2016年上海市高考理科数学试题及答案

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2016年高考理科数学(上海卷) Word版含解析

2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________【解析】d ==4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米）【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3，则该正四棱柱的高等于____________________【答案】【解析】BD =, 123DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________ 【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r rC xC x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C =∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________ 【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>=11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y BP BA ⋅的取值范围是____________【答案】[0,1【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA = , (cos ,sin 1)BP αα=+πcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈+13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =；若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则 111113AO A B B π∠== ∴111O A B 为正三角形∴111O A B S =∴111111113C O A B O A B V OO S -=⋅=(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA == 连,,BC BO OC113AB A B π==, 23AC π= ∴ 3BCπ=∴3BOC π∠=∴BOC 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016年上海市高考数学试卷(理科)

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【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、能力，属于中档题．二．填空题（共 14 小题）
简易逻辑的判定方法，
考查了推理能力与计算
5．（ 2016?上海）设 x ∈ R，则不等式 |x﹣ 3|＜ 1 的解集为【考点】绝对值不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由含绝对值的性质得﹣ ∴﹣ 1＜ x ﹣ 3 ＜ 1，解得 2＜ x＜ 4 ． ∴不等式 |x ﹣ 3|＜ 1 的解集为（ 2 ， 4）．故答案为：（ 2， 4 ）．
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【解答】解：∵ 2Sn＜ S， ∴ 若 a1＞ 0，则若 a1＜ 0，则 q 故选： B．【点评】本题考查命题真假的判断，合理运用．
n
， S=
=
，﹣ 1 ＜ q＜ 1，
，，故 A 与 C 不可能成立；，故 B 成立， D 不成立．
是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的
【分析】 ① 不成立．可举反例：
f（ x ）=
． g（ x ） =
，h
（x ） =
．
② 由题意可得： f （ x ） +g（ x ） =f （ x+T ） +g（ x+T ）， f （ x ） +h （ x） =f （ x+T ） +h （ x+T ）， h（ x ） +g（ x ） =h （ x+T ） +g（ x+T ），可得： g（ x ） =g （ x+T ）， h （ x ） =h （ x+T ）， f （ x ） =f （ x+T ），即可判断出真假．

2016年上海市高考数学试卷(理科)

