九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》PPT课件
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人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
实际问题与一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
成本
药品
两年前的成本
现在的成本
甲
5000元 3000元
乙
6000元 3600元
知识讲解
难点突破成本Fra bibliotek药品两年前的成本
现在的成本
年平均下降额
年平均下降率
甲
5000元 3000元 1000元
？
乙
6000元 3600元 1200元
？
知识讲解
难点突破
本年成本=前一年成本-前一年成本×年下降率 =前一年成本×(1-年下降率)
解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x
2011年平均每公顷产量为 2012年平均每公顷产量为
7200(1+x) kg 7200(1+x)2 kg
由此可列方程： 7200(1+x)2=8450
知识讲解
难点突破
探究：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的 成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是 3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下 降率较大?
由题意得
5000(1-x)2=3000
年平均下降 率应为小于1
解方程，得
(1-x)2=0.6
的正数
1 x 0.6
x1 1 0.6, x2 1 0.6
x1 0.225, x2 1.775
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
知识讲解
难点突破
成本
药品
两年前的成本
现在的成本
知识讲解
难点突破
成本
药品
年平均下降额
年平均下降率
甲
1000元 22.5%.
九年级上册数学精品课件： 传播问题与一元二次方程
1+x+(1+x)x(1=+x)2
1(+1x+x) (1+x)2∙
第三轮 2
x
(1+x)2+(1+x)2∙x(1+x)3
=
(1+x)n
第n轮 经过n轮传染后共有 (1+x)n 人患流感.
例1：某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又 长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91, 每个支干长出多少小分支?
答:平均一个人传染了____1__0__个人.
注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以 一定要进行检验.
想一想：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多 少人患流感? 分析
第一轮传染后 第二轮传染后的 第三轮传染后的
的人数
人数
人数
(1+x)1
(1+x)2
(1+x)3
第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是:
导入新课
视频引入
导入新课
图片引入
传染病，一传十, 十传百… …
讲授新课
一 传播问题与一元二次方程
合作探究
引例：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人 患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析 ：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染
源记作小明，其传染示意图如下：
第2轮
第1轮 1
2
•••
小明
x
注意：不要 忽视小明的 二次传染
小明
第1轮传染后人数
x+1
第2轮传染后人数
x(x+1)+x+1
根据示意图，列表如下：
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
人教九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)
B．4 个
C．5 个
解析：①③④⑦是一元二次方程．
D．6 个
2．当 m 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)(m－1)x2＋3x＝5； (2)4xm＋3－x－1＝0. 解：(1)由题意，得 m－1≠0，∴m≠1. (2)∵m＋3＝2，∴m＝－1.
知识点 2 一元二次方程的一般形式 【例 2】 将方程(8－2x)(5－2x)＝18 化成一元二次方程的 一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 思路点拨：一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 具有两个特征：(1)方程的右边为 0；(2)左边的二次项系数不能 为 0.注意：写二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项时，不要漏掉其前面的符号． 解：去括号，得 40－16x－10x＋4x2＝18， 移项，得 4x2－26x＋22＝0， 其中二次项系数为 4，一次项系数为－26，常数项为 22.
