弹性力学与有限元分析试题及其答案
弹性力学与有限元分析考试试题及其答案
2012年某高校度弹性力学与有限元分析复习题及其答案（内部资料）一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
弹性力学与有限元分析试题及其答案
如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm 对应的整体编码，以下叙述正确的是（ D ）。
① I 单元的整体编码为162 ② II 单元的整体编码为426③ II 单元的整体编码为246 ④ III 单元的整体编码为243⑤ IV 单元的整体编码为564A. ①③B. ②④C. ①④D. ③⑤一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
弹性力学与有限元分析试题及参考答案
按应力求解平面应变问题的相容方程：
将已知应力分量 ， ， 代入上式，可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
（3） ， ， ；
其中，A，B，C，D为常数。
弹性力学与有限元分析试题及参考答案
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
其中，A，B，C，D，E，F为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 ；（2）在区域内的相容方程 ；（3）在边界上的应力边界条件 ；（4）对于多连体的位移单值条件。
6、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， ）。
解：将应力函数 代入相容方程
可知，所给应力函数 能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
， ，
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边， ， ， ， ， ；
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。
（2） （1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。
（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则 ， ， （1分）。
5、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， ）。
11弹性力学试的题目及问题详解
2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案(绝密试题)一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
弹性力学及有限元习题参考答案(赵均海、汪梦甫)汇编
xy
x
xz
X 0
x
y
z
yx
y
yz
Y 0
x
y
z
zx
z
zy
Z 0
x
y
z
已知：
x
2f1
2f2
E（1 ）
E
（
2A)
x （1 ）（1 2）x2 （1 ）（1 2） xy
τN =55.2Mpa;
习题 1.3
解：（1）应力不变量：
2 − 2 − 2
因为 I 1 = x + + ； I 2 = y + + −
将已知代入上式，得：I 1 = 25 MPa ，I 2 = −3250 MPa
（2）求主应力：
x −
y
2f2
2f1
E（1 ）
E
（
2B)
y （1 ）（1 2） y 2 （1 ）（1 2） xy
z
z
0
xy
2f
2f2
E
（ 21
)
y
（
2 1 ） x
xy
xz
0 ， yz 0
z
z
+
z 2 z =
（1 ）（1 2） （1 ）
xy xy
E
xy
（
2 1 ）
yz yz
E
yz
（
2 1 ）
xz xz
弹性力学与有限元法习题集
' yx dx
0
' yx
dM dx
S
* 2
I
Q(x) I
n 2 y
y1
dy1
Q(x) I
(n2 4
y2 ) 1 Q(x) (n2 2 2I 4
y2)
2019/7/29
slide14
返回
由剪应力互等定理，
yx
' yx
Q(x) (n2 2I 4
答案 返回
1. 有限单元法的含义？ 答：用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插
值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。连续体的单元是 各种形状（ 如三角形、四边形、六面体等 ）的单元体。
2.有限元法的解题思路？ 答（1）网格划分； （2）单元分析；（3）整体分析。
3.有限元法的优点？ 答（1）物理概念清晰，便于入门；
13. 已知某单元，其结点编号为i，j，m，其坐标依次为（2， 2）、（6，3）、（5，6），试写出其形函数Ni，Nj，Nm 及单 元的应变矩阵。
2019/7/29
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14. 图示平面应力状态的直角三角形单元及其结点编码，设
1 6
试求：
（1）形态矩阵[N]； （2）几何矩阵[B]及应力转移矩阵[S]; （3）单元刚度矩阵[k]e
6. 应用几何方程推导应变分量应满足下列变形协调方程。
2 x 2 y 2 xy
y2 x2 xy
2019/7/29
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7. 悬臂梁在三角形分布载荷作用下，可以看成平面应力问题，
应力分量表达式为， x
最新弹性力学与有限元分析试题答案DOC
最新弹性力学与有限元分析复习题及其答案填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、—形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力^的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应 _______________ 和切应力。
应力及其分量的量纲是L-1MT-2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量匚x=100MPa，匚y=50MPa，“=10*50 MPa，则主应力"十=150MPa. '2 =QMPa，二》= 35 16。
