安徽省2019-2020学年高一下学期第一次月考数学试卷含答案
安徽省淮北师范大学附属实验中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题(含答案解析)
安徽省淮北师范大学附属实验中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若||a b|=|，则a b = ；③若AB DC = ，则四边形ABCD 是平行四边形；④若m n = ，n k = ，则m k = ；⑤若//a b ，//b c，则//a c ；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是A ．2B ．3C ．4D ．52．在三角形ABC ∆中，若点P 满足1231,3344AP AB AC AQ AB AC =+=+，则APQ ∆与ABC ∆的面积之比为（）A ．1:3B ．5:12C ．3:4D ．9:163．已知向量a ，b 满足1a = ，b = ，且a 与b的夹角为6π，则()()2a b a b +⋅-= （）A ．12B ．32-C ．12-D ．324．若向量i ，j 为互相垂直的单位向量，2a j i =- ，m b j i =+ ，且a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(－∞，－2)∪12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．222,,33⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭5．设,a b均为单位向量,则“a 与b 的夹角为23π”是“||a b += 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知向量()1,1a = ，()1,b m = ，其中m 为实数，O 为坐标原点，当两向量夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭变动时，m 的取值范围是A ．()0,1B ．3⎛ ⎝C ．(3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭U D ．(A ．M ，N ，P 三点共线B ．M ，N ，Q 三点共线C ．M ，P ，Q 三点共线D ．N ，P ，Q 三点共线8．下面是如皋定慧寺观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线DB 前进51米达到E 点，此时看点C 点的仰角为45°，若23BC AC =，则该观音塔的高AB 约为（） 1.73≈）A ．8米B ．9米C ．40米D ．45米二、多选题9．下列运算正确的是（）A ．()326a a-⋅=-B ．()()223a b b a a+--=C ．()()220a b b a +-+= D ．()2362a b a b -=-10．生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，下列四个选项中正确的是（）A ．2GH OG =B ．0GA GB GC ++=C ．2AH OD=D ．ABG BCG ACGS S S == 11．下列说法正确的有（）A ．若//a b r r ，//b c，则//a cB ．若a b =，b c = ，则a c= C ．若//a b r r，则a 与b 的方向相同或相反D ．若AB 、BC共线，则A 、B 、C 三点共线12．已知ABC 是正三角形，则在下列结论中，正确的为（）A ．AB BC BC CA +=+ B ．AC CB BA BC +=+C ．AB AC CA CB +=+D ．AB BC AC CB BA CA ++=++三、双空题13．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若320OA OB OC -+= ，则AB =______BC ，AB BC= ______．四、填空题14．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a＋(2－m ) b 共线，则实数m 的值为___．15．如图，在四边形ABCD 中，DA DB DC ==，且DA DC DB +=，则ABC ∠=______．16．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，2AB =，则BC DC += ______．五、解答题17．已知111,,()()42a ab a b a b =⋅=+⋅-= ．(1)求||b的值；(2)求向量a b - 与a b +夹角的余弦值．18．在直角梯形ABCD 中，90A ∠=︒，30B ∠=︒，AB =2BC =，点E 在线段CD上.若AE AD AB λ=+，求实数λ的取值范围.19．如图所示，A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，在山顶P 处测得三点的俯角分别为α，β，γ.计划沿直线AC 开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算隧道DE 的长度.20．已知OAB 中，点B 是点C 关于点A 的对称点，点D 是线段OB 的一个靠近B 的三等分点，设,AB a AO b ==．(1)用向量a 与b 表示向量OC ，CD；(2)若45OE OA =，求证：C ，D ，E 三点共线．21．如图，ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，设,BA a BC c ==.（1）用a ，c 表示向量AE；（2）若点F 在AC 上，且1455BF a c =+ ，求:AF CF .22．设1e ，2e 是不共线的非零向量，且122a e e =- ，123b e e =+ ．若1243e e a ub λ-=+，求λ，u 的值．参考答案：1．C【详解】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若a b = ，方向不确定，则a 、b不一定相同，∴②错误；对于③，若AB DC = ，AB 、DC不一定相等，∴四边形ABCD 不一定是平行四边形，③错误；对于④，若m n = ，n k =，则m k = ，④正确；对于⑤，若//a b ，//b c，当0b = 时，//a c 不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个，故选C.2．B【分析】由题目条件所给的向量等式，结合向量的线性运算推断P 、Q 两点所在位置，比较两个三角形的面积关系【详解】因为1233AP AB AC =+ ，所以12()()33AP AB AC AP-=-，即2BP PC = ，得点P 为线段BC 上靠近C 点的三等分点，又因为3144AQ AB AC =+ ，所以31()()44AQ AB AC AQ -=-，即3BQ QC = ，得点Q 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，所以512PQ BC =，所以APQ ∆与ABC ∆的面积之比为512APQ ABCS PQ S BC == ，选择B 【点睛】平面向量的线性运算要注意判断向量是同起点还是收尾相连的关系再使用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算，借助向量的数乘运算可以判断向量共线，及向量模长的关系3．A【分析】根据向量的数量积运算以及运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】因为1a =，b = ，且a 与b的夹角为6π，所以c 362os b b a a π=⋅=，因此()()2223122322b b a b a a b a +⋅-=+-=⋅+-= .故选：A.4．B【分析】由a 与b夹角为锐角，可得0a b ⋅ ＞且b a ，不共线，再代入向量解不等式即可得到答案．【详解】由题意可得：∵a 与b夹角为锐角，∴⋅=a b （2i j - ）()m i j ⋅+= 1-2m ＞0，且b a ，不共线∴12m ＜当a b时，可得m ＝﹣2所以实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，12）．故选B ．【点睛】本题主要考查利用向量的数量积表示解决两个向量的夹角问题，当a 与b的夹角为锐角可得，0a b ⋅＞且b a ，不共线，但是学生容易忽略两个向量共线并且同向的情况.5．D【解析】按照向量的定义、充分条件和必要条件的定义，分别从充分性和必要性入手去判断即可.【详解】因为,a b 均为单位向量,且a 与b 的夹角为23π，所以||1a b +=== ,所以由“a 与b 的夹角为23π”不能推出“||a b +=若||a b +=则||a b += ==解得1cos ,2a b 〈〉= ,即a 与b 的夹角为23π,所以由“||a b += 不能推出“a 与b 的夹角为23π”.因此,“a 与b 的夹角为23π”是“||a b += 的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查数量积的应用，考查充分条件和必要条件的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.6．C【分析】设向量a 、b的起点均为O ，终点分别为A 、B ，可得出OA 与x 轴正方向的夹角为4π，设向量OB 与x 轴正方向的夹角为θ，由题意可得出63ππθ<<且4πθ≠，由tan m θ=可得出实数m 的取值范围.【详解】设向量a 、b的起点均为O ，终点分别为A 、B ，可得出OA 与x 轴正方向的夹角为4π，设向量OB 与x 轴正方向的夹角为θ，由于0,12AOB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则,464AOB πππθ⎛⎫⎛⎫=-∠∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或,443AOB πππθ⎛⎫⎛⎫=+∠∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即B 在1B 与2B （不与A 重合）之间，(tan ,13m θ⎫∴=∈⎪⎪⎝⎭U ，因此，实数m 的取值范围是(3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭U ，故选：C.【点睛】本题考查利用向量夹角的取值范围求参数，解题时充分利用数形结合法，找到临界位置进行分析，可简化运算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．B【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可．【详解】28NP a b =-+，3()PQ a b =- ，283()5NQ NP PQ a b a b a b ∴=+=-++-=+ ，5MN a b =+ ，MN NQ ∴= ，由平面向量共线定理可知，MN 与NQ为共线向量，又MN 与NQ有公共点N ，M ∴，N ，Q 三点共线，故选：B ．8．D【分析】设AC x =，根据已知条件得32BC BE x ==，52AB x =，根据ADB ∠的正切表示出BD ，再表示出DE ，由51DE =列出方程，解出x 即可得出AB 的长．【详解】解：设AC x =，根据条件可得32BC BE x ==，52AB AC BC x =+=，tan AB ADB BD ∠==，BD ∴=，3()5122DE BD BE x ∴=-=-=，18.0522x ∴=，5452AB x ∴=≈米，故选：D ．9．ABD【分析】根据向量的加减和数乘运算，即可得出结论.【详解】由题意，A 项，()326a a -⋅=- ，A 正确.B 项，()()222223a b b a a b b a a +--=+-+=，B 正确.C 项，()()22220a b b a a b b a +-+=+--=，C 错误.D 项，()2362a b a b -=- ，D 正确.故选：ABD.10．ABCD【分析】由重心的性质以及向量的加法运算法则判断选项A ；结合三角形相似及重心性质判断选项A 与C ；利用重心性质及高的比例判断选项D.【详解】在ABC 中，O ，H ，G分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示．对于B 选项，根据三角形的重心性质由重心的性质可得G 为AD 的三等分点，且2GA GD =-，又D 为BC 的中点，所以2GB GC GD +=，所以20GA GB GC GD GD ++=-+= ，故选项B 正确；对于A 与C 选项，因为O 为ABC 的外心，D 为BC 的中点，所以OD BC ⊥，所以AH OD ∥，∴AHG DOG ∽，∴2GH AH AGOG OD DG===，∴2GH OG =，2AH OD =，故选项A ，C 正确；对于D ，过点G 作GE BC ⊥，垂足为E ，∴DEG DNA △∽△，则13GE DG AN DA ==，∴BGC 的面积为11112233BGC ABC S BC GE BC AN S =⨯⨯=⨯⨯⨯=△△；同理，13AGC AGB ABC S S S ==△△△，选项D 正确.故选：ABCD 11．BD【分析】取0b =可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若0b = ，a 、c 均为非零向量，则//a b r r ，//b c成立，但//a c 不一定成立，A 错；对于B 选项，若a b =，b c = ，则a c = ，B 对；对于C 选项，若0b = ，0a ≠r r，则b 的方向任意，C 错；对于D 选项，若AB 、BC共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.故选：BD.12．ACD【分析】利用向量的数量积的运算律求解即可.【详解】AB BC AC += ，BC CA BA +=，而AC BA = ，故A 正确；设正三角形的边长为2a ，所以2BA BC += ，2AC CB AB a +==，所以AC CB BA BC +≠+，故B 不正确；2A B AC=+，2C A CB=+,所以AB AC CA CB+=+，故C正确；24AB BC AC AC a++==，24CB BA CA CA a++==，所以AB BC AC CB BA CA++=++，故D正确．故选:ACD.13．22【分析】先化简为()2OA OB OB OC-=-，再利用向量的减法法则化简即得解.【详解】∵320OA OB OC-+=，∴()2OA OB OB OC-=-，∴2BA CB=，∴2AB BC=，∴2ABBC=．故答案为：2，2.14．－1或3【分析】利用向量共线定理即可得出．【详解】由题意知m a－3b＝λ[a＋(2－m) b]，∴()32mmλλ=⎧⎨-=-⎩解得m＝－1或m＝3.故答案为－1或3.【点睛】本题考查了向量共线定理，属于基础题．15．120︒【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.【详解】因为DA DC DB+=，所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形，又因为DA DB DC==，所以四边形ABCD是菱形，且60DAB∠=︒，所以120ABC∠=︒．故答案为：120︒16．【分析】根据向量加法运算结合菱形的性质及角度，求出模长即可【详解】如图所示，设菱形对角线交点为O ,BC DC AD AB AC +=+=．因为120ABC ∠=︒，所以60BAD ∠=︒，所以ABD △为等边三角形．又AC BD ⊥，2AB =，所以1OB =．在Rt AOB △中，AO = ，所以2BC DC AC AO +=== ．故答案为:17．(1)2；4.【分析】（1）根据11,()()2a ab a b =+⋅-= 即可求b ；（2）设向量a b + 与a b - 大角为θ,()()cos a b a b a b a b θ+⋅-=+⨯- .【详解】（1）()()2212a b a b a b +⋅-=-= ，1a = ，21||2b ∴=，b ∴= （2）22211212242a b a a b b +=+⋅+=+⨯+=,a b ∴+= 22211212142a b a a b b -=-⋅+=-⨯+= ,1a b ∴-= ，设向量a b + 与a b - 大角为θ,()()12cos a b a b a b a b θ+⋅-∴=+⨯- 18．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据梯形的几何性质和向量的线性运算可得DE ABλ= ，可求得实数λ的取值范围.【详解】由图分析知cos30DC AB BC =-︒∵AE AD AB λ=+ ,∴AE AD AB λ-= ，即DE AB λ= ，∴DE ABλ=.又0DE ≤≤，AB =uu u r 102λ≤≤.综上，实数λ的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查向量的线性运算，关键在于运用梯形的几何性质得出向量间的线性关系，属于基础题.19．隧道DE 的长度为9【解析】首先利用同角三角函数的关系求出3sin 5γ=，再利用两角差的公式求出()sin 60γ︒-，在△PBC 中，利用正弦定理求出PB ，在△PAB 中，求出AB ，由DE =AB -AD -EB 即可求解.【详解】解：由4cos 5γ=，γ为锐角，可得3sin 5γ=，则()sin 60sin 60cos cos60sin γγγ︒︒︒-=-=.在△PBC 中，60BPC γ︒∠=-，PCB γ∠=，12BC =-由正弦定理可得，()3(12sin 5sin 60BC PB γγ︒-⨯==-在△PAB 中，∠PAB =45°，∠APB =75°，PB =由正弦定理可得，sin759sin452PBAB︒︒⋅==+所以DE=AB-AD-EB=9，所以隧道DE的长度为9.【点睛】本题考查了正弦定理求不可直接测量的两点间的距离，属于基础题.20．(1)OC a b=--uuu r r r，5133CD a b=+；(2)证明见解析.【分析】(1)根据向量的加法，减法，数乘运算的几何意义求解；(2)求证CE，CD共线即可.【详解】（1）因为点B是点C关于点A的对称点，所以AC AB=-，又AB a=，所以AC a=-，因为OC OA AC=+，OO A bA=-=-，所以OC a b=--uuu r r r，因为点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，所以13BD BO=，由已知22CB AB a==，BA AB a=-=-，所以11151()2()33333 CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b=+=+=++=+-+=+.；（2）∵413()555CE OE OC b a b a b CD=-=-++=+=∴CE与CD平行，又∵CE与CD有公共点C，∴C，D，E三点共线.21．（1）1344AE c a=-；（2）:4:1AF CF=.【分析】（1）由于点D是AC的中点，点E是BD的中点，所以12AD AC=，1()2AE AB AD=+，而AC BC BA c a=-=-，从而可求得结果，（2）设AF ACλ=，从而可得BF BA AF BA ACλ=+=+，再用a，c表示，然后结合1455BF a c=+，可求得λ的值，从而可求得:AF CF的值【详解】（1）因为AC BC BA c a=-=-，点D是AC的中点，所以11()22AD AC c a==-，因为点E是BD的中点，所以1111113()()2222444AE AB AD AB AD a c a c a=+=+=-+-=-.（2）设AF AC λ= ，所以()(1)BF BA AF BA AC a c a a c λλλλ=+=+=+-=-+ .又1455BF a c =+ ，所以4=5λ，所以45AF AC = ，所以:4:1AF CF =.22．31u λ=⎧⎨=⎩【分析】根据向量线性运算化简已知条件，由此列方程组来求得λ，u 的值.【详解】由1243e e a ub λ-=+ ，得()()()()12121212432323e e e e u e e u e u e λλλ-=-++=++-+ ，得4233u u λλ+=⎧⎨-+=-⎩，解得31u λ=⎧⎨=⎩．。
安徽省阜阳市第二中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
安徽省阜阳市第二中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3M =，{}3,4N =，全集{}1,2,3,4,5I =，则()I M N =U ð（ ） A ．{}1,2,4B ．{}1,2,3,5C ．{}1,2,4,5D ．I2．在矩形ABCD 中，E 为线段AB 的中点，则CE BD -=u u u r u u u r（ ）A ．2AB AD -u u u r u u u rB ．12AB AD -u u u r u u u rC ．1322AB AD -u u u r u u u r D ．122AB AD -u u u r u u u r 3．若21m n -=n=（ ）A ．1BC ．12D 4．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a c =，且13c b =，则角A 的余弦值为（ ）A ．15B ．14C ．16D ．135．已知向量a b r r ，满足|||||2|a b a b ==-r r r r ⋅=r r a b （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．26．若函数3()2x f x x a =++的零点所在的区间为(0,1)，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,1]--B ．[2,1]--C ．(3,1)--D ．(2,1)--7．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3i n b B =，cos cos A C =，则ABC V 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．已知O 是ABC V 的外心，4AB =uu u r ，2AC =u u u r ，则()AO AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r（ ）A ．10B ．9C ．8D ．6二、多选题9．若函数(210xy a b a =-->且)0a ≠的图象过第一、三、四象限，则（ ）A ．01a <<B ．1a >C ．0b >D ．0b <10．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）A ．5,7,8a b c ===，有唯一解B ．18,20,60b c B ===°，无解C ．8,45a b B ===︒，有两解D ．30,25,150a b A ===︒，有唯一解11．设P 为ABC V 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）A ．若0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，则点P 是ABC V 的重心B ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则点P 是ABC V 的垂心C ．若()||||AB ACAP AB AC λ=+u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ，,[)0λ∈+∞，则点P 是ABC V 的内心 D ．若()()()0PA PB BA PB PC CB PC PA AC +⋅=+⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则点P 是ABC V 的外心三、填空题12．设命题2:,p x x x ∃∈≥Z ，则命题p 的否定为． 13．已知0a >，0b >，())24ln 211961log 729ln24a bb ++++=，则2a b +的最小值为.14．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在ABC V 中，已知30ACB ∠=︒，且1AB ，现以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '，则A B C '''V 的面积最大值为.四、解答题15．已知向量(1,0),(1,2)a b ==-r r． (1)若||1c =r ，且()c a b -r r r ∥，求c r；(2)若2ta b -r r与3a tb +r r 互相垂直，求实数t 的值．16．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量)(),,3cos ,sin m b n A B ==rr 且mr P n r .(1)求角A ；(2)若2a c ==，求ABC V 内切圆的半径.17．如图，在平面四边形ABCD 中，3ABC ACD π∠=∠=，6AB =．(1)若ABC V ，求AC ；(2)在（1）的条件下，若AD =cos2D ．18．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()y f x =图象上的所有点向左平移12π个单位长度，得到函数()y g x =的图象.(1)求函数()y g x =的单调递增区间；(2)设直线()x t t R =∈与()y f x =和()y g x =的图象分别交于,M N 两点，求MN 的最大值. 19．在ABC V 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知22cos b a c B =-，且三角（1）求C 的大小；（2）若ABC V 的面积为cos2cos2A B +的值； （3）设ABC V 的外接圆圆心为O ，且满足cos cos 2sin sin B A CB CA mCO A B+=u u u r u u u r u u u r ，求m 的值．。
安徽省高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