证明：∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 二次项系数与常数项之和等于一次项系数，
∴a＋c＝b. ∴当 x＝－1 时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0， ∴－1 必是该方程的一个根．
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善 于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
华师大版九年级数学上册《一元二次方程》课件(14张PPT)
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
20．根据问题，列出关于x的方程：在圣诞节到来之际，九(3)班所 有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 640张， 求九(3)班有多少同学？ 解：设九(3)班有x名同学，根据题意，得x(x－1)＝1640
21．k为何值时，关于x的方程(k＋3)(k－1)x2＋(k－1)x＋5＝0. (1)是一元一次方程？ 解：∵(k＋3)(k－1)＝0且k－1≠0，∴k＝－3.即当k＝－3时， 原方程是一元一次方程 (2)是一元二次方程？ 解：∵(k＋3)(k－1)≠0，∴k≠－3且k≠1.即当k≠－3且k≠1时， 原方程是一元二次方程
22．1 一元二次方程
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__2__的整式 方程，叫做一元二次方程．
2．判断一个方程是否是一元二次方程，必须满足下列条件：(1) 是___整__式___方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数 是__2__；(4)二次项系数不能为__0__．
3．关于 x 的一元二次方程的一般形式是 ax2＋bx＋c＝0(a，b， c 是已知数，a≠0)，其中___a_是二次项系数，__b__是一次项系 数；__c__是常数项．注意：“a≠0”是一元二次方程一般形式 的一个重要组成部分．
A．x(3x－4)＝0
B．5x2＝x(1－2x)源自C．(2x＋1)(1－x)＝0 D．x(1－x)＝x
知识点3：一元二次方程的根
7．已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值
是(A )
A．－3
B．3
C．0
D．0或3
8．(1)(2014·哈尔滨)若x＝－1是关于x的一元二次方程x2＋3x＋
You made my day!
我们，还在路上……
20．根据问题，列出关于x的方程：在圣诞节到来之际，九(3)班所 有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 640张， 求九(3)班有多少同学？ 解：设九(3)班有x名同学，根据题意，得x(x－1)＝1640
21．k为何值时，关于x的方程(k＋3)(k－1)x2＋(k－1)x＋5＝0. (1)是一元一次方程？ 解：∵(k＋3)(k－1)＝0且k－1≠0，∴k＝－3.即当k＝－3时， 原方程是一元一次方程 (2)是一元二次方程？ 解：∵(k＋3)(k－1)≠0，∴k≠－3且k≠1.即当k≠－3且k≠1时， 原方程是一元二次方程
22．1 一元二次方程
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__2__的整式 方程，叫做一元二次方程．
2．判断一个方程是否是一元二次方程，必须满足下列条件：(1) 是___整__式___方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数 是__2__；(4)二次项系数不能为__0__．
3．关于 x 的一元二次方程的一般形式是 ax2＋bx＋c＝0(a，b， c 是已知数，a≠0)，其中___a_是二次项系数，__b__是一次项系 数；__c__是常数项．注意：“a≠0”是一元二次方程一般形式 的一个重要组成部分．
A．x(3x－4)＝0
B．5x2＝x(1－2x)源自C．(2x＋1)(1－x)＝0 D．x(1－x)＝x
知识点3：一元二次方程的根
7．已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值
是(A )
A．－3
B．3
C．0
D．0或3
8．(1)(2014·哈尔滨)若x＝－1是关于x的一元二次方程x2＋3x＋
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第一课时直接开平方法)课件人教版
∴ x3 5 或 x3- 5 .
∴ x1= 5-3 ，x2 = - 5-3 .
解一元二次方程的基本思路是：
把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化 为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如：
x2=p（p≥0），那么x=± p
由应用直接开平方法解形如：
（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=____p_ .
问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2 ， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体 形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的 棱长吗？
提示
可以根据正方体表面积 S=6a2求解. 同时要注意 所得的结果要符合实际
意义.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方 体的表面积为__6_x_2_dm2 .根据一桶油漆可 刷面积列出方程 1_0_×_6_x_2_=_1_5_0_0____.
解下列方程：
（1）9x2 5 3；
解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 8 .
9
直接开平方，得
x
8. 9
x1
22 3
，x2
22 3
.
注意：二次根 式必须化为最 简二次根式。
（2）9x2 5 1.
解：先移项，得 9x2 4. 系数化为1，得 x2 4 0 9
1
x1
, 3
x2
1.
整理，得_x_2_=_2_5 ， 根据平方根的意义得x=___±_5__. 即x1=___5___，x2=__-_5___. 因为_棱__长__不_能__为__负__值__，所以正方体的棱长 是_5_d_m__.