&已知一点处的应力分量，匚x=200MPa，二y=0MPa，• x<-400 MPa，则主应力匚一512 MPa，二2二-312 MPa, ：r =-37° 57'。
9、已知一点处的应力分量，二x"2000MPa，二y =1000MPa，x^-400 MPa，则主应力G =1052MPa,二-2052 MPa,：严82° 32'。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
弹性力学与有限元分析试题
弹性力学与有限元分析试题
1. 试证明：如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为
,V V X Y x
y
∂∂=-=-
∂∂
其中V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为：
2
2
2
2
2
,
,x y xy V V y
x
xy
ϕϕϕσστ∂∂∂=
+=
+=-
∂∂∂
并推导出相应的相容方程。
（20分）
2. 设下图中的简支梁只受重力作用，而粱的密度为ρ，试用应力函数：
()()2
3
2
3
2
5
432
2
10
6
x
A B Ay
By Cy D x Ey Fy Gy y y Hy Ky
ϕ=
++++++-
-
++求解应力分量。
（25分）
3. 在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量为
0,x y
xy q
σσ
τ===，如该处有一小圆孔，试求孔边的最大
正应力。
如果应力分量为x y
xy q σσ
τ===，孔边的最大正
应力又是多少？（25分）
4. 试证：三节点三角形单元内的任意一点，有：
1(15i j m i i j j m m i i j j m m N N N N x N x N x x N y N y N y y
++=++=++=分）
5. 说明用有限元求解平面问题的具体步骤，推导出单元刚度矩阵e K 的普遍表达式，并说明其性质。
（15分）。
弹性力学试题及标准答案
弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量，200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
《弹性力学及有限单元法》期末考试试卷及答案（1）
题一：有一种测量材料波松比的方法，利用薄壁密封圆筒，里面充有压力气体，如图所示。
在圆筒的外表面测得环向正应变εθ= 4.3 * 10-4, 轴向正应变ε z= 1.1 * 10-4。
假设此圆筒外径R是内径r的100倍，R = 100 r，E = 2.3 * 109 Pa，求此种材料的波松比。
题二：一等腰直角三角形薄板，斜边AC简支，两直角边AB和BC受滚轴约束（约束板边的转动和垂直于板边的水平移动）。
在直角顶点B处作用一横向荷载P，求板在B点的挠度。
板的直角边长为a，弯曲刚度为D。
题三:一地基梁，长度为L，两端简支，跨中作用一集中荷载P。
地基为弹性，其弹性模量为k（若梁的挠度曲线为w(x),则地基反力可近似为密度等于kw(x) 的分布力）。
假设梁的惯性矩用I表示，材料弹性模量为E求梁的变形挠度曲线。
题四：确定如图所示的4节点三角形单元的形函数，并根据形函数：（1）说明此单元如何满足边界条件（2）说明此单元如何满足刚体位移（3）说明此单元如何满足位移连续性（4）推导单元应变距阵B（5）在（1/6，1/3，1/2）处作用水平集中力F，在ki边上作用，如图所示的线形分布力，求等效单元节点荷载z题一图题二图题三图题四图试题答案题一：由于R >> t ，可以假设σz 沿厚度方向均匀分布。
设内压强为p ，则：Rtpr z 22=σ 由轴对称圆筒的应力计算公式可得：)~0(112222p p r R R -=---=ρσρ；p Rtr p rR R 2222211=-+=ρσφ由于σz ，σφ和远大于σρ，所以σρ可假设为0。
由虎克定律：()φσσεv E z z -=1；()z v Eσσεφφ-=1，再加上z σσφ2=可推导出：zzv εεεεφφ--=22=0.28题二：由对称性可知，所求的B 点挠度即为四边简直方板的中心点的挠度，方板的边长为a 2，在中心位置受到的横向集中力为4F 。
三角级数解为；()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=..5,3,1,...5,3,1222211222222224132222sin 2sin 216m n m n nmD Faa n a m n m D a Fw ππππ题三：设梁的挠度为：∑∞==1sinm m lxm B w π，此挠度曲线满足边界条件。
--弹性力学与有限元分析试题及参考答案
弹性力学与有限元分析试题及参考答案四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy xxy y yxx τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+s fl m s f m l y s xy y xs yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。
（1）此组应力分量满足相容方程。
为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。
此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。
上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，2223xy C y -=σ，y x C y C xy 2332--=τ，体力不计，Q 为常数。
试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。
解：将所给应力分量代入平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy x xy y yxx τστσ 得⎩⎨⎧=--=--+-023033322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即()()()⎩⎨⎧=+=+--0230333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-023030332231C C C Q C C 由此解得，61Q C =，32Q C -=，23QC = 3、已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