2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2016•上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为．2．（4分）（2016•上海）设z＝，其中i为虚数单位，则Imz＝．3．（4分）（2016•上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2的距离．4．（4分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是（米）．5．（4分）（2016•上海）已知点（3，9）在函数f（x）＝1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）＝．6．（4分）（2016•上海）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于．7．（4分）（2016•上海）方程3sin x＝1+cos2x在区间[0，2π]上的解为．8．（4分）（2016•上海）在（﹣）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于．9．（4分）（2016•上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．10．（4分）（2016•上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为．11．（4分）（2016•上海）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．12．（4分）（2016•上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y ＝上一个动点，则•的取值范围是．13．（4分）（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）＝a sin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．14．（4分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A 1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++＝，则点P落在第一象限的概率是．二、选择题（5×4＝20分）15．（5分）（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16．（5分）（2016•上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）A．ρ＝6+5cosθB．ρ＝6+5sinθC．ρ＝6﹣5cosθD．ρ＝6﹣5sinθ17．（5分）（2016•上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且＝S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，0.6＜q＜0.7B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C．a1＞0，0.7＜q＜0.8D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.718．（5分）（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19．（12分）（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．20．（14分）（2016•上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．21．（14分）（2016•上海）双曲线x2﹣＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l 过F2且与双曲线交于A，B两点．（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b＝，若l的斜率存在，且（+）•＝0，求l的斜率．22．（16分）（2016•上海）已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）当a＝5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．23．（18分）（2016•上海）若无穷数列{a n}满足：只要a p＝a q（p，q∈N*），必有a p+1＝a q+1，则称{a n}具有性质P．（1）若{a n}具有性质P，且a1＝1，a2＝2，a4＝3，a5＝2，a6+a7+a8＝21，求a3；（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1＝c5＝1；b5＝c1＝81，a n＝b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1＝b n+sin a n（n∈N*），求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．2016年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2016•上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1的解集．【解答】解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，∴﹣1＜x﹣3＜1，解得2＜x＜4．∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．2．（4分）（2016•上海）设z＝，其中i为虚数单位，则Imz＝﹣3．【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z的最简形式，由此能求出Imz．【解答】解：∵Z＝＝＝＝2﹣3i，∴Imz＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用．3．（4分）（2016•上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2的距离．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：平行直线l1：2x+y﹣1＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2的距离：＝．故答案为：．【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．4．（4分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 1.76（米）．【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．【解答】解：∵6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，位于中间的两个数值为1.75，1.77，∴这组数据的中位数是：＝1.76（米）．故答案为：1.76．【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．5．（4分）（2016•上海）已知点（3，9）在函数f（x）＝1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2（x﹣1）（x＞1）．【分析】由于点（3，9）在函数f（x）＝1+a x的图象上，可得9＝1+a3，解得a＝2．可得f（x）＝1+2x，由1+2x＝y，解得x＝log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换即可得出f （x）的反函数f﹣1（x）．【解答】解：∵点（3，9）在函数f（x）＝1+a x的图象上，∴9＝1+a3，解得a＝2．∴f（x）＝1+2x，由1+2x＝y，解得x＝log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换可得：f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2（x﹣1）．故答案为：log2（x﹣1），（x＞1）．【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（4分）（2016•上海）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于2．【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，判断∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，即可求出正四棱柱的高．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，∴∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，∴tan∠D1BD＝，∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，∴BD＝3，∴正四棱柱的高＝3×＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角．7．（4分）（2016•上海）方程3sin x＝1+cos2x在区间[0，2π]上的解为或．【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．【解答】解：方程3sin x＝1+cos2x，可得3sin x＝2﹣2sin2x，即2sin2x+3sin x﹣2＝0．可得sin x＝﹣2，（舍去）sin x＝，x∈[0，2π]解得x＝或．故答案为：或．【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．8．（4分）（2016•上海）在（﹣）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于112．【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n＝256，求得n＝8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，∴2n＝256，解得n＝8，∴（﹣）8中，T r+1＝＝，∴当＝0，即r＝2时，常数项为T3＝（﹣2）2＝112．故答案为：112．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．（4分）（2016•上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．【分析】可设△ABC的三边分别为a＝3，b＝5，c＝7，运用余弦定理可得cos C，由同角的平方关系可得sin C，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可得到所求值．【解答】解：可设△ABC的三边分别为a＝3，b＝5，c＝7，由余弦定理可得，cos C＝＝＝﹣，可得sin C＝＝＝，可得该三角形的外接圆半径为＝＝．故答案为：．【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．10．（4分）（2016•上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为（2，+∞）．【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，利用基本不等式的性质进行求解即可．【解答】解：∵关于x，y的方程组无解，∴直线ax+y＝1与x+by＝1平行，∵a＞0，b＞0，∴≠，即a≠1，b≠1，且ab＝1，则b＝，由基本不等式有：a+b＝a+≥2＝2，当且仅当a＝1时取等，而a的范围为a＞0且a≠1，不满足取等条件，∴a+b＞2，故答案为：（2，+∞）．【点评】本题主要考查直线平行的应用以基本不等式的应用，考查学生的计算能力．11．（4分）（2016•上海）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为4．【分析】对任意n∈N*，S n∈{2，3}，列举出n＝1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．【解答】解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n＝1时，a1＝S1＝2或3；若n＝2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n＝3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n＝4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1．故答案为：4．【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．12．（4分）（2016•上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y ＝上一个动点，则•的取值范围是[0，1+]．【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则＝（1，1），＝（cosα，sinα+1），由此能求出•的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y＝上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴＝（1，1），＝（cosα，sinα+1），＝cosα+sinα+1＝，∴•的取值范围是[0，1+]．故答案为：[0，1+]．【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用．13．（4分）（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）＝a sin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为4．【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）＝a sin（bx+c），∴必有|a|＝2，若a＝2，则方程等价为sin（3x﹣）＝sin（bx+c），则函数的周期相同，若b＝3，此时C＝，若b＝﹣3，则C＝，若a＝﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）＝﹣sin（bx+c）＝sin（﹣bx﹣c），若b＝﹣3，则C＝，若b＝3，则C＝，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．14．（4分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A 1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++＝，则点P落在第一象限的概率是．【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足++＝，且点P落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．满足++＝，且点P落在第一象限，对应的A i，A j，为：（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法．∴点P落在第一象限的概率是，故答案为：．【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题．二、选择题（5×4＝20分）15．（5分）（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2016•上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）A．ρ＝6+5cosθB．ρ＝6+5sinθC．ρ＝6﹣5cosθD．ρ＝6﹣5sinθ【分析】由图形可知：时，ρ取得最大值，即可判断出结论．【解答】解：由图形可知：时，ρ取得最大值，只有D满足上述条件．故选：D．【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）（2016•上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且＝S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，0.6＜q＜0.7B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C．a1＞0，0.7＜q＜0.8D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7【分析】由已知推导出，由此利用排除法能求出结果．【解答】解：∵，S＝＝，﹣1＜q＜1，2S n＜S，∴，若a1＞0，则，故A与C不可能成立；若a1＜0，则q n，在B中，a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6故B成立；在D中，a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7，此时q2＞，D不成立．