人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程的根与系数的关系课件
解：原方程可化为：
x2 + kx- 6 =0 55
想一想，
设方程的另一根是x1 ，那么
2x1 =-56,∴x1
=-3 5
还有其他 方法吗？
又∵ （-53）+2=-5k，∴k=-5[53()-+2]=-7
答：方程的另一个根是
-
3 5
，k 的值是 -7。
还可以把 x=2代入方程的两边，求出k。
我能行3 例3、不解方程，求一元二次方程22 x+3x -1=0
两个根的①平方和；②倒数和。
解：设方x程1+的x两2=根-是3 2,xx11 ,x•2x,2那=-么1 2
① ∴ ( x 1 21 + + x x x 2 22 = ) 2 ( = 1 x + x 1 2 x + 2 2 ) 21 -x 2 x 2+ 1 x x x 2 2 2
∴ x1 2+x2 2=(-3 2) 2-2× (-1 2)=1 43
9．已知关于x的方程x2-2(m-2)x+m2=0 ，问：是 否存在正实数m,使方程的两个实数根的平方和等 于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明
理由。 不存在
10．已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-
1=O。
(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相
等的实数根； (2)若方程两根为x1、x2，且满足 求m的值。
2
如果方程ax +bx+c=0(a≠0)的两个根是x , 1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
1
想一想，还有其他方法吗？
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》PPT课件
感悟新知
知4－练
1 一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若 把这两个数字调换位置，所得的两位数与原两 位数的乘积等于765，求原两位数． 15
2 两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数．
12和14
课堂小结
一元二次方程
1. 列一元二次方程解实际应用问题有哪些步骤? 2. 列方程解实际问题时要注意以下两点：
感悟新知
乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较
两种药品成本的年平均下降率．
知1－练
解：设乙种药品的年平均下降率为y，列方程得
6000（1 － y ）2=3600.
解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率
约为22.5%. 综上所述，甲乙两种药品成本的年平均
感悟新知
知2－练
解：(1) 设每轮分裂中每个有益菌可分裂出x个有益菌， 根据题意，得 60(1＋x)2＝24 000. 解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)． 答：每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌．
(2) 60×(1＋19)3＝60×203＝480 000(个)． 答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌．
知识点 2 营销策划问题
知2－练
例2 某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元， 按每
千克60元出售,平均每天可售出100千克, 后来经过市 场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增 加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获 利2240元,请回答:
在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客, 赢得市场, 该店应按原售价的几折出售?
是否正确、作答前验根是否符合实际.
感悟新知
人教版九年级上册数学《配方法》一元二次方程PPT教学课件
将常数项移到右边，含未 2 2 －3=－1
知数的项移到左边
一移
移项
二化
二次项系数 左、右两边同时除以二次 2 － =
化为1
项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次
项系数一半的平方
利用平方根的意义直接开
平方
四开
开平方
五解
解两个一元 移项，合并
一次方程
2
3 1
即 x
4 16
★ 用配方法解方程
探究交流
怎样解方程x2+6x+4=0？
1.把方程变成（x+n)2=
x2+6x+4=0
移项
二次项系数为1的完全平方式：
x2+6x=-4
常数项等于一次项系数一半的平方.
两边都加上9
x2+6x+9=-4+9
配方
(x+3)2=5
2.用直接开平方法解方程(x+3)2=5
(x+3)2=5
开方
x x
1
2
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=25；
（1） x2=25，
解：
直接开平方，得 x 5,
x1 5 ，x2 5.
(2) x2－900=0.
（2）移项，得 x2=900.
直接开平方，得 x=±30，
∴x1=30, x2=－30.
★ 用直接开平方法解方程
对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程（x+2）2=25？
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
5.如图，在R
人教版九年级数学上册《21一元二次方程 公式法 课件
将a，b，c 代入式子
x b
b2 4ac .