弹性力学及有限元习题参考答案(赵均海、汪梦甫)汇编
12
K jm
1
0
18E
6
K 23
5
35
0
12
由对称性可知：
K13 K31T
K21 K12T
T
K23 K32
将上述各子式代入单元①刚度矩阵中，得：
17
12
7
12
1
18 E
1
K
35 5
12
x 2 x 2
f1(x ,y )
f1(x ,y )
E
E
=
+
x
（1 ）（1 2） （1 ） x
f2(x ,y )
E
E
+
（1 ）（1 2） （1 ） y
y 2 y =
E
E
（ 2Ax 2By C）
0
7 10 0
0
7
5 5 7
0
0 24 7
0
17
7
0
0
0
0
5 2
7 17
0
0
0
0
5 12
0
0
17
0 12 2
0
0
0
0
0
17
5
5
0
0
0
0 12 5
34
0 12 5
0
0
2
5
0
34 2 5
5 5
0
0 12 2 17
弹性力学及有限元复习题及参考答案
《弹性力学》复习题
1. 用最小势能原理求解图示结构的结点转角，已知各杆抗弯刚度均为EI = 5.4×104 kN·m2。
2．用最小势能原理求解图示结构在均布荷载作用下的结点转角，已知抗弯刚度为EI = 5.6×104 kN·m2。
3．图示为水库大坝示意图，设其长度远大于截面尺寸，求其在静水压力作用下的应力分布。
请采用合适的弹性力学模型对其进行简化，并写出其基本方程。
4．求图示结构在所给坐标系下的整体原始刚度矩阵（各杆件抗压刚度均为EA）。
5．计算抗压刚度为EA的图示结构在引入边界条件之前的原始刚度矩阵。
6. 求图示结构引入边界条件之前的原始整体刚度矩阵和综合结点荷载列阵，设各杆抗弯刚度为EI，不考虑轴向变形和剪切影响。
7. 计算图示常应变三角形单元的单元刚度矩阵。
已知弹性模量E，厚度t，泊松比υ＝0。
(绝密试题)弹性力学与有限元分析试题及其答案_2
四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy x xy y yxx τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+s fl m s f m l y s xy y xs yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。
（1）此组应力分量满足相容方程。
为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。
此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。
上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，2223xyC y -=σ，y x C y C xy 2332--=τ，体力不计，Q 为常数。
试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。
解：将所给应力分量代入平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy x xy y yxx τστσ 得⎩⎨⎧=--=--+-023033322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即()()()⎩⎨⎧=+=+--0230333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-023030332231C C C Q C C 由此解得，61Q C =，32Q C -=，23QC = 3、已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
弹性力学与有限元分析试题及参考答案
将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。
（2） （1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。
（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则 ， ， （1分）。
5、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， ）。
, ,
设三角形悬臂梁的长为l，高为h，则 。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x方向的分量为0，沿y方向的分量为 。因此，所求 在这部分边界上合成的主矢应为零， 应当合成为反力 。
可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。
10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角 ，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为 ，液体的密度为 ，试求应力分量。
由第一个方程，得
对斜面的任意y值都应成立，这就要求
由第二个方程，得
对斜面的任意x值都应成立，这就要求
由此解得
，
从而应力分量为
, ,
位移边界条件
对称、固定边和简支边上支点的已知位移条件如下：
对称轴:法线转角=0
固定边:挠度=0 (或已知值)
边线转角=0 (或已知值)
法线转角=0 (或已知值)
简支边:挠度=0 (或已知值)
解：将所给应力分量代入平衡微分方程
得
即
由x，y的任意性，得
由此解得， ， ，
3、已知应力分量 ， ， ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
解：将已知应力分量 ， ， ，代入平衡微分方程
可知，已知应力分量 ， ， 一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。
按应力求解平面应力问题的相容方程：Байду номын сангаас
弹性力学有限元分析题
有限元分析练习1.如图所示为一简支梁，高0.6m，宽0.3m，长3m，承受均布荷载15kN/m,弹性模量为E=20X1010Pa,泊松比为μ=0.3。
(1)试将其看着平面应力问题进行有限元分析（应力，应变，位移），并与解析解进行比较分析。
(2)根据有限元计算结果，分析梁的弯曲变形是否符合平截面假定？将高度分别变为2m，0.5m,又如何？(3)如何提高该梁的有限元计算精度，请对比分析。