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．18．（5分）（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【分析】①不成立．可举反例：f（x）＝．g（x）＝，h（x）＝．②由题意可得：f（x）+g（x）＝f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）＝f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）＝h（x+T）+g（x+T），可得：g（x）＝g（x+T），h（x）＝h（x+T），f（x）＝f（x+T），即可判断出真假．【解答】解：①不成立．可举反例：f（x）＝．g（x）＝，h（x）＝．②∵f（x）+g（x）＝f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）＝f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）＝h（x+T）+g（x+T），前两式作差可得：g（x）﹣h（x）＝g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）＝g （x+T），h（x）＝h（x+T），同理可得：f（x）＝f（x+T），因此②正确．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（74分）19．（12分）（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．【分析】（1）连结O 1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而＝，由此能求出三棱锥C﹣O1A1B1的体积．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1＝∠A1O1B1＝，∴△O1A1B1为正三角形，∴＝，＝＝．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1＝AA1＝1，连结BC、BO、OC，∠AOB＝∠A1O1B1＝，，∴∠BOC＝，∴△BOC为正三角形，∴BC＝BO＝1，∴tan∠BB1C＝1，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（14分）（2016•上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．【分析】（1）设分界线上任意一点为（x，y），根据条件建立方程关系进行求解即可．（2）设M（x0，y0），则y0＝1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH的面积，进行比较即可．【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得|x+1|＝，得y＝2，（0≤x≤1），（2）设M（x0，y0），则y0＝1，∴x0＝＝，∴设所表述的矩形面积为S3，则S3＝2×（+1）＝2×＝，设五边形EMOGH的面积为S4，则S4＝S3﹣S△OMP+S△MGN＝﹣××1+＝，S1﹣S3＝＝，S4﹣S1＝﹣＝＜，∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．21．（14分）（2016•上海）双曲线x2﹣＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l 过F2且与双曲线交于A，B两点．（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b＝，若l的斜率存在，且（+）•＝0，求l的斜率．【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程．（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．【解答】解：（1）双曲线x2﹣＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，a＝1，c2＝1+b2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点，直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，可得：A（c，b2），可得：，3b4＝4（a2+b2），即3b4﹣4b2﹣4＝0，b＞0，解得b2＝2．所求双曲线方程为：x2﹣＝1，其渐近线方程为y＝±x．（2）b＝，双曲线x2﹣＝1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的斜率为：k＝，直线l的方程为：y＝k（x﹣2），由题意可得：，消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，△＝36（1+k2）＞0且3﹣k2≠0，可得x1+x2＝，则y1+y2＝k（x1+x2﹣4）＝k（﹣4）＝．＝（x1+2，y1），＝（x2+2，y2），（+）•＝0可得：（x1+x2+4，y1+y2）•（x1﹣x2，y1﹣y2）＝0，可得x1+x2+4+（y1+y2）k＝0，得+4+•k＝0可得：k2＝，解得k＝±．l的斜率为：±．【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用．22．（16分）（2016•上海）已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）当a＝5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【分析】（1）当a＝5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f（t）﹣f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）当a＝5时，f（x）＝log2（+5），由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，即+5＞1，则＞﹣4，则+4＝＞0，即x＞0或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣}．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0．即log2（+a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，当a＝4时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立当a＝3时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝﹣1或x＝，若x＝﹣1是方程①的解，则+a＝a﹣1＞0，即a＞1，若x＝是方程①的解，则+a＝2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a＝3或a＝4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣＝设1﹣t＝r，则0≤r≤，＝＝，当r＝0时，＝0，当0＜r≤时，＝，∵y＝r+在（0，）上递减，∴r+≥＝，∴＝＝，∴实数a的取值范围是a≥．【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．23．（18分）（2016•上海）若无穷数列{a n}满足：只要a p＝a q（p，q∈N*），必有a p+1＝a q+1，则称{a n}具有性质P．（1）若{a n}具有性质P，且a1＝1，a2＝2，a4＝3，a5＝2，a6+a7+a8＝21，求a3；（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1＝c5＝1；b5＝c1＝81，a n＝b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1＝b n+sin a n（n∈N*），求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．【分析】（1）利用已知条件通过a2＝a5＝2，推出a3＝a6，a4＝a7，转化求解a3即可．（2）设无穷数列{b n}的公差为：d，无穷数列{c n}的公比为q，则q＞0，利用条件求出，d与q，求出b n，c n得到a n的表达式，推出a2≠a6，说明{a n}不具有性质P．（3）充分性：若{b n}是常数列，设b n＝C，通过a n+1＝C+sin a n，证明a p+1＝a q+1，得到{a n}具有性质P．必要性：若对于任意a1，{a n}具有性质P，得到a2＝b1+sin a1，设函数f（x）＝x﹣b1，g （x）＝sin x，说明b n+1＝b n，即可说明{b n}是常数列．【解答】解：（1）∵a2＝a5＝2，∴a3＝a6，a4＝a7＝3，∴a5＝a8＝2，a6＝21﹣a7﹣a8＝16，∴a3＝16．（2）设无穷数列{b n}的公差为：d，无穷数列{c n}的公比为q，则q＞0，b5﹣b1＝4d＝80，∴d＝20，∴b n＝20n﹣19，＝q4＝，∴q＝，∴c n＝∴a n＝b n+c n＝20n﹣19+．∵a1＝a5＝82，而a2＝21+27＝48，a6＝101＝．a1＝a5，但是a2≠a6，{a n}不具有性质P．（3）充分性：若{b n}是常数列，设b n＝C，则a n+1＝C+sin a n，若存在p，q使得a p＝a q，则a p+1＝C+sin a p＝C+sin a q＝a q+1，故{a n}具有性质P．必要性：若对于任意a1，{a n}具有性质P，则a2＝b1+sin a1，设函数f（x）＝x﹣b1，g（x）＝sin x，由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b1，二者图象必有一个交点，∴一定能找到一个a1，使得a1﹣b1＝sin a1，∴a2＝b1+sin a1＝a1，∴a n＝a n+1，故b n+1＝a n+2﹣sin a n+1＝a n+1﹣sin a n＝b n，∴{b n}是常数列．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大．第21页（共21页）。

2016年上海高考数学(理科)真题含解析

2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x R ，则不等式31x的解集为________________【答案】(2,4)【解析】131x，即24x，故解集为(2,4)2. 设32ii z ，其中i 为虚数单位，则Im z_________________【答案】3【解析】i(32i)23i z，故Im 3z3. 1l :210x y , 2l :210xy , 则12,l l 的距离为__________________【答案】255【解析】221125521d4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___（米）【答案】 1.765. 已知点(3,9)在函数()1xf x a 的图像上，则()f x 的反函数1()fx ____________【答案】2log (1)x 【解析】319a ，故2a ，()12xf x ∴2log (1)x y ∴12()log (1)fx x 6. 如图，在正四棱柱1111ABCDA B C D 中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan3，则该正四棱柱的高等于____________________【答案】22【解析】32BD, 12223DD BD 7. 方程3sin 1cos2x x 在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x【解析】23sin 22sin x x ，即22sin 3sin 2xx∴(2sin 1)(sin 2)0x x ∴1sin 2x ∴π5π,66x8. 在32nxx的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________【答案】112【解析】2256n ，8n通项88433882()(2)rrrrr rC x C xx取2r常数项为228(2)112C 9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【答案】733【解析】3,5,7abc ，2221cos 22ab c Cab∴3sin 2C ∴732sin 3c RC10. 设0,0a b，若关于,x y 的方程组11ax y xby无解，则a b 的取值范围是_____________【答案】(2,)【解析】由已知，1ab ，且ab ，∴22ab ab 11. 无穷数列n a 由k 个不同的数组成，n S 为n a 的前n 项和，若对任意*nN ，{2,3}nS ，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B , P 是曲线21yx 上一个动点，则BP BA 的取值范围是____________ 【答案】[0,12]【解析】设(cos ,sin )P ,[0,π]，(1,1)BA , (cos ,sin1)BP πcos[0,12]sin12sin()14BP BA13. 设,,a b R , [0,2π)c ，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3xa bxc ，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a若3b ，则5π3c ；若3b，则4π3c(ii)若2a，若3b，则π3c；若3b ，则2π3c共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i jOP OA OA ，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528【解析】285528C二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a R ，则“1a ”是“21a ”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】 A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos B. 65sin C.65cosD.65sin【答案】 D 【解析】π2时，达到最大17. 已知无穷等比数列n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且l i m n nS S ，下列条件中，使得*2()nS S nN 恒成立的是( )A. 10a , 0.60.7qB. 10a , 0.70.6qC. 10a , 0.70.8qD. 10a ,0.80.7q【答案】 B 【解析】1(1)1nna q S q, 11a Sq,11q 2n S S ，即1(21)0na q 若10a ，则12nq ，不可能成立若10a ，则12nq，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x ，()()f x h x ，()()g x h x 均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x ，()()f x h x ，()()g x h x 均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】 D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x xx , 03,023,21()1,xx xx x xg x , 0(0)2,,x h x x xx ②()()()()f xg x f x T g x T ()()()()f xh x f x T h xT ()()()()g x h x g xT h x T 前两式作差，可得()()()()g x h x g xT h xT 结合第三式，可得()()g x g xT , ()()h x h x T 也有()()f x f x T ∴②正确故选 D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23，11A B 长为3，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧(1) 求三棱锥111CO A B 的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则111113AO A B B ∴111O A B 为正三角形∴11134O A B S ∴111111113312CO A B O A B V OO S(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥∴1BB C 为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA 连,,BC BO OC 113AB A B , 23AC∴3BC ∴3BOC∴BOC 为正三角形∴1BC BO ∴11tan 1BC BB CBB ∴145BB C∴直线1B C 与1AA 所成角大小为4520．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016年上海市高考(理科)数学真题及答案()