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公
式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式
可知，一元二次方程最多有两个实数根.
注意 用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0.
探究新知
求根公式的推导
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
典例精析
例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的
实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，
则b2-(4a2c)>20，4同k 时0要求二次项系数不为0，
即
，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
∴方程有两个相等的实数根．
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况．
(3) 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程有两个相等的实数根．
人教版初中数学九年级上册教学课件 第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程 教学课件 公式法
解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1,
b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac ＞0，即8m+9＞0 ∴m＞ 9 .
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0
∴m=
9 8
.
8
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0, ∴m＜ 9 .
（1）当b2-4ac＞0 时，有两个不等的实数根：
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
（2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根： x1
x2
b ; 2a
（3）当b2-4ac<0时，没有实数根.
一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通 常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac.
x 6 60 . 23
x1
3 3
15
,
x2
3-
15 3
.
探究新知
知识点 2 一元二次方程的根的情况
用公式法解下列方程： （1） x2＋x－1 = 0
（2）x2－2 3 x＋3 = 0
（3） 2x2－2x＋1 = 0 观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根 的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数 项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情 况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根.
人教版初中数学九年级上册一元二次方程课件PPT
18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
8m
18m2
5mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解:设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为_(_5_-_2_x_)_m___,长表示为__(_8_-_2_x_)m_, 则方程列为_(_8_-_2_x_)_(_5_-_2_x_)=__1_8 ，整理得__4_x_2_-_2_6_x_+_2_2__＝__0__.
★ 知识拓展
1)若a b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为 1.
2)若a b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为-1. 3)若4a 2b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为 2.
随堂训练
例5 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次 数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的 值．
知识讲解
例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、 一次项和常数项及它们的系数.
新课导入
变式：
桌上有一张矩形纸片，长25cm，宽15cm，在它的四角各剪去一个同样的
正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制
作的无盖方盒的底面积为300cm2，那么纸片各角应剪去的正方形边长为多
少厘米？
设剪去的正方形边长为x cm，则无盖方盒的底面的长为（25-2x） cm ， 宽为（ 15-2x ） cm ，根据题意，可列方程为
8m
18m2
5mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解:设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为_(_5_-_2_x_)_m___,长表示为__(_8_-_2_x_)m_, 则方程列为_(_8_-_2_x_)_(_5_-_2_x_)=__1_8 ，整理得__4_x_2_-_2_6_x_+_2_2__＝__0__.
★ 知识拓展
1)若a b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为 1.
2)若a b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为-1. 3)若4a 2b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为 2.
随堂训练
例5 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次 数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的 值．
知识讲解
例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、 一次项和常数项及它们的系数.
新课导入
变式：
桌上有一张矩形纸片，长25cm，宽15cm，在它的四角各剪去一个同样的
正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制
作的无盖方盒的底面积为300cm2，那么纸片各角应剪去的正方形边长为多
少厘米？
设剪去的正方形边长为x cm，则无盖方盒的底面的长为（25-2x） cm ， 宽为（ 15-2x ） cm ，根据题意，可列方程为
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化简，得 x2 75x 350 0 ①
3600cm2
50cm
100cm
该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少？
问题2:要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计 划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多 少个队参加比赛?
解：根据题意，列方程：
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
学习目标
1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问 题.(重点）
导入新课
复习引入
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
没有未知数
2x+3
代数式
5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18
讲授新课
一 一元二次方程的概念
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各 切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一 个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那 么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为 xcm,则盒底的长为（100－ 2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据 方盒的底面积为3600cm2,得 x
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
二 一元二次方程的根 一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫 作一元二次方程的解（又叫做根）.
提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不 是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
判断下列方程是否为一元二次方程？
(1) x2+ x=36
(2) x3 2
(4) x2 x 0
(5) x+1=0
x 2
(6) 6 3
(7)4x2 1 (2x 3)2
(8)( x )2 2 x 6 0
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
一元一次方程 二元一次方程
不等式
4 29 x
分式方程
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程 （组）及分式方程，其中前想两一种想方：程什是么整叫式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 一元二次方程呢？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整 式方程叫做一元一次方程.