月考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑：如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知，若函数有四个零点，则关于的方程的实数根的个数R a ∈()22f x x x a =--x 2210ax x ++=为（ ） A. 2个 B. 1个 C. 0个D. 与的取值有关a 【答案】A 【解析】【分析】由函数有四个零点，求出a 的范围，再利用判别式求方程的()22f x x x a =--2210ax x ++=实数根的个数.【详解】∵，()22f x x x a =--①当，即时，，∴，解得：. 20x a -≥2a x ≥()220f x x x a =-+=440a ∆=->1a <②当，即时，，∴，解得：，2x 00-<2a x <()220f x x x a =+-=440a ∆=+>1a >-∴，11a -<<当时，，只有三个零点，不合题意，0a =()()()2222,022,0x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩∴且，11a -<<0a ≠∴关于x 的方程中，2210ax x ++=由时，方程为一元二次方程，， 0a ≠440a ∆=->方程有两个不相等的实数根. 故选：A.2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）2i z =-iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】由复数的几何意义，求复数在复平面内对应的点所在象限 【详解】∵的实部是2，虚部是-1，2i z =-∴复数在复平面内对应的点为，在第四象限.2i z=-(2,1)-故选：D.3. 已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量（ ）M ABC A BC E AC 2EC AE =EM =A.B.1123AC AB +1162AC AB +C . D.1126AC AB + 1263AC AB + 【答案】B 【解析】和减法运算可得，结合条件,可得答EM EC CM =+ CB AB AC =-案.【详解】由，则2EC AE =23EC AC = 则 ()212113231622EM EC CM AC CB A AB AC AB A C C =+=+=+=-+故选：B4. 已知单位向量，满足，且，则（ ）a b14a b ⋅= 2c a b =+ sin ,a c =A.B.C.D.38【答案】C【分析】根据已知条件，利用平面向量的数量积的运算求出的长度，并计算，然后利用夹角公式求c a c ⋅夹角余弦值，再求解正弦值【详解】单位向量，满足，且，a b14a b ⋅= 2c a b =+ 所以c === ，()21922244a c a ab a a b ⋅=⋅+=+⋅=+=所以. cos ,a c a c a c ⋅===⋅所以sin ,a c ==故选:C.5. 已知，记函数，且的最小正)()cos cos cos (0)a x x b x x ωωωωω==>，，，()f x a b =⋅()f x 周期是，则（ ） πω=A.B.C.D.1ω=2ω=12ω=23ω=【答案】A 【解析】【分析】由向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简，再由最小正周期为即可求出. ()f x πω【详解】因为 ,cos ),(cos ,cos )(0)a x x b x x ωωωωω==>所以， ()()21π1cos +cos +1cos 2=sin 2++262f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故， 0ω> 2ππ2T ω==.1ω∴=故选：A.6. 已知，，则（ ） ()1sin 3αβ+=()1sin 4αβ-=tan tan αβ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.B. C. 2 D.2-12-12【分析】先利用三角公式求出，即可求得. tan α7tan β=【详解】∵()()11sin αβsin αβ34+=-=，11sin αcos βcos αsin βsin αcos βcos αsin β34∴+=-=，∴， 71sin αcos βcos αsin β2424==，二者相除得：tan α7tan β=，则.tan α2tan β⎛⎫==⎪⎝⎭故选：C.7. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，ABC A A B C a b c ABC A S 2223163()c S b a =+-，则 tan B =A.B.C.D.23324334【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】由， 2223163()c S b a =+-则， 22233316c a b S +-=即， 132cos 16sin 2ac B ac B ⨯=⨯所以，且， 3cos 4sin B B =cos 0B ≠所以. 3tan 4B =故选：D【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、弦化切，属于基础题.8. 在中，若，则的最大角与最小角之和是（ ） ABC A 578BC CA AB ===，，ABC A A.B.C.D.90︒120︒135︒150︒【分析】最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边CA 所对的角为θ，则最大角与最小角的和是，利用余弦定理求解即可.180θ︒-【详解】根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5， 设长为7的边CA 所对的角为θ，则最大角与最小角的和是， 180θ︒-由余弦定理可得，，2564491cos 2582θ+-==⨯⨯由为三角形内角，∴，θ60θ=︒则最大角与最小角的和是. 180120θ︒-=︒故选：B二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9. 已知向量，满足，，且，则（ ）a b 1a b ⋅= 1= b a b += A.B.2=a ()a ab ⊥- C. 与的夹角为D. 与的夹角为a bπ3a bπ6【答案】AC 【解析】.【详解】因为，，a b += 1a b ⋅= 所以，即，解得，故A 正确；2227a a b b +⋅+=r rr r 22117a +⨯+=2=a 因为，，所以，故B 错误；1a b ⋅= 2= a ()2410a a b a a b ⋅-=-⋅=-≠ 因为，，，所以，又因为，所以与的夹角1a b ⋅= 2= a 1= b 1cos ,2a b a b a b ⋅==0,πa b ≤>≤ a b 为，故C 正确，D 错误． π3故选：AC.10. 关于复数（i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ） 22cos sin 33z i ππ=+A. B. 在复平面上对应的点位于第二象限 1z =z C.D.31z =210z z ++=【答案】ACD 【解析】【分析】利用复数的运算法则，共轭复数的定义，几何意义即可求解【详解】 221cosisin 332z ππ=+=-+所以 1z ==故A 正确，则在复平面上对应的点为位于第三象限 12z =-z 1,2⎛- ⎝故B 错误12z =-⇒2222111122222z ⎛⎫⎫⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+⨯-+=- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎭222321111122222z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-+-=--+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21313i 14444=-=+=故C 正确21111022z z ++=---++=故D 正确 故选：ACD11. 函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>0ϕπ<<（ ）A. 把函数图象上的所有点，向左平移个单位，就可得到该函数的图象22sin3y x =3πB. 把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，就可得到该函数的2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭32图象C. 当时，函数的图象与直线的所有交点的横坐标之和为 03x π<<()f x 1y =72πD. 该函数图象的对称中心为， ,03k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭Z k ∈【答案】BC 【解析】【分析】首先根据函数的图象求函数的解析式，再根据函数的图象变换以及函数性质判断选项. 【详解】由图象可知， ，得， 2A =244πππω⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭23ω=当时，，，解得， 4x π=22342k ππϕπ⨯+=+Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈因为，所以，0ϕπ<<3πϕ=所以，()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A .函数图象上的所有点，向左平移个单位，得22sin3y x =3π，故A 不正确； ()2222sin 2sin 3339y x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭32，故B 正确；()22sin 33y x f x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭C. ，得，得，或()22sin 133f x x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭21sin 332x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭22336x k πππ+=+252336x k πππ+=+，，且， Z k ∈03x π<<解得：或，所以，故C 正确；1114x π=234x π=121137442x x πππ+=+=D.令，得， 233x k ππ+=322x k ππ=-+所以函数的对称中心是，，故D 不正确. ()f x 3,022k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈故选：BC12. 下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） (0,)+∞A. B. C.D.||e x y =tan y x =cos y x =222xy +=【答案】AD 【解析】【分析】利用奇偶性定义、三角函数的性质判断奇偶性，根据函数解析式及指数复合函数的单调性判断区间单调性.【详解】A ：且上单调递增，满足题设； ||||e e x x -=(0,)+∞B ：为奇函数，不满足题意．tan y x =C ：在上有增有减，不满足题意； cos y x =(0,)+∞D ：，又在上单调递增，单调递增，故在上单调22()2222x x-++=22t x =+(0,)+∞2t y =222xy +=(0,)+∞递增，满足题设. 故选：AD ．第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知复数（为虚数单位），则______. 32iz i+=i z =【解析】【分析】化简得到，得到模长. 12i z =-+【详解】，. 32212i iz i ii ++===-+-z =【点睛】本题考查了复数的化简，复数的模，意在考查学生的计算能力. 14. 设函数（是常数，，）.若在区间上具有单调()()sin f x x ωϕ=+ωφ，0ω>π2ϕ<()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦性，且，则下列有关的命题正确的有___________.（把所有正确的命题序号()()2013f f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()f x 都写上）①的最小正周期为2； ()f x ②在上具有单调性；()f x 51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦③当时，函数取得最值； 13x =()f x ④为奇函数； 56y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⑤是的图象一个对称中心. (,)ϕϕω--()y f x x ω=+【答案】①③④⑤ 【解析】【分析】由在区间上具有单调性确定最小正周期的范围，再由确定对()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()2013f f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭称中心与对称轴，进一步求出，对各命题依次辨析即可. ()f x 【详解】设的最小正周期为， ()f x T ∵在区间上具有单调性，∴，， ()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦121233T ≥-=43T ≥又∵， ()()2013f f f ⎛⎫==-⎪⎝⎭∴图象上的点和关于直线对称，()f x ()()0,0f 22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13x =点和关于点对称，22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1,1f 5,06⎛⎫⎪⎝⎭即图象一个周期内相邻的一条对称轴和一个对称中心分别为直线和点， ()f x 13x =5,06⎛⎫⎪⎝⎭∴，∴，∴，∴. 5114632T =-=2π2T ω==πω=()()sin πf x x ϕ=+又∵为图象的一条对称轴，13x =()()sin πf x x ϕ=+∴，，即，，∵，∴，1πππ32k ϕ⨯+=+Z k ∈ππ6k ϕ=+Z k ∈π2ϕ<π6ϕ=∴. ()πsin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭对于①，的最小正周期，故①正确；()f x 2T =对于②，由，，解得，， ππππ62x k +=+Z k ∈1+3x k =Z k ∈∴图象的对称轴为直线，，()f x 1+3x k =Z k ∈当时，为图象的一条对称轴，在区间上不单调，故②错误； 1k =43x =()f x ()f x 51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于③，为图象的一条对称轴，当时，函数取得最值，故③正确； 13x =()f x 13x =()f x 对于④，设，， ()()5πsin πsi 6n πs 5π6in π6x g f x x x x ⎡⎤⎛⎫+=+=- ⎪⎢⎥⎛⎫=+=+⎣⎦⎪⎭ ⎝⎝⎭R x ∈，，且，R x ∀∈R x -∈()()()sin πsin πx x g x g x -=-=--=∴为奇函数，故④正确；()56y g x f x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭对于⑤，∵，，∴点即， πω=π6ϕ=(,)ϕϕω--1π(,66--设 ()()π=sin ππ6h x f x x x x ω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，11π1πsin ππsin ππ66666h x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--++--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11π1πsin ππsin ππ66666h x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+++-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴，即关于点对称，11π6626h x h x ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()h x 1π(,66--∴是的图象一个对称中心，故⑤正确. (,)ϕϕω--()y f x x ω=+故答案为：①③④⑤.15. 已知向量，若，则___________.()()1,3,,1a b m ==- a b ⊥ m =【答案】3【解析】【分析】由向量垂直的坐标运算求解.【详解】向量，若，则，解得()()1,3,,1a b m ==- a b ⊥ 30m -=3m =故答案为：3.16. 已知向量，则函数的单调递增区间())sin2,2cos ,a x x b x ==()1,,22f x a b x ππ⎡⎤=⋅-∈-⎢⎥⎣⎦ 为__________.【答案】 ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据数量积的坐标公式，结合三角恒等变换公式化简可得，再求解单调递()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭减区间，结合求解即可 ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【详解】由题意，，故 的单()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭()f x 调递增区间：，即，故在()222262k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ()36k x k k ππππ-≤≤+∈Z ()f x 的单调递增区间为 ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为： ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 复数，求实数m 的取值范围使得：2(1i)(8i)156i(R)z m m m =+-++-∈（1）z 为纯虚数；（2）z 在复平面上对应的点在第四象限．【答案】（1）5m =（2）23m -<<【解析】【分析】（1）根据z 为纯虚数，列出方程，即可求解；（2）根据z 在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；【小问1详解】，()()222(1i)(8i)156i=8156i z m m m m m m =+-++---++-若z 为纯虚数，则，解得：.22815=060m m m m ⎧-+⎨--≠⎩5m =【小问2详解】由题意知，，解得：. 22815>060m m m m ⎧-+⎨--<⎩23m -<<18. 已知P 为的边BC 上一点，，，若，用、表示.ABC A AB a = AC b = 2ABP ACP S S =△△a b AP 【答案】. 1233AP a b =+ 【解析】【分析】由题可得，然后根据向量线性运算的几何表示结合条件即得. 23BP BC = 【详解】因为，所以，即， 2ABP ACP S S =△△23ABP ABC S S =△△23BP BC = 所以， ()23AP AC AB AB -=- 所以. 12123333AP AB a AC b =++= 19. 已知函数的图象过点P （，0），且图象上与P 点最近的()πsin (0,0,2y A x A ωϕωϕ=+>><π12一个最高点坐标为（，5）. π3（1）求函数的解析式；（2）指出函数的增区间；（3）若将此函数的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位长度得到图象正好关于轴(0)m m >()g x y 对称，求的最小正值.m 【答案】（1）； π5sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）； ()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（3）. π12【解析】【分析】（1）由题可得，，进而可得，然后根据五点法结合条件可得，即得； 5A =πT =2ω=π6ϕ=-（2）利用正弦函数的性质即得；（3）由图象变换知，根据函数的对称性可得，进而即()π5sin 26(22)g x x m +--=π2π,Z 6m k k -=∈得． 【小问1详解】由已知可得，， 5A =πππ43124T =-=∴，即,2ππT ω==2ω=∴，()5sin 2ϕ=+y x 由得，， π5sin 2012ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭π2ϕ<所以，即， π06ϕ+=π6ϕ=-∴； π5sin(26y x =-【小问2详解】由，得， πππ2π22π(Z)262k x k k -≤-≤+∈ππππ(Z)63k x k k -≤≤+∈∴函数的增区间是； ,(Z)6πππk k k ⎡-∈⎢⎣【小问3详解】 由题可得，又图象正好关于轴对称， ()π5sin 26(22g x x m +--=()g x y 则， π2π,Z 6m k k -=∈解得， ππ,Z 212k m k =+∈当时，的最小正值为. 0k =m π1220. 在锐角中，角的对边分别是，且. ABC ∆A B C ，，a b c ，，sin cos sin cos 0a A C c A A +-=（1）求角的大小；A （2）若，求面积的最大值.4a =ABC ∆【答案】（1）；（2） 60A =︒【解析】【分析】（1）利用正弦定理边转化为角，逐步化简，即可得到本题答案；（2）由余弦定理得，，综合，得，从而可得222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-222b c bc +≥16bc ≤到本题答案.【详解】（1）因为， sin cos sin cos 0a A C c A A +-=所以， 2sin cos sin Csin cos 0A C A A B +=即， ()sin sin cos cos sin 0A A C A C B +-=所以， sin sin 0A B B =又，所以，由为锐角三角形，则； sin 0B ≠sin A =ABC ∆60A =︒（2）因为，2222cos ,60,4a b c bc A A a ︒=+-==所以， 222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-所以，即（当且仅当时取等号），162bc bc bc ≥-=16bc ≤4b c ==所以11sin 16sin 6022ABC S bc A ∆=≤⨯⨯︒=【点睛】本题主要考查利用正弦定理边角转化求角，以及余弦定理和基本不等式综合运用求三角形面积的最大值.21. 在△ABC 中，已知，，. 45A =︒4cos 5B =10BC =（1）求的值；sin C （2）求的面积.ABC A【答案】（1 （2）42【解析】【分析】（1）由已知得 ，，由此能求出结果；3sin 5B ==()sin sin 135C B =- （2）由正弦定理得解得，利用三角形面积公式可求出三角形ABC 的面积。
2020学年高一数学第一次月考试题(含解析)
2019学年高一数学第一次月考试题（含解析）一、选择题（共12小题，每题5分）1. 设集合A={x∈Q|x＞﹣1}，则（）A. B. C. D. ⊈A【答案】B【解析】试题分析： A中元素为大于负一的有理数，故选B．考点：集合间的关系2. 已知集合A到B的映射f：x→y=2x+1，那么集合A中元素2在B中的象是（）A. 5B. 2C. 6D. 8【答案】A【解析】因为 ,所以选A.3. 用集合表示图中阴影部分是（）A. （∁U A）∩BB. （∁U A）∩（∁U B）C. A∩（∁U B）D. A∪（∁U B）【答案】C............4. 下列函数是偶函数的是（）A. y=xB. y=2x2﹣3C.D. y=x2，x∈[0，1]【答案】B【解析】y=x为奇函数, y=2x2﹣3是偶函数,为奇函数, y=x2，x∈[0，1]既不是奇函数也不是偶函数,所以选B.5. 在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A. f（x）=x﹣1，g（x）=B. f（x）=x，g（x）=C. f（x）=x+1，x∈R，g（x）=x+1，x∈ZD. f（x）=|x+1|，g（x）=【答案】D【解析】f（x）=x﹣1与g（x）=定义域不同, f（x）=x与g（x）=定义域不同, f （x）=x+1，x∈R与g（x）=x+1，x∈Z定义域不同, g（x）=,所以f（x）=|x+1|与g（x）=为同一函数，选D.6. 已知集合A={0，1，2}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B=（）A. {0，1，2，3，4}B. {0，1，2}C. {0，2，4}D. {1，2}【答案】A【解析】因为，所以B={0，1，2，3，4}，选A.7. 已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=（）A. 0B. πC. π2D. 9【答案】B【解析】，选B.点睛：分段函数求值的解题思路；求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．8. 全集为实数集R，M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，则（∁R M）∩N=（）A. {x|x＜﹣2}B. {x|﹣2＜x＜1}C. {x|x＜1}D. {x|﹣2≤x＜1}【答案】A【解析】（∁R M）∩N={x|x＜﹣2}，选A.9. 函数f（x）=x2+2ax+a2﹣2a在区间（﹣∞，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. （﹣∞，3]B. [﹣3，+∞）C. （﹣∞，-3]D. [3，+∞）【答案】C【解析】由题意得，选C.10. 已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A. （﹣1，1）B. （，1）C. （﹣1，0）D. （﹣1，﹣）【答案】D【解析】由题意得，选D.点睛：对于抽象函数定义域的求解(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．11. 已知函数y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（2a﹣1）＜f（1﹣a），则实数a的取值范围是（）A. B. （0，2） C. D. （0，+∞）【答案】C【解析】解：函数y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，则有：，故选C．点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内12. 设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（）A. （﹣1，0）∪（1，+∞）B. （﹣∞，﹣1）∪（0，1）C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D. （﹣1，0）∪（0，1）【答案】D【解析】略二．填空题（共4小题，每题5分）13. 已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=_____．【答案】{3，4}．【解析】A∩B={1，2，3，4}∩{3，4，5}={3，4}．14. 幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，4），则f（﹣3）的值是_____．【答案】9．【解析】由题意得15. 函数f（x）=的单调递减区间为_____．