2016年上海市高考（理科）数学真题及答案(word版）2016年上海市高考（理科）数学真题及答案(word版）2016年上海市高考（理科）数学真题及答案和解析 ,,则3（a+bi)+a-bi＝1+i4a=1且2b=Z【考点定位】复数相等，共轭复数3、若线性方程组的增广矩阵为、解为，则．【答案】16【解析】由题意得：c1=2x+3y=2x3+3x5=21,c2=0.x+y=5,c1-c2=21-5=16【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a＝_____ ．【答案】4【解析】【考点定位】正三棱柱的体积5、抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为1，则p=_________ ．【答案】2【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，【考点定位】抛物线定义6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2 ，则其母线与轴的夹角的大小为_____ ．【答案】【解析】由题意得：母线与轴的夹角为【考点定位】圆锥轴截面7、方程的解为____________ ．【答案】2【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为___________（结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：【考点定位】排列组合9、已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为，则C2的渐近线方程为【答案】【考点定位】双曲线渐近线10、设为，的反函数，则的最大值为．【答案】【解析】由题意得：在上单调递增，值域为，所以在上单调递增，因此在上单调递增，其最大值为【考点定位】反函数性质11、在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．【答案】【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则（元）．【答案】该试题及答案加解析（Word版）完整。

2016年上海市高考数学试卷(理科)

2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2016•上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为．2．（4分）（2016•上海）设z=，其中i为虚数单位，则Imz=．3．（4分）（2016•上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离．4．（4分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是（米）．5．（4分）（2016•上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=．6．（4分）（2016•上海）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于．7．（4分）（2016•上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为．8．（4分）（2016•上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于．9．（4分）（2016•上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．10．（4分）（2016•上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为．11．（4分）（2016•上海）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．12．（4分）（2016•上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．13．（4分）（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．14．（4分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．二、选择题（5×4=20分）15．（5分）（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件16．（5分）（2016•上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）A．ρ=6+5cosθB．ρ=6+5sinθC．ρ=6﹣5cosθD．ρ=6﹣5sinθ17．（5分）（2016•上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.718．（5分）（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19．（12分）（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为π，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．20．（14分）（2016•上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．21．（14分）（2016•上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）•=0，求l的斜率．22．（16分）（2016•上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．23．（18分）（2016•上海）若无穷数列{a n}满足：只要a p=a q（p，q∈N*），必有a p+1=a q+1，则称{a n}具有性质P．（1）若{a n}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1=b n+sina n（n∈N*），求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．2016年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2016•上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，∴﹣1＜x﹣3＜1，解得2＜x＜4．∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．故答案为：（2，4）．2．（4分）（2016•上海）设z=，其中i为虚数单位，则Imz=﹣3．解：∵Z====2﹣3i，∴Imz=﹣3．故答案为：﹣3．3．（4分）（2016•上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离．解：平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离：=．故答案为：．4．（4分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 1.76（米）．解：∵6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，位于中间的两个数值为1.75，1.77，∴这组数据的中位数是：=1.76（米）．故答案为：1.76．5．（4分）（2016•上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）（x＞1）．解：∵点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，∴9=1+a3，解得a=2．∴f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换可得：f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）．故答案为：log2（x﹣1），（x＞1）．6．（4分）（2016•上海）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于2．解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，∴∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，∴tan∠D1BD=，∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，∴BD=3，∴正四棱柱的高=3×=2，故答案为：2．7．（4分）（2016•上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为或．解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x∈[0，2π]解得x=或．故答案为：或．8．（4分）（2016•上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于112．解：∵在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，∴2n=256，解得n=8，∴（﹣）8中，T r+1==，∴当=0，即r=2时，常数项为T3=（﹣2）2=112．故答案为：112．9．（4分）（2016•上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC===﹣，可得sinC===，可得该三角形的外接圆半径为==．故答案为：．10．（4分）（2016•上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为（2，+∞）．解：∵关于x，y的方程组无解，∴直线ax+y=1与x+by=1平行，∵a＞0，b＞0，∴≠，即a≠1，b≠1，且ab=1，则b=，则a+b=a+，则设f（a）=a+，（a＞0且a≠1），则函数的导数f′（a）=1﹣=，当0＜a＜1时，f′（a）=＜0，此时函数为减函数，此时f（a）＞f（1）=2，当a＞1时，f′（a）=＞0，此时函数为增函数，f（a）＞f（1）=2，综上f（a）＞2，即a+b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）．11．（4分）（2016•上海）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为4．解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1．故答案为：4．12．（4分）（2016•上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是[0，1+]．解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴=（1，1），=（cosα，sinα+1），=cosα+sinα+1=，∴•的取值范围是[0，1+]．故答案为：[0，1+]．13．（4分）（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为4．解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．14．（4分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．满足++=，且点P落在第一象限，对应的A i，A j，为：（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法．∴点P落在第一象限的概率是，故答案为：．二、选择题（5×4=20分）15．（5分）（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．16．（5分）（2016•上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）A．ρ=6+5cosθB．ρ=6+5sinθC．ρ=6﹣5cosθD．ρ=6﹣5sinθ解：由图形可知：时，ρ取得最大值，只有D满足上述条件．故选：D．17．（5分）（2016•上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7解：∵，S==，﹣1＜q＜1，2S n＜S，∴，若a1＞0，则，故A与C不可能成立；若a1＜0，则q n，故B成立，D不成立．故选：B．18．（5分）（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题解：①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g （x）=h（x+T）+g（x+T），前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确．故选：D．三、解答题（74分）19．（12分）（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为π，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1为正三角形，∴=，==．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．20．（14分）（2016•上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得|x+1|=，得y=2，（0≤x≤1），（2）设M（x0，y0），则y0=1，∴x0==，∴设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×（+1）=2×=，设五边形EMOGH的面积为S4，则S4=S3﹣S△OMP+S△MGN=﹣××1+=，S1﹣S3==，S4﹣S1=﹣=＜，∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．21．（14分）（2016•上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）•=0，求l的斜率．解：（1）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，a=1，c2=1+b2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点，直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，可得：A（c，b2），可得：，3b4=4（a2+b2），即3b4﹣4b2﹣4=0，b＞0，解得b2=2．所求双曲线方程为：x2﹣=1，其渐近线方程为y=±x．（2）b=，双曲线x2﹣=1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的斜率为：k=，直线l的方程为：y=k（x﹣2），由题意可得：，消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，△=36（1+k2）＞0，可得x1+x2=，则y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k（﹣4）=．=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），（+）•=0可得：（x1+x2+4，y1+y2）•（x1﹣x2，y1﹣y2）=0，可得x1+x2+4+（y1+y2）k=0，得+4+•k=0可得：k2=，解得k=±．l的斜率为：±．22．（16分）（2016•上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．解：（1）当a=5时，f（x）=log2（+5），由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，即+5＞1，则＞﹣4，则+4=＞0，即x＞0或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣}．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0．即log2（+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，∴r+≥=，∴==，∴实数a的取值范围是a≥．23．（18分）（2016•上海）若无穷数列{a n}满足：只要a p=a q（p，q∈N*），必有a p+1=a q+1，则称{a n}具有性质P．（1）若{a n}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1=b n+sina n（n∈N*），求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．解：（1）∵a2=a5=2，∴a3=a6，a4=a7=3，∴a5=a8=2，a6=21﹣a7﹣a8=16，∴a3=16．（2）设无穷数列{b n}的公差为：d，无穷数列{c n}的公比为q，则q＞0，b5﹣b1=4d=80，∴d=20，∴b n=20n﹣19，=q4=，∴q=，∴c n=∴a n=b n+c n=20n﹣19+．∵a1=a5=82，而a2=21+27=48，a6=101=．a1=a5，但是a2≠a6，{a n}不具有性质P．（3）充分性：若{b n}是常数列，设b n=C，则a n+1=C+sina n，若存在p，q使得a p=a q，则a p+1=C+sina p=C+sina q=a q+1，故{a n}具有性质P．必要性：若对于任意a1，{a n}具有性质P，则a2=b1+sina1，设函数f（x）=x﹣b1，g（x）=sinx，由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b1，二者图象必有一个交点，∴一定能找到一个a1，使得a1﹣b1=sina1，∴a2=b1+sina1=a1，∴a n=a n+1，故b n+1=a n+2﹣sina n+1=a n+1﹣sina n=b n，∴{b n}是常数列．。