2.如图所示为一简支梁，高0.5m，宽0.3m，长2m，梁顶面承受均布荷载10kN/m,梁一侧受到集中荷载作用大小为10kN，另一侧受到均布荷载作用为20kN/m.弹性模量为E=3X1010Pa,泊松比为μ=0.2。
（1）分别计算在横向荷载和轴向荷载单独作用下梁的应力、应变和位移情况，并对结果进行讨论分析。
（2）计算在横向和轴向荷载共同作用下，梁的应力、应变和位移情况，并于仅受到横向荷载作用下梁的计算结果进行对比分析。
（3）如何提高梁的有限元计算精度，并对比分析。
3.下图表示一块带圆孔的方板，在x方向受到均布压力80kN/m。
方板边长为0.6m，厚度为0.03m，圆孔的半径为0.02m。
方板的弹性模量为E=2X1011Pa，泊松比为μ=0.3.（1）试进行有限元分析（应力，应变，位移），并与解析解进行比较分析。
（2）如何提高本题有限元计算精度，并对比分析。
（3）如果把圆孔改为边长为0.02m的正方形，是比较两者应力集中程度。
4. 下图表示一块带圆孔的方柱，在x 方向受到均布压力100kN/m 2。
方板边长为0.5m ，圆孔的半径为0.02m 。
方板的弹性模量为E=2X1011Pa ，泊松比为μ=0.2. （1） 假设厚度为无限大进行有限元分析（应力，应变，位移），并与解析解进行比较分析。
（2） 如何提高本题有限元计算精度，并对比分析。
（3） 如果把圆孔改为边长为0.02m 的三角形，是比较两者应力集中程度。
5. 下图为带圆孔的方板，在x 方向受到均布压力120kN/m ，在y 方向受到均布压力为60kN/m 。
弹性力学及有限单元法答案及评分标准
弹性力学及有限单元法答案及评分标准一、1、, （2分）2、, （2分）3、,（3分）4、, (也可用三个积分的应力边界条件代替) （1分）二、(a)平衡微分方程、相容方程、应力边界条件、多连体中的位移单值条件（4分）(b)代入相容方程，不满足相容方程，不是可能的解答（3分）(c)代入相容方程，不满足相容方程，由此求得的位移分量不存在（3分）三、（1）无穷小的线段的单位伸缩或相对伸缩，称为正应变。
（2分）正应变伸长为正，缩短为负。
（1分）与坐标正向一致的两个无穷小的线段之间的直角的改变量，称为剪应变。
（2分）剪应变以直角变小为正，变大为负。
（1分）（2）弹性体中两个正交的直线之间所夹的直角有四个，变形后，其中两个直角变大，两个直角变小，剪应变以直角变小为正，变大时为负，因此必须明确规定剪应变是与坐标正向一致的两个无穷小的线段之间的直角的改变量。
（1分）（3）A点位移：（）（1分）；B点位移：（）（1分）；（2分）；（2分）；（2分）四、(1)平面应力问题面上任一点的应力（）是近似为0（1分）。
由上（）为0和方向应力梯度很小推出任一点的应力（）为0是近似的。
（2分）(2)平面应变问题Z面上任一点的应力（）是精确为0（1分）。
任意面均为对称面，其上的反对称应力为0，将某个面切开，切开的左右面上的应力既要指向相同（对称条件），又要指向相反（内力须满足牛顿第三定律），故只能为0，同理为0。
（1分）五、平面应力问题由可导得其物理方程为：（5分）平面应变问题由可导得其物理方程为：（5分）或对平面应力问题物理方程进行转换得平面应变问题物理方程六、1、将，代入，得P点的应变分量（1分）（1分）（1分）2、由平面应力问题的物理方程可得代入P点的应变分量，得其应力分量为（3分）3、处的应力分量为：处面力处面力的合力和合力矩为：（6分）七、1）单元结点力是指单元和结点之间的相互作用力（2分）结点力作用在单元上时与坐标正向一致为正（1分）2）单元结点荷载是指单元上的外力（体力和面力）按静力等效的原则移置到结点上的等效荷载（2分）与坐标正向一致为正（1分）3）例：表示结点方向发生单位位移在结点方向的结点力或单元某一个自由度方向发生单位位移在另一个自由度方向引起的结点力（4分）4）例：表示整个弹性体的2结点方向发生单位位移引起1结点方向的结点力或整个弹性体某一个自由度方向发生单位位移在另一个自由度方向引起的结点力（4分）5）结点力和等效结点荷载的平衡（4分）6）设定位移模式使单元中任一点的位移可由结点位移求得而不独立，只有有限个可动结点位移作为基本未知量或自由度。
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弹性力学与有限元分析复习题及其答案(绝密试题)一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。
17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。
20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”）1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
（√）2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
（×）3、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。
（×）4、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。
（×）5、如果某一问题中，0===zy zx z ττσ，只存在平面应力分量x σ，y σ，xy τ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应力问题。
（√）6、如果某一问题中，0===zy zx z γγε，只存在平面应变分量x ε，y ε，xy γ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应变问题。
（√）7、表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
（×）8、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。
（×）9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
（√）10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。
（√）11、按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。
（×）12、按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。