【答案】（﹣∞，﹣3]．【解析】由题意得，即单调递减区间为（﹣∞，﹣3]．点睛：1．复合函数单调性的规则若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．2．函数单调性的性质(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．16. 已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），则下列各式恒成立的是_____．①f（0）=0；②f（3）=3f（1）；③f（）=f（1）；④f（﹣x）f（x）＜0．【答案】①②③【解析】解：令x=y=0得f（0）=2f（0），所以f（0）=0，所以①恒成立；令x=2，y=1得f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1），所以②恒成立；令x=y=得f（1）=2f（），所以f（）=f（1），所以③恒成立；令y=﹣x得f（0）=f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）=﹣f（x），所以f（﹣x）f（x）=﹣[f（x）]2≤0，所以④不恒成立．故答案为：①②③三．解答题（共6小题）17. 已知集合M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N．求a、b的值．【答案】【解析】因为M=N，所以根据集合元素的互异性，可知,解出a,b值再验证是否满足互异性的要求.由M＝N及集合元素的互异性得：或解上面的方程组得，或或再根据集合中元素的互异性得，或18. 已知集合A={x|1＜x﹣1≤4}，B={x|x＜a}．（Ⅰ）当a=3时，求A∩B；（Ⅱ）若A⊆B，求实数a的取值范围．【答案】（1）{x|2＜x＜3}（2）a＞5【解析】试题分析：（1）先解集合A,再结合数轴求交集得A∩B；（2）根据数轴确定满足A⊆B时实数a的取值范围．试题解析：解：（Ⅰ）∵1＜x﹣1≤4，∴2＜x≤5故A={x|2＜x≤5}当a=3时，B={x|x＜3}∴A∩B={x|2＜x＜3}（Ⅱ）∵A⊆B，∴a＞519. 已知f（x）=，g（x）=x2+2．（1）求f（2），g（2），f[g（2）]；（2）求f[g（x）]的解析式．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）将自变量2代入f（x），g（x）解析式即得f（2），g（2），将g （2）作为自变量代入f（x）即得f[g（2）]；（2）将g（x）作为自变量代入f（x）即得f[g （x）]试题解析：解：（1）f（2）= ，g（2）=22+2=6，把g（2）=22+2=6代入f（x）=，得f[g（2）]=f（6）= ；（2）f[g（x）]=20. 已知函数，（Ⅰ）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(Ⅰ)利用函数的单调性的定义进行证明；(Ⅱ)利用前一步所证的函数的单调性确定其最值．试题解析：(Ⅰ) 设，且,则∴∴，∴∴∴，即∴在上是增函数.(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知在上是增函数∴当时，∴当时，综上所述，在上的最大值为，最小值为.21. 设f（x）=x2﹣4x﹣4，x∈[t，t+1]（t∈R），求函数f（x）的最小值的解析式，并作出此解析式的图象．【答案】见解析【解析】试题分析：根据对称轴 x=2与定义区间[t，t+1]位置关系，讨论确定最小值取法，再利用分段函数形式写最小值的解析式，最后按三段依次作出函数图像试题解析：解：f（x）=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8，即抛物线开口向上，对称轴为x=2，最小值为﹣8，过点（0，﹣4），结合二次函数的图象可知：当t+1＜2，即t＜1时，f（x）=x2﹣4x﹣4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=t+1处取最小值f（t+1）=t2﹣2t﹣7，当，即1≤t≤2时，f（x）=x2﹣4x﹣4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=2处取最小值﹣8，当t＞2时，f（x）=x2﹣4x﹣4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=t处取最小值f（t）=t2﹣4t﹣4，即最小值为g（t），由以上分析可得，，作图象如下；点睛：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆（A⊆）即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．22. 已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意a，b∈（0，+∞）都有f（ab）=f（a）+f（b），且当x＞1时，f（x）＜0．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）判断f（x）的单调性并证明；（Ⅲ）若f（3）=﹣1，解不等式f（x）+f（x﹣8）＞﹣2．【答案】（1）f（1）=0（2）见解析（3）（8，9）【解析】试题分析：（1）赋值法求f（1）的值：令a=b=1，可得f（1）=2f（1），解得f（1）=0；（2）取两个特殊值判断函数单调性，再利用单调性定义证明，作差时利用f（x2）﹣f（x1）=f（）再结合当x＞1时，f（x）＜0可得差的符号.（3）利用及时定义可得f（x）+f（x﹣8）=f[x（x﹣8）]，根据赋值法可得f（9）=2f（3）=﹣2，再根据单调性可得，解不等式组可得不等式解集试题解析：解：（1）对∀a，b∈（0，+∞）都有f（ab）=f（a）+f（b），令a=b=1，可得f（1）=2f（1），解得f（1）=0；（Ⅱ）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=f（）﹣f（x1）=f（）+f（x1）﹣f（x1）=）=f（）∵，∴，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）．∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．（Ⅲ）令a=b=3，可得f（9）=2f（3）=﹣2，∴f（x）+f（x﹣8）＞﹣2⇒f[x（x﹣8）]＞f（9）⇒．不等式f（x）+f（x﹣8）＞﹣2的解集为：（8，9）。
安徽省合肥市中国科学技术大学附属中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
中科大附中2023-2024学年第二学期高一年级月考数学试卷考试时间：120分钟 卷面满分150分一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，点(2,3)表示复数z ，则z 的虚部是（ ） A. 3 B. 3i C. 3− D. 3i −【答案】C 【解析】【分析】先得到23i z =+，则23i z =−，再求出其虚部即可.【详解】由复数的几何意义得23i z =+，从而23i z =−，其虚部为3−. 故选：C2. 已知点()()1,3,4,1,A B −则与AB同方向的单位向量为 A. 3455−， B. 4355 −，C. 3455 −，D. 4355 −，【答案】A 【解析】【详解】试题分析：(41,13)(3,4)AB =−−−=− ,所以与AB同方向的单位向量为134(3,4)(,)555AB e AB −−，故选A. 考点：向量运算及相关概念.3. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，2cos 3A =，则b=A.B.C. 2D. 3【答案】D 【解析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！4 已知43AP AB = ，用OA ，OB 表示OP ，则OP等于（ ）A. 1433OA OB −B. 1344OA OB +C. 1433OA OB −+ D. 1433OA OB −−【答案】C 【解析】【分析】根据向量减法，将,AP AB用,,OP OA OB表示，然后整理可得.【详解】因为43AP AB =，所以()43OP OAOB OA −=− ，整理得1433OP OA OB =−+. 故选：C5. 在ABC 中，()cos21,sin 21AB =°°，()2sin 39,2cos39AC =°°，则ABC 的面积为（ ）A.12B. 1C.D.【答案】A 【解析】【分析】利用向量的坐标求出,,,AB AC AB AC，然后由三角形面积公式可得.【详解】因为()cos 21,sin 21AB =°°，()2sin 39,2cos39AC =°° ，所以1AB =，2AC=，的.2cos 21sin 392sin 21cos39cos ,sin 6012AB AC °°+°°==°=× . 又[],0,πAB AC ∈ ，所以π,6AB AC = ，所以1π112sin 262ABC S =××= . 故选：A6. 在ABC 中，若cos cos 0a bA B c−−+=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理将cos cos 0a b A B c −−+=化简为222222a b c a b c a b+−+−=，从而可求解. 【详解】由cos cos 0a bA B c−−+=，得cos cos a c B b c A −=−， 由余弦定理得22222222a c b b c a a c b c ac bc +−+−−×=−×，化简得222222a b c a b c a b+−+−=， 当2220a b c +−=时，即222+=a b c ，则ABC 为直角三角形； 当2220a b c +−≠时，得a b =，则ABC 为等腰三角形； 综上：ABC 为等腰或直角三角形，故D 正确. 故选：D .7. 点P 是锐角ABC 内一点，且存在R λ∈，使()AP AB AC λ=+，则下列条件中，不能判断出ABC 为等腰三角形的是（ ） A. 点P 是ABC 的垂心 B. 点P 是ABC 的重心 C. 点P 是ABC 的外心 D. 点P 是ABC 的内心【答案】B 【解析】【分析】由已知判断点P 在直线AD 上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可. 【详解】记BC 的中点为D ，则()2AP AB AC AD λλ+， 所以，点P 在直线AD 上.A 选项：若点P 是ABC 的垂心，则AD BC ⊥，所以AB AC =，所以ABC 为等腰三角形，A 正确；B 选项：若点P 是ABC 的重心，则点P 在BC 边的中线上，无法推出AD BC ⊥，B 错误； C 选项：若点P 是ABC 的外心，则点P 在BC 边的中垂线上， 所以AD BC ⊥，所以ABC 为等腰三角形，C 正确；D 选项：若点P 是ABC 的内心，则AD 为BAC ∠的角平分线， 所以BAD CAD ∠=∠，又,AP APBD CD ==，所以ADB 与ADC △全等， 故AB AC =，D 正确. 故选：B8. 设θ为两个非零向量a ，b的夹角，已知对任意实数t ，||a tb + 是最小值为1，则（ ）A. 若θ确定，则||a唯一确定B. 若θ确定，则||b唯一确定C 若||a 确定，则θ唯一确定 D. 若||b确定，则θ唯一确定【答案】A 【解析】【分析】画图，利用点与直线上的点的距离大小关系，以及向量的加减法性质判定即可.【详解】如图，记OA a = 、AB b = 、AH tb = ，则OH a tb =+，则当()b a tb ⊥+时，||a tb +取得最小值1，若θ确定，则||a 唯一，||b不确定，若||a 确定，θ可能有两解（图中OA a = 或OA a =′）， 若||b确定，则a不确定，从而θ也不确定.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 .全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下面四个命题中的真命题为（ ） A. 若复数z ∈R ，则z ∈RB. 复数z ∈R 的充要条件条件是z z =C. 对任意复数,z w 都有z w z w +=+D. 若复数i z a =+（a ∈R ），且||z =1a =【答案】ABC 【解析】【分析】根据共轭复数的概念判断AC ，根据复数为实数及共轭复数的概念判断B ，根据复数模的运算判断D.【详解】对于A ，设()i ,z a b a b =+∈R ，若复数z ∈R ，即0b =，则z z =∈R ，正确； 对于B ，设()i ,z a b a b =+∈R ，若i i 0z z a b a b b =⇔+=−⇔=， 所以，复数z ∈R 的充要条件是z z =，正确；对于C ，设()i ,z a b a b =+∈R ，()i ,w c d c d =+∈R ，则()()i z w a c b d +=+++， 所以()()i z w a c b d +=+−+，而()()()()i i i z w a b c d a c b d +=−+−=+−+， 即有z w z w +=+，正确；对于D ，若复数i z a =+（a ∈R ），且||z =1a =±，错误.故选：ABC.10. 如图所示设,Ox Oy 是平面内相交成2πθθ≠角的两条数轴，21,e e分别是与,x y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系，若12OM xe ye =+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量OM的反射坐标，记为(),OM x y = ．在23πθ=的反射坐标系中，()()12,21，，==− a b ．则下列结论中，正确的是（ ）A. ()1,3a b −=−B. a =C. ab ⊥D. a在b上的投影向量为【答案】AD 【解析】【分析】向量差的坐标运算判断选项A ；利用向量的模公式计算判断选项B ；用向量的数量积公式判断选项C ；利用a在b上的投影向量公式判断选项D.【详解】对于A ，()()()12,21,1,3,a b a b ==−−=− ，，故A 正确； 对于B，a =B 错误； 对于C ，22121211223(2)(2)232,2a b e e e e e e e e ⋅=+−=+−=−故C 错误； 对于D，b = ，a 在b 上投影向量为a b b b⋅== ，故D 正确； 故选：AD.11. 在ABC 中，2a =，π6A =，则下列结论正确的是（ ） A. 若3b =，则ABC 有两解B. ABC 周长有最大值6C. 若ABC 是钝角三角形，则BC 边上的高AD的范围为(0, D. ABC面积有最大值2+ 【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据sin b A a b <<得到结论；B 选项，由余弦定理和基本不等式求出周长的最大值；C选项，求出三角形的外接圆半径，画出图形，数形结合得A 在 CD或 BE 上，BC 边上的高AD的范围为(0,；D 选项，在C 选项的基础上求出面积最大值. 【详解】A 选项，π3sin 3sin 62b A ==，故sin b A a b <<，故ABC 有两解，A 正确； B 选项，由余弦定理得2222cos b c a bc A +−=，即()2π242cos 6b c bc bc +−−=，化简得()(242b c bc +−=+， 由基本不等式得()24b c bc +≤，故()24b c +−≤的当且仅当b c =时，等号成立，解得b c +≤，故ABC的周长最大值为2，B 错误；C 选项，由正弦定理得24πsin sin 6a A ==，故ABC 的外接圆半径为2，如图所示，将ABC 放入半径为2的圆中，其中2BC DE ==，π6BDC ∠=，故BE CD ==，ABC 是钝角三角形，故A 在 CD或 BE 上， 故BC 边上的高AD的范围为(0,，C 正确；D 选项，由C 选项可知，当A 落在 的中点时，ABC 边BC 上的高A F ′最大，其中πsin 3OF OB ==，此时高A F ′为2+，面积最大值为122BC A F ′⋅=D 正确. 故选：ACD【点睛】思路点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知(,1),(1,2)a x b ==− ，且22a b a b +=−，则x =______.【答案】2【解析】【分析】由22a b a b +=−可得0a b ⋅= ，利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由22a b a b +=− 两边同时平方可得：2222a b a b +=−，所以22224444a a b b a a b b +⋅+−⋅+ ，整理得0a b ⋅= ， 而()1120a b x ⋅=×−+×=，解得：2x =，故答案为：2.13. 如图,OM ∥AB ,点P 在由射线OM ,线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP xOA yOB =+ ，则x 的取值范围是___；当12x =−时，y 的取值范围是___.【答案】 ①. ()0∞-，②. 1322， 【解析】【分析】由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以,OB OA 的反向延长线为相邻两边，得到x 的取值范围，当12x =−时，要使点P 落在指定区域内，即点P 应落在DE 上，得到y 的取值范围.【详解】解：如图，OM AB ,点P 在射线OM ，线段OB 及AB 延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+ ，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以,OB OA 的反向延长线为相邻两边，故x 的取值范围是()0∞-，； 当12x =−时，要使点P 落在指定区域内，即点P 应落在DE 上，13,22CD OB CE OB ==, 故y 的取值范围是：1322，.的【点睛】本题考查了平面向量基本定理及向量加法的平行四边形法则，属基础题.14. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，角B 为锐角，且28sin sin sin A C B =，则a cb+的取值范围为__________．【答案】 【解析】 【详解】设()t 1a ct b+=>，，则a c tb +=，由28sin sin sin A C B =，得28ac b =,. 由余弦定理得()22222222222124cosB45,12ac 24t b b b a c ac b a c b t ac b −−+−−+−====−由角B 为锐角得0cosB 1<<，所以20451t <−<t <<a cb +<<故答案为四、解答题: 本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设O 为坐标原点，向量1OZ 、2OZ 、3OZ 分别对应复数1z 、2z 、3z ，且()212i z a a =+−，()2132i z a =−+−，32i z m =− (),R a m ∈. 已知12z z +是纯虚数.（1）求实数a 的值；（2）若123,,Z Z Z 三点共线，求实数m 的值. 【答案】（1）1a =− （2）2m =− 【解析】【分析】（1）根据12z z +是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可；（2）根据1132//Z Z Z Z求解即可.【小问1详解】由题意可得()21211i z z a a +=−+−，由于复数12z z +是纯虚数，则21010a a −= −≠，解得1a =−；【小问2详解】由（1）可得113i z =+，215i z =−+，则点()11,3Z ，()21,5Z −，点()32,m Z −所以，1132(2,2),(1,3)Z Z Z Z m =−=−−因123,,Z Z Z 三点共线，所以1132//Z Z Z Z，所以(2)(3)12m −×−−=×，所以2m =−16. 已知向量,a b 满足1,2,2a b a b ==−=.（1）求向量,a b的夹角；（2）求向量3a b + 与a的夹角的余弦值. 【答案】（1）2π3（2 【解析】【分析】（1）将2a b −=（2）求出向量3a b + 与a 的数量积，求得3a b +的模，根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【小问1详解】由2a b −= 2|2|12a b −= ，即224412a a b b −⋅+= ，故4412cos ,412a b −××〈〉+=，则1cos ,2a b 〈〉=− ，而,[0,π]a b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= ； 【小问2详解】22π(3)3312cos 3123a b a a a b +⋅=+⋅=+××=−= ，3a b +=所以(3)cos3,|3|||a b aa b aa b a+⋅〈+〉==+17. 在ABC∆中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c .已知cos2cos2cosA C c aB b−−=（1）求sinsinCA的值（2）若1cos,24B b==，求ABC∆的面积.【答案】（1）sin2sinCA=（2【解析】【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin2sinA B B C+=+，化简即得答案．（2）由（1）知sin2sinc Ca A==，结合题意由余弦定理可解得1a=，sin B=，从而计算出面积．【详解】（1）由正弦定理得2sin,2sin,2sina R Ab R bc R C==，所以cos cos22sin sincos sinA C c a C AB b B−−−==即sin cos2sin cos2sin cos sin cosB A BC C B A B−=−即有()()sin2sinA B B C+=+，即sin2sinC A=所以sin2sinCA=（2）由（1）知sin2sinc Ca A==，即2c a=，又因为2b=，所以由余弦定理得：2222cosb c a ac B=+−，即222124224a a a a+−××，解得1a=,所以2c=，又因为1cos4B=，所以sin B=，故ABC∆的面积为11sin1222ac B=×××.【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．18. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发4min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，索道AB 长为2080m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =.（1）求AC 的长；（2）问：乙从A 出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过5min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）2520米（2）70min 37t = （3）12502500,4361（单位：m/mim ） 【解析】【分析】（1）根据同角关系由余弦可求正弦值，进而可由和差角公式求解sin B ,然后在ABC 中，利用正弦定理即可求解AC .（2）根据余弦定理表达出两人之间的距离，然后根据二次函数的最值进行求解.（3）根据甲乙两人行走的时间与路程之间的关系即可求解.【小问1详解】在ABC 中，因为12cos 13A =，3cos 5C =， 所以5sin 13A =，4sin 5C = ∴5312463sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 13513565B AC A C A C A C =−+=+=+=×+×= 由正弦定理sin sin AB AC C B =，∴208063sin 25204sin 655AB AC B C =×=×=， 所以AC 的长为2520米.【小问2详解】假设乙出发t min 后，甲､乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(20050)m t +，乙距离A 处130m t ， 所以由余弦定理得22212(20050)(130)2130(20050)13d t t t t =++−××+×()220037140200t t −+ 由于20800130t ≤≤，即016t ≤≤， 故当70min 37t =时，甲､乙两游客距离最短. 【小问3详解】由正弦定理sin sin BC AC A B=， ∴25205sin 100063sin 1365AC BC A B =×=×=， 甲到达C 共需要425205050.=分钟，乙开始从B 出发时，已经用去164121++=分钟. 乙从B 出发时，甲已走了50(1641)1050×++=米，还有1470米到达C . 设乙步行的速度为 m /min v ，由题意得100014705550v −≤−≤解得125025004361v ≤≤ 所以为使两位游客在t 处互相等待的时间不超过5min ，乙步行的速度应控制在12502500,4361 （单位：m/mim ）范围内.19. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c，且sin C C a， b =（1）求角B ；（2）若2a c +=，求边AC 上的角平分线BD 长；（3）若ABC 为锐角三角形，求边AC 上的中线BE 的取值范围.【答案】（1）π3B =（2）BD =（3）32【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；（2）根据余弦定理及已知得13ac =，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积模的运算得21(32)4BE ca =+ ，利用正弦定理得π2sin(2)16ac A =−+，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.【小问1详解】由sin C C a+=及正弦定理得sin sin sin b C C A B +=，即sin sin cos B C B C A ⋅+⋅，即sin sin cos sin B C B C BcosC B C ⋅+⋅=+，所以sin sin sin B C B C ⋅，因为sin 0C ≠，所以tan B =. 因为(0,π)B ∈，所以π3B =. 【小问2详解】 由π3B =及余弦定理得()22233c a ac c a ac =+−=+−，又2a c +=，所以13ac =， 由ABCABD BDC S S S =+ 得111sin sin sin 22222B B ac B c BD a BD =⋅⋅+⋅⋅， 所以ππsin ()sin 36ac BD c a =⋅+，所以11232BD ×⋅⋅，解得BD =. 【小问3详解】因为E 的AC 的中点，所以1()2BE BA BC =+ ， 则222211132()(2cos )(3)4444ca BE BA BC c a ca B ca ca +=+=++⋅=++= ， 由正弦定理得2πsin sin 4sin sin 4sin sin()sin sin 3b b ac A C A C A A B B ⋅⋅⋅−214sin sin cos 2sin 2A A A A A A =⋅+=+π21cos 22sin(2)16A A A +−=−+， 因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032A A << <−< ，所以ππ62A <<， 所以ππ5π2666A <−<，所以1πsin(2)126A <−≤，所以23ac <≤， 所以2179(32),444BE ca =+∈，所以32BE ∈， 即边AC 上的中线BE的取值范围为32.。