16年高考真题——理科数学(上海卷)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学一．填空题：本大题共14小题，每小题4分，共计56分。

1．设R x ∈，则不等式1|3|<-x 的解集为_____________。

2．设()i z 23+=，其中i 为虚数单位，则=z Im _____________。

3．直线1l ：012=-+y x ，2l ：012=++y x ，则21,l l 的距离为_____________。

4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为77.1,69.1,80.1,75.1,78.1,72.1，则这组数据的中位数是_____________（米）。

5．已知点()9,3在函数()x a x f +=1的图像上，则()x f 的反函数()=-x f1_____________。

6．如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan3，则该正四棱柱的高等于_____________。

7．方程x x 2cos 1sin 3+=在区间[]π2,0上的解为_____________。

8．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______。

9．已知ABC ∆的三边长为7,5,3，则该三角形的外接圆半径等于_____________。

10．设0,0>>b a ，若关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=+=+11by x y ax 无解，则b a +的取值范围是_____________。

11．无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意+∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为_____________。

12．在平面直角坐标系中，已知()0,1A ，()1,0-B ，P 是曲线21x y -=上一个动点，则BP BA ⋅的取值范围是_____________。

2016上海市高考数学试卷及答案(理数)

2016年上海高考数学（理科）试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A = .3．函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是 .4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .7．已知函数||)(a x ex f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD CN BC BM =，则⋅的取值范围是 . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（）（A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b . 16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（）（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定.17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则（）（A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD . （D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18．设251sin πn n n a =，n na a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是（）（A ）25. （B ）50. （C ）75.（D ）100. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，P A=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）ABCDABCPE21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（822．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证： OP ⊥OQ ；（6分）（3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分）23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P .（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.（8分）2016年上海高考数学（理科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：ii+-13= 1-2i （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A =)3,(21- . 3．函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是],[2325-- .4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 arctan2 （结果用反三角函数值表示）. 5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 -160 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 78 .7．已知函数||)(a x ex f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 (-∞, 1] .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为π33 .9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g -1 .10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf )sin(16θπ- . 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是32（结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD CN BC BM =，则⋅的取值范围是 [2, 5] . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为45. 14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是12232--c a c . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ B ）（A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b .16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ C ）（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定.ABCD17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则（ A ）（A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD . （D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18．设251sin πn n n a =，n na a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ D ）（A ）25. （B ）50. （C ）75. （D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，P A=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分） [解]（1）因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD . ……3分因为PD=32)22(222=+，CD =2，所以三角形PCD 的面积为3232221=⨯⨯. （2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2, 1)，)1,2,1(=AE ，)0,22,0(=BC . ……8 设AE 与的夹角为θ，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ，θ=4π. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分 [解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2知AEF ∆是等腰直角三角形，所以∠AEF =4π.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分（2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分AB CD PE yAB CDP EF由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程y =中，得P 的纵坐标y P =3. 由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证： OP ⊥OQ ；（6分）（3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分） [解]（1）双曲线1:21212=-y C x ，左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……2分所以所求三角形的面积1为8221||||==y OA S . ……4分（2）设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切，故12||=b ，即22=b . ……6分由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ，得01222=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x . 又2，所以221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ，故OP ⊥OQ . ……10分（3）当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |=1，|OM |=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=. 由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k k ON ++=.同理121222||-+=k k OM . ……13分设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d =33.综上，O 到直线MN 的距离是定值. ……16分 23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P . （1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.（8分）[解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -. ……2分所以x =2b ，从而x =4. ……4分（2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a .由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X . ……7分假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ，则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1. ……10分（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……12分记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n . 先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ；当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P. ……15分现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s 与t中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1，不可能；所以1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以kk q x =+1. 综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……18分[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称. ……14分注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数，所以),0(∞+ B 也只有n -1个数. 由于1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<<……12x x 注意到12111x x x x x x n n >>>- ，所以12211x x x x x x n n n n ===--- ，从而数列的通项公式为111)(12--==k k x xk q x x ，k =1, 2, …, n . ……18分。

2016年高考试题：理科数学(上海卷)(解析版)

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为__________.2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =_____________.3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）.5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数.6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________.7、方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是_________.11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.12.在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）（A）θρcos 56+=（B）θρin s 56+=（C）θρcos 56-=（D）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（）（A）7.06.0,01<<>q a （B）6.07.0,01-<<-<q a （C）8.07.0,01<<>q a （D）7.08.0,01-<<-<q a 18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，A 1B 1长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧。

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,参考版解析)

2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________25【解析】22112521d +==+4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米）【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3，则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】2【解析】32BD =12223DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r r C x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =则BP BA ⋅的取值范围是____________【答案】[0,1+【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =, (cos ,sin 1)BP αα=+πcos [0,12]sin 12)14BP BA ααα⋅=+++∈+13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =；若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )A. 65cos ρθ=+B. 65sin ρθ=+C. 65cos ρθ=-D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ) A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩ ②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则111113AO A B B π∠==∴111O A B 为正三角形 ∴1113O A B S=∴1111111133C O A B O A B V OO S -=⋅=(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角） 111BB AA == 连,,BC BO OC113AB A B π==, 23AC π=∴3BC π=∴3BOC π∠=∴BOC 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016上海理高考数学试题

