侧面积为π×5×10=50π．故答案为：50π．35．小明用数列{a n}记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1（1≤k≤31），他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为28．【考点】数列的应用．【分析】由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，根据a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，即可得出结论．【解答】解：由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，∴该月气象台预报准确的总天数为28．故答案为：28．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，若对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，则称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”．（1）设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，若{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列”求所有可能的有序数组（c1，c2，c3）；（2）已知数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列”，求t的值所构成的集合．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（1）利用“并数列”的定义即可得出．（2）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，公差d，c n，通过分类讨论即可得出．【解答】解：（1）（1，2，3），（1，2，5），（1，3，3），（1，3，5）；（2）a n=t+n﹣1，设{c n}的前10项和为T n，T10=﹣30，T20=﹣260，得d=﹣2，c1=6，所以c n=8﹣2n；c k=a k 或c k=b k．，∴k=1，t=6；或k=2，t=3，所以k≥3．k∈N*时，c k=b k，∵数列{b n}唯一，所以只要b1，b2唯一确定即可．显然，t=6，或t=3时，b1，b2不唯一，．2016年7月25日第21页（共21页）。