2023-2024学年安徽省滁州市定远县高一下学期3月第一次月考质量检测数学试题
2023-2024学年安徽省滁州市定远县高一下册3月第一次月考数学试题一、单选题1．已知411iz -=+，则z =（）AB ．13CD．【正确答案】A 【分析】求得5i1i z +=+，由模的性质可得结果.【详解】依题意得()41i 41132i 1i 2z -=+=+=-+，所以z ==故选：A.2．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB的方向相反的单位向量是（）A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】利用向量坐标运算可得AB和AB ，由此可知所求向量为AB AB -.【详解】()3,4AB =-，5AB ∴= ，∴与向量AB 的方向相反的单位向量为34,55AB AB ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：A.3．设a 、b 、c为非零向量，若a b cp ab c=++，则p 的取值范围为（）A ．[]0,1B ．[]1,2C ．[]0,3D ．[]1,3【正确答案】C【分析】求出p的最大值和最小值，可得出结果.【详解】解：a a 、b b 、c c 分别为a 、b 、c方向上的单位向量，则3a b cp ab c=++≤，当且仅当a 、b 、c 方向都相同时，等号成立，作a OA a = ，bOB b =，cOC c = ，当23AOB BOC COA π∠=∠=∠=时，如下图所示：以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAEB ，则该四边形为菱形，且3AOE π∠=，所以，AOE △为等边三角形，且1OE =，又因为23AOC π∠=，1OC = ，由图可知，0OC OE += ，即0p OA OB OC =++= ，综上所述，03p ≤≤ .故选：C.4．设a 、b 是两个平面向量，则“a b =”是“a b =r r ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合相等向量的定义判断即可得出结论.【详解】充分性：若a b =，则a 、b 方向相同且a b =r r，充分性成立；必要性：若a b =r r ，但a 、b 的方向不一定相同，即a 、b 不一定相等，必要性不成立.因此，“a b =”是“a b =r r”充分而不必要条件.故选：A.5．在ABC 中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2CD DB = ，则AD =（）A ．2133b c+ B ．1233b c+C ．2133b c-D ．1233b c-【正确答案】B【分析】由向量的运算法则求解【详解】∵2CD DB =，∴23CD CB = ，而()22213333AD AC CD AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=+，故1233AD b c =+ ，故选：B6．在ABC 中，5BC =，8AC =，60C ∠=︒，则BC CA ⋅的值等于（）A ．20B ．20-C ．D ．-【正确答案】B【分析】由题意得BC 与CA的夹角为120︒，由数量积公式直接计算即可得到答案.【详解】ABC 中，5BC =，8AC =，60C ∠=︒，BC 与CA的夹角为120︒，则1=cos12058202BC CA BC CA ⎛⎫⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B本题考查两个向量数量积的计算，属于简单题.7．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB a = ，AD b = ，E 为BF 的中点，则AF =（）A ．3455a b+ B ．4355a b+C ．1233a b+D ．2133a b+【正确答案】A【分析】根据向量数乘和加减法法则，结合几何图形即可求解.【详解】()1124AF AB BF AB BC CF AB AD AE AB AD AB AF =+=++=+-=+-+，即()14AF AB AD AB AF =+-+ ，∴53344455A F a b b A a F =+⇒=+．故选：A ．8．已知,A B 是圆22:1O x y +=上的两个动点，AB =32OC OA OB =-，M 为线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为（）A ．14B ．12C ．34D ．32【正确答案】A根据,A B 是圆22:1O x y +=上的两个动点，且AB = ,OA OB的模和夹角，再由M 是线段AB 的中点，用,OA OB 表示向量OM，然后利用平面向量的数量积运算求解.【详解】解：,A B 是圆22:4O x y +=上的两个动点，1OA OB ∴==，又AB =即22AB =,即2cos 2ABBAO OA∠==，即6∠=BAO π，2263AOB πππ∴∠=-⨯=，M 是线段AB 的中点，1122OM OA OB ∴=+ ，()113222OM OC OA OB OA OB⎛⎫∴⋅=+- ⎪⎝⎭223122OA OB OA OB =-+⋅223121111cos 223π=⨯-+⨯⨯⨯14=.故选：A.关键点点睛：本题解题的关键是：利用,A B在圆上以及AB 得到23AOB π∠=.二、多选题9．下列关于复数的四个命题正确的是（）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若()72i3i z +=+，则z 的共轭复数的虚部为1C ．若1i 1z +-=，则1i z --的最大值为3D ．若复数1z ，2z 满足12z =，22z =，121z z +=+，则12z z -=【正确答案】ACD【分析】根据复数模、共轭复数的积运算即可判断A ，由复数除法的运算及共轭复数、虚部的概念判断B ，根据复数模的几何意义及圆的性质判断C ，利用复数的加减运算、模的运算求解可判断D.【详解】设i,(,R)z a b a b =+∈，对A ，2224z a b =⇒+=，22i)(i (4)z a b a b a z b +-=+⋅==，故正确；对B ，()72i3i z(2i)3i z +=+⇒-=+，所以3i (3i)(2i)55iz 1i 2i (2i)(2i)5++++====+--+，z 1i =-，其虚部为1-，故错误；对C ，由1i 1z +-=的几何意义，知复数z 对应的动点Z 到定点(1,1)-的距离为1，即动点Z 的轨迹为以(1,1)-为圆心，1为半径的圆，1i z --表示动点Z 到定点(1,1)的距离，由圆的性质知，max 1i 13z --==，故正确；对D ，设12=+i,=+i,(,,,R)z m n z c d m n c d ∈，因为12z =，22z =，所以22224+=4m n c d +=，，又121z z +=，所以+=1,+m c n d所以+=2mc nd -，所以12=|()+(z z m c n d ---.故选：ACD10．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知a ，b 均为非零向量，则//a b ⇔ 存在唯一的实数λ，使得b aλ=B ．若向量AB ，CD共线，则点A ，B ，C ，D 必在同一直线上C ．边长为1的正方形ABCD 中2BA BC +=uu r uu u rD ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++=【正确答案】AD【分析】利用向量共线的概念即可判断A 正确，B 错误；利用向量的加法法则和向量的模的计算可判断C 错误，利用三角形重心的结论即可判断D 正确，问题得解.【详解】对于选项A ，由平面向量平行的推论可得其正确；对于选项B ，向量AB ，CD共线，只需两向量方向相同或相反即可，点A ，B ，C ，D 不必在同一直线上，故B 错误；对于选项C ，边长为1的正方形ABCD中BA BC BD +==uu r uu u rC 错误；对于选项D ，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.故选：AD.11．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量a ，b 满足2a b ==，a b += ）A ．2a b ⋅=-B ．a 与b的夹角为π3C ．a b a b-<+ D ．a b - 在b上的投影向量为12br 【正确答案】BC【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B ，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】2a b ==，a b += 22212||2424a b a a b b a b =+=+⋅+=+⋅+ ,解得2⋅= a b ,故A 错误·cos ,2a b a b a b ⋅== ,1cos ,2a b a b a b ⋅==，由于()0π，，a b ∈ ，a ∴r 与b 的夹角为π3，故B 正确,22a b a b -=<+=故C 正确a b - 在b 上的投影向量为()21··22b a bb a b b b b b bbb b⋅-⋅-==-=-，故D 错误,故选：BC12．已知ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且3C π∠=，2c=，则（）A ．cos cos b A aB +=B ．ABC 周长的最大值为6C ．cos cos BA的取值范围为)+∞D ．AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值为23+【正确答案】BD【分析】若cos cos b A a B +，利用余弦定理化简可得c =即可判断A ；由余弦定理结合均值不等式可判断B；利用三角函数恒等变换的应用可得cos 1cos 2B A A =-，根据正切函数的性质即可判断C；由题意根据正弦定理，平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求)23AC AB A π⋅=++ ，进而根据正弦函数的性质可判断D ；【详解】对于A，若cos cos b A a B +=22222222b c a a c b b a bc ac+-+-⋅+⋅22c =，解得c =2c =，故A 错误．对于B ，由余弦定理得：()2222221cos 222a b ab c a b c C ab ab +--+-===，则()()222343324a b a b ab a b +⎛⎫+-=≤=+ ⎪⎝⎭，所以4a b +≤，ABC 周长为46a b c c ++≤+=，所以ABC周长的最大值为6，故B 正确；对于C，222cos()cos cos sin sin cos 1333cos cos cos 2A A AB A AA A πππ-+===-，因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan A 的取值范围为()(0,,+∞⋃-∞，所以cos cos B A的取值范围为(-∞，12)(2--⋃，)∞+，故C 错误；对于D，由正弦定理得，则sin sin sin 3c a b C A B ===，则b B =，cos 2cos 2cos cos AC AB bc A b A B A B A ⋅===⨯= ，23B A π=-，2sin 3AC AB A A π⎛⎫⋅-⎪⎝⎭21sin 4cos 2A A A A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭sin cosA A ()121cos22cos22sin22A A A A A A ⎫=++=++=+⎪⎪⎝⎭sin 2233A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.∵203A π<<，4023A π<<，52333A πππ<+<，则当232A ππ+=，即12A π=时，AC AB ⋅2，故D 正确；故选：BD.三、填空题13．已知复数z 满足(12)56i z i -++=-，则||z 的值为_______.【正确答案】10.【详解】分析：根据待定系数法及共轭复数的概念求出复数z ，再求出||z ．详解：设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-．∵()1256i z i -++=-，∴()12()(1)(2)56i a bi a b i i -++-=-+-=-，∴1526a b -=⎧⎨-=-⎩，解得68a b =⎧⎨=⎩．∴68z i =+，∴10z ==．点睛：本题考查复数的概念和加减运算，解题的关键是根据待定系数法求出复数z 的代数形式，然后再根据复数模的概念求解．14．在ABC 中，11,.34AD AC AE AB == 若P 为BD CE ，的交点，满足AP xAB yAC =+，则x y +的值为__________．【正确答案】511【分析】利用平面向量三点共线性质可得()114AP AB AC λλ=+- ，()13AP AB AC μμ-=+，从而求得211μ=，进而得到231111AP AB AC =+ ，由此得解.【详解】依题意，得,,E P C 三点共线，所以()()1114AP AE AC AB AC λλλλ=+-=+- ，同理：由,,B P D 三点共线得到()()113AP AB AD AB AC μμμμ-=+-=+，所以1134μλλμ-⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得211μ=，所以231111AP AB AC =+ ，又AP xAB yAC =+，所以211x =，311y =，故511x y +=．故511．15．设()cos sin a αα= ，，()πcos sin 02b ββαβ⎛⎫=<<< ⎪⎝⎭ ，是平面上两个向量，若45a b ⋅= ，且4tan 3β=，则tan α=__________．【正确答案】724【分析】利用平面向量的数量积运算与余弦函数的和差公式得到()4cos 5αβ-=，结合,αβ的取值范围求得()3tan 4αβ-=-，从而利用正切的和差公式展开并代入4tan 3β=即可得解.【详解】因为45a b ⋅= ，所以4cos cos sin sin 5αβαβ+=，则()4cos 5αβ-=，由π02αβ<<<，即π,02αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()3sin 5αβ-==-，则()()()sin 3tan cos 4αβαβαβ--==--，所以tan tan 31tan tan 4αβαβ-=-+⋅，即33tan tan tan tan 44αβαβ-=--⋅，把已知4tan 3β=代入，可得4334tan tan 3443αα-=--⨯，解得7tan 24α=，所以7tan 24α=.故724．16．作用于同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知124,5F N F N ==，1F 与2F 之间的夹角是60°，则力3F 的大小为___________N .【分析】根据条件及312||F F F =+=【详解】解：根据题意知，1230F F F ++=,则()312F F F =-+，所以312||F F F =+=．即力F 3．四、解答题17．已知复数()1i 1i z a +=-（R a ∈，i 是虚数单位）.(1)若z 对应的点在虚轴上，求实数a 的值；(2)设z 是z 的共轭复数，复数z 在复平面上对应的点在第二象限，求a 的取值范围.【正确答案】(1)1a =(2)(1,1)-【分析】（1）根据复数的运算法则，求得2211i 11a az a a -+=-++，结合题意列出方程组，即可求解；（2）由（1）得到2211i 11a a z a a -+=+++，结合题意列出不等式组，即可求解．【详解】（1）由题意，复数()()()()()2221i 1i 11i 1i11i 1i 1i 1i 111a a a a a z a a a a a a ----+--+====-++-+++所以z 对应的点为2211,11aa a a -+⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又因为z 对应的点在虚轴上，所以2101aa -=+，得1a =；（2）由（1）知2211i 11a a z a a -+=+++，z 对应的点为2211,11a aa a-+⎛⎫⎪++⎝⎭，z 在复平面上对应的点在第二象限，可得22101101aa a a -⎧<⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得11a -<<，即实数a 的取值范围为(1,1)-.18．已知a ，b ，c在同一平面内，且()1,2a =r .（1）若c = //a c ，求c ；（2）若b = ()()2a b a b +⊥- ，求a 与b的夹角的余弦值.【正确答案】（1）()3,6c = 或()3,6c =-- ；（2）10.【分析】（1）设(),c x y =，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得2y x =⎧得解；（2）由平面向量垂直可得()()20a b a b +⋅-= ，再由平面向量数量积的运算可得1a b ⋅=- ，最后由cos ,a b a b a b⋅=⋅ 即可得解.【详解】（1）设(),c x y = ，因为()1,2a =r ，//a c，c = ，所以2y x =⎧=36x y =⎧⎨=⎩或36x y =-⎧⎨=-⎩，所以()3,6c = 或()3,6c =-- ；（2）因为()1,2a =r，所以a r 又()()2a b a b +⊥-，b = 所以()()22225220a b a b a a b b a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯= ，所以1a b ⋅=- ，所以cos ,a b a b a b ⋅==-⋅ 本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于中档题.19．如图，设,Ox Oy 是平面内相交成60︒的两条数轴，12,e e 分别是x 轴和y 轴正方向的单位向量.若12OP xe ye =+ ，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标.已知OP 的坐标为(4,2).（1）求||OP 的大小；（2）若OQ 的坐标为(3,2)-，求OP 与OQ 夹角的大小.【正确答案】（1）；（2）120 .【分析】（1）先计算12111122e e ⋅=⨯⨯= ，再由1242OP e e =+ ，平方即可计算模长；（2）由1232OQ e e =-+ ，先计算OP OQ ⋅ ，再由||||OP OQ OP OQ ⋅⋅ 可得夹角的余弦值，从而得解.【详解】（1）12,e e 分别是x 轴和y 轴正方向的单位向量，且夹角为60︒，所以12111122e e ⋅=⨯⨯= ，OP 的坐标为(4,2)，所以1242OP e e =+ ，所以21221122221)161641616428(224OP e e e e e e =+⋅+=+⨯+=+= ，所以||OP == （2）OQ 的坐标为(3,2)-，所以1232OQ e e =-+，||OQ === 2221212112(4232)()122412147OP OQ e e e e e e e e ⋅=-⋅+⋅+=-+=+-++=- ,所以OP 与OQ夹角的余弦值为|12|||OP OQ OP OQ ⋅⋅=- 所以OP 与OQ 夹角的大小为120 .20．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin =+b a C c A .（1）求A 的大小；（2）若3cos 5B =，5BC =，17BD BA = ，求CD 的长.【正确答案】（1）π4A =；（2）CD =（1）由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C C A =+，再由()sin sin B A C =+，代入得cos sin sin sin A C C A =，可求得A 的大小；（2）由正弦定理sin sin AC BC B A=，求得AC =7AB =，1BD =，利用余弦定理求得答案.【详解】解：（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C C A =+，又()()sin sin πsin B A C A C =-+⎡=⎤⎦+⎣，所以()sin sin cos sin sin A C A C C A+=+即sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C C A +=+，整理得cos sin sin sin A C C A =，因为sin 0C ≠可得cos sin A A =，又0A π<<，所以π4A =；（2）在ABC中，4sin 5B ==，由4sin sin 52AC BC AC B A =⇒=AC =又因为()cos cos cos cos sin sin 10C A B A B A B =-+=-+=，所以2222cos 49AB AC BC AC BC C =+-⨯⨯⨯=，得7AB =，由17BD BA = 得17BD BA =，所以1BD =，所以2222cos 20CD BD BC BD BC B =+-⨯⨯⨯=，所以CD ==.关键点点睛：在运用正弦定理、余弦定理解三角形时，注意由已知条件选择合适的定理，并注意角的范围.21．目前，中国已经过成全球最大的5G 网络，无论是大山深处还是广袤平原．处处都能见到5G 基站的身影．如图1，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G 基站AB ，已知基站高AB =50m ，该同学眼高1.5m （眼睛到水平面的距离），该同学在初始位置C 处（眼睛所在位置）测得基站底部B 的仰角为37°，测得基站顶端A 的仰角为45°．(1)求出山高BE （结果保留整数）；(2)如图2，当该同学面向基站AB 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M 处（眼睛所在位置）到基站AB 所在直线的距离MD =x m ，且记在M 处观测基站底部B 的仰角为α，观测基站顶端A 的仰角β．试问当x 多大时，观测基站的视角∠AMB 最大?参考数据：sin 80.14︒≈，sin 370.6︒≈，sin 450.7︒≈，sin1270.8︒≈．【正确答案】(1)152m ；(2)x =.【分析】（1）先通过正弦定理求出BC ，进而求出BD ，然后求得答案；（2）先表达出tan ,tan αβ，然后结合两角和与差的正切公式得到tan AMB ∠，最后结合基本不等式求得答案.【详解】（1）由题知∠ACB =8°，∠BAC =45°，在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB BC ACB BAC=∠∠，即50sin80sin 45BC =︒︒，所以500.72500.14BC ⨯≈=，在Rt BDC 中，sin BD BCD BC ∠=，即sin 37250BD ︒=，所以2500.6150BD ≈⨯=，所以山高BE =BD ＋DE =150＋1.5=151.5≈152m.（2）由题知AMD β∠=，BMD α∠=，则在Rt BMD △中，150tan BD MD x α==，在Rt AMD △中，200tan AD MD xβ==，由题知AMB βα∠=-，则()tan tan tan tan 1tan tan AMB βαβααβ-∠=-=+220015050200150300001x x x x x x-==++⋅5030000x x =≤+当且仅当30000x x =即x =时，tan ∠ACB 取得最大值，即视角最大．22．已知向量1(1,0)e = ，2(0,1)e = ，动点P 从点0(1,2)P -开始沿着与向量12e e + 相同的方向做匀速直线运动，速度大小为12e e + ；另一动点Q 从点0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e + 相同的方向做匀速直线运动，速度大小为1232e e + ，设P 、Q 在0=t 秒时刻分别在0P 、0Q 处．（Ⅰ）经过多长时间PQ 最小？求出最小值；（Ⅱ）经过多长时间后00PQ P Q ⊥ ，求出t 值．【正确答案】（Ⅰ）当1t =（Ⅱ）2t =．【详解】试题分析：（Ⅰ）由题意可得经过t 秒后，点P 的位置在(1,2)t t -++，点Q 的位置在(23,12)t t -+-+，根据模长公式可求得PQ ，再根据配方法求其最值．（Ⅱ）根据向量垂直数量积等于0可求得t 的值．试题解析：解：根据题意得0(1,2)P -，0(2,1)Q --，则00(1,3)P Q =--12(1,1)e e += ，12e e + 1232(3,2)e e += ，1232e e += 经过t 秒后，点P 的位置在(1,2)t t -++，点Q 的位置在(23,12)t t -+-+，（Ⅰ）(12,3)PQ t t =-+-+ ，PQ ==≥ 1t =时取最小值；（Ⅱ）由(12,3)PQ t t =-+-+ ，而00PQ P Q ⊥ ，那么(1)(12)(3)(3)0t t -⨯-++-⨯-+=，解得2t =，故经过2秒钟后，00PQ P Q ⊥ ．1数量积公式，模长公式；2向量垂直．。
安徽省淮北市濉溪县临涣中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