2016年普通高等学校招生全国统一考试(上海理)一、填空题1．设x ∈R ，则不等式|x －3|＜1的解集为___________．2．设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则I m z ＝____________． 3．已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离____________．4．某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1．72，1．78，1．75，1．80，1．69，1．77则这组数据的中位数是_________(米)5．已知点(3，9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝___________． 6．如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3，BD 1与底面所成角的大小为arctan 23，则该正四棱柱的高等于____________．7．方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间[0，2π]上的解为________．8．在⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x n 的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．9．已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于_________．10．设a ＞0，b ＞0．若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是____________．11．无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和．若对任意n ∈N *，S n ∈{2，3}，则k 的最大值为________．12．在平面直角坐标系中，已知A (1，0)，B (0，－1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则BP →·BA →的取值范围是________．13．设a ，b ∈R ，c ∈[0，2π)，若对任意实数x 都有2sin(3x －π3)＝a sin(bx ＋c )，则满足条件的有序实数组(a ，b ，c )的组数为．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2…A 8的中心，A 1(1，0)．任取不同的两点A i ，A j ，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是．二、选择题(5×4=20)15．设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞1”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 16．下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A ．ρ＝6＋5cos θ B ．ρ＝6＋5sin θ C ．ρ＝6－5cos θ D ．ρ＝6－5sin θ17．已知无穷等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且S S n n =∞→lim ．下列条件中，使得2S n ＜S (n ∈N *)恒成立的是( )A ．a 1＞0，0．6＜q ＜0．7B ．a 1＜0，－0．7＜q ＜－0．6C ．a 1＞0，0．7＜q ＜0．8D ．a 1＜0，－0．8＜q ＜－0．718．设f (x )、g (x )、h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①．若f (x )＋g (x )、f (x )＋h (x )、g (x )＋h (x )均为增函数，则f (x )、g (x )、h (x )中至少有一个增函数；②．若f (x )＋g (x )、f (x )＋h (x )、g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )、g (x )、h (x )均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题三、解答题(74分)19．将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC ︵长为2π3，A 1B 1︵长为π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．(1)求三棱锥C －O 1A 1B 1的体积；(2)求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．20、(本题满分14)有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1，0)，如图⑴．求菜地内的分界线C 的方程⑵．菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的“经验值”为83．设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S 1面积的经验值21．双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，ΔF 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝3，若的斜率存在，且(F 1A ―→＋F 1B ―→)·AB →＝0，求l 的斜率．22．已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2(1x＋a )．(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＞0；(2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围； (3)设a ＞0，若对任意t ∈[12，1]，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．23．若无穷数列{a n }满足：只要a p ＝a q (p ，q ∈N *)，必有a p ＋1＝a q ＋1，则称{a n }具有性质P ． (1)若{a n }具有性质P ，且a 1＝1，a 2＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＋a 7＋a 8＝21，求a 3；(2)若无穷数列{b n }是等差数列，无穷数列{c n }是公比为正数的等比数列，b 1＝c 5＝1，b 5＝c 1＝81，a n ＝b n ＋c n ，判断{a n }是否具有性质P ，并说明理由；(3)设{b n }是无穷数列，已知a n ＋1＝b n ＋sin a n (n ∈N *)，求证：“对任意a 1，{a n }都具有性质P ”的充要条件为“{b n }是常数列”．参考答案1．(2，4) 2．－3 3．2554．1．76 5．log 2(x －1) 6．2 27．解析：由3sin x ＝1＋cos 2x ，得3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)，所以原方程在区间[0,2π]上的解为π6或5π6．8．解析：由题意得2n ＝256，所以n ＝8，则二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(3x )8－r ⎝⎛⎭⎫－2x r＝(－2)r C r 8x 83－43r ，令83－43r ＝0，得r ＝2，所以常数项为T 3＝(－2)2C 28＝112． 9．解析：利用余弦定理可求得最大边所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32，设外接圆半径为R ，则由正弦定理得2R ＝732，所以R ＝733． 10．解析：将方程组中的第一个方程化为y ＝1－ax ，代入第二个方程整理得(1－ab )x ＝1－b ，由方程组无解得1－ab ＝0且1－b ≠0，故ab ＝1且b ≠1．由基本不等式得a ＋b ＞2ab ＝2，故a ＋b 的取值范围是(2，＋∞)．11．解析：由S n ∈{2，3}，得a 1＝S 1∈{2，3}．将数列写出至最多项，其中有相同项的情况舍去，共有如下几种情况：①a 1＝2，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝－1； ②a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1； ③a 1＝2，a 2＝1，a 3＝－1，a 4＝0； ④a 1＝3，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝1； ⑤a 1＝3，a 2＝－1，a 3＝0，a 4＝1； ⑥a 1＝3，a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝0．最多项均只能写到第4项，即k max ＝4． 12．解析：由题意得y ＝1－x 2表示以原点为圆心，1为半径的上半圆，设P (cos α，sin α)，α∈[0，π]，则BA ―→＝(1，1)，BP ―→＝(cos α，sin α＋1)，所以BP ―→·BA ―→＝cos α＋sin α＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋1，因为α∈[0，π]，所以0≤BP ―→·BA ―→≤1＋2． 13． 4 14．52815．A 16．D 17．B 18．D19．解 (1)连接A 1B 1，因为A 1B 1︵＝π3，故∠O 1A 1B 1＝∠A 1O 1B 1＝π3，故△O 1A 1B 1为正三角形，故S △O 1A 1B 1＝12·O 1A 1·O 1B 1·sin π3＝34．故V C －O 1A 1B 1＝13·OO 1·S △O 1A 1B 1＝13×1×34＝312，故三棱锥C －O 1A 1B 1的体积为312． (2)以O 为坐标原点建系如图，则A (0，1，0)，A 1(0，1，1)，B 1⎝⎛⎭⎫32，12，1，C ⎝⎛⎭⎫32，－12，0．故AA 1→＝(0，0，1)，B 1C →＝(0，－1，－1)，故cos 〈AA 1→，B 1C →〉＝AA 1→·B 1C →|AA 1→||B 1C →|＝0×0＋0×（－1）＋1×（－1）1×02＋（－1）2＋（－1）2＝－22，故〈AA 1→，B 1C →〉＝3π4，故异面直线B 1C 与AA 1所成的角为π4．20．(1)因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以EH 为准线的抛物线在正方形EFGH 内的部分，其方程为y 2＝4x (0＜y ＜2)．(2)依题意，点M 的坐标为(14，1)．所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114．矩形面积与“经验值”之差的绝对值为|52－83|＝16，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为|114－83|＝112，所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”．21(1)设A (x A ，y A )．由题意，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，y A 2＝b 2(c 2－1)＝b 4，因为ΔF 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3| y A |，即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2．故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ．(2)由已知，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)．显然k ≠0．由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩得，(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0．因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)＞0．设AB 的中点为M (x M ，y M )．由(F 1A ―→＋F 1B ―→)·AB →＝0，即F 1M →·AB →＝0，知F 1M ⊥AB ，故k F 1M ·k ＝－1．而2122223x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，1F 2323k k k M =-，所以23123k k k ⋅=--，得k 2＝35，故l 的斜率为±155． 22．解：(1)由log 2(1x ＋5)＞0，得1x ＋5＞1，解得x ∈(－∞，－14)∪(0，＋∞)．(2) 1x ＋a ＝(a －4)x ＋2a －5，(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0，当a ＝4时，x ＝－1，经检验，满足题意．当a ＝3时，x 1＝x 2＝－1，经检验，满足题意．当a ≠3且a ≠4时，x 1＝1a －4，x 2＝－1，x 1≠x 2．x 1是原方程的解当且仅当1x 1＋a ＞0，即a ＞2；x 2是原方程的解当且仅当1x 2＋a ＞0，即a ＞1．于是满足题意的a ∈(1，2]．综上，a 的取值范围为(1，2]∪{3，4}．(3)当0＜x 1＜x 2时，1x 1＋a ＞1x 2＋a ，log 2(1x 1＋a )＞log 2(1x 2＋a )，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)，f (t )－f (t ＋1)＝log 2(1t ＋a )－log 2(11＋t＋a )≤1，即at 2＋(a ＋1)t －1≥0，对任意t ∈[12，1]成立．因为a ＞0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间[12，1]上单调递增，t ＝12时，y 有最小值34a －12，由34a －12≥0，得a ≥23．故a 的取值范围为[23，＋∞)．23．解：(1)因为a 5＝a 2，所以a 6＝a 3，a 7＝a 4＝3，a 8＝a 5＝2，于是a 6＋a 7＋a 8＝a 3＋3＋2．又因为a 6＋a 7＋a 8＝21，所以a 3＝16．(2){b n }的公差为20，{c n }的公比为13，所以b n ＝1＋20(n －1)＝20n －19，c n ＝81·⎝⎛⎭⎫13n －1＝35－n ，a n ＝b n ＋c n ＝20n －19＋35－n ．a 1＝a 5＝82，但a 2＝48，a 6＝3043，a 2≠a 6，所以{a n }不具有性质P ．(3)证明：充分性：当{b n }为常数列时，a n ＋1＝b 1＋sin a n ．对任意给定的a 1，若a p ＝a q ，则b 1＋sin a p ＝b 1＋sin a q ，即a p ＋1＝a q ＋1，充分性得证．必要性：用反证法证明．假设{b n }不是常数列，则存在k ∈N *，使得b 1＝b 2＝…＝b k ＝b ，而b k＋1≠b ．下面证明存在满足a n ＋1＝b n ＋sin a n 的{a n }，使得a 1＝a 2＝…＝a k ＋1，但a k ＋2≠a k ＋1．设f (x )＝x －sin x －b ，取m ∈N *，使得m π＞|b |，则f (m π)＝m π－b ＞0，f (－m π)＝－m π－b <0，故存在c 使得f (c )＝0．取a 1＝c ，因为a n ＋1＝b ＋sin a n (1≤n ≤k )，所以a 2＝b ＋sin c ＝c ＝a 1，依此类推，得a 1＝a 2＝…＝a k ＋1＝c ．但a k ＋2＝b k ＋1＋sin a k ＋1＝b k ＋1＋sin c ≠b ＋sin c ，即a k ＋2≠a k ＋1．所以{a n }不具有性质P ，矛盾．必要性得证．综上，“对任意a 1，{a n }都具有性质P ”的充要条件为“{b n }是常数列”．2016山东文一、选择题1．设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4，5}，则∁U (A ∪B )＝ A ．{2，6} B ．{3，6} C ．{1，3，4，5} D ．{1，2，4，6} 2．若复数z ＝21－i，其中i 为虚数单位，则z ＝A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i3．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17．5，30]，样本数据分组为[17．5，20)，[20，22．5)，[22．5，25)，[25，27．5)，[27．5，30)．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是A ．56B ．60C ．120D ．1404．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．125．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为A ．13＋23πB ．13＋23πC ．13＋26πD ．1＋26π6．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A ．34π B ．π3 C ．π4 D ．π69．已知函数f (x )的定义域为R ．当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝—f (x )；当x ＞12时，f (x ＋12)＝f (x －12)．则f (6)＝ A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．210．若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3二、填空题11．执行右边的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为_______．12．观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； ……照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________．13．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________． 14．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是_______．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m ＞0．若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是_______．三、解答题16．(本小题满分12分)某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x ，y ．奖励规则如下：①．若xy ≤3，则奖励玩具一个； ②．若xy ≥8，则奖励水杯一个； ③．其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． (I)求小亮获得玩具的概率；(II)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．17．(本小题满分12分)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (π6)的值．18．(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB ．(I)已知AB ＝BC ，AE ＝EC ．求证：AC ⊥FB ；(II)已知G ，H 分别是EC 和FB 的中点．求证：GH ∥平面ABC ．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n＋1．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n，求数列{c n }的前n 项和T n ．20．(本小题满分13分)设f (x )＝－ax 2＋(2a －1)x ＋x ln x ，a ∈R ． ⑴．令g (x )＝f'(x )，求g (x )的单调区间；⑵．已知f (x )在x ＝1处取得极大值．求实数a 的取值范围．21．(本小题满分14分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2错误!未找到引用源。