（×）13、在有限单元法中，结点力是指单元对结点的作用力。
（×）14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。
（√）15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。
（√ ）三、简答题1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。
在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。
在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。
弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。
2、简述弹性力学的研究方法。
答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。
此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。
在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。
求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
3、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？答：弹性力学中正应力用σ表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用τ表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。
并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。
答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。
对应的应力分量只有x σ，y σ，xy τ。
而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有u 和v5、简述圣维南原理。
如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。
答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。
7、以三节点三角形单元为例，简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。
（1）取三角形单元的结点位移为基本未知量。
（2）应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数。
（3）应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变。
（4）应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力。
（5）应用虚功方程，由单元的应力出单元的结点力。
（6）应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，求出单元的结点荷载。
（7）列出各结点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。
8、为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？答：为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足下列条件：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能反映单元的常量应变；（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。
9、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移？每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是本单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
甚至在弹性体的某些部位，例如在靠近悬臂梁的自由端处，单元的形变很小，单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。
因此，为了正确反映单元的位移形态，位移模式必须能反映该单元的刚体位移。
10、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变？答：每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。
而且，当单元的尺寸较小时，单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的应变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。
因此，为了正确反映单元的形变状态，位移模式必须能反映该单元的常量应变。
11、在平面三结点三角形单元中，能否选取如下的位移模式并说明理由：（1）y x y x u 3221),(ααα++=，2654),(y x y x v ααα++=（2）23221),(y xy x y x u ααα++=，26524),(y xy x y x v ααα++=答：（1）不能采用。
因为位移模式没有反映全部的刚体位移和常量应变项；对坐标x ，y 不对等；在单元边界上的连续性条件也未能完全满足。
（2）不能采用。
因为，位移模式没有反映刚体位移和常量应变项；在单元边界上的连续性条件也不满足。
四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ；（2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ；其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x y y x xy y yx x τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。