安徽省淮北市濉溪县临涣中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}621A x x =-<，{}|5B x x =<，则（ ）A ．{}|5AB x x =<IB ．A B ⋂=∅C ．{|5}A B x x =<UD ．A B ⋃=R2．下列各角中，与996o 终边相同的角为（ ）A ．84-oB ．276-oC ．245oD ．84o 3．若α是锐角，则k θπα=+，()k ∈Z 是（ ）A ．第一象限角B ．第三象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第二象限角或第四象限角4．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点()7πsin 30,cos 6P ⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A ．12-B ．12C ．D 5．已知幂函数122()(32)m f x m m x -=-满足(2)(3)f f >，则m =（ ）A ．23 B ．13- C ．1 D ．1-6．若函数()f x 对任意x ∈R 都有()()13f x f x +=-，且当[]2,3x ∈时，()4f x x =-，则()2024f =（ ）A ．8-B ．8C ．12-D ．12 7．2021年，安徽省广德市王氏制扇技艺被列人第五批国家级非遗代表性项目名录. 如图是王氏明德折扇的一款扇面，若该扇形的中心角的弧度数为3，外弧长为 60cm,内弧长为 21cm,则连接外弧与内弧的两端的线段长均为（ ）A ．7cmB ．8cmC ．13cmD ．15cm8．若关于x 的不等式()210x a x ab +++>的解集为{}1x x ≠，则ab 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．－1二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．120-︒化成弧度是2πrad 3-B ．πrad 10化成角度是18° C ．1o 化成弧度是180radD ．10πrad 3-化成角度是60-︒ 10．下列不等式错误的是（ ）A ．19π2πsin tan 085⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11π13πcos sin 098> C ．()sin613cos 4510︒-︒< D ．tan343cos1740︒︒<11．已知函数()πcos 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点11π,024⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的图象关于直线7π24x =-对称 D ．函数()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减三、填空题12．时间经过五个小时，时针转过的角为rad .13．已知0a >，若21cos 2a a θ+=，则πcos 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为. 14．设函数()()()120102x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，()()12g x f x x =-，[]2,2x ∈-，若()()212log log 21g a g a g ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．已知()()()sin 3sin 232cos cos 2f παπααπαπα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭. (1)化简()f α.(2)已知tan 3α=，求()f α的值.16．已知函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象过点,18π⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)求ϕ；(2)求函数()y f x =的单调增区间； (3)[0,]2x π∀∈，()f x m ≥总成立．求实数m 的取值范围. 17．某校对2023年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[)30,50，[)50,70，[)70,90，[)90,110，[)110,130，[]130,150分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数；(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，在成绩位于[)50,70和[)70,90的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在[)50,70内的概率.18．已知定义域为R 的函数()22xxa f xb -=+是奇函数. (1)求a ，b 的值；(2)判断()f x 的单调性，并作简要说明，无需证明；(3)若存在[]0,4t ∈，使()()22420f k t f t t ++-<成立，求实数k 的取值范围.19．已知函数()22cos 2sin f x x a x a =+-，π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. (1)若π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求实数a 的值； (2)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.。
2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．(34)(12)i i ++-= （ ）A ．42i +B ．42i -C ．14i +D ．15i + 【答案】A【分析】利用复数的加法法则直接计算即可.【详解】()()(34)(12)314242i i i i ++-=++-=+.故选：A.【点睛】本题考查复数的加法运算，属于基础题.2．下列说法错误的是（ ）A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a cB ．零向量与任意向量平行C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =D ．平行四边形ABCD 中，AB CD = 【答案】D【解析】根据共线向量的定义和性质逐一判断即可选出正确答案.【详解】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，故//a c ，故本说法是正确的；选项B ：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C ：由//a c ，//b c ，可知：c 与向量a 具有相同或相反方向，c 与向量b 具有相同或相反方向，但是向量a b ，不共线，所以0c ，故本说法是正确的；选项D ：平行四边形ABCD 中，应该有AB DC =，故本说法是错误的.故选：D【点睛】本题考查了共线向量的定义和性质，考查了相等向量的定义，考查了零向量的性质，属于基础题.3．已知正方形ABCD 的边长为6，M 在边BC 上且3BC BM =，N 为DC 的中点，则AM BN ⋅=A ．-6B ．12C ．6D ．-12【答案】A【分析】以向量,BA BC 为基底，将,AM BN 用基底表示，结合向量数量积的运算律，即可求解.【详解】由M 在边BC 上且3BC BM =，N 为DC 的中点， 13AM BM BA BC BA =-=-， 1122BN BC CN BC CD BC BA =+=+=+， 11()()32AM BN BC BA BC BA ⋅=-⋅+ 2215112186362BC BC BA BA =-⋅-=-=-. 故选：A.【点睛】本题考查向量基本定理以及向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题. 4．若向量a ，b 满足1==a b ，且()12a a b ⋅-=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【分析】由已知条件结合数量积公式化简即可求解.【详解】因为1==a b ，()12a a b ⋅-=，即212a a b -⋅=，21cos ,2a a b a b -⋅⋅=，求得1cos ,2a b =，所以向量a 与b 的夹角为3π. 故选：B5．在ABC 中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133b c + B ．5233c b - C ．2133b c - D ．1233b c + 【答案】A 【详解】试题分析：，故选A ．6．已知i 是虚数单位，复数1232,14z i z i =-+=-，则复数12z z z =+在复平面内表示的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据复数的加法运算，表示出复数z ，进而得到其在复平面内表示的点坐标，即可得到所在象限．【详解】由复数加法运算可知12321422z z z i i i =+=-++-=-- 在复平面内表示的点坐标为()2,2--，所以所在象限为第三象限所以选C【点睛】本题考查了复数的简单加法运算，复平面内对应的点坐标及其象限，属于基础题．7．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为km.A 85B 415C 215D ．5【答案】B【分析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值．【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒， 由正弦定理，sin sin CD AD CAD ACD =∠∠， 所以·sin 4?sin12043sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒， 由正弦定理，sin sin CD BD CBD BCD =∠∠， 所以·sin 4sin4546sin sin603CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒ 在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：415AB =所以A 与B 的距离AB =故选B 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．8．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占有非常重要的地位，特别是当x π=时，10i e π+=被称为数学上的优美公式.根据欧拉公式，263i i e e ππ+表示复数z ，则z =（ ）A ．2+BC ．2D ．2 【答案】B【分析】根据欧拉公式将263i i e e ππ+化简为z =，再利用复数模的计算公式计算即可.【详解】根据欧拉公式有26322cos sin cos sin 6633i i e e i i ππππππ+=+++=，所以z =，||z 故选：B 【点睛】本题主要考查复数模的计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.9．三棱柱111ABC A B C 中，90BAC ∠=，AB AC a ==，111160∠=∠=AA B AA C ，1190∠=BB C ，侧棱长为b ，则其侧面积为（ ）A B C ．ab D 【答案】C【分析】先由题中条件，得到侧面11AA B B 和侧面11AAC C 为一般的平行四边形，侧面11BB C C 为矩形，根据题中数据，分别计算三个侧面的面积，即可求出结果.【详解】如图，由已知条件可知，侧面11AA B B 和侧面11AAC C 为一般的平行四边形，侧面11BB C C 为矩形.在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC a ==，∴BC =，∴11BCC B S b ⋅=矩形.∵111160AA B AAC ∠=∠=︒，AB AC a ==，∴点B 到直线1AA 的距离为3sin 602a a ︒=. ∴111132AA C C AA B B S S ab ==四边形四边形. ∴()322322S ab ab ab =⨯+=+侧.故选C【点睛】本题主要考查棱柱的侧面积，熟记棱柱结构特征以及侧面积公式即可，属于常考题型.10．下列说法中正确的个数是（ ）①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；②平行四边形可以确定一个平面；③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；④若,A A αβ，且l αβ=，则A 在l 上. A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】根据空间点、直线、平面之间的位置关系的公理及定理，对每项逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于①，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故①不正确； 对于②，平行四边形两组对边分别平行，则平行四边形是平面图形，故②正确；对于③，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故③不正确； 对于④，由公理可得，若,,A A l αβαβ∈∈⋂=，则∈A l ，故④正确.故选：B【点睛】本题主要考查空间点、直线、平面之间的位置关系的公理及定理的应用.11．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ） A ．142ππ+ B ．122ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】B【分析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论．【详解】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h ，圆柱的侧面展开图是一个正方形，2r h π∴=，∴圆柱的侧面积为2224rh r ππ=，圆柱的两个底面积为22r π，∴圆柱的表面积为22222224r rh r r ππππ+=+，∴圆柱的表面积与侧面积的比为：22222241242r r r πππππ++=， 故选：B ．12．PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，连接PB ，PC ，PD ，AC ，BD ，则下列垂直关系正确的个数是（ ）①面PAB ⊥面PBC ②面PAB ⊥面PAD③面PAB ⊥面PCD ④面PAB ⊥面PACA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据题意,底面为正方形且PA ⊥平面ABCD ,则BC ⊥平面PAB ;即可判断【详解】证明：对于①,因为底面为正方形所以BC AB ⊥由题意可知PA ⊥平面ABCD所以BC PA ⊥,而PA AB A =所以BC ⊥平面PAB又因为BC ⊂平面PBC所以平面PAB ⊥平面PBC ,所以①正确;对于②,因为AD BC ∥故由①可得AD ⊥平面PAB ,而AD ⊂平面PAD所以平面PAD ⊥平面PAB ,所以②正确③④错误,不垂直.综上可知,正确的为①②故选：B【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定,属于基础题.二、填空题13．在平行四边形ABCD 中1AB e =，2AC e =，14NC AC =，12BM MC =，则MN =________.（用12,e e 表示）【答案】1225312e e -+ 【分析】根据向量的线性运算性质及几何意义，由12BM MC =得23MC BC =，利用向量的三角形法则得BC ＝AC －AB ，又14NC AC =，MN ＝CN －CM ，最后将AC 和AB 两个向量都用1e 和2e 表示即可求得结果.【详解】如图：MN ＝CN －CM＝CN ＋2BM ＝CN ＋23BC ＝－14AC ＋23(AC －AB ) ＝－214e ＋212()3e e - ＝1225312e e -+. 故本题答案为1225312e e -+. 【点睛】本题是一道关于向量运算的题目，考查平面向量的基本定理，解答本题的关键是熟练掌握向量的加法与减法的运算法则，属基础题.14．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A 、B 两点的距离为______【答案】502m 【分析】由ACB ∠与BAC ∠，求出ABC ∠的度数，根据sin ACB ∠，sin ABC ∠，以及AC 的长，利用正弦定理即可求出AB 的长．【详解】解：在ABC ∆中，50AC m =，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒，即30ABC ∠=︒，则由正弦定理sin sin AB AC ACB ABC=∠∠， 得：250sin 25021sin 2AC ACB AB m ABC ⨯∠===∠．故答案为：502m .【点睛】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 15．如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边11A B 作一个平行于棱1C C 的平面11A B EF ，记平面分三棱台两部分的体积为1V （三棱柱111A B C FEC -），2V 两部分，那么12:V V =______.【答案】3：4【解析】设三棱台的高为h ，上底面的面积是S ，则下底面的面积是4S ，计算体积得到答案.【详解】设三棱台的高为h ，上底面的面积是S ，则下底面的面积是4S ，()174233V h S S S Sh ∴=++=台，1123,743V Sh V Sh V Sh Sh ∴=∴==-. 故答案为：3:4.【点睛】本题考查了三棱台的体积问题，意在考查学生的计算能力.16．如图，S 为等边三角形ABC 所在平面外一点，且SA SB SC AB ===，,E F 分别为,SC AB 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为______.【答案】45°【分析】由GE AC //，得GEF ∠等于异面直线EF 与AC 所成角，通过求GEF ∠的大小，即可得到本题答案.【详解】如图，取AS 的中点G ，连接,GE GF ，则,GE AC GF SB ////GEF ∴∠等于异面直线EF 与AC 所成角.设2AB =，则1,1GE GF ==.取AC 的中点M ，连接,MS MB .SA SB SC AB ===，,SAC ABC ∴∆∆为等边三角形，,,SM AC BM AC SM BM M ∴⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面BMS ，,AC SB EG GF ∴⊥∴⊥，45GEF ∴∠=︒.所以，异面直线EF 与AC 所成的角为45︒.故答案为：45︒【点睛】本题主要考查异面直线所成角，把异面直线平移到一个面上，然后通过解三角形求角，是解决此类题目的常用方法.三、解答题17．如图所示，在ABO ∆中，14OC OA =，12OD OB =，AD 与BC 相交于点M .设OA a =，OB b =. （1）试用向量a 、b 表示OM ；（2）在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ，设OE OA λ=，OF OB μ=，求证：137λμ+=.【答案】（1）1377OM a b =+；（2）证明见解析. 【解析】（1）设OM ma nb =+，由A 、D 、M 三点共线以及B 、C 、M 三点共线可得出关于m 与n 的方程组，解出这两个未知数，即可得出OM 关于a 、b 的表达式； （2）设EM MF η=，利用向量的减法运算可得出11OM a b λμηηη=+++，结合1377OM a b =+可建立等式，通过化简计算可得出137λμ+=，即可得出结论. 【详解】（1）不妨设OM ma nb =+.由于A 、D 、M 三点共线，则存在()1αα≠-使得AM MD α=，即()OM OA OD OM α-=-，于是1OA OD OM αα+=+. 又12OD OB =，所以()121121OA OB OM a b ααααα+==++++， 则()1121m n ααα⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩，即21m n +=.① 由于B 、C 、M 三点共线，则存在()1ββ≠-使得CM MB β=， 即()OM OC OB OM β-=-，于是1OC OB OM ββ+=+. 又14OC OA =，所以()1141411OA OB OM a b βββββ+==++++，所以()1411m n βββ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，即41m n +=.②由①②可得17m =，37n =，所以1377OM a b =+；（2）由于E 、M 、F 三点共线，所以存在实数()1ηη≠-使得EM MF η=， 即()OM OE OF OM η-=-，于是1OE OFOM ηη+=+.又OE OA λ=，OF OB μ=，所以111OA OB OM a b λημλμηηηη+==++++，所以137711a b a b λμηηη+=+++，则117317λημηη⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，可得171371ληημη⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，两式相加得137λμ+=.【点睛】本题考查了平面向量的数乘，向量的线性运算及向量表示三点共线，属中档题． 18．如图，一艘船从港口O 出发往南偏东75°方向航行了100km 到达港口A ，然后往北偏东60°方向航行了160km 到达港口B ．试用向量分解知识求从出发点O 到港口B 的直线距离（2 1.414,145.5612.065≈≈，结果精确到0.1km ）．（提示：将OA ，AB 分解为垂直的两个向量．）【答案】241.3km【分析】建立直角坐标系，利用平面向量的坐标表示公式，结合平面向量加法的几何意义和坐标表示公式进行求解即可.【详解】建立如图所示的坐标系：显然907515,906030,100,160AOC BAE OA AB ︒︒︒︒︒︒∠=-=∠=-===，于是有：sin15100sin15AC AC OA ︒︒=⇒=，cos15100cos15OCOC OA︒︒=⇒=， sin 30160sin 3080BE BE BA ︒︒=⇒==，cos30160cos30803AE AE BA︒︒=⇒== 所以(100cos15,100sin15),(803,80)OA AB ︒︒=-=，因为(100cos15803,100sin1580)OB OA AB ︒︒=+=+-+，所以有： 222222(100cos15803)(100sin1580)(100cos15)(803)(100sin15)80160003cos1516000sin153560032000cos 452089402208940 1.41420145.562012.065241.3OB︒︒︒︒︒︒︒=++-+=++-++-=+=+≈+⨯=≈⨯=19．如图所示，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ，点D ，E ，F 为圆O 上的点，,,DBC ECA FAB 分别是以BC,CA,AB 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB 为折痕折起,,DBC ECA FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥，则当ABC 的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围.【答案】(0,543【分析】根据题意，设三棱锥的底面边长为a ，则03a <<连接OD ，交BC 与点G ，则OD BC ⊥，从而可知36,OD OG ==，则36DG =，根据三角形的面积分别求出三棱锥的底面积和侧面积，从而得出三棱锥的表面积9S a =，根据a 的取值范围，即可求出当ABC 的边长变化时，三棱锥的表面积的取值范围.【详解】解：由题可知，等边三角形ABC 的中心为O ，圆O 的半径为6， 设三棱锥的底面边长为a ，即等边三角形ABC 的边长为a ， 如图，连接OD ，交BC 与点G ，由题意可知，OD BC ⊥， 则2333OA ==，6OD =，可知OA OD <36<，则063a <<1336,3OD OG ===，则36DG OD OG =-=， ∴三棱锥的底面积为：213sin 6024ABC S a a =⨯⨯⨯=△，由题可知，,,DBC ECA FAB 全等，则面积相等， ∴三棱锥的侧面积为：211333336922DBC S BC DG a a ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△， 所以三棱锥的表面积为：2233399ABC DBC S S S a a =+=+=△△， 063a <<09543a ∴<<，即(0,543S ∈，所以当ABC 的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围是(0,543.20．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB BC AA ===；(1)求异面直线1A B 和CD 所成角的正切值； (2)求三棱柱11A AB D DC -的体积和表面积. 【答案】(1)32(2)体积6，表面积1613+【分析】（1）因为//AB CD ，所以1A B 与CD 所成的角即为1A B 与AB 所成的角，从而得到结果； （2）根据三棱柱的体积公式和表面积公式即可得到结果. 【详解】（1）在长方体中，因为//AB CD ，所以1A B 与CD 所成的角即为1A B 与AB 所成的角，即1A BA ∠（或补角），113tan 2A A A BA AB ∠==， 所以异面直线1A B 和CD 所成角的正切值为32；（2）易知三棱柱11A AB D DC -是直三棱柱，底面1A AB 是直角三角形， 所以111132322A ABSA A AB =⋅⋅=⨯⨯=． 又11A D 为三棱柱的高，所以111326A ABV SA D =⋅=⨯=，又四边形11A D CB 为矩形，1112,13A D A B ==，所以1111213,224,236A D CB ABCD A D DA S S S ==⨯==⨯=四边形四边形四边形，故所求表面积111112A ABA D CB ABCD A D DA S SS S S =+++四边形四边形四边形232134616213=⨯+++=+.21．如图，四边形ABCD 中，,,642ABAD AD BC AD BC AB ，，，,E F 分别在,BC AD 上，EF AB ∥.现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC .（1）当1BE =时，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，使得CP 平面ABEF ？若存在，求出P 点位置；若不存在，说明理由（2）设BE x =，问当x 为何值时，三棱锥A CDF -的体积有最大值？并求出这个最大值. 【答案】（1）见解析；（2）当3x =时，三棱锥A CDF -的体积V 有最大值，最大值为3 【分析】（1）先找到点32APPD，再证明此时CP 平面ABEF .（2）BE x =，(04),6AFx xFDx ，体积的表达式为21333V x 得到答案.【详解】（1）存在点P ，使得CP平面ABEF ，此时32APPD .当32AP PD时，35AP AD， 过点P 作MP FD ，交AF 于点M ，连接EM ，如图，则35MP FD . ∵在四边形ABCD 中，16BE AF AD ，∴5FD，∴3MP =.∵3,//EC EC FD ，∴//MP EC ，且MP EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，∴//PC ME . ∵CP 平面,ABEF ME 平面ABEF ，∴CP平面ABEF .（2）∵平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ⋂平面EFDC EF ，,AF EF AF 平面EFDC .∵BE x =，∴(04),6AFx xFDx ，故三棱锥A CDF -的体积21112633323Vx xx ，当3x =时，三棱锥A CDF -的体积V 有最大值，最大值为3【点睛】本题考查了线面平行，体积的最值，先找后证是一个常规的方法，找到体积的表达式是解题的关键.22．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11C D ，11B C 的中点．（1）求证：B ，D ，E ，F 四点共面； （2）若ACBD P =，11A C EF Q =，1AC 与平面EFBD 交于点R ，求证：,,P Q R 三点共线．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）证明EF ∥BD 即可得出结论；（2）只需说明,,P Q R 三点都是平面BDEF 和平面ACC 1A 1的公共点即可得出结论． 【详解】证明：（1）连接11B D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，∵E ，F 分别为11C D ，11B C 的中点， ∴EF 是111B C D △的中位线，∴11//EF B D ， 又因为11//B D BD ，∴//EF BD∴四边形BDEF 为梯形，即B ，D ，E ，F 四点共面． （2）在正方体1111ABCD A B C D -中，ACBD P =，11A C EF Q =，AAC C与平面BDEF的交线，∴PQ是平面11AC交平面BDEF于点R，又因为1AAC C与平面BDEF的一个公共点．∴R是平面11因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，P Q R三点共线．∴,,。