(完整word版)2016年上海市高考数学试题答卷(理科)

2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2016?上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为．2．（4分）（2016?上海）设z=，其中i为虚数单位，则Imz=．3．（4分）（2016?上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离．4．（4分）（2016?上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是（米）．5．（4分）（2016?上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=．．（4分）（2016?上海）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于．7．（4分）（2016?上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为．．（4分）（2016?上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于．9．（4分）（2016?上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．10．（4分）（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为．11．（4分）（2016?上海）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．12．（4分）（2016?上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则?的取值范围是．13．（4分）（2016?上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．14．（4分）（2016?上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．二、选择题（5×4=20分）15．（5分）（2016?上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16．（5分）（2016?上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）A．ρ=6+5cosθB．ρ=6+5sinθC．ρ=6﹣5cosθD．ρ=6﹣5sinθ17．（5分）（2016?上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.718．（5分）（2016?上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19．（12分）（2016?上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为π，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．20．（14分）（2016?上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．21．（14分）（2016?上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）?=0，求l的斜率．22．（16分）（2016?上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．23．（18分）（2016?上海）若无穷数列{a n}满足：只要a p=a q（p，q∈N*），必有a p+1=a q+1，则称{a n}具有性质P．（1）若{a n}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1=b n+sina n（n∈N*），求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2016?上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1的解集．【解答】解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，∴﹣1＜x﹣3＜1，解得2＜x＜4．∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．2．（4分）（2016?上海）设z=，其中i为虚数单位，则Imz=﹣3．【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z的最简形式，由此能求出Imz．【解答】解：∵Z====2﹣3i，∴Imz=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用．3．（4分）（2016?上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离：=．故答案为：．【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．4．（4分）（2016?上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 1.76（米）．【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．【解答】解：∵6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，位于中间的两个数值为1.75，1.77，∴这组数据的中位数是：=1.76（米）．故答案为：1.76．【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．5．（4分）（2016?上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）（x＞1）．【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，可得9=1+a3，解得a=2．可得f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换即可得出f（x）的反函数f﹣1（x）．【解答】解：∵点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，∴9=1+a3，解得a=2．∴f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换可得：f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）．故答案为：log2（x﹣1），（x＞1）．【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（4分）（2016?上海）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于2．【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，判断∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，即可求出正四棱柱的高．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，∴∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，∴tan∠D1BD=，∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，∴BD=3，∴正四棱柱的高=3×=2，故答案为：2．【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角．7．（4分）（2016?上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为或．【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x∈[0，2π]解得x=或．故答案为：或．【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．8．（4分）（2016?上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于112．【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得n=8．在展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，∴2n=256，解得n=8，∴（﹣）8中，T r+1==，∴当=0，即r=2时，常数项为T3=（﹣2）2=112．故答案为：112．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．（4分）（2016?上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．【分析】可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可得到所求值．【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC===﹣，可得sinC===，可得该三角形的外接圆半径为==．故答案为：．【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．10．（4分）（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为（2，+∞）．【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性进行求解即可．【解答】解：∵关于x，y的方程组无解，∴直线ax+y=1与x+by=1平行，∵a＞0，b＞0，∴≠，即a≠1，b≠1，且ab=1，则b=，则a+b=a+，则设f（a）=a+，（a＞0且a≠1），则函数的导数f′（a）=1﹣=，当0＜a＜1时，f′（a）=＜0，此时函数为减函数，此时f（a）＞f（1）=2，当a＞1时，f′（a）=＞0，此时函数为增函数，f（a）＞f（1）=2，综上f（a）＞2，即a+b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）．【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键．11．（4分）（2016?上海）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为4．【分析】对任意n∈N*，S n∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．【解答】解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1．故答案为：4．【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．12．（4分）（2016?上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则?的取值范围是[0，1+]．【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，sinα+1），由此能求出?的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴=（1，1），=（cosα，sinα+1），=cosα+sinα+1=，∴?的取值范围是[0，1+]．故答案为：[0，1+]．【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用．13．（4分）（2016?上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为4．【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．14．（4分）（2016?上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足++=，且点P落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．满足++=，且点P落在第一象限，对应的A i，A j，为：（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法．∴点P落在第一象限的概率是，故答案为：．【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题．二、选择题（5×4=20分）15．（5分）（2016?上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2016?上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）A．ρ=6+5cosθB．ρ=6+5sinθC．ρ=6﹣5cosθD．ρ=6﹣5sinθ【分析】由图形可知：时，ρ取得最大值，即可判断出结论．【解答】解：由图形可知：时，ρ取得最大值，只有D满足上述条件．故选：D．【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）（2016?上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7【分析】由已知推导出，由此利用排除法能求出结果．【解答】解：∵，S==，﹣1＜q＜1，2S n＜S，∴，若a1＞0，则，故A与C不可能成立；若a1＜0，则q n，故B成立，D不成立．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．18．（5分）（2016?上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【分析】①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．②由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假．【解答】解：①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h （x+T）+g（x+T），前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h （x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（74分）19．（12分）（2016?上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为π，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．【分析】（1）连结O 1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而=，由此能求出三棱锥C ﹣O1A1B1的体积．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1为正三角形，∴=，==．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（14分）（2016?上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．【分析】（1）设分界线上任意一点为（x，y），根据条件建立方程关系进行求解即可．（2）设M（x0，y0），则y0=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH的面积，进行比较即可．【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得|x+1|=，得y=2，（0≤x≤1），（2）设M（x0，y0），则y0=1，∴x0==，∴设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×（+1）=2×=，设五边形EMOGH的面积为S4，则S4=S3﹣S△OMP+S△MGN=﹣××1+=，S1﹣S3==，S4﹣S1=﹣=＜，∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．21．（14分）（2016?上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）?=0，求l的斜率．【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程．（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．【解答】解：（1）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，a=1，c2=1+b2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点，直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，可得：A（c，b2），可得：，3b4=4（a2+b2），即3b4﹣4b2﹣4=0，b＞0，解得b2=2．所求双曲线方程为：x2﹣=1，其渐近线方程为y=±x．（2）b=，双曲线x2﹣=1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的斜率为：k=，直线l的方程为：y=k（x﹣2），由题意可得：，消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，△=36（1+k2）＞0，可得x1+x2=，则y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k（﹣4）=．=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），（+）?=0可得：（x1+x2+4，y1+y2）?（x1﹣x2，y1﹣y2）=0，可得x1+x2+4+（y1+y2）k=0，得+4+?k=0可得：k2=，解得k=±．l的斜率为：±．【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用．22．（16分）（2016?上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【分析】（1）当a=5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f（t）﹣f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）当a=5时，f（x）=log2（+5），由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，即+5＞1，则＞﹣4，则+4=＞0，即x＞0或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣}．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0．即log2（+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，∴r+≥=，∴==，∴实数a的取值范围是a≥．【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．23．（18分）（2016?上海）若无穷数列{a n}满足：只要a p=a q（p，q∈N*），必有a p+1=a q+1，则称{a n}具有性质P．（1）若{a n}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1=b n+sina n（n∈N*），求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．【分析】（1）利用已知条件通过a2=a5=2，推出a3=a6，a4=a7，转化求解a3即可．（2）设无穷数列{b n}的公差为：d，无穷数列{c n}的公比为q，则q＞0，利用条件求出，d与q，求出b n，c n得到a n的表达式，推出a2≠a6，说明{a n}不具有性质P．（3）充分性：若{b n}是常数列，设b n=C，通过a n+1=C+sina n，证明a p+1=a q+1，得到{a n}具有性质P．必要性：若对于任意a1，{a n}具有性质P，得到a2=b1+sina1，设函数f（x）=x﹣b1，g（x）=sinx，说明b n+1=b n，即可说明{b n}是常数列．【解答】解：（1）∵a2=a5=2，∴a3=a6，a4=a7=3，∴a5=a8=2，a6=21﹣a7﹣a8=16，∴a3=16．（2）设无穷数列{b n}的公差为：d，无穷数列{c n}的公比为q，则q＞0，b5﹣b1=4d=80，∴d=20，∴b n=20n﹣19，=q4=，∴q=，∴c n=∴a n=b n+c n=20n﹣19+．∵a1=a5=82，而a2=21+27=48，a6=101=．a1=a5，但是a2≠a6，{a n}不具有性质P．（3）充分性：若{b n}是常数列，设b n=C，则a n+1=C+sina n，若存在p，q使得a p=a q，则a p+1=C+sina p=C+sina q=a q+1，故{a n}具有性质P．必要性：若对于任意a1，{a n}具有性质P，则a2=b1+sina1，设函数f（x）=x﹣b1，g（x）=sinx，由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b1，二者图象必有一个交点，∴一定能找到一个a1，使得a1﹣b1=sina1，∴a2=b1+sina1=a1，∴a n=a n+1，故b n+1=a n+2﹣sina n+1=a n+1﹣sina n=b n，∴{b n}是常数列．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大．菁优网2016年6月12日。