想一想： 还有其它的列法吗？试说明原因.
32-2x
(20-x)(32-2x)=570
32
20-x 20
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同 特点呢？ x2 75x 350 0 ① x2 x 56 0 ② x2-36x＋35=0 ③ 特点: ①都是整式方程;
②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
知识要点
一元二次方程的概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做 一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, bx 称为一次项, c 称为常数项.
32
x 20
x 20
思考：
1.若设小路的宽是xm，那么
横向小路的面__3_2_x__m2，纵 向小路的面积是 2×20x m2,
两者重叠的面积是 2x2 m2.
32
2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方 程吗？
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
整理以上方程可得： x2-36x＋35=0 ③
1 x(x 1) 28. 2
化简，得： x2 x 56 0 ②
该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少？
问题3 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽 相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横 向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成 小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的 宽应为多少？
（2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别 与联系？
一元一次方程
一元二次方程
一般式 相同点 不同点
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指 出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
典例精析
含两个未知数
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（C ）
A.x2
1 x2
0
不是整式方程
B. 3x2 5xy y2 0
C. (x 1)(x 2) 0
D. ax2 bx c 0
化简整理成 x2-3x+2=0
少了限制条件 a≠0
a 称为二次项系数. b 称为一次项系数.
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、 c 可以为零吗？
当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程
3600cm2
50cm
100cm
该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少？
问题2:要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计 划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多 少个队参加比赛?
解：根据题意，列方程：
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
学习目标
1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问 题.(重点）
导入新课
复习引入
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
没有未知数
2x+3
代数式
5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18
讲授新课
一 一元二次方程的概念
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各 切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一 个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那 么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为 xcm,则盒底的长为（100－ 2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据 方盒的底面积为3600cm2,得 x
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
二 一元二次方程的根 一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫 作一元二次方程的解（又叫做根）.
提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不 是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
判断下列方程是否为一元二次方程？
(1) x2+ x=36
(2) x3 2
(4) x2 x 0
(5) x+1=0
x 2
(6) 6 3
(7)4x2 1 (2x 3)2
(8)( x )2 2 x 6 0
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
一元一次方程 二元一次方程
不等式
4 29 x
分式方程
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程 （组）及分式方程，其中前想两一种想方：程什是么整叫式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 一元二次方程呢？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整 式方程叫做一元一次方程.
想一想： 还有其它的列法吗？试说明原因.
32-2x
(20-x)(32-2x)=570
32
20-x 20
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同 特点呢？ x2 75x 350 0 ① x2 x 56 0 ② x2-36x＋35=0 ③ 特点: ①都是整式方程;
②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
知识要点
一元二次方程的概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做 一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, bx 称为一次项, c 称为常数项.
32
x 20
x 20
思考：
1.若设小路的宽是xm，那么
横向小路的面__3_2_x__m2，纵 向小路的面积是 2×20x m2,
两者重叠的面积是 2x2 m2.
32
2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方 程吗？
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
整理以上方程可得： x2-36x＋35=0 ③
1 x(x 1) 28. 2
化简，得： x2 x 56 0 ②
该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少？
问题3 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽 相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横 向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成 小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的 宽应为多少？
（2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别 与联系？
一元一次方程
一元二次方程
一般式 相同点 不同点
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指 出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
典例精析
含两个未知数
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（C ）
A.x2
1 x2
0
不是整式方程
B. 3x2 5xy y2 0
C. (x 1)(x 2) 0
D. ax2 bx c 0
化简整理成 x2-3x+2=0
少了限制条件 a≠0
a 称为二次项系数. b 称为一次项系数.
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、 c 可以为零吗？
当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程