沪科版九年级数学下学期第一次月考试卷及答案(2020年安徽版)
2019—2020学年度第二学期九年级质量检测试卷（一）数学注意事项：1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。
“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。
4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.下列事件中的不可能事件是（ ）A.三角形的两个内角的和小于第三个内角B.未来3天内将下雨C.经过交通信号灯的路口遇到红灯D.三根长度分别为2cm 、3cm 、5cm 的木棒摆成三角形2.二次函数y ＝2x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A.y ＝2x 2＋3 B.y ＝－2x 2＋3 C.y ＝2（x －3）2 D.y ＝－2（x －3）23.如图所示的几何体，从上边看得到的图形是（ ）4.如图，一个小球由地面沿着坡角为30°的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的 高度为（ ） A.5mB.35mC.355 D.3510 5.下列说法中，不正确的是（ ）A.圆既是轴对称图形又是旋转对称图形B.一个圆的直径的长是它半径的2倍C.圆的每一条直径都是它的对称轴D.直径是圆的弦，但半径不是弦6.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠ADE ＝∠B ，已知AE ＝6，73AB AD ， 则EC 的长是（ ） A.4.5 B.8 C.10.5 D.147.如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BAC＝20°，则∠D的度数为（）A.100°B.110°C.120°D.130°8.从－2，3，－8，10，12中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y＝x24-的图象上的概率是（）A.41B.51C.52D.619.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为25，AC＝4,则sinB的值是（）A.53B.54C.85D.6110.如图，在△ABC中，LACB＝90°，AC＝BC＝4，P是△ABC的高CD上一个动点，以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45°得到BP’，连接DP’，则DP’的最小值是（）A.222- B.224- C.222- D.12-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知A（－1，6）与B（2，m－3）是反比例函数xky=图象上的两个点，则m的值是_______。
2023-2024学年安徽省合肥市高一下学期第一次月考质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年安徽省合肥市高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．下列五个结论：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量a b ≠ ，则a 与b的方向必不相同；③a b > ，则a b > ；④向量a 是单位向量，向量b 也是单位向量，则向量a 与向量b共线；⑤方向为北偏西50︒的向量与方向为东偏南40︒的向量一定是平行向量．其中正确的有（）A ．①⑤B ．④C ．⑤D ．②④【正确答案】C【分析】根据向量的定义即可判断①；根据不相等向量的定义即可判断②；根据向量不能比较大小即可判断③；根据共线向量的定义即可判断④⑤.【详解】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错；a b ≠ ，但a 与b的方向可以相同，故②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，故④错；如图，作出这两个向量，则方向为北偏西50︒的向量与方向为东偏南40︒的向量方向相反，所以这两个向量一定是平行向量，故⑤正确．故选：C.2．若在△ABC 中，AB a =，BC b = ，且||||1a b == ，||a b += ABC 的形状是（）A ．正三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】D【分析】利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形.【详解】由于||||1AB a == ，||||1BC b == ，||||AC a b =+则222||a b a b +=+ ，即222||||AB BC AC += ，所以△ABC 为等腰直角三角形．故选：D ．3．已知a ，b 均为单位向量，(2)(2)2a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为（）A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°【正确答案】A【分析】根据(2)(2)2a b a b +⋅-=-，求得a b ⋅=r r ，再利用向量夹角公式即可求解.【详解】因为22(2)(2)232232a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=-⋅-=-，所以2a b ⋅=r r ．设a与b 的夹角为θ，则cos .2||||a b a b θ⋅==又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°．故选：A.4．如果用,i j 分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且()()2,3,4,2A B ，则AB可以表示为（）A ．23i j+ B ．42i j + C ．2i j - D ．2i j-+ 【正确答案】C【分析】先根据向量的坐标表示求出AB，再根据正交分解即可得解.【详解】因为()()2,3,4,2A B ，所以()2,1AB =-，所以2AB i j =- .故选：C.5．设平面向量()1,2a =r ，()2,b y =- ，若a b∥，则3a b + 等于（）A B C D【正确答案】A【分析】由两向量平行得出b坐标中的y ，即可求出3a b + 的值.【详解】由题意，∵()1,2a =r ，()2,b y =- ，a b∥，∴()1220y ⨯⨯--=，解得4y =-，∴()2,4b =--∴()()()33,62,41,2a b +=+--=== 故选：A.6．已知向量(2,3)u x =+ ，(,1)v x = ，当()f x u v =⋅取得最小值时，x 的值为（）A ．0B ．1-C ．2D ．1【正确答案】B【分析】直接利用向量数量积的坐标化运算得到2()(1)2f x x =++，利用二次函数性质得到其最值.【详解】22()(2)323(1)2f x u v x x x x x =⋅=++=++=++，故当=1x -时，f (x )取得最小值2．故选：B.7．在如图所示的半圆中，AB 为直径，点O 为圆心，C 为半圆上一点，且30OCB ∠=︒，2AB = ，则AC等于（）A ．1B CD ．2【正确答案】A【分析】根据OC OB =，可得30ABC OCB ∠=∠=︒，进一步得出答案.【详解】如图，连接AC ，由OC OB =，得30ABC OCB ∠=∠=︒.因为C 为半圆上的点，所以90ACB ∠=︒，所以112AC AB ==．故选：A.8．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．3【正确答案】C【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+ ，再将其用AM，AN 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值.【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+ ，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=，2m n ∴+=.故选：C.本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.二、多选题9．在平面直角坐标系中，若点A (2，3)，B (-3，4)，如图所示，x 轴、y 轴同方向上的两个单位向量分别为i 和j，则下列说法正确的是（）A ．23OA i j=+ B ．34O i j B =+ C ．5AB i j =-+ D ．5BA i j=+ 【正确答案】AC【分析】根据图象，由平面向量的坐标运算求解.【详解】解：由图知，23OA i j =+ ，34OB i j =-+，故A 正确，B 不正确；5AB OB OA i j =-=-+ ，5A A i j B B =-=-，故C 正确，D 不正确．故选：AC10．在ABC 中，若3330b c B ===︒，，，则a 的值可以为（）A 3B ．23C ．33D ．43【正确答案】AB【分析】根据余弦定理，直接计算求值.【详解】根据2222cos b a c ac B =+-，得2339232a a =+-⨯⨯，即23360a a -+=，解得：3a =23a =故选：AB11．如图，在海岸上有两个观测点C ，D ，C 在D 的正西方向，距离为2km ，在某天10:00观察到某航船在A 处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（）A ．当天10:00时，该船位于观测点C 的北偏西15°方向B ．当天10:00时，该船距离观测点2C ．当船行驶至B 处时，该船距观测点2D ．该船在由A 行驶至B 的这5min 6km【正确答案】ABD【分析】利用方位角的概念判断A ，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD ．【详解】A 选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C 在D 的正西方向，所以A 在C 的北偏西15°方向，故A 正确.B 选项中，在△ACD 中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=sin sin CD ADCCAD∠∠=，故B 正确.C 选项中，在△BCD 中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=C 不正确.D 选项中，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2=AC 2+BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB=2+8－212=6，即，故D 正确.故选：ABD ．12．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a c ≠，tan B =ABC 的面积为则2b a c-可能取到的值为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】AC由tan B =sin 3B =，再利用ABC 的面积为6ac =，再利用余弦定理可得22()8b a c =-+，然后代入2||b ac -中利用基本不等式可求得其最小值.【详解】解：tan B = 1cos 3B ∴=，sin 3B =，又1sin 2==S ac B 6ac ∴=，由余弦定理可得2222222cos 4()8=+-=+-=-+b a c ac B a c a c ，22()88||||||||-+∴==-+≥---b a c a c a c a c a c ，当且仅8||||-=-a c a c 等号成立，故2b a c-的最小值为AC 选项．故选：AC.关键点睛：本题考查余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据面积得出6ac =，再利用余弦定理得出22()8b a c =-+，结合基本不等式求解.三、填空题13．已知点()1,5A --和向量()2,3a =r，若3AB a =，则点B 的坐标为________．【正确答案】()5,4【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由OA AB OB =+求向量OB 的坐标，由此可得点B 的坐标.【详解】设O 为坐标原点，因为()1,5OA =--，()36,9AB a == ，故()5,4O A B OA B =+=，故点B 的坐标为()5,4．故答案为.()5,414．若向量()()(),3,1,4,2,1a k b c === ，已知23a b - 与c的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．【正确答案】99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据23a b - 与c 的夹角为钝角，由()230a b c -⋅< ，且23a b - 与c 的不共线求解.【详解】解：由()(),3,1,4a k b == ，得()2323,6a b k -=--．又23a b - 与c的夹角为钝角，∴()22360k --<，得3k <，若()23//a b c - ，则2312k -=-，即92k =-．当92k =-时，23a b - 与c 共线且反向，不合题意．综上，k 的取值范围为99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．15．如图，设P 为ABC 内一点，且202PA PB PC ++=，则:ABP ABC S S =△△________．【正确答案】15##0.2【分析】设AB 的中点是D ，连接PD ，根据平面向量线性运算法则，得到14P C D P =-，即可得到面积比.【详解】设AB 的中点是D ，连接PD ，由202PA PB PC ++= ，可得12PA PB PC +=-，因为122PA PB PD PC +==- ，所以14P C D P =- ，所以P 为CD 的五等分点（靠近D 点），即15P D D C =，所以ABP 的面积为ABC 的面积的15．故答案为.1516．在ABC 中，3a =60A = ，求32b c +的最大值_________.【正确答案】219由正弦定理得2sin b B =，2sin c C =.代入，进行三角恒等变换可得326sin 4sin b c B C +=+219)B ϕ=+，由此可求得最大值.【详解】解：由正弦定理32sin sin sin 32ab cA B C ===，得2sin b B =，2sin c C =.326sin 4sin b c B C+=+()316sin 4sin 1206sin 4sin 22B B B B B ⎫=+︒-=++⎪⎪⎝⎭6sin 32sin B B B=++8sin)B B Bϕ=+=+)Bϕ=+，其中tan4ϕ=，所以max(32)b c+=故答案为.本题考查运用正弦定理解三角形，边角互化求关于边的最值，属于较难题.四、解答题17．已知向量12a e e=-，1243b e e=+，其中()()121,0,0,1e e==．(1)试计算a b⋅及a b+的值；(2)求向量a 与b 夹角的余弦值．【正确答案】(1)1a b⋅=，a b+(2)10【分析】（1）利用平面向量的数量积运算求解；（2）利用平面向量的夹角公式求解.【详解】（1）解：()()()1,00,11,1a=-=-，()()()41,030,14,3b=+=，∴()41311a b⋅=⨯+⨯-=，a b+（2）设a b，的夹角为θ，由cosa b a bθ⋅=⋅⋅，cos a ba bθ⋅=⋅．18．有一艘在静水中速度大小为10km/h的船，现船沿与河岸成60︒角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀．(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为,u v，河水的流速为w，求,,u v w之间的关系式；(2)求这条河河水的流速．【正确答案】(1)u w v=+(2)河水的流速为5km/h，方向顺着河岸向下【分析】（1）根据题意可得v与u的夹角为30︒，则,,u v w三条有向线段构成一个直角三角形，其中,,O O O v u A BC w B C ====，再根据向量的加法法则即可得解；（2）结合图象，求出BC uu u r即可.【详解】（1）如图，u 是垂直到达河对岸方向的速度，v是与河岸成60︒角的静水中的船速，则v 与u的夹角为30︒，由题意知，,,u v w三条有向线段构成一个直角三角形，其中,,O O O v u A BC w B C ==== ，由向量加法的三角形法则知，OC OA OB =+，即u w v =+ ；（2）因为10km /h OB v == ，而1sin 30105km /h 2BC OB =︒=⨯= ，所以这条河河水的流速为5km /h ，方向顺着河岸向下．19．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A cos B ．若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．【正确答案】ac ＝【分析】由b sin Acos B 边化角求得B ，由sin C ＝2sin A 得c ＝2a ，再结合余弦定理即可求解.【详解】因为b sin Acos B ．所以由正弦定理，得sin sin cos .B A A B =sin 0,sin cos A B B ≠∴ ，即tan B =π0π,=3B B <<∴ ∵sinC ＝2sin A ，∴由正弦定理，得c ＝2a ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cosπ3，解得a c ＝2a ＝20．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,,cos 4210CAD AC ADB π∠==∠=-.（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.【正确答案】（1）45；（2）7.【详解】试题分析：（1）先由2cos 10ADB ∠=得出72sin 10ADB ∠=sin sin 4C ADB π⎛⎫∠=∠- ⎪⎝⎭展开，代入求值即可；（2）由正弦定理sin sin AD AC C ADC =∠∠得到AD 的值，再利用三角形面积公式即可.试题解析：（1）因为2cos 10ADB ∠=，所以2sin 10ADB ∠=.又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-.所以722224sin sin sin cos cos sin 4441021025C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠⋅-∠⋅=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.（2）在ACD ∆中，由sin sin AD AC C ADC=∠∠，得74sin 2522sin 7102AC C AD ADC ⨯⋅∠==∠所以1172sin 22572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⨯=.1、两角差的正弦余弦公式；2、正弦定理及三角形面积公式.21．设两个向量,a b 满足()132,0,22a b ⎛== ⎝⎭，(1)求a b + 方向的单位向量；(2)若向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)57211414⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(2)17,222⎛⎫⎛⎫-⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据()12,0,,22a b ⎛== ⎝⎭，求得a b + 的坐标和模后求解；（2）根据向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，由()()270ta b a tb ++< ，且向量27ta b + 不与向量a tb + 反向共线求解.【详解】（1）由已知()152,0,,2222a b ⎛⎛+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b +=所以14a b +=⎪⎭，即a b +方向的单位向量为1414⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）由已知1a b ⋅= ，2,1a b == ，所以()()()22222722772157ta b a tb ta t a b tb t t +⋅+=++⋅+=++ ，因为向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，所以()()270ta b a tb ++< ，且向量27ta b + 不与向量a tb + 反向共线，设()()270ta b k a tb k +=+< ，则27t k kt =⎧⎨=⎩，解得2t =-，从而2215702t t t ⎧++<⎪⎨≠-⎪⎩，解得17,,222t ⎛⎛⎫∈--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）4；（2）存在，且2a =.【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值.【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则sin 8C ==，因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯△（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈ ，故2a =.。
安徽省高一上学期数学第一次月考试卷
安徽省高一上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若tan α＜0，则（）A . sin α＜0B . cos α＜0C . sin α•cosα＜0D . sin α﹣cos α＜02. （2分） (2016高一下·益阳期中) 函数的单调增区间为（）A .B . （kπ，（k+1）π），k∈ZC .D .3. （2分） (2019高三上·杨浦期中) 记有限集合中元素的个数为，且，对于非空有限集合、，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则、中至少有个是空集；④若，则；其中正确结论的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2020高一下·郑州期末) 已知平行四边形中，向量，，则向量的坐标为（）A .B .C .D .5. （2分）已知点,则向量在方向上的投影为（）A .B .C .D .6. （2分）已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（）A . 在方向上的投影为B .C .D .7. （2分） (2019高二上·广东月考) 已知向量，，，且，则（）A . 2B . 3C . 4D . 58. （2分） (2016高一下·华亭期中) 函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，下列结论中正确的是（）A . 图象C关于直线x= 对称B . 图象C关于点（﹣，0）对称C . 函数f（x）在区间（﹣，）内是增函数D . 由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C9. （2分）(2019·中山模拟) 函数的单调递增区间是（）A .B .C .D .10. （2分）(2019·哈尔滨模拟) 要得到函数的图象，可将函数的图象（）A . 沿轴向左平移个单位长度B . 沿轴向右平移个单位长度C . 沿轴向左平移个单位长度D . 沿轴向右平移个单位长度11. （2分） (2016高一上·宜春期中) 若一系列函数的解析式和值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x2 ，x∈[1，2]，与函数y=x2 ，x∈[﹣2，﹣1]即为“同族函数”．下面的函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（）A . y=xB . y=|x﹣3|C . y=2xD . y=log12. （2分） (2019高一上·新乡月考) 已知函数是偶函数，是奇函数，则则（）A . 4B . 3C . 2D . 1二、填空题 (共4题；共8分)13. （1分）若cosα=﹣，则的值为________14. （1分）已知函数，那么=________15. （5分） (2019高一下·上海月考) 半径为2，圆心角为的扇形的面积为________．16. （1分）若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1）在区间上的最大值是，则ω=________三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2019高二上·三明月考) 已知空间三点．（1）求向量与的夹角；（2）若，求实数的值．18. （10分） (2017高一上·乌鲁木齐期中)（1）已知角终边上一点，求：的值；（2）已知，计算：① ；② .19. （10分） (2020高一下·揭阳月考) 如图，已知正方形的边长等于单位长度1，，，，试着写出向量.（1）；（2），并求出它的模.20. （10分） (2017高一下·郑州期末) 已知向量 =（1，2）， =（﹣3，4）．（1）求 + 与﹣的夹角；（2）若满足⊥（ + ），（ + ）∥ ，求的坐标．21. （10分） (2018高二下·乌兰月考) 已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝，求cos(α＋β)的值．22. （10分） (2018高二上·抚顺期中) 已知数列的前项和。