2016年高考上海卷理工类数学试题(含答案和解析)

2016年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 【答案】（2,4）【解析】试题分析：由题意得：1x 31-<-<，解得2x 4<<. 考点：绝对值不等式的基本解法. 2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 【答案】-3 【解析】试题分析：32i23,Imz=-3.iz i +==- 考点：1.复数的运算；2.复数的概念.3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5===考点：主要考查两平行线间距离公式.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）【答案】1.76 【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76. 考点：主要考查了中位数的概念.5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数【答案】2log (x 1)- 【解析】试题分析：将点（3，9）带入函数()xf x 1a =+的解析式得a 2=，所以()xf x 12=+，用y 表示x 得2x log (y 1)=-，所以()12log (f x x 1)-=-.考点：反函数的概念以及指对数式的转化.6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________【答案】【解析】试题分析：由题意得11122tan 33DD DBD DD BD ∠===⇒=。

2016年高考理数真题试卷(上海卷)及解析

○…………订…………○班级：___________考号：___________○…………订…………○2016年高考理数真题试卷（上海卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题）A.ρ=6+5cosθB.ρ=6+5sinθC.ρ=6﹣5cosθD.ρ=6﹣5sinθ2.已知无穷等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且 lim n→∞S n =S ，下列条件中，使得2S n ＜S （n∈N *）恒成立的是（） A.a 1＞0，0.6＜q ＜0.7 B.a 1＜0，﹣0.7＜q ＜﹣0.6 C.a 1＞0，0.7＜q ＜0.8 D.a 1＜0，﹣0.8＜q ＜﹣0.7第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）|x ﹣3|＜1的解集为． 4.设Z=3+2ii，其中i 为虚数单位，则Imz= ．5.已知平行直线l 1：2x+y ﹣1=0，l 2：2x+y+1=0，则l 1 ， l 2的距离．6.已知点（3，9）在函数f （x ）=1+a x 的图象上，则f （x ）的反函数f ﹣1（x ）= ．7.在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3，BD 1与底面所成角的大小为arctan23，则该正四棱柱的高等于．8.在（ √x 3−2x ）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于．答案第2页，总11页…○…………装…………○……订…………○………※※请※※不※※要※※在※※装※※线※※内※※答※※题※※……○…………装…………○……订…………○………10.设a ＞0，b ＞0，若关于x ，y 的方程组 {ax +y =1x +by =1无解，则a+b 的取值范围为．11.无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和，若对任意n∈N * ， S n ∈{2，3}，则k 的最大值为．12.在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （0，﹣1），P 是曲线y= √1−x 2 上一个动点，则 BP →• BA →的取值范围是．13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2…A 8的中心，A 1（1，0）任取不同的两点A i ， A j ，点P 满足 OP →+ OA i →+ OA j →= 0→，则点P 落在第一象限的概率是．三、解答题（题型注释）14.将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为 23 π，A 1B 1长为 π3 ，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．（1）求三棱锥C ﹣O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．15.有一块正方形EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S 1和S 2 ，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1，0），如图…○…………线…………○…____…○…………线…………○…（1）求菜地内的分界线C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的经验值为 83 ．设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S 1面积的经验值．16.双曲线x 2﹣ y 2b2 =1（b ＞0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．（1）直线l 的倾斜角为 π2 ，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b= √3 ，若l 的斜率存在，且（ F 1A →+F 1B →）• AB →=0，求l 的斜率． 17.若无穷数列{a n }满足：只要a p =a q （p ，q∈N *），必有a p+1=a q+1 ，则称{a n }具有性质P ．（1）若{a n }具有性质P ，且a 1=1，a 2=2，a 4=3，a 5=2，a 6+a 7+a 8=21，求a 3；（2）若无穷数列{b n }是等差数列，无穷数列{c n }是公比为正数的等比数列，b 1=c 5=1；b 5=c 1=81，a n =b n +c n ，判断{a n }是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{b n }是无穷数列，已知a n+1=b n +sina n （n∈N *），求证：“对任意a 1 ， {a n }都具有性质P”的充要条件为“{b n }是常数列”．答案第4页，总11页外…………○…………………订…………○…※※请※※不※※※线※※内※※答※※题※※内…………○…………………订…………○…参数答案1.D【解析】1.解：由图形可知：θ=−π2 时，ρ取得最大值，只有D 满足上述条件．故选：D ． 2.B【解析】2.解：∵S n =a 1(1−q n )1−q ，S= lim n→∞S n =a 11−q ，﹣1＜q ＜1，2S n ＜S ， ∴a 1(2q n -1)>0 ，若a 1＞0，则 q n >12 ，故A 与C 不可能成立；若a 1＜0，则q n <12，故B 成立，D 不成立．故选：B ．【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的前n 项和公式的相关知识，掌握前项和公式：．3.（2，4）【解析】3.解：∵x∈R，不等式|x ﹣3|＜1， ∴﹣1＜x ﹣3＜1，解得2＜x ＜4．∴不等式|x ﹣3|＜1的解集为（2，4）．所以答案是：（2，4）． 4.-3【解析】4.解：∵Z= 3+2i i =3i+2i 2i2 =3i−2−1 =2﹣3i ，∴Imz=﹣3．所以答案是：﹣3．【考点精析】根据题目的已知条件，利用复数的乘法与除法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握设则；．5.2√55外…………○…………装…………○…………………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：________内…………○…………装…………○…………………线…………○…【解析】5.平行直线l 1：2x+y ﹣1=0，l 2：2x+y+1=0，则l 1 ， l 2的距离=||√22+12=2√55．所以答案是：2√55．【考点精析】解答此题的关键在于理解两平行线的距离的相关知识，掌握已知两条平行线直线和的一般式方程为：，，则与的距离为．6.log 2（x ﹣1）（x ＞1）【解析】6.解：∵点（3，9）在函数f （x ）=1+a x 的图象上，∴9=1+a 3 ，解得a=2． ∴f（x ）=1+2x ，由1+2x =y ，解得x=log 2（y ﹣1），（y ＞1）．把x 与y 互换可得：f （x ）的反函数f ﹣1（x ）=log 2（x ﹣1）．所以答案是：log 2（x ﹣1），（x ＞1）． 7.2√2【解析】7.解：∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧棱D 1D⊥底面ABCD ， ∴∠D 1BD 为直线BD 1与底面ABCD 所成的角， ∴tan∠D 1BD= 23 ，∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3， ∴BD=3 √2 ，∴正四棱柱的高=3 √2 × 23 =2 √2 ，所以答案是：2 √2 ．【考点精析】通过灵活运用棱柱的结构特征，掌握两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形即可以解答此题． 8.112【解析】8.解：∵在（ √x 3﹣ 2x ）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256， ∴2n =256，解得n=8，答案第6页，总11页……外…………○…………装…………○………订…………○……线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※※※内※※答※※题※※……内…………○…………装…………○………订…………○……线…………○∴（ √x 3﹣ 2x ）8中，T r+1= = ，∴当=0，即r=2时，常数项为T 3=（﹣2）2C 82=112．所以答案是：112． 9.7√33【解析】9.解：可设△ABC 的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC===﹣ ，可得sinC== √1−14 = √32 ，可得该三角形的外接圆半径为 c2sinC =2×√32= 7√33 ．所以答案是： 7√33． 10.（2，+∞）【解析】10.解：∵关于x ，y 的方程组{ax +y =1x +by =1无解，∴直线ax+y=1与x+by=1平行， ∵a＞0，b ＞0，∴ a1=1b ≠ 1 ，即a≠1，b≠1，且ab=1，则b= 1a ，则a+b=a+ 1a ，则设f （a ）=a+ 1a ，（a ＞0且a≠1），则函数的导数f′（a ）=1﹣ 1a 2 = a 2−1a 2 ，当0＜a ＜1时，f′（a ）= a 2−1a 2＜0，此时函数为减函数，此时f （a ）＞f （1）=2，当a ＞1时，f′（a ）= a 2−1a 2＞0，此时函数为增函数，f （a ）＞f （1）=2，综上f （a ）＞2，即a+b 的取值范围是（2，+∞），所以答案是：（2，+∞）．【考点精析】掌握基本不等式是解答本题的根本，需要知道基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：．11.4【解析】11.解：对任意n∈N * ， S n ∈{2，3}，可得当n=1时，a 1=S 1=2或3；若n=2，由S 2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S 3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S 3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1； …即有n ＞4后一项都为0或1或﹣1，则k 的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1．所以答案是：4． 12.[0，1+ √2 ]【解析】12.解：∵在平面直角坐标系中，A （1，0），B （0，﹣1），P 是曲线y= √1−x 2 上一个动点，∴设P （cosα，sinα），α∈[0，π]，∴ BA → =（1，1）， BP → =（cosα，sinα+1），BP →·BA →=cosα+sinα+1=√2sin (α+π4)+1 ， ∴ BP →• BA →的取值范围是[0，1+ √2 ]．所以答案是：[0，1+ √2 ]． 13.528【解析】13.解：从正八边形A 1A 2…A 8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为 C 82=28 ．满足 OP → + OA i → + OA j → = 0→，且点P 落在第一象限，对应的A i ， A j ，为：（A 4 ， A 7），（A 5 ， A 8），（A 5 ， A 6），（A 6 ， A 7），（A 5 ， A 7）共5种取法．∴点P 落在第一象限的概率是 P= 528，所以答案是： 528 ． 14. （1）解：连结O 1B 1，则∠O 1A 1B 1=∠A 1O 1B 1= π3 ， ∴△O 1A 1B 1为正三角形， ∴ S △O 1A 1B 1 = √34 ，V C−O 1A 1B 1 = 13×OO 1×S △O 1A 1B 1 = √312答案第8页，总11页………装…………○……………线…………请※※不※※要※※在※※装※※订※※………装…………○……………线…………解：设点B 1在下底面圆周的射影为B ，连结BB 1，则BB 1∥AA 1， ∴∠BB 1C 为直线B 1C 与AA 1所成角（或补角）， BB 1=AA 1=1，连结BC 、BO 、OC ，∠AOB=∠A 1O 1B 1= π3 ， ∠AOC =2π3，∴∠BOC= π3 ，∴△BOC 为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB 1C=45°，∴直线B 1C 与AA 1所成角大小为45°．【解析】14.（1）连结O 1B 1 ，推导出△O 1A 1B 1为正三角形，从而= √34 ，由此能求出三棱锥C ﹣O 1A 1B 1的体积．（2）设点B 1在下底面圆周的射影为B ，连结BB 1 ，则BB 1∥AA 1 ， ∠BB 1C 为直线B 1C 与AA 1所成角（或补角），由此能求出直线B 1C 与AA 1所成角大小．本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系才能正确解答此题． 15. （1）解：设分界线上任意一点为（x ，y ），由题意得|x+1|= √(x −1)2+y 2 ，得y=2 √x ，（0≤x≤1），（2）解：………线…………○…………线…………○…设M （x 0，y 0），则y 0=1，∴x 0=y 024= 14 ，∴设所表述的矩形面积为S 3，则S 3=2×（ 14 +1）=2× 54 = 52 ，设五边形EMOGH 的面积为S 4，则S 4=S 3﹣S △OMP +S △MGN = 52 ﹣ 12 × 14 ×1+ 12×34×1 = 114 ， S 1﹣S 3= 83−52 = 16 ，S 4﹣S 1= 114 ﹣ 83 = 112 ＜ 16 ，∴五边形EMOGH 的面积更接近S 1的面积．【解析】15.（1）设分界线上任意一点为（x ，y ），根据条件建立方程关系进行求解即可．（2）设M （x 0 ， y 0），则y 0=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH 的面积，进行比较即可．本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大． 16. （1）解：双曲线x 2﹣ y 2b2 =1（b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，a=1，c 2=1+b 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为 π2 ，△F 1AB 是等边三角形，可得：A （c ，b 2），可得： √32×2b 2=2c ， 3b 4=4a 2+b 2，即3b 4﹣b 2﹣4=0， b ＞0，解得b 2= 43 ．所求双曲线方程为：x 2﹣ 3y 24 =1（2）解：b= √3 ，双曲线x 2﹣ y 23 =1，可得F 1（﹣2，0），F 2（2，0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线的斜率为：k= y 2−y1x −x ，答案第10页，总11页直线l 的方程为：y=k （x ﹣2），由题意可得： {y =kx −2k x 2−y 23=1，消去y 可得：（3﹣k 2）x 2+4k 2x ﹣4k 2﹣3=0，可得x 1+x 2=﹣4k 23−k 2，则y 1+y 2=k （x 1+x 2﹣4）= k(4k 23−k +4) ．F 1A →=（x 1+2，y 1）， F 1B →=（x 2+2，y 2），（ F 1A →+F 1B →）• AB →=0可得：（x 1+x 2+4，y 1+y 2）•（x 1﹣x 2，y 1﹣y 2）=0，可得： −x 1+x 2+4y 1+y 2=y 2−y 1x 2−x 1=k ，−−4k 23−k 2+4k(4k 23−k 2−4) ，可得：k 2=1，解得k=±1． l 的斜率为：±1【解析】16.（1）利用直线的倾斜角，求出AB ，利用三角形是正三角形，求解b ，即可得到双曲线方程．（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A 、B 坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用． 17. （1）解：∵a 2=a 5=2，∴a 3=a 6，a 4=a 7=3，∴a 5=a 8=2，a 6=21﹣a 7﹣a 8=16，∴a 3=16（2）解：设无穷数列{b n }的公差为：d ，无穷数列{c n }的公比为q ，则q ＞0， b 5﹣b 1=4d=80，∴d=20，∴b n =20n ﹣19， c 5c 1 =q 4= 181 ，∴q= 13 ，∴c n = (13)n−5∴a n =b n +c n =20n ﹣19+ (13)n−5．∵a 1=a 5=82，而a 2=21+27=48，a 6=101 +13 =3043．a 1=a 5，但是a 2≠a 6，{a n }不具有性质P第11页，总11页（3）解：充分性：若{b n }是常数列，设b n =C ，则a n+1=C+sina n ，若存在p ，q 使得a p =a q ，则a p+1=C+sina p =C+sina q =a q+1，故{a n }具有性质P ．必要性：若对于任意a 1，{a n }具有性质P ，则a 2=b 1+sina 1，设函数f （x ）=x ﹣b 1，g （x ）=sinx ，由f （x ），g （x ）图象可得，对于任意的b 1，二者图象必有一个交点， ∴一定能找到一个a 1，使得a 1﹣b 1=sina 1， ∴a 2=b 1+sina 1=a 1，∴a n =a n+1，故b n+1=a n+2﹣sina n+1=a n+1﹣sina n =b n ， ∴{b n }是常数列．【解析】17.（1）利用已知条件通过a 2=a 5=2，推出a 3=a 6 ， a 4=a 7 ，转化求解a 3即可．（2）设无穷数列{b n }的公差为：d ，无穷数列{c n }的公比为q ，则q ＞0，利用条件求出，d 与q ，求出b n ， c n 得到a n 的表达式，推出a 2≠a 6 ，说明{a n }不具有性质P ．（3）充分性：若{b n }是常数列，设b n =C ，通过a n+1=C+sina n ，证明a p+1=a q+1 ，得到{a n }具有性质P ．必要性：若对于任意a 1 ， {a n }具有性质P ，得到a 2=b 1+sina 1 ，设函数f （x ）=x ﹣b 1 ， g （x ）=sinx ，说明b n+1=b n ，即可说明{b n }是常数列．本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大．。

2016年高考上海理科数学试题与答案(word解析版)

22
解法2：∵
S
n
n
a11q
1q
，
SlimS
n
n
a
1
1q
n
，1q1，2
SS，∴a12q10，
n
若a10，则
1
n
q，故A与C不可能成立；若a10，则
2
1
n
q，故B成立，D不成立．
2
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
（18）【2016年上海，理18，5分】设fx、gx、hx是定义域为R的三个函数，对于命题：①若fxgx、
3
C，若b3，则
3
2
C，
3
综上满足条件的有序实数组a,b,c为2,3,
5
3
，2,3,
4
3
，2,3,
3
，
2,3,
2
3
，共有4组．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱
导公式进行转化是解决本题的关键．
（14）【2016年上海，理14，4分】如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对
得5分，否则一律得零分．
（15）【2016年上海，理15，5分】设aR，则“a1”是“21
a”的（）
（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
22
[f(x)g(x)][f(x)h(x)][g(x)h(x)]
f(x)必为周期为的函数，所以②正确；增函