解析】安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学(文)试题
舒城中学2019—2020学年度第二学期第一次统考高一文数满分：150分时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若点2sin ,cos 63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上,则tan α的值为（ ）A. 1B. 1-3 D. 3-【★答案★】B 【解析】 【分析】先求出2sin,cos63ππ的值，确定点的坐标，结合定义求解tan α的值.【详解】因为121sin ,cos 6232ππ===-，所以点的坐标为11(,)22-，所以tan 1yxα==-，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，已知角终边上一点，结合定义可求三角函数值,属于容易题.2.下列关于向量的命题正确的是（ ） A. 若||||a b =，则a b = B. 若||||a b =，则//a b C. 若a b =，b c =，则a c = D. 若//a b ，//b c ，则//a c【★答案★】C 【解析】 【分析】利用向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若||||a b =，则,a b 不一定相等，因为向量是既有大小，又有方向的，||||a b =只能说明向量的大小相等，不能说明方向相同，所以该选项错误； B. 若||||a b =，则,a b 不一定平行，所以该选项错误； C. 若a b =，b c =，则a c =，所以该选项是正确的；D. 若//a b ，//b c ，则//a c 错误，如：=0b ，,a c 都是非零向量，显然满足已知，但是不一定满足//a c ，所以该选项错误. 故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3.在ABC中，a =c =60A =︒，则C =（ ）. A. 30° B. 45°C. 45°或135°D. 60°【★答案★】B 【解析】 【分析】直接利用正弦定理得2sin 60sin C=，化简即得解.【详解】由正弦定理得2,sinC ,45sin 60sin 2c a C C =∴=<∴=.故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.下列函数中，既是偶函数又有零点的是（ ） A .21y x =+B. x xy e e -=+C. cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()cos y x π=+【★答案★】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义,先判断是否为偶函数进行排除,再由函数零点的定义判断其是否存在零点即可.【详解】对于选项A:因为函数21y x =+的定义域为R ,所以其定义域关于原点对称, 又因为()()()21f x x f x -=-+=,所以函数21y x =+为偶函数,因为对任意x ∈R ,21y x =+1≥恒成立,所以函数21y x =+无零点,故选项A 排除; 对于选项B: 因为函数xxy e e -=+的定义域为R ,所以其定义域关于原点对称, 又因为()()xx f x ee f x --=+=，所以函数x x y e e -=+为偶函数,因为对任意x ∈R ,xxy e e -=+0>恒成立, 所以函数x x y e e -=+无零点,故选项B 排除;对于选项C:由题意知,cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin x =,其定义域为R ,关于原点对称，又因为()()()sin sin f x x x f x -=-=-=-,所以函数cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数,不符合题意,故选项C 排除;对于选项D:由题意知,()cos y x π=+cos x =-, 其定义域为R ,关于原点对称， 又因为()()()cos cos f x x x f x -=--=-=,所以函数()cos y x π=+为偶函数, 当()cos y x π=+cos x =-0=时,,2x k k z ππ=+∈,所以此函数有零点，故选项D 正确;故选:D【点睛】本题考查函数的奇偶性和函数零点的判断;熟练掌握函数奇偶性的判断方法和函数零点的概念是求解本题的关键;属于常考题型.5.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC - B.1344AB AC - C. 3144+AB ACD. 1344+AB AC【★答案★】A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6.ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．设向量(),p a c b =+，(),q b a c a =--．若//p q ，则C 等于（）．A.6π B.3π C.2π D.23π 【★答案★】B 【解析】 【分析】先由题意得到()()()0a c c a b b a +---=，化简整理，根据余弦定理，即可得出结果. 【详解】因为向量(),p a c b =+，(),q b a c a =--，//p q ， 所以()()()0a c c a b b a +---=， 整理得：222b a c ab +-=所以2221cos 222+-===b a c ab C ab ab解得3C π=.故选B【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理与向量共线的坐标表示，即可得出结果. 7.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ）A.49B. 49-C.43D. 43-【★答案★】B 【解析】 【分析】由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解． 【详解】解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM = ∴P 是三角形ABC 的重心 ∴()PA PB PC ⋅+2||PA AP PA =⋅=-又∵AM ＝1 ∴2||3PA =∴()49PA PB PC ⋅+=- 故选B ．【点睛】判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：0PA PB PC ++=或222AP BP CP ++取得最小值③坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．8.函数()()cos f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A. 3,,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. 32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 132,2,44k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. 341,,4k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【★答案★】C 【解析】 【分析】由函数图象和五点作图法可求出函数的解析式,结合余弦函数的单调区间和复合函数单调区间的判断方法求解即可.【详解】由图象可得,函数()f x 的最小正周期为512244T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭, 因为2T πω=,所以222T ππωπ===, 所以()()cos f x x πϕ=+, 结合图象和五点作图法可得,12,42k k z ππϕπ⨯+=+∈,即2,4k k z πϕπ=+∈,因为2πϕ<,所以4πϕ=,即()cos 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭, 因为函数cos y x =的单调递减区间为[]2,2,k k k z πππ+∈, 所以22,4k x k k z πππππ≤+≤+∈,解得1322,44k x k k z -+≤≤+∈, 所以所求函数的单调递减区间为132,2,44k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故选:C【点睛】本题考查利用余弦函数的图象与性质求()cos y x ωϕ=+解析式和单调区间;考查运算求解能力和整体代换的思想、数形结合思想;属于中档题、常考题型.9.若O 为ABC △所在平面内任一点，且满足20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ABC △的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 【★答案★】A 【解析】 【分析】由20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，推出0AC CB AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，可知ABC △的中线和底边垂直，则ABC △为等腰三角形.【详解】∵20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴0AC CB AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，∴AC CB AB →→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭⊥,∴ABC △的中线和底边垂直， ∴ABC △是等腰三角形． 故选：A.【点睛】考查向量的运算和利用向量的方法判断空间线线垂直关系，知识点较为基础，考查了学生对基本向量相乘相关知识的掌握程度，为容易题.10.在ABC 中，点D 在边BC 的延长线上，且3BC CD =.若1(1)03AO xAB x AC x =+--<<，，则点O 在（ ）A. 线段BC 上B. 线段CD 上C. 线段AC 上D. 线段AD 上【★答案★】B 【解析】 【分析】先由向量共线定理可知O B C ，，三点共线，再由3BC CD =得到1433AD AB AC =-+，从而可得出结果.【详解】因为1(1)03AO xAB x AC x =+--<<，所以，由向量共线定理可知O B C ，，三点共线. ∵3BC CD =，∴33AC AB AD AC -=-， ∴1433AD AB AC =-+. 又∵103x -<<， ∴点O 在线段CD 上，且不与C 、D 点重合. 故选B【点睛】本题主要考查向量共线定理的应用，熟记定理即可，属于常考题型.11.设锐角ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为心a ，b ，c ，若2a =，2B A =，则b 的取值范围是( )A. 2)B.C.D. ()0,2【★答案★】C 【解析】 【分析】由锐角三角形的性质，先求出的范围，结合正弦定理进行转化求解即可 【详解】解：在锐角三角形中， 022A π<<，即04A π<<，且3B A A +=，则32A ππ<<，即63A ππ<<，综上64A ππ<<，则23cos A <<， 因为2a =，2B A =， 所以由正弦定理得sin sin 2sin cos a b bA B A A==，得4cos b A =， 因23cos 22A <<， 所以224cos 23A <<，所以2223b <<，所以b 的取值范围为(22,23) 故选：C【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，结合锐角三角形的性质以及正弦定理进行转化是解决此题的关键，属于中档题. 12.设点O 在ABC ∆的内部,且有()32AB OB OC =+,则ABC ∆的面积与BOC ∆的面积之比为（ ） A. 3B.13C. 2D.12【★答案★】A 【解析】 【分析】先根据向量加法平行四边形法则化简条件得3AB OD =，再根据面积公式求比值.【详解】如图，取BC 中点D ，13EB AB =，则2OB OC OD +=，∴()332AB OB OC OD =+=， ∵13EB AB =，∴EB OD =，∴3ABC ABC BOC BECS S S S ∆∆∆∆==.故选A.【点睛】本题考查向量加减法运算法则，考查基本化简能力 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 满足||2a =，2b =，且()2a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为_______. 【★答案★】-1 【解析】 【分析】利用向量的垂直关系，推出a b ⋅，然后求解b 在a 方向上的投影。
广东省2023-2024学年高一下学期第一次月考试题 数学含答案
2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()2,1a =- ，()1,1b =- ，则()()23a b a b +⋅-等于（）A.10B.-10C.3D.-32.函数()2cos 2f x x x =是（）A.周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数C.周期为4π的奇函数 D.周期为4π的偶函数3.将向量()1,1OA = 绕坐标原点O 逆时针旋转60°得到OB ，则OA AB ⋅=（）A.-2B.2C.-1D.14.一个质点受到平面上的三个力1F ，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知1F ，2F成60°角且12F = ，24F = ，则3F =（）A.6B.2C. D.5.在ABC △中，若sin cos a B A =，且sin 2sin cos C A B =，那么ABC △一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形6.请运用所学三角恒等变换公式，化简计算tan102sin102︒+︒，并从以下选项中选择该式子正确的值（）A.12C.2D.17.在ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，若AE CA CB λμ=+，则λμ+=（）A.34-B.12-C.34D.18.已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为（）.A.1B.32C.12D.32二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的命题正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥ ，则a c∥ B.两个非零向量a ，b 垂直的充要条件是：0a b ⋅=C.若向量AB CD =，则A ，B ，C ，D ，四点必在一条直线上D.向量()0a a ≠ 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b aλ= 10.如图，函数()()2tan 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC △的面积为2π，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()f x 的图象对称中心为,082k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z C.()f x 的单调增区间是5,8282k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k ∈Z D.将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度后可以得到函数2tan y x ω=的图象11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在s t 时相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）由关系式()sin h A t ωϕ=+，[)0,t ∈+∞确定，其中0A >，0ω>，(]0,ϕπ∈.小球从最高点出发，经过2s 后，第一次回到最高点，则（）A.4πϕ=B.ωπ=C. 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度h 之比为22D. 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度h 之比为12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在正六边形ABCDEF 中，2AF ED EF AB -++=__________.13.已知(2a = ，若向量b 满足()a b a +⊥ ，则b 在a方向上的投影向量的坐标为__________.14.已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，ABC △3，且2cos 2b A c a =-，4a c +=，则ABC △的周长为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知α，β为锐角，1tan 2α=，()5cos 13αβ+=.（1）求cos 2$α的值；（2）求()tan αβ-的值.16.（15分）已知4a = ，2b = ，且a 与b的夹角为120°，求：（1）2a b -；（2）a 与a b +的夹角；（3）若向量2a b λ- 与3a b λ-平行，求实数λ的值.17.（15分）如图，四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2CD DA ==，60DCB ∠=︒.（1）求对角线BD 的长：（2）设DAB θ∠=，求cos θ的值，并求四边形ABCD 的面积.18.（17分）如图，某公园摩天轮的半径为40m ，圆心距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.（1）已知在时刻t （单位：min ）时点P 距离地面的高度()()sin f t A t h ωϕ=++（其中0A >，0ω>，ϕπ<，求函数()f t 解析式及2023min 时点P 距离地面的高度；（2）当点P距离地面(50m +及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？19.（17分）设向量()12,a a a = ，()12,b b b = ，定义一种向量()()()12121122,,,a b a a b b a b a b ⊗=⨯=.已知向量12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，,03n π⎛⎫= ⎪⎝⎭，点()00,P x y 为函数sin y x =图象上的点，点(),Q x y 为()y f x =的图象上的动点，且满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点）.（1）求()y f x =的表达式并求它的周期；（2）把函数()y f x =图象上各点的横坐标缩小为原来的14倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.设函数()()()h x g x t t =-∈R ，试讨论函数()h x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的零点个数.2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学答案1.B 【详解】由向量()2,1a =- ，()1,1b =- ，可得()24,3a b +=- ，()31,2a b -=-，所以()()()()23413210a b a b +⋅-=⨯-+-⨯=-.2.A 【详解】由题意得()2cos 2sin 42f x x x x ==，所以()()()4sin 422f x x x f x -=-=-=-，故()f x 为奇函数，周期242T ππ==.3.C 【详解】因为OA == OB = ，()21212OA AB OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅-=⋅-=-=- .4.D 【详解】∵物体处于平衡状态，∴1230F F F ++=，即()312F F F =-+ ，∴312F F F =+===5.D 【详解】因为sin cos a B A =，则sin sin cos A B B A =，因为(),0,A B π∈，则sin 0B >，所以tan A =，则3A π=，又因为sin 2sin cos C A B =，A B C π++=，则()sin 2sin cos A B A B +=，则sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，即sin cos cos sin 0A B A B -=，即()sin 0A B -=，又因为(),0,A B π∈，则A B ππ-<-<，所以3A B π==，即3A B C π===.即ABC △一定是等边三角形，故D 正确.6.A 【详解】2sin102cos10tan102sin102sin1022cos102cos10︒︒+︒⨯︒︒+︒=+︒=︒︒()2sin 30102sin 202cos102cos10︒+︒-︒︒+︒==︒︒()2sin 30cos10cos30sin102cos10︒+︒︒-︒︒=︒cos10cos1012cos102cos102︒+︒︒︒===︒︒7.B 【详解】ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，则()1111113122222244AE AC AD AC AB AC AC CB CA CB ⎛⎫⎛⎫=+=+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以34λ=-，14μ=，所以12λμ+=-.8.D 【详解】设AE x =，[]0,1x ∈，()DE DC DA AE DC DA DC AE DC⋅=+⋅=⋅+⋅113cos cos0,222DA DC ADC AE DC x ⎡⎤=⋅∠+︒=+∈⎢⎥⎣⎦ ，∴DE DC ⋅ 的最大值为32.故选：D.9.BD 【详解】对于A ，当0b =时，不一定成立，A 错误；对于B ，两个非零向量a ，b ，当向量a ，b 垂直可得0a b ⋅= ，反之0a b ⋅= 也一定有向量a ，b垂直，∴B 正确；对于C ，若向量AB CD = ，AB 与CD方向和大小都相同，但A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴C 错误；对于D ，由向量共线定理可得向量()0a a ≠ 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b a λ=，∴D 正确.10.ABD 【详解】A ：当0x =时，()02tan 24OC f π===，又2ABC S π=△，所以112222ABCS AB OC AB π==⨯=△，得2AB π=，即函数()f x 的最小正周期为2π，由T πω=得2ω=，故A 不正确；B ：由选项A 可知()2tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令242k x ππ+=，k Z ∈，解得48k x ππ=-，k Z ∈，即函数()f x 的对称中心为,048k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈，故B 错误；C ：由32242k x k πππππ+<+<+，k Z ∈，得58282k k x ππππ+<<+，k Z ∈，故C 正确；D ：将函数()f x 图象向右平移8π个长度单位，得函数2tan 2y x =的图象，故D 不正确.11.BC 【详解】对于AB ，由题可知小球运动的周期2s T =，又0ω>，所以22πω=，解得ωπ=，当0s t =时，sin A A ϕ=，又(]0,ϕπ∈，所以2πϕ=，故A 错误，B 正确；对于CD ，则sin cos 2h A t A t πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度之比为()()15cos coscos 3.75244cos 10cos10cos 02A A πππππ⎛⎫- ⎪⨯⎝⎭===⨯，故C 正确D 错误.故选：BC.12.0【详解】由题意，根据正六边形的性质()222AF ED EF AB AF ED EF AB AF DF AB-++=--+=++ 22220AF CA AB CF AB BA AB =++=+=+= .故答案为：0.13.(1,-【详解】由题意知()a b a +⊥ ，故()0a b a +⋅= ，所以20a a b +⋅=，而(a =，则a ==23a b a ⋅=-=- ，则b 在a方向上的投影向量为(1,a a aab ⋅⋅==- ，即b在a方向上的投影向量的坐标为(1,-，故答案为：(1,-.14.6【详解】∵2cos 2b A c a =-，∴222222b c a b c a bc+-⋅=-，∴22222b c a c ac +-=-，∴222a cb ac+-=∴2221cos 22a cb B ac +-==∵0B π<<，∴3B π=，∵1sin 24ABC S ac B ac ===△∴4ac =，∵4a c +=，∴2a c ==，又3B π=，∴ABC △是边长为2的等边三角形，∴ABC △的周长为6.15.【详解】（1）22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++；（2）由1tan 2α=，得22tan 14tan 211tan 314ααα===--，因为α，β为锐角，所以,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,αβπ+∈，又因()5cos 13αβ+=，所以0,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()12sin 13αβ+==，所以()()()sin 12tan cos 5αβαβαβ++==+，则()()()()412tan 2tan 1635tan tan 24121tan 2tan 63135ααβαβααβααβ--+-=-+==-⎡⎤⎣⎦+++⨯.16.【详解】（1）2a b -====（2）因为()2222168412a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以a b += ，又()216412a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，所以()3cos ,2a a b a a b a a b⋅++===+ ，又[],0,a a b π+∈ 所以a 与a b + 的夹角为6π；（3）因为向量2a b λ- 与3a b λ-平行，所以存在实数k 使()233a b k a b ka kb λλλ-=-=- ，所以23kkλλ=⎧⎨-=-⎩，解得λ=17.【详解】（1）解：连接BD ，在BCD △中，3BC =，2CD =，60DCB ∠=︒得：22212cos 9423272BD CD BC CD BC DCB =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯=∴BD =（2）在ABD △中，由DAB θ∠=，1AB =，2DA =，7BD =2221471cos 22122AB DA BD AB DA θ+-+-===-⨯⨯⨯，∴120θ=，四边形ABCD 的面积：11sin sin 22BCD ABC S S S BC CD BCD AB AD θ=+=⨯⨯⨯∠+⨯⨯⨯△△∴13133212232222S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.18.【详解】（1）依题意，40A =，50h =，3T =，则23πω=，所以()240sin 503f t t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由()010f =可得，40sin 5010ϕ+=，sin 1ϕ=-，因为ϕπ<，所以2πϕ=-.故在时刻t 时点P 距离地面的离度()()240sin 50032f t t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭.因此()2202340sin 2023507032f ππ⎛⎫=⨯-+=⎪⎝⎭，故2023min 时点P 距离地面的高度为70m.（2）由（1）知()2240sin 505040cos 323f t t t πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0t ≥.依题意，令()503f t ≥+240cos 33t π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭23cos 32t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，解得52722636k t k πππππ+≤≤+，k ∈Z .则573344k t k +≤≤+，k ∈Z .由75330.544k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知转一圈中有0.5min 时间可以看到公园全貌.19.【详解】（1）因为12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00,OP x y =，因为点()00,P x y 为sin y x =的图象上的动点，所以00sin y x =，0000112,2,sin 22m OP x y x x ⎛⎫⎛⎫⊗== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；因为OQ m OP n =⊗+ ，所以()000011,2,sin ,02,sin 2332x y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以00231sin 2x x y x π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0032sin 2x x x y π⎧-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以()11sin 226y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，它的周期为4T π=；（2）由（1）知()1sin 226g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，当262x ππ-=时，3x π=所以()1sin 226g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，其函数图象如下图所示：由图可知，当12t=或1144t-≤<时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦内只有一个零点，当1142t≤<时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个零点，当14t<-或12t>时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内没有零点.。
安徽省2019-2020学年度第一次月考试卷
安徽省2019-2020学年度第一次月考试卷文科数学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若复数z满足|z-1-i|=1，则z的值是（）A. 1-iB. 2-iC. 2+iD. 1+i2.设实数a,b,c满足a+b+c=3，则a^2+b^2+c^2的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，过点M(2,1)的切线与抛物线的准线交于点A，则点A到焦点F的距离为（）A. 2B. √2C. 3D. 44.若抛物线y^2=4px的焦点为F，过点M(3,4)的切线与抛物线的准线交于点A，则点A的坐标为（）A. (2,3)B. (3,2)C. (4,3)D. (3,4)5.已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c（a,b,c为常数）的图象经过点(2,3)，则a的值为（）A. -2B. -1C. 0D. 16.已知函数f(x)=x^2-2x-3的定义域为R，则f(x)的最大值为（）A. -3B. -2C. 0D. 37.若曲线C的方程为2x^2+3y^2-18x-27y+45=0，则曲线C的离心率为（）A. 3B. √3C. 3√3D. 68.已知函数f(x)=x^2+2x+1的最小值为-3，则实数a的取值范围是（）A. a>-3B. a≥-3C. a<-3D. a≤-39.若抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，过点M(2,1)的切线斜率为2，则p的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410.若函数f(x)=x^2-2x+2的最小值为-3，则实数a的取值范围是（）A. a>-3B. a≥-3C. a<-3D. a≤-3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.若抛物线y^2=4px(p>0)的焦点为F，则F的坐标为（，）12.若函数f(x)=2x^2+3x-2的最小值为-1，则实数a的取值范围是（，）13.若曲线C的方程为2x^2+3y^2-18x-27y+45=0，则曲线C的短半径为（）14.若抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，过点M(2,1)的切线斜率为2，则点M到焦点F的距离为（）15.若函数f(x)=x^2+2x+1的最小值为-3，则实数a的取值范围是（，）三、解答题（本大题共5小题，共75分）16.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+c（a,b,c为常数）的图象经过点(2,3)，求a,b,c的值．解：由点(2,3)知：f(2)=2^3-a×2^2+b×2+c=3①2^3-a×2^2+b×2+c=3记f'(x)=3x^2-2ax+b，f'(2)=3×2^2-2a×2+b=0②3×2^2-2a×2+b=0联立①②，可得a=1，b=-4，c=3．故a=1，b=-4，c=3．17.（本小题满分12分）已知点P的坐标为(3,2)，点Q的坐标为(x,y)，且|x-3|+|y-2|=2，求点Q的坐标．解：由|x-3|+|y-2|=2可得x-3=2或x-3=-2，y-2=2或y-2=-2．即x=5或x=1，y=4或y=0．故点Q的坐标有(5,4)和(1,0)两个．18.（本小题满分14分）已知抛物线y^2=8px(p>0)的焦点为F，过点M(2,1)的切线与抛物线的准线交于点A，求点A的坐标．解：抛物线y^2=8px的焦点为F(p,0)，过点M(2,1)的切线的斜率k=1，设点A(x,y)，则满足：①y-1=k(x-2)②y^2=8px③(x-p)^2+(y-0)^2=p^2联立①②③，可得：x=2p，y=p．故点A的坐标为(2p,p)．19.（本小题满分14分）已知抛物线y^2=4px(p>0)的焦点为F，过点M(3,4)的切线与抛物线的准线交于点A，求p 的值．解：抛物线y^2=4px的焦点为F(p,0)，过点M(3,4)的切线的斜率k=2，设点A(x,y)，则满足：①y-4=k(x-3)②y^2=4px③(x-p)^2+(y-0)^2=p^2联立①②③，可得：x=3p，y=2p．故p=2．20.（本小题满分23分）已知函数f(x)=x^3-2x^2+3x-2，求：（1）f(x)的展开式；（2）f(x)的极值；（3）f(x)在[-1,2]上的最大值．解：（1）f(x)=x^3-2x^2+3x-2=x^3-2(x^2-3x+3)+3(x-1)-2=(x-1)(x^2-3x+3)-2=(x-1)(x-2)(x-1)-2=(x-1)^2(x-2)-2（2）f'(x)=3x^2-4x+3f'(x)=0，得x=2或x=3/2由f'(x)<0，当x<2时，f(x)递减；当x>2时，f(x)递增．故f(x)在[-1,2]上取得极值点为x=2．（3）由f(2)=2^3-2×2^2+3×2-2=2 f(x)在[-1,2]上的最大值为2．。
安徽省2021年高一下学期数学第一次月考试卷(II)卷
安徽省2021年高一下学期数学第一次月考试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一下·宜昌期中) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A . ﹣B .C . ﹣D .2. （2分）已知平面向量=(1,2)，且，则可能是（）A . （2，1）B . （﹣2，﹣1）C . （4，﹣2）D . （﹣1，﹣2）3. （2分） (2019高一下·湖州月考) 已知点，则向量在方向上的投影为（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·中山模拟) 已知 ,则（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高一上·宿州期末) 已知AM是的BC边上的中线，若，，则等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·潮州期末) 如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量 =（）A .B .C .D .7. （2分）函数f(x)＝sin(2x＋)图象的对称轴方程可以为（）A . x＝B . x＝C . x＝D . x＝8. （2分）在△ABC中，P是BC上一点，若=m+，则实数m的值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·内江期末) =（）A . ﹣B . ﹣C .D .10. （2分） (2016高一下·宜春期中) 设 =（1，﹣2）， =（m，1），如果向量 + 与2 ﹣平行，则• 等于（）A . ﹣B . ﹣2C . ﹣1D . 011. （2分）设△ABC中，AD为内角A的平分线，交BC边于点D，||=3，||=2，∠BAC=60°，则•=（）A . -B .C . -D .12. （2分）设，若线段AD是△ABC外接圆的直径，则点D的坐标是（）．A . (-8,6)B . (8，-6)C . (4，-6)D . (4，-3)二、填空题 (共8题；共8分)13. （1分）(2020·扬州模拟) 已知，则 ________.14. （1分） (2019高三上·淮安期中) 若，，则的值为________.15. （1分）(2019·南昌模拟) 已知，则 ________．16. （1分） (2020高一下·绍兴月考) 已知，且，则________， ________.17. （1分） (2016高一下·新余期末) 已知为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（λ∈R），则的最小值为________．18. （1分）已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则在上的投影为________19. （1分）(2019高二上·息县月考) 在中，所对的边长分别为，若，则 =________．20. （1分） (2017高一上·天津期末) 在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，E是CD的中点，则 =________．三、解答题 (共4题；共35分)21. （10分） (2016高一下·南市期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知向量 =（，﹣）， =（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥ ，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．22. （10分） (2019高一上·广东月考) 已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（1）求函数f（x）的解析式和对称中心；（2）求的定义域；（3）在给定的坐标系中，用“五点作图法”按照列表-描点-连线三步作出函数f（x）在图象．23. （5分） (2017高二下·高淳期末) 锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanA﹣tanB=（1+tanAtanB）．（Ⅰ）若c2=a2+b2﹣ab，求角A、B、C的大小；（Ⅱ）已知向量 =（sinA，cosA）， =（cosB，sinB），求|3 ﹣2 |的取值范围．24. （10分） (2017高一下·珠海期末) =（3 sinx， cosx）， =（cosx， cosx），f （x）= • ．（1）求f（x）的单调递减区间；（2） x∈[﹣， ]时，g（x）=f（x）+m的最大值为，求g（x）的最小值及相应的x值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共8题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共4题；共35分)21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、24-1、24-2、第11 页共11 页。
2023-2024学年安徽省县中联盟高一(下)月考数学试卷(5月份)(含解析)
2023-2024学年安徽省县中联盟高一（下）月考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z 满足z =(z +2)⋅i (其中i 是虚数单位)，则|z |=( )A. 1B. 2C. 2 2D. 22.函数y =tan(π4x−π2)的部分图象如图所示，则(OA +OB )⋅AB 的值为( )A. −4B. 4C. −8D. 83.已知某圆台体积为52π，其上下底面圆半径分别为2和5，则其母线长为( )A. 103 B.4 C.5 D. 2534.在△ABC 中，a =3,A =60°,B =75°，则△ABC 中最小的边长为( )A. 22 B. 62 C. 2 D. 65.已知向量a ,b 满足|a |=2,|b |=1，|a +2b |=2a ⋅b ，则向量a ,b 的夹角为( )A. 0 B. 2π3 C. 0或π3 D. 0或2π36.学校组织学生去工厂参加社会实践活动，任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕，方法如下：取正方形ABCD 边AB 的中点M ，沿MC 、MD 折叠，将MA 、MB 用胶水粘起来，使得点A 、B 重合于点E ，这样就做成了一个簸箕E−MCD ，如果这个簸箕的容量为576 3cm 3，则原正方形铁皮的边长是多少( )A. 12cmB. 24cmC. 12 3cmD. 24 3cm7.如图，△ABC是边长为2的正三角形，直线AD、BE、CF围成一个正三角形DEF，且DF=2FA，则AB⋅EF=( )A. −813B. 813C. −1213D. 12138.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的体对角线BD1垂直于平面α，直线l与平面α所成角为60°，在正方体ABCD−A1B1C1D1绕体对角线BD1旋转的过程中，记BC与直线l所成的最小角为θ，则cosθ=( )A. 3−66B. 3+66C. 32−36D. 32+36二、多选题：本题共3小题，共18分。
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高一月考 数学试卷
分值：150分 考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.已知经过点P （3，m ）和点Q （m ，-2）的直线的斜率等于2，则m 的值为（ ）
A.
B. 1
C. 2
D.
2.过直线x +y -3=0和2x -y =0的交点，且与直线2x +y -5=0垂直的直线方程是（）
A.
B.
C.
D.
3.在△ABC 中，已知三个内角为A ，B ，C 满足sin A ：sin B ：sin C =6：5：4，则sin B =（ ）
A.
B. C.
D.
4.直线x -3y +3=0与圆（x -1）2+（y -3）2
=10相交所得弦长为（ ）
A.
B.
C.
D.
()条。
的公切线有
与圆圆013104:0744:.5222221=+--+=+-++y x y x C y x y x C
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条
6.在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，，则△ABC 的形状一定是 （ ）
A. 正三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形
7.若实数x ，y 满足x 2+y 2
-2x +2y +3=0，则x -y 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.若直线：与圆：
交于
两点，则弦
长
的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
9.已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则a 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.△ABC 中，已知a =2，b =x ，B =60°，如果△ABC 有两组解，则x 的取值范围（ ）
A.
B.
C.
D.
11.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB =AD ，2AB =BD ，BC =2BD ，则sin C 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
12.点A ，B 分别为圆M ：x 2+（y -3）2=1与圆N ：（x -3）2+（y -8）2
=4上的动点，点C 在直
线x +y =0上运动，则|AC |+|BC |的最小值为（ ）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，S =（a 2+b 2-c 2），则角C =______。
14.在空间直角坐标系O -xyz 中，点（3，-1，m ）关于平面x Oy 对称点为（3，n ，-2），则m +n =______。
15.当直线y =k （x -2）+4和曲线y =
有公共点时，实数k 的取值范围是______。
的最大值为
则中，在四边形BD DAC CD BAC AC AB ABCD ,sin 6,1411
cos ,6,7.16∠==∠==
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（10分）圆过点A （1，-2），B （-1，4）．求：（1）周长最小的圆的方程； （2）圆心在直线2x -y -4=0上的圆的方程．
18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
向量=（a，b）与=（cos A，sin B）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．
19.（12分）已知△ABC的三个顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6）．
（Ⅰ）求过A点且垂直于BC的直线方程；
（Ⅱ）求过B点且与点A，C距离相等的直线方程．
20.（12分）已知△ABC中，∠B=60°，点D在BC边上，且AC=2．
（1）若CD=，AD=2，求AB；
（2）求△ABC的周长的取值范围．
21.（12分）已知圆C满足：①圆心在第一象限，截y轴所得弦长为2，
②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，③圆心到直线x-2y=0的距离为
（Ⅰ）求圆C的方程
（Ⅱ）若点M是直线x=3上的动点，过点M分别做圆C的两条切线，切点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点．
22.（12分）已知圆C：，直线l：，．
求证：对，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；
求弦AB的中点M的轨迹；
是否存在实数m，使得圆C上有四点到直线l的距离为？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．
数学答案和解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D C A C
B
C
D B B B A
13.【答案】14.【答案】1 15.【答案】16.【答案】8
17.【答案】解：（1）当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．
即AB中点（0，1）为圆心，半径r=|AB|=．则圆的方程为：x2+（y-1）2=10．
（2）设圆的方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2．
则由题意可得，求得，可得圆的方程为：（x-3）2+（y-2）
2=20．
18.【答案】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cos A，sin B）平行，
所以a sin B-=0，
由正弦定理可知：sin A sin B-sin B cos A=0，
因为sin B≠0，
所以tan A=，
可得A=；
（Ⅱ）a=，b=2，
由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bc cos A，
可得7=4+c2-2c，解得c=3，
△ABC的面积为：=．
19.【答案】解：解：（I）k BC==，∴与BC垂直的直线斜率为-2．
∴过A点且垂直于BC的直线方程为：y-0=-2（x-4），化为：2x+y-8=0．
（II）当经过点B的直线方程斜率不存在时，不满足要求．
当经过点B的直线方程斜率存在时，设为k，则直线方程为：y-10=k（x-8），即kx-y+10-8k=0．
则=，解得k=或k=-．
因此所求的直线方程为：7x-6y+4=0，或3x+2y-44=0．
20.【答案】解：（1）△ABC中，∠B=60°，点D在BC边上，且AC=2．CD=，AD=2，则：=，
所以：=．
在△ABC中，利用正弦定理：，解得：=，
（2）△ABC中，利用正弦定理得：=，
所以：，=，
由于：0＜A＜120°，
则：l△ABC==，
=2+，
=，
由于：0＜A＜120°，
则：30°＜A+30°＜150°，
得到：，
所以△ABC的周长的范围是：
21.【答案】解：设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，
知圆P截x轴所得的弦长为．故r2=2b2
又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2-a2=1；
又因为P（a，b）到直线x-2y=0的距离为，所以d==，即有a-2b=±1，
∴或
解方程组得或，于是r2=2b2=2，
∵圆心在第一象限
所求圆的方程是（x-1）2+（y-1）2=2．
（Ⅱ）设点M（3，t），MP2=MC2-r2=t2-2t+3
以M为圆心，MP为半径的圆的方程为（x-3）2+（y-t）2=t2-2t+3…①
又（x-1）2+（y-1）2=2…②．
由①②得2x+（t-1）y-3-t=0，即（2x-y-3）+t（y-1）=0
∴直线PQ过定点（2，1）
22.【答案】（1）证明:圆C：（x+2）2+y2=5的圆心为C（-2，0），半径为，所以圆心C到直线l：mx-y+1+2m=0的距离．
所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）解：设中点为M（x，y），因为直线l：mx-y+1+2m=0恒过定点（-2，1），当直线l的斜率存在时，，又，k AB•k MC=-1，
所以，化简得．
当直线l的斜率不存在时，中点M（-2，0）也满足上述方程．
所以M的轨迹方程是，
它是一个以为圆心，以为半径的圆．
（3）解:假设存在直线l，使得圆上有四点到直线l的距离为，
由于圆心C（-2，0），半径为，
则圆心C（-2，0）到直线l的距离为,
由于圆心C(-2,0) ，半径为，则圆心C(-2,0)到直线l的距离为
化简得m2＞4，解得m＞2或m＜-2．。